UNIVERSIDAD DE ORIENTEDEPARTAMENTO SOCIO HUMANÍSTICO

MATEMÁTICA I NÚCLEO MONAGAS

Sucesiones, Sumatorias y Progresiones (Aritméticas y Geométricas)

Profesora: Milagros Coraspe

Integrantes:Pantoja Lianys C.I 27.118.572 Prado Reymari C.I 26.984.646

Maturín, Febrero 2017

Estos temas se dice que fueron estudiados por los babilonios en la época babilónica (2000 a.C), también pudieron encontrarse que los egipcios y árabes también los estudiaron e incluso hallaron fórmulas, fueron encontrando los por artes, las secesiones fueron primero para luego multiplicar el termino anterior por un numero fijo y sacaron las progresiones y luego encontraron en una progresión de forma aritmética y geométrica. En épocas recientes, el estudio de las progresiones y de su sumas aparece relacionado con la aproximación de números irracionales o de funciones.

INTRODUCCIÓN

Es aquella en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. La formula para el termino general de una sucesión aritmética es an + b en donde a y b son constantes y n es el numero del termino deseado.

Ejemplo: Notemos la sucesión: 8,11,14,17,20,23,26

La diferencia entre cualquier termino y el anterior es 3 de modo que el termino general de la sucesión es: 3n+5.Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer termino, en donde n=1.De esta forma, 3(1)+b=8, y por lo tanto b=5.Por lo tanto, el termino general de la sucesión es 3n+b.Si queremos encontrar el termino 25 de la sucesión, sustituimos 25 en la anterior formula: 3(25)+25=80.De modo que el termino 25 de la sucesión tiene el valor de 80.Si queremos encontrar la suma de los primero 12 términos de esta sucesión utilizamos la formula a = 3b = 5 y n =12.(12)(12+1)+5(12)=294.

SUCESIONES ARITMÉTICAS

El elemento general de la sucesión debe

ser una función n, en donde n solamente

puede tomar valores enteros positivo, de tal

manera que cuando se le de el valor de

n=1, al sustituir en la formula se obtenga el

primer elemento, que cuando n=2, al

sustituir en la formula se obtenga el

segundo elemento; que cuando n=3, al

sustituir en la formula ( an =a1 + n – 1 x d)

se obtenga el tercer elemento; y así

sucesivamente.

Encontrando el termino N-esimo

(pasos)1. Determinar el valor de a(1). Es

el primer termino de la sucesión.

2. Realizar la diferencia d entre dos términos consecutivos en la sucesión, esa diferencia b debe ser igual ara cualquier par de términos escogidos.

3. Comprobar el resultado dado, haciendo la respectiva sucesión paso a paso. Si no tenemos una sucesión, entonces utilizamos la formula cuando tenemos un termino y la constante o distancia entre dos términos.

Elemento

general

de la sucesión

Una sucesión geométrica es aquella en la cual el cociente entre dos términos consecutivos es una constante llamada razón r y puede ser positiva o negativa .

Ejemplo:Sea la sucesión 5,15,45,135,405,1215 es geométrica porque cada termino es multiplicado por la misma constante que es 3.Sea la sucesión -2, 4, -8, 1, -32, 64,… es geométrica porque cada términos multiplicado por la misma constante, que es 2.

Notación:Comúnmente se denominan los términos de una sucesión del a siguiente manera: a(1) = primer termino de la sucesión a(2) segundo termino de la sucesión a(n) = n-esimo termino de la sucesión r= razón El n-esimo termino de una sucesión geométrica es la regla que determina como se calculan los términos de la misma

SUCESIONES GEOMÉTRICAS.

• Convergente: son las sucesiones que tienen limite finito: 1, , , , ,… .• Divergentes: estas no tienen limite finito: 5,7,9,11,13,… 2n + 3

limite: ∞• Oscilante: estas no son convergente ni divergentes. Sus términos

alternan de mayor a menor y viceversa: 1,0,3,0,5,0,7.• Alternas: son aquellas que alternan los signos de sus términos:• -1,2,-3,4,-5…n

Tipos de Sucesiones:

Para saber lo que es una suma aritmética y geométrica debemos de conocer lo que es sucesión y progresión, ya que esto no es mas que la suma de los términos de estas. La suma de los términos en un segmento inicial de una progresión se conoce a veces como serie. Existe una formula para las series. La suma de los n rimeros valores de una sucesión finita viene dada por la formula:

SUMATORIA ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA

Donde es el primer termino, es el ultimo y ∑ es la notación del sumatorio

Por ejemplo: 2+5+8+11+14 La suma puede calcularse rápidamente tomando el numero de términos n de la progresión ( en este caso 5), multiplicando el primer y ultimo termino de la progresión ( aquí 2 + 4 =16), y dividiendo entre 2. Tomando la formula seria:2+5+8+11+14 = = = 40 Esta formula funciona para cualquier progresión aritmética de números reales conociendo .

Es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada , o incluso .

Por ejemplo: 3, 5, 7, 9, es una progresión aritmética de diferencia constante 2 .

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Términos y diferencia de una progresión aritmética:

= Primer término. = Segundo término. = Tercer término. = Cuarto término. = Ultimo término.

Termino General: En todas las progresiones aritméticas se puede encontrar una expresión que permite obtener cualquier termino, sabiendo el lugar que ocupa. A esta expresión se le denomina termino general de la progresión aritmética

Es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene dividiendo el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el termino progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión o serie cuando hay una cantidad infinita de términos así: 5, 15, 45, 135, 405,… Es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del termino general, siendo an el termino en cuestión, al primer termino y r, la razón:

an = •

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Interpolar medios geométrico o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.Sean los extremos a y b, y el numero de medios a interpolar m.

r = m + 1

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Producto de dos

términos equidistantes

Sean ai y aj dos términos equidistantes de

los extremos, se cumple que el producto

de términos equidistantes es igual al

producto de los extremos : ai • aj = •

Clasificación progresión geométrica:

Ascendente: aquella en que cada termino tiene mayor valor que el ascendente Descendente: aquella en que cada termino tiene menor valor que el antecedente.

Se han obtenido conjunto de números cuyos términos cumplen una determinada regla lo que nos permite encontrar en otros términos de manera única. Es decir, se puede determinar cual es el primer termino, cual es el segundo y así sucesivamente. Esta forma de proceder es valida para resolver cualquier otro tipo de ejercicio, pues la esencia es encontrar como se obtienen unos términos a partir de otros dados o la regla de formación.

CONCLUSIÓN.

www.thelles.es/matematicas/progresiones.com Anónimo, 2015

www.vitutor/sucesiones.com Autor: Giménez Luis. Junio 2016

www.hiru.es.matematicas.progresiones.sucesiones.geometricas.com anónimo,

www.vandenumeros.es.com anónimo, noviembre 2014

BIBLIOGRAFÍA .