Reporte de Avance de Tesis

Revisión de Algunas Técnicas de Registro

de Imágenes Multimodales

Alejandro Sánchez Gómez

OCTUBRE DEL 2014

Asesores

Dr. Flavio Vigueras Gómez

Dr. Edgar Arce Santana

Introducción

El registro de imágenes, ha adquirido una gran importancia hoy en nuestros días. Muchas

aplicaciones requieren hacer uso de él como procesamiento previo. El registro puede

llevarse a cabo de distintas maneras, en las cuales algunos enfoques resultan más

beneficiosos que otros, por lo que no existe un método universal aplicable a todas las

tareas de registro [1][2][3]. Desde el surgimiento del registro de imágenes, se han

desarrollado muchas estrategias para llevarlo a cabo solamente considerando imágenes

con las mismas características, es decir, capturadas con el mismo tipo de sensor. A este tipo

de registro se le conoce como registro monomodal [2]. Sin embargo, en las últimas décadas

han surgido muchas aplicaciones que requieren registrar imágenes de características

completamente diferentes por lo que el estudio de estas estrategias de registro multimodal

es también reciente.

Para llevar a cabo el registro multimodal, es necesario establecer una medida de similitud

invariante a las distintas modalidades que las imágenes a registrar puedan presentar [4].

Una función de costo que ha demostrado tener una gran robustez ante situaciones

multimodales es la Información Mutua [4][5][6][7][8]; esta función es capaz de manejar

cambios de iluminación y oclusiones parciales, consiguiéndose buenos resultados. La

Información Mutua (IM) surge de la teoría de la información como una medida del grado de

dependencia entre dos señales y es de carácter completamente estadístico; esta función

está dada por:

𝑀𝐼(𝐴, 𝐵) = ∑ 𝑝𝐴𝐵(𝑎, 𝑏) log𝑝𝐴𝐵(𝑎, 𝑏)

𝑝𝐴(𝑎)𝑝𝐵(𝑏),

𝑎,𝑏

(1)

donde A y B son variables aleatorias (v.a.), pA(a) y pB(b) son sus respectivas probabilidades de y pAB(a,b)

es la probabilidad conjunta [9]. A pesar de los beneficios que puede otorgar, la Información Mutua es

altamente no lineal.

Debido a que esta función es una medida estadística, es necesario hacer uso de histogramas de las

imágenes a registrar. Lo anterior, significa un costo computacional importante, es por ello que se han

aplicado muchas estrategias para tratar de reducir los tiempos de cómputo, tales como la construcción

de histogramas a partir de un subconjuto de la imagen, la reducción de los bins en los histogramas a

través de diferentes niveles cuantización en las imágenes y el uso de implementaciones piramidales,

entre otras.

Por otro lado, se han adaptado varias estrategias para encontrar la máxima similitud entre dos imágenes

de modalidades diferentes utilizando la IM. Entre ellas, métodos de optimización de descenso de

gradiente [6], el método de Newton [7] y algunos métodos de estimación bayesiana como lo es el filtro

de partículas [5].

El presente trabajo de tesis busca estudiar los distintos resultados obtenidos por varios métodos de

maximización de la IM, considerando transformaciones geométricas parametrizables. Una vez

implementados los métodos estudiados se llevará a cabo un análisis comparativo de los resultados

analizando algunos aspectos tales como la repetibilidad de éxito en el registro, la confiabilidad y los

tiempos de registro.

Maximización de la Información Mutua

El caracterizar la deformación paramétrica que existe entre una imagen patrón y una imagen candidata,

utilizando como medida de similitud a una función de costo no lineal, como lo es la IM, hace necesario el

uso de herramientas conocidas con el nombre de métodos de optimización para llevar a cabo este

cometido.

Los métodos de optimización pueden clasificarse en varias categorías, entre ellas: métodos de

optimización lineales y no lineales [10]. Para el manejo de la función de costo propuesta, se

considerarán los métodos no lineales y de múltiples variables, puesto que las deformaciones a estudiar

pueden representarse con ocho parámetros o menos.

Dentro de los métodos no lineales para N variables [11], se puede establecer una clasificación de los

métodos de búsqueda del valor óptimo como la siguiente:

1. Métodos sin el uso de derivadas o de búsqueda directa: estos se basan en comparaciones del

valor obtenido en la función en ciertos puntos de prueba. Estos métodos pueden resultar

bastante eficientes ya que no dependen de la información proporcionada por las derivadas de la

función de costo.

2. Métodos que utilizan información de la primer derivada: Al utilizar información del gradiente,

estos métodos tienden a converger más rápido que los de búsqueda directa. Además tienen la

ventaja de que se puede detectar la convergencia cuando el gradiente es cercano a cero.

3. Métodos que utilizan información de la segunda derivada: Bajo condiciones favorables, estos

pueden ser muy eficientes y su velocidad de convergencia puede ser muy alta.

Los métodos que utilizan información de la primera y segunda derivada de la función de costo son

conocidos como métodos de búsqueda indirecta. Estos tienen la ventaja de que su convergencia es más

rápida; sin embargo, algunos de estos tienden a converger en puntos estacionarios que no son el

máximo global al que se desea llegar [11].

Por otra parte, la evolución en el diseño en los procesadores, tales como las arquitecturas multi-núcleo,

hace posible la eficiente implementación de métodos de búsqueda directa [12]. Estos métodos poseen

el beneficio de que pueden tratar con situaciones que pueden ser no derivables.

Con base en lo anterior, se decidió revisar en el estado del arte metodologías que resuelvan el problema

de registro de imágenes multimodales por alguno de las estrategias de optimización anteriormente

mencionadas. Dentro de los métodos seleccionados se encuentran:

1. Manipulación y Análisis de la Entropía Empírica [6].

2. Seguimiento preciso en tiempo real utilizando Información Mutua [7].

3. Registro de imágenes guiado por filtro de partículas [5].

Cada uno de estas opciones representa a las diferentes categorías para los métodos de optimización no

lineal de múltiples variables anteriormente presentadas. A continuación se mencionarán algunos

detalles de cada uno de los métodos.

Manipulación y Análisis de la Entropía Empírica

Este método fue propuesto por Paul Viola et al, en él se resuelve el problema de optimización utilizando

un método de búsqueda indirecta conocido como Descenso de Gradiente [10]. Básicamente, se

selecciona una deformación inicial de la imagen candidata con parámetros xk y se espera avanzar hacia

el máximo valor de la IM, que es cuando las dos imágenes se encuentran lo mejor alineadas. Esta

dirección está dada por el gradiente y un tamaño de paso λ.

Debido a que la IM es una medida estadística que depende de las densidades de probabilidad de la

imagen patrón y candidata, y de la densidad de probabilidad conjunta, es necesario que el modelo

utilizado para la construcción de las densidades de probabilidad sea derivable para poder emplear el

método de descenso de gradiente. Es por ello, que en esta técnica se propone la construcción de las

densidades de probabilidad utilizando una estimación por ventanas de Parzen a través de una

distribución gaussiana [13], la cual es derivable.

Otra ventaja que se puede destacar, es que no se usa toda la información de las imágenes, sino que

utiliza un subconjunto de ambas para llevar a cabo la maximización de la IM.

Seguimiento Preciso en tiempo real utilizando Información Mutua

De reciente desarrollo, este método fue propuesto por Amaury Dame et al, muchas estrategias de

reducción de costo computacional son empleadas en él; entre ellas: i) cuantización de los bins

empleados en la construcción de los histogramas, ii) uso de espacio de escalas y iii) cálculo de las

derivadas utilizando sólo las regiones que ofrecen mayor información en el cálculo de las derivadas, es

decir, regiones no homogéneas en los valores de intensidad.

Esta técnica utiliza el método de Newton para Maximizar la función de costo; lo anterior, implica que su

región de convergencia está limitada a valores cercanos al valor óptimo [11]. Además es necesario el

cálculo de segundas derivadas, lo cual es computacionalmente costoso. Sin embargo, en este método se

utiliza un enfoque de composición inversa, en el cual se considera que la actualización modifica a la

imagen de referencia o patrón, es por ello, que se busca un xk que maximice a la función. Lo anterior,

permite que el cálculo de las derivadas se realice sólo una vez. Entonces la actualización de xk queda

dada por:

Δ𝒙𝒌 = −𝑯−1𝑮⊺ (2)

Donde G y H son el Gradiente y la Hessiana de la IM respectivamente, y están dadas por:

𝑮 =𝜕𝑀𝐼(𝑤(𝐼∗, Δ𝒙𝒌), 𝑤(𝐼, 𝒙𝒌))

𝜕Δ𝒙𝒌 (3)

𝑯 =𝜕2𝑀𝐼(𝑤(𝐼∗, Δ𝒙𝒌), 𝑤(𝐼, 𝒙𝒌))

𝜕Δ𝒙𝒌2

(4)

donde I*e I son las imágenes patrón y candidata respectivamente y w es la función de transformación

de una imagen dado el punto de prueba xk.

Para construir las densidades de probabilidad, se utiliza también un enfoque de estimación por ventanas

de Parzen, pero en este caso se hace uso de B-Splines que son funciones polinómicas a pedazos [14]. Lo

anterior, además de permitir la derivabilidad de las densidades de probabilidad, logra que la función de

costo tienda a aproximarse a una forma convexa.

Para lidiar con el problema de la reducida región de convergencia, se calcula una sola vez H asumiendo

que las imágenes se encuentran registradas. Esto permite que su región de convergencia tienda a la de

los métodos de búsqueda que solo utilizan información de la primer derivada [7].

Registro de Imágenes guiado por filtro de partículas

El filtro de partículas, es una técnica que se basa en una representación de algunos modelos de

comportamiento de algunas especies en la naturaleza, por ejemplo: un enjambre de abejas, un banco de

peces o una parvada de aves; del estudio de estos comportamientos, se observó que estos podían

adaptarse para la solución de algunos problemas de optimización.

Mediante el filtro de partículas se puede optimizar un problema a partir de una población de soluciones

o puntos de prueba candidatos, los cuales son denominados partículas. La evolución de cada partícula es

determinada por la mejor posición encontrada hasta el momento y conforme se encuentren mejores

soluciones, éstas servirán para guiar a nuevas y mejores posiciones, dando pie a un problema de

estimación secuencial [15].

Desde el punto de vista de la estimación bayesiana, el problema de estimación secuencial consiste en el

cálculo recursivo del estado del sistema xt en el instante t, considerando un cierto grado de confianza y

donde se encuentran dadas las observaciones z1:t={z1,…,zt}. Además la medición de salida está

representada por:

𝒛𝑡 = ℎ𝑡(𝒙𝑡, 𝑢𝑡), (5)

en la cual xt, es dado por la ecuación de estado:

𝒙𝑡 = 𝑓𝑡(𝒙𝑡−1, 𝑣𝑡−1), (6)

donde ft y ht son funciones que pueden ser no lineales, además ut y vt son muestras de ruido

independiente e idénticamente distribuido i.i.d. . Entonces, para resolver el sistema no lineal

anteriormente descrito, es necesario calcular la función de densidad de probabilidad p(xt|z1:t),

asumiendo la función de densidad de probabilidad (pdf) inicial como conocida, p(x0,z0)=p(x0) . Con base

en lo anterior, la pdf a posteriori p(xt|z1:t) puede ser calculada en dos etapas:

1. Etapa de predicción: Suponiendo que se conoce la pdf p(xt-1|z1:t-1) en el instante t-1, puede

obtenerse de manera recursiva la pdf a priori p(xt|z1:t-1) en el instante t, a través de la ecuación

de Chapman-Kolmogorov:

𝑝(𝒙𝑡|𝒛1:𝑡−1) = ∫ 𝑝(𝒙𝑡|𝒙𝑡−1) 𝑝(𝒙𝑡−1|𝒛1:𝑡−1)𝑑𝒙𝑡−1 (7)

2. Etapa de evaluación: En esta etapa, es posible predecir la pdf a posteriori, puesto que en el

instante t la medición zt está disponible. Para ello, es posible utilizar el teorema de Bayes:

𝑝(𝒙𝑡|𝒛1:𝑡) =𝑝(𝒛𝑡|𝒙𝑡)𝑝(𝒙𝑡|𝒛1:𝑡−1)

𝑝(𝒛𝑡|𝒛1:𝑡), (8)

donde p(zt|z1:t-1) es una constante de normalización dada por:

𝑝(𝒛𝑡|𝒛1:𝑡−1) = ∫ 𝑝(𝒛𝑡|𝒙𝑡)𝑝(𝒙𝑡|𝒛1:𝑡−1)𝑑𝒙𝑡 . (9)

Las ecuaciones (8) y (9) dependen de la función de verosimilitud p(zt|xt) definida por el modelo

de medición en (5).

Las ecuaciones (7) y (8) son la base de la solución bayesiana óptima [16]. Sin embargo, esta propagación

recursiva de la densidad a posteriori es sólo un resultado conceptual, ya que no se puede determinar

analíticamente [17]. Es entonces conveniente, el uso de modelos aproximados a esas funciones de

distribución, tal como lo es el filtro de partículas.

Algoritmo del filtro de partículas

Esta técnica implementa filtros recursivos bayesianos, representando la pdf a posteriori a través de un

conjunto de muestras discretas con pesos asociados, donde la estimación se calcula utilizando las

muestras y sus pesos asociados [18]. Al inicio, se genera una población de partículas utilizando una pdf

conocida. Después se calculan las mediciones y pesos de cada partícula generada utilizando las

ecuaciones (5) y (8) respectivamente. Lo anterior, constituye a una aproximación discreta de la pdf a

posteriori. Después se realiza un proceso de remuestreo, para evadir el problema de degeneración de

algunas partículas [19]; en este proceso, se seleccionan aquellas partículas que aportan un mayor peso

en la aproximación de la pdf a priori, la cual está dada por la ecuación (7). Finalmente, si 𝑡 → ∞, la

distribución de la densidad a posteriori se aproxima a la verdadera pdf, entonces, puede obtenerse el

estimado utilizando:

𝒙𝑡∗ = 𝐸[𝒙𝑡|𝒛𝑡] = ∑ 𝒙𝑡

𝑖 𝒒𝑡𝑖

𝑁𝑠

𝑖=1

, (10)

donde qt son los pesos asociados a las Ns partículas.

Aplicado al Registro de Imágenes Multimodales, la medición en (5) queda definida como:

𝒛𝑡 = 𝑀𝐼(𝐼∗, 𝑤(𝐼, 𝒙𝑡)) + 𝑢𝑡, (11)

donde I*e I son las imágenes patrón y candidata respectivamente y w es la función de transformación

geométrica paramétrica de una imagen dado el punto de prueba xt; ut es un vector de ruido i.i.d.

generado por una distribución Normal de media cero y matriz de covarianza Σu.

Suponiendo que I es el resultado de un mapeo inyectivo de I*, 𝐼∗ = 𝑤(𝐼, 𝒙𝑡), entonces la Información

Mutua, estará limitada por 0 ≤ 𝑀𝐼(𝐼∗, 𝑤(𝐼, 𝒙𝑡) ≤ 𝐻(𝐼∗), donde 𝐻(𝐼∗) es la entropía de la imagen

patrón. Con base en lo anterior, puede considerarse como función de verosimilitud a la siguiente

ecuación

𝑝(𝒛𝑡|𝒙𝑡) =1

𝜎√2𝜋𝑒

−{[𝐻(𝐼∗)−𝑀𝐼(𝐼∗,𝑤(𝐼,𝒙𝑡))]2

2𝜎2 }, (12)

donde es conocida una varianza de ruido en la medición σ2, dada por σ2>0; además xt es el vector de

parámetros de la transformación geométrica.

En [5] se propone un algoritmo de registro paramétrico de imágenes guiado por filtro de partículas, el

cual se describe a continuación:

Algoritmo de Registro de Imágenes guiado por filtro de partículas

Sean 𝐼∗ e 𝐼, las imágenes a registrar

Definir un valor inicial para x0 y Σu0

Generar Ns partículas para t=1

𝒙1𝑖 = 𝒙0 + 𝒖0

𝑖 , con 𝑖 = 1,2, … , 𝑁𝑠 y 𝒖0𝑖 ~𝓝(𝟎, Σ𝒖0

)

Obtener el peso de cada partícula usando la verosimilitud en el instante t=1

𝑞1𝑖 = 𝑝(𝒛𝑡|𝒙𝑡) =

1

𝜎√2𝜋𝑒

−{[𝐻(𝐼∗)−𝑀𝐼(𝐼∗,𝑤(𝐼,𝒙𝑡))]2

2𝜎2 }, para 𝑖 = 1,2, … , 𝑁𝑠

Normalizar los pesos de las partículas

𝑞1𝑖 =

𝑞1𝑖

∑ 𝑞1𝑗𝑁𝑠

𝑗=1

Repetir para 𝑡 = 1,2, …

Etapa de remuestreo:

Definir 𝑐1 = 𝑞𝑡1

Para 𝑗 = 2, … , 𝑁𝑠

𝑐𝑗 = 𝑐𝑗−1 + 𝑞𝑡𝑗

Terminar

Para 𝑖 = 1,2, … , 𝑁𝑠

Generar un número aleatorio 𝑟~𝒰[0,1]

Encontrar el índice 𝑗 tal que 𝑐𝑗 ≥ 𝑟, entonces

𝑥𝑡𝑖 = 𝑥𝑡

𝑗

𝑞𝑡𝑖 = 1/𝑁𝑠

Terminar

Incrementar t en 1

Reducir las varianzas en las perturbaciones para disminuir la variabilidad gradualmente

Σ𝑢𝑡= βtΣ𝑢𝑡−1

, con 0 < β𝑡 < 1

Etapa de predicción:

Obtener un nuevo conjunto de partículas para el instante t

𝒙𝑡𝑖 = 𝒙𝑡−1

𝑖 + 𝒖𝑡−1𝑖 , para 𝑖 = 1,2, … , 𝑁𝑠 y 𝒖𝑡−1

𝑖 ~𝓝(𝟎, Σ𝒖𝑡)

Etapa de actualización:

Obtener el peso normalizado de cada partícula

𝑞1𝑖 = 𝑝(𝒛𝑡|𝒙𝑡) =

1

𝜎√2𝜋𝑒

−{[𝐻(𝐼∗)−𝑀𝐼(𝐼∗,𝑤(𝐼,𝒙𝑡))]2

2𝜎2 }, para 𝑖 = 1,2, … , 𝑁𝑠

𝑞𝑡𝑖 =

𝑞𝑡𝑖

∑ 𝑞𝑡𝑗𝑁𝑠

𝑗=1

, para 𝑖 = 1,2, … , 𝑁𝑠

Hasta que ‖Σ𝑢𝑡‖ sea muy pequeño

Actividades realizadas durante el periodo Mayo a Octubre del 2014

Se concluyó la revisión bilbiográfica de los métodos de registro de imágenes multimodales con el

estudio del tercer método contemplado, el cual es “Registro de imágenes guiado por filtro de

partículas”. También, se realizó la implementación de este método utilizando el lenguaje de

programación c++, en el cual se consideraron diferentes casos de transformaciones geométricas

proyectivas. En el anexo A, se presentan algunos resultados obtenidos por este método de registro.

Se cursó y aprobó el seminario de Proyecto de Tesis II, impartido por el Dr. Enrique Stevens Navarro,

completando así el 100% de los créditos a obtener mediante el plan de estudios de la Maestría en

Ingeniería Electrónica.

En cuanto a la redacción del documento de tesis, se ha estructurado el contenido en seis capítulos, de

los cuales se ha llevado a cabo la escritura de un capítulo.

Con la conclusión de la revisión e implementación de los métodos de interés para el registro de

imágenes multimodales, se estima que se ha alcanzado un grado de avance del 85%.

Cronograma de Actividades para el periodo Noviembre 2014 - Mayo

2015

Actividad Mes

Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo

Presentación de Póster en el ETAS 2014

Análisis comparativo de los métodos estudiados

Escritura de Tesis

Presentación de examen previo

Bibliografía

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Statistical Signal Processing Workshop, IEEE, pp 70-76, 2006.

Anexo A

En la figura A.1, se muestra un caso donde se aplicó el filtro de partículas para llevar a cabo el

registro entre dos imágenes. En el cual se utilizaron 100 partículas; se consideró un umbral de

convergencia en el proceso hasta que ‖Σ𝑢𝑡‖ < 1x10−9 (400 iteraciones aprox.). Cabe señalar que se

utilizó un submuestreo aplicando pirámides gaussianas para reducir la cantidad de información en el

proceso de registro, se consideró la imagen obtenida del 3er nivel de escalamiento. Para generar las

partículas, se consideró ruido i.i.d. gaussiano de media cero y covarianza Σ𝒖0= diag(0.015625,

0.015625, 72, 0.015625, 0.015625,40, 0.00000015625, 0.00000015625). La transformación que se

consideró fue una transformación proyectiva, la cual se realizó sintéticamente; el grado de error

establecido para llevar a cabo la deformación, se consideró calculando una deformación aleatoria que

lograra que los desplazamientos de las esquinas provocados por la deformación sumaran 200 px (cabe

señalar que las imágenes originales son de tamaño 480x350 px). La deformación aleatoria sintética que

se utilizó en este caso fue la siguiente:

𝑤𝒙 = [0.0131386 −0.122718 −36.59190.0256214 −0.158975 −5.82247

0.000117412 −0.000548456 1] [

𝑥1

𝑥2

1]

La transformación estimada por el proceso de registro fue:

𝑤𝒙 = [0.0189671 −0.120188 −40.263920.0283158 −0.155244 −9.53856

0.000104001 −0.000592609 1] [

𝑥1

𝑥2

1]

Puede observarse que la transformación estimada, es cercana a la transformación con la que fue

deformada la imagen inicialmente. Con lo anterior, se puede concluir que el filtro de partículas puede

realizar registros apropiados utilizando IM.

a b

c d

Fig. A.1: Registro de imágenes utilizando filtro de partículas. En a y b se muestran las imágenes patrón y

candidata respectivamente, donde a es una transformación sintética proyectiva de b; c corresponde a la

imagen estimada por el filtro de partículas y d es una imagen a color utilizando el modelo rgb, la cual

muestra a la imagen patrón en el canal rojo y a la imagen estimada en el canal azul.