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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DESAN LUIS POTOSÍ

FACULTAD DE CIENCIAS

POSGRADO EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA

“Diseño de esquemas de control basados

en el modelo para convertidoresmodulares multinivel”

EXAMEN DE CANDIDATURA

PARA EL DOCTORADO EN

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

Presenta:M.I.E.R. Glendy Anyalí Catzín Contreras

Asesores de Tesis:

Dr. Andrés Alejandro Valdez FernándezDr. Gerardo Escobar Valderrama

San Luis Potosí, S.L.P., México, Mayo de 2017

Contenido

1. Introducción 1

2. Objetivos 42.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Hipótesis 4

4. Trabajo realizado 44.1. Primer periodo (Agosto 2014 - Diciembre 2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2. Segundo periodo (Enero 2015 - Julio 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3. Tercer periodo (Agosto 2015 - Diciembre 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4. Cuarto periodo (Enero 2016 - Julio 2016) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.5. Quinto periodo (Agosto 2016 - Diciembre 2016) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.6. Sexto periodo (Enero 2017 - Abril 2017) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5. Modelo matemático del MMC 65.1. Dinámica de la corriente inyectada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.2. Dinámica de la corriente circulante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.3. Dinámica de voltaje de los capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

6. Caso 1: Fuentes de DC en las celdas del MMC vC1= . . . =vC2n=E/n (control de corrien-te) 76.1. Objetivos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.2. Diseño del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.3. Generador de señales fundamental y en cuadratura (F-QSG) . . . . . . . . . . . . . . . . 9

7. Caso 2: Capacitores en las celdas del MMC vC1= . . . =vC2n=E/n (control completo) 107.1. Objetivos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.2. Diseño del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

8. Recuperación de las señales de control ui (i ∈ {1, . . . , 2n}) 13

9. Esquema de modulación PSC-PWM 15

10.Resultados experimentales 1510.1. Caso 1: Fuentes de DC en las celdas del MMC vC1= . . . =vC2n=E/n (control de corriente) 1610.2. Caso 2: Capacitores en las celdas del MMC vC1= . . . =vC2n=E/n (control completo) . . . 20

11.Producción de artículos en el programa doctoral 24

12.Comentarios finales y trabajo a futuro 24

Referencias 26

A. Contenido armónico en zT y zD 29

Glendy Anyalí Catzín Contreras Examen de candidatura

1. Introducción

En los últimos años, la producción de energía eléctrica por medio de fuentes renovables de energía(como el sol o el viento) ha sido de interés en varios países, en particular en México. Muestras de estoson las plantas eólicas instaladas en el estado de Oaxaca, las plantas fotovoltaicas en Baja California Sur,generadores eólicos aislados como el de Quintana Roo y sistemas fotovoltaicos instalados por empresas endiferentes estados del país [1], [2]. Entre los principales motivos para generar la electricidad con fuentesrenovables destacan:

1. La disponibilidad finita de los combustibles fósiles.

2. Las altas concentraciones de dióxido de carbono (CO2) emitidas a la atmósfera con la quema dedichos combustibles, lo cual se asocia con el calentamiento global (y por tanto el cambio climático)de nuestro planeta [3].

La utilización de fuentes renovables para cubrir los requerimientos energéticos de las sociedades puedecontribuir a la conservación de nuestro planeta para las generaciones presente y futura. Sin embargo,para integrar la electricidad generada mediante recursos renovables a la red eléctrica, se requiere deconvertidores de potencia, ya sea porque la energía producida por las fuentes renovables se encuentra enforma de corriente directa (DC) mientras que la red eléctrica es de corriente alterna (AC), lo cual es el casode los sistemas fotovoltaicos, o bien porque la intermitencia en la producción de energía requiere sincronizarfactores como la frecuencia y el voltaje de la red eléctrica. En el caso de los sistemas fotovoltaicos, serequiere de un convertidor conocido como inversor (DC a AC), mientras que en los sistemas eólicos esnecesario un rectificador (AC a DC) seguido de un inversor, sistema conocido como back-to-back en elcampo de la electrónica de potencia.

La conexión de un convertidor a la red eléctrica requiere cumplir ciertas normas de calidad de energíapara evitar la introducción de perturbaciones en la red, las cuales se traducirían a los usuarios en, porejemplo, interferencia en equipos de audio, envejecimiento prematuro de equipos, posibles daños a equipossensibles, entre otros. Una de estas normas fija el porcentaje máximo de distorsión armónica total (THD)de corriente que el convertidor puede inyectar a la red, donde 5 % suele tomarse como el valor máximopermitido en muchos países [4]. Esto ha motivado el uso creciente de convertidores multinivel, los cualesproducen corrientes y voltajes con una menor THD. De manera general, un inversor fotovoltaico basadoen topologías multinivel puede tener un mayor número de niveles en su salida conmutada que un inversorbasado en otras topologías, lo cual permite tener un voltaje conmutado con mayor similitud a una ondasinusoidal pura. Gracias a esta característica inherente de los convertidores multinivel, el uso de filtrospasivos en el lado de la red puede incluso llegar a omitirse, lo que conlleva a una reducción de costos.Sin embargo, debido a la complejidad de los convertidores multinivel, el diseño de su sistema de controlrepresenta todo un reto, ya que éste debe garantizar una operación adecuada internamente y en conexióncon la red. Por ejemplo, se debe garantizar inyección de corriente en fase con el voltaje de la red para tenerun factor de potencia unitario, así como mantener a los elementos almacenadores de energía (capacitores)regulados en un mismo valor de referencia.

Existen varias topologías de convertidores multinivel, siendo las más populares (para aplicaciones dealto voltaje) el de puentes H en cascada (CHB), el convertidor modular multinivel (MMC), el de diodosenclavados (NPC) y el de capacitores flotantes (FC). La topología del MMC sólo tiene una fuente deDC (bus de DC o DC-link) y no requiere tener capacitores en dicho bus [5]. Esto representa una ventajasobre las demás topologías mencionadas, ya que se reduce el número de dispositivos electrónicos usadosen la construcción del convertidor y, por tanto, su costo de fabricación. En particular, en este trabajo seestudia la topología del MMC (monofásico y trifásico) interconectado a la red eléctrica en configuracióninversora. La topología de este convertidor fue propuesta en el año 2003 por los investigadores A. Lesnicary R. Marquardt [6], y sus áreas de aplicación incluyen transmisión de corriente directa de alto voltaje

1


(HVDC), accionamientos de motores de alta potencia, fuentes de ferrocarril eléctrico [7], plantas deenergía solar térmica y eólica marina [8], compensadores estáticos síncronos de alto voltaje (STATCOMs)y sistemas back-to-back [9].

La Figura 1 muestra el circuito de un inversor monofásico basado en la topología del MMC. La fase delMMC, conocida también como pierna, está formada por un par de brazos, uno superior y otro inferior, queconsisten de la conexión en serie de n (n=1, 2, . . . ) celdas (también llamadas sub-módulos) y un inductor.Cada celda consiste en un medio puente H construido con dos transistores bipolares de compuerta aislada(IGBTs) conectados en serie con sus respectivos diodos en antiparalelo, y un capacitor conectado entre elcolector del IGBT superior y el emisor del IGBT inferior. Una celda se considera conectada si el interruptorsuperior está cerrado y el inferior está abierto, mientras que se considera desconectada si el interruptorinferior está cerrado y el superior está abierto. El voltaje en el lado AC, de 2n+1 niveles, se obtiene alvariar el número de celdas conectadas y desconectadas en cada brazo.

...C

vCn+_

+

_vCnun

CvC1

+_

+

_vC1u1

CvCn+1

+_

+

_vCn+1un+1

CvC2n

+_

+

_vC2nu2n

...

L

L

iP

iN

i0

eP

eN vS

+

_+

_

+

_E/2

E/2

0

Brazo

Fase

vCn

+

_Cun

un

_

CvCn

+

_

+

_vCnun

~

Celda

Figura 1. Topología del MMC monofásico de 2n+1 niveles, conectado a la red eléctrica en configuración inversora.

La relativa simplicidad de la topología del MMC presenta varios desafíos de control. En primer lugar,la conexión y desconexión de las celdas debe hacerse de forma tal que los voltajes de los capacitorespermanezcan cercanos a sus valores nominales [7]. Así, el primer reto a solucionar para este sistemaes el balance de voltaje de los capacitores en cada celda. El balance de voltaje de los capacitores estámutuamente acoplado con las corrientes circulantes dentro de la fase del MMC, las cuales surgen porlas variaciones de voltaje en los capacitores. Si las corrientes circulantes no se controlan apropiadamente,pueden tener un impacto adverso en los semiconductores y generar pérdidas innecesarias [10]. Por loanterior, otro problema de control que aparece en el MMC es el de las corrientes circulantes. En estadoestable, las corrientes circulantes deben estar centradas alrededor de una componente de DC. En el casode que el MMC se encuentre conectado a la red eléctrica, surge además, el problema de ejercer accionesde control sobre la corriente que este convertidor puede inyectar a la red (corriente de salida). En el casode un inversor, es deseable que la corriente inyectada a red tenga un factor de potencia cercano a launidad y una THD por debajo del 5 %, especialmente cuando el voltaje de la red está contaminado concomponentes armónicos de baja frecuencia.

2


Para el balance de voltaje de los capacitores en cada celda del MMC se han propuesto algoritmos deordenamiento combinados con modulación por ancho de pulso (PWM) en espacio vectorial [6],[11] o con lamodulación por ancho de pulso basado en portadoras desfasadas (PSC-PWM) [12],[13], así como tambiénel control promedio y de balance para forzar el voltaje promedio de la fase y el voltaje individual decada celda a seguir sus referencias respectivas con controladores proporcional-integral (PI) y proporcional(P), respectivamente [14]. Otra técnica para el balance de voltaje de los capacitores mejora el trabajorealizado en [14], al añadir un control de balance para los brazos del convertidor, lo que permite mitigar ladiferencia de voltaje entre los brazos superior e inferior por medio de un controlador P [9]. Con respectoal problema de la corriente circulante, los trabajos de investigación publicados aplican controladores PI[15],[16], controladores repetitivos con reguladores PI en paralelo [17],[18] o en cascada [19] y controladoresproporcional-resonante (PR) [20]–[22]. Tanto el control repetitivo como el control resonante estuvieronsintonizados en los armónicos pares de la frecuencia fundamental. Para la regulación de la corriente desalida del MMC, se ha utilizado el controlador PR [16] o el control predictivo [23]–[26]. De hecho, loscontroladores predictivos propuestos en [23]–[26] se aplicaron para resolver, simultáneamente, todos losproblemas de control que aparecen en el MMC.

En cuanto al control del MMC cuando opera bajo un voltaje de red distorsionado, se encontró queexiste una solución propuesta en [27], donde el control digital división-acumulación (D-Σ) se aplicó a unMMC de siete niveles conectado a un voltaje de red con componentes fundamental, tercero, quinto, séptimoy noveno armónico de la frecuencia fundamental. Como explican los autores en [27], el control D-Σ divideun periodo de conmutación en varios intervalos de tiempo para obtener todas las variaciones individualesde corriente y luego realiza un proceso de acumulación para determinar las señales de control que estándirectamente vinculadas a los errores de corriente. Al tomar en cuenta las variaciones de corriente debidoa factores como el voltaje de la red y la inductancia cada ciclo de conmutación, este esquema de controlpuede ocuparse de los armónicos en el voltaje de la red.

En este trabajo se propone un esquema de control para el MMC monofásico y trifásico (en configuracióninversora), basado en su modelo matemático. Este controlador tiene el propósito de regular la energía dela(s) fase(s) del convertidor hacia una referencia constante, reducir a cero (en promedio) la diferencia deenergía entre el(los) brazo(s) superior(es) e inferior(es) (es decir, balancear la energía de la(s) fase(s)),llevar la(s) corriente(s) circulante(s) hacia una referencia predominantemente constante e inyectar, haciala red eléctrica, corriente(s) sinusoidal(es) pura(s) y en fase con el voltaje de la red, a pesar de la posibledistorsión armónica y/o desbalance en el voltaje de red. Cuando se considera la dinámica completa delconvertidor (es decir, cuando las celdas poseen capacitores en lugar de fuentes de DC), los lazos deregulación y balance de energía se conforman por controladores PI, mientras que los lazos de control decorriente consisten de términos PR y términos de prealimentación. Cuando se omite la dinámica de voltajede los capacitores, solo se tienen lazos de control de corriente. En este caso, el lazo de corriente inyectadaestá formado por términos PR y términos de prealimentación, mientras que el lazo de corriente circulantecontiene solo términos P y de prealimentación.

De manera general, la metodología que se sigue para el diseño de los lazos de control se describe acontinuación. En primer lugar, se obtiene el modelo matemático del convertidor, usando las leyes de voltajey corriente de Kirchhoff. Enseguida, se obtiene el modelo de error, que consiste en expresar el modelomatemático original en términos de los incrementos (la diferencia entre la señal medida en el sistema ysu referencia). En el modelo de error obtenido se identifica la señal de control y se procede a su diseño.La expresión del controlador debe incluir términos necesarios para cancelar todas las perturbacionesque aparecen en dicho modelo, términos para reforzar la estabilidad del sistema en lazo cerrado y/otérminos que permitan tener un error nulo en estado estable. Como siguiente paso, se simulan, en unpaquete computacional, las ecuaciones del convertidor en lazo cerrado con el esquema de control diseñado.Posteriormente, dicho esquema de control, en conjunto con la modulación PSC-PWM, se aplica al circuitoconmutado del MMC, para comprobar que se alcanzan los objetivos de control. Finalmente, el control

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diseñado se programa en un procesador digital de señales (DSP) y se aplica al MMC emulado en unarreglo de compuertas lógicas programables por campo (FPGA), para lo cual, es necesario discretizartanto la planta (el modelo del MMC) como el esquema de control.

En las Secciones 2 y 3 de este documento se pueden ver los objetivos y la hipótesis de este trabajode tesis, mientras que en la Sección 4 se presenta un resumen del trabajo realizado en cada semestrede la formación doctoral. Los detalles de la metodología descrita en el párrafo anterior, aplicada al casoparticular de un MMC monofásico, se encuentran en las Secciones 5-9. En la Sección 10 se pueden verlos resultados experimentales del esquema de control diseñado para el MMC monofásico. La lista de losartículos derivados de este tema de investigación se incluye en la Sección 11 de este documento. Finalmente,en la Sección 12 se presentan algunos comentarios relativos al trabajo de tesis realizado hasta el momento,los requisitos de egreso cumplidos y por cumplir, así como una lista de las actividades pendientes porrealizar para cumplir con los objetivos de esta tesis doctoral.

2. Objetivos

2.1. Objetivo general

Diseñar esquemas de control basados en el modelo matemático de MMCs (monofásico y trifásico,en configuración inversora) con el propósito de regular la energía de la(s) fase(s) hacia una referenciaconstante, balancear la energía de los brazos superior e inferior de cada fase, llevar la(s) corriente(s)circulante(s) a una referencia predominantemente de DC e inyectar corriente a la red eléctrica con unaTHD por debajo del 5 % y en fase con el voltaje de red, a pesar de las posibles perturbaciones que afectenla red.

2.2. Objetivos específicos

1. Estudiar el estado del arte del MMC (modulación, modelo matemático, control, etcétera).

2. Obtener el modelo matemático del MMC monofásico y del MMC trifásico.

3. Diseñar los lazos de control de la corriente inyectada a la red eléctrica, corriente circulante, regulacióny balance de energía de los capacitores flotantes, para el MMC monofásico y el trifásico.

4. Simular los controladores propuestos en el programa Simulink de Matlab R©.

5. Efectuar la simulación en tiempo real de los MMCs junto con sus controladores propuestos, medianteun DSP y una tarjeta FPGA.

3. Hipótesis

Si se incluyen algoritmos de sincronización avanzados en el esquema de control de un MMC, entonceses posible garantizar que este convertidor funcione apropiadamente de manera interna y en conexión conla red eléctrica, a pesar de las posibles perturbaciones que afectan la red (distorsión armónica, cambiosen el valor de su frecuencia, desbalance).

4. Trabajo realizado

La Figura 1 muestra la topología del convertidor estudiado en el presente trabajo de tesis, este circuitoconsta de un inversor basado en la topología del MMC conectado a la red eléctrica. El principio deoperación de este circuito fue descrito a detalle en la Introducción de este reporte.

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4.1. Primer periodo (Agosto 2014 - Diciembre 2014)

En el primer semestre del programa doctoral, se comenzó la revisión del estado del arte correspondientea los esquemas de modulación aplicados al MMC. Se estudió a detalle la modulación PSC-PWM de tresy cinco niveles; se obtuvo un modelo matemático de un MMC monofásico y de uno trifásico (ambos decinco niveles) considerando una resistencia de carga conectada a la salida de los inversores, y se realizaronsimulaciones (en lazo abierto) usando los modelos obtenidos del MMC y también circuitos conmutadosconstruidos con los componentes electrónicos disponibles en la toolbox SimPowerSystems en Simulink deMatlab R© [28].

4.2. Segundo periodo (Enero 2015 - Julio 2015)

En este periodo, se continuó con la revisión de la literatura correspondiente al tema de tesis, dandoun enfoque especial a los modelos matemáticos que describen el MMC y las técnicas de control que seutilizan para la solución de alguno de los problemas del convertidor (inyección de corriente a red, controlde corriente circulante, regulación y balance de energía de los capacitores flotantes), lo que permitióplantear un modelo matemático en el marco de referencial fijo (coordenadas αβ) para el MMC trifásicode cinco niveles. Con base en el modelo obtenido, se realizó el diseño de un controlador para garantizaruna inyección de corriente a la red en fase con el voltaje de ésta. Dicho controlador fue aplicado al MMCconstruido con dispositivos electrónicos disponibles en Simulink de Matlab R© [29].

4.3. Tercer periodo (Agosto 2015 - Diciembre 2015)

El trabajo realizado en este semestre consistió en el diseño de cuatro lazos de control para el MMCtrifásico de 2n+1 niveles. Los cuatro lazos desarrollados fueron: inyección de corriente a la red, corrientescirculantes, regulación y balance de energía de los capacitores flotantes. El diseño de todos los lazos decontrol estuvo basado en el modelo matemático del MMC en el marco de referencial fijo (coordenadasαβ). Los resultados presentados en este semestre se obtuvieron a partir de la simulación (en Simulinkde Matlab R©) del modelo matemático del MMC en lazo cerrado con el esquema de control propuesto,considerando un voltaje de red balanceado y puramente sinusoidal [30].

4.4. Cuarto periodo (Enero 2016 - Julio 2016)

En el cuarto semestre, se realizó el modelado del MMC trifásico 2n+1 niveles considerando un voltajede red con desbalance, distorsión armónica y con cambios de valor en su frecuencia fundamental. Parala planta anterior, se diseñó un esquema de control que comprende cuatro lazos: inyección de corriente ala red, corrientes circulantes, regulación y balance de energía de los capacitores flotantes. La simulacióndel modelo matemático del MMC en lazo cerrado con el esquema de control propuesto se realizó en elprograma Simulink de Matlab R© [31].

4.5. Quinto periodo (Agosto 2016 - Diciembre 2016)

A partir de este periodo, se comenzó a trabajar en la obtención de resultados experimentales del MMCen lazo cerrado con el esquema de control propuesto. La primera etapa del trabajo experimental consistióen implementar un control en lazo abierto para el MMC monofásico, cuyos resultados fueron presentadosen el reporte de avance de tesis en Octubre de 2016 [32]. En una siguiente etapa, se implementó uncontrol en lazo cerrado para la versión monofásica del MMC operando bajo un voltaje de red sin y condistorsión armónica. Es importante mencionar que se consideraron fuentes de DC en lugar de capacitoresflotantes en cada celda del convertidor. De esta forma, únicamente se tiene dos lazos de control: inyecciónde corriente a red y corriente circulante. En todas las etapas del trabajo experimental, el convertidor bajoestudio se emuló en una tarjeta con el FPGA XC6SLX16 de Xilinx R©, mientras que el esquema de controlde corriente se llevó a cabo en un DSP TMS320F28335 de Texas Instruments. Esta simulación en tiempo

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real es conocida como Hardware-In-the-Loop (HIL). La descripción del convertidor se realizó en lenguajeVHDL en el programa ISE R© Design Suite de Xilinx R© y la creación del programa para el DSP en Simulinkde Matlab R©.

4.6. Sexto periodo (Enero 2017 - Abril 2017)

Durante la primera parte del sexto semestre del programa doctoral, se realizó la implementaciónde un control en lazo cerrado para el MMC monofásico operando ante un voltaje de red puramentesinusoidal. A diferencia del trabajo realizado en el semestre anterior, en esta ocasión se consideró ladinámica completa del convertidor, es decir, se utilizaron capacitores flotantes en cada celda del MMC.Por lo tanto, el esquema de control completo incluye los cuatro lazos de control: regulación de energía,balance de energía, inyección de corriente a red y corriente circulante. La plataforma experimental a partirde la que se obtuvieron los resultados experimentales de este semestre fue la misma que la descrita enel semestre previo. A continuación se presentan el modelo matemático del MMC, los objetivos de loscontroladores y el diseño de dichos controladores, cuando las celdas del MMC contienen fuentes de DC ytambién cuando están formadas por capacitores.

5. Modelo matemático del MMC

El modelo matemático del MMC en la Figura 1, considerando 2n+1 niveles, se describe por lasexpresiones (1)-(4), las cuales pueden obtenerse por aplicación directa de las leyes de Kirchhoff

L⌢iP =

E

2− vS − eP , (1)

L⌢iN =

E

2+ vS − eN , (2)

Czi = iP vCiui , ∀i ∈ {1, . . . , n}, (3)

Czi = iNvCiui , ∀i ∈ {n + 1, . . . , 2n}, (4)

donde el parámetro L es la inductancia, iP e iN representan las corrientes del brazo superior e inferior,respectivamente, E es el valor del voltaje del DC-link, vS es el voltaje de la red (posiblemente distorsionadocon armónicos múltiplos impares de la frecuencia fundamental), eP y eN son el voltaje total producidopor el brazo superior e inferior con eP ,

∑ni=1 vCiui y eN ,

∑2ni=n+1 vC,iui, vCi y ui ∈ {0, 1} son el i-ésimo

(i ∈ 1, . . . , 2n) voltaje de capacitor y señal de conmutación de la fase, C es la capacitancia del capacitory zi , v2

Ci/2.

5.1. Dinámica de la corriente inyectada

La corriente inyectada (a la red) está dada por la diferencia entre las corrientes del brazo superior einferior, es decir, i0 , iP − iN . Al calcular la diferencia entre (1) y (2), se obtiene el siguiente modelo quedescribe la dinámica de i0:

L⌢i0 = −2vS + eD, (5)

donde eD , eN − eP representa la diferencia entre los voltajes producidos por el brazo inferior y el brazosuperior.

5.2. Dinámica de la corriente circulante

En este trabajo, la corriente circulante se define como la suma de las corrientes de los brazos superiore inferior, esto es, iT , iP + iN , definición similar a la encontrada en [17], con la diferencia que en estetrabajo se seleccionó la definición simplemente como la suma aritmética de dichas corrientes y no como

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el promedio de las corrientes de los brazos. En el caso de la corriente inyectada, esta variable de estado sedefinió como la diferencia de las corrientes de los brazos, por lo que la elección natural para la corrientecirculante fue la suma de esas corrientes. Por lo tanto, la suma de (1) y (2) produce el siguiente modeloque describe la dinámica de iT :

L⌢iT = E − eT , (6)

donde eT , eP + eN representa el voltaje total producido por las celdas de los brazos superior e inferior.

5.3. Dinámica de voltaje de los capacitores

La dinámica de voltaje de los capacitores (3)-(4) puede reescribirse como

CzP = iP eP , (7)

CzN = iN eN , (8)

donde se han usado zP ,∑n

i=1 zi y zN ,∑2n

i=n+1 zi. Al transformar la dinámica del sistema (7)-(8) pormedio de las siguientes definiciones

zT , zP + zN , (9)

zD , zP − zN , (10)

se tieneCzT = iP eP + iN eN , (11)

CzD = iP eP − iNeN , (12)

donde CzT representa la energía total acumulada de los capacitores en los brazos superior e inferior,mientras que CzD representa su diferencia. La dinámica de voltaje (11) y (12) en téminos de iT , i0, eT yeD está dada por

CzT =12

[iT eT − i0eD] , (13)

CzD =12

[i0eT − iT eD] . (14)

A continuación se presentan los objetivos de control y el diseño de los esquemas de control para doscasos específicos: cuando las celdas del MMC contienen fuentes de DC y cuando dichas celdas poseencapacitores. En el primer caso, el controlador está formado por los lazos de corriente inyectada y corrientecirculante, mientras que en el segundo caso el controlador contiene cuatro lazos: corriente inyectada,corriente circulante, regulación de energía y balance de energía.

6. Caso 1: Fuentes de DC en las celdas del MMC vC1= . . . =vC2n=E/n

(control de corriente)

6.1. Objetivos de control

Los objetivos de control del inversor MMC están definidos en términos de los lazos de control descritosenseguida:

Lazo de corriente inyectada. El objetivo de este lazo de control es garantizar que la corrienteinyectada a la red i0 tenga una forma sinusoidal y esté en fase con el voltaje de la red, a pesar de laposible distorsión armónica en el voltaje de red. Para esto, es necesario que i0 realice el seguimiento de

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una señal de referencia representada por i∗0, esto es,

i0 → i∗0 =

P0vS

v2S,RMS

cuando t → ∞ (15)

si no hay distorsión armónica en el voltaje de la red, o

i0 → i∗0 =

P0vS,1

v2S,RMS

cuando t → ∞ (16)

si el voltaje de la red está distorsionado. En (15) y (16), P0 es la potencia de carga (proporcionada poralgún algoritmo de seguimiento del punto de máxima potencia, no incluido en este trabajo), vS,RMS esel valor cuadrático medio (RMS) del voltaje de la red, vS es el voltaje de la red y vS,1 es la estimaciónde la componente fundamental del voltaje de la red1. En este trabajo, el subíndice 1 en vS,1 significacomponente fundamental de vS .

Lazo de corriente circulante. Este lazo de control permite forzar la corriente circulante iT a seguirsu referencia constante i∗

T , la cual se construye a partir de igualar a cero la dinámica en estado establecorrespondiente a la regulación de energía de los capacitores (debido a que los voltajes de capacitor sesupone que permanecen constantes), lo que permite obtener

iT → i∗T =

2P0

Ecuando t → ∞, (17)

donde E es el voltaje del DC-link. Con este objetivo de control se pretende que la corriente del lado deDC del convertidor esté regulada en un valor constante. Dado que hay dos corrientes en el convertidor (ladel brazo superior y la del brazo inferior), es necesario controlar dos corrientes, la primera es la del ladoAC (la inyectada) y la otra corresponde a la corriente interna del convertidor (la circulante).

6.2. Diseño del controlador

Lazo de corriente inyectada

El diseño de este lazo de control involucra la dinámica (5). Su propósito es diseñar una señal de controleD para forzar a la corriente de red i0 a seguir la referencia i∗

0. Al expresar el subsistema (5) en términosde los incrementos i0 = i0 − i∗

0 se tiene

L ˙i0 = −2vS + eD + φD, (18)

donde φD, − L⌢

i∗0 representa una perturbación armónica. Con base en la estructura del modelo de error

(18), se propone el siguiente controlador

eD = 2vS − RD i0 − φD, (19)

donde el parámetro de diseño RD > 0 es una ganancia de amortiguamiento. El controlador (19) comprendeun término de prealimentación 2vS , un término de amortiguamiento RD i0 y un término de compensaciónde armónicos con la siguiente estructura

φD =(

σDs

s2 + ω20

)

i0, (20)

1La estimación de la componente fundamental del voltaje de la red se realiza por medio del generador de señales funda-mental y en cuadratura (F-QSG, Fundamental Quadrature Signals Generator) reportado en [33]. Las ecuaciones del F-QSGse proporcionan en la Subsección 6.3.

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cuando no hay distorsión en el voltaje de la red, y

φD =∑

k∈{1,3,5,... }

(

σD,ks

s2 + k2ω20

)

i0, (21)

cuando el voltaje de la red está distorsionado; σD > 0 y σD,k > 0 (k ∈ {1, 3, 5, . . . }) son parámetros dediseño que representan ganancias de estimación, s es la variable compleja, ω0=2πf0 es la frecuencia angularfundamental del voltaje de la red y f0 es la frecuencia fundamental en Hz. El término de compensaciónφD proporciona una estimación para la(s) perturbación (perturbaciones) armónica(s) en φD y, de estaforma, pretende cancelarla(s) [34].

Lazo de corriente circulante

El diseño de este lazo de control está basado en (6). El objetivo de este lazo es diseñar una señalde control eT para forzar la corriente circulante iT a seguir su referencia constante i∗

T dada en (17).Expresando el subsistema (6) en términos de los incrementos iT = iT − i∗

T produce

L ˙iT = E − eT . (22)

Con base en la estructura del modelo de error (22), se propone el siguiente controlador

eT = E + RT iT , (23)

donde el parámetro de diseño RT > 0 representa una ganancia de amortiguamiento para reforzar laestabilidad del sistema en lazo cerrado. El controlador anterior comprende un término de prealimentaciónE y un término de amortiguamiento RT iT .

6.3. Generador de señales fundamental y en cuadratura (F-QSG)

Para calcular el término vS,1 que aparecen en la referencia de corriente (16), se usa el generador deseñales fundamental y en cuadratura presentado en [33]. Este generador proporciona la estimación de lacomponente fundamental vS,1 del voltaje de la red vS por medio de las siguientes ecuaciones, asumiendoque la frecuencia angular fundamental ω0 es conocida:

˙vS,1 = ω0ϕS,1 + λ1 (vS − vS,1) ,

˙ϕS,1 = −ω0vS,1, (24)

donde ϕS,1 es la estimación de la señal en cuadratura y λ1 es un parámetro de diseño positivo querepresenta la ganancia de estimación para la componente armónica fundamental del voltaje de la red.

El esquema de control aplicado al MMC cuando contiene fuentes de DC en sus celdas se muestra enla Figura 2 para un voltaje de red puramente sinusoidal, y en la Figura 3 para un voltaje de red condistorsión armónica. Los bloques llamados Lazo de corriente circulante, Referencias de los brazosy Esquema de modulación en la Figura 3 son comunes a la Figura 2.

i0

i0~

i0*

2

RD

P0

2vS,RMS

1

vS

eDvS

σD s2s + ω0

2

Lazo de corrienteinyectada

Figura 2. Diagrama de bloques del controlador de corriente propuesto, cuando el voltaje de red es puramente sinusoidal.

9


i0

i0~^vS,1 i0*

2

RD

2

E

iT* iT

~RT

iT

P0

1/n

E/n÷

eP

i �{1,…,n}

i �{ n+1,…,2n}

ui

1/n

E/n

ui Mod

ula

ción

PS

C-P

WM

P0Σ

k�{1,3,...}

σD,k s2s +k ω0

2

2vS,RMS

1

vS

eD

eT

1/2

1/2

eT

eD

eP

eN

eN

vS

-1

ω0

^ϕS,1

F-QSGvS

F-QSG

2

^vS,1λ1

÷

÷

Referencias de los brazos

Esquema de modulación

Lazo de corrienteinyectada


Figura 3. Diagrama de bloques del controlador de corriente propuesto, cuando el voltaje de red está distorsionado.

7. Caso 2: Capacitores en las celdas del MMC vC1= . . . =vC2n=E/n (con-trol completo)

En este caso, el voltaje promedio almacenado en los capacitores (representado con una barra sobre elsímbolo de voltaje de cada capacitor) es igual al valor del DC-link dividido por el número de celdas encada brazo del MMC.

7.1. Objetivos de control

Los objetivos a alcanzar con el esquema de control completo (capacitores en las celdas del MMC yvoltaje de red puramente sinusoidal) son los siguientes:

Lazo de corriente inyectada. Este objetivo de control permanece igual que el descrito en (15).

Lazo de corriente circulante. Este lazo de control permite forzar la corriente circulante iT a seguirsu referencia i∗

T , construida como sigue. Notar que, por una parte, la señal iT está correlacionada coneT en (13), lo cual produce la energía para cargar los capacitores. Además, la señal de control eT debetener una componente de DC para compensar el término de DC en (6). Por lo tanto, iT también debecontnener una componente de DC para tener un efecto en zT . Por otra parte, la señal iT también estácorrelacionada con eD en (14). Sin embargo, eD debe tener una componente fundamental para compensarel término 2vS en (5). Por lo tanto, iT también debe tener una componente fundamental para tener unefecto en zD. Con base en este razonamiento, la referencia de la corriente i∗

T se propone como

iT → i∗T = PT +

PDvS

v2S,RMS

cuando t → ∞, (25)

donde PT es la salida del lazo de regulación de energía y PD es la salida del lazo de balance de energía. Coneste lazo de control, se pretende que la corriente circulante esté centrada alrededor de una componentede DC, para reducir las pérdidas de energía en la fase del convertidor causadas por las secuencias deconmutación en cada celda, así como también permitir la transferencia de energía entre los brazos parala carga y descarga de los capacitores.

10


Lazo de regulación de energía. Regular, en promedio, la energía total de la fase hacia una referenciaconstante o, equivalentemente,

zT → z∗T =

E2

ncuando t → ∞. (26)

Lazo de balance de energía. Llevar a cero, en promedio, la diferencia de energía en la fase, es decir

zD → 0 cuando t → ∞. (27)

Si se cumplen los objetivos de control 3 y 4, entonces se garantiza que cada capacitor está cargado aun voltaje de E/n, y que la energía almacenada en el brazo superior es la misma que la del brazo inferior.

7.2. Diseño del controlador

El diseño del controlador puede divirse en dos etapas principales, etapa de corriente y etapa de energía(voltaje). La primera estapa está compuesta por los lazos de corriente inyectada y corriente circulante,mientras que la última etapa está formada por los lazos de regulación y balance de energía. Esto sesustenta en el hecho de que la dinámica de corriente del inductor se supone más rápida que la dinámicade voltaje de capacitor, condición conocida como desacoplo.


El diseño de este lazo de control permanece igual que el diseñado en el apartado 6.2 cuando el voltajede red es puramente sinusoidal, por lo que no se repite aquí lo mencionado en dicho apartado.


El diseño de este lazo de control está basado en (6). El objetivo de este lazo es diseñar una señal decontrol eT para forzar la corriente circulante iT a seguir su referencia i∗

T descrita en (25). Expresando elsubsistema (6) en términos de los incrementos iT = iT − i∗

T produce

L ˙iT = E − eT + φT , (28)

donde φT,− L⌢

i∗T . Con base en la estructura del modelo de error (28), se propone el siguiente controlador

eT = E + RT iT + φT , (29)

donde el parámetro de diseño RT > 0 representa una ganancia de amortiguamiento para reforzar la esta-bilidad del sistema en lazo cerrado. El controlador propuesto comprende un término de prealimentaciónE, un término de amortiguamiento RT iT y un término de compensación fundamental con la forma

φT =(

σT s

s2 + ω20

)

iT (30)

donde σT es un parámetro de diseño positivo que representa la ganancia de estimación. El término decompensación fundamental φT proporciona una estimación de la perturbación φT que aparece en (28) y,de esta forma, pretende cancelarla.

Lazo de regulación de energía

El diseño de este lazo de control involucra la dinámica (13). Asumiendo que los objetivos de la corrienteinyectada y de la corriente circulante se han alcanzado después de un tiempo relativamente corto, esto

11


es, i0∼= i∗

0=P0vS/v2S,RMS , φD

∼=φD= − L⌢

i∗0, iT

∼= i∗T =PT + PDvS/v2

S,RMS , y φT∼= φT = − L

⌢

i∗T , entonces las

expresiones de los controladores (19) y (29) en estado estable están dadas por

e∗D = 2vS + L

⌢

i∗0 (31)

e∗T = E − L

⌢

i∗T (32)

La sustitución directa de (15), (25) y (31)-(32) en (13), y considerando únicamente la componente de DC(debido a que el objetivo de control se enfoca en la regulación de la componente de DC de zT ), produce

2CzT =

⟨(

PT +PDvS

v2S,RMS

)

(

E − L⌢

i∗T

)

⟩

DC

−⟨(

P0vS

v2S,RMS

)

(

2vS + L⌢

i∗0

)

⟩

DC

. (33)

Considerando⟨

v2S

⟩

DC= v2

S,RMS, con 〈·〉DC representando un operador para extraer la componente deDC, la ecuación (33) puede ser reducida a:

CzT =EPT

2−⟨

P0v2S

v2S,RMS

⟩

DC

=EPT

2− P0, (34)

donde PT representa la entrada de control y P0 es una perturbación constante desconocida. Al expresar(34) en términos de los incrementos zT = zT − z∗

T se tiene

C ˙zT =EPT

2− P0. (35)

Este lazo de control comprende una acción proporcional-integral (PI) operando en su correspondienteseñal de error como sigue

PT = −kpT zT − kiT

szT , (36)

donde los parámetros de diseño kpT > 0 y kiT > 0 son las ganancias del controlador.

La representación en espacio de estados de ambos, la planta (35) y el controlador (36), produce lasiguiente dinámica:

[

˙zT

ξ

]

=

[

−EkpT /2C −EkiT /2C1 0

] [

zT

ξ

]

+

[

−P0/C0

]

(37)

donde se usó PT = −kpT zT − kiT ξ y ξ = zT . El punto de equilibrio del sistema (37) está dado por[

z†T , ξ†

]

=[

0, −2P0/EkiT

]

. Por medio del criterio de Routh-Hurwitz, se encontró que este puntode equilibrio es estable cuando kpT y kiT se escogen como cantidades positivas.

Lazo de balance de energía

El diseño de este lazo de control involucra la dinámica (14). Como en el lazo de regulación de energía,se asume que los objetivos de corriente se han alcanzado después de un tiempo relativamente corto. Porlo tanto, al sustituir (15), (25) y (31)-(32) en (14), y despreciando perturbaciones armónicas, produce

2CzD =

⟨(

P0vS

v2S,RMS

)

(

E − L⌢

i∗T

)

⟩

DC

−⟨(

PT +PDvS

v2S,RMS

)

(

2vS + L⌢

i∗0

)

⟩

DC

, (38)

CzD = −⟨

PDv2S

v2S,RMS

⟩

DC

= −PD, (39)

12


donde PD representa la entrada de control y se usó⟨

v2S

⟩

DC= v2

S,RMS . Expresando (39) en términos delos incrementos zD = zD − z∗

D = zD produce el siguiente modelo de error

C ˙zD = −PD. (40)

Con base en (40), se propone el siguiente controlador que comprende un término proporcional y un términointegral

PD = kpDzD +kiD

szD, (41)

donde los parámetros de diseño kpD > 0 y kiD > 0 son las ganancias del controlador.

La representación en espacio de estados de la planta (40) y el controlador (41) produce la siguientedinámica:

[

˙zD

χ

]

=

[

−kpD/C −kiD/C1 0

] [

zD

χ

]

(42)

donde se usó PD = kpDzD + kiDχ y χ = zD. El punto de equilibrio del sistema (42) está dado por[

z†D, χ†

]

=[

0, 0]

. Por medio del criterio de Routh-Hurwitz, se encontró que este punto de equilibrioes estable cuando kpD y kiD se escogen como cantidades positivas.

Nota 7.2.1. Se ha observado por medio de simulaciones y también por medio de un sustento matemático(ver apéndice A), que la señal zT está contaminada por un segundo armónico, mientras que la señal zD

está contaminada por una componente fundamental. Por lo tanto, se sugiere filtrar esa distorsión armónicapor medio de filtros notch de la siguiente forma

zcleanT =

s2 + 4ω20

s2 + γT s + 4ω20

zT , (43)

zcleanD =

s2 + ω20

s2 + γDs + ω20

zD, (44)

donde γT y γD son las ganancias que definen la velocidad de respuesta y selectividad de estos filtros.Las expresiones de los filtros (43) y (44) son similares a las mostradas en [16], aunque en ese trabajo seutilizaron para filtrar el contenido armónico de la suma y diferencia de los voltajes de capacitor, mientrasque los filtros notch en este trabajo se utilizan para filtrar los semi-voltajes de capacitor al cuadrado. Lasseñales filtradas zclean

T y zcleanD pueden usarse en (36) y (41) en lugar de zT y zD.

El esquema de control aplicado al MMC con capacitores en cada una de sus celdas, se puede ver en laFigura 4 para un voltaje de red puramente sinusoidal.

8. Recuperación de las señales de control ui (i ∈ {1, . . . , 2n})

A partir de las expresiones de las entradas de control (19) y (23) cuando las celdas del MMC poseenfuentes de DC, o (19) y (29) cuando el MMC posee capacitores, y recordando que eD y eT representanla diferencia y la suma del voltaje producido por los brazos inferior y superior del sistema (5) y (6), lasreferencias para los brazos superior e inferior pueden reconstruirse como sigue:

eP =eT − eD

2, eN =

eT + eD

2, (45)

donde eP y eN representan el voltaje total producido por los brazos superior e inferior, respectivamente.

13


RT

PD

2vS,RMS

1 eTvS

σT s2s +ω0

2PT

E

iT* iT

~

iT

i0

i0~

i0*

2

RD

P0

vS

eD

σD s2s +ω0

2

iP

iN

Σ ( )2

2.vC1

vC2...

vCn

Σ ( )2

2.vCn+1

vCn+2...

vC2n

zP

zN

zD

zT2ω0

ω0

NOTCH-1st

NOTCH-2nd

_kpT _

skiT

+kpD s

kiD

clean zT

clean zDPD

2E /nPT

Referencias de los brazos

1/2

1/2

eT

eD

eP

eN

1/n

÷

eP

i �{1,…,n}

i �{ n+1,…,2n}

ui

1/n ui Mod

ula

ción

PS

C-P

WM

Esquema de modulacióneN

÷

vCi

vCi

i �{1,…,n}

i �{ n+1,…,2n}


Lazo de corrientecirculante

Variables de corriente

Regulación y balance

zT~clean

Figura 4. Diagrama de bloques del esquema de control completo propuesto, cuando el voltaje de red es puramente sinusoidal.

Para recuperar las señales de control originales ui (i ∈ {1, . . . , 2n}), se debe aplicar el siguiente proce-dimiento. Como primer paso, se asume que el voltaje total de cada brazo está distribuido equitativamenteen cada celda, por lo que a cada una le corresponde un voltaje dado por

vCiui =eP

npara i ∈ {1, . . . , n} (46)

en el brazo superior, yvCiui =

eN

npara i ∈ {n + 1, . . . , 2n} (47)

en el brazo inferior. A partir de (46), ui en el brazo superior puede recuperarse como

ui =eP

nvCipara i ∈ {1, . . . , n}, (48)

y a partir de (47), ui en el brazo inferior está dada por

ui =eN

nvCipara i ∈ {n + 1, . . . , 2n}. (49)

Notar que, las señales de control (48) y (49) son los ciclos de trabajo de algún esquema de modulación(PSC-PWM en este trabajo de tesis) para generar las secuencias de conmutación de los interruptores decada celda.

14


9. Esquema de modulación PSC-PWM

El esquema de modulación PSC-PWM consiste de una señal moduladora por brazo del convertidor(ondas sinusoidales) con una frecuencia fundamental f0 y un desfase de π radianes (rad) entre ellas, ytantas portadoras triangulares (con frecuencia fc) como el número de celdas en un brazo del convertidor.Las portadoras se desfasan entre sí un ángulo fijo de 2π/n rad, donde n es el número de celdas que hayen un brazo del convertidor, y las mismas portadoras pueden utilizarse para ambos brazos del MMC.La secuencia de conmutación para el convertidor se genera al comparar la señal moduladora con lasportadoras. El nivel lógico alto se obtiene cada vez que la señal moduladora es mayor que las señalesportadoras. El número de niveles en las formas de onda de salida del convertidor, usando esta modulación,es igual al número de celdas en la fase más uno, es decir, 2n+1 niveles.

En este trabajo, se utiliza la modulación PSC-PWM para generar los desfases de las señales portadorassegún se describió en el párrafo anterior, mientras que la comparación de (48) y (49) con las señalesportadoras es lo que permite obtener los ciclos de trabajo de los IGBTs de cada celda del convertidor (lasseñales de conmutación de cada celda del MMC). El nivel lógico alto se obtiene cuando (48) o (49) sonmayores que las señales portadoras.

10. Resultados experimentales

Los esquemas de control de corriente (caso 1) y completo (caso 2), propuestos en este trabajo, fueronevaluados experimentalmente en una simulación HIL, cuya plataforma se muestra en la Figura 5. Paraesto, el MMC monofásico de 2n+1 niveles, mostrado en la Figura 1, fue emulado en un FPGA modeloXC6SLX16 de Xilinx R© a una frecuencia de muestreo de 25 MHz, mientras que sus controladores (decorriente y completo) se implementaron en el DSP TMS320F28335 de Texas Instruments a una frecuenciade muestreo de fs=18 kHz. El MMC considera un voltaje en el DC-link de E=720 V, tres celdas por brazo(n=3), una inductancia de L=3 mH en cada brazo, un voltaje RMS de vS,RMS=230 V, una frecuenciafundamental de f0=50 Hz, una potencia de carga de P0=5 kW o P0=7 kW, y cada portadora tuvouna frecuencia de fc=3 kHz. Cuando se evaluó el esquema de control completo, la planta incluyó unacapacitancia de C=4.7 mF. Se consideraron dos escenarios de simulación para el control de corriente, unocon el voltaje de la red puramente sinusoidal y otro con el voltaje de la red con el contenido armónicomostrado en la Tabla 1, el cual genera una THD de 25.16 % [33]. Para el esquema de control completo,el único escenario de simulación realizado hasta el momento es considerando el voltaje de red puramentesinusoidal. Los parámetros de los esquemas de control se fijaron como se muestra en las Tablas 2 y 3 paralos casos 1 y 2, respectivamente.

FPGA

DSP

Figura 5. Simulación HIL en lazo cerrado del MMC monofásico.

15


Tabla 1. Contenido armónico en el voltaje de la red.

No. de armónico Amplitud [VRMS] Fase [grados]

1 230 0.0

3 50 14.3

5 25 8.6

7 15 5.7

Tabla 2. Parámetros del controlador del caso 1.

Lazo de corriente inyectadavS sinusoidal RD=6, σD=300

vS distorsionada RD=6, σD,1=300, σD,3=σD,5=σD,7=200, λ=0.2

Lazo de corriente circulantevS sinusoidal

RT =5vS distorsionada

Tabla 3. Parámetros del controlador del caso 2.

Lazo de corriente inyectada RD=6, σD=300

Lazo de corriente circulante RT =5, σT =300

Lazo de regulación de energía kpT =0.0015, kiT =0.005, γT =35

Lazo de balance de energía kpD=0.15, kiD=0.5, γD=35

10.1. Caso 1: Fuentes de DC en las celdas del MMC vC1= . . . =vC2n=E/n (control decorriente)

Voltaje de red puramente sinusoidal

Las Figuras 6-8 muestran la respuesta del MMC monofásico en lazo cerrado con el esquema de controlde corriente propuesto para el caso 1, cuando el voltaje de la red es puramente sinusoidal. Las Figuras 6(a)y 6(b) muestran las corrientes de los brazos superior iP e inferior iN , el voltaje de la red vS superpuestocon la corriente inyectada i0 y el voltaje de control para la corriente inyectada eD reconstruido por lasceldas del convertidor, antes y después que el filtro resonante (sintonizado a la componente fundamental)del controlador propuesto es habilitado, respectivamente. Se observa claramente que, después que el filtroresonante se activa, la corriente inyectada queda en fase con el voltaje de la red, lo que garantiza un factorde potencia cercano a la unidad. Por lo tanto, la corriente inyectada cumple su objetivo previsto.

iP

iN

vS

i0

eD

(a)

eD

iP

iNvS

i0

(b)Figura 6. Respuesta en el tiempo (eje x: 5 ms/div) de (de arriba hacia abajo) las corrientes de los brazos iP e iN (ejey: 38.64 A/div), el voltaje de la red vS (eje y: 309.1 V/div), la corriente inyectada (a la red) i0 (eje y: 38.64 A/div) y ladiferencia entre los voltajes producidos por los brazos inferior y superior eD (eje y: 618.2 V/div) cuando el filtro resonanteestá (a) deshabilitado y (b) habilitado.

16


Las Figuras 7(a) y 7(b) muestran la respuesta en el tiempo de la corriente circulante iT antes y despuésque se activa el filtro resonante de la corriente inyectada. El controlador para la corriente circulante noincluye filtro resonante, pero la definición de esta corriente depende de las corrientes de los brazos, cuyasformas se ven afectadas por la activación del filtro resonante del lazo de inyección de corriente. Las Figuras8(a) y 8(b) muestran los voltajes de control para la corriente inyectada eD y para la corriente circulanteeT , reconstruidos por las celdas inferiores y superiores del convertidor. A partir de la Figura 8(a), sepueden ver los siete niveles producidos por las seis celdas del convertidor.

iT

vS

iP

iN

(a)

vS

iT

iP

iN

(b)Figura 7. Respuesta en el tiempo (eje x: 5 ms/div) de (de arriba hacia abajo) las corrientes de los brazos iP e iN (ejey: 38.64 A/div), el voltaje de la red vS (eje y: 309.1 V/div) y la corriente circulante iT (eje y: 9.66 A/div) cuando el filtroresonante está (a) deshabilitado y (b) habilitado.

eP

eN

eD

(a)

eT

eP

eN

(b)Figura 8. Respuesta en el tiempo (eje x: 5 ms/div) de (de arriba hacia abajo) (a) el voltaje producido por el brazo inferioreN y el brazo superior eP (eje y: 618.2 V/div), y la diferencia entre los voltajes producidos por el brazo inferior y el brazosuperior eD (eje y: 618.2 V/div); (b) los voltajes producidos por el brazo inferior eN y el brazo superior eP (eje y: 618.2V/div), y el voltaje total producido por los brazos inferior y superior eT (eje y: 309.1 V/div).

Voltaje de red con distorsión armónica

Las Figuras 9-14 muestran la respuesta del MMC monofásico con el control de corriente cuando elvoltaje de red presenta distorsión armónica. Las Figuras 9(a) y 9(b) muestran la corriente inyectada i0

antes y después que los filtros resonantes estén habilitados, respectivamente. Se observa claramente que,después que los filtros resonantes se habilitan, la corriente inyectada llega a ser una sinusoidal casi pura.Las Figuras 10(a) y 10(b) muestran el espectro en frecuencia de la corriente inyectada i0 antes y despuésde habilitar el banco de filtros resonantes. Cuando el algoritmo de control no incluye el banco de los filtrosresonantes, se tiene una THD igual a 28.06 %. Una vez que se habilita el banco de filtros resonantes, laTHD se reduce a 1.2 %, un valor aceptado en las normas de calidad de energía [4]. Vale la pena mencionar

17


que no fue necesario incluir filtros pasivos a la salida del convertidor para alcanzar un valor de THD pordebajo del 5 %.

iP

iNvS

i0

(a)

iP

iN

vS

i0

(b)Figura 9. Respuesta en el tiempo (eje x: 5 ms/div) de (de arriba hacia abajo) las corrientes de los brazos iP e iN (eje y:38.64 A/div), el voltaje de red distorsionado vS (eje y: 309.1 V/div) y la corriente inyectada i0 (eje y: 38.64 A/div) cuandolos filtros resonantes están (a) deshabilitados y (b) habilitados.

1st

3rd5th 7th

(a)

1st

3rd 5th 7th

(b)Figura 10. Espectro en frecuencia de la corrienye inyectada i0 cuando el banco de filtros resonantes están (a) deshabilitadosy (b) habilitados (eje x: 50 Hz/div; eje y: 10 dB/div).

Para observar si la corriente inyectada está en fase con la componente fundamental del voltaje dela red, las Figuras 11(a) y 11(b) muestran dicha componente fundamental superpuesta con la corrienteinyectada antes y después de la activación de los filtros resonantes. En particular, se puede observar que lacorriente inyectada está en fase con la componente fundamental del voltaje de la red, lo cual garantiza unfactor de potencia cercano a la unidad, a pesar de la distorsión armónica presente en el voltaje de la red.Las Figuras 12(a) y 12(b) muestran el voltaje de control para la corriente inyectada eD reconstruido porlas celdas del convertidor, antes y después que los filtros resonantes se activan. Las Figuras 13(a) y 13(b)muestran la respuesta en el tiempo de la corriente circulante iT antes y después que es activado el bancode filtros resonantes del lazo de inyección de corriente, respectivamente. A pesar que el controlador para lacorriente circulante no incluye filtros resonantes, la definición de la corriente depende de las corrientes iP

e iN , por lo tanto, si éstas son distorsionadas, la corriente iT también será distorsionada. Por esta razón,la corriente circulante iT está menos distorsionada cuando es activado el banco de filtros resonantes en ellazo de corriente inyectada. Las Figuras 14(a) y 14(b) muestran los voltajes de control para la corrienteinyectada eD y para la corriente circulante eT , reconstruidos por los SMs inferiores y superiores del MMC.

18


iP

iN

i0

vS

^vS,1

(a)

iP

iN

i0

vS

^vS,1

(b)Figura 11. Respuesta en el tiempo (eje x: 5 ms/div) de (de arriba hacia abajo) las corrientes de los brazos iP e iN (ejey: 38.64 A/div), la componente fundamental del voltaje de la red (eje y: 309.1 V/div), la corriente inyectada i0 (eje y: 38.64A/div) y el voltaje de red distorsionado vS (eje y: 309.1 V/div) cuando los filtros resonantes están (a) deshabilitados y (b)habilitados.

iP

iNvS

i0

eD

(a)

iP

iNvS

i0

eD

(b)Figura 12. Respuesta en el tiempo (eje x: 5 ms/div) de (de arriba hacia abajo) las corrientes de los brazos iP e iN (eje y:38.64 A/div), el voltaje de red distorsionado (eje y: 309.1 V/div), la corriente inyectada i0 (eje y: 38.64 A/div) y la diferenciaentre el voltaje producido por los brazos inferior y superior eD (eje y: 618.2 V/div) cuando los filtros resonantes están (a)deshabilitados y (b) habilitados.

iP

iN

vS

iT

(a)

iP

iN

vS

iT

(b)Figura 13. Respuesta en el tiempo (eje x: 5 ms/div) de (de arriba hacia abajo) las corrientes de los brazos iP e iN (eje y:38.64 A/div), el voltaje de red distorsionado vS (eje y: 309.1 V/div) y la corriente circulante iT (eje y: 9.66 A/div) cuandolos filtros resonantes están (a) deshabilitados y (b) habilitados.

19


eD

eP

eN

(a)

eP

eN

eT

(b)Figura 14. Respuesta en el tiempo (eje x: 5 ms/div) de (de arriba hacia abajo) (a) el voltaje producido por el brazoinferior eN y el brazo superior eP (eje y: 618.2 V/div), y la diferencia entre los voltajes producidos por el brazo inferior yel brazo superior eD (eje y: 618.2 V/div); (b) los voltajes producidos por el brazo inferior eN y el brazo superior eP (eje y:618.2 V/div), y el voltaje total producido por los brazos inferior y superior eT (eje y: 309.1 V/div).

10.2. Caso 2: Capacitores en las celdas del MMC vC1= . . . =vC2n=E/n (control com-pleto)

Las Figuras 15-22 muestran la respuesta en el tiempo del inversor monofásico basado en la topologíadel MMC, en lazo cerrado con el esquema de control completo. Las Figuras 15(a) y 15(b) muestran lacorriente inyectada i0 y la corriente circulante iT

2, respectivamente. Se observa que la corriente inyectadaes prácticamente una sinusoidal pura y está en fase con el voltaje de la red, lo que garantiza un factorde potencia unitario. A su vez, la corriente circulante está centrada alrededor de una componente de DC.El comportamiento ligeramente oscilatorio de la corriente circulante se debe a la naturaleza oscilatoriade los voltajes de capacitor, cuyas salidas de sus controladores establecen la referencia para la corrientecirculante.

iP

iN

vS

i0

0 V

0 A

6.91 A

(a)

iP

iN

vS

iT

0 V

6.91 A

13.82 A

(b)

Figura 15. Respuesta en el tiempo (eje x: 5 ms/div) de (de arriba hacia abajo) las corrientes de los brazos iP e iN (eje y:25.6 A/div), el voltaje de la red vS (eje y: 204.75 V/div) y (a) la corriente inyectada i0 (eje y: 25.6 A/div), y (b) la corrientecirculante iT (eje y: 12.8 A/div, centrado en -4.08 div).

2A partir de aquí y en lo que sigue, las figuras donde se indica la posición del eje y se refiere a una medición tomada desdeel eje central del osciloscopio. Para obtener el valor de la variable mostrada, aplicar el siguiente procedimiento: si la variableestá por arriba del eje central del osciloscopio, añadir el número de divisiones por arriba del eje central del osciloscopio alvalor absoluto donde está posicionado el eje y; posteriormente, multiplicar el resultado por la escala del eje y. De otra forma,restar el número de divisiones por debajo del eje central del osciloscopio del valor absoluto de la posición del eje y. Porejemplo, el eje y para la corriente circulante iT está centrado en -4.08 div, cuyo valor absoluto es 4.08 div; esta variable está3 div por debajo del eje central del oscilocopio, por lo tanto, el número total de divisiones es 1.08. Finalmente, iT tiene elvalor de 1.08 div × 12.8 A/div = 13.824 A.

20


Las Figuras 16(a) y 16(b) muestran el voltaje de control para la corriente inyectada eD y el voltaje decontrol para la corriente circulante eT , reconstruidos por las celdas inferiores y superiores del convertidor.A partir de la Figura 16(a), los niveles 2n+1 del MMC son evidentes (n=3).

eD

eN

eP

0 V

0 V

0 V

(a)

eN

eP

eT

0 V

0 V

442.3 V

(b)

Figura 16. Respuesta en el tiempo (eje x: 5 ms/div) de (de arriba hacia abajo) el voltaje producido por el brazo inferioreN y el brazo superior eP (eje y: 409.5 V/div), y (a) la diferencia entre los voltajes producidos por los brazos inferior ysuperior eD (eje y: 819 V/div), y (b) el voltaje total producido por los brazos inferior y superior eT (eje y: 409.5 V/div,centrado en -4.08 div).

Las Figuras 17(a) y 17(b) muestran el voltaje total vT y la diferencia de voltaje de los capacitoresvD entre los brazos superior e inferior del convertidor. El voltaje total almacenado en los capacitores dela fase del convertidor debe ser dos veces el valor del voltaje del DC-link E (720 V en este trabajo),mientras que la diferencia de voltaje de los brazos superior e inferior debe ser cero si el voltaje total delos capacitores de cada brazo (vP , vN ) es el mismo. Las Figuras 17(a) y 17(b) muestran que el voltajetotal vT y la diferencia de voltaje vD alcanzan, en promedio, sus referencias correspondientes, aunqueambas muestran un rizado de segundo y primer armónico, respectivamente, los cuales se deben a la cargay descarga de los capacitores.

vP

vN

vT

720 V

720 V

1440 V

(a)

vN

vP

vD

720 V

720 V

0 V

(b)

Figura 17. Respuesta en el tiempo (eje x: 5 ms/div) de (de arriba hacia abajo) el voltaje total de los capacitores delbrazo superior vP y el brazo inferior vN (eje y: 40.95 V/div, centrado en -15.6 div y -17.6 div, respectivamente), y (a) elvoltaje total de los capacitores de la fase vT (eje y: 81.9 V/div, centrado en -19.3 div), y (b) la diferencia de voltaje entrelos capacitores del brazo superior y del brazo inferior vD (eje y: 20.475 V/div).

21


La Figura 18(a) muestra los voltajes de capacitor del brazo superior vC1, vC2 y vC3, mientras que laFigura 18(b) muestra los voltajes de capacitor del brazo inferior vC4, vC5 y vC6. A partir de las Figuras18(a) y 18(b), se puede apreciar el comportamiento oscilatorio de los voltajes de capacitor. A pesar dela oscilación de los voltajes de capacitor, todos ellos están regulados, en promedio, en el mismo valorconstante dado por E/n V. Las Figuras 19(a) y 19(b) muestran la respuesta transitoria de la corrienteinyectada i0 para un cambio en la potencia de carga que va de P0=5 kW a P0=7 kW, y de P0=7 kW aP0=5 kW, respectivamente. Bajo estos mismos cambios de carga, las Figuras 20(a) y 20(b) muestran larespuesta transitoria de la corriente circulante iT .

vC1

vC2

vC3

240 V

240 V

240 V

(a)

vC4

vC5

vC6

240 V

240 V

240 V

(b)

Figura 18. Respuesta en el tiempo (eje x: 5 ms/div) de (de arriba hacia abajo) los voltajes de capacitor de (a) el brazosuperior vC1, vC2 y vC3 (eje y: 20.475 V/div, centrado en -9.76 div, -11.76 div y -13.76 div, respectivamente) y (b) el brazoinferior vC4, vC5 y vC6 (eje y: 20.475 V/div, centrado en -9.76 div, -11.76 div y -13.76 div, respectivamente).

iP

iN

i0

0 A

6.91 A

6.91 A

(a)

iP

iN

i0

0 A

6.91 A

6.91 A

(b)

Figura 19. Respuesta transitoria (eje x: 25 ms/div) de (de arriba hacia abajo) las corrientes de los brazos iP e iN (ejey: 25.6 A/div), y la corriente inyectada i0 (eje y: 25.6 A/div), durante un cambio en la potencia de carga que va de (a)P0=5000 W a P0=7000 W y (b) de P0=7000 W a P0=5000 W.

Se realizó una prueba de desbalance en los voltajes de capacitor, que consistió en poner condicionesiniciales diferentes a los voltajes de capacitor de cada brazo. Para el brazo superior, los voltajes de capacitoriniciales se fijaron como vC1=240 V, vC2=280 V y vC3=210 V, para un voltaje total vP =730 V. En el casodel brazo inferior, los voltajes iniciales tomaron los siguientes valores: vC4=260 V, vC5=240 V y vC6=160

22


V, para un voltaje total de vN=660 V. Las Figuras 21(a) y 21(b) muestran la respuesta transitoria delvoltaje total vT y la diferencia de voltaje de los capacitores entre los brazos superior e inferior vD, anteel desbalance de los voltajes de los capacitores. A partir de las Figuras 21(a) y 21(b), se observa que elmecanismo de compensación de armónicos (HCM, términos resonantes) de los lazos de corriente, afectala amplitud de las variables formadas a partir de los voltajes de capacitor (vP , vN , vT y vD). Cuando sehabilita el HCM (2 segundos después de la puesta en marcha del control), la amplitud de vP , vN , vT y vD

se reduce ligeramente en comparación con la amplitud que tenían antes de incluir el HCM. Finalmente,el comportamiento inicial de cada voltaje de capacitor, bajo la condición de desbalance de capacitores,se muestra en las Figuras 22(a) y 22(b) para los brazos superior e inferior, respectivamente. Se puedeobservar que todos los voltajes de capacitor convergen, en promedio, a la referencia establecida para ellos.

iP

iN

iT

6.91 A

6.91 A

13.82 A

(a)

iP

iN

iT

6.91 A

6.91 A

13.82 A

(b)

Figura 20. Respuesta transitoria (eje x: 25 ms/div) de (de arriba hacia abajo) las corrientes de los brazos iP e iN (ejey: 25.6 A/div), y la corriente circulante iT (eje y: 12.8 A/div), durante un cambio en la potencia de carga que va de (a)P0=5000 W a P0=7000 W y (b) de P0=7000 W a P0=5000 W.

vP

vN

vT

720 V

1440 V

ControlEnabled

HCMEnabled

(a)

vP

vN

vD

0 V

720 V

ControlEnabled

HCMEnabled

(b)

Figura 21. Respuesta transitoria (eje x: 400 ms/div) de (de arriba hacia abajo) los voltajes de capacitor totales del brazosuperior vP y del brazo inferior vN (eje y: 40.95 V/div, ambos centrados en -15.6 div), y (a) el voltaje de capacitor total enla fase vT (eje y: 81.9 V/div, centrado en -19.6 div), y (b) la diferencia de voltaje entre los capacitores de los brazos superiore inferior vD (eje y: 20.475 V/div), cuando las condiciones iniciales de los voltajes de capacitor totales en los brazos se fijaroncomo vP =730 V y vN =660 V.

23


vC1

vC2

vC3

240 V

(a)

vC5

vC4

vC6

240 V

(b)

Figura 22. Respuesta transitoria (eje x: 4 s/div) de los voltajes de capacitor de (a) el brazo superior vC1, vC2 y vC3 (eje y:20.475 V/div, todos ellos centrados en -11.76 div) y (b) el brazo inferior vC4, vC5 y vC6 (eje y: 20.475 V/div, todos elloscentrados en -11.76 div), cuando las condiciones iniciales de cada uno se fijaron como vC1=240 V, vC2=280 V, vC3=210 V,vC4=260 V, vC5=240 V y vC6=160 V.

11. Producción de artículos en el programa doctoral

G. A. Catzin-Contreras, A. A. Valdez-Fernandez, G. Escobar y M. J. Lopez-Sanchez, “A Model-Based Controller for a Three-Phase Grid-Connected Modular Multilevel Converter,” publicado enIEEE International Autumn Meeting on Power, Electronics and Computing (ROPEC), Ixtapa, Gue-rrero, México, 4-6 de Noviembre 2015, pp. 1–6.

Glendy Anyalí Catzín Contreras, Gerardo Escobar Valderrama y Andrés Alejandro ValdezFernández, “Convertidores multinivel: pilares para la integración de la energía renovable en la redeléctrica,” presentado en VIII Congreso Anual Conjunto de Asociaciones del Sector Energético yXVIII Congreso Anual de la Asociación Mexicana para la Economía Energética, Acapulco, Guerrero,México, 16-18 de Junio 2016, pp. 1–15. Este artículo participó en la etapa final para el Premio deEnergía Sustentable del citado congreso.

G. A. Catzin-Contreras, G. Escobar, A. A. Valdez-Fernandez y P. R. Martinez-Rodriguez, “AnOverall Control Scheme for the Single-Phase Modular Multilevel Converter of 2n+1 Levels,” acep-tado en 42nd Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society, Florencia, Italia, 23-27de Octubre 2016. Este artículo fue retirado del congreso por limitantes de copyright.

Glendy A. Catzin-Contreras, Gerardo Escobar, Andres A. Valdez-Fernandez y Manuel J. Lopez-Sanchez, “A current controller for the modular multilevel converter operating under distorted gridvoltage,” sometido en John Wiley & Sons International Transactions on Electrical Energy Systems,Enero 2017.

Gerardo Escobar, Andres A. Valdez-Fernandez, Manuel J. Lopez-Sanchez y Glendy A. Catzin-Contreras, “A Model-Based Controller for the Single-Phase Modular Multilevel Converter of 2n+1Levels,” artículo a someter en IEEE Transactions on Sustainable Energy, 2017.

12. Comentarios finales y trabajo a futuro

El trabajo de investigación desarrollado hasta Abril de 2017 ha permitido cumplir, por medio desimulaciones en software, con los objetivos planteados en el anteproyecto de la Tesis Doctoral. Más aún,

24


ya se ha comenzado a obtener resultados experimentales por medio de una simulación en tiempo real enhardware, lo que ha hecho posible la redacción y envío de un primer artículo de revista indexada del temaobjeto de estudio en este trabajo de investigación. Existen pocas soluciones reportadas en la literaturarespecto al diseño de controladores para el MMC operando ante un voltaje de red con perturbaciones(desbalance, distorsión armónica, cambios en su frecuencia), por lo que la principal contribución de estetrabajo de tesis es el diseño de un esquema de control que permita al MMC operar adecuadamente aúnante las condiciones de red mencionadas. El esquema de control diseñado (para las versiones monofásica ytrifásica del MMC) garantiza que las corrientes circulantes dentro del convertidor estén centradas alrededorde una componente de DC; que la corriente inyectada esté en fase con el voltaje de red aún cuando existanperturbaciones en la red, y que los elementos almacenadores de energía (capacitores) estén regulados (enpromedio) en un mismo valor constante. Por medio de los resultados de simulación y experimentales delcircuito conmutado del MMC, fue posible obtener una corriente de línea con un valor de THD por debajode los valores establecidos en las normas de calidad de energía y sin incluir filtros pasivos a la salidadel convertidor, lo que representa una reducción de costos en la interconexión de esta topología a la redeléctrica.

Como primera etapa experimental, en una plataforma HIL se realizó el control de corriente circulantey de la corriente que el MMC monofásico inyecta a la red eléctrica, ante un voltaje de red puramentesinusoidal y con distorsión armónica. La siguiente etapa experimental consistió en añadir a los controla-dores anteriores, los lazos de regulación y balance de energía de los capacitores flotantes, ante un voltajede red puramente sinusoidal. Posteriormente, los cuatro lazos de control (corriente circulante, corrienteinyectada, regulación y balance de energía) se aplicarán al MMC monofásico conectado a una red con dis-torsión armónica. El siguiente paso en este trabajo de investigación, consistirá en aplicar los cuatro lazosde control al MMC trifásico conectado a una red ideal. Finalmente, todos los lazos de control mencionadosserán evaluados en un MMC trifásico que opera ante un voltaje de red con desbalance y distorsión armó-nica. Todo lo anterior se efecturá en la plataforma HIL mostrada en la Figura 5 y servirá para continuargenerando artículos a someter en revistas indexadas.

En cuanto a los requisitos para egresar del Posgrado, se tiene pendiente la aceptación/publicación delartículo de revista indexada, mientras que ya se cumplió con la prestación del servicio social (constanciade prestación emitida el 15 de Abril de 2016) y también se cuenta con una puntuación de 560 en el TOEFLITP (de los 550 solicitados para egresar), el cual fue presentado el 9 de Marzo de 2012. Por otra parte,las asignaturas formativas y complementarias cursadas hasta el momento son:

Cursos formativos: Análisis Matemático, Sistemas Lineales, Tópicos Selectos de Ingeniería Elec-trónica (Control Adaptable) y Estabilidad de Sistemas No Lineales.

Cursos complementarios: Seminario de Protocolos de Investigación, Seminario de Ética Profe-sional, Seminario de Escritura Técnica y Científica y Seminario de Comunicación Oral.

Con base en la anterior y a las Tesis Doctorales aprobadas (1-5), se tiene un total de 96 (de un mínimode 180) créditos cubiertos.

El trabajo a realizar en los semestres finales del doctorado, para poder cumplir con todos los objetivosplanteados en la Sección 2, es el siguiente:

1. Implementación de los lazos de control de regulación y balance de energía de los capacitores flotantesdel MMC monofásico, considerando un voltaje de red con distorsión armónica.

2. Implementación de los lazos de corriente circulante, corriente inyectada, regulación y balance deenergía para el MMC trifásico operando bajo un voltaje de red ideal.

25


3. Implementación de los lazos de corriente circulante, corriente inyectada, regulación y balance deenergía para el MMC trifásico operando bajo un voltaje de red con perturbaciones (distorsiónarmónica, desbalance).

4. Redactar el documento de tesis.

5. Realizar el examen previo.

6. Realizar la defensa final de la tesis.

El cronograma de actividades de los cuatro años de la formación doctoral se puede ver en la Figura23.

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Figura 23. Cronograma de actividades.

Referencias

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[34] A. A. Valdez-Fernández, P. R. Martínez-Rodríguez, G. Escobar, C. A. Limones-Pozos, and J. M.Sosa, “A Model-Based Controller for the Cascade H-Bbridge Multilevel Converter Used as a ShuntActive Filter,” IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 60, no. 11, pp. 5019–5028, 2013.

A. Contenido armónico en zT y zD

Para determinar el contenido armónico de la variable zT , se parte de la dinámica (13), donde sesustituyen las referencias de las variables que intervienen en dicha ecuación (ecuaciones (15), (25) y (31)-(32)) con las simplificaciones descritas a continuación. En primer lugar, al igualar a cero los modelos deerror (35) y (40), se encuentra que los valores a los que tienden PT y PD están dados por 2P0/E y 0,respectivamente, por lo que la referencia para la corriente circulante (25) se modifica como

i∗T =

2P0

E. (50)

Una consecuencia directa de la simplificación (50) es que (32) queda formada solamente por un término:

e∗T = E. (51)

Por otra parte, la referencia de la corriente inyectada a la red permanece como en (15). Asumiendo queel voltaje de la red está dado por

vS =√

2vS,RMS sin (ω0t) , (52)

entonces su derivada con respecto al tiempo es

vS = ω0ϕ, (53)

donde ϕ ,√

2vS,RMS cos (ω0t). Por lo tanto, (31) se modifica como

e∗D = 2vS +

LP0ω0ϕ

v2S,RMS

. (54)

La sustitución directa de (15), (50), (51) y (54) en (13) produce

2CzT = 2P0 − 2P0v2S

v2S,RMS

− LP 20 ω0ϕvS

v4S,RMS

, (55)

zT =P0

Ccos (2ω0t) − LP 2

0 ω0

2Cv2S,RMS

sin (2ω0t) , (56)

donde se usaron (52), (53) y las identidades sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) y sin2(x) = (1 − cos(2x)) /2, con x elargumento de las funciones trigonométricas de (52) y (53). Al integrar ambos lados de (56) con respecto

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http://galia.fc.uaslp.mx/~avancetesis/AvancesMayo2016/Catzin_Contreras_Glendy_Anyali.pdf

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al tiempo, se obtiene que la componente alterna de zT , denotada zT,AC es:

zT,AC =P0

2ω0Csin (2ω0t) +

LP 20

4Cv2S,RMS

cos (2ω0t) (57)

La expresión completa de zT es:

zT = zT,DC + zT,AC =E2

n+

P0

2ω0Csin (2ω0t) +

LP 20

4Cv2S,RMS

cos (2ω0t) , (58)

donde se observa claramente la presencia del segundo armónico en esta variable.En cuanto al contenido armónico de zD, se sustituyen (15), (50), (51) y (54) en (14), lo que genera

2CzD =

[

P0E

v2S,RMS

− 4P0

E

]

vS − 2LP 20 ω0ϕ

Ev2S,RMS

, (59)

zD =√

2

[

P0E

2CvS,RMS− 2P0vS,RMS

EC

]

sin (ω0t) −√

2LP 20 ω0

ECvS,RMScos (ω0t) , (60)

donde se usaron (52) y (53). Al integrar ambos lados de (60) con respecto al tiempo, se obtiene que lacomponente alterna de zD, denotada zD,AC es:

zD,AC = −√

2ω0

[

P0E

2CvS,RMS− 2P0vS,RMS

EC

]

cos (ω0t) −√

2LP 20

ECvS,RMSsin (ω0t) (61)

En el caso de zD, la componente de DC es 0, por lo que zD = zD,AC . A partir de (61), se puede ver queesta variable está conformada por términos de frecuencia fundamental.

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universidad autÓnoma de san luis potosÍ facultad de...

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