universidad de granada - física del medio ambienteandyk/docencia/bfma/errores_smj.pdf · 2016. 10....

Física del Medio Ambiente

1

Teoría de Errores (Programa de Prácticas)

Sara Marañón Jiménez ([email protected])

Andy Kowalski ([email protected])

Programa

•  IB. Teoría de Errores. (3h) •  Introducción. Errores y conceptos relacionados. Cuantificación de errores.

Expresión de magnitudes físicas. Minimización de errores. Propagación de errores. Interpolación en tablas. Regresión y correlación.

2

Programa



3

Teoría de Errores •  ¿Cuál es la distancia entre Granada y

Málaga?

www.mapquest.com 131.02 km

Google maps 125 km

4

¿Qué edad tienes?

Granada – Málaga: •  ¿Es interesante decir 131.02 km? •  ¿Es exacto/científico?

–  ¿Significa 131.0200000… km?

–  ¿Precisión de 20 metros? ¿Es necesaria? •  ¿Cuál es la distancia “Real”? 131,02 km? 125 km?

m mm

5

www.mapquest.com 131.02 km

Google maps 125 km

“Más vale acertar aproximadamente que errar exactamente”

John Maynard Keynes Economista Distancia

entre 110 y 150 km

¿Qué edad tienes? (mentir al profe implica suspenso automático)

•  ¿Se puede aceptar un error de 100 años en la edad? –  El error: relativo a la magnitud

•  Un bebé : «Tiene 16 meses» (error de un mes) •  Un niño: «Tengo 8 años y medio» (error de 6 meses) •  Adulto: «Tengo 30 años» (error de 12 meses)

•  ¿Cuántas cifras podemos escribir? –  Edad: 16,6794 meses; 8,528545 años; 31,8543 años

•  ¿Cuántas cifras debemos escribir? •  ¿Qué unidad debemos usar?

6

Teoría de Errores: contexto

•  Esta pequeña introducción nos ha plantado algunas preguntas –  ¿Cómo expresar el valor y el error de una

magnitud física? –  ¿Cómo debemos tratar los errores? –  ¿Qué unidades debemos emplear?

•  Ahora pasamos a algunas definiciones interesantes para empezar a contestar

7

Programa



8

Error Absoluto

•  Dx = error absoluto •  xm = valor medido o aproximado •  x = “la verdad”

xxx m −=Δ

9

Error Relativo

10

𝑒= ∆𝑥/𝑥 ∙100%

•  e = error relativo (%) •  ∆𝑥 = error absoluto •  𝑥 = valor real

Intervalos de confianza

δmin = mínimo posible (subestimación) δmax = máximo posible (sobreestimación) xm = valor medido o aproximado x = “la verdad”

{ max

min

δδ+−= mxx

maxmin δδ +≤≤− mm xxx

11 “Más vale acertar aproximadamente

que errar exactamente”

Simetría

•  En el caso que

•  (lo que pasa con frecuencia) •  Solemos escribir la medida así

xΔ=−= minmax δδ

xxx m Δ±=

12

Ejemplo asimétrico

•  Distancia sol-tierra : (150 ± 3) •106 km

•  En realidad no es simétrico: •  147 • 106 km < x < 152 • 106 km

•  Nosotros trabajaremos con casos simétricos

13

•  Precisión - concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales

•  Exactitud - grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental

•  Sensibilidad - el valor mínimo de la magnitud que un aparato es capaz de diferenciar

Definiciones

14

Exactitud y Precisión

•  Tirando flechas

15

Ni preciso ni exacto

16

Preciso

17

Exacto

18

Exactitud y Precisión

19

http://www.ingenieriactiva10.blogspot.com.es

A) Ni preciso ni exacto B) Preciso y exacto C) Impreciso y exacto D) Preciso pero inexacto

Programa



20

Expresión de cantidades

1º Elegir la magnitud 2º Determinar el valor y un error “aceptable” 3º Adaptar las cifras del valor y el error

21

DISTANCIA GRANADA-MÁLAGA


1º Elegir la magnitud 2º Determinar el valor y un error “aceptable” 3º Adaptar las cifras del valor y el error

22

EDAD DEL PROFESOR DE PRÁCTICAS

Seguiremos un convenio por el cual pérdida de información nunca será

mayor del 20%

Paso 3º: Adaptar las cifras del valor y el error

•  Convenio para la Expresión de cantidades •  Pérdida de información nunca será mayor del 20%

–  El convenio para expresar correctamente las cantidades usa el concepto de CIFRA SIGNIFICATIVA:

–  Las cifras significativas son aquellas que aportan información útil tanto del error como del valor de la cantidad:

o  Caso del error: Las cifras significativas son la primera o segunda cifra desde la izquierda dependiendo del valor del error (ejemplo: de ±3,4567 es el «3»; de ±0,005789 es el «5»; de ±1,5681 son el «1» y el «5»).

o  Caso del valor: Las cifras significativas dependen del error.

23

Un esquema nos ayudará a expresar correctamente las

cantidades

Convenio para la expresión de cantidades

24 OLVIDARLO = PERDER PUNTOS (PRÁCTICAS)

del error

Programa



25


1º Elegir la unidad de la magnitud física 2º Determinas el valor y el error 3º Adaptar las cifras del valor y el error (redondeo)

OLVIDARLO = PERDER PUNTOS (PRÁCTICAS)

26

¿Qué sabemos?

•  Aceleración de gravedad, g= ________

•  Constante de Avogadro, N= ________

•  Velocidad de luz, c= ________

27

Expresión de magnitudes físicas •  Cantidad •  Unidad (!!!!!) •  Grado de confiabilidad

–  índice de exactitud –  error

28

Ejemplos de Magnitudes Incorrectos (U)

Correctos (U)

3.418±0.123

6.30±0.085

46.288±1.553

428.351±0.15

0.01683±0.0058

3.4±0.1 ó 3.42±0.12

6.30±0.09

46.3±1.6

428.35±0.15

0.017±0.006

(342±12) 10-2

(630±9) 10-2

(463±16)10-1

(42835±15) 10-2

(17±6) 10-3

Mejor? (U)

3.42±0.12

29

Errores

•  Se desconoce la “verdad” •  Siempre hay presente algún tipo de error •  Objetivos:

– Caracterizar/conocer los errores – Minimizarlos cuando es posible

30

Programa



31

Tipos de Errores

32

•  Errores aleatorios –  Inevitables y desconocidos –  Asumimos distribución de

frecuencias “normal” (hipótesis) •  Errores pequeños; más frecuentes •  Promedio de cero

–  Errores sistemáticos •  Difícil de caracterizar

–  Si los conocemos, los corregimos

•  Pueden ser constantes: afectan todas medidas

Errores aleatorios

•  Errores de discernimiento •  Cambios en las condiciones experimentales •  Errores de especificación en los procesos de

fabricación (por ejemplo, una bola esférica metálica puede estar ligeramente ovalada)

•  Se pueden reducir

(¿cómo?)

33

Error cuadrático medio (MSE)

σ x2 =

1N

(xi − x )2

1

N

∑x

34

Deducciones •  Una estimación de una magnitud física es

mejor cuanto – Menor sea el error sistemático – Menor sea el error aleatorio

•  Aunque… Los errores son inevitables •  ¿Cómo mejorar la estimación?

– Medir con cuidado, y precisión – Muchas medidas

•  ¿Cuántas medidas necesitamos?

35

Reglas prácticas para medir una magnitud en el laboratorio y determinar su error directo

1)  Solo es posible una medida: error es la sensibilidad del instrumento: x±s 2)   Se pueden realizar varias medidas: Realizar para empezar 3 medidas y

obtener la sensibilidad del instrumento (s). Se toma como valor de la variable

Para calcular el error: 3) Se calcula la dispersión de 3 medidas (D3= xmax – xmin) y se compara con (s)

•  2a) Si D3 ≤ s à Error de tipo sistemático o limitación de instrumento,

no se puede hacer mucho! Tomar como valor del error x± s

•  2b) Si D3> s à Error es tipo aleatorio ¿Hacen falta más medidas? ¿Cuantas?

Seguir con el paso 4.

4) Calcular el porcentaje de dispersión (T):

36

x3

Porcentaje de dispersión

T = Dx100

T<2% 2%<T<8% 8%<T<15% T>15%

N 3 6 15 50

Error s

Expresión

α =máx(D6 / 4, s)σ x =

1N

(xi − x )2

1

N

∑

37

𝑥 ±𝛼 xσ

𝑥 ±s 𝑥 ±

Medidas directas versus indirectas •  Medidas directas: Aquellas medidas de forma

experimental, mediante un instrumento de medida. Errores a partir de la dispersión o sensibilidad del aparato

•  Medida indirecta: Se obtiene mediante cálculos a partir de las otras mediciones directas. Errores mediante derivadas parciales

•  Atención! Una misma medida puede ser directa o indirecta según cómo se haya obtenido! Ej: Longitud con metro ó a partir de : L= Vx t

38

Programa



39

Propagación de errores en medidas indirectas: Motivación

•  Granada – Jaén: 94±1 km •  Digamos que se sabe que el tiempo promedio para el

viaje es 1.0± 0.1 horas •  ¿Cuál es la velocidad promedia para el viaje?

–  Recordad: para escribir un resultado, hay que empezar con el error!

•  ¿Cómo podemos determinar el error en esta estimación?

40

Propagación lineal de errores -Sea ),,,( czyxff =La función f liga a la magnitud que nos interesa hallar (f) con las magnitudes independientes que se obtienen del experimento (x,y,z) y con una constante (c).

Diferenciando:

dccfdz

zfdy

yfdx

xfdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Si identificamos los incrementos con los errores absolutos de las variables correspondientes, en el caso más desfavorable se obtendrá:

ccfz

zfy

yfx

xff Δ

∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

=Δ

Sensibilidad de f al determinante z

Error en z 41

Derivadas parciales

•  Son imprescindibles en esta asignatura –  ¡A revisar! : Estudiarse las fórmulas de derivación – No solemos trabajar con ejemplos muy difíciles

1' −=∂∂

≡ nxanxyy

naxy =

42

Ejemplo numérico

•  Densidad de flujo radiativo emitida por un cuerpo negro

•  •  s = 5.67 ± 0.01 x 10-8 W m-2 K-4

(constante de Stephan-Boltzmann) •  Para un cuerpo negro con T = 300 ± 1 K •  ¿Cómo podemos expresar E ?

E = sT 4

4 valores… 43

Ejemplo numérico

•  E = 459 ± 7 W m-2

( ) 281.012.6 −+= Wm

= 4sT 3 1K( )+ T 4 0.01×10−8Wm−2K −4( )

ΔE = ∂E∂T

ΔT + ∂E∂s

Δs

E = sT 4

44

Resumen: propagación lineal de los errores

),,,( czyxff =

ccfz

zfy

yfx

xff Δ

∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

=Δ

Tenemos que pensar en esta ecuación en muchas ocasiones (en todas las prácticas)

45

90.04g 70.04g

Ej: (intuitivamente) Como pesar una cantidad de H2O(l)

Botella vacía:

(Misma)

botella con agua:

Claro, el agua pesa: 20g pero ¿ERROR?

20.00 ± 0.01g

Escala con sensibilidad = 0.01g

46

Como pesar una cantidad de H2O(l) (científicamente)

90.04g 70.04g

Botella vacía: x=

(Misma)

botella con agua: y=

z = y – x

20.00 ± 0.02g xyz Δ+Δ=Δ

± 0.01g

± 0.01g

xxzy

yzz Δ

∂∂

+Δ∂∂

=Δ

47

Resumen: propagación lineal de los errores

),,,( czyxff =

ccfz

zfy

yfx

xff Δ

∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

=Δ

Ahora un ejemplo experimental

48

Altura de un acantilado

•  ¿Cómo medir? – Difícil mantener un metro en

vertical – Otra opción

20 2

1 gttvh +=

49

Hacemos una medida

•  t = 1.48 +/- 0.01s

•  Posibles errores (aleatorios): –  v0 ≠0 – Pulgar torpe o errático

•  A la salida •  A la entrada al agua

•  ¡ A repetir !

20 2

1 gttvh +=

t = 1.47 +/- 0.01s t = 1.46 +/- 0.01s 3

1

2

50

Cuantas veces medimos y cómo calcular el error de una medida directa?

t = 1.47 +/- 0.01 s t = 1.46 +/- 0.01 s 3

2

t = 1.48 +/- 0.01 s 1 t =1.47ssD 02.0=

= 1.4%

Valor experimental 51

T = Dx100

T<2% 2%<T<8% 8%<T<15% T>15%

N 3 6 15 50

Error s

Expresión

α =máx(D6 / 4, s)σ x =

1N

(xi − x )2

1

N

∑𝑥 ±𝛼

xσ𝑥 ±s

𝑥 ±

t = 1.47 +/- 0.01 s

Nuestro valor experimental

•  t = 1.47 +/- 0.01 s

•  Para poder escribir h, 1º calculo su error:

20 2

1 gttvh +=

2

21 gth =

ccfz

zfy

yfx

xff Δ

∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

=Δ

tthg

ghh Δ

∂∂

+Δ∂∂

=Δ

gt Δ= 2

21

tgt Δ+52

Errores, distancia frente a tiempo

•  +/- 0.01 s

20 2

1 gttvh +=

tvtgth Δ=Δ=Δ

t (s) h (m) v (m/s)

1.5 11.02 14.7

t (s) h (m) v (m/s)

1.0 4.9 9.8

t (s) h (m) v (m/s)

0.5 1.23 4.9

t (s) h (m) v (m/s)

2.0 19.6 19.6

thv∂∂

=

53

Altura de un acantilado

•  1er paso: calculo el error derivado

•  2º paso: calculo la magnitud y la ajusto a su error

h = 12gt2 =10.57± 0.14

t = 1.47 +/- 0.01 s Valor experimental y error directo

Δh = gtΔt = 0.14m

g = 9.782 +/- 0.001 m s-2

54

Programa



55

Interpolación en tablas

T (ºC) Calor latente de evaporación (J/g) 0 2501 5 2489

10 2477 15 2466 20 2453

•  ¿Qué valor tiene el calor latente (z) a una temperatura de x=12+/-1ºC? ¿Qué error tiene este valor?

(x1)

(x2)

(z1)

(z2)

56

Interpolación Lineal

x1

z2

z1

x2 x

z xxxzzz Δ

−−

=Δ12

12

( )112

121 xx

xxzzzz −

−−

+=

Hipótesis:

A. Error proviene de x

B. Relación lineal 57

En tablas de doble entrada

( ) ( )112

11121

12

112111 yy

yyzzxx

xxzzzz −

−−

+−−−

+=

y1 y2 x1 z11 z12

x2 z21 z22

yyyzzx

xxzzz Δ

−−

+Δ−−

=Δ12

1121

12

1121

58

Programa



59

Regresión y Correlación (Métodos cuantitativos de análisis gráfico)

•  Importancia de las representaciones gráficas •  Utilidad de las versiones linealizadas de los

gráficos (X, Y) •  Distintas maneras de llevar a cabo una

linealización

60

Regresión Lineal

•  El método se llama también “mínimos cuadrados” – La relación analítica que mejor se ajusta a nuestros

datos – La importancia de la elección del variable

“independiente”

61

¿En que dirección?

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

X

Y

Error despreciable

y = ax + b

62

Suma de cuadrados (Sum of squares)

•  Es útil definir la función (Chi-cuadrado):

•  Una medida de la desviación total de los valores observados yi respecto de los predichos por el modelo lineal.

•  Los mejores valores de la pendiente a y la ordenada en el origen b son aquellos que minimizan esta desviación total.

( )22 )(∑ +−=i

ii baxyχ

63

χ 2

Mínimos cuadrados (Least Squares)

02

=∂

∂

aχ

02

=∂

∂

bχ

∑ ∑

∑ ∑ ∑

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

i iii

i i iiiii

xxN

yxyxNa 2

2

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

i iii

i i i iiiiii

xxN

yxxyxb 2

2

2

Como buscar el mínimo de una función cuadrática:

Primera derivada = 0

64

Bondad del ajuste (Goodness of fit)

•  El criterio de mínimos cuadrados es objetivo; reemplaza el juicio personal de quien mire los gráficos determinando cuál es la mejor recta.

•  Además, da una posibilidad de estimar la bondad del ajuste, a través el coeficiente de correlación (r) entre las variables X e Y

•  Muchas veces se presenta su cuadrado (R2).

65

El coeficiente de correlación

)()(),(yVarxVar

yxCov=ρ

>><<−>=<−

=∑ ∑ ∑= = = yxxy

N

yxyxNyxCov

N

i

N

i

N

iiiii

21 1 1),(

22

2

11

2

)( ><−>=<

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=∑∑== xxN

x

N

xxVar

N

ii

N

ii

22

2

11

2

)( ><−>=<

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=∑∑== yyN

y

N

yyVar

N

ii

N

ii

11 +≤≤− ρ66

El coeficiente de correlación

•  Describe la correlación entre los variables

•  r = 0, los variables no son correlacionados •  r < 0, los variables son anti-correlacionados •  r > 0, los variables son correlacionados

r = 0.95, mucha correlación r = 0.7, correlación, pero no mucho

67

•  El cuadrado del coeficiente de correlación (R2) expresa el porcentaje de la varianza en los variables X y Y que explica el modelo lineal

–  r=0.95, el modelo explica 90% de la varianza –  r=0.7, explica 49% de la varianza –  r=0.3, explica 9% de la varianza

68

Otra ventaja del método

•  Podemos estimar los errores asociados con los parámetros a y b

)(·

2

xVarNN

aχ

σ =)(·

1

22

xVarN

xN

iiN

b

∑==

χσ

69

En función de r

•  Las incertidumbres de a y b también pueden describirse así:

•  Estas ecuaciones son muy útiles, ya que la mayoría de las hojas de cálculo y programas de ajuste indican a, b y r (ó a veces R2).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= 11

)2( 2

2

ρσ

Na

a2xab σσ =

70

Incertidumbre de los parámetros de un modelo general

•  Al igual que en el caso del modelo lineal, minimización de la función Chi-cuadrado:

•  de modo que χmin2 = χ2(a*, b*, …)

•  ¿Cómo determinar a*, b*, …? –  Procedimiento sofisticado –  Diversas teorías y opiniones –  Depende de cómo es de no-lineal

( ) 0,...,,**

2

=∂

∂⇔

=aaacbaa χ

71

Es preferible transformar (a lo lineal)

•  En general, es preferible •  Método: suponemos un modelo y = a ln(x)+b

– Definimos z=ln(x) – Entonces: y = a z + b – Buscamos ajuste lineal entre y & z – Podemos estimar los errores asociados con los

parámetros a y b

72

No gusta hacer muchos cálculos (tocar botones calculadora)

•  Muchos cálculos

•  Por eso tenemos ordenadores

∑ ∑

∑ ∑ ∑

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

i iii

i i iiiii

xxN

yxyxNa 2

2

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

i iii

i i i iiiiii

xxN

yxxyxb 2

2

2

)(·

2

xVarNN

aχ

σ =

)(·1

22

xVarN

xN

iiN

b

∑==

χσ

73

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