UNIVERSIDAD CÉSAR UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOVALLEJO

Facilitadora:Facilitadora:Lic. Mat.Lic. Mat. Patricia Isabel ,Aguilar Patricia Isabel ,Aguilar IncioIncio

Objetivo de hoyObjetivo de hoy

Determinar cuando una expresión o un Determinar cuando una expresión o un diagrama representa una funcióndiagrama representa una función

Diferenciar los tipos de funcionesDiferenciar los tipos de funciones

Bosquejar la gráfica de una funciónBosquejar la gráfica de una función

Determinar el Dominio y el Rango de Determinar el Dominio y el Rango de Funciones Funciones

Revisión de Algunos ConceptosRevisión de Algunos Conceptos

Función y RelaciónFunción y RelaciónDominio y Rango de una FunciónDominio y Rango de una FunciónSistema de Coordenadas CartesianasSistema de Coordenadas CartesianasFunción: Constante, Lineal, Cuadrática, Función: Constante, Lineal, Cuadrática, Cúbica, Polinómica, Raíz Cuadrada, Cúbica, Polinómica, Raíz Cuadrada, Potencial, Exponencial, Logarítmica, Potencial, Exponencial, Logarítmica, Racional.Racional.Gráfica de Funciones por tablasGráfica de Funciones por tablasGráfica de funciones con softwareGráfica de funciones con software

FUNCIÓN REALFUNCIÓN REAL

Una función es una regla f,que asigna a cada número de entrada “x X” ∈exactamente un número de salida “y Y”.∈Al conjunto de números de entrada X a los cuales se les aplica la regla se le llama dominio de la función. El conjunto de números de salida Y es llamado el rango.En este curso X e Y serán subconjuntos de R (conjunto de los números reales)

xxf deexpresión )(

)(xfy 1

13)(

2

x

xxfEjemplo:

YXf :

Elementos básicos en el estudio de una función.

DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA

RECORRIDO o IMAGEN

GRÁFICA o GRAFO

DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA

RECORRIDO o IMAGEN

El recorrido es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar y, los cuales son imagen de algún valor x

GRÁFICA o GRAFO

Funciones Lineales: Funciones Lineales: y = mx + ny = mx + n

Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Todas las funciones polinómicas tienen dominio

3ª) y = x - 21ª) y = x2ª) y = x + 3

3ª) y = (1/3)x +1

1ª) y = 2x +1

2ª) y = 5x +1D f =

A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontalOrdenada en el origen no cambia

D f = 1ª) y = -3x + 1

2ª) y = -3x + 5

3ª) y = -3x + 2

Igual pendiente: paralelas

Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen

RESUMEN:

Funciones lineales: y = mx + n

D f =

R f =

¡Ojo! Si m=0, R f = {n}

R f = {-2}

Ver ejemplo en geogebra

Ejemplos de aplicaciones de la función lineal:

A) Movimiento uniforme: e = e0 + vt

B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante)

C) Dilatación: L = L0(1 + kt)

D) DEMANDA LINEAL, OFERTA LINEAL, DEPRECIACIÓN LINEAL, COSTO.

Funciones cuadráticasFunciones cuadráticas

y = axy = ax22 + bx + c + bx + c

Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Como todas las funciones polinómicas

D f =

5

36x

5

32x

5

4y 2

Apreciamos un aspecto de la gráfica que no es

significativo y que puede llamar a

confusiones

Cambiamos el rango de representación y observamos las

variaciones que se producen

Ahora observamos la gráfica con toda su

significación

Las claves están en los siguientes

elementos:

Cortes con el eje OX

Vértice

Funciones cuadráticas D f = y = ax2 + bx + c

Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática:

1. Hallar los puntos de corte con el eje OX

ax2 + bx + c = 0 x1 y x2 (x1, 0) y (x2, 0)

2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv)

3. Completar, si es necesario, con una tabla

Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)

a

acbyv 4

42

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

1) y = x2 -8x - 9

Vértice (4, -25)

R f = [-25, +)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX

Obsérvense los coeficientes de x2

9

100x

9

80x

9

20y

9

25x

9

20x

9

5y

5x4xy

2

2

2

V(2, -9) R f = [-9, +)

V(2, -5) R f = [-5, +)

V(2, -20) R f = [-20, +)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

y = x2 - 3x + 2

y = 3x2 + 2x +1

y = 20x2 - 20x + 5

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo:

y = - 3x2 + x - 2

y = - 3x2 – x + 2

y = - x2 + 7x - 10

¡Ojo! En este caso:

Rf = (-∞, xv]

Ejemplo con GEOGEBRA