universidad de guanajuato afcultad de matemÁticas

UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO

FACULTAD DE MATEMÁTICAS

CONSTRUCCIÓN DE UNA INFINIDAD DE

ESPACIOS ARBITRARIAMENTE DISTORSIONABLES

NO ISOMORFOS ENTRE SÍ.

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

LICENCIADO EN MATEMÁTICAS.

P R E S E N T A:

JAVIER ALEJANDRO CHÁVEZ DOMÍNGUEZ.

DIRECTORA DE TESIS:

DRA. BERTA GAMBOA DE BUEN.

JUNIO DE 2004 GUANAJUATO, GUANAJUATO, MÉXICO.

A mi tía Elsa.

Agradecimientos

A mi familia, en particular a mis padres que siempre han apoyado mis decisiones aunqueéstas no siempre han sido las que ellos preferirían.

A mis amigos, que hicieron más llevaderos estos cinco años de la licenciatura, especial-mente a Rubén, Minerva, Nelly y Areli.

A toda la gente que a lo largo de 18 años ha hecho posible la Olimpiada Mexicana deMatemáticas, permitiendo que jóvenes como yo conozcan el lado amable de las matemáti-cas, sobre todo a Rosa Ponce, Pablo Macías, César Pérez, Ignacio Barradas, María LuisaPérez y Omar Antolín.

A mis profesores de la licenciatura por todo lo que me enseñaron, tanto de matemáticascomo de otras cosas, en particular a mi asesora de tesis, Berta Gamboa, quien me introdujoal mundo del análisis matemático.

Finalmente, a las instituciones que me apoyaron con becas para mis estudios de licenciatura:el Centro de Investigación en Matemáticas A.C., la Fundación Telmex, el Consejo Nacionalde Ciencia y Tecnología y la Universidad de Guanajuato.

Contenido

Introducción ix

1. Preliminares 1

1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Algunas funciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Convexidad, concavidad, submultiplicatividad y supermultiplicatividad . . . 21.4. Espacios normados y de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1. De�niciones y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.2. Operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.3. Dualidad, re�exividad y completaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.4. Sumas directas y subespacios complementados . . . . . . . . . . . . 61.4.5. La topología débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.1. De�niciones y propiedades fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.2. Bases incondicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.3. Otras clases especiales de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Conjuntos asintóticos 17

3. Los espacios de Schlumprecht 23

3.1. Espacios distorsionables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. La clase F y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Construcción de los espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4. Propiedades de los espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Comentarios �nales 65

Bibliografía 67

Introducción

En la teoría de geometría de espacios de Banach, es de interés saber cómo son y cómo estánrelacionados los subespacios cerrados de un espacio de Banach dado. Algunos de los ejemplosmás conocidos y estudiados de espacios de Banach son los espacios c0 y `p, por lo que resultapertinente preguntarse si todo espacio de Banach contiene un subespacio isomorfo a algunode estos espacios. Este problema, propuesto desde los treintas, estuvo abierto durante largotiempo. No fue sino hasta 1974 que Boris S. Tsirelson [27] sorprendió a los especialistas alconstruir un ejemplo relativamente simple de un espacio de Banach que no contiene a c0 nia `p para 1 ≤ p < ∞, resolviendo el problema.

Otro problema, relacionado con el anterior, es el siguiente. Si un espacio de Banach contieneun subespacio isomorfo a c0 o `p, ¾contendrá copias casi isométricas de éste? Es decir: SeaX el espacio c0 o `p para algún 1 ≤ p < ∞, con su norma usual ‖·‖. Sea |‖·|‖ una normaequivalente en X. Dado ε > 0, ¾existe un subespacio Y de X tal que existe un isomor�smoT : (Y, |‖·|‖) → (X, ‖·‖) con ‖T‖

∥∥T−1∥∥ < 1 + ε? Robert C. James [16] probó que la res-

puesta es a�rmativa en los casos de c0 y `1.

Este último problema está fuertemente relacionado con el concepto de espacio distorsio-nable. Dada λ > 1, se dice que un espacio normado (Y, ‖·‖) es λ-distorsionable si existe unanorma |‖·|‖ en Y equivalente a ‖·‖ tal que para todo subespacio Z ⊂ Y

sup{|‖z1|‖|‖z2|‖

: z1, z2 ∈ Z, ‖z1‖ = ‖z2‖ = 1}≥ λ.

Un espacio es distorsionable si es λ-distorsionable para algún λ > 1, y es arbitrariamente

distorsionable si es λ-distorsionable para toda λ > 1. En este lenguaje, lo que James probóes que c0 y `1 no son distorsionables.

Este concepto dio lugar al problema de la distorsión en general: ¾contiene un X dadoun subespacio distorsionable? V. D. Milman [20] probó que si X no tiene ningún subes-pacio distorsionable entonces X contiene una copia casi isométrica de c0 o `p para algún1 ≤ p < ∞, y preguntó si existen espacios distorsionables. Unos cuantos años después Tsi-relson [27] produjo su ya mencionado ejemplo que no contiene ningún subespacio isomorfo ac0 o `p (1 ≤ p < ∞), con lo que probó la existencia de un espacio de Banach distorsionable.Sin embargo, el trabajo de Milman contiene implícitamente el resultado, redescubierto en[15], que si X no contiene a c0 o `p (1 ≤ p < ∞) entonces algún subespacio de X es distor-

x Introducción

sionable. Entonces, para resolver el problema de la distorsión en general basta considerar elcaso `p, 1 < p < ∞, lo que se conoce como �el problema de la distorsión�.

Aunque de los trabajos de Milman y Tsirelson se sigue la existencia de un espacio dis-torsionable, aún faltaba por saber si existe o no un espacio arbitrariamente distorsionable.Basado en el ejemplo de Tsirelson, en 1991 T. Schlumprecht respondió a�rmativamente a lapregunta [24].

En [13], W.T. Gowers y B. Maurey mostraron que el concepto de distorsión también estárelacionado con otro famoso problema, el de la sucesión básica incondicional. Si X es unespacio de Banach, una sucesión {xn}∞n=1 ⊂ X es una base de Schauder (o simplemente unabase) de X si toda x ∈ X puede ser escrita de manera única como una serie convergente ennorma de la forma

∑∞n=1 anxn. Esta de�nición claramente depende del orden de los xn, y

ciertamente es posible que una permutación de una base no sea una base. Por otro lado, mu-chas bases que se encuentran naturalmente, como las bases estándar de `p para 1 ≤ p < ∞,son bases bajo cualquier permutación. Por lo tanto es natural dar un nombre a este tipoespecial de bases, a las que se llama incondicionales.

Por un largo tiempo un gran problema no resuelto era si todo espacio de Banach sepa-rable tiene una base. Esta pregunta fue respondida negativamente por P. En�o en 1973 [8].Por otro lado, no es difícil mostrar que todo espacio de Banach contiene un subespacio conbase. Los espacios con bases incondicionales tienen mucha más estructura que los espaciosen general, por lo que es fácil encontrar ejemplos de espacios que no las tienen. Por ejemplo,los espacios C([0, 1]) y L1 no tienen ninguna base incondicional. Esto nos lleva a la preguntade si todo espacio contiene un subespacio de dimensión in�nita con una base incondicional,que es precisamente el problema de la sucesión básica incondicional, resuelto por Gowers yMaurey en [13] al construir un espacio, basado en el de Schlumprecht, que no tiene ningúnsubespacio con base incondicional.

La meta principal de este trabajo es mostrar una generalización de la construcción delespacio de Schlumprecht, debida a Gowers y Maurey, con la cual se obtiene una in�nidadde espacios de Banach arbitrariamente distorsionables no isomorfos entre sí. Aunque el es-pacio de Schlumprecht fue construido originalmente en [24], seguimos la estrategia usadapor Gowers y Maurey, que lo desarrollaron utilizando resultados enunciados con un pocomás de generalidad para poder aplicarlos a su espacio en la parte principal del artículo [13].El resto de este trabajo está organizado como sigue. En el primer capítulo enunciamos losresultados y de�niciones que necesitaremos. En el segundo de�nimos los conjuntos asintó-ticos y probamos un útil teorema que los relaciona con la existencia de sucesiones básicasincondicionales. En el tercero de�nimos una clase de espacios que son una generalización delconstruido por Schlumprecht y probamos que algunos de ellos (incluyendo, por supuesto, alde Schlumprecht) son arbitrariamente distorsionables usando el mencionado teorema, conlo cual mostramos la interesante relación entre los conceptos de distorsionabilidad, conjun-tos asintóticos y sucesiones básicas incondicionales. Además, probamos que los espacios asíconstruidos no son isomorfos entre sí.

Capítulo 1

Preliminares

En este capítulo se enlistan las de�niciones y los resultados más relevantes para el trabajoque se presenta. Suponemos que el lector tiene los conocimientos básicos de álgebra linealy análisis cubiertos en un primer curso de nivel licenciatura, por lo que aquí solamente seincluye material un poco más especializado. Especí�camente, se tratan algunos aspectosde la teoría general de los espacios normados y de Banach, y de las bases de Schauder.Aunque son temas que no todo estudiante de licenciatura llega a ver, éstos son bastanteconocidos, por lo que en general se enuncian solamente las de�niciones y los resultados queutilizaremos, sin demostraciones.

1.1. Conjuntos

Como es usual, denotaremos por N al conjunto de los números naturales, por Q al de losracionales, por R al de los reales y por C al de los complejos. El conjunto de los númerosreales no negativos será denotado por R+, y el de los números reales positivos por R+.

Todos los espacios vectoriales que manejaremos lo serán sobre el campo K, que siempreserá los reales o los complejos. Cuando no sea necesario referirnos directamente al campo,lo omitiremos en los enunciados.

La cardinalidad de un conjunto A será denotada por |A|.

1.2. Algunas funciones importantes

Dados números reales a y b, denotamos por a ∨ b al máximo de a y b.

Para un número real x, bxc denota al máximo entero mayor o igual a x.

2 1. Preliminares

1.3. Convexidad, concavidad, submultiplicatividad y super-

multiplicatividad

De�nición 1.1 Sea V un espacio vectorial. Un conjunto D ⊂ V es convexo si para cua-

lesquiera x, y ∈ D y 0 ≤ λ ≤ 1, λx + (1− λ)y ∈ D.

De�nición 1.2 Sean V un espacio vectorial y D ⊂ V convexo. Una función f : D → R es

cóncava si

f(λx + (1− λ)y

)≥ λf(x) + (1− λ)f(y),

para cualesquiera x, y ∈ D y 0 ≤ λ ≤ 1.

Proposición 1.3 (Desigualdad de Jensen) Sean V un espacio vectorial sobre un campo

K, D ⊂ V convexo y f : D → R una función cóncava. Entonces

f

(1n

n∑i=1

ai

)≥ 1

n

n∑i=1

f(ai)

para cualesquiera a1, . . . , an ∈ D.

Demostración. Lo probaremos por inducción sobre n. Para n = 1 el resultado es evidente-mente cierto, y para n = 2 el resultado es consecuencia directa de la de�nición de funcióncóncava. Ahora supongamos que es válido para n = k. Entonces, utilizando la de�nición defunción cóncava y la hipótesis inductiva,

f

(1

k + 1

k+1∑i=1

ai

)= f

(1

k + 1ak+1 +

k

k + 1

k∑i=1

1kai

)≥ 1

k + 1f(ak+1) +

k

k + 1f

(1k

k∑i=1

ai

)

≥ 1k + 1

f(ak+1) +k

k + 11k

k∑i=1

f(ai) =1

k + 1

k+1∑i=1

f(ai),

lo cual �naliza la prueba.

De�nición 1.4 Sea D ⊂ R+ un conjunto cerrado bajo la multiplicación, es decir, tal que

xy ∈ D para cualesquiera x, y ∈ D. Una función f : D → R+ es submultiplicativa

si f(xy) ≤ f(x)f(y) para cualesquiera x, y ∈ D, y es supermultiplicativa si f(xy) ≥f(x)f(y) para cualesquiera x, y ∈ D.

Proposición 1.5 Sean D ⊂ R+ un conjunto cerrado bajo la multiplicación y G : D → R+

una función supermultiplicativa (submultiplicativa). Entonces la función g : D → R+ dada

por g(x) = x/G(x) es submultiplicativa (supermultiplicativa).

Demostración. Sean x, y ∈ D. Si G es supermultiplicativa,

g(xy) =xy

G(xy)≤ xy

G(x)G(y)= g(x)g(y),

y entonces g es submultiplicativa. El otro caso se demuestra análogamente.

1.4. Espacios normados y de Banach 3

1.4. Espacios normados y de Banach

Los objetos matemáticos utilizados en este trabajo son, principalmente, espacios normadosy de Banach. De acuerdo con Jean Dieudonné [7], Fréderic Riesz consideró desarrollar unateoría general de los espacios normados completos, pero nunca publicó ningún trabajo al res-pecto. Los primeros trabajos publicados en esa dirección son un artículo de Hans Hahn [14]y la tesis de Stefan Banach [1], ambos en 1922. El desarrollo de la teoría continuó a lo largode los años veinte, y un momento decisivo lo marcó la aparición del libro de Banach Théorie

des Opérations Linéaires [2], que fue durante muchos años la referencia obligada en el campo.

El lector interesado en la teoría general de los espacios normados y de Banach puede encon-trar más detalles en [9] y [19].

1.4.1. De�niciones y propiedades básicas

De�nición 1.6 Una norma en un espacio vectorial X sobre K es una función ‖·‖ : X → Rtal que para cualesquiera x, y ∈ X y λ ∈ K:

(i) ‖x‖ ≥ 0 y ‖x‖ = 0 si y sólo si x = 0.

(ii) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖.

(iii) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

De�nición 1.7 Un espacio normado es un espacio vectorial X con una norma ‖·‖. Unespacio normado (X, ‖·‖) es de Banach si es completo.

La diferencia fundamental entre un espacio vectorial a secas y uno normado es que ésteúltimo posee una topología natural, que de�nimos a continuación.

Proposición 1.8 Sea (X, ‖·‖) un espacio normado. Para x ∈ X y ε > 0 de�nimos

Bε(x) = {y ∈ X : ‖x− y‖ < ε}.

Entonces, el conjunto {Bε(x) : x ∈ X, ε > 0} es una base de una topología para X, llamada

la topología inducida por la norma.

Algunas nociones importantes en los espacios normados son completamente topológicas, loque motiva la siguiente de�nición.

De�nición 1.9 Dos normas ‖·‖1 y ‖·‖2 sobre un espacio vectorial X son equivalentes si

inducen la misma topología en X.

Proposición 1.10 Sean X un espacio vectorial y ‖·‖1 y ‖·‖2 dos normas sobre X. Entonces,

estas normas son equivalentes si y sólo si existe un M > 0 tal que para toda x ∈ X,

1M

‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ M ‖x‖1 .

4 1. Preliminares

Ahora de�nimos el concepto de subespacio generado.

De�nición 1.11 Sean X un espacio normado y A ⊂ X. El subespacio generado por Aes el mínimo subespacio de X que contiene a A, denotado por sp A o 〈A〉. El subespaciocerrado generado por A es el mínimo subespacio cerrado de X que contiene a A, denotado

por [A].

En un espacio normado existen dos conjuntos importantes, la esfera y la bola unitarias.

De�nición 1.12 Sea X un espacio normado. La bola unitaria de X es el conjunto

B(X) = {x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1},

y la esfera unitaria de X es el conjunto

S(X) = {x ∈ X : ‖x‖ = 1}.

En Kn, por el teorema de Heine-Borel los conjuntos compactos son los cerrados y acotados.De hecho, esta propiedad caracteriza a los espacios normados de dimensión �nita.

Teorema 1.13 Sea X un espacio normado. Entonces B(X) es compacta si y sólo si X es

de dimensión �nita.

1.4.2. Operadores lineales

Como los espacios normados son espacios vectoriales que además tienen una topología, lasfunciones de interés son naturalmente las funciones lineales y continuas.

De�nición 1.14 Sean X y Y dos espacios normados sobre K.

(i) Un operador lineal es una función lineal T : X → Y .

(ii) A los operadores lineales de X en K los llamamos funcionales.

(iii) Un operador lineal T : X → Y es una isometría si ‖Tx‖ = ‖x‖ para toda x ∈ X.

(iv) Si un operador lineal T : X → Y es biyectivo y además es un homeomor�smo, dire-

mos que es un isomor�smo de espacios normados. Si además T es una isometría,

diremos que X y Y son isométricamente isomorfos, y que T es un isomor�smo

isométrico.

Dado que los operadores no lineales no son de interés en este contexto, muchas veces seomite el adjetivo �lineal� y se dice simplemente �operador� o �funcional�.

Teorema 1.15 Sean X y Y espacios normados y T : X → Y un operador lineal. Entonces

son equivalentes:

(i) T es continuo.


(ii) T es continuo en 0.

(iii) T es continuo en algún punto de X.

(iv) Existe una constante C > 0 tal que ‖Tx‖ ≤ C ‖x‖ para toda x ∈ X.

De�nición 1.16 Sean X y Y espacios normados y T : X → Y un operador lineal continuo.

De�nimos la norma de T por

‖T‖ = ınf{C > 0 : ‖Tx‖ ≤ C ‖x‖ para toda x ∈ X} = sup‖x‖≤1

‖Tx‖ = sup‖x‖=1

‖Tx‖ .

Por lo anterior, a los operadores lineales continuos también se les llama acotados . Unresultado básico acerca de la norma de un operador es el siguiente.

Proposición 1.17 Sean X, Y y Z espacios normados, y S : X → Y y T : Y → Zoperadores lineales acotados. Entonces T ◦ S : X → Z es un operador lineal acotado y

‖T ◦ S‖ ≤ ‖T‖ ‖S‖.

Un tipo particular de operadores lineales son las proyecciones.

De�nición 1.18 Sea X un espacio normado. Un operador lineal P : X → X es una

proyección si P 2 = P .

Proposición 1.19 Sean X un espacio normado y P : X → X una proyección tal que

P 6≡ 0. Entonces ‖P‖ ≥ 1.

Demostración. Como P 6≡ 0, existe x ∈ X tal que y = Px 6= 0. Entonces ‖Py‖ = ‖PPx‖ =‖Px‖ = ‖y‖. Por lo tanto, ‖P‖ ≥ 1.

Uno de los teoremas más importantes en la teoría de espacios normados es el de Hahn-Banach. Existen muchas versiones distintas de éste, mas en este trabajo sólo utilizaremosla siguiente.

Teorema 1.20 (Hahn-Banach) Sean X un espacio normado y x ∈ X. Entonces existe

una funcional lineal continua f tal que f(x) = ‖x‖ y ‖f‖ = 1.

1.4.3. Dualidad, re�exividad y completaciones

De�nición 1.21 Sea X un espacio normado sobre K. El dual de X es el espacio de las

funcionales lineales continuas de X, es decir, el conjunto

X∗ := {f : X → K : f es lineal y continua},

con la norma de la de�nición 1.16.

A partir de la completez del campo K se deduce con facilidad que el dual de un espacionormado siempre es un espacio de Banach.

6 1. Preliminares

De�nición 1.22 Sea X un espacio normado. La inyección canónica de X en X∗∗ es la

función j : X → X∗∗ dada por

(j(x))(x∗) = x∗(x),

para toda x ∈ X y x∗ ∈ X∗.

De�nición 1.23 Un espacio normado X es re�exivo si j(X) = X∗∗, donde j es la inyeccióncanónica de la de�nición 1.22.

Es fácil probar que para un espacio normado X la inyección canónica j : X → j(X) ⊂ X∗∗

es un isomor�smo isométrico de espacios normados. Esto nos permite demostrar el siguienteresultado.

Proposición 1.24 Sea X un espacio normado. Entonces existe la completación de X,

es decir, un espacio de Banach X tal que existe un isomor�smo isométrico entre X y un

subespacio denso de X.

Demostración. Basta con tomar X = j(X), donde j : X → X∗∗ es la inyección canónica y labarra denota la cerradura en X∗∗. Claramente este espacio cumple las propiedades pedidas,y es evidente que cualquier otro que las cumpla es isométricamente isomorfo a éste.

Generalmente pensaremos en X como un subconjunto de X, aunque en realidad el quees un subconjunto de X no es X, sino un subespacio de X isométricamente isomorfo a X.

1.4.4. Sumas directas y subespacios complementados

De�nición 1.25 Sea X un espacio de Banach, y sean Y y Z dos subespacios cerrados de

X. Decimos que X es suma directa de Y y Z si Y ∩ Z = {0} y Y + Z = X.

De�nición 1.26 Sea X un espacio de Banach. Decimos que un subespacio cerrado Y de

X es complementado en X si existe una proyección lineal acotada P de X sobre Y .

La de�nición anterior no parece tener nada que ver con el término �complementado�, perola siguiente proposición ilustra el porqué del nombre.

Proposición 1.27 Sean X un espacio de Banach y F un subespacio cerrado de X. Entonces

F es complementado si y sólo si existe un subespacio cerrado G de X tal que X = F ⊕G.

Ciertos tipos de subespacios siempre son complementados, como muestra el siguiente teore-ma.

Teorema 1.28 Sean X un espacio de Banach, Y ⊂ X un subespacio de dimensión �nita y

Z ⊂ X un subespacio cerrado de codimensión �nita. Entonces Y y Z son complementados

en X.


1.4.5. La topología débil

Por el teorema 1.13, los únicos espacios normados cuya bola unitaria cerrada es compactason los de dimensión �nita. Históricamente, esto motivó la búsqueda de topologías másdébiles, con más compactos y que siguieran estando relacionadas con la estructura linealdel espacio. Una de las más importantes y conocidas es la llamada topología débil, quede�nimos a continuación.

De�nición 1.29 Sean X un espacio normado y X∗ su dual. La topología débil en X es la

topología que tiene como base local en x0 ∈ X a los conjuntos de la forma

V (x0, x∗1, . . . , x

∗k, ε) = ∩k

i=1

{x ∈ X : |x∗i (x− x0)| < ε

},

con x∗1, . . . , x∗k ∈ X∗ y ε > 0.

El siguiente teorema caracteriza la convergencia de sucesiones en la topología débil.

Teorema 1.30 Sean X un espacio normado, X∗ su dual, x ∈ X y {xn}∞n=1 ⊂ X una

sucesión. Entonces {xn}∞n=1 converge a x en la topología débil si y sólo si lımn→∞ x∗(xn) =x∗(x) para toda x∗ ∈ X.

La siguiente proposición muestra en qué sentido la topología débil conserva la informaciónreferente a la estructura lineal del espacio.

Proposición 1.31 Sean X y Y espacios normados y T : X → Y lineal. Entonces T es

continuo con respecto a las topologías inducidas por las normas si y sólo si lo es respecto a

las topologías débiles.

1.4.6. Ejemplos

Ahora mostramos algunos de los ejemplos clásicos de espacios de Banach.

De�nición 1.32 Para p ≥ 1, el espacio `p es el conjunto de sucesiones de escalares x ={xn}∞n=1 tales que

∞∑n=1

|xn|p < ∞

con la norma

‖x‖p =

( ∞∑n=1

|xn|p) 1

p

.

De�nición 1.33 El espacio `∞ es el conjunto de sucesiones de escalares x = {xn}∞n=1 tales

que

supn|xn| < ∞

con la norma

‖x‖∞ = supn|xn|.

8 1. Preliminares

De�nición 1.34 El espacio c0 es el conjunto de sucesiones de escalares x = {xn}∞n=1 con-

vergentes a 0 con la norma

‖x‖∞ = supn|xn|.

Claramente, c0 es un subespacio cerrado de `∞.

1.5. Bases de Schauder

El concepto de base de Hamel juega un papel muy importante en el estudio de los espa-cios vectoriales. En particular, en el caso de los espacios vectoriales de dimensión �nita, elestudio de los operadores lineales acotados (i.e. continuos) se simpli�ca porque las cosas sepueden expresar de manera fácil en términos de bases. Esto se debe a que la convergencia esequivalente a la convergencia �por coordenadas�, es decir, si {xi}n

i=1 es una base de Hamelen un espacio vectorial X sobre K de dimensión n, y {am

i }ni=1, {ai}n

i=1 ⊂ K,

lımm→∞

n∑i=1

ami xi =

n∑i=1

aixi si y sólo si lımm→∞

ami = ai para i = 1, . . . , n.

Sin embargo, en un espacio de Banach de dimensión in�nita esto no necesariamente es cierto.Por ejemplo, si X = `∞ y {xi}∞i=1 es la sucesión

x1 = (1, 1, . . . , 1, . . . )

x2 = (1,12, . . . ,

12, . . . )

x3 = (0,12,14, . . . ,

14, . . . )

...

xi = (0, . . . , 0,1

2i−2,

12i−1

, . . . ,1

2i−1, . . . )

no es difícil ver que {xi}∞i=1 es un conjunto linealmente independiente, que la sucesión {yi}∞i=1

de�nida por

yi = x1 −i+1∑j=2

xj

converge a 0 en `∞, y que sin embargo los coe�cientes de cada xi con i ≥ 2 convergen a −1.

Luego, resulta natural buscar una noción de base que rescate las ventajas que nos danlas bases de Hamel en el caso de dimensión �nita, relacionadas con la convergencia y por lotanto con la norma que tiene el espacio. Como en el caso de espacios de Hilbert, donde setienen las bases ortonormales, la clave está en permitir sumas in�nitas. Una vez más no seincluyen todos los detalles, puesto que se trata de cuestiones conocidas y fáciles de encontraren libros sobre el tema. Para las pruebas de los resultados o simplemente profundizar en eltema, se sugieren [9], [18] y [19].

1.5. Bases de Schauder 9

1.5.1. De�niciones y propiedades fundamentales

Las bases anunciadas, que serán de vital importancia en este trabajo, reciben el nombre debases de Schauder, aunque por simplicidad en lo sucesivo las llamaremos simplemente bases.

De�nición 1.35 Una sucesión {xn}∞n=1 en un espacio de Banach X es una base de

Schauder si para toda x ∈ X existe una única sucesión de escalares {an}∞n=1 tal que

lımn→∞

∥∥∥∥∥x−n∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ = 0.

Una sucesión {xn}∞n=1 en un espacio de Banach X es una sucesión básica si es una base

de Schauder del espacio vectorial cerrado generado por {xn}∞n=1.

Una sucesión básica {xn}∞n=1 es seminormalizada si existe M > 0 tal que para toda n ∈ N1M

≤ ‖xn‖ ≤ M,

y es normalizada si ‖xn‖ = 1 para toda n ∈ N.

El concepto de base de Schauder solamente está de�nido en espacios de Banach. Sin embargo,en este trabajo nos referiremos con frecuencia a bases de espacios normados. Este conceptose precisa en la siguiente de�nición.

De�nición 1.36 Sean X un espacio normado y {xn}∞n=1 ⊂ X. Diremos que {xn}∞n=1 es

una base de X si es una base de Schauder de X, la completación de X.

Lema 1.37 Si {xn}∞n=1 es una sucesión básica seminormalizada en un espacio de Banach

X, y x =∑∞

n=1 anxn, entonces lımn→∞ an = 0.

Proposición 1.38 Sea X un espacio de Banach con base {xn}∞n=1. Entonces los operadores

Pn dados para cada n ∈ N por

Pn

∞∑i=1

aixi =n∑

i=1

aixi

para toda x =∑∞

i=1 aixi ∈ X, son unas proyecciones acotadas y supn ‖Pn‖ < ∞. Al número

supn ‖Pn‖ se le llama la constante de base de {xn}∞n=1, y a las proyecciones Pn se les

llama las proyecciones asociadas a la base {xn}∞n=1. Además, lımn→∞ Pnx = x para

toda x ∈ X.

Proposición 1.39 Sea X un espacio de Banach sobre K con base {xn}∞n=1. Si para cada

n ∈ N de�nimos fn : X → K por

fn

∞∑i=1

aixi = an,

entonces cada fn es una funcional lineal acotada. A las funcionales fn suele denotárseles

por x∗n y se les llama funcionales coe�ciente o funcionales biortogonales asociadas

a la base {xn}∞n=1.

10 1. Preliminares

Además de su de�nición, existen otras maneras de caracterizar a las bases. Una de ellas esla siguiente.

Teorema 1.40 Sea {xn}∞n=1 una sucesión en un espacio de Banach X. Entonces {xn}∞n=1

es una base de X si y sólo si se satisfacen las siguientes tres condiciones:

(i) xn 6= 0 para toda n ∈ N.

(ii) Existe M ≥ 1 tal que para toda sucesión de escalares {ai}mi=1, si n < m entonces∥∥∥∥∥

n∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ≤ M

∥∥∥∥∥m∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ .

(iii) El espacio vectorial cerrado generado por {xn}∞n=1 es X.

Observemos que para una sucesión básica, por de�nición la constante de base es el mínimonúmero M que satisface (ii).

Ejemplo 1.41 El teorema 1.40 nos permite encontrar fácilmente bases en algunos espaciosde Banach. Como primer ejemplo tenemos los espacios `p (con 1 ≤ p < ∞) y c0 de�nidos enla sección 1.4.6. En estos espacios hay una base natural, llamada la base canónica, compuestapor los vectores en = (em

n )∞m=1 dados por

emn =

{1 si n = m,

0 si n 6= m.

Es trivial veri�car que en estos espacios la sucesión {en}∞n=1 satisface las condiciones delteorema 1.40.

Otro ejemplo es el sistema de Haar {hn}∞n=1 en Lp[0, 1], el espacio de Banach de las clasesde equivalencia de funciones integrables respecto a la medida de Lebesgue sobre el intervalo[0,1], para 1 ≤ p < ∞, dado por h1(t) = 1 para todo t ∈ [0, 1], y para n ≥ 2, si m es elentero positivo tal que 2m−1 < n ≤ 2m,

hn(t) =

1 si 2n−2

2m − 1 ≤ t < 2n−12m − 1,

−1 si 2n−12m − 1 ≤ t < 2n

2m − 1,

0 en cualquier otro caso.

La prueba de que el sistema de Haar efectivamente es una base puede ser encontrada en [18]o en [19].

Además, el teorema 1.40 nos provee de una manera muy sencilla de construir otras sucesionesbásicas a partir de una dada.


Proposición 1.42 Sean X un espacio de Banach y {xn}∞n=1 una sucesión básica en X con

constante de base K. Supongamos que {mj}∞j=1 es una sucesión creciente de enteros con

m1 = 0, {aj}∞j=1 es una sucesión de escalares y que para toda j ∈ N

uj =mj+1∑

i=mj+1

aixi 6= 0.

Entonces la sucesión {uj}∞j=1 es una sucesión básica en X, llamada base bloque de

{xn}∞n=1, cuya constante de base es menor o igual a K.

Es bien conocido un resultado de álgebra lineal donde, usando el lema de Zorn, se pruebaque todo espacio vectorial tiene una base de Hamel. Lamentablemente, el resultado análogopara bases de Schauder no es cierto. Notemos que si un espacio de Banach X tiene baseentonces es separable, puesto que si {xn}∞n=1 es una base es claro que los elementos de Xde la forma

∑∞n=1 anxn con Re(an), Im(an) ∈ Q forman un subconjunto denso numerable

de X. Como `∞ no es separable (ver [9]), concluimos que no tiene base.

Es natural preguntarse ahora si todo espacio de Banach separable tiene una base. La pre-gunta fue planteada por Banach en su famoso libro [2], y se le conoce como el problemade la base. Ésta permaneció abierta por cuarenta años, hasta que �nalmente Per En�o larespondió negativamente en un artículo en 1973 [8], en el cual mostró un contraejemplore�exivo: para cada p 6= 2, el espacio Lp([0, 1], λ) (donde λ es la medida de Lebesgue), tieneun subespacio separable que no tiene base. Más recientemente, Andrzej Szankowski [26]demostró que B(H), el espacio de operadores lineales continuos de un espacio de Hilbert ensí mismo, también tiene subespacios separables que no tienen base.

Mas no todo está perdido: al menos es cierto que todo espacio de Banach de dimensiónin�nita contiene un subespacio que tiene una base (o equivalentemente, contiene una suce-sión básica). Este resultado tiene una historia interesante: frecuentemente se le atribuye aBanach puesto que apareció por primera vez en su libro [2], sin demostración, después deunos comentarios acerca del problema de la base. Por la manera en que Banach enuncia elresultado, parece que lo deja como un ejercicio sencillo para el lector.1 Sin embargo, ningunaprueba fue publicada durante los siguientes 26 años; fue hasta 1958 que se publicaron trespruebas, debidas a Bernard Gelbaum [10], Czesªaw Bessaga y Aleksander Peªczy«ski [3] yMahlon Day [5] (aunque la prueba de Day contenía un error que corrigió en otro artículo en1962 [6]). Como muestra de la fe en Banach, la revisión de [3] aparecida en Mathematical

Reviews se re�rió al logro de Bessaga y Peªczy«ski como una nueva prueba de un resultadoconocido.

Esta historia, como la de Fermat, deja abierta la pregunta de si Banach realmente teníauna prueba. Una posible pista apareció en un artículo de Peªczy«ski [22] en 1962, en elque muestra un método para construir sucesiones básicas, que atribuye a Stanisªaw Mazur,

1�Remarcons toutefois que tout espace du type (B) à une in�nité de dimensions renferme un ensemblelinéaire fermé à une in�nité de dimensions qui admet une base�.

12 1. Preliminares

con el cual se puede probar fácilmente que todo espacio de Banach de dimensión in�nitacontiene una sucesión básica. Parece probable que Banach conociera el método de Mazury lo haya tenido en mente cuando enunció el resultado. De cualquier modo, el resultado escierto y lo enunciamos a continuación.

Proposición 1.43 Todo espacio de Banach de dimensión in�nita contiene una sucesión

básica.

Una vez que sabemos que un espacio de Banach tiene una sucesión básica, una preguntainteresante es si ésta es única en el siguiente sentido.

De�nición 1.44 Dos sucesiones básicas {xn}∞n=1 y {yn}∞n=1 en un espacio de Banach son

equivalentes si para toda sucesión de escalares {an}∞n=1,∑∞

n=1 anxn converge si y sólo si∑∞n=1 anyn converge.

Proposición 1.45 Dos sucesiones básicas {xn}∞n=1 y {yn}∞n=1 en un espacio de Banach son

equivalentes si y sólo si existe K > 0 tal que para toda m ∈ N y toda sucesión de escalares

{ai}mi=1,

1K

∥∥∥∥∥m∑

i=1

aiyi

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥

m∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ≤ K

∥∥∥∥∥m∑

i=1

aiyi

∥∥∥∥∥ .

Si {xn}∞n=1 y {yn}∞n=1 cumplen esta desigualdad, diremos que son K-equivalentes.

El concepto de equivalencia resulta útil, mas es fácil ver que la respuesta a la pregunta dela unicidad no siempre es positiva, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.46 En c0, consideremos la base canónica {en}∞n=1 y la base sumante {sn}∞n=1

dada por sn =∑n

i=1 ei. Primero veri�quemos que esta última efectivamente es una base:

(i) Claramente sn 6= 0 para toda n ∈ N.

(ii) Sean n > m y a1, . . . , an escalares. Entonces∥∥∥∥∥m∑

i=1

aisi

∥∥∥∥∥ = supr≤m

∣∣∣∣∣m∑

i=r

ai

∣∣∣∣∣ = supr≤m

∣∣∣∣∣n∑

i=r

ai −n∑

i=m+1

ai

∣∣∣∣∣ ≤ 2

∥∥∥∥∥n∑

i=1

aisi

∥∥∥∥∥ .

(iii) Como e1 = s1 y ei = si − si−1 para i > 1, es claro que [sn]∞n=1 = c0.

Y por lo tanto del teorema 1.40 se sigue que {sn}∞n=1 es una base. Observemos que param ∈ N, ∥∥∥∥∥

m∑i=1

ei

∥∥∥∥∥ = 1, pero

∥∥∥∥∥m∑

i=1

si

∥∥∥∥∥ = m,

y entonces, por la proposición 1.45, las dos bases no son equivalentes.


De hecho, la respuesta es siempre negativa, pues se tiene el siguiente resultado [23]: si X esun espacio de Banach con base, entonces existe una in�nidad no numerable de bases de Xnormalizadas no equivalentes entre sí.

Por otro lado, si se tiene una sucesión básica seminormalizada, cualquier sucesión que estésu�cientemente cerca de ésta resulta ser básica y equivalente a la original, como muestra elsiguiente teorema, que es una modi�cación del teorema 6.20 de [9], y su prueba es esencial-mente la misma.

Teorema 1.47 Sean X un espacio de Banach y {xn}∞n=1 una sucesión básica seminorma-

lizada con constante de base K tal que para toda n ∈ N, M−1 ≤ ‖xn‖ ≤ M . Si {yn}∞n=1 es

una sucesión de elementos en X tal que

∞∑n=1

‖xn − yn‖ <1

4KM,

entonces {yn}∞n=1 es una sucesión básica 2-equivalente a {xn}∞n=1. Más aún, si {xn}∞n=1 es

una base de X entonces {yn}∞n=1 también lo es.

Como ya mencionamos antes, y a diferencia de otras propiedades como la re�exividad, tenerbase no es algo que se herede a los subespacios, mas es cierto que todo subespacio de unespacio con base tiene a su vez un subespacio con base; más aún, este último subespaciosiempre puede ser encontrado de modo que tenga una base arbitrariamente cercana a unabase bloque, como se detalla en el siguiente teorema.

Teorema 1.48 Sean X un espacio de Banach con base {xn}∞n=1 y ε > 0. Entonces, si F es

un subespacio de dimensión in�nita de X, existen una base bloque normalizada {un}∞n=1 en

X y un subespacio de dimensión in�nita G de F que tiene una base normalizada {yn}∞n=1,

tales que∞∑

n=1

‖yn − un‖ < ε.

El siguiente lema está relacionado con los dos anteriores.

Lema 1.49 Sea X un espacio de Banach con base {xn}∞n=1. Si {yn}∞n=1 es una sucesión

seminormalizada convergente a 0 en la topología débil de X, entonces {yn}∞n=1 tiene una

subsucesión equivalente a una base bloque de {xn}∞n=1.

Algunas bases, como las canónicas en c0 y `p, tienen la particularidad de que para cuales-quiera naturales n ≤ m ≤ k y escalares an, . . . , ak, si {xn}∞n=1 es la base,∥∥∥∥∥

m∑i=n

aixi

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥

k∑i=n

aixi

∥∥∥∥∥ .

Esto motiva la siguiente de�nición.

14 1. Preliminares

De�nición 1.50 Sea X un espacio de Banach con base {xn}∞n=1.

(i) {xn}∞n=1 se llama una base monótona si su constante de base es 1, o equivalente-

mente, si para cualquier m ∈ N y cualquier sucesión de escalares {an}m+1n=1 se tiene

que ∥∥∥∥∥m∑

n=1

anxn

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥

m+1∑n=1

anxn

∥∥∥∥∥ .

(ii) {xn}∞n=1 se llama una base bimonótona si es monótona y además para cualesquiera

naturales l < m y cualquier sucesión de escalares {an}mn=l se tiene que∥∥∥∥∥

m∑n=l+1

anxn

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥

m∑n=l

anxn

∥∥∥∥∥ .

1.5.2. Bases incondicionales

Otro tipo de bases que trataremos son las bases incondicionales, concepto basado en lanoción de convergencia incondicional.

De�nición 1.51 Sea {xn}∞n=1 una sucesión en un espacio de Banach X. Diremos que la

serie∑∞

n=1 xn converge incondicionalmente, si∑∞

n=1 xπ(n) converge para cualquier per-

mutación π de N.

Teorema 1.52 Sea {xn}∞n=1 una sucesión en un espacio de Banach X. Entonces las si-

guientes a�rmaciones son equivalentes:

(i) La serie∑∞

n=1 xn converge incondicionalmente.

(ii) Para toda ε > 0 existe N ∈ N tal que∥∥∑

n∈σ xn

∥∥ < ε para todo conjunto �nito σ ⊂ Ncon mınσ > N .

(iii) La serie∑∞

i=1 xni converge para cualquier sucesión de naturales n1 < n2 < · · ·

Ahora podemos de�nir el concepto de base incondicional.

De�nición 1.53 Una base {xn}∞n=1 en un espacio de Banach X se llama una base in-

condicional, si para toda x ∈ X su expansión∑∞

n=1 anxn en términos de la base, converge

incondicionalmente.

Teorema 1.54 Sea {xn}∞n=1 una base de un espacio de Banach X. Entonces las siguientes

a�rmaciones son equivalentes:

(i) {xn}∞n=1 es una base incondicional.

(ii) {xπ(n)}∞n=1 es una base de X para toda permutación π : N −→ N.


(iii) Existe una constante C tal que, para cualquier m ∈ N, para toda sucesión de escalares

{an}mn=1 y toda sucesión de escalares {εn}m

n=1 con |εn| ≤ 1 para 1 ≤ n ≤ m, se tiene

la desigualdad ∥∥∥∥∥m∑

n=1

εnanxn

∥∥∥∥∥ ≤ C

∥∥∥∥∥m∑

n=1

anxn

∥∥∥∥∥ .

Una base que satisface la condición (iii) para la constante C se llama C-incondicional .

Ejemplo 1.55 De (iii) en el teorema 1.54 es fácil ver que las bases canónicas de c0 y `p

(para 1 ≤ p < ∞) son incondicionales. Sean m ∈ N, {an}mn=1 una sucesión de escalares y

{εn}mn=1 una sucesión de escalares con |εn| ≤ 1 para 1 ≤ n ≤ m. Entonces,

(1) En c0, si {en}∞n=1 es la base canónica,∥∥∥∥∥m∑

n=1

εnanen

∥∥∥∥∥ = sup1≤n≤m

|εnan| ≤ sup1≤n≤m

|an| =

∥∥∥∥∥m∑

n=1

anen

∥∥∥∥∥ ,

y entonces, por el teorema 1.54, la base canónica de c0 es 1-incondicional.

(2) Para 1 ≤ p < ∞, en `p, si {en}∞n=1 es la base canónica,∥∥∥∥∥m∑

n=1

εnanen

∥∥∥∥∥ =

(m∑

n=1

|εnan|p)1/p

≤

(m∑

n=1

|an|p)1/p

=

∥∥∥∥∥m∑

n=1

anen

∥∥∥∥∥ ,

y entonces, por el teorema 1.54, la base canónica de `p es 1-incondicional.

También es fácil encontrar un ejemplo de una base que no es incondicional. Consideremosla base sumante {sn}∞n=1 en c0 del ejemplo 1.46, y las sucesiones de escalares {an}∞n=1 y{εn}∞n=1 dadas por an = εn = (−1)n para toda n ∈ N. Entonces∥∥∥∥∥

k∑n=1

εnansn

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥k∑

n=1

sn

∥∥∥∥∥ = k y

∥∥∥∥∥k∑

n=1

ansn

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥k∑

n=1

(−1)nsn

∥∥∥∥∥ = 1,

y por lo tanto de la parte (iii) teorema 1.54, {sn}∞n=1 no es una sucesión básica incondicional.

Lema 1.56 Si {xn}∞n=1 es una base incondicional seminormalizada en un espacio de Ba-

nach X, entonces {xn/ ‖xn‖}∞n=1 es una base equivalente a {xn}∞n=1.

1.5.3. Otras clases especiales de bases

Hay otros dos tipos de bases que también utilizaremos más adelante.

De�nición 1.57 Sea X un espacio de Banach con base {xn}∞n=1. Decimos que la base

{xn}∞n=1 es acotadamente completa si para toda sucesión de escalares {an}∞n=1 tal que

supn

∥∥∑ni=1 aixi

∥∥ < ∞, la serie∑∞

i=1 aixi converge.

16 1. Preliminares

Ejemplo 1.58 La base canónica de c0 no es acotadamente completa, puesto que

supn∈N

∥∥∥∥∥n∑

i=1

ei

∥∥∥∥∥ = 1,

pero la serie∑∞

i=1 ei no es convergente, ya que para cualesquiera naturales m 6= n tenemosque ‖

∑ni=1 ei −

∑mi=1 ei‖ = 1, y entonces la sucesión de sumas parciales no es de Cauchy.

Por otro lado, la base canónica en `p para 1 ≤ p < ∞ sí lo es. Si {ai}∞i=1 es una suce-

sión de escalares tal que supn ‖∑n

i=1 aiei‖ = M < ∞, entonces supn

(∑ni=1 |ai|p

)1/p = M ,

de donde(∑∞

i=1 |ai|p)1/p = M . Luego, para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que si m > n ≥ N

entonces(∑m

i=n |ai|p)1/p

< ε, y por lo tanto la sucesión de sumas parciales Sn =∑n

i=1 aiei

es de Cauchy y entonces la serie∑∞

i=1 aiei converge.

De�nición 1.59 Sea X un espacio de Banach con base {xn}∞n=1. Decimos que la base

{xn}∞n=1 es reductora si para toda funcional x∗ ∈ X∗ se tiene que

lımn→∞

∥∥∥x∗|[xi]∞i=n

∥∥∥ = 0.

Teorema 1.60 Sea X un espacio de Banach con base {xn}∞n=1. Entonces la sucesión de

funcionales biortogonales {x∗n}∞n=1 asociada a {xn}∞n=1 es una base de X∗ si y sólo si {xn}∞n=1

es una base reductora.

Ejemplo 1.61 A partir del teorema 1.60 es fácil mostrar que la base canónica en `p (para1 < p < ∞) y la de c0 son reductoras, mientras que la de `1 no, puesto que es sabido que:

(1) El dual de c0 es `1 y las funcionales biortogonales asociadas a la base canónica de c0

son la base canónica de `1.

(2) Para 1 < p < ∞, el dual de `p es `q con 1/p + 1/q = 1, y las funcionales biortogonalesasociadas a la base canónica de `p son la base canónica de `q.

(3) El dual de `1 es `∞, y `∞ no tiene base.

Esto puede se consultado, por ejemplo, en [9] y [19].

El siguiente resultado de R.C. James caracteriza a los espacios de Banach re�exivos conbase.

Teorema 1.62 Sea X un espacio de Banach con base {xn}∞n=1. Entonces, X es re�exivo

si y sólo si la base {xn}∞n=1 es reductora y acotadamente completa.

Otro teorema relacionado con el anterior

Teorema 1.63 Sea X un espacio de Banach con base incondicional {xn}∞n=1. Entonces, Xes re�exivo si y sólo si no contiene ningún subespacio cerrado isomorfo a c0 ni a `1.

Capítulo 2

Conjuntos asintóticos

Comenzamos este capítulo de�niendo los conjuntos asintóticos, que son fundamentales paraenunciar y probar el resultado principal de este capítulo (teorema 2.6): si un espacio normadoX contiene su�cientes conjuntos asintóticos, éstos pueden ser utilizados para construir unanorma equivalente en X que no tenga sucesiones básicas C-incondicionales para cierta C.

De�nición 2.1 Sea X un espacio normado. Decimos que un conjunto A ⊂ S(X) es asin-

tótico si A ∩ S(Y ) 6= ∅ para todo subespacio de dimensión in�nita (no necesariamente

cerrado) Y ⊂ X.

De�nición 2.2 Sean {An}∞n=1 una sucesión de subconjuntos de la esfera unitaria de un

espacio normado X y {A∗n}∞n=1 una sucesión de subconjuntos de la bola unitaria de X∗.

Decimos que ({An}∞n=1, {A∗n}∞n=1) es un sistema biortogonal asintótico con constante

δ si se satisfacen las siguientes condiciones:

(i) El conjunto An es asintótico para toda n ∈ N.

(ii) Para cada n ∈ N y cada x ∈ An existe x∗ ∈ A∗n tal que x∗(x) > 1− δ.

(iii) Para cada n, m ∈ N con n 6= m, cada x ∈ An y cada x∗ ∈ A∗m, |x∗(x)| < δ.

Bajo estas circunstancias, diremos que X contiene un sistema biortogonal asintótico. Si δ >1/2 existe un sistema asintótico biortogonal trivial, dado por An = S(X) y A∗

n = 12B(X∗)

para todo n ∈ N. Por otro lado, si δ ≤ 1/2 no es nada obvio que algún espacio de Banachcontenga un sistema biortogonal asintótico con constante δ.

Notemos que los An's están separados en el siguiente sentido: si n 6= m, x ∈ An y y ∈ Am,entonces existe x∗ ∈ A∗

n tal que x∗(x) > 1 − δ y |x∗(y)| < δ. Como x∗ ∈ B(X∗), tenemosque ‖x− y‖ ≥ ‖x∗‖ ‖x− y‖ ≥ |x∗(x− y)| ≥ |x∗(x)| − |x∗(y)| > 1− δ − δ = 1− 2δ.

Antes de pasar al resultado principal del capítulo, necesitaremos algunas de�niciones yresultados previos.

18 2. Conjuntos asintóticos

Proposición 2.3 Sean (X, ‖·‖) un espacio normado separable y ({An}∞n=1, {A∗n}∞n=1) un

sistema biortogonal asintótico con constante δ en X. Entonces existe un sistema biortogonal

asintótico con constante δ en X de la forma ({An}∞n=1, {Z∗n}∞n=1), donde para toda n ∈ N,

Z∗n ⊂ A∗

n y Z∗n es numerable.

Demostración. Como X es separable, existe un conjunto numerable {yk}∞k=1 ⊂ S(X) densoen S(X). Para cada k, n ∈ N sea αn

k = supx∗∈A∗nx∗(yk). Observemos que como A∗

n ⊂ B(X∗)y {yk}∞k=1 ⊂ S(X), αn

k ≤ 1 para cualesquiera n, k ∈ N. Además, para n, k ∈ N existe{x∗n,k,m}∞m=1 ⊂ A∗

n tal que lımm→∞ x∗n,k,m(yk) = αnk , puesto que αn

k es el supremo. SeaZ∗

n = {x∗n,k,m : k, m ∈ N}. Observemos que Z∗n es numerable. Ahora consideremos x ∈ An.

De la condición (ii) de la de�nición 2.2, existe x∗ ∈ A∗n tal que x∗(x) > 1 − δ. Sea rx =

x∗(x)− 1 + δ > 0. Como {yk}∞k=1 es denso en S(X), existe k ∈ N tal que ‖x− yk‖ < rx/4.Entonces, para cualquier z∗ ∈ B(X∗),

|z∗(x)− z∗(yk)| ≤ ‖z∗‖ ‖x− yk‖ < rx/4, (2.1)

y por lo tanto,αn

k ≥ x∗(x)− rx/4 = 1− δ + 3rx/4.

Ahora, sea m ∈ N tal que |x∗n,k,m(yk)− αnk | < rx/4. Entonces, por (2.1),

x∗n,k,m(x) > αnk − rx/4− rx/4 ≥ 1− δ + rx/4 > 1− δ.

Por lo tanto, para cada n ∈ N, Z∗n es un subconjunto numerable de A∗

n tal que para todax ∈ An existe x∗ ∈ Z∗

n con x∗(x) > 1− δ, es decir, se satisface (iii) para x ∈ An y x∗ ∈ Z∗n.

De�nición 2.4 Sean (X, ‖·‖) y ({An}∞n=1, {Z∗n}∞n=1) como en la proposición 2.3. Sea Z∗ =⋃∞

n=1 Z∗n. Como cada Z∗

n es numerable, Z∗ lo es y por lo tanto también lo son (Z∗)n ={(z∗1 , . . . , z∗n) : z∗i ∈ Z∗, 1 ≤ i ≤ n} para toda n ∈ N y

⋃∞n=1(Z

∗)n. Sea

σ :∞⋃

n=1

(Z∗)n → N \ {1}

una función inyectiva (existe porque el dominio es numerable). Una sucesión especial

de funcionales de longitud r (S.E.F.L.r) es una sucesión de la forma z∗1 , z∗2 , . . . , z

∗r

donde z∗1 ∈ Z∗1 y para 1 ≤ i < r se tiene que z∗i+1 ∈ Z∗

σ(z∗1 ,...,z∗i ). Una funcional especial de

longitud r es la suma de los elementos de una sucesión especial de longitud r. Denotaremos

por Γr a la colección de funcionales especiales de longitud r.

Evidentemente esta de�nición depende del espacio, el sistema biortogonal asintótico y lainyección, pero siempre quedará claro a cuáles nos estamos re�riendo.

Proposición 2.5 Sean (X, ‖·‖) y ({An}∞n=1, {Z∗n}∞n=1) como en la proposición 2.3. Enton-

ces, para cualquier r ∈ N la función

|‖x|‖ = ‖x‖ ∨ r sup{|z∗(x)| : z∗ ∈ Γr}

de�ne una norma en X equivalente a ‖·‖.

19

Demostración. Veri�quemos que cumple las condiciones necesarias:

(i) Para cualquier S.E.F.L.r z∗1 , z∗2 , . . . , z

∗r , de la desigualdad del triángulo se obtiene que∥∥∥∥∥

r∑i=1

z∗i

∥∥∥∥∥ ≤r∑

i=1

‖z∗i ‖ ≤ r (2.2)

Entonces, para x ∈ X y z∗ ∈ Γr, |z∗(x)| ≤ ‖z∗‖ ‖x‖ ≤ r ‖x‖. Luego, el conjunto{|z∗(x)| : z∗ ∈ Γr} está acotado y por lo tanto |‖x|‖ está bien de�nida.

(ii) Como | · | y ‖·‖ son funciones no negativas, |‖x|‖ ≥ 0 para toda x ∈ X y además si|‖x|‖ = 0 entonces ‖x‖ = 0 y por lo tanto x = 0.

(iii) Para cualesquiera x ∈ X y λ un escalar,

|‖λx|‖ = ‖λx‖ ∨ r sup{|z∗(λx)| : z∗ ∈ Γr} = |λ| ‖x‖ ∨ r sup{|λ||z∗(x)| : z∗ ∈ Γr}= |λ| ‖x‖ ∨ |λ|r sup{|z∗(x)| : z∗ ∈ Γr} = |λ| |‖x|‖ .

(iv) Sean x, y ∈ X. De la desigualdad del triángulo para ‖·‖ y | · | obtenemos que ‖x + y‖ ≤‖x‖ + ‖y‖ y que para toda z∗ ∈ X∗ se tiene que |z∗(x + y)| = |z∗(x) + z∗(y)| ≤|z∗(x)|+ |z∗(y)|. Luego,

r sup{|z∗(x + y)| : z∗ ∈ Γr} ≤ r sup{|z∗(x)|+ |z∗(y)| : z∗ ∈ Γr}≤ r sup{|z∗(x)| : z∗ ∈ Γr}+ r sup{|z∗(y)| : z∗ ∈ Γr}.

Por lo tanto,

|‖x + y|‖ ≤ (‖x‖+ ‖y‖) ∨ (r sup{|z∗(x)| : z∗ ∈ Γr}+ r sup{|z∗(y)| : z∗ ∈ Γr}).

Por otro lado, de la de�nición de |‖·|‖, ‖x‖ ≤ |‖x|‖ y r sup{|z∗(x)| : z∗ ∈ Γr} ≤ |‖x|‖.Usando lo mismo para y, obtenemos que ‖x‖+ ‖y‖ ≤ |‖x|‖+ |‖y|‖ y

r sup{|z∗(x)| : z∗ ∈ Γr}+ r sup{|z∗(y)| : z∗ ∈ Γr} ≤ |‖x|‖+ |‖y|‖ .

De todo esto se sigue que |‖x + y|‖ ≤ |‖x|‖+ |‖y|‖.

(v) Como ya mencionamos, ‖x‖ ≤ |‖x|‖ para toda x ∈ X.

(vi) Para todo z∗ ∈ Γr, ‖z∗‖ ≤ r por (2.2). Luego, para x ∈ X,

|‖x|‖ = ‖x‖ ∨ r sup{|z∗(x)| : z∗ ∈ Γr} ≤ ‖x‖ ∨ r sup{‖z∗‖ ‖x‖ : z∗ ∈ Γr}≤ ‖x‖ ∨ r · r ‖x‖ = r2 ‖x‖ .

Por lo tanto, |‖·|‖ es una norma en X equivalente a ‖·‖.

El resultado principal de este capítulo es el siguiente teorema.


Teorema 2.6 Sean 0 < δ < 1/36 y X un espacio normado separable que contiene un

sistema biortogonal asintótico con constante δ. Entonces existe una norma equivalente en

X tal que ninguna sucesión básica es 1/√

36δ-incondicional.

Demostración. Sean ‖·‖ la norma original en X y ({An}∞n=1, {A∗n}∞n=1) el sistema biortogonal

asintótico con constante δ en X. Usando las proposiciones 2.3 y 2.5 con r = bδ−1/2c, dondebδ−1/2c denota al mayor entero menor o igual a δ−1/2, de�nimos la norma |‖·|‖.

Ahora sea {xn}∞n=1 cualquier sucesión básica en X. Probaremos que no es (r − 1)/4-incondicional en la norma |‖·|‖, lo cual probará el teorema puesto que como 0 < δ < 1/36,entonces 6 < δ−1/2 y además, como r = bδ−1/2c, entonces r ≤ δ−1/2 < r + 1 y por lo tantoδ−1/2 − 1 < r. Combinando ambas desigualdades,

r − 14

>δ−1/2 − 2

4=

23δ−1/2 + 1

3δ−1/2 − 24

>23δ−1/2 + 1

36− 24

=23δ−1/2

4=

δ−1/2

6=

1√36δ

.

Sea X1 el subespacio algebraico generado por {xi}∞i=1. Como A1 es un conjunto asintóticoy X1 es de dimensión in�nita, existe z1 ∈ A1 ∩ X1. Esto implica que ‖z1‖ = 1 y que z1 escombinación lineal de un número �nito de los xi. Enseguida, podemos hallar z∗1 ∈ Z∗

1 tal quez∗1(z1) > 1− δ. Ahora, sea X2 el subespacio algebraico generado por todos los xi excepto losusados para generar z1. Como Aσ(z∗1 ) es asintótico y X2 es de dimensión in�nita, podemosencontrar z2 ∈ Aσ(z∗1 ) ∩ X2 que tiene norma 1 y es combinación lineal de un número �nitode los xi. Además, podemos encontrar z∗2 ∈ Z∗

σ(z∗1 ) tal que z∗2(z2) > 1− δ.

Continuando este proceso, obtenemos sucesiones z1, . . . , zr y z∗1 , . . . , z∗r con las siguientes

propiedades:

(i) ‖zi‖ = 1 para 1 ≤ i ≤ r.

(ii) z∗1 ∈ Z∗1 y z∗i+1 ∈ Z∗

σ(z∗1 ,...,z∗i ) para 1 ≤ i < r (i.e. z∗1 , . . . , z∗r es una S.E.F.L.r).

(iii) z∗i (zi) > 1− δ para 1 ≤ i ≤ r.

(iv) Como σ es una inyección con imagen contenida en N \ {1}, si 1 ≤ i, j ≤ r e i 6= jentonces σ(z∗1 , . . . , z

∗i ) 6= σ(z∗1 , . . . , z

∗j ), y por lo tanto |z∗i (zj)| < δ.

Ahora estimemos |‖∑r

i=1 zi|‖. Como z∗1 + · · · + z∗r es una funcional especial de longitud r,por la de�nición de la norma tenemos∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

r∑i=1

zi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≥ r

(r∑

i=1

z∗i

) r∑j=1

zj

= r

∑i=j

z∗i (zj) +∑i6=j

z∗i (zj)

> r(r(1− δ)− r(r − 1)δ

)= r(r − rδ − r2δ + rδ) = r(r − r2δ) ≥ r(r − 1),

(2.3)

donde la última desigualdad se sigue de que 0 < r ≤ δ−1/2.

21

Por otro lado, si {w∗i }r

i=1 es cualquier sucesión especial de longitud r, sea t el índice máximotal que w∗

i = z∗i para 1 ≤ i ≤ t (o bien cero si w∗1 6= z∗1). Entonces, de la desigualdad del

triángulo,

∣∣∣∣∣r∑

i=1

(−1)iw∗i (zi)

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣

t∑i=1

(−1)iw∗i (zi)

∣∣∣∣∣+ |w∗t+1(zt+1)|+

r∑i=t+2

|w∗i (zi)|.

Recordemos que z∗1 , w∗1 ∈ A∗

1 y para 1 < l ≤ r, w∗l ∈ A∗

σ(w∗1 ,...,w∗l−1) y z∗l ∈ A∗σ(z∗1 ,...,z∗l−1). Como

σ es una inyección y el 1 no está en su imagen, w∗i y z∗j pertenecen a diferentes conjuntos

A∗n en los siguientes casos:

(1) Si i < j o i > j:(w∗

1, . . . , w∗i−1) y (z∗1 , . . . , z

∗j−1) son sucesiones de tamaños distintos, por lo que

σ(w∗1, . . . , w

∗i−1) 6= σ(z∗1 , . . . , z

∗j−1).

(2) Si i = j > t + 1:Por de�nición de t, w∗

t+1 6= z∗t+1. Luego,

(w∗1, . . . , w

∗t+1, . . . , w

∗i−1) 6= (z∗1 , . . . , z

∗t+1, . . . , z

∗j−1),

y entonces

σ(w∗1, . . . , w

∗i−1) 6= σ(z∗1 , . . . , z

∗j−1).

Por la propiedad (iii) en la de�nición 2.2, en estos dos casos se tiene que |w∗i (zj)| < δ. En

particular,∑r

i=t+2 |w∗i (zi)| < δr y

∑i6=j |w∗

i (zj)| < δr(r − 1). Cuando i ≤ t sabemos que

1 − δ < w∗i (zi) ≤ 1 y entonces

∣∣∑ti=1(−1)iw∗

i (zi)∣∣ ≤ 1 + δt/2 (puesto que |(−1)iw∗

i (zi) +(−1)i+1w∗

i+1(zi+1)| < δ). Se sigue que

∣∣∣∣∣r∑

i=1

(−1)iw∗i (zi)

∣∣∣∣∣ ≤ 1 + δr/2 + 1 + δr ≤ 2(1 + δr). (2.4)

Finalmente, de la desigualdad del triángulo obtenemos

∥∥∥∥∥r∑

i=1

(−1)izi

∥∥∥∥∥ ≤r∑

i=1

∥∥(−1)izi

∥∥ = r. (2.5)


Usando 0 < r ≤ δ−1/2, (2.4), (2.5) y que r2 > r puesto que r ≥ 6, encontramos que∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

r∑i=1

(−1)izi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥r∑

i=1

(−1)izi

∥∥∥∥∥ ∨ r sup

{∣∣∣∣∣z∗(

r∑i=1

(−1)izi

)∣∣∣∣∣ : z∗ ∈ Γr

}

≤ r ∨ r sup

∣∣∣∣∣∣ r∑

j=1

w∗j

( r∑i=1

(−1)izi

)∣∣∣∣∣∣ : w∗1, . . . , w

∗r es una S.E.F.L.r

≤ r ∨ r sup

∣∣∣∣∣∣∑i=j

(−1)iw∗j (zi)

∣∣∣∣∣∣+∑i6=j

|w∗j (zi)| : w∗

1, . . . , w∗r es una S.E.F.L.r

≤ r ∨ r

(2(1 + δr) + δr(r − 1)

)= r ∨ r(2 + 2δr + δr2 − δr)

= r ∨ r(2 + δr + δr2) = r(2 + δr + δr2) < r(2 + 2δr2) ≤ 4r.

De lo anterior se sigue, usando (2.3)

(r − 1)

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

r∑i=1

(−1)izi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ < 4r(r − 1) ≤ 4

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

r∑i=1

zi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

es decirr − 1

4

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

r∑i=1

(−1)izi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ <

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

r∑i=1

zi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ .

Ahora bien, como cada zi es combinación lineal de un número �nito de los xn, zn ∈ Xn yXn ∩Xm = {0} si n 6= m, esto se puede escribir como

r − 14

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

m∑n=1

anxn

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ <

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

m∑n=1

εnanxn

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

para una cierta sucesión {an}mn=1 y εn ∈ {1,−1} para 1 ≤ n ≤ m, lo cual prueba que la

sucesión {xn}∞n=1 no es (r − 1)/4-incondicional en la norma |‖·|‖.

Capítulo 3

Los espacios de Schlumprecht

En este capítulo consideraremos el espacio de Schlumprecht [24], el primer ejemplo conocidode un espacio que es λ-distorsionable para todo λ. El resultado principal de este capítulo esprobar precisamente esto. Para demostrarlo seguiremos la estrategia que usaron Gowers yMaurey en [13].

3.1. Espacios distorsionables

Recordemos la de�nición de espacio distorsionable.

De�nición 3.1 Un espacio normado de dimensión in�nita (Y, ‖·‖) es λ-distorsionable si

existe una norma |‖·|‖ en Y equivalente a ‖·‖ tal que para todo subespacio de dimensión

in�nita Z ⊂ Y

sup{|‖z1|‖|‖z2|‖

: z1, z2 ∈ Z, ‖z1‖ = ‖z2‖ = 1}≥ λ.

Un espacio es distorsionable si es λ-distorsionable para algún λ > 1, y es arbitraria-

mente distorsionable si es λ-distorsionable para todo λ > 1,

Primero, veremos que existen espacios no distorsionables, un resultado probado por James[16].

Proposición 3.2 `1 y c0 no son distorsionables.

Demostración. Consideremos el espacio `1 con su norma usual ‖·‖, y sea |‖·|‖ una normapara `1 equivalente a ‖·‖. Luego, por la proposición 1.10, existe una constante M > 0 talque M−1 |‖x|‖ ≤ ‖x‖ ≤ M |‖x|‖ para toda x ∈ `1. Sean {Pn}∞n=1 las proyecciones asociadasa la base canónica de `1 (véase la proposición 1.38), y para n ∈ N de�namos

λn = sup{‖x‖ : |‖x|‖ = 1, Pnx = 0}.

Claramente λn ↓ λ para algún M ≥ λ ≥ M−1. Sea ε > 0, y sea n0 ∈ N tal que λn0 < λ(1+ε).Veamos que podemos construir una base bloque {yk}∞k=1 de la base canónica de `1 tal quepara toda k ∈ N, |‖yk|‖ = 1, Pn0yk = 0 y ‖yk‖ ≥ λ/(1 + ε).

24 3. Los espacios de Schlumprecht

Para m ∈ N, sea Xm = [ei]∞i=m, donde {ei}∞i=1 es la base canónica de `1. Observemosque para toda n ∈ N,

λn = sup{‖x‖|‖x|‖

: x ∈ Xn+1 \ {0}}

.

Como la función h : Xn0+1 \ {0} → R dada por h(x) = ‖x‖ / |‖x|‖ es una función con-tinua y 〈ei〉∞i=n0+1 \ {0} es denso en Xn0+1 \ {0}, existe y′1 ∈ 〈ei〉∞i=n0+1 \ {0} tal que‖y′1‖ / |‖y′1|‖ > λn0/(1+ε) ≥ λ/(1+ε). Tomando y1 = y′1/ |‖y′1|‖, obtenemos que |‖y1|‖ = 1,Pn0y1 = 0 y ‖y1‖ ≥ λ/(1+ε). Como y1 es una combinación lineal de un número �nito de losei, existe n1 > n0 tal que Pn1y1 = 0. Análogamente podemos encontrar y2 ∈ 〈ei〉∞i=n1+1\{0}tal que |‖y2|‖ = 1, Pn2y2 = 0 y ‖y2‖ ≥ λ/(1 + ε). Procediendo inductivamente construimosuna base bloque {yk}∞k=1 que satisface las condiciones pedidas.

Sean Zε = [yk]∞k=1 y z1, z2 ∈ Zε con ‖z1‖ = ‖z2‖ = 1. De la de�nición de Zε, como {yk}∞k=1

es base bloque de {ei}∞i=1, existen escalares {ak}∞k=1 y {bk}∞k=1 tales que z1 =∑∞

k=1 akyk yz2 =

∑∞k=1 bkyk. Observemos que de la desigualdad del triángulo,

|‖z1|‖ =

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥∞∑

k=1

akyk

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≤

∞∑k=1

|ak| |‖yk|‖ =∞∑

k=1

|ak|.

Aparte,

1 = ‖z1‖ =

∥∥∥∥∥∞∑

k=1

akyk

∥∥∥∥∥ =∞∑

k=1

|ak| ‖yk‖ ≥λ

1 + ε

∞∑k=1

|ak|,

y así

|‖z1|‖ ≤1 + ε

λ. (3.1)

Por otro lado, claramente Pn0(z2) = 0, y entonces de la de�nición de λn0 se sigue queλn0 ≥ ‖z2‖/ |‖z2|‖ = |‖z2|‖−1, de donde

|‖z2|‖−1 ≤ λn0 ≤ λ(1 + ε). (3.2)

Luego, de (3.1) y (3.2),|‖z1|‖|‖z2|‖

≤ 1 + ε

λλ(1 + ε) = (1 + ε)2,

y por lo tanto

sup{|‖z1|‖|‖z2|‖

: z1, z2 ∈ Zε, ‖z1‖ = ‖z2‖ = 1}≤ (1 + ε)2.

Como ınfε>0(1 + ε)2 = 1, concluimos que `1 no es µ-distorsionable para ninguna µ > 1, yentonces no es distorsionable.

3.1. Espacios distorsionables 25

La prueba para c0 es similar. Por comodidad, consideraremos solamente valores de ε ta-les que 1− 4ε− ε2 > 0. Sea ahora

λn = ınf{‖x‖ : |‖x|‖ = 1, Pnx = 0}.

Usando un argumento análogo al empleado con `1, λn ↑ λ con M ≥ λ ≥ M−1, y existen unn0 ∈ N tal que λn0 > λ/(1+ ε) y una base bloque {yk}∞k=1 de la base canónica de c0 tal quepara toda k ∈ N, |‖yk|‖ = 1, Pn0yk = 0 y ‖yk‖ ≤ λ(1 + ε).

Ahora sean Zε = [yk]∞k=1 y z, z1, z2 ∈ Zε con ‖z1‖ = ‖z2‖ = 1. De la de�nición de Zε,como {yk}∞k=1 es base bloque de {ei}∞i=1, existen escalares {ak}∞k=1, {bk}∞k=1 y {ck}∞k=1 talesque z1 =

∑∞k=1 akyk, z2 =

∑∞k=1 bkyk y z =

∑∞k=1 ckyk. Claramente, Pn0z1 = 0, y entonces

de la de�nición de λn0 se sigue que λn0 ≤ ‖z1‖/ |‖z1|‖ = |‖z1|‖−1, de donde

|‖z1|‖ ≤ λ−1n0

<1 + ε

λ. (3.3)

Análogamente,

|‖z|‖ ≤ 1λn0

‖z‖ ≤ 1 + ε

λ

∥∥∥∥∥∞∑

k=1

ckyk

∥∥∥∥∥ =1 + ε

λsup

k|ck| ‖yk‖

≤ 1 + ε

λλ(1 + ε) sup

k|ck| = (1 + ε)2 sup

k|ck|.

(3.4)

Por otro lado,

1 = ‖z2‖ =

∥∥∥∥∥∞∑

k=1

bkyk

∥∥∥∥∥ = supk|bk| ‖yk‖ ≤ λ(1 + ε) sup

k|bk|,

de donde supk |bk| ≥ λ−1(1 + ε)−1. Sea k0 ∈ N tal que |bk0 | > (1− ε) supk |bk|. De (3.4),∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥∞∑

k=1

bkyk − 2bk0yk0

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≤ (1 + ε)2 sup

k|bk|.

Luego, de la desigualdad del triángulo,

|‖z2|‖ =

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥∞∑

k=1

bkyk

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≥ |‖2bk0yk0 |‖ −

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥∞∑

k=1

bkyk − 2bk0yk0

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

≥ 2(1− ε) supk|bk| − (1 + ε)2 sup

k|bk|

≥(2(1− ε)− (1 + ε)2

) 1λ(1 + ε)

= (1− 4ε− ε2)1

λ(1 + ε).

(3.5)

Así, de (3.3) y (3.5),

|‖z1|‖|‖z2|‖

≤ 1 + ε

λ

λ(1 + ε)1− 4ε− ε2

=(1 + ε)2

1− 4ε− ε2=

(1 + ε)2 − 4ε− ε2 + 4ε + ε2

1− 4ε− ε2

= 1 +6ε + 2ε2

1− 4ε− ε2,


y por lo tanto

sup{|‖z1|‖|‖z2|‖

: z1, z2 ∈ Zε, ‖z1‖ = ‖z2‖ = 1}≤ 1 +

6ε + 2ε2

1− 4ε− ε2,

de donde concluimos que c0 no es µ-distorsionable para ninguna µ > 1 y por lo tanto no esdistorsionable.

Ahora probaremos que la propiedad de ser arbitrariamente distorsionable se preserva bajoisomor�smos.

Proposición 3.3 Sean X y Y dos espacios normados isomorfos de dimensión in�nita. Si

X es arbitrariamente distorsionable, entonces Y también lo es.

Demostración. Denotaremos por ‖·‖X y ‖·‖Y a las normas de X y Y , respecivamente. SeaT : X → Y un isomor�smo. Entonces existe K ≥ 1 tal que para toda x ∈ X,

1K‖x‖X ≤ ‖Tx‖Y ≤ K ‖x‖X . (3.6)

Sea λ > 1. Como X es arbitrariamente distorsionable, existe una norma |‖·|‖X para Xequivalente a ‖·‖X tal que para todo subespacio de dimensión in�nita W de X,

sup{ |‖w1|‖X

|‖w2|‖X

: w1, w2 ∈ W, ‖w1‖X = ‖w2‖X = 1}≥ K2λ. (3.7)

De�namos una función |‖·|‖Y : Y → R por |‖y|‖Y =∣∣∥∥T−1y

∣∣∥∥X

para toda y ∈ Y . Clara-mente es una norma para Y , y es equivalente a ‖·‖Y .

Ahora sea Z un subespacio de Y de dimensión in�nita. Entonces T−1Z es un subespa-cio de dimensión in�nita de X, y por (3.7), dado ε > 0 existen x1, x2 ∈ T−1Z tales que‖x1‖X = ‖x2‖X = 1 y

|‖x1|‖X

|‖x2|‖X

> K2(λ− ε). (3.8)

Sean z1 = Tx1/ ‖Tx1‖Y y z2 = Tx2/ ‖Tx2‖Y . Observemos que z1, z2 ∈ Z y ‖z1‖Y =‖z2‖Y = 1. Ahora, por (3.6) y (3.8),

|‖z1|‖Y

|‖z2|‖Y

=|‖x1|‖X

|‖x2|‖X

·‖Tx2‖Y

‖Tx1‖Y

≥|‖x1|‖X

|‖x2|‖X

·1K ‖x2‖X

K ‖x1‖X

> K2(λ− ε) · 1K2

= λ− ε,

de donde

sup{ |‖z1|‖Y

|‖z2|‖Y

: z1, z2 ∈ Z, ‖z1‖Y = ‖z2‖Y = 1}≥ λ.

Por lo tanto, Y es λ-distorsionable, y entonces es arbitrariamente distorsionable.

Como se mencionó en la introducción, hasta antes de la construcción del espacio de Schlum-precht solamente se sabía de la existencia de espacios distorsionables y no distorsionables,

3.2. La clase F y sus propiedades 27

mas no de arbitrariamente distorsionables. En este capítulo de�nimos una clase de espaciosque son una generalización del construido por Schlumprecht, a los que hemos llamado �losespacios de Schlumprecht� y probamos que algunos de ellos son arbitrariamente distorsio-nables, y no son isomorfos entre sí.

3.2. La clase F y sus propiedades

La de�nición de los espacios de Schlumprecht y las pruebas de varios resultados acerca deespacios de su tipo, se basan en las propiedades de ciertas funciones, que enunciaremos yprobaremos en esta sección.

De�nición 3.4 La clase F consiste de las funciones f : [1,∞) → [1,∞) que satisfacen:

(i) f(1) = 1 y f(x) < x para toda x > 1.

(ii) f(x) →∞ cuando x →∞.

(iii) lımx→∞ x−qf(x) = 0 para toda q > 0.

(iv) La función x/f(x) es cóncava.

(v) f es submultiplicativa, es decir, f(xy) ≤ f(x)f(y) para cualesquiera x, y ≥ 1.

(vi) La derivada por la derecha de f en 1 es positiva.

Primero veamos que las primeras cinco condiciones implican que f y x/f(x) son crecientes,y que la derivada mencionada en (vi) existe.

Proposición 3.5 Sea f : [1,∞) → [1,∞) que satisface las condiciones (i) a (v) de la

de�nición 3.4. Entonces f y x/f(x) son estrictamente crecientes.

Demostración. Sea y > 1. Supongamos que f(y) = 1. Entonces, por (v)

1 ≤ f(y2) ≤ f(y)f(y) = 1,

de donde f(y2) = 1. Razonando inductivamente, f(y2n) = 1 para toda n ∈ N, lo cual

contradice (ii). Ahora, sean 1 < x < y. Entonces existe 0 < λ < 1 tal que x = λ + (1− λ)y.Por (iv),

x

f(x)≥ λ + (1− λ)

y

f(y),

de donde

f(x) ≤ x

λ + (1− λ) yf(y)

= f(y)λ + (1− λ)y

λf(y) + (1− λ)y.

Como f(y) > 1 y λ > 0, λ + (1 − λ)y < λf(y) + (1 − λ)y, y entonces f(x) < f(y). Por lotanto, f es estrictamente creciente.


Sean 1 ≤ x < y. Entonces 1 < y/x, de donde, por (v)

f(y) = f(y

xx)≤ f

(y

x

)f(x),

y por lo tanto, por (i),f(y)f(x)

≤ f(y

x

)<

y

x.

Luego,x

f(x)<

y

f(y),

y por tanto la función x/f(x) es estrictamente creciente.

Proposición 3.6 Sea f : [1,∞) → [1,∞) que satisface las condiciones (i) a (v) de la

de�nición 3.4. De�namos F : [1,∞) → [1,∞) por F (x) = x/f(x) para x ∈ [1,∞). Entonces:

(i) Para toda x ≥ 1 existen f ′(x) y F ′(x), las derivadas por la derecha en x de f y F ,

respectivamente.

(ii) Para toda x ≥ 1, F ′(x) = suph>0F (x+h)−F (x)

h .

(iii) 1 ≥ f ′(1) ≥ 0.

Demostración. Observemos que para (i) basta comprobar que F ′ existe, puesto que f(x) =x/F (x). Para ello recordemos que de la de�nición de F , F es cóncava, y por la proposición3.5 F y f son estrictamente crecientes. Sean x ≥ 1 y h > 0. Entonces f(x)− f(x + h) ≤ 0,y

F (x + h)− F (x)h

=1h

[x + h

f(x + h)− x

f(x)

]=

xf(x) + hf(x)− xf(x + h)hf(x)f(x + h)

=x(f(x)− f(x + h)

)+ hf(x)

hf(x)f(x + h)≤ hf(x)

hf(x)f(x + h)=

1f(x + h)

≤ 1f(x)

.

Ahora sean 0 < h < H. De la condición de concavidad, si α es tal que αx+(1−α)(x+H) =x + h entonces αx + x + H −αx−αH = x + h, y α = (H − h)/H. Por la concavidad de F ,

F (x + h) ≥ αF (x) + (1− α)F (x + H).

De donde tenemos que

F (x + h) ≥ H − h

HF (x) +

h

HF (x + H),

y por lo tantoH[F (x + h)− F (x)

]≥ h

[F (x + H)− F (x)

],

es decir,F (x + h)− F (x)

h≥ F (x + H)− F (x)

H.


Así, para h > 0 la función F (x+h)−F (x)h es no creciente (como función de h) y está acotada

por arriba por 1/f(x), y por lo tanto existe

lımh↓0

F (x + h)− F (x)h

= suph>0

F (x + h)− F (x)h

= F ′(x) ≤ 1f(x)

.

Por otro lado,

f ′(1) = lımh↓0

f(1 + h)− f(1)h

≤ lımh↓0

1 + h− 1h

= 1.

y además,

f ′(1) = lımh→0+

f(1 + h)− f(1)h

≥ 0,

puesto que f es creciente.

Ahora probaremos que la clase F es no vacía.

Proposición 3.7 La función f(x) = log2(x + 1) pertenece a la clase F .

Demostración. Veri�quemos que satisface las propiedades:

(i) f(1) = log2(1 + 1) = log2 2 = 1. Por otro lado, como e < 4, resulta

1 = ln e < ln 4 = 2 ln 2.

Y entonces, para x > 1, 1 < (x+1) ln 2, es decir, [(x+1) ln 2]−1 < 1. Luego, integrando,para x > 1,

f(x)− 1 =ln(x + 1)

ln 2− ln(1 + 1)

ln 2=∫ x

1[(t + 1) ln 2]−1 dt <

∫ x

11 dt = x− 1,

y por lo tanto, f(x) < x.

(ii) Claramente, lımx→∞ f(x) = ∞.

(iii) Es bien sabido que lımx→∞ x−q lnx = 0 para cualquier q > 0. Por lo tanto, lımx→∞ x−qf(x) =0 para toda q > 0.

(iv) Calculamos

d

dx

x

f(x)= ln 2

d

dx

x

ln(x + 1)= ln 2

ln(x + 1)− x/(x + 1)[ln(x + 1)]2

= ln 2(x + 1) ln(x + 1)− x

(x + 1)[ln(x + 1)]2.

Ahora bien, para x ≥ 0 se tiene

d

dx

((x + 1) ln(x + 1)− x

)=

x + 1x + 1

+ ln(x + 1)− 1 = ln(x + 1) ≥ 0, (3.9)

por lo tanto, puesto que (0 + 1) ln(0 + 1)− 0 = 0, para x ≥ 0 resulta

(x + 1) ln(x + 1)− x ≥ 0. (3.10)


Por otro lado, usando (3.9), ddx

((x + 1) ln(x + 1)− x

)= ln(x + 1) y entonces

d2

dx2

x

f(x)=

ln 2(x + 1)2[ln(x + 1)]4

((x + 1)[ln(x + 1)]2 [ln(x + 1)]

− [(x + 1) ln(x + 1)− x][(x + 1)

2 ln(x + 1)x + 1

+ [ln(x + 1)]2])

=ln 2

(x + 1)2[ln(x + 1)]3

((x + 1)[ln(x + 1)]2

− [(x + 1) ln(x + 1)− x] [2 + ln(x + 1)])

=ln 2

(x + 1)2[ln(x + 1)]3(− 2(x + 1) ln(x + 1) + 2x + x ln(x + 1)

)= ln 2

2x− (x + 2) ln(x + 1)(x + 1)2[ln(x + 1)]3

.

Observemos que 2 · 0− (0 + 2) ln(0 + 1) = 0, y además, por (3.10), si x ≥ 0,

d

dx

(2x− (x + 2) ln(x + 1)

)= 2− ln(x + 1)− x + 2

x + 1=

x− (x + 1) ln(x + 1)x + 1

≤ 0.

Por lo tanto, si x ≥ 0 tenemos que

2x− (x + 2) ln(x + 1) ≤ 0, (3.11)

y entonces para x ≥ 1 se tiene que d2

dx2x

f(x)≤ 0, de donde concluimos que x

f(x)es

cóncava.

(v) Consideremos x ≥ 1 �jo. Sea g(y) = f(xy)− f(x)f(y). Observemos que para y ≥ 1,

d

dyg(y) = xf ′(xy)− f(x)f ′(y) =

x

(xy + 1) ln 2− ln(x + 1)

ln 21

(y + 1) ln 2

= (ln 2)−2

(x ln 2xy + 1

− ln(x + 1)y + 1

)= (ln 2)−2

(x(y + 1) ln 2− (xy + 1) ln(x + 1)

(xy + 1)(y + 1)

).

(3.12)

Sea h(y) = x(y + 1) ln 2− (xy + 1) ln(x + 1). Observemos que para y ≥ 1,

d

dyh(y) = x ln 2− x ln(x + 1) = x

(ln 2− ln(x + 1)

)≤ 0. (3.13)

Ahora evaluamos h(1) = (2 ln 2)x− (x+1) ln(x+1). Observemos que (2 ln 2) ·1− (1+1) ln(1 + 1) = 0, y para t ≥ 1,

d

dt

((2 ln 2)t− (t + 1) ln(t + 1)

)= 2 ln 2− (t + 1)

1t + 1

− ln(t + 1)

= 2 ln 2− 1− ln(t + 1)≤ 2 ln 2− 1− ln 2 = ln 2− 1 < 0,


y por lo tanto (2 ln 2)t − (t + 1) ln(t + 1) ≤ 0 para cualquier t ≥ 1. En particular,h(1) ≤ 0. Por lo tanto, por (3.13), h(y) ≤ 0 para cualquier y ≥ 1. Luego, por (3.12),ddyg(y) ≤ 0 para cualquier y ≥ 1. Como g(1) = 0 para toda x ≥ 1, concluimos que

g(y) ≤ 0 para cualquier y ≥ 1. Por lo tanto, f(xy) ≤ f(x)f(y) para cualesquierax, y ≥ 1.

(vi) f ′(1) = [(1 + 1) ln 2]−1 > 0.

Por lo tanto, f ∈ F .

La siguiente proposición nos permite construir una in�nidad de funciones en la clase Fa partir de f .

Proposición 3.8 fp ∈ F para 0 < p < 1.

Demostración. Sea 0 < p < 1. Entonces:

(i) [f(1)]p = 1p = 1 y para x > 1, 1 < f(x) < x y por lo tanto [f(x)]p < xp < x.

(ii) Como f(x) tiende a in�nito cuando x →∞, [f(x)]p también.

(iii) Para x ≥ 1 y q > 0 tenemos 0 ≤ x−q[f(x)]p ≤ x−qf(x) (puesto que f(x) ≥ 1). Por lotanto, del lema del sándwich, lımx→∞ x−q[f(x)]p = 0.

(iv) Consideremos x ≥ 1. Entonces

d

dx

x

[f(x)]p= [ln 2]p

d

dx

x

[ln(x + 1)]p= [ln 2]p

[ln(x + 1)]p − xp[ln(x + 1)]p−1 1x+1

ln(x + 1)]2p

= [ln 2]p(x + 1)[ln(x + 1)]p − xp[ln(x + 1)]p−1

(x + 1)[ln(x + 1)]2p.

(3.14)

Por otro lado,

d

dx

((x + 1)[ln(x + 1)]p − xp[ln(x + 1)]p−1

)= [ln(x + 1)]p

+ (x + 1)p[ln(x + 1)]p−1 1x+1 − p[ln(x + 1)]p−1 − xp(p− 1)[ln(x + 1)]p−2 1

x+1

= [ln(x + 1)]p − xp(p− 1)[ln(x + 1)]p−2 1x+1

= 1x+1

((x + 1)[ln(x + 1)]p − xp(p− 1)[ln(x + 1)]p−2

).

(3.15)


Luego, de (3.14) y (3.15), si C(x) = [ln 2]p/[(x + 1)[ln(x + 1)]2p

]2,

d2

dx2

x

[f(x)]p=

= C(x)(

1x+1

((x + 1)[ln(x + 1)]p − xp(p− 1)[ln(x + 1)]p−2

)(x + 1)[ln(x + 1)]2p

−([ln(x + 1)]2p + (x + 1)2p[ln(x + 1)]2p−1 1

x+1

)((x + 1)[ln(x + 1)]p − xp[ln(x + 1)]p−1

))= C(x)

(((x + 1)[ln(x + 1)]p − xp(p− 1)[ln(x + 1)]p−2

)[ln(x + 1)]2p

−([ln(x + 1)]2p + 2p[ln(x + 1)]2p−1

)((x + 1)[ln(x + 1)]p − xp[ln(x + 1)]p−1

))= C(x)

([ln(x + 1)]2p

(xp[ln(x + 1)]p−1 − xp(p− 1)[ln(x + 1)]p−2

)− 2p[ln(x + 1)]2p−1

((x + 1)[ln(x + 1)]p − xp[ln(x + 1)]p−1

))= C(x)

(xp[ln(x + 1)]3p−1 − xp(p− 1)[ln(x + 1)]3p−2

− 2p(x + 1)[ln(x + 1)]3p−1 + 2xp2[ln(x + 1)]3p−2)

= C(x)((

xp− 2p(x + 1))[ln(x + 1)]3p−1 +

(2xp2 − xp(p− 1)

)[ln(x + 1)]3p−2

)= C(x)

(− p(x + 2)[ln(x + 1)]3p−1 + xp(p + 1)[ln(x + 1)]3p−2

)= C(x)p[ln(x + 1)]3p−2

(x(p + 1)− (x + 2)[ln(x + 1)]

)=

p[ln 2]p

(x + 1)2[ln(x + 1)]p+2

(x(p + 1)− (x + 2)[ln(x + 1)]

).

(3.16)

Observemos que p[ln 2]p

(x+1)2[ln(x+1)]p+2 > 0, y por (3.11),

x(p + 1)− (x + 2)[ln(x + 1)] ≤ 2x− (x + 2) ln(x + 1) ≤ 0.

Por lo tanto d2

dx2x

[f(x)]p≤ 0, y entonces x/[f(x)]p es cóncava.

(v) De f(xy) ≤ f(x)f(y) para cualesquiera x, y ≥ 1 se sigue que

[f(xy)]p ≤[f(x)f(y)

]p = [f(x)]p[f(y)]p

para cualesquiera x, y ≥ 1.

(vi) Calculamos

d

dx[f(x)]p =

d

dx

[ln(x + 1)]p

[ln 2]p=

1[ln 2]p

p[ln(x + 1)]p−1 1x + 1

,

de donde la derivada por la derecha de fp en 1 es 1[ln 2]p p[ln(1 + 1)]p−1 1

1+1 = p2 ln 2 > 0.


Por lo tanto, fp ∈ F .

Ahora probaremos dos resultados técnicos.

Proposición 3.9 Sean f y F como en la proposición 3.6. Entonces para cualesquiera 0 ≤t < 1 y λ ≥ 1 se tiene que

(1− t)F( λ

1− t

)+ t(F (1)− F ′(1)

)≤ F (λ).

Además, para el caso límite t = 1 tenemos que F (1)− F ′(1) ≤ F (λ).

Demostración. Primero consideraremos solamente el caso 0 ≤ t < 1. Como F es una funcióncóncava, tenemos que

tt+λ−1F (1)+ λ−1

t+λ−1F (λ+ t) ≤ F(

tt+λ−1 +(λ+ t) λ−1

t+λ−1

)= F

(t+λ2−λ+tλ−t

t+λ−1

)= F (λ), (3.17)

que

tt+λ−1F (λ + t) + λ−1

t+λ−1F (1) ≤ F( t(λ+t)

t+λ−1 + λ−1t+λ−1

)= F

(tλ+t2+λ−1

t+λ−1

)= F

(tλ+t2−t+t+λ−1

t+λ−1

)= F (t + 1),

(3.18)

y que

(1− t)F( λ

1− t

)+ tF (1) ≤ F (λ + t). (3.19)

Luego, sumando (3.17) y (3.18), como F (1) = 1 y por (ii) de la proposición 3.6,

F (λ + t) ≤ F (λ)− tt+λ−1 + F (t + 1)− λ−1

t+λ−1 = F (λ) + F (t + 1)− 1

= F (λ) + tF (t+1)−F (1)t ≤ F (λ) + tF ′(1).

(3.20)

De (3.19) y (3.20) obtenemos

(1− t)F( λ

1− t

)+ t(F (1)− F ′(1)

)≤ F (λ), (3.21)

la desigualdad buscada.

De la de�nición de F ,

(1− t)F( λ

1− t

)= (1− t)

λ

1− t

1f(

λ1−t

) =λ

f(

λ1−t

) .De la condición (ii) en la de�nición 3.4,

lımt→1

λ

f( λ1−t)

= 0.

Como además lımt→1 t(F (1)−F ′(1)

)= F (1)−F ′(1), de (3.21) se sigue que F (1)−F ′(1) ≤

F (λ).


Proposición 3.10 Sea G : [1,∞) → [1,∞) una función cóncava, no decreciente y super-

multiplicativa, que además satisface G(x) ≤ x para toda x ∈ [1,∞) y que g(x) = x/G(x)es no decreciente. Extendamos G a todo R+ por G(x) = x cuando 0 ≤ x ≤ 1 Entonces la

extensión también es cóncava, no decreciente y supermultiplicativa.

Demostración. Como G es no decreciente en [1,∞), claramente lo es en R+. Además, escóncava en [0, 1] y en [1,∞). Ahora, sean 0 ≤ x ≤ 1, y > 1 y 0 ≤ α ≤ 1. Tenemos dos casos:

(1) Si αx + (1− α)y ≤ 1 tenemos que

G(αx+(1−α)y

)= αx+(1−α)y ≥ αx+(1−α)G(y) = αG(x)+ (1−α)G(y). (3.22)

(2) Si αx+(1−α)y ≥ 1, observemos que αx+(1−α)y = β+(1−β)y para β = α(y−x)/(y−1).Claramente β ≥ 0 puesto que α ≥ 0 y y > 1 ≥ x. Además, como αx + (1 − α)y ≥ 1,α(y − x) ≤ y − 1 y entonces β = α(y − x)/(y − 1) ≤ 1.

Por lo tanto,

G(αx + (1− α)y

)= G

(β + (1− β)y

)≥ β + (1− β)G(y). (3.23)

Por otro lado, como y ≥ G(y), entonces (1− x)(y − x) ≥ (1− x)(G(y)− x), de donde

1 ≥ x + (1− x)(G(y)− x)/(y − x) = x[1− (1− x)/(y − x)

]+ G(y)(1− x)/(y − x)

= x(y − 1)/(y − x) + G(y)[1− (y − 1)/(y − x)] = xα/β + G(y)(1− α/β).(3.24)

Luego, usando (3.24)

β + (1− β)G(y) ≥ β[xα/β + G(y)(1− α/β)

]+ (1− β)G(y)

= αx + G(y)(β − α) + (1− β)G(y)= αx + (1− α)G(y) = αG(x) + (1− α)G(y).

(3.25)

A partir de (3.22), (3.23) y (3.25) concluimos que G es cóncava en todo R+.

También es claro que G(xy) ≥ G(x)G(y) si x, y ≥ 1 o x, y ≤ 1. Consideremos ahora elcaso x ≤ 1 y y ≥ 1. Si xy ≤ 1, entonces

G(xy) = xy = G(x)y ≥ G(x)G(y).

Por otro lado, si xy ≥ 1, dado que g(x) = x/G(x) es no decreciente y como xy ≤ y,

G(xy) = xy/g(xy) ≥ xy/g(y) = G(x)G(y).

Por lo tanto, G(xy) ≥ G(x)G(y) para cualesquiera x, y ∈ R+.

3.3. Construcción de los espacios 35

3.3. Construcción de los espacios

En esta sección de�niremos una familia de espacios que incluye al espacio construido porSchlumprecht en[24], así como a los que hemos llamado �los espacios de Schlumprecht�.Antes de pasar a la de�nición, iniciemos con un poco de notación.

De�nición 3.11 (i) Sea

c00 ={{xn}∞n=1 : xn ∈ K∀n ∈ N, y ∃N ∈ N tal que xn = 0∀n ≥ N

}.

Para cada n ∈ N, sea en = {xmn }∞m=1 ∈ c00 dado por

xmn =

{1 si n = m

0 si n 6= m.

(ii) Si E ⊂ N, también utilizaremos la letra E para la proyección de c00 en c00 de�nida

por E(∑∞

i=1 aiei) =∑

i∈E aiei (esto está bien de�nido porque cada suma de este tipo

tiene solamente un número �nito de sumandos distintos de cero, y cada vector tiene

una representación única porque los ei forman una base de Hamel de c00).

(iii) Sean E,F ⊂ N. Si E,F 6= ∅, E < F quiere decir que max E < mınF . Si k ∈ N y

E ⊂ N entonces k < E quiere decir que k < mınE.

(iv) El soporte de un vector x =∑∞

i=1 xiei ∈ c00 es el conjunto sop(x) = {i ∈ N : xi 6= 0}.

(v) Un intervalo de enteros es un subconjunto de N de la forma {i ∈ N : a ≤ i ≤ b} para

algunos a, b ∈ N. De�nimos el rango de un vector x ∈ c00, escrito ran(x), como el

intervalo más pequeño que contiene a su soporte.

(vi) Para x, y ∈ c00, escribiremos x < y para indicar que existen naturales n1 ≤ m1 <n2 ≤ m2 y escalares an1 , an1+1, . . . , am1 y bn2 , bn2+1, . . . , bm2 tales que x =

∑m1i=n1

aiei

y y =∑m2

i=n2biei. Si x1, . . . , xn ∈ c00 y x1 < · · · < xn, diremos que x1, . . . , xn son

sucesivos.

De�nición 3.12 Sea f ∈ F . Denotaremos por Sf al espacio c00 con la norma ‖·‖ de�nida

implícitamente por la ecuación

‖x‖ = ‖x‖∞ ∨ sup{

f(N)−1N∑

i=1

‖Eix‖ : N ≥ 2, E1 < · · · < EN intervalos}

. (∗)

para toda x ∈ c00. El espacio Sf es la completación de Sf . El espacio construido originalmen-

te por Schlumprecht en [24] es el caso particular de f(x) = log2(x + 1), al que denotaremos

simplemente por S = Sf y S = Sf .

Aunque ‖·‖ claramente depende de f , por simplicidad la notación no hace énfasis en ello.Siempre será claro a cuál f nos estamos re�riendo en cada caso. El que (∗) de�na implícita-mente una norma quiere decir que existe una única norma sobre c00 que satisface (∗). Estoserá probado en la proposición 3.14.


Observación 3.13 Observemos que una vez �jado un x ∈ c00, ya no necesitamos considerarel supremo sobre todos los N ≥ 2, sino solamente algunos. Supongamos que | sop(x)| = n,y sea N > max{n, 2}. Entonces, para cualesquiera intervalos E1 < · · · < EN , a lo más nde las proyecciones Eix serán distintas de cero. Digamos que las proyecciones distintas deEj1x, . . . , Ejk

x (con 2 ≤ k ≤ max{n, 2}) son todas cero. Luego,

k∑i=1

‖Ejix‖ =N∑

i=1

‖Eix‖ ,

y como f es estrictamente creciente,

f(k)−1k∑

i=1

‖Ejix‖ > f(N)−1N∑

i=1

‖Eix‖ .

Por lo tanto, el supremo sobre N ≥ 2 y E1 < · · · < EN es el mismo si nos restringimos a 2 ≤N ≤ max{n, 2} y E1 < · · · < EN ≤ m, donde m = max sop(x). Así, el supremo en realidades un máximo, puesto que al restringir los valores de N del modo que ya mencionamos,solamente hay un número �nito de sumas del tipo requerido.

Ahora sí, pasemos a probar que (∗) determina una norma en c00:

Proposición 3.14 La de�nición 3.12 efectivamente de�ne una norma en c00.

Demostración. Sean ‖·‖ una norma sobre c00 y 0 6= x ∈ c00. Si E ⊂ N es un intervalo talque Ex = x y N ≥ 2, entonces, dado que f(N) > f(1) = 1,

f(N)−1 ‖Ex‖ = f(N)−1 ‖x‖ < ‖x‖ .

Por lo tanto, (∗) es equivalente a

‖x‖ = ‖x‖∞∨sup{ 1

f(N)

N∑i=1

‖Eix‖ : N ≥ 2, E1 < · · · < EN intervalos, Eix 6= x, 1 ≤ i ≤ N}

,

(∗∗)que utilizaremos de ahora en adelante.

Si para n ∈ N ∪ {0} denotamos

cn00 = {x ∈ c00 : | sop(x)| ≤ n},

es importante notar que si ‖·‖ es una norma sobre c00 que satisface (∗∗) para toda x ∈ c00,sus valores en cn

00 determinan unívocamente sus valores en cn+100 .

Sean ‖·‖ una norma sobre c00 que satisface (∗∗) para toda x ∈ c00 y x ∈ c100. Entonces,

x = aei para algún escalar a y un índice i ∈ N. Luego, Ex = x o Ex = 0 para todo intervaloE ⊂ N. Por lo tanto, el supremo en (∗∗) es cero, y la ecuación se reduce a ‖x‖ = ‖x‖∞. Deestos dos últimos párrafos se sigue que si existe una norma sobre c00 que satisfaga (∗∗) para

3.3. Construcción de los espacios 37

toda x ∈ c00, entonces ésta es única.

Ahora de�niremos inductivamente una norma en c00 que satisface (∗∗), como sigue: six ∈ c1

00, sea ‖x‖ = ‖x‖∞; una vez de�nida ‖·‖ sobre cn00, extendemos sus valores a cn+1

00

mediante (∗∗). A continuación probaremos que esto tiene sentido y de�ne una norma.

(i) Primero mostraremos que está bien de�nida, es decir, toma solamente valores �nitos.Para ello probaremos por inducción sobre | sop(x)| que ‖x‖ ≤ | sop(x)| ‖x‖∞ Para| sop(x)| ≤ 1, es claro. Ahora supongamos que para un cierto n ∈ N sabemos que‖y‖ ≤ | sop(y)| ‖y‖∞ siempre que | sop(y)| ≤ n. Sea x ∈ c00 tal que | sop(x)| = n + 1.Entonces

‖x‖ = ‖x‖∞ ∨ sup{ 1

f(N)

N∑i=1

‖Eix‖ :

N ≥ 2, E1 < · · · < EN intervalos, Eix 6= x, 1 ≤ i ≤ N}

.

Si E1 < · · · < EN es cualquiera de las sucesiones de intervalos consideradas para elsupremo, claramente | sop(Eix)| ≤ n para 1 ≤ i ≤ N , y por lo tanto, por la hipótesisinductiva,

f(N)−1N∑

i=1

‖Eix‖ ≤ f(1)−1N∑

i=1

| sop(Eix)| ‖Eix‖∞

≤ ‖x‖∞N∑

i=1

| sop(Eix)| ≤ (n + 1) ‖x‖∞ .

Luego,‖x‖ ≤ ‖x‖∞ ∨ (n + 1) ‖x‖∞ = (n + 1) ‖x‖∞ .

Así, hemos probado que ‖x‖ ≤ | sop(x)| ‖x‖∞ para toda x ∈ c00, lo cual muestra que‖·‖ está bien de�nida.

(ii) ‖x‖ ≥ 0 para toda x ∈ c00, puesto que ‖x‖∞ ≥ 0. Además, si ‖x‖ = 0 entonces‖x‖∞ = 0 y por lo tanto x = 0.

(iii) Sean x ∈ c00 y λ un escalar. Utilizaremos nuevamente inducción sobre | sop(x)|. Si| sop(x)| ≤ 1, entonces claramente ‖λx‖ = |λ| ‖x‖. Ahora supongamos que esta pro-piedad se cumple siempre que | sop(x)| ≤ n, y sea x tal que | sop(x)| = n + 1. SiE1 < · · ·EN son como en (i), | sop(Eix)| ≤ n para 1 ≤ i ≤ N y entonces

f(N)−1N∑

i=1

‖Ei(λx)‖ = f(N)−1N∑

i=1

‖λEix‖ = |λ|f(N)−1N∑

i=1

‖Eix‖ ,

de donde se sigue que ‖λx‖ = |λ| ‖x‖, puesto que ‖λx‖∞ = |λ| ‖x‖∞.


(iv) Sean x, y ∈ c00. Para probar la desigualdad del triángulo, utilizaremos inducción sobre| sop(x+y)|. Si | sop(x+y)| = 1, entonces x+y = aei para algún i ∈ N y un escalar a.Tomando F = {i}, entonces Fx = bei y Fy = cei para ciertos escalares b y c. Luego,

‖x + y‖ = ‖aei‖ = |a| = |b + c| ≤ |b|+ |c| ≤ ‖x‖∞ + ‖y‖∞ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ .

Supongamos ahora que la desigualdad es cierta cuando | sop(x + y)| ≤ n, y ahoraconsideremos el caso | sop(x + y)| = n + 1. Una vez más, de la de�nición,

‖x + y‖ = ‖x + y‖∞ ∨ sup{ 1

f(N)

N∑i=1

‖Ei(x + y)‖ :

N ≥ 2, E1 < · · · < EN intervalos, Ei(x + y) 6= x + y, 1 ≤ i ≤ N}

. (3.26)

Si E1 < · · · < EN es cualquiera de las sucesiones de intervalos consideradas para elsupremo, claramente | sop(Ei(x + y))| ≤ n. Así, usando la hipótesis inductiva paracada término ‖Ei(x + y)‖, obtenemos, entendiendo que los supremos son sobre lasmismas sucesiones de intervalos que en (3.26),

sup f(N)−1N∑

i=1

‖Ei(x + y)‖ ≤ sup f(N)−1N∑

i=1

(‖Eix‖+ ‖Eiy‖)

≤ sup f(N)−1N∑

i=1

‖Eix‖

+ sup f(N)−1N∑

i=1

‖Eiy‖

≤ ‖x‖+ ‖y‖ .

Además, de la desigualdad del triángulo para ‖·‖∞,

‖x + y‖∞ ≤ ‖x‖∞ + ‖y‖∞ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ .

De ambas desigualdades y la de�nición de ‖·‖ se sigue que ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, conlo cual queda probada la desigualdad del triángulo.

Y así, hemos probado que ‖·‖ es la única norma en c00 que satisface (∗).

Observación 3.15 Es importante notar que, por la manera en la que está de�nida lanorma, para cualquier sucesión de escalares {ai}m

i=1 y cualquier sucesión de naturales n1 <· · · < nm, ‖

∑mi=1 aiei‖ = ‖

∑mi=1 aieni‖.

La colección {ei}∞i=1 resulta tener propiedades interesantes, como lo precisa la siguienteproposición.

Proposición 3.16 Sea f ∈ F . Entonces {ei}∞i=1 es una base monótona normalizada y

1-incondicional de Sf .

3.4. Propiedades de los espacios 39

Demostración. De la de�nición inductiva de la norma dada en la demostración de 3.14,‖ei‖ = 1. Observemos que ei 6= 0 para i ∈ N, y el subespacio cerrado generado por los ei

es Sf . Además, para cualquier n ∈ N y cualquier sucesión de escalares {ai}n+1i=1 , tenemos

que ‖∑n

i=1 aiei‖ ≤∥∥∥∑n+1

i=1 aiei

∥∥∥, esto porque la desigualdad se cumple con la norma ‖·‖∞y porque cualquier suma del tipo f(N)−1

∑Nj=1 ‖Ej(·)‖ para

∑ni=1 aiei lo es también para∑n+1

i=1 aiei. Por lo tanto, {ei}∞i=1 es una base monótona normalizada para Sf por el teorema1.40.

Ahora, sea ε un escalar de módulo a lo más 1. Entonces, para cualquier escalar a, cla-ramente ‖εae1‖ ≤ ‖ae1‖. Ahora supongamos que para cierto n ∈ N, para toda sucesiónde escalares {ai}n

i=1 y toda sucesión de escalares {εi}ni=1 de módulo a lo más 1, se tiene

la desigualdad ‖∑n

i=1 εiaiei‖ ≤ ‖∑n

i=1 aiei‖. Consideremos ahora una sucesión de escalares{ai}n+1

i=1 y una sucesión de escalares {εi}n+1i=1 de módulo a lo más 1. Sean x =

∑n+1i=1 aiei y

xε =∑n+1

i=1 εiaiei. Entonces

‖xε‖ = ‖xε‖∞ ∨ supN≥2

f(N)−1N∑

j=1

‖Ejxε‖ .

Ahora, por la misma razón que antes, para el supremo basta con considerar sumas en lascuales al menos dos de las proyecciones son distintas de cero. Entonces, las proyeccionesdistintas de cero tendrán soporte de tamaño a lo más n, y por la observación 3.15, lacondición ‖

∑ni=1 εiaiei‖ ≤ ‖

∑ni=1 aiei‖ implica que ‖

∑ni=1 εiaieni‖ ≤ ‖

∑ni=1 aieni‖ donde

los ni son una sucesión creciente de naturales. Así pues, usando esta consecuencia de lahipótesis inductiva,

‖xε‖ = ‖xε‖∞ ∨ supN≥2

f(N)−1N∑

j=1

‖Ejxε‖ ≤ ‖x‖∞ ∨ supN≥2

f(N)−1N∑

j=1

‖Ejx‖ = ‖x‖ ,

lo cual prueba, por el teorema 1.54, que la base {ei}∞i=1 es 1-incondicional.

3.4. Propiedades de los espacios

Ahora probaremos varios lemas acerca de estos espacios. Como ya mencionamos, son esen-cialmente debidos a Schlumprecht [24, 25] pero aquí los enunciamos siguiendo a Gowers yMaurey, que los probaron para una familia más amplia de espacios para poder aplicarlosa su espacio en la parte principal del artículo [13]. Para enunciarlos, requerimos primeroalgunas de�niciones.

De�nición 3.17 Sea X el conjunto de espacios normados de la forma X = (c00, ‖·‖) talesque {ei}∞i=1 es una base monótona normalizada de X. Sea F es como en la de�nición 3.4.Si f ∈ F , X ∈ X , y toda x ∈ X satisface la desigualdad

‖x‖ ≥ sup

{f(N)−1

N∑i=1

‖Eix‖ : N ∈ N, E1 < · · · < EN intervalos

}


diremos que X satisface una f-estimación inferior.

Nótese que esto implica que ‖Ex‖ ≤ ‖x‖ para todo intervalo E y todo vector x, por lo que labase estándar de un espacio con una f -estimación inferior es automáticamente bimonótona.

Obsérvese también que de la de�nición 3.12 y la proposición 3.16, para toda f ∈ F , Sf ∈ Xy Sf satisface una f -estimación inferior.

Ahora que tenemos una base en c00, podemos extender algunos de los conceptos de lade�nición 3.11 a funcionales.

De�nición 3.18 (i) Sean {e∗n}∞n=1 las funcionales biortogonales asociadas a la base {en}∞n=1.

(véase la proposición 1.39).

(ii) Si E ⊂ N, también utilizaremos la letra E para la proyección de 〈e∗i 〉∞i=1 en 〈e∗i 〉∞i=1

de�nida por E(∑∞

i=1 aie∗i ) =∑

i∈E aie∗i (esto está bien de�nido porque cada suma de

este tipo tiene solamente un número �nito de sumandos distintos de cero, y cada vector

tiene una representación única porque los e∗i forman una base de Hamel de 〈e∗i 〉∞i=1).

(iii) El soporte de una funcional x∗ =∑∞

i=1 xie∗i ∈ 〈e∗i 〉∞i=1 es el conjunto sop(x∗) = {i ∈N : xi 6= 0}.

(iv) De�nimos el rango de una funcional x∗ ∈ 〈e∗i 〉∞i=1, escrito ran(x∗), como el intervalo

más pequeño que contiene a su soporte.

(v) Para x∗, y∗ ∈ 〈e∗i 〉∞i=1, escribiremos x∗ < y∗ para indicar que existen naturales n1 ≤m1 < n2 ≤ m2 y escalares an1 , an1+1, . . . , am1 y bn2 , bn2+1, . . . , bm2 tales que x∗ =∑m1

i=n1aie∗i y y∗ =

∑m2i=n2

bie∗i . Si x∗1, . . . , x∗n ∈ 〈e∗i 〉∞i=1 y x∗1 < · · · < x∗n, diremos que

x∗1, . . . , x∗n son sucesivas.

De�nición 3.19 Dados un espacio X ∈ X y un vector x ∈ X, diremos que x es una

`n1+-media con constante C si ‖x‖ = 1 y x =

∑ni=1 xi para alguna sucesión x1 < · · · < xn

de elementos de X tales que 0 < ‖xi‖ ≤ Cn−1 para 1 ≤ i ≤ n. Un `n1+-vector es cualquier

múltiplo positivo de una `n1+-media.

En otras palabras, un vector x es un `n1+-vector con constante C si puede ser escrito como

x = x1 + · · · + xn, donde x1 < · · · < xn, los xi son distintos de cero, y ‖xi‖ ≤ Cn−1 ‖x‖para 1 ≤ i ≤ n. Observemos que por la de�nición, | sop(x)| ≥ n.

Ejemplo 3.20 Para 1 ≤ p < ∞, sea Xp el espacio c00 con la norma de `p restringida a c00.Observemos que Xp ∈ X , puesto que la base canónica de `p es monótona y normalizaday c00 es denso en `p. Sean n ∈ N y i1 < · · · < in naturales. Observemos que n−1/pei1 <· · · < n−1/pein y n−1/peij 6= 0 para 1 ≤ j ≤ n. Sea x =

∑nj=1 n−1/peij ∈ Xp. Como ‖x‖p =(∑n

j=1(n−1/p)p

)1/p = (n/n)1/p = 1 y∥∥n−1/peij

∥∥p

= n−1/p = n1−1/pn−1, concluimos que x

es una `n1+-media con constante n1−1/p en Xp.


De�nición 3.21 Una base bloque en un espacio X ∈ X es una sucesión x1, x2, . . .de vectores sucesivos distintos de cero en X. Nótese que tal sucesión efectivamente es una

sucesión básica, puesto que este concepto de base bloque coincide con el de la proposición

1.42. Un subespacio bloque de un espacio X ∈ X es un subespacio (algebraico) generado

por una base bloque.

A continuación iniciamos con los lemas.

Lema 3.22 Sean f ∈ F y X ∈ X que satisface una f -estimación inferior. Entonces, para

toda n ∈ N y toda C > 1, todo subespacio bloque Y de X contiene una `n1+-media con

constante C.

Demostración. El resultado es trivial para n = 1, así que consideraremos solamente elcaso n ≥ 2. Supongamos que el resultado es falso, es decir, que existen n ≥ 2, C > 1y Y , un subespacio bloque de X, que no contiene una `n

1+-media con constante C. Seaq = ln C/ lnn > 0, puesto que C > 1. De la propiedad (iii) en la de�nición de F (de�nición3.4), existe M tal que x > M implica que f(x)/xq < 1. Sea k ∈ N tal que nk > M . Entonces,f(nk) < (nk)q = nkq lo cual implica que ln f(nk) < kq lnn = k lnC.

Sean N = nk, x1 < · · · < xN cualquier sucesión de vectores sucesivos de norma uno en Y ,

y x =∑N

i=1 xi. Para cualesquiera 0 ≤ i ≤ k y 1 ≤ j ≤ nk−i, sea x(i, j) =∑jni

t=(j−1)ni+1xt.

Entonces,

x(0, j) =jn0∑

t=(j−1)n0+1

xt =j∑

t=j

xt = xj ,

x(k, 1) =nk∑

t=(1−1)nk+1

xt =N∑

t=1

xt = x,

(3.27)

y para 1 ≤ i ≤ k, cada x(i, j) es una suma de n vectores sucesivos de la forma x(i− 1, j), asaber

x(i, j) =jni∑

t=(j−1)ni+1

xt =[(j−1)n+1]ni−1∑

t=[(j−1)n]ni−1+1

xt + · · ·+[(j−1)n+n]ni−1∑

t=[(j−1)n+(n−1)]ni−1+1

xt

= x(i− 1, (j − 1)n

)+ · · ·+ x

(i− 1, (j − 1)n + (n− 1)

)=

jn−1∑l=(j−1)n

x(i− 1, l).

Ahora probaremos por inducción sobre i que para 0 ≤ i ≤ k y 1 ≤ j ≤ nk−i,

‖x(i, j)‖ ≤ C−ini. (3.28)

Para i = 0, debemos probar que para 1 ≤ j ≤ nk, ‖x(0, j)‖ ≤ C−0n0, lo cual se sigue deque, por (3.27),

‖x(0, j)‖ = ‖xj‖ = 1 = C−0n0.


Supongamos que para 1 ≤ u ≤ i− 1 y 1 ≤ v ≤ nk−u, ‖x(u, v)‖ ≤ C−unu. Sea 1 ≤ j ≤ nk−i.Por nuestra suposición, x(i, j) no es un `n

1+-vector con constante C. Por lo tanto, puesto

que x(i, j) =∑jn−1

l=(j−1)n x(i− 1, l), y los x(i− 1, l) son vectores sucesivos y distintos de cero,existe (j − 1)n ≤ li−1 ≤ jn− 1 tal que

‖x(i− 1, li−1)‖ > Cn−1 ‖x(i, j)‖ . (3.29)

De la hipótesis inductiva,

C−(i−1)ni−1 ≥ ‖x(i− 1, li−1)‖ . (3.30)

De (3.29) y (3.30), Cn−1 ‖x(i, j)‖ ≤ C−(i−1)ni−1, de donde C−ini ≥ ‖x(i, j)‖, lo cual �na-liza la inducción.

Ahora, usando (3.28) con i = k y j = 1 = nk−k, y (3.27), ‖x‖ = ‖x(k, 1)‖ ≤ C−knk =C−kN . Sin embargo, como X satisface una f -estimación inferior, ‖x‖ ≥ f(N)−1

∑Ni=1 ‖xi‖ =

Nf(N)−1. Así, Nf(N)−1 ≤ C−kN , de donde se sigue que f(nk)−1 ≤ C−k. Por lo tanto− ln f(nk) ≤ −k lnC, es decir ln f(nk) ≥ k lnC, lo cual contradice la elección de k.

Lema 3.23 Sean M,N ∈ N, C ≥ 1, X ∈ X , x ∈ X un `N1+-vector con constante C y

E1 < · · · < EM una sucesión de intervalos. Entonces

M∑j=1

‖Ejx‖ ≤ C

(1 +

2M

N

)‖x‖ .

Demostración. Por conveniencia, normalicemos de modo que ‖x‖ = N y sean x1 < · · · < xN

tales que x =∑N

i=1 xi y ‖xi‖ ≤ C para 1 ≤ i ≤ N . Dado 1 ≤ j ≤ M , sean Aj = {1 ≤i ≤ N : sop(xi) ⊂ Ej} y Bj = {1 ≤ i ≤ N : Ej(xi) 6= 0}. Por el hecho de que la base esbimonótona,

‖Ejx‖ =

∥∥∥∥∥N∑

i=1

Ejxi

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥∥∑i∈Bj

xi

∥∥∥∥∥∥ ,

y de la desigualdad del triángulo, ‖Ejx‖ ≤∑

i∈Bj‖xi‖ ≤ C|Bj |. Ahora bien, como los xi's

son sucesivos, |Bj | ≤ |Aj |+2, pues los xi tales que Ej(xi) 6= 0 son precisamente aquellos talesque sop(xi) ⊂ Ej y a lo más otros 2, uno tal que la parte �nal de su soporte esté contenidaen Ej y otro tal que sea la parte inicial. Así, ‖Ejx‖ ≤ C(|Aj | + 2). Como

∑Mj=1 |Aj | ≤ N ,

obtenemosM∑

j=1

‖Ejx‖ ≤ C(N + 2M),

lo cual nos da el resultado deseado, debido a la normalización que hicimos.

Para poder enunciar el siguiente lema, necesitaremos algunas de�niciones más. La primeraes un tecnicismo.


De�nición 3.24 Si f ∈ F , sea Mf : [1/6,∞) → [1,∞) de�nida por Mf (x) = f−1(36x2).

Observemos que Mf está bien de�nida porque f es estrictamente creciente y tiende a in�nito.

La siguiente de�nición es de gran importancia para este trabajo.

De�nición 3.25 Sean ε > 0, X ∈ X y N ∈ N. Si f ∈ F , diremos que una sucesión

x1 < · · · < xN en X es una sucesión de `n1+-medias rápidamente creciente (S.R.C.)

para f de longitud N con constante 1 + ε si existen naturales n1, . . . nN tales que

(i) xk es una `nk1+-media con constante 1 + ε para 1 ≤ k ≤ N .

(ii) n1 ≥ 2(1 + ε)Mf (N/ε′)/ε′f ′(1).

(iii) Para 2 ≤ k ≤ N ,ε′

2f(nk)1/2 ≥ | sop(xk−1)|,

donde f ′(1) es la derivada por la derecha de f en 1 y ε′ es una notación útil para mın{ε, 1},que utilizaremos de ahora en adelante.

Observemos que la de�nición tiene sentido puesto que, por la de�nición 3.4, f ′(1) existe yes positivo. Algunas veces será conveniente llamar a un vector un S.R.C.-vector si es unmúltiplo no nulo de la suma de una S.R.C.

Proposición 3.26 Sean f , X, N , x1, · · · , xN , ε y n1, . . . nN como en la de�nición 3.25.Entonces n1 < · · · < nN .

Demostración. Sea 1 < k ≤ N . De la de�nición 3.19), | sop(xk−1)| ≥ nk−1. De la de�niciónde F , f(y) ≥ 1 y y ≥ f(y) para toda y ≥ 1. Usando esto y la propiedad (iii) de la de�niciónde S.R.C. (de�nición 3.25),

12f(nk) ≥

12f(nk)1/2 ≥ ε′

2f(nk)1/2 ≥ | sop(xk−1)| ≥ f(nk−1), (3.31)

de donde f(nk) ≥ 2f(nk−1). Como f es estrictamente creciente por la proposición 3.5,nk > nk−1.

De�nición 3.27 Sean g ∈ F , X ∈ X y M ∈ N. Una funcional x∗ ∈ X∗ es una (M, g)-forma si ‖x∗‖ ≤ 1 y x∗ =

∑Mj=1 x∗j para alguna sucesión x∗1 < · · · < x∗M de funcionales

sucesivas tales que ‖x∗j‖ ≤ g(M)−1 para 1 ≤ j ≤ M .

Antes de pasar al siguiente lema demostraremos algunos resultados.

Proposición 3.28 Sean X ∈ X y x ∈ X \ {0}. Entonces existe una funcional soporte

para x, es decir, una funcional x∗ ∈ X∗ tal que ‖x∗‖ = 1, sop(x∗) ⊂ ran(x) y x∗(x) = ‖x‖.


Demostración. De la de�nición de X , x tiene soporte �nito. Sean A = ran(x) y XA =sp{ei : i ∈ A}. Claramente, x ∈ XA. Por el teorema de Hahn-Banach (teorema 1.20),existe x∗A ∈ X∗

A = [e∗i ]i∈A tal que ‖x∗A‖ = 1 y x∗A(x) = ‖x‖. Como XA es un subespaciode dimensión �nita de X (ya que sop(x) es �nito), la proyección A : X → XA es acotada.Observemos que ‖A‖ = 1, puesto que por la proposición 1.19 ‖A‖ ≥ 1, y ‖Ay‖ ≤ ‖y‖ paratoda y ∈ X puesto que la base {ei}∞i=1 de X es bimonótona. De�namos x∗(y) = x∗A(Ay)para toda y ∈ X. Entonces x∗ es una funcional lineal acotada y por lo tanto x∗ ∈ X∗.Observemos que X∗

A es de dimensión �nita y por lo tanto x∗A es una combinación lineal delos e∗i ∈ X∗

A con i ∈ A. Luego, sop(x∗) ⊂ A. Además, ‖x∗‖ ≤ ‖x∗A‖ ‖A‖ = 1. Por otro lado,x∗(x) = x∗A(Ax) = x∗A(x) = ‖x‖, de donde se sigue que ‖x∗‖ = 1. Por lo tanto, x∗ es unafuncional soporte para x.

Proposición 3.29 Sean X ∈ X , x ∈ X y supongamos que x∗ ∈ X∗ tiene soporte �nito.

Entonces, para cualquier intervalo E ⊂ N, x∗(Ex) = (Ex∗)(x).

Demostración. De la de�nición de X , x también tiene soporte �nito. Si escribimos x =∑i∈sop(x) aiei y x∗ =

∑j∈sop(x∗) bje∗j , entonces

x∗(Ex) =

∑j∈sop(x∗)

bje∗j

∑i∈E∩sop(x)

aiei

=∑

i∈E∩sop(x)∩sop(x∗)

aibi

=

∑j∈E∩sop(x∗)

bje∗j

∑i∈sop(x)

aiei

= (Ex∗)(x).

Proposición 3.30 Sean f ∈ F y X ∈ X que satisface una f -estimación inferior. Si

x∗ ∈ X∗ tiene soporte �nito, entonces, para cualquier intervalo E ⊂ N, ‖Ex∗‖ ≤ ‖x∗‖.

Demostración. Sea x ∈ X. Como X satisface una f -estimación inferior, ‖Ex‖ ≤ ‖x‖. Ahora,por la proposición 3.29, x∗(Ex) = (Ex∗)(x). Por lo tanto,

|(Ex∗)(x)| = |x∗(Ex)| ≤ ‖x∗‖ ‖Ex‖ ≤ ‖x∗‖ ‖x‖ ,

de donde ‖Ex∗‖ ≤ ‖x∗‖.

Lema 3.31 Sean f, g ∈ F con g ≥ f1/2, y X ∈ X que satisface una f -estimación inferior.

Sean ε > 0, x1, . . . , xN una S.R.C. en X para f con constante 1 + ε, y x =∑N

i=1 xi. Sean

M ≥ Mf (N/ε′) y x∗ una (M, g)-forma. Entonces |x∗(x)| ≤ 1 + ε + ε′.

Demostración. Para cada 1 ≤ i ≤ N , sea ni el máximo para el cual xi es una `ni1+-media con

constante 1+ε. Expresemos x∗ =∑M

j=1 x∗j de acuerdo a la de�nición, y sea Ej = ran(x∗j ) para1 ≤ j ≤ M . Primero obtendremos tres estimaciones fáciles para |x∗(xi)|. Como ‖x∗‖ ≤ 1,evidentemente tenemos que

|x∗(xi)| ≤ 1. (3.32)


Por otro lado, como ‖x∗j‖ ≤ g(M)−1 ≤ f(M)−1/2, tenemos que

|x∗(xi)| = |M∑

j=1

x∗j (xi)| = |M∑

j=1

(Ejx∗j )(xi)| = |

M∑j=1

x∗j (Ejxi)|

≤M∑

j=1

|x∗j (Ejxi)| ≤M∑

j=1

∥∥x∗j∥∥ ‖Ejxi‖ ≤ f(M)−1/2M∑

j=1

‖Ejxi‖ .

(3.33)

Como X satisface una f -estimación inferior, f(| sop(xi)|)−1∑M

j=1 ‖Ejxi‖ ≤ ‖xi‖ = 1, i.e.

M∑j=1

‖Ejxi‖ ≤ f(| sop(xi)|), (3.34)

y por el lema 3.23,M∑

j=1

‖Ejxi‖ ≤ (1 + ε)(1 + 2M/ni). (3.35)

De (3.31),12f(| sop(xk)|) ≥

12f(nk) ≥ | sop(xk−1)| ≥ f(| sop(xk−1)|).

Sea t el máximo tal que nt ≤ M , o cero si nk > M para 1 ≤ k ≤ N .

(1) Si t > 0:Para i < t, por lo anterior tenemos que

f(| sop(xi)|) ≤ 2i−t+1f(| sop(xt−1)|). (3.36)

De la propiedad (iii) de la de�nición 3.25, que f es creciente y f(x) ≤ x,

f(| sop(xt−1)|) ≤ | sop(xt−1)| ≤ε′

2f(nt)1/2 ≤ ε′

2f(M)1/2. (3.37)

Ahora bien,

|x∗(x)| =

∣∣∣∣∣N∑

i=1

x∗(xi)

∣∣∣∣∣ ≤N∑

i=1

|x∗(xi)| =t−1∑i=1

|x∗(xi)|+ |x∗(xt)|+N∑

i=t+1

|x∗(xi)|. (3.38)

De (3.32),|x∗(xt)| ≤ 1. (3.39)

Usando (3.33), (3.34), (3.36) y (3.37)

t−1∑i=1

|x∗(xi)| ≤ f(M)−1/2t−1∑i=1

f(| sop(xi)|) ≤ f(M)−1/2f(| sop(xt−1)|)2−t+1t−1∑i=1

2i

≤ f(M)−1/2 ε′

2f(M)1/22−t+1(2t − 2) =

2t − 22t

ε′ ≤ ε′.

(3.40)


(2) Si t ≥ 0:Observemos que M ≥ Mf (N/ε′) implica, por la de�nición 3.24, que f(M) ≥ 36(N/ε′)2,y por lo tanto f(M)−1/2 ≤ ε′/6N . Luego, recordando que ni > M para i > t, y usando(3.33) y (3.35)

N∑i=t+1

|x∗(xi)| ≤ f(M)−1/2(1 + ε)N∑

i=t+1

(1 + 2M/ni) ≤ f(M)−1/2(1 + ε)3(N − t)

≤ ε′

6N(1 + ε)3N =

ε′

2(1 + ε).

Consideremos ahora los dos valores posibles para ε′. Si ε ≥ 1, entonces ε′ = 1 y porlo tanto ε′(1 + ε)/2 = (1 + ε)/2 ≤ 2ε/2 = ε. Si ε ≤ 1, entonces ε′ = ε y por lo tantoε′(1 + ε)/2 = ε(1 + ε)/2 = (ε + ε2)/2 ≤ 2ε/2 = ε. Luego,

N∑i=t+1

|x∗(xi)| ≤ ε. (3.41)

Si t > 0, usando (3.38), (3.39), (3.40) y (3.41) obtenemos |x∗(x)| ≤ 1 + ε + ε′, y en el casot = 0, por (3.41), |x∗(x)| ≤ ε ≤ 1 + ε + ε′.

Corolario 3.32 Sean f , g, X, ε, M , x1, . . . , xN , x y x∗ como en el lema 3.31, y sea E ⊂ Nun intervalo. Entonces |x∗(Ex)| ≤ 1 + ε + ε′.

Demostración. Por la proposición 3.29, x∗(Ex) = (Ex∗)(x). Luego, usando la proposición3.30 y que ‖x∗‖ ≤ 1 por ser una (M, g)-forma, ‖Ex∗‖ ≤ ‖x∗‖ ≤ 1. Además, Ex∗ =E∑M

j=1 x∗j =∑M

j=1 Ex∗j . Nótese que los Ex∗j son funcionales sucesivas y ‖Ex∗j‖ ≤ ‖x∗j‖ ≤g(M)−1, otra vez por la proposición 3.30. Por lo tanto, puesto que x∗ es una (M, g)-forma entonces Ex∗ también lo es, y podemos aplicar el lema 3.31, obteniendo |x∗(Ex)| =|(Ex∗)(x)| ≤ 1 + ε + ε′.

Corolario 3.33 Sean f , X, ε, M , x1, . . . , xN y x como en el lema 3.31, y sean E1 < · · · <EM intervalos. Entonces

f(M)−1M∑i=1

‖Eix‖ ≤ 1 + ε + ε′.

Demostración. Para 1 ≤ i ≤ M sea x∗i una funcional soporte de Eix (dada por la proposición3.28), y sea x∗ = f(M)−1

∑Mi=1 x∗i . Entonces, usando que X satisface una f -estimación

inferior, que sop(x∗i ) ⊂ ran(Eix) ⊂ Ei y la proposición 3.29, para y ∈ X se tiene que

|x∗(y)| =

∣∣∣∣∣f(M)−1M∑i=1

x∗i (y)

∣∣∣∣∣ ≤ f(M)−1M∑i=1

|x∗i (y)| = f(M)−1M∑i=1

|(Eix∗i )(y)|

= f(M)−1M∑i=1

|x∗i (Eiy)| ≤ f(M)−1M∑i=1

‖x∗i ‖ ‖Eiy‖ ≤ f(M)−1M∑i=1

‖Eiy‖ ≤ ‖y‖


y por lo tanto ‖x∗‖ ≤ 1. Las funcionales x∗i claramente son sucesivas y además∥∥f(M)−1x∗i

∥∥ =f(M)−1 ‖x∗i ‖ ≤ f(M)−1. Por lo tanto, x∗ es una (M,f) forma. Así, podemos aplicar el lema3.31 con g = f (puesto que f ≥ f1/2), y obtenemos que |x∗(x)| ≤ 1 + ε + ε′, es decir,

f(M)−1M∑i=1

‖Eix‖ = f(M)−1M∑i=1

|x∗i (Eix)| = f(M)−1∣∣∣ M∑

i=1

x∗i (Eix)∣∣∣

= f(M)−1∣∣∣ M∑

i=1

x∗i (x)∣∣∣ = |x∗(x)| ≤ 1 + ε + ε′.

Ahora introduciremos otra de�nición conveniente. Sea x1 < · · · < xN una S.R.C. en X ∈ Xpara f con constante 1+ε para alguna f ∈ F y algún ε > 0. Para cada 1 ≤ i ≤ N , sea ni elmáximo tal que xi es una `ni

1+-media con constante 1+ε, y expresemos xi = xi,1 + · · ·+xi,ni ,donde ‖xi,j‖ ≤ (1 + ε)n−1

i para cada j. Dado un intervalo E ⊂ N, sean

iE = mın{i ∈ N : Exi 6= 0}, jE = max{j ∈ N : Exj 6= 0} (3.42)

yrE = mın{r ∈ N : ExiE ,r 6= 0}, sE = max{s ∈ N : ExjE ,s 6= 0}. (3.43)

De�nimos la longitud del intervalo E como

λ(E) = jE − iE +sE

njE

− rE

niE

=(

jE − 1 +sE

njE

)−(

iE − 1 +rE

niE

).

Obviamente esta de�nición depende por completo de la S.R.C., pero siempre será claro delcontexto cuál S.R.C. está siendo considerada. A continuación probamos tres propiedades dela longitud.

Proposición 3.34 Si E es un intervalo, entonces λ(E) ≤ N .

Demostración. De sus respectivas de�niciones, λ(E) = jE− iE + sEnjE

− rEniE

, jE ≤ N , iE ≥ 1,sE ≤ njE y rE/niE ≥ 0. Por lo tanto, λ(E) ≤ N − 1 + 1 + 0 = N .

Proposición 3.35 Si A y B son intervalos, y A ⊂ B, entonces λ(A) ≤ λ(B).

Demostración. De las de�niciones dadas en (3.42), claramente iB ≤ iA (i.e. −iA ≤ −iB) yjA ≤ jB. Para ambas desigualdades tenemos dos casos:

(i) Si jA = jB, entonces sA ≤ sB y por lo tanto sA/njA ≤ sB/njB . Luego,

jA +sA

njA

≤ jB +sB

njB

.

(ii) Si jA < jB, entonces

jA +sA

njA

≤ jA + 1 ≤ jB ≤ jB +sB

njB

.


(i') Si iB = iA, entonces rB ≤ rA y por lo tanto rB/niB ≤ rA/niA , de donde obtenemos

−iA − rA/niA ≤ −iB − rB/niB .

(ii') Si iB < iA, entonces −iA < −iB, de donde obtenemos que −iA +rB/niB ≤ −iA +1 ≤−iB y por lo tanto

−iA − rA/niA ≤ −iA ≤ −iB − rB/niB .

En cualquier combinación de los casos, sumando las desigualdades obtenemos que λ(A) ≤λ(B).

Proposición 3.36 Si E1 < · · · < EM y E son intervalos, y⋃M

k=1 Ek ⊂ E, entonces∑Mk=1 λ(Ek) ≤ λ(E).

Demostración. Observemos que basta con probar el caso M = 2 y razonar inductivamente.Además, por la proposición 3.35 basta considerar el caso E = {i ∈ N : mınE1 ≤ i ≤max E2}. Observemos que en este caso iE = iE1 , jE = jE2 , sE = sE2 y rE = rE1 . Por otrolado, jE1 ≤ iE2 . Una vez más consideramos dos casos:

(i) Si jE1 = iE2 , entonces sE1 ≤ rE2 y por lo tanto

λ(E1) + λ(E2) = jE1 − iE1 +sE1

njE1

− rE1

niE1

+ jE2 − iE2 +sE2

njE2

− rE2

niE2

= jE1 − iE2 + jE2 − iE1 +sE1

njE1

− rE2

niE2

+sE2

njE2

− rE1

niE1

= 0 + jE − iE +sE1 − rE2

njE1

+sE

njE

− rE

niE

≤ jE − iE +sE

njE

− rE

niE

= λ(E).

(ii) Si jE1 < iE2 , entonces jE1 + 1 ≤ iE2 , i.e. jE1 − iE2 ≤ −1.

λ(E1) + λ(E2) = jE1 − iE1 +sE1

njE1

− rE1

niE1

+ jE2 − iE2 +sE2

njE2

− rE2

niE2

= jE1 − iE2 + jE2 − iE1 +sE2

njE2

− rE1

niE1

+sE1

njE1

− rE2

niE2

≤ −1 + jE − iE +sE

njE

− rE

niE

+sE1

njE1

− rE2

niE2

= λ(E) +sE1

njE1

− 1− rE2

niE2

≤ λ(E)− rE2

niE2

≤ λ(E).

Con lo cual queda probada la proposición.

El siguiente lema es el más importante para nuestros propósitos, pero antes probaremosuna proposición técnica que utilizaremos para su demostración.


Proposición 3.37 Sean f, g ∈ F , X ∈ X que satisface una f -estimación inferior, y

x ∈ X. Si C = {|x∗(x)| : M ≥ 2, x∗ es una (M, g)-forma}, entonces supC ∈ C.

Demostración. De la de�nición de X , x tiene soporte �nito. Sean A, XA y X∗A como en la

demostración de la proposición 3.28. Para cualquier (M, g)-forma x∗ ∈ X∗, por la propo-sición 3.29, |x∗(x)| = |x∗(Ax)| = |(Ax∗)(x)|. Observemos que Ax∗ ∈ X∗

A. De la de�niciónde (M, g)-forma, ‖x∗‖ ≤ 1, x∗ =

∑Mj=1 x∗j para alguna sucesión x∗1 < · · · < x∗M de fun-

cionales sucesivas tales que∥∥x∗j∥∥ ≤ g(M)−1 para 1 ≤ j ≤ M . Luego, Ax∗ =

∑Mj=1 Ax∗j .

Observemos que las funcionales Ax∗j son sucesivas, ‖Ax∗‖ ≤ ‖x∗‖ ≤ 1 por la proposición3.30 y además

∥∥Ax∗j∥∥ ≤ ‖A‖

∥∥x∗j∥∥ ≤ g(M)−1. Por lo tanto, si para M ≥ 2 de�nimosDM = {x∗ ∈ X∗

A : x∗ es una (M, g)-forma } y CM = {|x∗(x)| : x∗ ∈ DM}, entoncesC =

⋃∞M=2 CM .

Sea n = max{|A|, 2}. Sean M > n y x∗ ∈ DM . Entonces ‖x∗‖ ≤ 1 y x∗ =∑M

j=1 x∗jpara alguna sucesión x∗1 < · · · < x∗M de funcionales sucesivas tales que

∥∥x∗j∥∥ ≤ g(M)−1 yran(x∗j ) ⊂ A para 1 ≤ j ≤ M . Como n ≥ |A|, a lo más n de las funcionales x∗j son distintasde 0. Por lo tanto, existen 1 ≤ i1 < · · · < in ≤ M tales que x∗ =

∑nj=1 x∗ij . Observemos que

x∗i1 < · · · < x∗in , y como n < M , g(n) < g(M), y entonces∥∥x∗ij∥∥ ≤ g(M)−1 < g(n)−1 para

1 ≤ j ≤ n, y por lo tanto x∗ es una (n, g)-forma. Como además ran(x∗) ⊂ A, x∗ ∈ Dn. Porlo tanto, C =

⋃nM=2 CM .

Ahora probaremos que supCM ∈ CM para 2 ≤ M ≤ n. Consideremos un valor de M �jo.Sea B = {x∗ ∈ X∗

A : ‖x∗‖ ≤ 1}. Mostraremos que B \DM es abierto en B. Sea z∗ ∈ B \DM .Por una partición de tamaño N de A entenderemos una sucesión A1 < · · · < AN de interva-los sucesivos tales que

⋃Ni=1 Ai = A. Dada una partición A1 < · · · < AN de tamaño N ≤ M

de A, puesto que z∗ =∑N

i=1 Aiz∗ y z∗ no es una (M, g)-forma, existe 1 ≤ j ≤ N tal que∥∥Ajz

∗∥∥ > g(M)−1. De�namos

αM = mın{∥∥Ez∗

∥∥− g(M)−1 :∥∥Ez∗

∥∥ > g(M)−1, E ⊂ A es un intervalo}.

Observemos que αM está bien de�nido porque el conjunto es no vacío y el mínimo existeporque hay solamente un número �nito de tales conjuntos E, y además αM > 0. Ahora,sea y∗ ∈ B tal que ‖y∗ − z∗‖ < αM/2. Consideremos cualquier partición A1 < · · · < AN detamaño N ≤ M de A. Como ya mencionamos antes, existe 1 ≤ j ≤ N tal que

∥∥Ajz∗∥∥ >

g(M)−1. Como X satisface una f -estimación inferior,∥∥Aj(z∗ − y∗)

∥∥ ≤ ‖y∗ − z∗‖ < αM/2.Luego,∥∥Ajy

∗∥∥ >∥∥Ajz

∗∥∥− αM/2 ≥ αM + g(M)−1 − αM/2 = αM/2 + g(M)−1 > g(M)−1.

Por lo tanto, puesto que y∗ =∑N

i=1 Aiy∗, y∗ no es una (M, g)-forma, es decir, y∗ ∈ B \DM .

Entonces B \DM es abierto en B, y por lo tanto DM es cerrado en B.

Observemos que B es la bola unitaria cerrada en un espacio de dimensión �nita, y en-tonces es compacto (véase el teorema 1.13). Por lo tanto DM también lo es, ya que escerrado en B. Como la función v : DM → R dada por v(x∗) = |x∗(x)| es continua, de la


compacidad de DM se sigue que supCM ∈ CM . Ahora bien, como C =⋃n

M=2 CM , entoncessupC = max2≤M≤n supCM , y por lo tanto supC ∈ C.

Lema 3.38 Sean f, g ∈ F con g ≥√

f , X ∈ X que satisface una f -estimación inferior,

ε > 0, x1 < · · · < xN una S.R.C. en X para f con constante 1 + ε, y x =∑N

i=1 xi.

Supongamos que

‖Ex‖ ≤ sup{|x∗(Ex)| : M ≥ 2, x∗ es una (M, g)-forma

}para todo intervalo E de longitud al menos 1. Entonces ‖x‖ ≤ (1 + ε + ε′)Ng(N)−1.

Demostración. Sea E ⊂ N un intervalo. De la desigualdad del triángulo se sigue que

‖Ex‖ =

∥∥∥∥∥N∑

i=1

Exi

∥∥∥∥∥ ≤N∑

i=1

‖Exi‖ =jE∑

i=iE

‖Exi‖ . (3.44)

Ahora bien, si iE < i < jE , como xi es una `ni1+-media con constante 1 + ε, entonces

‖Exi‖ =

∥∥∥∥∥E(ni∑

k=1

xi,k)

∥∥∥∥∥ ≤ni∑

k=1

‖Exi,k‖ ≤ni∑

k=1

‖xi,k‖ ≤ ni(1 + ε)n−1i = 1 + ε. (3.45)

Por otro lado,

‖ExiE‖ ≤niE∑

k=rE

‖ExiE ,k‖ ≤niE∑

k=rE

‖xiE ,k‖ ≤ (niE −rE +1)(1+ε)n−1iE

= (1+ε)(1− rE

niE

+1

niE

).

(3.46)Además,

‖ExjE‖ ≤sE∑

k=1

‖ExjE ,k‖ ≤sE∑

k=1

‖xjE ,k‖ ≤ sE(1 + ε)n−1jE

. (3.47)

Por lo tanto, de (3.44), (3.45), (3.46), (3.47), y que n1 ≤ niE por la proposición 3.26,

‖Ex‖ ≤ (1 + ε)(

jE − iE − 1 + 1− rE

niE

+1

niE

+sE

njE

)≤ (1 + ε)

(λ(E) +

1n1

). (3.48)

Si λ(E) ≥ (1 + ε)/ε′n1, entonces obtenemos

‖Ex‖ ≤ (1+ ε)λ(E)+ (1+ ε)/n1 = (1+ ε)λ(E)+ ε′(1+ ε)/ε′n1 ≤ (1+ ε+ ε′)λ(E). (3.49)

De�namos G : [1,∞) → [1,∞) por G(x) = x/g(x), y extendámosla a todo R+ como en laproposición 3.10. Si λ(E) ≤ 1, por (3.49) obtenemos que

‖Ex‖ ≤ (1 + ε + ε′)λ(E) ≤ (1 + ε + ε′)G(λ(E)).


Probaremos ahora que siempre que λ(E) > 1 y λ(E) ≥ (1 + ε)/ε′n1,

‖Ex‖ ≤ (1 + ε + ε′)G(λ(E)). (3.50)

Supongamos entonces que E es un intervalo minimal de longitud al menos (1 + ε)/ε′n1

para el cual la desigualdad (3.50) no se cumple. Sabemos que λ(E) > 1. Por otro lado,por la proposición 3.37 existe alguna (M, g)-forma x∗ =

∑Mi=1 x∗i tal que ‖Ex‖ ≤ |x∗(Ex)|.

Por el corolario 3.32, si M ≥ Mf (N/ε′) entonces ‖Ex‖ ≤ |x∗(Ex)| ≤ (1 + ε + ε′) ≤(1 + ε + ε′)G(λ(E)), es decir, la desigualdad se cumple para E. Luego, debemos tener que

M ≤ Mf (N/ε′). (3.51)

Tomando Ei = E ∩ ran(x∗i ), obtenemos, por la de�nición 3.27,

‖Ex‖ ≤ |x∗(Ex)| =

∣∣∣∣∣M∑i=1

x∗i (Ex)

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣

M∑i=1

x∗i (Eix)

∣∣∣∣∣≤

M∑i=1

|x∗i (Eix)| ≤M∑i=1

‖x∗i ‖ ‖Eix‖ ≤ g(M)−1M∑i=1

‖Eix‖

(3.52)

Si para algún i0 se tuviera que Ei0 = E, entonces tendríamos Ei = ∅ para toda i 6= i0,y entonces la desigualdad (3.52) se reduciría a ‖Ex‖ ≤ g(M)−1 ‖Ex‖. Como para E nose cumple la desigualdad (3.50), ‖Ex‖ > 0 y por lo tanto obtenemos que 1 ≤ g(M)−1,es decir, g(M) ≤ 1, lo cual es una contradicción puesto que M ≥ 2 y g ∈ F , por loque g(M) > g(1) = 1. Así, podemos suponer que ninguno de los intervalos Ei es igual aE. Sea λi = λ(Ei) para cada i. Para cada i, tenemos que λi ≤ (1 + ε)/ε′n1, o bien queλi ≥ (1+ε)/ε′n1 y en este segundo caso, por la minimalidad de E, ‖Eix‖ ≤ (1+ε+ε′)G(λi).Sea A el conjunto de los i con la primera propiedad, y sea B el complemento de A. Seak = |A|.

De la de�nición de A y (3.48) se obtiene∑i∈A

‖Eix‖ ≤ (1+ε)∑i∈A

(λi+

1n1

)≤ k(1+ε)

(1 + ε

ε′n1+

1n1

)= (1+ε)(1+ε+ε′)

k

ε′n1. (3.53)

Observemos que G(1)−G′(1) = 1−G′(1) = 1− g(1)−1·g′(1)g(1)2

= g′(1). Como λ ≥ 1, esto juntocon la proposición 3.9 nos da que para cualquier 0 ≤ t < 1

(1− t)G( λ

1− t

)+ tg′(1) ≤ G(λ), (3.54)

y en el caso t = 1,g′(1) ≤ G(λ). (3.55)

Y por otro lado, puesto que g ≥√

f y g(1) = f(1) = 1, tenemos que lıms↓0(g(1 + s) −

g(1))/s ≥ lıms↓0

(√f(1 + s) −

√f(1)

)/s. Entonces, usando la regla de la cadena para

calcular el segundo límite,

g′(1) ≥ f(1)−1/2f ′(1)/2 = f ′(1)/2 > 0, (3.56)


donde la última desigualdad se sigue de la proposición 3.5.

Usando (3.51), la propiedad (ii) de la de�nición de S.R.C. (de�nición 3.25), y (3.56) obte-nemos que

(1 + ε)ε′n1

≤ 1M

(1 + ε)Mf (N/ε′)ε′n1

≤ 1M

f ′(1)2

≤ 1M

g′(1). (3.57)

Ahora consideremos los dos casos posibles:

(1) Si k < M :Como G es una función cóncava y no decreciente y por la proposición 3.36 tenemos que∑

λi ≤ λ(E) = λ, la desigualdad de Jensen (proposición 1.3) nos da que

∑i∈B

‖Eix‖ ≤ (1 + ε + ε′)∑i∈B

G(λi) ≤ (1 + ε + ε′)(M − k)G(∑

i∈B λi

M − k

)≤ (1 + ε + ε′)(M − k)G

(λ

M − k

).

(3.58)

De (3.52), (3.53) y (3.58), observando que G(M)/M = 1/g(M) ≤ 1 puesto que M ≥ 1,y que G es supermultiplicativa (véase la proposición 1.5) se sigue que

‖Ex‖ ≤ g(M)−1M∑i=1

‖Eix‖ =M

g(M)1M

(∑i∈B

‖Eix‖+∑i∈A

‖Eix‖

)

≤ G(M)M

[(1 + ε + ε′)(M − k)G

(λ

M − k

)+ (1 + ε)(1 + ε + ε′)

k

ε′n1

]≤ (1 + ε + ε′)

[G(M)

M(M − k)G

(λ

M − k

)+ (1 + ε)

k

ε′n1

]= (1 + ε + ε′)

[(1− k

M)G(M)G

(λ

M − k

)+ (1 + ε)

k

ε′n1

]≤ (1 + ε + ε′)

[(1− k

M)G

(λ

1− kM

)+ (1 + ε)

k

ε′n1

].

(3.59)

Por lo tanto, usando (3.57) y (3.54) con t = k/M (que es menor que 1 puesto quek < M), tenemos

(1 + ε + ε′)

[(1− k

M)G(

λ

1− kM

) + (1 + ε)k

ε′n1

]≤ (1 + ε + ε′)

[(1− t)G

(λ

1− t

)+ tg′(1)

]≤ (1 + ε + ε′)G(λ),

lo cual, al combinarlo con (3.59) nos da que ‖Ex‖ ≤ (1 + ε + ε′)G(λ).


(2) Si k = M :De (3.53), (3.57) y (3.55),

‖Ex‖ =

∥∥∥∥∥M∑i=1

Eix

∥∥∥∥∥ ≤M∑i=1

‖Eix‖ =∑i∈A

‖Eix‖ ≤ (1 + ε + ε′)M(1 + ε)ε′n1

≤ (1 + ε + ε′)M1M

g′(1) ≤ (1 + ε + ε′)G(λ).

En ambos casos, obtenemos una contradicción con nuestra suposición acerca de E.

Recapitulando, lo que hemos probado hasta ahora es que si λ(E) ≥ (1 + ε)/ε′n1, entonces,usando la proposición 3.34 y que G es creciente,

‖Ex‖ ≤ (1 + ε + ε′)G(λ(E)) ≤ (1 + ε + ε′)G(N) = (1 + ε + ε′)Ng(N)−1.

Ahora supongamos que λ(E) ≤ (1 + ε)/ε′n1. De la propiedad (ii) de la de�nición de S.R.C.(de�nición 3.25) obtenemos que

1 + ε

ε′n1≤ f ′(1)

2Mf (N/ε′)

lo cual junto con (3.48) nos da que

‖Ex‖ ≤ (1 + ε)(

λ(E) +1n1

)≤ (1 + ε)

(1 + ε

ε′n1+

1n1

)= (1 + ε + ε′)

1 + ε

ε′n1

≤ (1 + ε + ε′)f ′(1)

2Mf (N/ε′)≤ (1 + ε + ε′)f ′(1) ≤ 1 + ε + ε′ ≤ (1 + ε + ε′)Ng(N)−1

y por lo tanto el lema está probado, tomando E = ran(x).

Construiremos ahora un sistema biortogonal asintótico en algunos de los espacios Sf , peroprimero probaremos algunos resultados previos.

Proposición 3.39 Sea f ∈ F . Entonces todo subespacio de dimensión in�nita de Sf con-

tiene un subespacio bloque.

Demostración. Sea Y1 un subespacio de Sf de dimensión in�nita. De la de�nición de Sf ,existe x1 ∈ Y1 vector no cero con soporte �nito. Para n ∈ N sea Xn = sp{ei : 1 ≤ i ≤ n}.Sean n1 = max sop(x1) y Z1 = Xn1 ∩ Y1. Como Z1 es un subespacio de dimensión �nita deY1, existe un subespacio de dimensión in�nita Y2 de Y1 tal que Y1 = Z1 ⊕ Y2. Luego, existex2 ∈ Y2 vector no cero con soporte �nito, y claramente x1 < x2. Continuando inductivamenteeste proceso construimos una sucesión creciente de vectores x1 < x2 < · · · , que generan unsubespacio bloque (véase la de�nición 3.21) contenido en Y1.

Proposición 3.40 Sean f ∈ F y X ∈ X que satisface una f -estimación inferior. Sean

0 < ε < 1/2 y x1, . . . , xk una S.R.C. en X para f de longitud k con constante 1 + ε. Seanz =

∑ki=1 xi, y E un intervalo de longitud mayor o igual a 1. Entonces ‖Ez‖ > ‖Ez‖∞.


Demostración. De la de�nición de S.R.C., para 1 ≤ i ≤ k, xi es una `ni1+-media con constante

1 + ε, es decir, xi =∑ni

u=1 xi,u donde xi,1 < · · · < xi,ni satisfacen

‖xi,u‖ ≤ (1 + ε)n−1i , (3.60)

y entonces‖xi‖∞ = max

1≤u≤ni

‖xi,u‖∞ ≤ max1≤u≤ni

‖xi,u‖ ≤ (1 + ε)n−1i .

Ahora bien, observemos que Mf (k/ε) ≥ 1 y f ′(1) ≤ 1 por la proposición 3.6. Por lo tanto,usando además la proposición 3.26 y la parte (ii) de la de�nición de S.R.C. (de�nición 3.25)

ni ≥ n1 ≥2(1 + ε)Mf (k/ε)

εf ′(1)≥ 2(1 + ε)

ε≥ 2

1/2= 4,

de donde‖xi‖∞ ≤ (1 + ε)

ε

2(1 + ε)=

ε

2< 1. (3.61)

Recordemos que E es un intervalo con λ(E) ≥ 1. Entonces, o existe un 1 ≤ i0 ≤ k tal quesop(xi0) ⊂ E, o bien existen i tal que 1 ≤ i < k, r > 1 y s < ni+1 tales que

Ez = xi,r + xi,r+1 + · · ·+ xi,ni + xi+1,1 + xi+1,2 + · · ·+ xi+1,s

cons

ni+1− r

ni≥ 0, (3.62)

puesto que 1 ≤ λ(E) = (i + 1)− i + s/ni+1 − r/ni. En el primer caso, de (3.61),

‖Ez‖ ≥ ‖xi0‖ = 1 > max1≤j≤k

‖xj‖∞ ≥ ‖Ez‖∞ .

En el segundo caso, por (3.60) se obtiene que

‖Exi‖ ≥ ‖xi‖ −r−1∑u=1

‖xi,u‖ ≥ 1− (r − 1)1 + ε

ni(3.63)

y que

‖Exi+1‖ ≥ ‖xi+1‖ −ni+1∑

u=s+1

‖xi+1,u‖ ≥ 1− (ni+1 − s)1 + ε

ni+1. (3.64)

Por lo tanto, puesto que X satisface una f -estimación inferior, y usando (3.63), (3.64) y(3.62)

‖Ez‖ ≥ f(2)−1(‖Exi‖+ ‖Exi+1‖

)≥ f(2)−1

[2− (1 + ε)

(r − 1ni

+ni+1 − s

ni+1

)]≥ f(2)−1

[2− (1 + ε)

(−1ni

+ni+1

ni+1

)]= f(2)−1

[2 + (1 + ε)

(1ni

− 1)] (3.65)


Supongamos ahora que ‖Ez‖ = ‖Ez‖∞. Usando (3.60) y que ni+1 > ni (proposición 3.26),

‖Ez‖∞ = maxr≤u≤ni

‖xi,u‖∞ ∨ max1≤u≤s

‖xi+1,u‖∞ ≤ (1 + ε)n−1i ∨ (1 + ε)n−1

i+1 = (1 + ε)n−1i ,

lo cual junto con (3.65) implica que

1 + ε

ni≥ f(2)−1

[2 + (1 + ε)

(1ni

− 1)]

de donde se sigue que

2 > f(2) ≥ ni

1 + ε

[2 + (1 + ε)

(1ni

− 1)]

= ni

[2

1 + ε+

1ni

− 1]

= 1 + ni1− ε

1 + ε.

Luego, como 1− ε > 0,

ni <1 + ε

1− ε≤ 1 + 1/2

1− 1/2=

3/21/2

= 3,

lo cual es una contradicción, y por lo tanto ‖Ez‖ > ‖Ez‖∞.

Proposición 3.41 Sean f ∈ F , 0 < ε < 1/2 y x1, . . . , xk una S.R.C. en Sf para f de

longitud k con constante 1 + ε. Sean z =∑k

i=1 xi, y E un intervalo de longitud mayor o

igual a 1. Entonces

‖Ez‖ ≤ sup{|x∗(Ez)| : M ≥ 2, x∗es una (M,f)-forma

}.

Demostración. Por la proposición 3.40, ‖Ez‖ > ‖Ez‖∞. Por la de�nición de la norma enSf (de�nición 3.12), concluimos que

‖Ez‖ = sup{

f(M)−1M∑

j=1

‖Ejz‖ : M ≥ 2, E1 < · · · < EM intervalos}

. (3.66)

Sean M ≥ 2 y E1 < · · · < EM intervalos. Para 1 ≤ j ≤ M , sea x∗j la funcional soportepara Ejz dada por la proposición 3.28, que cumple ‖x∗j‖ ≤ 1, x∗j (Ejz) = ‖Ejz‖ y ran(x∗j ) ⊂ran(Ejz). Sea x∗ =

∑Mj=1 f(M)−1x∗j . Observemos que f(M)−1x∗1 < · · · < f(M)−1x∗M ,

‖f(M)−1x∗j‖ ≤ f(M)−1 y para toda y ∈ Sf , puesto que Sf satisface una f -estimacióninferior,

|x∗(y)| ≤ f(M)−1M∑

j=1

|x∗j (y)| = f(M)−1M∑

j=1

|x∗j (Ejy)|

≤ f(M)−1M∑

j=1

‖x∗j‖ ‖Ejy‖ ≤ f(M)−1M∑

j=1

‖Ejy‖ ≤ ‖y‖ ,

de donde ‖x∗‖ ≤ 1 y por lo tanto x∗ es una (M,f)-forma, que satisface

f(M)−1M∑

j=1

‖Ejz‖ = f(M)−1M∑

j=1

x∗j (Ejz) =M∑

j=1

f(M)−1x∗j (Ez) = x∗(Ez).


De esto último y (3.66) concluimos que

‖Ez‖ ≤ sup{|x∗(Ez)| : M ≥ 2, x∗es una (M,f)-forma

},

lo que queríamos demostrar.

Sea f ∈ F , y sean δ ∈ (0, 1) y N1 = M21 < N2 = M2

2 < · · · una sucesión de cuadra-dos que satisfaga

f(N1)/N1 < δ/2, f(N1) > 8δ−1 (3.67)

y Nj > Mf (2Nj−1) para j > 1 (que claramente existe puesto que los cuadrados no estánacotados, lımx→∞ f(x)/x = 0 y lımx→∞ f(x) = ∞). Sea Ak el conjunto de vectores denorma 1 de la forma x =

∑Nki=1 xi donde x1/C, . . . , xNk

/C es una S.R.C. en Sf para f conconstante 1 + δ/2 para algún C > 0. Como Sf satisface una f -estimación inferior, sabemosque

1C

=‖x‖C

=

∥∥∥∥∥Nk∑i=1

xi

C

∥∥∥∥∥ ≥ f(Nk)−1Nk∑i=1

∥∥∥xi

C

∥∥∥ = f(Nk)−1Nk

de donde se sigue queC ≤ f(Nk)N−1

k . (3.68)

Sea A∗k el conjunto de funcionales de la forma x∗ = f(Nk)−1

∑Nki=1 x∗i donde x∗1 < · · · < x∗Nk

y‖x∗i ‖ ≤ 1 para 1 ≤ i ≤ Nk. Observemos que para x ∈ Sf , como Sf satisface una f -estimacióninferior,

|x∗(x)| = f(Nk)−1

∣∣∣∣∣Nk∑i=1

x∗i (x)

∣∣∣∣∣ ≤ f(Nk)−1Nk∑i=1

|x∗i (x)| = f(Nk)−1Nk∑i=1

|x∗i (ran(x∗i )x)|

≤ f(Nk)−1Nk∑i=1

‖x∗i ‖ ‖ran(x∗i )x)‖ ≤ f(Nk)−1Nk∑i=1

‖ran(x∗i )x)‖ ≤ ‖x‖

Y por lo tanto ‖x∗‖ ≤ 1.

De�nición 3.42 Si f ∈ F es tal que para toda x ≥ 1, f(x2) ≤ 2f(x) y f1/2 ∈ F ,

diremos que f es una función de Schlumprecht, y que el espacio Sf es un espacio de

Schlumprecht.

Obsérvese que la función f es una función de Schlumprecht, y por lo tanto el espacio S esun espacio de Schlumprecht.

Proposición 3.43 Si f ∈ F es una función de Schlumprecht, entonces los conjuntos

{Ak}∞k=1 y {A∗k}∞k=1 de�nidos anteriormente forman un sistema biortogonal asintótico con

constante δ en el espacio Sf .

Demostración. Veamos que los conjuntos Ak son asintóticos para cada k. Para ello, �jemosun k ∈ N y un subespacio de dimensión in�nita Y de Sf . Sean ε = δ/2 y n1 ∈ N tal quen1 ≥ 2(1 + ε)Mf (Nk/ε′)/ε′f ′(1). Por la proposición 3.39, Y contiene un subespacio bloque


B1 generado por una base bloque {yi}∞i=1. Por el lema 3.22, B1 contiene una `n11+-media x1

con constante 1 + ε. Ahora, sea n2 ∈ N tal que ε′

2 f(n2)1/2 ≥ | sop(x1)|, y sea m1 ∈ N talque x1 ∈ [yi]m1

i=1, que claramente existe puesto que x1 ∈ B1, sop(x1) es �nito y B1 = 〈yi〉∞i=1.Observemos que B2 = 〈yi〉∞i=m1+1 también es un subespacio bloque contenido en Y , y por lotanto contiene una `n2

1+-media x2 con constante 1 + ε. Observemos que x1 < x2. Repitiendoel proceso, construimos una S.R.C. para f de longitud Nk con constante 1 + ε contenidaen Y . Como Y es un subespacio y los xi son sucesivos, 0 6= x =

∑Nki=1 xi ∈ Y , y entonces

x/ ‖x‖ ∈ S(Y ) ∩Ak. Por lo tanto, S(Y ) ∩Ak 6= ∅, lo cual prueba que Ak es asintótico.

Sean j 6= k naturales, sea x ∈ Ak, es decir, x =∑Nk

i=1 xi donde x1/C, . . . , xNk/C es una

S.R.C. para f con constante 1 + δ/2 para algún C > 0, y sea y∗ = f(Nj)−1∑Nj

i=1 y∗i ∈ A∗j ,

con y∗1 < · · · < y∗Njy ‖y∗i ‖ ≤ 1 para 1 ≤ i ≤ Nj . Observemos que y∗ es claramente una

(Nj , f)-forma, ya que ‖y∗‖ ≤ 1 y∥∥f(Nj)−1y∗i

∥∥ ≤ f(Nj)−1 para 1 ≤ i ≤ Nj . Hay dos casosposibles:

(1) Si j > k entonces, usando el hecho de que Nj > Mf (2Nk) = Mf (Nk/12), podemos

aplicar el lema 3.31 con ε = 1/2, y obtenemos |y∗(x/C)| ≤ 1 + 1/2 + 1/2 = 2, de dondese sigue usando (3.68), y que t/f(t) es no decreciente, que

|y∗(x)| ≤ 2C ≤ 2f(Nk)

Nk≤ 2

f(N1)N1

< δ.

(2) Si j < k, observemos que

x =Nk∑i=1

xi =M2

k∑i=1

xi =Mk−1∑l=0

(l+1)Mk∑i=lMk+1

xi.

De�namos zl =∑(l+1)Mk

i=lMk+1 xi para 0 ≤ l ≤ Mk − 1. Observemos que de la de�niciónde S.R.C. (de�nición 3.25) y la proposición 3.26, como x1/C, . . . , xNk

/C es una S.R.C.para f de longitud Nk con constante 1+δ/2, entonces xlMk+1/C, . . . , x(l+1)Mk

/C es unaS.R.C. para f de longitud Mk con constante 1 + δ/2. Luego, por la proposición 3.41,para todo intervalo E tal que λ(E) ≥ 1 respecto a xlMk+1/C, . . . , x(l+1)Mk

/C,

‖Ezl/C‖ ≤ sup {|x∗(Ezl/C)| : M ≥ 2, x∗es una (M,f)-forma} .

Por lo tanto, ya que f1/2 ∈ F , zl/C satisface las hipótesis del lema 3.38 con f = g, yentonces

‖zl/C‖ ≤ (1 + δ/2 + δ/2)Mkf(Mk)−1 = (1 + δ)Mkf(Mk)−1 ≤ 2Mkf(Mk)−1.

Luego,

‖zl‖ ≤ 2CMkf(Mk)−1 ≤ 2f(Nk)N−1k Mkf(Mk)−1

= 2f(M2k )M−2

k Mkf(Mk)−1 = 2f(M2k )f(Mk)−1M−1

k


Por las hipótesis, f(M2k ) ≤ 2f(Mk). Luego,

‖zl‖ ≤ 2 · 2f(Mk)f(Mk)−1M−1k = 4M−1

k ,

de lo cual se sigue que x es una `Mk1+ -media con constante 4.

Observemos que como Nk > Mf (2Nj) entonces Nk ≥ f(Nk) > 36(2Nj)2 y por lotanto Mk =

√Nk ≥ 12Nj > 2Nj , de lo cual se sigue que 2Nj/Mk ≤ 1. Usando esto y el

lema 3.23 obtenemos que

|y∗(x)| =∣∣∣f(Nj)−1

Nj∑i=1

x∗i (x)∣∣∣ ≤ f(Nj)−1

Nj∑i=1

|x∗i (x)| = f(Nj)−1

Nj∑i=1

|x∗i(ran(x∗i )x

)|

≤ f(Nj)−1

Nj∑i=1

‖x∗i ‖ ‖ran(x∗i )x‖ ≤ f(Nj)−1

Nj∑i=1

‖ran(x∗i )x‖

≤ f(Nj)−14(1 + 2Nj/Mk) ≤ 8f(Nj)−1 ≤ 8f(N1)−1 < δ.

Finalmente, si x ∈ Ak es como antes, puesto que x1/C, . . . , xNk/C es una S.R.C. para f con

constante 1 + δ/2, por la proposición 3.41, para todo intervalo E tal que λ(E) ≥ 1 respectoa x1/C, . . . , xNk

/C,∥∥∥∥Ex

C

∥∥∥∥ ≤ sup {|x∗(Ex/C)| : M ≥ 2, x∗es una (M,f)-forma} ,

es decir, x satisface las hipótesis del lema 3.38 con f = g. Por lo tanto

‖x/C‖ ≤ (1 + δ/2 + δ/2)Nkf(Nk)−1 = (1 + δ)Nkf(Nk)−1

de donde, recordando que xi/C es una `ni1+-media y por lo tanto ‖xi/C‖ = 1,

1 = ‖x‖ ≤ (1 + δ)Nkf(Nk)−1C = (1 + δ)Nkf(Nk)−1 ‖xi‖ . (3.69)

Así, si x∗i es una funcional soporte de xi (dada por la proposición 3.28), entonces x∗ =f(Nk)−1

∑Nki=1 x∗i es un elemento de A∗

k (puesto que las x∗i son consecutivas y de normamenor o igual a 1) y entonces, usando (3.69),

x∗(x) = f(Nk)−1

(Nk∑i=1

x∗i

)(Nk∑i=1

xi

)= f(Nk)−1

Nk∑i=1

x∗i (xi) = f(Nk)−1Nk∑i=1

‖xi‖

≥ f(Nk)−1Nk∑i=1

f(Nk)Nk(1 + δ)

=1

1 + δ=

1− δ

1− δ2> 1− δ,

con lo que �naliza la prueba.

Utilizando la proposición 3.43 y el teorema 2.6 probaremos que para cualquier C > 1/24, to-do espacio de Schlumprecht puede ser renormado de modo que no contenga ninguna sucesiónbásica C-incondicional.


Proposición 3.44 Sean f una función de Schlumprecht y C > 1/24. Entonces existe una

norma |‖·|‖ en Sf equivalente a ‖·‖ tal que ninguna sucesión básica en (Sf , |‖·|‖) es C-

incondicional.

Demostración. Como Sf tiene base, es separable y por lo tanto Sf también. Como C > 1/24,δ = 1/(36 ·16C2) < 242/576 = 1, y entonces por la proposición 3.43, Sf contiene un sistemabiortogonal asintótico con constante δ. Luego, por el teorema 2.6, existe una norma |‖·|‖ enSf equivalente a ‖·‖ tal que ninguna sucesión básica en Sf es 1/

√36δ = 4C-incondicional.

Observemos que como las normas son equivalentes, la función |‖·|‖ : Sf → R es ‖·‖-continua.Como Sf es ‖·‖-denso en Sf , podemos extenderla (de manera única) a una función continua|‖·|‖ : Sf → R, la cual claramente es una norma para Sf .

Sea {yn}∞n=1 ⊂ Sf una sucesión básica cualquiera. Del teorema 1.40, ‖yn‖ 6= 0 para to-da n ∈ N, y entonces por la proposición 1.42 {yn/ ‖yn‖}∞n=1 es una sucesión básica ‖·‖-normalizada.

Como Sf es |‖·|‖-denso en Sf , por el teorema 1.47 existe una sucesión básica {xn}∞n=1 ⊂Sf que es 2-equivalente en la norma |‖·|‖ a {yn/ ‖yn‖}∞n=1. Entonces {xn}∞n=1 no es 4C-incondicional en la norma |‖·|‖, y entonces existen m ∈ N, una sucesión de escalares {an}m

n=1

y una sucesión de escalares {εn}mn=1 con |εn| ≤ 1 para 1 ≤ n ≤ m tales que∣∣∣∣∣

∥∥∥∥∥m∑

n=1

εnanxn

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ > 4C

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

m∑n=1

anxn

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ .

Ahora, como las sucesiones son 2-equivalentes,∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

m∑n=1

εnan

‖yn‖yn

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≥ 1

2

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

m∑n=1

εnanxn

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ >

4C

2

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

m∑n=1

anxn

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≥ C

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

m∑n=1

an

‖yn‖yn

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ,

lo cual prueba que {yn}∞n=1 no es C-incondicional.

Ahora probaremos el resultado anunciado al inicio del capítulo.

Proposición 3.45 Todo espacio de Schlumprecht es arbitrariamente distorsionable.

Demostración. Sea f ∈ F una función de Schlumprecht. Consideremos µ > 1 dada. Ob-servemos que para probar que Sf es µ-distorsionable basta considerar subespacios cerrados,puesto que si Z es un subespacio de Sf y |‖·|‖ es una norma equivalente a ‖·‖, entonces

sup{|‖z1|‖|‖z2|‖

: z1, z2 ∈ Z, ‖z1‖ = ‖z2‖ = 1}

= sup{|‖z1|‖|‖z2|‖

: z1, z2 ∈ Z, ‖z1‖ = ‖z2‖ = 1}

ya que Z es ‖·‖-denso en Z y |‖·|‖ es una función ‖·‖-continua. Así pues, sea X ⊂ Sf

un subespacio cerrado de Sf . Entonces, por los teoremas 1.47 y 1.48, existen una sucesión


básica ‖·‖-normalizada {yn}∞n=1 ⊂ X y una base bloque ‖·‖-normalizada {un}∞n=1 ⊂ Sf

2-equivalentes. Luego, para cualquier sucesión de escalares {bn}mn=1 se tiene que

12

∥∥∥∥∥m∑

n=1

bnyn

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥

m∑n=1

bnun

∥∥∥∥∥ ≤ 2

∥∥∥∥∥m∑

n=1

bnyn

∥∥∥∥∥ . (3.70)

Sea C = 4µ > 4 > 1/24. Entonces, por la proposición 3.44 existe una norma |‖·|‖ para Sf

equivalente a ‖·‖ tal que (Sf , |‖·|‖) no contiene ninguna sucesión básica C-incondicional. Enparticular, la sucesión {yi}∞i=1 no es C-incondicional, es decir, existen m ∈ N, una sucesiónde escalares {an}m

n=1 y una sucesión de escalares {εn}mn=1 de módulo a lo más 1 tales que∣∣∣∣∣

∥∥∥∥∥m∑

n=1

εnanyn

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ > C

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

m∑n=1

anyn

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ . (3.71)

Sean w1 =∑m

n=1 anyn y w2 =∑m

n=1 εnanyn. Como la base {en}∞n=1 es 1-incondicional (enla norma ‖·‖) por la proposición 3.16, y puesto que {un}∞n=1 es una base bloque,∥∥∥∥∥

m∑n=1

εnanun

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥

m∑n=1

anun

∥∥∥∥∥ .

Ahora bien, de esto y (3.70) se sigue que

12‖w2‖ =

12

∥∥∥∥∥m∑

n=1

εnanyn

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥

m∑n=1

εnanun

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥

m∑n=1

anun

∥∥∥∥∥ ≤ 2

∥∥∥∥∥m∑

n=1

anyn

∥∥∥∥∥ = 2 ‖w1‖ . (3.72)

Haciendoz2 =

w2

‖w2‖y z1 =

w1

‖w1‖,

de (3.71) y (3.72) se sigue que

|‖z2|‖|‖z1|‖

>C

4=

4µ

4= µ,

por lo que (Sf , ‖·‖) es µ-distorsionable. Como esto es para cualquier µ > 1, concluimos que(Sf , ‖·‖) es arbitrariamente distorsionable.

Ahora mostramos que existe una in�nidad de espacios de Schlumprecht.

Proposición 3.46 Sea 0 < p ≤ 1. Entonces Sp = Sfp es un espacio de Schlumprecht.

Demostración. Primero observemos que por las proposiciones 3.7 y 3.8, fp ∈ F y por lotanto tiene sentido hablar del espacio Sfp .

Por otro lado, para x ≥ 1, x2 + 1 ≤ (x + 1)2 y por lo tanto

f(x2) = log2(x2 + 1) ≤ log2[(x + 1)2] = 2 log2(x + 1) = 2f(x),


de donde [f(x2)]p ≤ 2p[f(x)]p ≤ 2[f(x)]p. Además, para 0 < p ≤ 1 se tiene que 0 < p/2 ≤1/2 < 1, y entonces (fp)1/2 = fp/2 ∈ F por la proposición 3.8. Por lo tanto, fp es unafunción de Schlumprecht, y entonces Sp es un espacio de Schlumprecht.

Observemos que en la proposición 3.46 está incluido el caso particular del espacio de Sch-lumprecht S = Sf . Como la propiedad de ser arbitrariamente distorsionable se preserva

bajo isomor�smos (proposición 3.3), cabe preguntarse si los espacios Sp para 0 < p ≤ 1 sonisomorfos, pues entonces no habríamos construido nada nuevo. El teorema 3.49 muestra queeste no es el caso, pero antes necesitaremos probar otros dos resultados.

Proposición 3.47 Sea 0 < p ≤ 1. Entonces Sp es re�exivo.

Demostración. Por la proposición 3.16, la base estándar {ei}∞i=1 de Sp es incondicional.

Supongamos que Sp contiene un subespacio X isomorfo a c0. Como Sp es de Schlumprechtes arbitrariamente distorsionable, y entonces claramente X también lo es. Entonces, porla proposición 3.3 se tendría que c0 es arbitrariamente distorsionable, lo que contradice laproposición 3.2. Así, Sp no contiene ningún subespacio isomorfo a c0, y análogamente nocontiene ninguno isomorfo a `1. Luego, por el teorema 1.63, Sp es re�exivo.

El siguiente lema, a diferencia de muchos de los anteriores, no está tomado del artículode Gowers y Maurey [13], sino del artículo en el que Schlumprecht mostró la construcciónde su espacio [24].

Lema 3.48 Sea f ∈ F . Entonces para toda n ∈ N, en el espacio Sf∥∥∥∥∥n∑

i=1

ei

∥∥∥∥∥ =n

f(n).

Demostración. Denotaremos zn =∑n

i=1 ei. Para n = 1 el resultado es claro de la proposición3.16. Ahora sea n ≥ 2 y supongamos que el resultado es válido para todos los naturalesm < n. Observemos que de la de�nición de la norma en Sf (véase la de�nición 3.12), laproposición 3.16 y la propiedad (i) en la de�nición de F (de�nición 3.4),

‖zn‖ ≥1

f(n)

n∑i=1

‖ei‖ =n

f(n)> 1 =

∥∥∥∥∥n∑

i=1

ei

∥∥∥∥∥∞

. (3.73)

Por lo tanto, de la de�nición de la norma,

‖zn‖ = sup{ 1

f(N)

N∑i=1

‖Eizn‖ : N ≥ 2, E1 < · · · < EN intervalos}

.

Por la observación 3.13, existen 2 ≤ m ≤ n e intervalos E1 < · · · < Em tales que

‖zn‖ =1

f(m)

m∑i=1

‖Eizn‖ . (3.74)


Obsérvese que podemos suponer que max Em ≤ n. Además, de la demostración de la pro-posición 3.14, al menos dos de las proyecciones Eizn son distintas de cero, y por lo tantoni = |Ei| < n para 1 ≤ i ≤ m. De la observación 3.15, la hipótesis inductiva y (3.74),

‖zn‖ =1

f(m)

m∑i=1

‖Eizn‖ =1

f(m)

m∑i=1

ni

f(ni)=

m

f(m)

m∑i=1

1m

ni

f(ni). (3.75)

Ahora bien, de la propiedad (iv) en la de�nición de F (de�nición 3.4), x/f(x) es una funcióncóncava, y entonces por la desigualdad de Jensen (proposición 1.3)

m∑i=1

1m

ni

f(ni)≤

∑mi=1

1mni

f(∑m

i=11mni

) . (3.76)

Por la proposición 3.5 x/f(x) es una función creciente, y entonces, puesto que claramente∑mi=1 ni ≤ n, ∑m

i=11mni

f(∑m

i=11mni

) ≤ n/m

f(n/m). (3.77)

Además, de la propiedad (v) en la de�nición de F (de�nición 3.4), f(n) ≤ f(m)f(n/m).De esto, (3.74), (3.75), (3.76) y (3.77),

‖zn‖ ≤m

f(m)n/m

f(n/m)=

n

f(m)f(n/m)≤ n

f(n). (3.78)

La conclusión de la proposición se sigue de (3.73) y (3.78).

Teorema 3.49 Sean 0 < q < p ≤ 1. Entonces Sq y Sp no son isomorfos.

Demostración. Para evitar confusiones, para cada 0 < t ≤ 1 denotaremos por {e(t)i }∞i=1 a la

base estándar de St y por ‖·‖t a su norma.

Supongamos que existe un isomor�smo T : Sp → Sq. Sea x∗ ∈ (Sp)∗. De la proposición 3.47

y el teorema 1.62, la base {e(p)i }∞i=1 es reductora y por lo tanto

x∗ =∞∑i=1

ai(e(p)i )∗,

y claramente ai = x∗(e(p)i ). Como la base {e(p)

i }∞i=1 es monótona (véase la proposición

3.16), ‖(e(p)i )∗‖p = 1 para cada i ∈ N. Por lo tanto, aplicando el lema 1.37 obtenemos

que lımi→∞ x∗(e(p)i ) = 0, y entonces {e(p)

i }∞i=1 converge a cero en la topología débil por el

teorema 1.30. De la proposición 1.31, T es débilmente continuo y por lo tanto {Te(p)i }∞i=1

también converge débilmente a cero. Del lema 1.49 obtenemos una subsucesión {Te(p)ij}∞j=1

de {Te(p)i }∞i=1 y una base bloque {yi}∞i=1 de {e(q)

i }∞i=1 tales que

{Te(p)ij}∞j=1 es equivalente a {yi}∞i=1. (3.79)


Además, como T es un isomor�smo,

{Te(p)ij}∞j=1 es equivalente a {e(p)

ij}∞j=1. (3.80)

Por otra parte, de la observación 3.15,

{e(p)i }∞i=1 es equivalente a {e(p)

ij}∞j=1. (3.81)

De (3.79), (3.80) y (3.81), como {e(p)i }∞i=1 es una base incondicional entonces {yi}∞i=1 también

lo es, y por lo tanto del lema 1.56, si zi = yi/ ‖yi‖q para cada i ∈ N,

{yi}∞i=1 es equivalente a {zi}∞i=1. (3.82)

De (3.79), (3.80), (3.81) y (3.82),

{e(p)i }∞i=1 es equivalente a {zi}∞i=1.

Luego, por la proposición 1.45, existe K > 0 tal que para toda n ∈ N y toda sucesión deescalares {ai}n

i=1,

1K

∥∥∥∥∥n∑

i=1

aie(p)i

∥∥∥∥∥p

≤

∥∥∥∥∥n∑

i=1

aizi

∥∥∥∥∥q

≤ K

∥∥∥∥∥n∑

i=1

aie(p)i

∥∥∥∥∥p

.

En particular, para toda n ∈ N,

‖∑n

i=1 zi‖q

‖∑n

i=1 e(p)i ‖p

≤ K. (3.83)

Ahora bien, de la de�nición de la norma en Sq, puesto que {zi}∞i=1 es una base bloquenormalizada, ∥∥∥∥∥

n∑i=1

zi

∥∥∥∥∥q

≥ 1[f(n)]q

n∑i=1

‖zi‖q =n

[f(n)]q.

Por el lema 3.48, ∥∥∥∥∥n∑

i=1

e(p)i

∥∥∥∥∥p

=n

[f(n)]p.

Entonces,‖∑n

i=1 zi‖q

‖∑n

i=1 e(p)i ‖p

≥n

[f(n)]q

n[f(n)]p

= [f(n)]p−q = [log2(n + 1)]p−q,

mas lımn→∞[log2(n + 1)]p−q = ∞ puesto que p − q > 0, lo cual contradice (3.83). Por lotanto, Sq y Sp no son isomorfos.

Así, por las proposiciones 3.45 y 3.46, y el teorema 3.49, hemos construido una in�nidad deespacios arbitrariamente distorsionables no isomorfos entre sí.

Comentarios �nales

El espacio de Tsirelson fue el primer espacio de Banach �no clásico�. Las normas en losespacios de Banach (de sucesiones) �clásicos�, como c0, `p para 1 ≤ p ≤ ∞, el espacio deJames, etc., se de�nen mediante fórmulas explícitas. En el espacio de Tsirelson, en cambio,la norma se puede de�nir mediante una fórmula implícita. Desde entonces se han construi-do diversas variantes del espacio de Tsirelson con distintas propiedades �patológicas� [4],cuyas normas también se de�nen de manera implícita, y que han servido para responderotras preguntas que llevaban mucho tiempo sin respuesta, algunas desde la época de Banach.

El espacio de Schlumprecht es una de estas variaciones con normas de�nidas implícita-mente, como se puede ver claramente en la de�nición 3.12. Una vez que se dio a conocer elespacio de Schlumprecht, no pasó mucho tiempo antes de que se construyeran importantesvariaciones de éste que resolvieron problemas abiertos, lo cual con�rma su importancia ma-temática e histórica.

En el verano de 1991, W. T. Gowers encontró un espacio sin sucesiones básicas incondi-cionales. Poco después, B. Maurey también encontró uno independientemente. Al compararsus ejemplos descubrieron que eran casi idénticos, al igual que las pruebas de que efectiva-mente resolvían el problema de la sucesión básica incondicional, así que decidieron publicarjuntos y trabajar sobre otras propiedades del espacio. El susodicho ejemplo es un re�na-miento del espacio de Schlumprecht, puesto que la de�nición (implícita) de la norma escasi idéntica excepto por un término extra. La forma de la ecuación que de�ne la norma(compárese con la de�nición 3.12) es

‖x‖ = ‖x‖∞ ∨ sup{

f(n)−1n∑

i=1

‖Eix‖ : 2 ≤ n ∈ N, E1 < · · · < En intervalos}

∨ sup{|g(x)| : g ∈ G

},

donde G es una cierta clase de operadores lineales acotados. La demostración de que el espa-cio de Gowers y Maurey no tiene sucesiones básicas incondicionales no utiliza herramientasmás avanzadas que las que hemos utilizado aquí, pero los detalles técnicos son bastante másengorrosos.

Gracias a una observación de W. B. Johnson, Gowers y Maurey notaron que su espacioes hereditariamente no factorizable (H.N.F.), es decir, ninguno de sus subespacios cerrados

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de dimensión in�nita puede ser expresado como suma directa de dos subespacios cerrados dedimensión in�nita. Esto respondió una pregunta de Lindenstrauss, a saber, si todo espaciode Banach de dimensión in�nita podía ser expresado como suma directa de dos subespacioscerrados de dimensión in�nita. Además, prueba que en general el espacio de operadoreslineales acotados de un espacio de Banach en sí mismo no necesariamente contiene proyec-ciones no triviales.

Muy poco tiempo después, Gowers logró resolver, construyendo contraejemplos, otros dosproblemas abiertos utilizando variantes de este espacio [11, 12]. El primero es el problemadel hiperplano de Banach, que tiene sus orígenes en el libro de Banach [2]: ¾es todo espaciode Banach isomorfo a sus hiperplanos (subespacios cerrados de codimensión uno)? El segun-do es el problema de Schroeder-Bernstein para espacios de Banach: si X y Y son espaciosde Banach tales que cada uno de ellos es isomorfo a un subespacio complementado del otro,¾deben X y Y ser isomorfos? En ambos casos, la respuesta es negativa.

Unos cuantos meses después de que se obtuvieron los resultados del artículo en el que sebasa este trabajo [13], el problema de la distorsión también fue resuelto, por Edward Odelly Thomas Schlumprecht [21], quienes determinaron que `p (1 < p < ∞) es arbitrariamentedistorsionable, respondiendo a una de las preguntas planteadas en la introducción.

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Índice

base de Hamel, 8, 11base de Schauder, 9

acotadamente completa, 15bimonótona, 14bloque, 11, 41C-incondicional, 15en un espacio normado, 9incondicional, 14monótona, 14reductora, 16

bola unitaria, 4

c0, 8, 10, 12, 13, 15, 16, 23, 25, 26c00, 35completación, 6conjunto

asintótico, 17convexo, 2

constante de base, 9convergencia incondicional, 14

dual, 5

esfera unitaria, 4espacio

de Banach, 3de Schlumprecht, 56normado, 3re�exivo, 6

F , 27f , 29f -estimación inferior, 40función

cóncava, 2de Schlumprecht, 56submultiplicativa, 2

supermultiplicativa, 2funcional, 4

especial, 18funcionales

biortogonales, 9coe�ciente, 9

funcionales sucesivas, 40

Haar, sistema de, 10Hahn-Banach, teorema de, 5

intervalo de enteros, 35inyección canónica, 6isometría, 4isomor�smo

de espacios normados, 4isométrico, 4

Jensen, desigualdad de, 2

`1, 16, 23, 24`n1+-media, 40

`n1+-vector, 40

`∞, 7, 8, 11`p, 7, 10, 13, 15, 16, 40

Mf , 43(M, g)-forma, 43

norma, 3de un operador, 5

normas equivalentes, 3

operador lineal, 4acotado, 5

proyección, 5proyecciones asociadas a la base, 9

70 ÍNDICE

rangode un vector, 35de una funcional, 40

S.R.C.-vector, 43Sf , 35Sf , 35Sp, 60sistema

biortogonal asintótico, 17soporte

de un vector, 35de una funcional, 40

subespaciocerrado generado, 4complementado, 6generado, 4

sucesiónbásica, 9normalizada, 9seminormalizada, 9

rápidamente creciente, 43sucesión especial

de funcionales, 18sucesiones básicas equivalentes, 12suma directa, 6

topologíadébil, 7inducida, 3

vectores sucesivos, 35

X , 39

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