universidad de guadalajara escuela preparatoria no. 2

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA

ESCUELA PREPARATORIA No. 2

PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA.MTRO. JOSÉ SALVADOR BELTRÁN LEÓN

UNVERSIDAD DE GUADALAJARA


MTRO. J. S. BELTRÁN L.

Las Cónicas son:

1. La parábola.2. La elipse.3. La hipérbola.




1. La parábola.Si un rayo es paralelo al eje de la parábola,

se refleja en ésta pasando por su foco. Y, viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y se aleja paralelo al eje.

Fig. 1: La parábola.




1. La parábola. Hoy en día dicha propiedad tiene diversas

utilidades como pueden ser: los sistemas de radar, las antenas de televisión o los espejos solares, entre otros.




1. La parábola.Esta propiedad se utiliza, por ejemplo, para fabricar los faros de forma parabólica de los automóviles (el punto luminoso está en el foco y, por tanto, el haz de rayos es paralelo al eje) y las antenas para captar emisiones (dirigidas hacia el lugar de donde proviene la emisión, concentra en el foco todos los rayos que recibe). Parábolas son también las trayectorias de cualquier cuerpo (bola, pelota, chorro de agua…) que cae atraído por la tierra.




1. La parábola.

Fig. 2: Elementos de la parábola.

Además del foco F y de la directriz d, en una parábola destacan los siguientes elementos:e : EjeV : Vérticep : Distancia de F a d




1. La parábola.

Expresión analítica de la parábola.Si se hace coincidir el eje X con el eje de la parábola y el eje Y pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es:

y 2 = 4pxLas curvas de ecuación y = ax2 + bx + c también son parábolas. Su eje es paralelo al eje Y, y su vértice se encuentra en el punto de abscisa -b/2a.




1. La parábola. Cuenta la leyenda que Arquímedes,

contemporáneo de Apolonio, empleó esta propiedad para defender Siracusa de los romanos quemando las naves de éstos. Para ello, fabricó un sistema de espejos parabólicos que consiguieron concentrar los rayos solares en las naves romanas.




2. La elipse.

Es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados Focos, es constante.

Fig. 3: kddkPFPF 21 ;'




2. La elipse.

Esta forma de definir una elipse permite dibujarla mediante el llamado “método del jardinero” el cual consiste en lo siguiente: se colocan dos alfileres en la posición de los focos y se ata a ambos un hilo cuya longitud sea igual a k. Con un lápiz situado de modo que mantenga tenso el hilo, se recorre la elipse.

Además de los focos F y F ’ en una elipse destacan los siguientes elementos:




2. La elipse.

O : CentroAA’ : eje mayorBB’ : eje menorOF : distancia focal

Fig. 4: Elementos de la elipse.Algunas distancias características de la elipse se

suelen designar con las letras siguientes:

aBFBFc2escosfoentreciatandislacOFOF

b2midemenorejeelbOBOBa2midemayorejeelaOAOA

',',','




2. La elipse.Por ser rectángulo el triángulo OBF, se cumple la siguiente relación:

a2 = b2 + c2

ace La excentricidad de una elipse se

obtiene así:

ab

c




2. La elipse.

Puesto que c < a se verifica que 0 < e < 1, es decir, la excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.

Las órbitas de todos los planetas son elipses, uno de cuyos focos es el Sol. Las más excéntricas son la de Plutón, e = 0.25, y la de Mercurio, e = 0.21. Los restantes planetas tienen órbitas con excentricidades inferiores a 0.1, es decir, casi circulares.




2. La elipse.




La elipse.




2. La elipse.Propiedades de la elipse.Si desde un punto P de la elipse se trazan los segmentos PF y PF ’, la bisectriz exterior del ángulo que forman estos segmentos es tangente a la elipse.

Fig. 5: Propiedades de la elipse.




2. La elipse.Otra propiedad de la elipse, consecuencia de la anterior, es que un rayo que pasa por uno de los focos de la elipse, al reflejarse en ésta, pasa por el otro foco.




2. La elipse. Es curiosa la construcción de habitaciones con

techos elípticos. Al emitir un sonido desde uno de los focos, éste se escuchará con total nitidez desde el otro foco. Además el sonido tardará el mismo tiempo en transmitirse de un foco al otro sea cual sea la dirección que tomemos para emitirlo. Este efecto también permite la insonorización de habitaciones.




3. La hipérbola.

Fig. 6:

Es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los puntos fijos, llamados Focos F (c, 0) y F’ (-c, 0) es constante e igual a 2a.

kddkPFPF 21 ,'




3. La hipérbola.

La hipérbola tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

Además de los focos y de las asíntotas r y r’, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:




3. La hipérbola.

Fig. 7: Elementos de la hipérbola.

O : CentroA y A ’: Vértices : Distancia entre los vértices : Distancia entre los focos

a2AA 'c2FF '




3. La hipérbola.

El triángulo de lados a, b, c es rectángulo. Por tanto, se cumple que

b 2 = c 2 – a 2

La excentricidad de una hipérbola es

Puesto que c > a se verifica que e > 1. Es decir, la excentricidad de cualquier hipérbola es un número mayor que 1.

ace




3. La hipérbola.

Fig. 8: Propiedades de la hipérbola.

Una propiedad importante de la hipérbola es que si desde un punto de la curva se trazan los segmentos correspondientes a las distancias de este punto a los focos, la bisectriz del ángulo formado por ambos segmentos es tangente a la hipérbola.




3. La hipérbola.

Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas. Estos cometas sólo se acercan una vez al Sol, que es uno de los focos de su trayectoria. Después se alejarán perdiéndose en los confines del Sistema Solar.

Existe un sistema de ayuda a la navegación, llamado loran, basado en las hipérbolas y sus propiedades, que permite a los barcos y aviones determinar su posición, sobre una carta marina.




3. La hipérbola. Los rayos que provienen de uno de los focos de una

hipérbola se reflejan de manera que los rayos reflejados parecen provenir del otro foco. Esta propiedad ha sido utilizada para la creación del LORAN, que es un dispositivo de navegación hiperbólica radioeléctrico que se ha empleado y se sigue empleando, claro que en menor medida debido a la aparición del GPS y otros sistemas, para fijar la posición de barcos y aviones.




3. La hipérbola. Se fundamenta en el cálculo de la diferencia de

tiempo con que se obtienen en un receptor las señales que se originan en las dos estaciones emisoras localizadas en la superficie terrestre.




FIN

universidad de guadalajara escuela preparatoria no. 2

Documents