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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE AGRONOMÍA

SUBDIRECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSTGRADO

MODELACIÓN MATEMÁTICA DE BOMBAS INTERCONECTADAS EN

REDES ABIERTAS PARA IRRIGACIÓN Y SU SOLUCIÓN MATRICIAL

TESIS

PARA OBTENER EL GRADO DE

DOCTOR EN CIENCIAS AGRÍCOLAS

PRESENTA

SERGIO ZEFERINO GARZA VARA

MARÍN, N.L., MEXICO DICIEMBRE DE 2012

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FALCULTAD DE AGRONOMÍA

SUBDIRECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSTGRADO

MODELACIÓN MATEMÁTICA DE BOMBAS INTERCONECTADAS EN

REDES ABIERTAS PARA IRRIGACIÓN Y SU SOLUCIÓN MATRICIAL

TESIS

PARA OBTENER EL GRADO DE


PRESENTA

SERGIO ZEFERINO GARZA VARA

MARÍN, N.L. MÉXICO DICIEMBRE DE 2012

ESTA TESIS FUE REVISADA Y APROBADA POR EL

COMITÉ PARTICULAR COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO DE


COMITÉ PARTICULAR

_________________________ Dr. Juan Francisco Pissani Zúñiga

Asesor principal

_________________________ Ph. D. Emilio Olivares Sáenz

Co-Asesor

_________________________ Ph. D. Alejandro Isabel Luna Maldonado

Co-Asesor

_________________________ Dr. Daniel Gómez García

Co-Asesor Externo

_________________________ Dr. Javier de Jesús Cortés Bracho

Co-Asesor Externo

_________________________ Ph. D. Francisco Zavala García

Subdirector de Estudios de Posgrado

No existe tal vez rama de la ingeniería que posea una historia tan rica

como la hidráulica. Precisión de disponer de agua para satisfacer

necesidades básicas corporales y domésticas; utilización de vías

marítimas o fluviales para el transporte, y cruce de ellas; irrigación de

cultivos; defensa contra las inundaciones; aprovechamiento de la

energía de corrientes; todo esto ha forzado al hombre, desde los tiempos

más antiguos, a vérselas con el agua. No ha sido un trato fácil. El

habitante urbano que la observa a diario, dócil a sus necesidades, bajar

mansa de la llave, no tiene idea de su idiosincrasia. No imagina con

cuánta paciencia y astucia hay que manejar a esta nuestra gran amiga-

enemiga; cuán a fondo hay que entender su índole altiva para poder

someterla y doblegarla; cómo hay que “dorarle la píldora” para reducirla

a nuestra voluntad, respetando –sin embargo– la suya. Por eso, el

hidráulico ha de ser, ante todo, algo así como un psicólogo del agua,

conocedor profundo de su naturaleza.

ENZO LEVI

DEDICATORIA

A Dios, creador y sustentador de todas las cosas, por darme la vida y salud, por

permitirme concluir esta etapa tan importante en mi vida.

A mi más grande amor, mi esposa Mireya

Por tu apoyo incondicional, por tu estímulo constante, por tu vida entregada a

nuestros hijos, nietos y a mí; disculpa mis malos momentos y principalmente el

tiempo que dejé de dedicarte.

A mis hijos, Sergio, Nestor Arturo y Mayeri Josephine

Mis tres tesoros.

A mis nueras, María y María Elena

Con admiración y respeto por el cariño y atención que han tenido con mis hijos

y nietos.

A mis nietas, Daniela y Paulina

A las que adoro.

A mis padres, Carlos y Josefina

Por todo el amor y cariño que me brindaron.

A mis hermanos y hermanas

Con amor fraternal.

A mis amigos y amigas

Por el cariño y la amistad que me han brindado en los momentos prósperos y

adversos.

AGRADECIMIENTOS

Al Dr. Juan Francisco Pissani Zúñiga, por la dirección de este trabajo de

tesis y por sus invaluables conocimientos vertidos en mi formación académica,

no solo de la presente investigación, si no de muchas actividades que he

tenido en mi vida. Gracias por ser un gran catedrático, gracias por la amistad

que me ha brindado.

Al Dr. Emilio Olivares Sáenz, por el gran apoyo brindado en el presente

trabajo y su enseñanza en los diseños experimentales.

Al Dr. Alejandro Luna Maldonado, por su apreciada colaboración en la

asesoría y revisión en el presente trabajo.

Al Dr. Daniel Gómez García; no tengo palabras para agradecerle todo lo

que ha hecho por mí; doy gracias a Dios por haberlo conocido, por permitirme

entrar en el núcleo del más noble y sencillo de lo que son los sentimientos:

una verdadera amistad.

Al Dr. Javier de Jesús Cortés Bracho; empecé siendo su maestro y

terminé siendo su alumno. Le doy las gracias por el gran apoyo brindado en la

asesoría y revisión del presente documento, por su enseñanza en el campo de

la geohidrología y sobre todo la amistad que me ha manifestado en todo

momento.

Al M.C. Manuel González Molina, por todo el apoyo y asesoría

incondicional que me ha dedicado, y sobre todo, su amistad.

A José Antonio Linares Calero, por su amistad, confianza y toda la

ayuda absoluta que me ha ofrecido.

Al M.C. Gilberto Rodríguez Pérez, mi compañero de posgrado, por toda

la asesoría que me brindó, y sobre todo, su amistad total.

A la Universidad Autónoma Agraria Antonio Narro, por permitirme una

superación más en la vida.

A la Facultad de Agronomía de la Universidad Autónoma de Nuevo

León, por recibirme en su Posgrado.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT), por su

apoyo invaluable al concederme una beca que me permitirá obtener el grado

de Doctor en Ciencias.

A mis compañeros y amigos del posgrado: Tania Flores, José Escoto,

Karely Espinosa, Claudia Garza, Eleazar Lugo, Eduardo Tobías, Keren

Lazarín, Kristian Castillo, Héctor Rojas, Rubén Trejo, Jaime Armendáriz,

Gerardo Ontiveros, Luz Lizeth López, Yesica Valadez, Fabiola Villegas, Carlos

Guillén, Cristina Patricia Aguilar Aranda, César Guerrero, Rubén López, Hugo

Candelario, Antonio Flores Naveda, Gilberto Rodríguez Pérez.

RESUMEN AUTOBIOGRÁFICO

Sergio Zeferino Garza Vara

Candidato al grado de Doctor en Ciencias Agrícolas con Especialidad en Agua-

Suelo.

Tesis:

Modelación matemática de bombas interconectadas en redes abiertas para

irrigación y su solución matricial.

Áreas de estudio:

Mecánica de fluidos, Hidráulica, Matemáticas, Estadística y Riego.

Biografía:

Nacido el 8 de octubre de 1953 en Nueva Rosita Coahuila, México.

Egresado de la Universidad Autónoma de Coahuila como Ingeniero Químico

en junio de 1977.

Egresado de la Universidad Autónoma Agraria Antonio Narro con el grado de

Meastro en Ciencias en la Especialidad de Riego y Drenaje en agosto de 1984.

Profesor Investigador adscrito al Departamento de Riego y Drenaje de la

Universidad Autónoma Agraria Antonio Narro desde enero de 1979 a la fecha,

impartiendo los cursos a nivel Licenciatura de Uso y Conservación del Agua,

Hidráulica I, Hidráulica II, Hidráulica General, Equipos y Sistemas de Abastecimiento

de Agua, Relación Agua–Suelo–Planta–Atmósfera; y en Posgrado los cursos de

Hidráulica Avanzada y Sistemas de Riego en Conductos a Presión.

Distinciones recibidas: Mención Honorífica en el Examen de Grado celebrado

el 3 de agosto de 1984, Premio de Eficiencia en 1983, Premio de Eficiencia en 1994

por el Departamento de Personal, Maestro Distinguido de Posgrado por el Rector y el

Subdirector de Posgrado, Encargado del Diseño del Laboratorio de Hidráulica

denominado “Jardín Hidráulico”, del Departamento de Riego y Drenaje.

Coordinador de la Maestría de Riego y Drenaje de 1990 a 1992, Jefe de

Departamento de Riego y Drenaje interino de octubre del 2008 a enero del 2009.

Publicación científica en el Journal of the International Society of Paddy and

Water Enviroment Engineering de la revista Springer, con el título: Models of the

interconnection of pumps to supply water to branched networks.

vii

CONTENIDO

ÍNDICE DE CUADROS .............................................................................................. IX

ÍNDICE DE FIGURAS ................................................................................................ IX

RESUMEN ................................................................................................................ XII

SUMMARY ............................................................................................................ XIVV

1. INTRODUCCION .................................................................................................... 1

1.1. Hipótesis general .............................................................................................. 3

1.2. Objetivo general ................................................................................................ 3

1.3. Objetivos específicos ........................................................................................ 3

2. REVISIÓN DE LITERATURA ................................................................................. 5

2.1. Fundamentos de la mecánica de fluidos ........................................................... 5

2.2. Flujo de conductos a presión ............................................................................ 8

2.3. Bombas ........................................................................................................... 12

2.4. Modelos científicos .......................................................................................... 27

2.5. Redes de tuberías ........................................................................................... 32

2.6. Métodos matemáticos ..................................................................................... 34

2.6.1. Ecuaciones y su solución .......................................................................... 34

2.6.2. Soluciones hidráulicas .............................................................................. 41

2.6.3. Métodos de optimización ......................................................................... 43

2.6.4. Programas comerciales para el diseño de redes ..................................... 45

3. MATERIALES Y MÉTODOS..................................................................................48

3.1. Modelo matemático determinístico para resolver la distribución de caudales en

redes abiertas, con interconexión de bombas centrífugas tipo voluta y/o

sumergibles emplazadas arbitrariamente. ............................................................. 48

3.1.1. Notación ....................................................................................................... 48

3.1.2. Desarrollo del modelo matemático .............................................................. 50

3.1.3. Procedimiento de aplicación del modelo matemático en una red ............... 54

3.2. Aplicación y solución del modelo para casos de redes abiertas con

interconexión de bombas centrífugas y/o sumergibles emplazadas arbitrariamente

para alimentar sistemas de riego. .......................................................................... 55

viii

3.2.1. Aplicación del modelo ................................................................................. 57

3.2.2. Solución del modelo .................................................................................... 69

3.3. Algoritmo del programa computacional. .......................................................... 94

3.4. Ejemplos ........................................................................................................ 97

3.5. Prototipo para la validación del modelo matemático. .................................. 1077

3.5.1. Características del prototipo..................................................................... 1077

3.5.2. Las bombas y operación del prototipo .................................................. 10909

4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN .......................................................................... 1166

4.1. Resultados del prototipo y del modelo matemático .................................... 1166

4.2. Prueba de Ji cuadrada ( 2) .................................................................... 11818

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ..................................................... 1211

6. BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................. 1244

7. APÉNDICE ......................................................................................................... 1322

7.1. Codificación en MATLAB del caso II subcaso 1 y el prototipo .................... 1322

7.2. Codificación en MATLAB del caso único IV .............................................. 13939

7.3. Valores de los coeficientes de pérdidas por accesorios ............................. 1455

7.4. Diagrama universal de Moody..................................................................... 1466

7.5. Imagenes del prototipo ................................................................................ 1477

7.6. Plano del prototipo ...................................................................................... 1488

7. 7. Segundo ejemplo ..................................................................................... 1500

ix

ÍNDICE DE CUADROS Cuadro 3.4.1. Datos de las tuberías ........................................................................... 98 Cuadro 3.4.2. Datos de curva característica de la bomba Grundfos (bomba 1) ......... 99

Cuadro 3.4.3. Datos de curva característica de la bomba Berkeley (bomba 2)….. .. 101 Cuadro 3.4.4. Caudal de la red en litros por segundo .......................................... ...106 Cuadro 3.5.1.1. Datos de la red ............................................................................ ...108 Cuadro 3.5.2.1. Datos de la curva característica de la bomba sumergible Franklin (bomba 1) ................................................................................................................. 112

Cuadro 3.5.2.2. Datos de curva característica de la bomba sumergible Altamira, serie KOR (bomba 2) ........................................................................................................ 112

Cuadro 4.1.1. Comparación de los caudales medidos del prototipo contra los estimados, con presiones a la salida de 35 psi. ....................................................... 116

Cuadro 4.1.2. Comparación de los caudales medidos del prototipo contra los estimados, con presiones a la salida de 65.1 psi. .................................................... 117 Cuadro 4.1.3. Comparación de los caudales medidos del prototipo contra los estimados, con presiones a la salida de 55 y 44.8 psi ............................................. 117

Cuadro 4.2.1. Prueba de Ji cuadrada realizada a los tres tratamientos. .................. 118

Cuadro 7.7.1. Datos de las tuberías de la red. ......................................................... 151

Cuadro 7.7.2. Tres puntos de la curva característica de bomba 1 y 2, de carga versus caudal (375S1000-17DS) ......................................................................................... 156

Cuadro 7.7.3. Tres puntos de la curva característica de la bomba 3, de carga versus caudal (600S1500-9DS) ........................................................................................... 156 Cuadro 7.7.4. Tres puntos de la curva característica de la bomba 4, de carga versus caudal (1000S2500-6DS). ........................................................................................ 156

Cuadro 7.7.5. Resultados de los caudales en la red en litros por segundo. ............. 164

http://www.jimaja.com.mx/bombas-altamira-kor.html



x

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1.1. Tipos de comportamiento reológico de un fluido .................................... 7

Figura 2.1.2. Niveles de referencia para determinar presiones absolutas y relativas .. 7

Figura 2.3.1. Rueda persa ......................................................................................... 13

Figura 2.3.2. Tornillo de Arquímedes ......................................................................... 13

Figura 2.3.3. Bomba centrífuga tipo voluta de eje horizontal de un solo paso ........... 18

Figura 2.3.4. Bombas sumergibles de pasos múltiples ............................................. 19

Figura 2.3.5. Variando la velocidad del impulsor y su diámetro constante ................. 20

Figura 2.3.6. Variando el diámetro del impulsor a velocidad constante ..................... 20

Figura 3.2.1. Cuatro casos y sus respectivos subcasos de redes abiertas con

interconexión de bombas ...................................................................... 56

Figura 3.4.1. Caso II subcaso 1. Sistema de conducción de la red abierta. ............... 98

Figura 3.4.2. GRUNDFOS, modelo 600S .................................................................. 99

Figura 3.4.3. BERKELEY, modelo B5EPBM ........................................................... 100

Figura 3.5.1.1. Prototipo (Caso II subcaso 1). .......................................................... 108

Figura 3.5.2.1. Curva característica de la bomba sumergible Franklin (bomba 1)…110

Figura 3.5.2.2. Curva característica de la bomba sumergible Altamira, serie KOR

(bomba 2) ........................................................................................... 111

Figura 7.4.1. Diagrama universal de Moody. ............................................................ 146

Figura 7.5.1 Línea de la red ..................................................................................... 147

Figura 7.5.2. Parte de la red .................................................................................... 147

Figura 7.5.3. Aforador de engranes .......................................................................... 147


xi

Figura 7.5.4. Aforo volumétrico ............................................................................ 147

Figura 7.5.5. Fuente de abastecimiento 1 ................................................................ 147

Figura 7.5.6. Fuente de abastecimiento 2 ................................................................ 147

Figura 7.7.1. Red abierta con interconexión de cuatro bombas sumergibles para

alimentar a tres pivotes centrales (Caso IV). ...................................... 152

Figura 7.7.2. Curvas características de las bombas sumergibles Grundfos. Modelo

375S. .................................................................................................. 153


1000S. ................................................................................................ 154

Figura 7.7.4. Solución del Caso Único IV, con el programa MATLAB para Windows,

versión 7.12.1.0.635 (R2011a), The MathWorks, Inc.………………….169

xii

RESUMEN


Candidato para el Grado de Doctor en Ciencias Agrícolas

Especialidad: Agua-Suelo

Universidad Autónoma de Nuevo León

Facultad de Agronomía

Titulo del estudio: Modelación Matemática de Bombas Interconectadas en Redes Abiertas para Irrigación y su Solución Matricial.

Número de páginas: 169

Áreas de Estudio:

Mecánica de Fluidos, Hidráulica, Matemáticas, Estadística y Riego.

Palabras Clave:

Carga, pérdida de carga por fricción, pérdidas menores, caudales, bombas, redes abiertas, sistemas de riego, matriz, matriz jacobiana, Matlab.

Propósitos y Métodos de Estudio:

El propósito principal de la investigación fue la realización de un modelo matemático determinístico para la distribución de caudales en sistemas de redes abiertas con interconexión de bombas centrífugas tipo voluta y/o sumergibles emplazadas arbitrariamente, con la finalidad de alimentar adecuadamente sistemas de riego agrícolas. El modelo se fundamenta en las ecuaciones de energía del flujo y de continuidad, tomando en cuenta la energía que las bombas trasmiten al agua; lo que conduce a un conjunto de ecuaciones lineales y no-lineales, que se resuelven con el método iterativo de aproximaciones sucesivas de Newton–Raphson. De esta manera se obtienen los caudales de la red de distribución. Posteriormente es posible calcular la distribución de presiones. Se construyó un prototipo de una red abierta con interconexión de bombas, con la finalidad de validar el modelo matemático, comparando los resultados del modelo con los medidos en el prototipo, donde se efectuó una prueba estadística de distribución de Ji cuadrada, la cual valida la hipótesis de que el modelo matemático utilizado se ajusta al comportamiento real de una red abierta con interconexión de bombas, con un porcentaje del 95 % de confianza de no ser rechazado.

xiii

Contribuciones y Conclusiones:

El modelo matemático propuesto en este trabajo, contribuye a solucionar la distribución de caudales en redes abiertas, con interconexión de bombas centrifugas tipo voluta y/o sumergibles, emplazadas arbitrariamente.

El modelo matemático es determinístico y emplea información heurística y empírica fundamentada en las ecuaciones de la energía del flujo de agua, que toma en cuenta sus pérdidas en la red, y también se basa en la ecuación de continuidad. Es un modelo conceptual que reproduce mediante fórmulas y algoritmos matemáticos los procesos físicos del estudio, con una representación numérica referida a diferentes aspectos lógicos estructurados de la ciencia físico-matemática, que son obtenidos mediante la codificación del lenguaje computacional MATLAB para Windows, versión 7.12.0.635 (R2011a), The MathWorks, Inc.

Se desarrollaron, en forma sistemática, las ecuaciones que rigen el comportamiento hidráulico, en estado estable, de redes abiertas por las que circula un fluido incompresible en régimen turbulento. Se establecieron las expresiones hidráulicas requeridas, utilizándose la información topológica de la red, y la conformación de las matrices necesarias para solucionar cada caso, por lo que su aplicación plantea resolver un sistema de ecuaciones no lineales y lineales que rigen el equilibrio de energía y masa dentro de la red. Dicha formulación considera la inclusión de cualquier tipo de bombas, usadas en la agricultura.

FIRMA DEL ASESOR PRINCIPAL: ______________________________________

DR. JUAN FRANCISCO PISSANI ZÚÑIGA

xiv

SUMMARY


Candidate to obtain the Doctor Degree in Agricultural Sciences

Special field: Water and Soil Sciences

Universidad Autónoma de Nuevo León

Facultad de Agronomía

Title of the Research: Mathematical Modeling of Pumps Interconnected in Branched Networks for Irrigation and its Solution Matrix.

Number of pages: 169

Subjects of the Research Work:

Fluid Mechanics, Hydraulics, Mathematics, Statistics and Irrigation.

Key Words:

Head, head lost due to friction, minor losses, pipeline flow rate, pumps, branched networks, irrigation systems, matrix, jacobian matrix, Matlab.

Purposes and Study Methods:

The main purpose this research was to realize a mathematical deterministic model to find solutions for branched network systems with interconnected pumps. Such pumps can be the same or different, connected randomly on the network to get a proper sourcing in agricultural irrigation systems. The model is based on the equations of energy flow and continuity, considering the energy transmitted to the water pump, it can be seen as linear and no linear equations and their solutions are found with Newton-Raphson iterative method of successive approximation. On this way the network distribution flow is obtained. Then it is possible to find the pressure distribution. In order to validate the model, a prototype branched network with pump interconnection was built. By comparing the model results and the actual prototype measurements, statistic test Chi-square was performed to validate the hypothesis that the mathematical model match to the actual behavior of a branched network with pumps interconnection, with 95 % reliability.

xv

Contributions and Conclusions:

The mathematical model proposed in this paper helps to resolve any branched network interconnection volute type centrifugal pump and/or submersible located arbitrarily.

This mathematical model is deterministic and uses heuristic and empirical information based on the equations of the water´s energy flow. It also takes in account the head loss in the network, furthermore is based on the continuity equation. It is a conceptual model that reproduces the physical processes of the case studied by the use of mathematical formulas and algorithms with a numeric representation referred to logic arranged aspects of physical-mathematic science, obtained by coding computer language MATLAB for windows, version 7.12.0.635 (R2011a), The MathWorks, Inc.

This study develops, in a systematic form, the equations that govern the static hydraulic behavior living on a branched network where non compressible fluid runs on turbulence condition. With these results it is possible to establish the required hydraulic formulas by using the actual topological network data, and the definition of the necessary matrixes to solve the study, that is why the use of this model perform the solution of linear and no linear equations system that governs the mass and energy balance inside the network. This procedure allows the use of any kind of pump design common in agriculture applications.

MAIN ADVISOR SIGNATURE: ______________________________________

DR. JUAN FRANCISCO PISSANI ZÚÑIGA

Tesis Doctoral FAUANL Sergio Zeferino Garza Vara

1

1. INTRODUCCION

En México aproximadamente el 77 % del agua aprovechable se destina a la

producción de alimentos, pero el uso eficiente de este recurso apenas llega al 46 %,

aproximadamente (SAGARPA, 2010). Por lo que es imprescindible mejorar el uso

eficiente del agua en la producción agrícola y para ello se tendrá que incrementar la

eficiencia en el uso del agua de los Distritos y Unidades de Riego, y aumentar las

zonas de riego. Otro factor importante será el de lograr un manejo integrado y

sustentable del agua en cuencas hidrológicas, por lo que se requiere orientar la

demanda de agua de acuerdo a la disponibilidad en las cuencas hidrológicas, de

igual manera es conveniente determinar y dar a conocer el volumen y calidad del

agua disponible en las diferentes cuencas y acuíferos del país. En México existen

653 acuíferos, de los cuales 101 están sobrexplotados (CONAGUA, 2011).

En las grandes extensiones agrícolas de nuestro país, sobre todo en las

Unidades de Riego, existe un gran número de sistemas de redes abiertas de

conducción de agua, con bombas interconectadas y emplazadas arbitrariamente, que

tienen el objetivo de alimentar uno o más sistemas de riego a la vez. Por su

complejidad, pueden presentar una serie de problemas y dificultades. Si estos

sistemas se instauran de tal manera que las bombas y líneas de conducción se

interconectan sin cálculos previos o empíricamente, se corre el riesgo de que las

bombas funcionen con flujos estrangulados, como si las líneas de conducción

tuvieran válvulas semicerradas, e incluso se pueden dar casos extremos de bombas

que funcionan como si en sus salidas tuvieran válvulas completamente cerradas (es

decir sin caudal), o como si estas bombas no existieran. Otras veces, estas redes se


2

establecen con un cálculo previo, pero realizado en una forma simplista, por que se

diseñan desarticulando las líneas de conducción de la red, procurando que los flujos

lleguen a los nodos con presiones aproximadamente iguales (estas operaciones se

efectúan con procedimientos de prueba y error), pero estos resultados son aislados e

independientes. Está claro que este procedimiento contiene fallas fundamentales por

que el comportamiento global de la energía de los flujos en una red, donde todas sus

partes están interactuando a la vez, resulta muy diferente a la suma de los efectos

parciales que se obtienen de tales diseños simplistas.

La aplicación de los procedimientos mencionados conduce a sistemas de

redes de conducción ineficientes (que ni siquiera corresponden a los sistemas

reales), lo que además redunda en tarifas eléctricas excesivamente altas, porque con

el factor de potencia la Comisión Federal de Electricidad sanciona y penaliza la baja

eficiencia eléctrica, tomando en cuenta el factor de potencia en su artículo 64

(Reglamento de la Ley del Servicio Público de Energía Eléctrica, 1993).

Para poder diseñar de manera global y eficiente una red abierta con

interconexión de bombas emplazadas arbitrariamente se puede recurrir a los

modelos matemáticos, que son abstractos, y representan la relación del caso

estudiado a través de las fórmulas matemáticas. Este modelo matemático debe ser

determinístico, que emplee información heurística y empírica fundamentada en las

ecuaciones de la energía del flujo de agua, que toma en cuenta sus pérdidas en la

red, y también se basa en la ecuación de continuidad. Es un modelo conceptual que

reproduce mediante fórmulas y algoritmos matemáticos los procesos físicos del

estudio, con una representación numérica referida a diferentes aspectos lógicos


3

estructurados de la ciencia físico-matemática, obtenidos mediante la codificación en

un lenguaje computacional.

1.1. Hipótesis general

El modelo matemático propuesto, se ajusta con el comportamiento real de

bombas interconectadas, iguales o de diferente tipo (centrífugas tipo voluta y/o

sumergibles) emplazadas arbitrariamente, que conforman una red abierta,

determinando la distribución de caudales, para abastecer adecuadamente sistemas

de riego agrícola.

1.2. Objetivo general

Desarrollar un modelo matemático integral y determinístico, para la

distribución de caudales, con una solución hidráulica eficiente, de interconexión de

bombas dinámicas emplazadas arbitrariamente, ya sea iguales o de diferentes tipos

como: bombas centrífugas de eje horizontal y de pozo profundo (tipo sumergible),

que conforman una red abierta de conducción de agua, con el propósito de abastecer

adecuadamente sistemas de riego agrícola.

1.3. Objetivos específicos

a) Generar un programa computacional en MATLAB, para analizar y diseñar las

redes de distribución abierta, de los casos que con mayor frecuencia se

presentan en las zonas de riego agrícola de México, con el fin de abastecerlas


4

eficazmente. Tal código debe resultar suficientemente ágil, robusto y flexible, para

experimentar fácilmente, al hacer cambios virtuales con todos los elementos de la

red: bombas, conductos, nodos, y la distribución de los mismos.

b) Facilitar la selección y el diseño de interconexión de bombas en redes abiertas.

c) Seleccionar los diámetros más adecuados de los conductos para un determinado

material.

d) Determinar la distribución de caudales y presiones en la red.

e) Determinar la redistribución de caudales y presiones, en el caso de que dejen de

operar una o más bombas o uno o más sistemas de riego.


5

2. REVISIÓN DE LITERATURA

2.1. Fundamentos de la mecánica de fluidos

La viscosidad dinámica o absoluta ( ) es una medida cuantitativa de la

resistencia que tiene un fluido para moverlo, es decir, la viscosidad determina la

velocidad con que se deforma un fluido cuando se le aplica un esfuerzo cortante. El

aire tiene un velocidad muy pequeña, el agua tiene una viscosidad 50 veces mayor

que el aire, un aceite SAE 30 es 300 veces más viscoso que el agua, la glicerina es 5

veces más viscosa que el aceite SAE 30. Cuando un fluido se deforma al moverse en

un conducto, sus capas que lo conforman se deslizan entre si y forman esfuerzos

cortantes que son iguales a los cambios de velocidad con respecto a un cambio de

distancia "" y perpendicular al flujo por su viscosidad:

dy

dV

(2.1.1)

donde es el esfuerzo cortante (fuerza tangencial al área por unidad de área) y

dydV / es el gradiente de velocidad, por lo que la viscosidad tiene unidades de

fuerza-tiempo por unidad de área o dina-segundo por centímetro cuadrado o poise.

Un fluido es newtoniano (en honor a Isaac Newton), si obedece a la ecuación (2.1.1)

y es independiente del esfuerzo cortante ( ), y varía solamente con la temperatura y

presión. Un fluido no-newtoniano no sigue la ley de la ecuación (2.1.1) y está en

función del esfuerzo cortante, presión y temperatura. Los fluidos no-newtonianos se

subdividen en: fluido dilatante (su viscosidad aumenta al aumentar el esfuerzo

cortante, un ejemplo son las arenas movedizas, maicena con agua); fluido


6

pseudoplástico (su viscosidad disminuye al aumentar el esfuerzo cortante, un

ejemplo es pulpa de papel en agua); fluido de Binham (requiere cierto esfuerzo finito

para que empiece a fluir y su variación es lineal como los fluidos newtonianos, los

ejemplos clásicos son la mayonesa, la mostaza y la pasta dental), se ilustra en la

Figura 2.1.1. Existen fluidos que su viscosidad depende del tiempo: reopéctico (Al

aumentar el esfuerzo cortante y el tiempo aumenta sus viscosidad) y el tixotrópico

(es el caso opuesto del fluido reopéctico). La relación de la viscosidad ( ) con la

densidad ( ), se denomina viscosidad cinemática ( ), donde sus unidades son

centímetros cuadrados por segundo (stoke) o metros cuadrados por segundo (Rubio-

Sanjuán, 1960; Bird et al., 2002; White, 2008):

.

White (2008), menciona que existen dos tipos de presiones, la presión

absoluta que se mide a partir del vacío absoluto y toma en cuenta la presión

atmosférica; y la presión relativa o manométrica, que se mide a partir de la presión

atmosférica (por lo que no la toma en cuenta), es decir que mide los excedentes de

la presión atmosférica en el caso de presiones absolutas mayores a la presión

atmosférica o cuando es menor, mide lo que le falta a la presión absoluta para

igualarse con la presión atmosférica, que es el caso de un vacío. Esto se resume de

esta manera:

relativaaatmosféricabsoluta

lo anterior se ilustra en la Figura 2.1.2.


7

Figura 2.1.1. Tipos de comportamiento reológico de un fluido.

Figura 2.1.2. Niveles de referencia para determinar presiones absolutas y relativas.


8

Menon (2005), señala que el número de Reynolds (En honor a su autor

Osborne Reynolds), es un parámetro adimensional para determinar si el flujo es

laminar o turbulento. Está en función de la velocidad del flujo (V ), el diámetro ( D ) y

La viscosidad cinemática ( ). Su ecuación es la siguiente:

V

VDRe

los tipos de flujo están definidos a continuación:

Flujo laminar: 2100Re

Flujo crítico: 4000Re2100

Flujo turbulento: 4000Re

en el flujo crítico no es posible determinar si es laminar o turbulento.

2.2. Flujo de conductos a presión

Para la deducción de las ecuaciones básicas del flujo en conductos a presión,

se tienen que elaborar las hipótesis siguientes (Pérez, 1993):

Relativas al flujo:

Permanente o estacionario.

Turbulento.

Distribución uniforme en la velocidad y la presión en cualquier sección

transversal del conducto.

Relativas al fluido:

Newtoniano.

Incompresible.


9

Monofásico.

Homogéneo.

Isotérmico.

Relativas a los conductos, tomando en cuenta solamente a un tubo que conforma

una línea de conducción (porque pueden existir tuberías en serie con diferente

diámetro y/o material):

Diámetro constante.

Un solo material.

Espesor constante.

Las ecuaciones generales que fijan el estado estacionario de una red hidráulica,

las cuales determinan el estado energético del flujo o la energía específica del agua

que circula en un conducto a presión, y que viene siendo la energía del agua por

unidad de peso del mismo, se denomina carga (algebraicamente se expresa en

metros de columna de agua). Cualquier fluido viaja a través de un conducto debido a

una diferencia de energía o de cargas entre dos puntos (de mayor a menor).

Siempre existen pérdidas graduales de energía por fricción del fluido a lo largo del

conducto y pérdidas súbitas al pasar a través de un accesorio. El cambio de energía

específica del agua que circula en un conducto, se cuantifica con la ecuación de

Bernoulli entre punto 1 al punto 2, de la manera siguiente:

2122

2

222

2

111

tothg

vpZ

g

vpZ

(2.2.1)

Z = carga por posición;

p = carga por presión;

g

v

2

2

= carga por velocidad; 21toth =

pérdida de carga total, que pierde el flujo entre los puntos 1 y 2. La ecuación que


10

determina la pérdida de carga total entre estos puntos, en cierta longitud del

conducto con diámetro constante:

m

j locftot jhhh

12121 (2.2.2)

21fh = pérdida de carga gradual por fricción; loch = pérdida de carga local o pérdida

brusca de energía, por el paso del agua a través de un accesorio; m = número total

de accesorios que tienen pérdidas de carga significativas entre las secciones 1 y 2

de la tubería. Las pérdidas de carga por fricción se pueden calcular mediante la

ecuación de Darcy-Weisbach:

gD

fLQ

g

V

D

Lfh f 52

22 8

2

(2.2.3)

DyL = longitud y diámetro interno del conducto ( m ); Q = caudal ( sm3); g =

aceleración de la gravedad terrestre (2

sm ); f = coeficiente de fricción hidráulica

(adimensional). Este factor se puede determinar en régimen laminar con la fórmula

de Hagen-Poiseville:

VDf

64

Re

64 .

(2.2.4)

Jean Louis Marie Poiseville, médico francés que investigó en 1840 el flujo de

sangre en las venas, que por cierto no son aplicables al cuerpo humano, por que la

sangre es un fluido no newtoniano, pero si es aplicable a la ingeniería y el físico e

ingeniero alemán Gotthilf Heinrich Ludwig, que trabajó en 1839 con tubos de cobre

(Azevedo y Acosta, 1976; Levi, 1989; Saldarriaga, 2008; Pickover, 2012).

La ecuación para determinar el coeficiente f en flujo turbulento es:


11

fDf Re

51.2

7.3log2

110

(2.2.5)

la ecuación (2.2.5) es conocida como fórmula de Colebrook-White y fue presentada

en 1938. Donde = rugosidad absoluta ( m ), y al dividirse entre el diámetro interno

del conducto se le identifica como rugosidad relativa ( D/ ). Las pérdidas locales se

determinan mediante la ecuación siguiente:

gD

QK

g

vKh loclocloc 42

22 8

2

(2.2.6)

locK coeficiente adimensional (adimensional). Este coeficiente generalmente está

en función de la geometría espacial y del tamaño del accesorio en flujo turbulento

(Nekrasov, 1966; Shames, 1995; Street, 2000; Walski, 2003).

Mott (2006), cita que una expresión totalmente empírica, para determinar la

pérdida de carga por fricción, es la ecuación de Hazen-Williams:

LC

Q

Dh f

852.1

87.4

61.10

C es el coeficiente de Hazen-Williams y depende prácticamente del material de la

tubería, y si es de fierro o acero depende del tiempo de uso (si es tubería nueva,

seminueva o vieja).

King et al. (1948), citan que las pérdidas menores pueden despreciarse si la

longitud de la tubería es mayor de 1000 veces el diámetro:

01

m

j loc jh (2.2.7)

Skousen (2004), define las válvulas como dispositivos mecánicos diseñados

específicamente para dirigir, iniciar, detener o para regular el caudal, la presión de


12

los líquidos o gases. Las válvulas pueden ser de acero, fierro, latón, bronce, plástico

o con cierto número especial de aleaciones.

2.3. Bombas

Karassik et al. (2008), citan que solo el velero puede competir con la bomba

por el título de la invención más remota para convertir la energía natural como el

viento en trabajo útil, y aún es de dudarse que el velero haya sido primero. Y como el

velero no se clasifica como una máquina, entonces la bomba es la forma más remota

de máquina que sustituyó la energía natural por el esfuerzo muscular, para satisfacer

las necesidades del hombre. Las primeras bombas de las que se tiene conocimiento

son las ruedas persas (Figura 2.3.1). Este dispositivo era una rueda que parte de ella

estaba bajo una corriente de agua, el cual tenía cubetas que al sumergirse se

llenaban de este vital líquido y posteriormente se iban vaciando a un colector en el

momento en que la cubeta se encontraba en su punto más alto. Pero la más

conocida de aquellas bombas es el tornillo de Arquímedes que aún persiste en la

actualidad (Figura 2.3.2). En el desarrollo tecnológico través del tiempo, tomando en

cuenta otras formas de energía, la bomba queda probablemente como la segunda

máquina de uso más común, superado apenas por el motor eléctrico.


13

Figura 2.3.1. Rueda persa (Ecovive, 2012).

Figura 2.3.2. Tornillo de Arquímedes (Física-Javier, 2012).


14

Mataix (1982), define una bomba como una máquina que absorbe energía

mecánica para restituirla a un líquido en energía hidráulica y se emplea para impulsar

toda clase de líquidos.

Karassik et al. (2008), indica que a través del tiempo el uso de las bombas se

ha extendido de tal manera que existe una gran variedad de ellas en tipos y tamaños,

que en la modernidad ha sido indispensable hacer una clasificación de ellas. Esta

clasificación tiene tres pasos: el primero sería la manera que agrega energía al fluido

a través del tiempo, el segundo paso identifica el medio que se utiliza para agregar

dicha energía, y el tercero describe el implemento utilizado para tal fin. Con el primer

paso las bombas se clasifican en dinámicas y de desplazamiento positivo. Las

dinámicas son aquellas bombas que agregan energía al fluido de manera continua.

Las de desplazamiento positivo agregan energía al fluido en forma intermitente. En el

segundo paso las bombas dinámicas se clasifican en centrífugas y de efecto

especial. Las bombas centrífugas utilizan la fuerza centrífuga para impulsar a los

líquidos, y las de efecto especial utilizan otros medios para trasladar a los fluidos,

como lo son la elevación por gas, el ariete hidráulico, bombas de chorro o eductor y

las electromagnéticas. Lo referente a bombas de desplazamiento positivo, estas se

clasifican como reciprocantes y rotatorias. Las reciprocantes tienen la característica

de que el fluido se dirige a un medio cerrado donde el volumen se expande para

meter al fluido a la cámara y posteriormente se contrae para expulsarlo de ella, con

un procedimiento recíproco o alternativo. En el tercer paso las bombas centrífugas,

utilizan un impulsor o rodete que al girar con altas revoluciones expulsan al líquido

por medio de la fuerza centrífuga. El medio utilizado por las bombas reciprocantes

son los pistones o émbolos, y los implementos que utilizan las rotatorias son álabes,


15

tornillos, levas, engranes, etcétera. Los rodetes o impulsores por su forma se

clasifican en abiertos o tipo propela, semiabiertos y cerrados. Y por el ángulo en que

impulsan al fluido se catalogan como de flujo axial, radial y mixto.

Mays (2002), menciona que los diferentes tipos de bombas han sido descritos o

definidos por varias organizaciones en sus respectivas publicaciones:

Hydraulics Institute (HI), American National Standard for Centrifugal Pumps for

Nomenclature, Definitions, Applications and Operation [American National

Standards Institute (ANSI)/HI 1.1-1.5-1994].

American Petroleum Institute (API), Centrifugal Pumps for Petroleum, Heavy

Duty Chemical, and Gas Industry Services, Standard 610, 8.a edition, august

1995.

American Society of Mechanical Engineers (ASME), Centrifugal Pumps,

Performance Test Code PTC 8.2-1990. También señala que además, existen

varias normas y especificaciones del American National Standards Institute

(ANSI) y de American Water Works Associations (AWWA), relacionadas con

las bombas centrífugas:

ANSI/ASME B73.1M-1991, Specification for Horizontal End Suction Centrifugal

Pumps for Pumps for Chemical Process.

ANSI/ASME B73.1M-1991, Specification for Vertical In-Line Centrifugal Pumps

for Chemicals Process.

ANSI/ASME B73.1M-1995, Specification for Thermoplastic and Thermoset

Polymer Material Horizontal End Suction Centrifugal Pumps for Chemical

Process.


16

ANSI/AWWA E 101-88, Standard for Vertical Turbine Pumps-Line shaft and

Submersible Types.

Karassik et al. (2008), señala que si existe una bomba entre esos puntos, la

ecuación de Bernoulli se convierte en esta nueva expresión:

2122

2

222

2

111

tothg

vpZHb

g

vpZ

(2.3.1)

Hb es el trabajo neto realizado por la bomba por la unidad de peso de fluido

bombeado o carga total que la bomba agrega al agua que es conocida como carga

dinámica total en metros de columna de agua. Las bombas centrífugas tipo voluta de

eje horizontal y las de pozo profundo, como las bombas tipo turbina y sumergibles,

son las más utilizadas en el campo agrícola. Con respecto a las bombas centrífugas,

la energía en forma de carga que suministra al agua ( Hb ), se determina por medio

de la ecuación:

2122

2

111

2

222

toth

g

vpz

g

vpzHb

CVCFHb (2.3.2)

al términoCF se le nombra cargas fijas y aCV se le conoce como cargas variables.

Las cargas variables son función del caudal y las cargas fijas son constantes e

independientes del caudal, y corresponde a la altura que la bomba eleva el agua,

desde la fuente de abastecimiento hasta el final de la tubería de descarga en el caso

de descarga libre. Si la bomba descargue el agua, abajo del nivel de la fuente de

abastecimiento, las cargas fijas son negativas. Las cargas fijas y variables se

determinan de la manera siguiente:


17

g

vpZ

g

vpZCF

22

2

111

2

222

21 tothCV

las cargas variables se determinan de la manera siguiente, para bombas centrífugas

tipo voluta (Figura 2.3.3) y sumergibles (Figura 2.3.4) respectivamente:

ds tottot hhCV

(2.3.3)

dcb tottot hhCV

(2.3.4)

stoth pérdidas de carga totales en la tubería de succión en bombas centrífugas tipo

voluta; cbtoth pérdidas de carga totales en la columna de bombeo en bombas

sumergibles;

dtoth pérdidas de carga totales en la tubería de descarga en bombas

centrífugas o sumergibles. La gráfica de la ecuación (2.3.2) se identifica como la

curva característica de la tubería. Las ecuaciones de Darcy-Weisbach y pérdidas

locales en función del caudal, en tuberías de succión o columna de bombeo y tubería

de descarga, en conductos cortos:

2

421

8Q

gDK

D

Lfh

ss

m

j

loc

s

sstot js

(2.3.5)

2

421

8Q

gDK

D

Lfh

dd

m

j

loc

d

ddtot jd

(2.3.6)

2

421

8Q

gDK

D

Lfh

cbcb

m

j

loc

cb

cbcbtot jcb

(2.3.7)

en el caso de tuberías largas, las pérdidas menores se desprecian y las ecuaciones

(2.3.5), (2.3.6) y (2.3.7), se convierten en las expresiones siguientes:


18

2

52

8Q

gD

Lfh

s

ssf s

2

52

8Q

gD

Lfh

d

ddf d

2

52

8Q

gD

Lfh

cb

cbcbf cb

por lo tanto, en tuberías largas las cargas variables tienen la ecuación:

2

255

8Q

gD

Lf

D

LfhhCV

d

d

d

s

s

sff ds

2

255

8Q

gD

Lf

D

LfhhCV

d

d

d

cb

cb

cbff dcb

.

Figura 2.3.3. Bomba centrífuga tipo voluta de eje horizontal de un solo paso

(Sobitec, 2012).


19

Figura 2.3.4. Bombas sumergibles de pasos múltiples (Rotor Pump, 2012).

Webber (1971); Mott (2006) y Saldarriaga (2008), señalan que para seleccionar

una bomba, centrífuga (tipo voluta o sumergible), se requiere conocer su

comportamiento realizando gráficas de sus tres características propias:

Carga vs Caudal.

Eficiencia vs Caudal.

Potencia al freno vs Caudal.

Estas gráficas se conocen como curvas de rendimiento o curvas características

de las bombas y las elaboran los fabricantes, operando las bombas con diámetro del

impulsor constante y velocidad de rotación variable, y vicevera, tal como como se

muestran en las figuras 2.3.5 y 2.3.6.


20

Figura 2.3.5. Variación de la velocidad del impulsor y su diámetro constante

(Berkeley Pumps Catalog, 1990).

Figura 2.3.6. Variación del diámetro del impulsor a velocidad constante (Berkeley Pumps Catalog, 1990).


21

La potencia del conjunto motor-bomba y el agua impulsada se clasifican en

tres categorías: potencia del agua, que es la potencia del flujo a la salida de la

bomba (WHP ), potencia de la bomba ( BHP ) mejor conocida como potencia al freno

(brake horse power) que es la que se representa en las curvas características de las

bombas. Por último la potencia del motor ( MHP ). Sus ecuaciones en el sistema

internacional son las siguientes:

76

HbQWHP

bb Eff

HbQ

Eff

WHPBHP

76

gmbm Eff

HbQ

EffEff

HbQ

Eff

BHPMHP

7676

peso específico del agua (3mKg f );

bEff eficiencia de la bomba; mEff

eficiencia del motor; gEff eficiencia global que se obtiene al multiplicar la eficiencia

de la bomba por la eficiencia del motor (las eficiencias están en fracción por ciento).

El número 76 corrige las unidades en caballos de fuerza (AWWA, 2010).

Saldarriaga (2008), comenta que la curva característica de carga vs caudal, se

puede ajustar con cierta aproximación razonable, mediante la ecuación cuadrática

CBQAQHb 2

(2.3.8)

los valores de BA, y C se pueden calcular tomando tres puntos de la curva del

fabricante.


22

Walski et al. (2002), señalan que para determinar el punto de operación de

una bomba en una línea de conducción, se toma en el cruce de las gráficas

correspondientes a las curvas que generan las ecuaciones (2.3.2) y (2.3.8).

Karassik y Carter (1985) citan que en 1687 Newton, estableció la teoría de la

similitud dinámica el cual dio origen a la ciencia de los modelos y prototipos, y esto

ha permitido a los ingenieros predecir el funcionamiento de las bombas centrífugas,

es decir que dos bombas geométricamente similares una de otra, tendrán

características de funcionamiento similares. Por lo tanto se hizo necesario formular

un concepto que vinculara los tres factores más importantes de las bombas: caudal,

carga y velocidad del impulsor, para obtener un número índice o indicador

adimensional o un número característico de una bomba, conocido como velocidad

específica SN , donde su ecuación en el sistema internacional es la siguiente:

43

gHb

QnNS

n velocidad del impulsor en revoluciones por segundo; g constante gravitacional

)81.9(2s

m; Q caudal en metros cúbicos por segundo; Hb carga de la bomba en

metros. Si se utiliza el análisis dimensional en la ecuación (2.3.17), lo que resultará

serán los giros del impulsor exclusivamente, este resultado permanece sin

dimensiones. Como es un número índice, se han permitido ciertas libertades como el

eliminar la constante gravitacional ( g ), y establecer unidades inglesas quedando la

ecuación (2.3.9) de la manera siguiente:


23

4

3

b

S

H

QnN

velocidad del impulsor en revoluciones por minuto, el caudal en galones por minuto y

la carga de la bomba en pies. De esta manera se define la velocidad específica

como un número índice o un indicador de la velocidad en revoluciones por minuto a

la que debe girar el impulsor del modelo reducido de un determinado tipo de bomba,

para descargar un caudal de un galón por minuto operando contra una carga de un

pie. La velocidad específica se aplica a bombas centrífugas de un solo paso de

admisión simple y doble. La velocidad específica tipo es un número que identifica al

tipo de bomba y es aquella velocidad específica de operación de una bomba en

particular que da la eficiencia máxima y es independiente de la velocidad rotativa a la

que la bomba opera, donde existe una relación de las formas de los impulsores con

su velocidad específica, donde a menor velocidad específica es más alta la carga por

etapa que puede desarrollar una bomba. Otras de las aplicaciones de la velocidad

específica es que está en función de los tamaños de las bombas donde ellas pueden

catalogarse con un número índice. La velocidad específica de una bomba también se

muestra en la forma que tienen las curvas características de las bombas. Se ha

encontrado que la velocidad específica se utiliza para especificar la carga máxima de

levantamiento permisible o la carga mínima de succión para evitar la cavitación en

diversas condiciones de capacidad carga y velocidad.

Mott (2006) y Mataix (1982), mencionan que las leyes de afinidad de las

bombas centrífugas son relaciones matemáticas que se utilizan para poder predecir

el funcionamiento de las bombas, cuando cambian las características de las mismas.

Estas características son el caudal, su carga, la potencia al freno, con respecto a la


24

velocidad del giro del impulsor. Por lo tanto existen dos leyes: la primera ley de

afinidad se aplica cuando la velocidad de giro del impulsor varía, manteniendo

constante el diámetro del impulsor, siendo las ecuaciones las siguientes expresiones:

2

1

2

1

N

N

Q

Q

2

2

1

2

1

N

N

Hb

Hb

3

2

1

2

1

N

N

BHP

BHP

Los subíndices 1 y 2 significan antes y después de la variación y el símbolo N se

refiere a la velocidad de rotación del impulsor, en revoluciones por minuto. La

segunda ley de afinidad se aplica cuando varía el diámetro del impulsor,

manteniendo constante la velocidad de giro del impulsor, sus expresiones

matemáticas se muestran a continuación:

2

1

2

1

D

D

Q

Q

2

2

1

2

1

D

D

Hb

Hb

3

2

1

2

1

D

D

BHb

BHP

P

Karassik y Carter (1985) definen que la carga neta de succión positiva

disponible de una bomba centrífuga (DCNSP ), como la carga disponible, para poder

establecer un flujo a través de la tubería de succión hasta el centro del impulsor o


25

rodete de la bomba o es la diferencia entre la carga de succión absoluta existente y

la presión de vapor a la temperatura dominante.

Mays (2002), cita que la carga neta de succión positiva disponible toma en

cuenta la carga de la presión atmosférica local, las pérdidas de carga en la tubería de

succión, el nivel de la superficie del agua de la fuente de abastecimiento, con

respecto al centro del impulsor de la bomba y este valor nunca deberá reducirse

hasta el valor de la carga de la presión absoluta del líquido bombeado, y por ser

carga se expresa generalmente en metros columna de agua (SI). Su expresión

matemática es la siguiente:

vaporsatm PtotsPD HhhHCNSP

atmPH = carga de la presión atmosférica local; sh = diferencia de altura entre el nivel

de la superficie del agua de la fuente de abastecimiento y el centro del impulsor de la

bomba (si sh está por arriba del centro del impulsor de la bomba es positiva y si está

por debajo es negativa); vaporPH = carga de la presión de vapor absoluta del líquido

bombeado. Este último término está en función del tipo de líquido y de su

temperatura. Existe también la carga neta de succión positiva requerida ( RCNSP ), es

la carga de succión que realiza la bomba al líquido, desde la entrada de su carcasa

hasta el centro de su impulsor y es un dato de la patente del fabricante de la bomba,

según la marca, el tipo y modelo de la bomba, así como el tamaño, forma, número de

álabes y la velocidad de rotación del impulsor. Para que no exista cavitación por la

evaporación del agua en la tubería de succión o en la bomba se debe cumplir esta

condición (SRH, 1969):


26

RD CNSPCNSP

SRH (1969), cita que en las bombas de pozo profundo ya sea tipo turbina o

sumergible, la carga neta de succión positiva disponible, se determina con la

ecuación:

vaporatm PPD HKHCNSP

la constante K se denomina sumergencia y se define como la distancia vertical que

marca la diferencia de alturas, entre el nivel dinámico del agua en el pozo y el primer

impulsor de la bomba de abajo hacia arriba (tomando en cuenta la dirección del

flujo).

Mott (2006), cita que existen bombas de velocidad variable en su impulsor,

este tipo de bombas ofrece una alternativa más atrayente que el estrangular una

válvula para cambiar un caudal, ya que lo único que pasa en este caso es disipar la

energía. La bomba se debe seleccionar con la mayor capacidad de caudal que debe

alimentar a la red. Existen varios tipos de impulsores mecánicos de velocidad

variable y de controles electrónicos de frecuencia también variable para motores

eléctricos estándar de corriente alterna, en muchos países como en México es de 60

Hz, como la velocidad de un motor de corriente alterna es directamente proporcional

a la frecuencia de voltaje, la variación de la frecuencia hace que cambie la velocidad

del motor. Además de los ahorros de energía, existen otros beneficios al utilizar

bombas de velocidad variable:

Mejor control del proceso. Este tipo de bomba se ajusta más a los

requerimientos del sistema.


27

Control de la tasa de cambio. Las bombas de velocidad variable, controlan la

tasa de cambio de velocidad.

Desgaste menor. Las velocidades más bajas reducen los desgastes sobre los

sellos y rodamientos de la bomba.

Mott (2006), menciona que los datos en los catálogos de las bombas sobreRCNSP

son exclusivas para el agua, y se aplican solo para la velocidad de rotación del

impulsor que se especifica en la carta. Si la bomba opera con velocidad diferente la

RCNSP que se requiere a la velocidad nueva se calcula de esta manera:

1

1

2

2 RR CNSPN

NCNSP

2.4. Modelos científicos

La Real Academia Española (RAE, 2009), define que un modelo es un

Arquetipo o un punto de referencia para imitarlo o reproducirlo. Esquema teórico,

generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad compleja, que

se elabora para facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento.

De Nevers (2006), menciona que un modelo es una composición intelectual

que representa una realidad y que puede manipularse para predecir las

consecuencias de acciones futuras, donde gran parte de la ingeniería aplica modelos

matemáticos a problemas prácticos.

Munson et al. (2007), definen un modelo como una representación de un

sistema físico que puede usarse para predecir su comportamiento, en algún aspecto

deseado.


28

Walski et al. (2003), citan como antecedente de los modelos de distribución de

agua, a la civilización minoica o cretense los cuales realizaron lo que se considera la

primera construcción de un acueducto a presión. Se supone que esta cultura pre-

helénica de la edad de bronce, establecida en la isla de Creta (ubicada al sureste de

Grecia) construyó la primera tubería de conducción de agua hace más de 2000 años.

Y citan que en la actualidad se utilizan modelos para el diseño y operación de los

sistemas de distribución de agua y son capaces de proporcionar a las comunidades

un servicio cada vez más confiable eficiente y seguro. Este incremento en la

disponibilidad de modelos sofisticados y accesibles permiten que estos objetivos

sean realizados de una manera más precisa que en la antigüedad, por lo que los

modelos en la actualidad constituyen una parte crítica para el diseño y operación de

este tipo de sistemas.

Bender (2000), señala que los modelos científicos se dividen en diferentes

tipos, como por ejemplo:

Matemáticos.

Físicos.

Numéricos.

Analógicos.

Empíricos.

Heurísticos.

Conceptuales.

De Optimización.


29

Bender (2000), cita que los modelos matemáticos son modelos abstractos que

representan a los fenómenos o la relación entre ellos a través de fórmulas

matemáticas. El objetivo de un modelo matemático es entender ampliamente el

fenómeno y predecir su comportamiento. El proceso para elaborar un fenómeno

matemático es el siguiente:

Encontrar un problema del mundo real.

Formular un modelo matemático acerca del problema:

a) Identificando las variables (dependientes e independientes).

b) Establecer una ó más hipótesis.

c) Aplicarlos los conocimientos matemáticos necesarios.

d) Comparar los datos obtenidos del modelo con los reales

Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente

exacto (Bender, 2000). Se dividen en:

Deterministas.

Estocásticos.

En los modelos determinísticos, los resultados son puntualmente conocidos

sin que exista incertidumbre, un ejemplo clásico es la Ley de Gravitación Universal

de Newton. En los modelos estocásticos los resultados son probabilísticos y por lo

tanto existe incertidumbre, ya que el resultado esperado tiene una probabilidad de

ocurrencia, un ejemplo típico es la Relación de Indeterminación de Heisenberg.

(González, 2003).

Los modelos físicos son modelos reales, que generalmente son una copia a

escala, ya sea menor o mayor, hecha en maqueta o prototipo de algún objeto de


30

interés. La escala no es necesariamente igual en todos los ejes, por lo que estos

modelos se conocen como modelos distorsionados (La Course, 1995).

Los modelos numéricos son modelos que permiten experimentar a través de

simulaciones en una computadora u ordenador de modelos matemáticos o lógicos,

un ejemplo de ello es el Método de Montecarlo o el resolver un modelo matemático

en forma aproximada usando métodos numéricos en un programa computacional

como el resolver ecuaciones diferenciales con diferencias finitas (Schmidt, 2009).

Los modelos analógicos se basan en analogías del comportamiento de

sistemas físicos. Por ejemplo, el modelaje analógico de las aguas subterráneas se

efectuaba con redes eléctricas y condensadores, pero al paso de los años este

procedimiento engorroso y costoso se sustituyó con el modelaje exclusivamente

matemático en la medida en que hubo progresos en el aumento de la capacidad de

las computadoras, razón por la cual se popularizó el uso del cálculo numérico

(Skousen, 1992).

Si se toma en cuenta la información utilizada para formar un modelo, estos se

pueden clasificar en:

Heurísticos.

Empíricos.

Los modelos heurísticos son los que se basan en la explicación de las causas

o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado, estos modelos son

representaciones gráficas para poder explicarlo mejor y entenderlo de una manera

más simple como lo son los modelos de regresión. Los modelos empíricos son los

que utilizan observaciones directas o los resultados que se obtienen de experimentos

del fenómeno en estudio (Granger, 1999; Michalewicz et al., 2000).


31

Según su campo de aplicación los modelos se catalogan en:

Conceptuales.

De Optimización.

Los modelos conceptuales son los que se reproducen mediante fórmulas y

algoritmos matemáticos con cierta complejidad, los procesos físicos que se producen

en la naturaleza, incluyendo suposiciones acerca de la naturaleza, por ejemplo, el

Modelo Atómico de Bohr. Los modelos matemáticos de optimización son

ampliamente utilizados en las diversas ramas de la ingeniería para resolver

problemas que tienen más de una solución (Hutson, 1992).

Los modelos hidráulicos son una de las herramientas más utilizadas para

resolver problemas que se presentan en ingeniería hidráulica, y estos modelos se

subdividen en: Modelos matemáticos; cuando un fenómeno físico se representa en

forma simplificada por un conjunto de ecuaciones que permiten describir su

comportamiento, y los Modelos físicos, que son representaciones materiales hechas

a escala de un prototipo, aplicando para ello leyes de similitud o semejanza, un

ejemplo de ello es el uso de una escala reducida de una presa hidráulica o un

componente de él como por ejemplo, un vertedor (CFE, 1983).

Colombo and Karney (2009), citan que en un sistema de distribución de agua

las fugas pueden modelarse explorando las relaciones existentes entre las fugas y la

presión tomando en cuenta un incremento en la demanda.

Cesario (1994), menciona que entre los diferentes modelos que se emplean

en la hidráulica, existen los modelos de redes de conducción de agua, que se

utilizan para determinar las dimensiones de los componentes de una red y


32

seleccionar: válvulas reguladoras, tanques de almacenamiento, bombas y otros

implementos.

Deuerlein et al. (2008), citan que actualmente, el modelado de las válvulas de

retención y válvulas de control de flujo en los sistema de redes de distribución de

agua se basa en una mezcla heurística con la solución de un conjunto de ecuaciones

no lineales que rigen el flujo en la red, con la finalidad de modelar el comportamiento

de los dispositivos de regulación en los sistemas de distribución de agua utilizando

programación no lineal.

2.5. Redes de tuberías

Walski et al. (2003), mencionan que existen dos tipos de redes; las cerradas

que son un conjunto de circuitos donde el agua tiene más caminos para llegar a

donde va a ser utilizada, y las abiertas o sistema dendrítico (ramificado) donde el

agua solo tiene un camino para llegar al lugar requerido.

Una red es un conjunto de elementos encargados del transporte y suministro

de agua con calidad, cantidad y presión adecuada, desde las fuentes de

abastecimiento hasta los centros de consumo: viviendas, comercios, industrias,

hidrantes para incendios y riego. Están formadas por tuberías interconectadas entre

sí, formando mallas cerradas y/o sistemas abiertos. Siempre se utilizan conductos

funcionando a presión (conductos cerrados), por lo general por bombeo, o por

gravedad (conductos abiertos) o mixtos (Scribd, 2012).

Si se clasifican de acuerdo al funcionamiento:

1) Por gravedad.


33

2) Por bombeo.

Si se clasifican por su forma o topología:

1) Ramificadas o abiertas

2) Malladas o cerradas

3) Mixtas

Mays (2002), cita que entre los accesorios que se encuentran instalados en la

red están los coples, que sirven para unir la tubería; codos para cambiar la dirección

del flujo; válvulas normales que regulan los caudales; válvulas de retención o de un

solo sentido del flujo; válvulas de admisión y expulsión de aire, que se utilizan para

drenar el agua de las tuberías, pero también se tienen válvulas reductoras de

presión, que estrangulan el paso del agua para conseguir a su salida una presión

constante; válvulas limitadoras de caudal, que limitan el caudal de la red a un valor

predeterminado independientemente de las variaciones de presión; válvulas

sostenedoras de presión, que mantienen la presión constante a su salida,

independientemente de las variaciones del caudal, y si la presión de entrada está por

debajo del valor prefijado la válvula se cierra, hasta que la presión de entrada sea

mayor a la ajustada.

Otro de los factores que intervienen en un buen diseño de conducción de agua

en redes, es la selección correcta de: bombas, accesorios, válvulas reguladoras de

presión, tanques de almacenamientos, además de tomar en cuenta la calidad del

agua; y si alguna de estos factores falla o falta, provoca un mal diseño, lo que puede

producir presiones bajas en algunas puntos donde se requiere mayor presión (Walski

et al., 2002).


34

2.6. Métodos matemáticos

2.6.1. Ecuaciones y su solución

Gómez-García (1999), menciona que la ecuación más importante de la ciencia

y de la ingeniería es la ecuación lineal siguiente:

bAx

Existe una gran cantidad de procedimientos para su solución:

Eliminación algebraica

a. Suma / Resta

b. Igualación

c. Sustitución

Otros métodos

a. Regla de Cramer

b. Eliminación Gaussiana

c. Método de Gauss-Jordan

d. Método de Gauss-Seidel

e. Método de Banachiewics

f. Método de Crout

g. Método de Cholesky

h. Método del Gradiente Conjugado

i. Algoritmo DGO

j. Método Rocío

k. Método Ana


35

Gómez-García (1993), cita que la naturaleza de las soluciones de un sistema de

dos ecuaciones lineales tiene tres posibilidades:

a) Solución única, que es el punto donde se intersecan las rectas.

b) Infinidad de soluciones, cuando las rectas coinciden en todos sus puntos,

entonces este sistema tiene un conjunto infinito de soluciones.

c) No existe solución cuando las rectas son paralelas, o sea cuando las rectas no

tienen ningún punto en común.

Gómez-García (1999), señala que si son pocas las ecuaciones lineales que

pueden resolverse con cierta rapidez mediante técnicas simples. Sin embargo si son

cuatro o más, la solución se vuelve laboriosa y debe usarse una computadora. Antes

del uso de las computadoras las técnicas para resolver estas ecuaciones consumían

mucho tiempo y esfuerzo, por lo tanto estos procedimientos restringieron la

creatividad. Pero con el surgimiento de las computadoras se hizo posible resolver

grandes sistemas de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, con la finalidad de

poder enfrentar ejemplos y problemas más complicados.

Gómez-García (1999), cita que existe una serie de dificultades para solucionar

los modelos lineales. Con la regla de Cramer sólo sirve para resolver exactamente

sistemas cuadrados con elementos enteros, con la desventaja de que requiere una

gran cantidad de operaciones. Una matriz de orden n requiere la evaluación de

1n determinantes de orden n , y cada uno de estos requiere la evaluación de n

determinantes de orden 1n ; y así sucesivamente. La solución de un sistema de 20

ecuaciones tardaría casi 28 siglos, y la inversión de esa matriz tardaría lo mismo con

una supercomputadora actual. La eliminación Gaussiana requiere 3323 nn


36

multiplicaciones para poder evaluar un determinante de orden n , o sea que un

determinante de orden 30 requiere 9019 multiplicaciones y uno de orden 50 requiere

41699 multiplicaciones; claro que una supercomputadora lo haría en una fracción de

segundo. Pero la eliminación Gaussiana requiere la evaluación de un cociente de

números enteros y esto precisa el uso de decimales o fracciones, por lo que presenta

un inconveniente de tipo aritmético. El algoritmo DGO usa un formato cómodo y

sencillo en su aplicación ya que opera sólo con números enteros, para encontrar la

solución exacta de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Es tan exacto

como la regla de Cramer pero requiere sólo un poco más de operaciones que la

eliminación Gaussiana.

Adicionalmente, existen sistemas lineales mal condicionados, como la matriz

de Hilbert y la matriz de Wilson, las cuales presentan serios problemas de redondeo

que originan soluciones inexactas (diferentes de las soluciones correctas). Otras

dificultades que se presentan al resolver un sistema de ecuaciones lineales es el de

poder conocer la naturaleza de su solución y saber si el sistema tiene solución única

o una infinidad de soluciones o simplemente no tiene solución. También hay que

tomar en cuenta que no basta saber solucionar el sistema de ecuaciones lineales, si

no cómo pueden aplicarlo en los problemas que se presenten en su profesión y en

los casos de dos y tres dimensiones saber la naturaleza geométrica de su solución

(Gómez-García, 1999).

Una sola ecuación no lineal es la siguiente:

0xf


37

Gómez-García (2009); Spiegel (2001) y Stewart (2002) citan que los métodos

matemáticos para resolver ecuaciones no lineales (como los que se generan en una

red hidráulica), se inicia con la Serie de Taylor en torno al punto a :

...

!1...

!3

'''

!2

''

!1

' 11

32

nn

axn

afax

afax

afax

afafxf

Si 0a , la serie de Taylor se transforma en la serie de Maclaurin:

...

!1...

!3

'''

!2

''

!1

0'0 1

132

n

n

xn

afx

afx

afx

ffxf (2.6.1.1)

Burden y Faires (1985); Chapra y Canale (2007) señalan que el método de

Newton-Raphson resuelve una sola ecuación no lineal e igual a cero, y se puede

deducir de la serie de Taylor, considerando tan solo sus dos primeros términos, y

haciendo la sustitución: 1 ixx y 1xa en la ecuación (2.6.1.1), hasta que 01 ixf

y posteriormente se despeja 1ix , tal como se muestra a continuación:

axafafaxaf

afxf '!1

'

iiiii xxxfxfxf 11 '

1

11

' xf

xfxfxx ii

ii

Si 0)( 1 ixf , por ser raíz:

0)(;)(

)( '

'1 i

i

iii xf

xf

xfxx

(2.6.1.2)

donde:

ixf función de x en el punto ix


38

ixf ' derivada de la función de x en el punto ix

1ix punto donde se interseca la tangente de la curva con el eje x ; la ecuación

(2.6.1.2) realiza un cálculo iterativo de esta manera:

...'

...'''

1

2

223

1

112

0

001

i

iii

xf

xfxx

xf

xfxx

xf

xfxx

xf

xfxx

hasta que ii xx 1 ó

0'

i

i

xf

xf.

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su

convergencia global no está garantizada. Una manera de aumentar la garantía de

alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a

la raíz buscada, pero esto depende mucho de la naturaleza de la propia función por

qué si esta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en torno de

la raíz, aumenta las probabilidad de divergencia, lo cual exige seleccionar un valor

cercano a la raíz (Gómez-García, 2009).

El método de Newton-Raphson, para el caso de dos ecuaciones no lineales

))()(( 21 xfyxf :

2

11

11

1

11

111

)()(

)()()(

x

xfxx

x

xfxxxf

iii

iiii

2

21

22

1

21

222

)()(

)()()(

x

xfxx

x

xfxxxf

iii

iiii

2

11

1

1

11

1

2

11

1

111

)()()()()(

x

xfx

x

xfx

x

xfx

x

xfxxf

ii

ii

ii

iii

2

21

2

1

21

2

2

22

1

222

)()()()()(

x

xfx

x

xfx

x

xfx

x

xfxxf

ii

ii

ii

iii


39

1

2

1

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1

)()(

)()(

)()(

)()(

)(

)(

i

i

ii

ii

i

i

ii

ii

i

i

x

x

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

x

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

xf

xf

1

2

1

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1

)()(

)()(

)(

)(

i

i

i

i

ii

ii

i

i

x

x

x

x

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

xf

xf

)(

)(

)()(

)()(

2

1

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1

1

2

1

1

i

i

ii

ii

i

i

i

i

xf

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

x

x

x

(2.6.1.3)

Para un sistema de N ecuaciones no lineales con N incógnitas, el método de

Newton-Raphson usa las iteraciones recurrentes:

)( )(1)()1( iii XFJXX

siendo 1J la inversa de la matriz Jacobiana cuyos elementos son derivadas

parciales de las funciones Nf , y X es el vector de las x . El número de iteración está

dado por el superíndice, tal como se muestra a continuación:

1

21

1

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

)()()(

)()()(

)()()(

N

i

N

i

N

i

N

N

iii

N

iii

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

J


40

)(

)(

)(

)( 2

1

i

N

i

i

i

xf

xf

xf

XF

1

1

2

1

1

12

1

,

i

N

i

i

i

i

N

i

i

i

x

x

x

X

x

x

x

X

.

La ecuación (2.6.1.3), para N ecuaciones se muestra de esta manera:

)(

)(

)(

)()()(

)()()(

)()()(

2

1

1

21

1

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

i

N

i

i

N

i

N

i

N

i

N

N

iii

N

iii

i

N

i

i

i

N

i

i

xf

xf

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

x

x

x

x

x

.

(2.6.1.4)

Las dificultades que se presentan con el método de Newton-Raphson al

resolver ecuaciones no lineales es cuando este método no converge y no nos

presenta solución alguna, dado la naturaleza de la propia función. Otra de las

dificultades que se puede presentar es que no exista convergencia en un sistema de

más de tres dimensiones, y en este caso no se tiene idea de lo que sucedió ya que

no existe figura alguna que nos permita identificar el comportamiento. Las soluciones

de este trabajo son números reales positivos que pueden ser racionales o

irracionales, siendo los irracionales aquellos números que no pueden expresarse en

forma de fracciones comunes (Gómez-García, 2009).


41

2.6.2. Soluciones hidráulicas

Diseño hidráulico tomando en cuenta la longitud y el diámetro de las tuberías.

La fórmula de Hazen-Williams frecuentemente se usa para el diseño de la longitud y

el diámetro de las tuberías, tomando en cuenta que esto está limitado a ciertos

rangos de aplicación. Esta práctica puede tener efectos perjudiciales en el diseño de

conducción y podría conducir a un litigio. La fórmula de Hazen-Williams es precisa si

el sistema de conducción opera dentro del flujo turbulento, ya que esta fórmula falla

cuando el flujo está fuera de este régimen. La fórmula de Hazen-Williams fue

desarrollada para tuberías que tienen un diámetro máximo de hasta 3.66 m pero la

mayoría de los tubos tenían diámetros menores de 1.8 m. El rango del número de

Reynolds que abarca esta fórmula es aproximadamente de 104 hasta 2 x 106

(Bombardelli y García, 2003).

Saldarriaga (2008), cita que las condiciones para trabajar con Hazen-Williams

son las siguientes:

El fluido debe ser exclusivamente agua a temperaturas normales.

El diámetro debe de ser mayor o igual a 75 mm.

La velocidad en las tuberías debe de ser menor a 3.0 m/s.

Nahavandi (1973), utiliza un método para obtener un sistema de ecuaciones

lineales simultáneas, cuya resolución consiste en expresar en forma matricial la

pérdida de energía en los circuitos cerrados, y la ecuación de continuidad en los

nodos, donde las variables desconocidas son las cargas en los nodos y los caudales.


42

Mays (2002), señala que los problemas clásicos de flujos de redes de conductos

a presión se resuelven determinando los caudales en cada una de las líneas de

conducción que conforman la red, así como las presiones en cualquier punto de la

red como en los nodos. El primero requiere la ley de conservación del caudal en

cada unión de las tuberías (ecuación de continuidad). El segundo especifica una

relación no lineal entre el caudal y la pérdida de carga en cada una de las líneas de

conducción, donde se pueden utilizar las ecuaciones de la energía del flujo de agua:

de Darcy-Weisbach y de Hazen-Williams. Esto genera un conjunto de ecuaciones no

lineales que pueden resolverse usando métodos iterativos que necesariamente

requieren el auxilio de una computadora.

Método lineal de dos puntos para el análisis de tuberías, propone un análisis

rápido de sistemas de distribución de agua que comúnmente se basa en el método

del gradiente. Este procedimiento usa una secante en lugar de una tangente

(intersecando dos puntos en la función de pérdida de carga, donde las pérdidas de

carga están en función del caudal) para aproximar la función de pérdida de carga en

la tubería. Se desarrolla un modelo teórico para un rango de caudales en el cual la

secante aproxima la función de pérdida de carga sin exceder un error permisible

Emax. Este sistema permite la disminución del número de iteraciones dentro del error

permisible para alcanzar la convergencia. El propósito de este artículo es aplicar este

método en una red de distribución del agua en donde se observa el beneficio de

reducir significativamente las iteraciones para lograr la convergencia que soluciona

algún aspecto de la red (Zyl et al., 2008).


43

Deuerlein (2008), señala que el campo de análisis de sistemas de redes de

distribución de agua consta de dos componentes: lo externo y el núcleo interno. La

primera componente consiste en un conjunto de diagramas de árbol, mientras que la

segunda está formada por distintos bloques que se conectan por puentes, de tal

manera que ambas componentes del flujo de redes se traslapan en lo que se

denomina raíz de nodos. Este método puede ser aplicado al desarrollo de estrategias

para mejorar el control y las operaciones de la red de distribución de agua.

2.6.3. Métodos de optimización

Brion y Mays (1991), presentan una metodología basada en la solución de

programación lineal en gran escala, para la operación óptima de estaciones de

bombeo en los sistemas de distribución de agua. La metodología se basa en el

control óptimo operada por computadora, que interactúa con un modelo de

simulación hidráulica que es usado para resolver implícitamente ecuaciones de la

conservación del flujo y la energía, describiendo el flujo hidráulico en el modelo de

optimización. Esta metodología se ha aplicado en un sistema de distribución de agua

a presión en Austin Texas, que ha mostrado como pueden reducirse los costos de

operación usando este método, donde los autores reconocen que la solución

obtenida puede ser útil, como una guía, aunque no sea necesariamente la óptima.

Montesinos et al. (1996), mencionan la optimización de redes de distribución

de agua utilizando un algoritmo genético. Un algoritmo genético (AG), es un

procedimiento de búsqueda del óptimo de una función basado en la mecánica natural

darwiniana de supervivencia de los individuos mejor adaptados. En este trabajo se


44

ha desarrollado un algoritmo genético que permite determinar la red de distribución

de agua con un costo mínimo para una topología y una condición de carga dadas.

Este proceso consiste en relacionar las redes con las cadenas binarias (conjuntos de

unos y ceros). Se parte de un conjunto de redes generada aleatoriamente donde se

efectúan los procesos naturales de selección, cruce y mutación, para obtener un

nuevo conjunto de redes más pequeña. Así generación tras generación, se llega a

algo mejor adaptado, en nuestro caso una red de distribución de agua con un costo

mínimo.

El algoritmo genético fue implementado en FORTRAN-77 y ejecutable en PC.

Aunque no hay prueba matemática de que el óptimo ocurrido sea global, el algoritmo

genético representa una perspectiva de búsqueda más global que el resto de las

técnicas. El algoritmo genético inicia la búsqueda del óptimo partiendo de un

conjunto de puntos obtenidos de manera aleatoria y mediante los operadores de

selección, cruce y mutación, así como el valor de la función objetivo en cada uno de

estos puntos llega a tener la solución deseada, sin los inconvenientes de los métodos

que requieren un determinado punto de partida para alcanzar la solución deseada.

Optimización por el método de Colonia de Hormigas para sistemas de

distribución de agua. Durante la década pasada evolucionaron métodos para

optimizar los sistemas de distribución de agua, un ejemplo es el algoritmo genético

que últimamente ha sido muy utilizado como un método de optimización. Más

recientemente surgió el método de algoritmo de optimización de colonia de hormigas

(ACOAs) que es un método basado en las conductas de las hormigas que

actualmente ha sido aplicado a un gran número de problemas de optimización en


45

ingeniería. Este método se basa en la conducta que tienen las hormigas para buscar

su comida, para ello las hormigas depositan una hormona en el camino denominada

feromona para estimular a las demás hormigas a seguir ese camino, con la finalidad

de encontrar la ruta más corta entre el nido y la fuente de su alimento. Para optimizar

los sistemas de distribución de agua los resultados que obtienen por este método se

comparan con el uso de algoritmos genéticos (Maier, 2003).

2.6.4. Programas comerciales para el diseño de redes

Saldarriaga (2008), cita que existen algunos programas comerciales y otros que

fueron generados en las universidades para modelar la distribución del agua en

redes:

PIPE 2000. Este programa fue diseñado para flujos permanentes en tiempos

prolongados (EPS, Extended Periods Simulation). Determina presiones y

caudales en la red, permitiendo cambiar las configuraciones del sistema o las

condiciones de operación. También resuelve problemas de calibración, diseño

y operación. Además permite el análisis hidráulico, calidad del agua y la

simulación extendida EPS. Utiliza las ecuaciones de Hazen-Williams y Darcy-

Weisbach y las resuelve con el método de la teoría lineal. Funciona en

entornos de Windows 95, 98, NT4, NT5 Y XP. Su ventaja en comparación con

otros programas es la confiabilidad de sus resultados, como también su

capacidad de modelación y análisis. Su desventaja es que no permite diseñar.


46

EPANET. Este programa fue desarrollado por la Agencia de Protección

Ambiental de Estados Unidos (EPA, Enviroment Protection Agency), para el

estudio y análisis del comportamiento de redes hidráulicas a presión. Permite

incorporar la simulación de tuberías, bombas de velocidad fija y variable,

válvulas de estrangulación, válvulas reguladoras de presión, tanques de altura

piezométrica constante o variable y sistemas de control y operación

temporales de nivel y de presión. El código está escrito en lenguaje C y

permite el análisis hidráulico, calidad de agua y simulación extendida

utilizando las ecuaciones de Hazen-Williams, Darcy-Weisbach, Chézy-

Manning, resueltas con el método del gradiente y puede funcionar en

entornos: MS DOS, Windows, 95, 98, NT4, NT5, XP; UNIX. Tiene las ventajas

de tener facilidad de uso, distribución gratuita, y una presentación de

resultados excelente. Sus desventajas son el de no permitir el diseño y que la

entrada de datos es complicada.

GestarCAD. Una Aplicación para el Diseño y Simulación de Redes de

Riego Bajo el Entorno de AutoCAD Utilizando Objetos Active X. Es una

aplicación computarizada que utiliza métodos numéricos avanzados modernos

para la simulación hidráulica, en un entorno gráfico bajo AutoCAD, codificado

en Visual Basic 6.0.

Algunas de las utilidades más importantes del GestarCAD son:

a) Optimización económica de redes.

b) Obtención de redes de longitud mínima.


47

c) Comunicación en tiempo real con GPS.

d) Generación de curvas de nivel.

e) Cálculo de volúmenes de excavación en zanjas para enterrar

tuberías.

f) Distribución óptima de aspersores en una parcela.

g) Redes de flujo.

GestarCAD es una aplicación creada en la Escuela Universidad Politécnica de

Huesca. Serreta et al. (2002), relatan que el GestarCAD y 1.0 constituye una

versión preliminar de un paquete informático, para el dimensionado, simulación y

cartografía de redes presurizadas de distribución de fluidos, orientada a los sistemas

de riego.

El EPS se conoce como simulación de período extendido y esto significa

simular el comportamiento de un sistema de distribución del agua en un tiempo largo,

que permite al que elabora el modelo, capturar los efectos en las demandas del

consumo y en los niveles de agua almacenada sobre el rendimiento del sistema.

Este método integra la ecuación diferencial que representa la variación en altura de

los depósitos de almacenamiento con respecto al tiempo, utilizando el análisis de la

red en estado estacionario o flujo permanente, para calcular los caudales de las

tuberías en función de las alturas que tiene la superficie del agua en los tanques

(Mays, 2002).


48

3. MATERIALES Y MÉTODOS

3.1. Modelo matemático determinístico, para resolver la distribución de

caudales en redes abiertas, con interconexión de bombas centrífugas tipo

voluta y/o sumergibles emplazadas arbitrariamente.

3.1.1. Notación

iHb carga de la bomba i .

iHf carga de la fuente de abastecimiento i (su superficie libre).

uHn carga del nodo u .

kHr carga a la entrada al sistema de riego k .

iZf carga por posición de la bomba de la fuente de abastecimiento i .

uZn carga por posición del nodo u .

kZr carga por posición a la entrada al sistema de riego k .

iPf presión en la superficie libre de la fuente de abastecimiento i .

uPn presión del nodo u .

krP presión de operación del sistema de riego k

iK coeficiente de pérdidas de energía.

Las cargas están dadas en metros y las presiones en kilogramo fuerza por

unidad de metro cuadrado.

Donde:


49

i : número que identifica o etiqueta a cualquier línea de la red, bomba y fuente

de abastecimiento.

nli ,,3,2,1

j : número que identifica a un accesorio que tiene pérdidas locales

significativas

naj ,,3,2,1

u : número que identifica a un nodo de la red.

nnu ,,3,2,1

k : número que identifica a un sistema de riego.

nrk ,,3,2,1

s : tubería de succión.

d : tubería de descarga.

cb : columna de bombeo.

an : número total de accesorios que tienen pérdidas de carga significativas en

una línea de la red.

nl : número total de líneas de la red abierta.

nr : número total de sistemas de riegos alimentados.

nn : número total de nodos.

Existen dos tipos de cargas con respecto a la energía potencial:

a) Cargas por presión o piezométricas, que resultan de poner un

piezómetro en la tubería ( P ).

b) Cargas totales que se miden a partir del nivel de referencia ).( PZH


50

3.1.2. Desarrollo del modelo matemático

El desarrollo del modelo matemático en redes abiertas comprende las etapas

siguientes:

Primero; ubicación del nivel de referencia. Es el nivel para poder medir los

cambios de energía del flujo en la red. Se puede ubicar, en cualquier parte, pero se

recomienda situarlo en el nivel más bajo, ya sea que corresponda a un nivel dinámico

de un acuífero en la caso de bomba sumergible o en el nivel de la superficie libre de

la fuente de abastecimiento (depósito, lago, río, etc.), en el caso de bomba

centrífuga.

Segundo; ubicación de los puntos principales o estratégicos para medir las

cargas en la red:

Superficies de las fuentes de abastecimiento que abastecen a la red

(puntos iniciales de la red).

Salidas de las bombas.

Nodos.

Entradas a los sistemas de riego (puntos finales de la red).

Tercero; identificación de los tipos de líneas que conforman la red:

Línea con bomba. Son líneas que tienen una bomba. Cada línea con

bomba está conformada por dos tramos. En el caso de bombas

sumergibles en pozos profundos, el primer tramo es la columna de

bomba (tubería vertical que está dentro del pozo, que conecta a la

bomba), y el segundo tramo es la tubería de descarga (la que sale del


51

pozo profundo, hasta el primer nodo en la red). En la situación de una

bomba centrífuga tipo voluta de eje horizontal, el primer tramo es la

tubería de succión (la que está antes de la bomba) y la tubería de

descarga (la que está después de la bomba para conectar al nodo).

Al aplicar la ecuación (2.3.1) a una línea con bomba, se tiene la

ecuación que sigue:

02 uiiii HnQKHbHf (3.1.2.1)

la carga en la superficie de la fuente de abastecimiento, a partir del nivel de

referencia será:

iii

PfZfHf

(3.1.2.2)

si Pf es igual a la presión atmosférica:

0Pf

siendo así, la ecuación (3.1.2.2) se convierte en la expresión que sigue:

ii ZfHf (3.1.2.3)

la ecuación (2.3.8), de las curvas características de las bombas:

iiiiii CQBQAHb 2

(3.1.2.4)

la carga a partir del nivel de referencia en cualquier nodo será:

u

uu

PnZnHn

(3.1.2.5)

si en la conducción existe una bomba centrífuga tipo voluta de eje

horizontal, el coeficiente de pérdida de energía ( iK ):


52

gD

KD

Lf

DK

D

LfK

ii

j

i

i

i

ii

j

i

i

i

dd

na

j loc

d

d

d

ss

na

j loc

s

s

si 24141

811

(3.1.2.6)

la ecuación de Colebrook (Ecuación 2.2.5), para obtener el coeficiente de

fricción hidráulico ( f ), para cualquier tubería de la red (Saldarriaga,

2008):

iii

i

i fDf Re

51.2

7.3log2

110

si en la conducción existe una bomba tipo sumergible en un pozo profundo,

el coeficiente de pérdida de energía ( iK ):

gD

KD

Lf

DK

D

LfK

ii

j

i

i

i

ii

j

i

i

i

dd

na

j loc

d

d

d

CBCB

na

j loc

CB

CB

CBi 24141

811

(3.1.2.7)

Línea entre nodos; aplicando la ecuación (2.2.1) entre dos nodos de la

red, se tiene la ecuación siguiente:

02

1 iiuu QKHnHn

(3.1.2.8) en una conducción sin bomba y tenga dos diámetros

diferentes, el coeficiente de pérdida de energía ( iK ):

gD

KD

Lf

DK

D

LfK

ii

j

i

i

i

ii

j

i

i

i

na

j loc

na

j loci 24

221

2

2

24

111

1

1

1

811

(3.1.2.9)

Línea conectada al sistema de riego; al aplicar la ecuación (2.2.1) en

cualquier línea que salga de un nodo y se conecte a un sistema de

riego, su ecuación es la siguiente:


53

02 iiuk QKHnHr

(3.1.2.10)

el coeficiente iK se obtiene de la ecuación (3.1.2.9). La carga a partir

del nivel de referencia, en la entrada a los sistemas de riego, es igual a:

k

kk

rPZrHr

(3.1.2.11)

la energía específica o las cargas de los flujos en la red, están

expresadas en las ecuaciones (3.1.2.1), (3.1.2.8) y (3.1.2.10).

La pérdida de carga total en un tramo de la red:

2

iitot QKhi

una tubería de longitud mayor de 1000 veces su diámetro, se considera

larga y es aceptable que se desprecien las pérdidas por accesorios

(King et al., 1948):

na

j loc jK

10

Cuarto; la ecuación que rige el balance de masa de entradas y salidas en un

nodou de una red:

0 unododelsalenunodoalentran QQ (3.1.2.13)

En resumen, para una red abierta con interconexión de bombas emplazadas

arbitrariamente, se generan cuatro tipos de ecuaciones:

Líneas con bombas (ecuación 3.1.2.1).

Líneas entre nodos (ecuación 3.1.2.8).

Líneas que alimentan a sistemas de riego (ecuación 3.1.2.10).

Ecuación de continuidad (ecuación 3.1.2.13).


54

Las ecuaciones (3.1.2.1), (3.1.2.8), (3.1.2.10) y (3.1.2.13), conforman el

modelo matemático generalizado para resolver una red abierta con interconexión

de bombas centrífugas y/o sumergibles, emplazadas arbitrariamente para alimentar

sistemas de riego. Por lo tanto el modelo matemático está conformado por las

ecuaciones siguientes:

02 uiiii HnQKHbHf (3.1.2.1)

02

1 iiuu QKHnHn

(3.1.2.8)

02 iiuk QKHnHr

(3.1.2.10)

0 unododelsalenunodoalentran QQ (3.1.2.13)

3.1.3. Procedimiento de aplicación del modelo matemático en una red

El procedimiento a seguir en la aplicación del modelo, para obtener un

conjunto de ecuaciones, que determinen la distribución de caudales en la red, es el

siguiente:

Seleccionar el tipo de bomba (bomba centrífuga tipo voluta o sumergible) y el

tipo de sistema de riego.

Ubicar el nivel de referencia.

Enumerar los nodos.

Enumerar las bombas.

Enumerar los sistemas de riego.


55

Enumerar las líneas de conducción y en el caso de las líneas con bomba se

identificarán con el mismo número de la bomba (línea 1, bomba 1, línea 2,

bomba 2, etc.).

Identificar la clase de línea de conducción, para relacionarla con la ecuación

que le corresponda:

Línea con bomba (Ec. 3.1.2.1).

Línea entre nodos (Ec. 3.1.2.8).

Línea conectada al sistema de riego (Ec. 3.1.2.10).

Efectuar combinaciones de restas entre las ecuaciones de dos extremidades

de la red (en caso de existir nodos entre los extremos de la red, deberá

aplicarse además la ecuación (3.1.2.8), restándola a la diferencia de las dos

ecuaciones de las extremidades); se repite el proceso hasta efectuar el total

de combinaciones posibles, obteniéndose un conjunto de ecuaciones no-

lineales.

Por último, aplicando la ecuación (3.1.2.10) o la ecuación de continuidad, a los

nodos de la red, se obtiene un conjunto de ecuaciones lineales, para obtener

las entradas y salidas de caudales en cada nodo.

3.2. Aplicación y solución del modelo para casos de redes abiertas con

interconexión de bombas centrífugas y/o sumergibles emplazadas

arbitrariamente para alimentar sistemas de riego

En este documento se presentan las ecuaciones para la aplicación y solución

de cuatro casos con sus respectivos subcasos, para un total de catorce tipos de


56

redes abiertas que se pueden presentar en el medio agrícola mexicano (Figura

3.2.1).

Figura 3.2.1. Cuatro casos y sus respectivos subcasos de redes abiertas con interconexión de bombas.


57

3.2.1. Aplicación del modelo

Aplicando el procedimiento descrito en el punto 3.1.3, se obtienen el conjunto

de ecuaciones no lineales y lineales, para cada caso con sus respectivos subcasos

(Figura 3.2.1). Al aplicar las ecuaciones generalizadas para interconexión de bombas

en diversos puntos de la red, con el fin de encontrar una solución para cualquier red

abierta, se obtienen más ecuaciones que incógnitas, por lo que es necesario

seleccionarlas, para lograr que el número de ecuaciones sea igual al número de

incógnitas, de tal manera que todos los caudales estén en las ecuaciones lineales y

no lineales, y así proceder a solucionarlas con métodos matriciales.

Caso I – subcaso 1 Esta red consiste en 1 nodo, 2 bombas, 1 sistema de

riego y 3 líneas de conducción:

02

33

2

1111 QKQKHrHfHb

(3.2.1.1)

02

33

2

2222 QKQKHrHfHb

(3.2.1.2)

02

22

2

112121 QKQKHfHfHbHb (3.2.1.3)

0321 QQQ

(3.2.1.4)

se seleccionan o eligen tres ecuaciones de las cuatro, para solucionar este subcaso.

Caso I – subcaso 2. Esta red consiste en 1 nodo, 2 bombas, 2 sistemas de


02

33

2

11111 QKQKHrHfHb

(3.2.1.5)


58

02

44

2

11211 QKQKHrHfHb (3.2.1.6)

02

33

2

22122 QKQKHrHfHb

(3.2.1.7)

02

44

2

22222 QKQKHrHfHb (3.2.1.8)

02

22

2


02

44

2

3321 QKQKHrHr

(3.2.1.10)

04321 QQQQ

(3.2.1.11)

se seleccionan cuatro ecuaciones de las siete, para solucionar este subcaso.

Caso I – subcaso 3. Esta red consiste en 1 nodo, 3 bombas, 1 sistema de


02

44

2

11111 QKQKHrHfHb (3.2.1.12)

02

44

2

22122 QKQKHrHfHb (3.2.1.13)

02

44

2

33133 QKQKHrHfHb

(3.2.1.14)

02

22

2


02

33

2

113131 QKQKHfHfHbHb

(3.2.1.16)

02

33

2

223232 QKQKHfHfHbHb

(3.2.1.17)

04321 QQQQ

(3.2.1.18) se seleccionan cuatro ecuaciones de las siete, para solucionar este

subcaso.


59



02

44

2

11111 QKQKHrHfHb (3.2.1.19)

02

44

2

22122 QKQKHrHfHb (3.2.1.20)

02

44

2

33133 QKQKHrHfHb

(3.2.1.21)

02

55

2

11211 QKQKHrHfHb

(3.2.1.22)

02

55

2

22222 QKQKHrHfHb

(3.2.1.23)

02

55

2

33233 QKQKHrHfHb

(3.2.1.24)

02

44

2

5512 QKQKHrHr

(3.2.1.25)

02

22

2


02

33

2

113131 QKQKHfHfHbHb

(3.2.1.27)

02

33

2


054321 QQQQQ

(3.2.1.29)

se seleccionan cinco ecuaciones de las once, para solucionar este subcaso.



02

44

2

11111 QKQKHrHfHb (3.2.1.30)

02

55

2

11211 QKQKHrHfHb

(3.2.1.31)

02

66

2

11311 QKQKHrHfHb

(3.2.1.32)


60

02

44

2

22122 QKQKHrHfHb (3.2.1.33)

02

55

2

22222 QKQKHrHfHb

(3.2.1.34)

02

66

2

22322 QKQKHrHfHb (3.2.1.35)

02

44

2

33133 QKQKHrHfHb

(3.2.1.36)

02

55

2

33233 QKQKHrHfHb

(3.2.1.37)

02

66

2

33333 QKQKHrHfHb

(3.2.1.38)

02

55

2

4412 QKQKHrHr

(3.2.1.39)

02

66

2

4413 QKQKHrHr

(3.2.1.40)

02

66

2

5532 QKQKHrHr

(3.2.1.41)

02

22

2


02

33

2

113131 QKQKHfHfHbHb

(3.2.1.43)

02

33

2

223232 QKQKHfHfHbHb

(3.2.1.44)

0654321 QQQQQQ

(3.2.1.45)

se seleccionan seis ecuaciones de las dieciséis, para solucionar este subcaso.

Caso ll – subcaso 1. Esta red consiste en 2 nodos, 2 bombas, 2 sistemas de


02

55

2

33

2

11111 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.46)

02

55

2

44

2

11211 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.47)


61

02

55

2

33

2

22122 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.48)

02

55

4

44

2

22222 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.49)

02

22

2


02

44

2

3321 QKQKHrHr

(3.2.1.51)

0521 QQQ

(3.2.1.52)

0543 QQQ

(3.2.1.53)

se seleccionan cinco ecuaciones de las ocho, para solucionar este subcaso.



02

66

2

44

2

11111 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.54)

02

66

2

55

2

11211 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.55)

02

66

2

44

2

22122 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.56)

02

66

2

55

2

22222 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.57)

02

66

2

44

2

33133 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.58)

02

66

2

55

2

33233 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.59)

02

22

2


02

33

2

113131 QKQKHfHfHbHb

(3.2.1.61)

02

33

2

223232 QKQKHfHfHbHb

(3.2.1.62)


62

02

55

2

4421 QKQKHrHr

(3.2.1.63)

06321 QQQQ

(3.2.1.64)

0654 QQQ

(3.2.1.65)

se seleccionan seis ecuaciones de las doce, para solucionar este subcaso.



02

77

2

44

2

11111 QKQKQKHrHfHb (3.2.1.66)

02

77

2

55

2

11211 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.67)

02

77

2

66

2

11311 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.68)

02

77

2

44

2

22122 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.69)

02

77

2

55

2

22222 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.70)

02

77

2

66

2

22322 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.71)

02

77

2

44

2

33133 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.72)

02

77

2

55

2

33233 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.73)

02

77

2

66

2

33333 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.74)

02

22

2


02

33

2

113131 QKQKHfHfHbHb

(3.2.1.76)

02

33

2

223232 QKQKHfHfHbHb

(3.2.1.77)


63

02

55

2

4421 QKQKHrHr

(3.2.1.78)

02

66

2

4431 QKQKHrHr

(3.2.1.79)

02

66

2

5532 QKQKHrHr

(3.2.1.80)

07321 QQQQ

(3.2.1.81)

07654 QQQQ

(3.2.1.82)

se seleccionan siete ecuaciones de las diecisiete, para solucionar este subcaso.

Caso ll – subcaso 4. Esta red consiste en 2 nodos, 3 bombas, 1 sistema de


02

55

2

44

2

11111 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.83)

02

55

2

44

2

22122 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.84)

02

44

2

33133 QKQKHrHfHb

(3.2.1.85)

02

22

2


02

55

2

33

2

113131 QKQKQKHfHfHbHb

(3.2.1.87)

02

55

2

33

2


(3.2.1.88)

0521 QQQ

(3.2.1.89)

0543 QQQ

(3.2.1.90)

se seleccionan cinco ecuaciones de las ocho, para solucionar este subcaso.


64

Caso lll – subcaso 1. Esta red consiste en 3 nodos, 3 bombas, 2 sistemas de


02

77

2

66

2

44

2

11111 QKQKQKQKHrHfHb

(3.2.1.91)

02

77

2

66

2

55

2


(3.2.1.92)

02

77

2

66

2

44

2


(3.2.1.93)

02

77

2

66

2

55

2


(3.2.1.94)

02

66

2

44

2

33133 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.95)

02

66

2

55

2

33233 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.96)

02

22

2


02

77

2

33

2


(3.2.1.98)

02

77

2

33

2


(3.2.1.99)

02

55

2

4421 QKQKHrHr

(3.2.1.100)

0721 QQQ

(3.2.1.101)

0637 QQQ

(3.2.1.102)

0654 QQQ

(3.2.1.103)

se seleccionan siete ecuaciones de las trece, para solucionar este subcaso.



02

88

2

77

2

55

2


(3.2.1.104)


65

02

88

2

77

2

66

2


(3.2.1.105)

02

88

2

77

2

55

2


(3.2.1.106)

02

88

2

77

2

66

2


(3.2.1.107)

02

88

2

77

2

55

2


(3.2.1.108)

02

88

2

77

2

66

2


(3.2.1.109)

02

88

2

77

2

55

2


(3.2.1.110)

02

77

2

66

2

44244 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.111)

02

22

2

112121 QKQKHfHfHbHb (3.2.1.112)

02

33

2

113131 QKQKHfHfHbHb

(3.2.1.113)

02

88

2

44

2


(3.2.1.114)

02

33

2

223232 QKQKHfHfHbHb

(3.2.1.115)

02

88

2

44

2


(3.2.1.116)

02

88

2

44

2

334343 QKQKQKHfHfHbHb (3.2.1.117)

02

66

2

5521 QKQKHrHr

(3.2.1.118)

08321 QQQQ

(3.2.1.119)

0765 QQQ

(3.2.1.120)

0784 QQQ

(3.2.1.121)

se seleccionan ocho ecuaciones de las dieciocho, para solucionar este subcaso.


66



02

99

2

88

2

55

2


(3.2.1.122)

02

99

2

88

2

66

2


(3.2.1.123)

02

99

2

88

2

77

2

11311 QKQKQKQKHrHfHb (3.2.1.124)

02

99

2

88

2

55

2


(3.2.1.125)

02

99

2

88

2

66

2


(3.2.1.126)

02

99

2

88

2

77

2


(3.2.1.127)

02

99

2

88

2

55

2


(3.2.1.128)

02

99

2

88

2

66

2


(3.2.1.129)

02

99

2

88

2

77

2


(3.2.1.130)

02

88

2

55

2

44144 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.131)

02

88

2

66

2

44244 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.132)

02

88

2

77

2

44344 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.133)

02

22

2

112121 QKQKHfHfHbHb (3.2.1.134)

02

33

2

113131 QKQKHfHfHbHb

(3.2.1.135)

02

99

2

44

2


(3.2.1.136)

02

33

2

223232 QKQKHfHfHbHb

(3.2.1.137)

02

99

2

44

2


(3.2.1.138)


67

02

99

2

44

2


(3.2.1.139)

02

66

2

5521 QKQKHrHr

(3.2.1.140)

02

77

2

5531 QKQKHrHr

(3.2.1.141)

02

77

2

6632 QKQKHrHr

(3.2.1.142)

09321 QQQQ

(3.2.1.143)

0894 QQQ

(3.2.1.144)

08765 QQQQ

(3.2.1.145)

se seleccionan nueve ecuaciones de las 25, para solucionar este subcaso.

Caso lV – único. Esta red consiste en 4 nodos, 4 bombas, 3 sistemas de


02

1010

2

99

2

88

2

55

2

11111 QKQKQKQKQKHrHfHb

(3.2.146)

02

1010

2

99

2

88

2

66

2


(3.2.1.147)

02

1010

2

99

2

88

2

77

2


(3.2.1.148)

02

1010

2

99

2

88

2

55

2


(3.2.1.149)

02

1010

2

99

2

88

2

66

2


(3.2.1.150)

|02

1010

2

99

2

88

2

77

2


(3.2.1.151)

02

99

2

88

2

55

2


(3.2.1.152)


68

02

99

2

88

2

66

2


(3.2.1.153)

02

99

2

88

2

77

2


(3.2.1.154)

02

88

2

55

2

44144 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.155)

02

88

2

66

2

44244 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.156)

02

88

2

77

2

44344 QKQKQKHrHfHb

(3.2.1.157)

02

22

2

112121 QKQKHfHfHbHb (3.2.1.158)

02

1010

2

33

2


(3.2.1.159)

02

1010

2

99

2

44

2

114141 QKQKQKQKHfHfHbHb

(3.2.1.160)

02

1010

2

33

2


(3.2.1.161)

02

1010

2

99

2

44

2

224242 QKQKQKQKHfHfHbHb

(3.2.1.162)

02

99

2

44

2


(3.2.1.163)

02

66

2

5521 QKQKHrHr

(3.2.1.164)

02

77

2

5531 QKQKHrHr

(3.2.1.165)

02

77

2

6632 QKQKHrHr

(3.2.1.166)

01021 QQQ

(3.2.1.167)

09103 QQQ

(3.2.1.168)

0894 QQQ

(3.2.1.169)

07658 QQQQ

(3.2.1.170)


69

084321 QQQQQ

(3.2.1.179)

se seleccionan diez ecuaciones de las veintiséis, para solucionar este subcaso.

3.2.2. Solución del modelo

Solución del conjunto de ecuaciones no lineales y lineales para cada caso con

sus respectivos subcasos, planteados en el punto 3.2.1 (Figura 3.2.1).

De la ecuación (3.1.2.4), se obtienen las ecuaciones siguientes para los casos

de que existan bombas etiquetadas como i 1, 2, 3 y 4:

111

2

111 CQBQAHb (3.2.2.1)

222

2

222 CQBQAHb (3.2.2.2)

333

2

333 CQBQAHb

(3.2.2.3)

444

2

444 CQBQAHb . (3.2.2.4)

Al derivar parcialmente, las ecuaciones (3.3.1) al (3.3.4), con respecto a su

caudal respectivo, se convierten en las expresiones siguientes:

111

1

1 2 BQAQ

Hb

222

2

2 2 BQAQ

Hb

333

3

3 2 BQAQ

Hb

444

4

4 2 BQAQ

Hb

.

De la ecuación (3.1.2.3), se obtienen las ecuaciones siguientes:


70

11 ZfHf

22 ZfHf

33 ZfHf

44 ZfHf .

De la ecuación (3.1.2.8), se obtienen las ecuaciones siguientes para los casos

de que existan sistemas de riego etiquetados como k 1, 2 y 3:

1

11

rPZrHr

2

22

rPZrHr

333

rPZrHr .

Solución, Caso I – subcaso 1. Esta red consiste en 1 nodo, 2 bombas, 1 sistema de

riego y 3 líneas de conducción.

Las tres ecuaciones seleccionadas son (3.2.1.1), (3.2.1.2) y (3.2.1.4), cuyas

funciones son:

02

33

2

111111 QKQKHrHfHbf

02

33

2

221222 QKQKHrHfHbf

03213 QQQf .

De la ecuación 2.6.1.4, si Qx :


71

i

i

i

iii

iii

iii

i

i

i

i

i

i

f

f

f

JJJ

JJJ

JJJ

Q

Q

Q

Q

Q

Q

3

2

1

1

333231

232221

131211

3

2

1

1

3

1

2

1

1

11

1

1

1

111 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

33

3

223

3

113 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

22

2

2

2

222 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

12

3

32

1

3

31

Q

fJ

Q

fJ

13

3

33

Q

fJ

01

221

2

112

Q

fJ

Q

fJ .

Solución, Caso I – subcaso 2. Esta red consiste en 1 nodo, 2 bombas, 2

sistemas de riego y 4 líneas de conducción.

Las cuatro ecuaciones seleccionadas son (3.2.1.5), (3.2.1.7), (3.2.1.10) y

(3.2.1.11):

02

33

2

111111 QKQKHrHfHbf

02

33

2

221222 QKQKHrHfHbf

02

44

2

33213 QKQKHrHrf


72

043214 QQQQf

i

i

i

i

iiii

iiii

iiii

iiii

i

i

i

i

i

i

i

i

f

f

f

f

JJJJ

JJJJ

JJJJ

JJJJ

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

4

3

2

1

1

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

1

4

1

3

1

2

1

1

11

1

1

1

111 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

33

3

3

33

3

223

3

113 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

22

2

2

2

222 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

44

4

3

34 2 QKQ

fJ

12

442

1

441

Q

fJ

Q

fJ

14

444

3

443

Q

fJ

Q

fJ

02

3

32

1

3

31

4

224

1

221

4

114

2

112

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ .


sistema de riego y 4 líneas de conducción.

Las cuatro ecuaciones seleccionadas son (3.2.1.12), (3.2.1.13), (3.2.1.14) y

(3.2.1.18):


73

02

44

2

111111 QKQKHrHfHbf

02

44

2

221222 QKQKHrHfHbf

02

44

2

331333 QKQKHrHfHbf

043214 QQQQf

i

i

i

i

iiii

iiii

iiii

iiii

i

i

i

i

i

i

i

i

f

f

f

f

JJJJ

JJJJ

JJJJ

JJJJ

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

4

3

2

1

1

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

1

4

1

3

1

2

1

1

11

1

1

1

111 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

44

4

3

34

4

224

4

114 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

22

2

2

2

222 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

33

3

3

3

3

33 2 QKQ

Hb

Q

fJ

13

443

2

442

1

441

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

14

444

Q

fJ

02

3

32

1

3

31

3

223

1

221

3

113

2

112

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ .


74



Las cinco ecuaciones seleccionadas son (3.2.1.19), (3.2.1.20), (3.2.1.21),

(3.2.1.25) y (3.2.1.29):

02

44

2

111111 QKQKHrHfHbf

02

44

2

221222 QKQKHrHfHbf

02

44

2

331333 QKQKHrHfHbf

02

44

2

55124 QKQKHrHrf

0543215 QQQQQf

i

i

i

i

i

iiiii

iiiii

iiiii

iiiii

iiiii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

f

f

f

f

f

JJJJJ

JJJJJ

JJJJJ

JJJJJ

JJJJJ

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

5

4

3

2

11

5554535251

4544434241

3534333231

2524232221

1514131211

5

4

3

2

1

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

11

1

1

1

111 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

44

4

444

4

114 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

22

2

2

2

222 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

33

3

3

3

3

33 2 QKQ

Hb

Q

fJ

55

5

445 2 QK

Q

fJ


75

13

5

53

2

5

52

1

5

51

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

15

5

55

4

5

54

Q

fJ

Q

fJ

05

225

3

223

1

221

5

115

3

113

2

112

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

03

443

2

442

1

441

5

3

35

2

3

32

1

3

31

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ .



Las seis ecuaciones seleccionadas son (3.2.1.30), (3.2.1.33), (3.2.1.36),

(3.2.1.39), (3.2.1.40) y (3.2.1.45):

02

44

2

111111 QKQKHrHfHbf

02

44

2

221222 QKQKHrHfHbf

02

44

2

331333 QKQKHrHfHbf

02

55

2

44124 QKQKHrHrf

02

66

2

44135 QKQKHrHrf

06543216 QQQQQQf

i

i

i

i

i

i

iiiiii

iiiiii

iiiiii

iiiiii

iiiiii

iiiiii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

f

f

f

f

f

f

JJJJJJ

JJJJJJ

JJJJJJ

JJJJJJ

JJJJJJ

JJJJJJ

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

6

5

4

3

2

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1


76

11

1

1

1

111 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

44

4

5

54

4

444

4

3

34

4

224

4

114 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

22

2

2

2

222 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

33

3

3

3

3

33 2 QKQ

Hb

Q

fJ

55

5

445 2 QK

Q

fJ

66

6

5

56 2 QKQ

fJ

01

221

6

116

5

115

3

113

2

112

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

02

3

32

1

3

31

6

226

5

225

3

223

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

|03

443

2

442

1

441

6

3

36

5

3

35

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

05

5

55

3

5

53

2

5

52

1

5

51

6

446

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

13

6

63

2

6

62

1

6

61

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

16

6

66

5

6

65

4

6

64

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ .


77

Solución, Caso ll – subcaso 1. Esta red consiste en 2 nodos, 2 bombas, 2


Las cinco ecuaciones seleccionadas son (3.2.1.46), (3.2.1.49), (3.2.1.51), (3.2.1.52) y

(3.2.1.53):

02

55

2

33

2

111111 QKQKQKHrHfHbf

02

55

2

44

2


02

44

2

33213 QKQKHrHrf

05214 QQQf

05435 QQQf

i

i

i

i

i

iiiii

iiiii

iiiii

iiiii

iiiii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

f

f

f

f

f

JJJJJ

JJJJJ

JJJJJ

JJJJJ

JJJJJ

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

5

4

3

2

11

5554535251

4544434241

3534333231

2524232221

1514131211

5

4

3

2

1

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

(3.2.2.5)

11

1

1

1

111 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

33

3

113 2 QK

Q

fJ

55

5

225

5

115 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

22

2

2

2

222 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

44

4

334

4

224 2 QK

Q

fJ

Q

fJ


78

44

4

3

34

4

224 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

33

3

3

33 2 QKQ

fJ

14

5

54

3

5

53

2

442

1

441

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

15

5

55

5

445

Q

fJ

Q

fJ

02

332

1

331

3

223

1

221

4

114

2

112

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

02

552

1

551

4

444

3

443

5

335

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ .

Solución, Caso II – subcaso 2. Esta red consiste en 2 nodos, 3 bombas, 2


Las seis ecuaciones seleccionadas son (3.2.1.54), (3.2.1.57), (3.2.1.58),

(3.2.1.63), (3.2.1.64) y (3.2.1.65):

02

66

2

44

2


02

66

2

55

2


02

66

2

44

2


02

55

2

44214 QKQKHrHrf

063215 QQQQf

06546 QQQf


79

i

i

i

i

i

i

iiiiii

iiiiii

iiiiii

iiiiii

iiiiii

iiiiii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

f

f

f

f

f

f

JJJJJJ

JJJJJJ

JJJJJJ

JJJJJJ

JJJJJJ

JJJJJJ

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

6

5

4

3

2

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

11

1

111 *2 QK

Q

HbJ

44

4

3

34

4

114 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

66

6

3

36

6

226

6

116 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

22

2

222 2 QK

Q

HbJ

33

3

3

3

3

33 2 QKQ

Hb

Q

fJ

44

4

444 2 QK

Q

fJ

55

5

445

5

225 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

01

221

5

115

3

113

2

112

f

fJ

f

fJ

f

fJ

Q

fJ

02

3

32

1

3

31

4

224

3

223

f

fJ

f

fJ

f

fJ

Q

f


80

06

446

3

443

2

442

1

441

5

3

35

f

fJ

f

fJ

f

fJ

f

fJ

Q

fJ

03

6

63

2

6

62

1

6

61

5

5

55

4

5

54

f

fJ

f

fJ

f

fJ

f

fJ

Q

fJ

15

6

65

4

6

64

3

5

53

2

5

52

1

5

51

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

16

6

66

6

5

56

Q

fJ

Q

fJ .



Las siete ecuaciones seleccionadas son (3.2.1.66), (3.2.1.70), (3.2.1.74),

(3.2.1.78), (3.2.1.79), (3.2.1.81) y (3.2.1.82):

02

77

2

44

2


02

77

2

55

2


02

77

2

66

2


02

55

2

44214 QKQKHrHrf

02

66

2

44135 QKQKHrHrf

073216 QQQQf

076547 QQQQf


81

i

i

i

i

i

i

i

iiiiiii

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iiiiiii

iiiiiii

iiiiiii

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Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

7

6

5

4

3

2

11

77767574737271

67666564636261

57565554535251

47464544434241

37363534333231

27262524232221

17161514131211

7

6

5

4

3

2

1

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

11

1

1

1

111 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

44

4

114 2 QK

Q

fJ

77

7

337

7

227

7

117 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

22

2

2

2

222 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

55

5

445

5

225 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

33

3

3

3

333 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

66

6

556

6

226 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

44

4

554 2 QK

Q

fJ

44

4

224 2 QK

Q

fJ

16

776

5

775

4

774

3

663

2

662

1

661

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ


82

17

777

7

667

Q

fJ

Q

fJ

04

224

3

223

1

221

6

116

5

115

3

113

2

112

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

02

442

1

441

5

335

4

334

2

332

1

331

6

226

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

05

555

3

553

2

552

1

551

7

447

6

446

3

443

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

03

773

2

772

1

771

6

666

5

665

4

664

7

557

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ .


sistema de riego y 5 líneas de conducción.

Las cinco ecuaciones seleccionadas son (3.2.1.83), (3.2.1.84), (3.2.1.85),

(3.2.1.89) y (3.2.1.90):

02

55

2

44

2


02

55

2

44

2


02

44

2

331333 QKQKHrHfHbf

05214 QQQf

04535 QQQf


83

i

i

i

i

i

iiiii

iiiii

iiiii

iiiii

iiiii

i

i

i

i

i

i

i

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Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

5

4

3

2

11

5554535251

4544434241

3534333231

2524232221

1514131211

5

4

3

2

1

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

11

1

1

1

111 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

44

4

3

34

4

224

4

114 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

55

5

225

5

115 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

22

2

2

2

222 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

33

3

3

3

333 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

03

1

3

31

3

223

1

221

3

113

2

112

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

02

5

52

1

5

51

4

444

3

443

5

3

35

2

3

32

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

15

5

55

3

5

53

2

442

1

441

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

14

5

54

5

445

Q

fJ

Q

fJ .


84

Solución, Caso lll – subcaso 1. Esta red consiste en 3 nodos, 3 bombas, 2


Las siete ecuaciones seleccionadas son (3.2.1.95), (3.2.1.98), (3.2.1.99),

(3.2.1.100), (3.2.1.101), (3.2.1.102) y (3.2.1.103):

02

66

2

44

2


02

77

2

33

2

1131312 QKQKQKHfHfHbHbf

02

77

2

33

2


02

55

2

44214 QKQKHrHrf

07215 QQQf

06736 QQQf

06547 QQQf

i

i

i

i

i

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Q

Q

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Q

Q

Q

Q

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Q

Q

Q

Q

Q

7

6

5

4

3

2

11

77767574737271

67666564636261

57565554535251

47464544434241

37363534333231

27262524232221

17161514131211

7

6

5

4

3

2

1

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

33

3

3

3

113 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

44

4

114 2 QK

Q

fJ

66

6

116 2 QK

Q

fJ


85

11

1

1

1

221 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

33

3

333

3

223 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

77

7

337

7

227 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

22

2

2

2

332 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

44

4

444 2 QK

Q

fJ

55

5

445 2 QK

Q

fJ

15

775

4

774

7

667

3

663

2

552

1

551

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

16

776

6

666

7

557

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

04

224

2

222

7

117

5

115

2

112

1

111

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

06

336

5

335

4

334

1

331

6

226

5

225

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

03

553

7

447

6

446

3

443

2

442

1

441

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

04

664

2

662

1

661

6

556

5

555

4

554

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

07

777

3

773

2

772

1

771

5

665

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ .


86



Las ocho ecuaciones seleccionadas son (3.2.1.114), (3.2.1.116), (3.2.1.117),

(3.2.1.104), (3.2.1.111), (3.2.1.119), (3.2.1.120) y (3.2.1.121):

02

88

2

77

2

55

2

111111 QKQKQKQKHrHfHbf

02

77

2

66

2


02

88

2

44

2


02

88

2

44

2


02

88

2

44

2


083216 QQQQf

07847 QQQf

07658 QQQf

i

i

i

i

i

i

i

i

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Q

Q

Q

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Q

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Q

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Q

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Q

8

7

6

5

4

3

2

11

8887868584838281

7877767574737271

6867666564636261

5857565554535251

4847464544434241

3837363534333231

2827262524232221

1817161514131211

8

7

6

5

4

3

2

1

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

11

1

1

1

331

1

111 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

Q

fJ


87

55

5

115 2 QK

Q

fJ

77

7

227

7

117 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

88

8

558

8

448

8

338

8

118 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

66

6

226 2 QK

Q

fJ

44

4

4

4

224 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

44

4

4

4

554

4

444

4

334 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

22

2

2

2

442 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

33

3

3

3

553 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

16

886

5

585

8

778

4

774

3

663

2

662

1

661

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

17

887

7

777

8

668

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

02

222

1

221

6

116

4

114

3

113

2

112

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

05

335

3

333

2

332

8

228

5

225

3

223

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

06

446

5

445

3

443

1

441

7

337

6

336

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ


88

07

557

6

556

5

555

2

552

1

551

7

447

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

02

772

1

771

7

667

6

666

5

665

4

664

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

03

883

2

882

1

881

6

776

5

775

3

773

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

08

888

4

884

Q

fJ

Q

fJ .



Las nueve ecuaciones seleccionadas son (3.2.1.136), (3.2.1.138), (3.2.1.139),

(3.2.1.131), (3.2.1.132), (3.2.1.133), (3.2.1.143), (3.2.1.144) y (3.2.1.145):

02

88

2

55

2


02

88

2

66

2


02

88

2

77

2


02

99

2

44

2


02

99

2

44

2


02

99

2

44

2


093217 QQQQf

08948 QQQf

087659 QQQQf


89

i

i

i

i

i

i

i

i

i

iiiiiiiii

iiiiiiiii

iiiiiiiii

iiiiiiiii

iiiiiiiii

iiiiiiiii

iiiiiiiii

iiiiiiiii

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Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

9

8

7

6

5

4

3

2

11

999897969594939291

898887868584838281

797877767574737271

696867666564636261

595857565554535251

494847464544434241

393837363534333231

292827262524232221

191817161514131211

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

9

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

44

4

4

4

334

4

224

4

114 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

55

5

115 2 QK

Q

fJ

88

8

338

8

228

8

118 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

11

1

1

1

441 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

66

6

226 2 QK

Q

fJ

77

7

337 2 QK

Q

fJ

44

4

444 2 QK

Q

fJ

99

9

669

9

559

9

449 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

22

2

2

2

552 2 QK

Q

Hb

Q

fJ


90

11

1

1

4

664

4

554 2. QK

Q

Hb

Q

fJ

Q

fJ

33

3

3

3

663 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

18

998

8

888

9

779

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

17

997

6

996

5

995

9

889

4

884

3

773

2

772

1

771

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

02

222

1

221

9

119

7

117

6

116

3

113

2

112

1

111

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

05

3

35

3

3

33

2

3

32

1

3

31

9

229

7

227

6

226

3

223

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

08

448

7

447

6

446

5

445

5

443

2

442

9

339

6

336

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

02

662

1

661

8

558

7

557

6

556

5

555

3

553

1

551

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

07

777

6

776

5

775

4

774

8

668

7

667

6

666

5

665

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

01

991

7

887

6

886

5

885

3

883

2

882

1

881

8

778

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

09

999

4

994

3

993

2

992

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

.


91

Solución, Caso lV – caso único. Esta red consiste en 4 nodos, 4 bombas, 3


Las diez ecuaciones seleccionadas son (3.2.1.154), (3.2.1.158), (3.2.1.160),

(3.2.1.163), (3.2.1.172), (3.2.1.174), (3.2.1.175), (3.2.1.176), (3.2.1.177) y (3.2.1.178):

02

1010

2

99

2

88

2

55

2

111111 QKQKQKQKQKHrHfHbf

02

1010

2

99

2

88

2

66

2

222222 QKQKQKQKQKHrHfHbf

02

99

2

88

2

55

2

331333 QKQKQKQKHrHfHbf

02

88

2

55

2


02

66

2

55215 QKQKHrHrf

02

77

2

66326 QKQKHrHrf

010217 QQQf

091038 QQQf

08949 QQQf

0765810 QQQQf


92

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

ii

ii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

JJ

JJ

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

JJJJJJJJJJ

JJJJJJJJJJ

JJJJJJJJJJ

JJJJJJJJJJ

JJJJJJJJJJ

JJJJJJJJJJ

JJJJJJJJJJ

JJJJJJJJJJ

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

10

9

8

7

6

5

4

3

2

11

1010910

10999

810

98

710

97

610

96

510

95

410

94

310

93

210

92

110

91

108898887868584838281

107797877767574737271

106696867666564636261

105595857565554535251

104494847464544434241

103393837363534333231

102292827262524232221

101191817161514131211

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

10

1

9

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

(3.2.2.6)

11

1

1

1

111 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

55

5

445

5

335

5

115 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

88

8

448

8

338

8

228

8

118 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

99

9

339

9

229

9

119 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

1010

10

2102

10

1101 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

22

2

2

2

222 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

66

6

556

6

226 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

33

3

3

3

333 2 QK

Q

Hb

Q

fJ


93

44

4

4

4

444 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

55

5

555 2 QK

Q

fJ

66

6

666 2 QK

Q

fJ

77

7

667 2 QK

Q

fJ

18

10810

9

999

4

994

10

8108

3

883

2

772

1

771

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

17

10710

6

10610

5

10510

8

998

9

889

10

7107

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

04

224

3

223

1

221

7

117

6

116

4

114

3

113

2

112

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

010

3103

7

337

6

336

4

334

2

332

1

331

7

227

5

225

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

01

551

10

4104

9

449

7

447

6

446

3

443

2

442

1

441

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

01

661

10

5105

9

559

8

558

7

557

4

554

3

553

2

552

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

03

773

10

6106

9

669

8

668

5

665

4

664

3

663

2

662

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

02

8

82

1

8

81

9

7

79

8

7

78

7

7

77

6

7

76

5

7

75

4

7

74

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ


94

03

9

93

2

9

92

1

9

91

8

8

88

7

8

87

6

8

86

5

8

85

4

8

84

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

04

10410

3

10310

2

10210

1

10110

10

9109

7

997

6

996

5

995

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

010

101010

9

10910

Q

fJ

Q

fJ

3.3. Algoritmo del programa computacional

Se presenta el algoritmo del programa computacional realizado en MATLAB,

versión 7.12.0.635 (R2011a), MathWorks para la solución de interconexión de

bombas emplazadas arbitrariamente en redes abiertas que alimentan a sistemas de

riego agrícolas.

Un algoritmo de un programa computacional describe en palabras los pasos y

operaciones que tiene que efectuar una computadora para lograr un objetivo, que en

este caso será determinar la distribución de caudales en la red.

Los algoritmos deben describir datos de entrada o la manera de alimentar el

programa, las operaciones pertinentes que debe efectuar la computadora y los datos

de salidas que son las respuestas que deseamos recibir.

Se desarrolló un programa computacional para cada subcaso de cada caso.

1. Datos de entrada, se harán en forma matricial.

a) Características de las tuberías:

En cada línea de conducción que conforma la red se deben introducir al

programa, las longitudes, diámetros, rugosidades absolutas según el tipo

de material.


95

El valor de los coeficientes de los accesorios que tienen pérdidas de carga

significativas en cada línea de conducción.

b) Establecer el nivel de referencia e introducir al programa las elevaciones de:

Las superficies libres de las fuentes de abastecimientos.

Las salidas de las bombas (en el caso de un pozo profundo, es a la salida

del pozo).

Los nodos.

Las entradas a los sistemas de riego.

c) La carga de operación de cada sistema de riego.

d) Suponer un caudal en cada línea de conducción.

e) Ecuación de la curva característica de cada bomba (centrífugas tipo voluta y/o

sumergibles). Elegir tres puntos de la curva características de cada bomba

(carga vs caudal) para obtener su ecuación, introduciendo tres caudales por

bomba en una matriz, y sus respectivas cargas en otra matriz.

2. Constantes del programa.

3. Cálculos que efectúa el programa.

a) Determinación de las características hidráulicas en cada línea de conducción.

Rugosidades relativas.

b) Determinación de las características del flujo en cada línea de conducción.

Velocidades.

Número de Reynolds.


96

Coeficiente f de Darcy-Weisbach (esta operación se realiza llamando a

otro programa con el nombre de Colebrook el cual lo efectúa de manera

iterativa).

i. Ecuación de Hagen-Poiseville. Para régimen laminar.

ii. Ecuación de Colebrook-White. Para régimen turbulento.

c) Coeficientes CyBA, de la ecuación (3.1.8) de la curva característica de cada

bomba (carga vs caudal). Son tres ecuaciones lineales que se resuelven

matricialmente por cada bomba para valorar estos coeficientes (MATLAB

utiliza el polyfit).

d) Carga de cada bomba Hb, con la ecuación de la curva característica de las

bombas (está en función del caudal tomando en cuenta la ecuación (3.1.8)).

e) Valor de cada una de las ecuaciones generalizadas obtenidas del modelo

matemático. El número de estas ecuaciones es función del número de líneas

de la red.

f) Obtiene los elementos de la inversa de la matriz jacobiana ( 1J ).

g) Con los caudales propuestos en la entrada de datos, por medio de la ecuación

(2.6.1.4), se obtienen los nuevos caudales de manera iterativa ( i ), hasta

obtener los caudales que deben distribuirse en toda la red, tal como se

presenta a continuación.

i

n

i

i

nm

i

n

i

m

i

i

n

i

i

n

i

F

F

JJ

JJ

Q

Q

Q

Q

1

1

1

1111

1

1

1

h) Cargas piezométricas en las salidas de las bombas y en los nodos de la red.

i) Carga dinámica total de cada bomba.


97

4. Datos de salida.

a) Distribución de caudales en la red.

b) Distribución de cargas en la red.

3.4. Ejemplo

Se resolverá el caso II subcaso 1, con el ejemplo siguiente: un pivote central y

un sistema de riego por aspersión semi-portátil de 49.93 y 40 has, respectivamente,

son irrigados por una bomba centrífuga horizontal tipo voluta (BERKELEY, modelo

B5EPBM de 75 hp y el diámetro del impulsor es de pulgadas, con 3600 rpm) y

otra bomba de pozo profundo sumergible (GRUNDFOS 600S15009DS de 150 hp

con 3500 rpm). El sistema se ilustra en la Figura 3.4.1, y los datos del proyecto del

sistema de conducción se muestran en el cuadro 3.4.1. Al pivote central se le

suministrará un caudal aproximado de 50.0 lps, con una carga de operación de 28.12

m de columna de agua, y al sistema semi-portátil un gasto de 40 lps, con una carga

de operación de 31.64 m de columna de agua. La solución que se plantea es la

siguiente: el nivel de referencia se ubica en superficie del nivel dinámico del pozo

profundo. Las presiones en el nivel dinámico del pozo y en la superficie libre del agua

almacenada en el depósito son iguales a la presión atmosférica, por lo que al operar

con presiones relativas en las fuentes de abastecimiento se consideran iguales a

cero. El nivel dinámico se encuentra a una profundidad de 159.94 m.

En el apéndice 7.7 se presenta la solución de un ejemplo del caso IV.


98

Figura 3.4.1. Caso II subcaso 1. Sistema de conducción de la red abierta.

Cuadro 3.4.1. Datos de la tubería.

TRAMO I

MATERIAL DIÁMETRO NOMINAL (pulgadas)

DIÁMETRO INTERIOR

(mm)

LONGITUD (m)

1CB ACERO, CÉDULA 40 6 154.05 275.50

1d PVC, RD 41 6 160.10 300.00

2s ACERO, CÉDULA 40 10 254.51 4.00 2d PVC, RD 41 8 208.50 1600.00

3 PVC, RD 41 8 208.50 1730.00

4 PVC, RD 41 8 208.50 670.00

5 PVC, CLASE 7 10 237.80 195.00


99

Figura 3.4.2. Curva característica de la bomba sumergible Grundfos, modelo 600S.

(Groundwater Catalog, 1993).

Cuadro 3.4.2. Datos de curva característica de la bomba Grundfos (bomba 1).

HB1

(pies) Q1

(GPM) HB1 (m)

Q1 (m3/s)

733.00 500.00 223.42 0.03154

675.00 600.00 205.74 0.03785

594.00 700.00 181.05 0.04416


100

Al tomar tres puntos de la curva señalada en la figura 3.6.2, (Cuadro 3.6.2) se

obtiene la ecuación de la curva característica de la bomba GRUNDFOS, modelo

600S1500-9DS de 150 hp, de 3600 rpm:

703.20648.330670.88029 1

2

11 QQH B (3.4.1)

Figura 3.4.3. Curva característica de la bomba centrífuga Berkeley, modelo B5EPBM

(Berkeley pumps catalog, 1990).


101

Cuadro 3.4.3. Datos de curva característica de la bomba Berkeley (bomba 2).

HB2

(pies) Q2

(GPM) HB2 (m)

Q2 (m3/s)

250.00 600.00 76.20 0.03785

230.00 900.00 70.10 0.05678

185.00 1200.00 56.39 0.07571

Igualmente, al tomar tres puntos de la curva característica de la bomba

centrífuga (Cuadro 3.4.3), modelo E5EPBM de diámetro del impulsor de de

pulgada, de 75 hp, se obtiene la ecuación siguiente:

5768.65566.68230.10618 2

2

22 QQH B (3.4.2)

las derivadas parciales de las ecuaciones (3.4.1) y (3.4.2), con respecto a sus gastos

son:

.

La entrada de datos debe de ser de manera matricial, para que el programa

pueda identificarlos, mediante su renglón y columna.

Z, vector de alturas medidas desde el nivel de referencia, en metros.

Zf, vector de las alturas de las fuentes de abastecimiento.

Zf(1) y Zf(2); niveles de las fuentes de abastecimiento de las bombas 1 y 2,

respectivamente.

Zr(1) y Zr(2); niveles a la entrada de los sistemas de riego 1 y 2,

respectivamente.

Zn(1) y Zn(2); niveles de los nodos 1 y 2, respectivamente.

Zsb(1) y Zsb(2); niveles a la salida del agua en las bombas 1 y 2,

respectivamente. En bombas sumergibles es a la salida del pozo.

Por lo tanto los valores de los datos de entrada son los siguientes:


102

Zf, matriz de 1x2; Zf(1) = 0.0; Zf(2) = 166.94;

Zf = [0.0, 166.94].

Zr, matriz de 1x2; Zr(1) = 172.94; Zr(2) =179.94;

Zr = [172.94, 179.94].

Zn, matriz de 1x2; Zn(1) = 168.44; Zn(2) = 169.94;

Zn = [168.44, 169.94].

Zsb, matriz de 1x2; Zsb(1) = 160.44; Zsb(2) = 169.94;

Zsb = [160.44, 164.94].

Qb; matriz de gastos de las curvas características de las bombas en litros por

segundo. Matriz de 2x3. El primer renglón 3 caudales de la bomba 1; segundo

renglón 3 caudales de la bomba 2.

Qb = [31.64, 37.85, 44.16; 37.85, 56.78, 75.71].

Hb; matriz de cargas de las curvas características de las bombas en metros.

Matriz de 2x3. El primer renglón 3 cargas de la bomba 1; segundo renglón 3 cargas

de la bomba 2.

Hb = [223.42, 205.74, 181.05; 76.20, 70.10, 56.39].

L; matriz de 5x2 de longitudes de cada línea de conducción en metros. Matriz

de 5x2.

L = [275.50, 300.0; 4.0, 1600.0; 850.0, 880.0; 390.0, 280.0; 100.0, 95.0]

D; matriz de diámetros interiores en milímetros. Matriz de 5x2.

D = [154.05, 160.10; 254.51, 208.50; 208.50, 208.50; 208.50, 208.50; 237.80,

237.80].

k; vector de los coeficientes de pérdidas de carga locales, por tramo de cada

línea de conducción.


103

k11; tramo de succión o columna de bombeo en la línea 1.

k12; tramo de descarga en la línea 1.



k31; primer tramo de la línea 3.

k32; segundo tramo de la línea 3.

k41; primer tramo la línea 4.




Los valores de los coeficientes de pérdidas de carga locales, por tramo de

cada línea de conducción son (apéndice 7.3):

k11 = [12.50, 0.16, 0.80, 4.0, 0.39, 0.20, 0.20]

k12 = [0.61, 0.40]

k21 = [0.78, 0.39, 0.07]

k22 = [0.08, 4.0, 0.39, 0.2, 0.2, 0.16]

k31 = [0.40, 0.18]

k32 = [0.2, 0.39, 1.80]

k41 = [1.80, 0.18]

k42 = [0.8, 0.8, 0.39]

k51 = [0.0]

k52 = [0.0]


104

RA; matriz de 5x2 de rugosidades absolutas en milímetros. Primer subíndice,

número de línea (renglón). Segundo subíndice, número de tramo en la línea

(columna).

RA = [0.1500, 0.0015; 0.1500, 0.0015; 0.0015, 0.0015; 0.0015, 0.0015; 0.0015,

0.0015].

a; si a = 1 es bomba sumergible; si a es diferente de 1 es voluta, en bomba 1:

a = 1

b; si b = 1 es bomba sumergible; si b es diferente de 1 es voluta, en bomba 2:

b = 5.

Cargas de operación en metros de columna de agua, del sistema de riego

semi portátil y el pivote central son:

HPr(1); carga de operación del sistema de riego 1:

HPr(1) = 31.64

HPr(2); carga de operación de todo el sistema de riego 2:

HPr(2) = 28.12

su matriz de 1x2 es:

HPr = [31.64, 28.12].

q; vector de gastos supuestos en cada línea, en litros por segundo [q1, q2, q3,

q4, q5]. Matriz de 1x5. Los valores supuestos son:

q = [40, 40, 40, 40, 40].

Las cinco ecuaciones a solucionar son las siguientes:

02

55

2

33

2


02

55

2

44

2



105

02

44

2

33213 QKQKHrHrf

05214 QQQf

05435 QQQf .

Los elementos de la matriz Jacobiana son las derivadas parciales de las cinco ecuaciones anteriores con respecto al caudal de cada conducto que conforma la red, por lo tanto, los elementos no nulos, son:

11

1

1

1

111 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

33

3

113 2 QK

Q

fJ

55

5

225

5

115 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

22

2

2

2

222 2 QK

Q

Hb

Q

fJ

44

4

3

34

4

224 2 QK

Q

fJ

Q

fJ

33

3

333 2 QK

Q

fJ

14

554

3

553

2

442

1

441

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

Q

fJ

15

555

5

445

Q

fJ

Q

fJ .

Con estos valores se resuelve iterativamente la ecuación que sigue, iniciando con cualquier valor en los caudales (litros por segundo):

para 1i : 4054321 iiiii QQQQQ

i

i

i

i

i

iii

iii

ii

iii

iii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

f

f

f

f

f

JJJ

JJJ

JJ

JJJ

JJJ

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

5

4

3

2

11

555453

454241

3433

252422

151311

5

4

3

2

1

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

00

00

000

00

00


106

Cuadro 3.4.4. Caudales de la red en litros por segundo.

Caudal i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5 i = 6

Q1 40.0 31.96 30.23 30.10 30.10 30.10

Q2 40.0 68.98 62.07 61.19 61.13 61.13

Q3 40.0 43.19 40.71 40.46 40.45 40.45

Q4 40.0 57.75 51.59 50.83 50.79 50.79

Q5 40.0 100.94 92.30 91.29 91.23 91.23

La última columna (i = 6) del cuadro 3.4.4, proporciona la distribución de caudales de la red abierta en lps. Por lo tanto, la bomba sumergible suministra un gasto de 30.10 lps y la bomba centrífuga provee un caudal de 61.13 lps. El pivote central recibe un caudal de 50.79 lps con la carga que requiere de 28.12 m (40 psi). El sistema de riego por aspersión semi–portátil obtiene un caudal de 40.45 con su carga de operación de 31.64 m (45 psi). El caudal de la línea de conducción 5 que se encuentra entre los dos nodos tiene un caudal de 91.23 lps. Las cargas dinámicas totales en metros de las bombas 1 y 2, se determinan con las ecuaciones de las gráficas de las curvas características de las bombas (3.4.1 y 3.4.2): HB(1) = 226.80 m HB(2) = 67.22 m cargas medidas a partir del nivel referencial o simplemente cargas son: Hr(1) = 204.58 m Hr(2)= 208.6 m cargas de los nodos 1 y 2 son: Hn(1) = 212.61m Hn(2) = 210.26 m cargas piezométricas en metros de los nodos 1 y 2, se obtienen restando el nivel del nodo 1 a Hn(1) y del nodo (2) a Hn(2): HPn(1) = 44.17 m HPn(2) = 40.32 m cargas a las salidas de las bombas son: Hsb(1) = 215.94 m Hsb(2) = 242.86 m cargas piezométricas a las salidas de las bombas, se obtienen restando sus niveles, a las cargas de las bombas: HPsb(1) = 55.51 m HPsb(2) = 77.92 m. las velocidades en las líneas de conducción en metros por segundo. línea 1: v(1, 1) = vCB = 1.61 (tramo 1) v(1, 2) = vd = 1.50 (tramo 2) línea 2: v(2, 1) = vs = 1.20 (tramo 1)


107

v(2, 2) = vd = 1.79 (tramo 2) línea 3: v(3) = 1.18 línea 4: v(4) = 1.49 línea 5: v(5) = 2.05 coeficientes de fricción hidráulica de la ecuación de Darcy-Weisbach, en las líneas de conducción (adimensionales). línea 1: f(1, 1) = fCB = 0.0207 (tramo 1) f(1, 2) = fd = 0.0152 (tramo 2) línea 2: f(2, 1) = fs = 0.0187 (tramo 1) f(2, 2) = fd = 0.0140 (tramo 2) línea 3: f(3) = 0.0151 línea 4: f(4) = 0.0145 línea 5: f(5) = 0.0133 . 3.5. Prototipo para la validación del modelo matemático.

Se construyó un prototipo para validar el modelo matemático, localizándose en

un predio ubicado en el Municipio de Arteaga, Estado de Coahuila, México cuyas

coordenadas geográficas son: 25° 27’ 13” de latitud Norte y 100° 52’ 15” de longitud

Oeste, con una altitud de 1649 metros sobre el nivel del mar.

3.5.1. Características del prototipo

El prototipo pertenece al Caso II Subcaso 1 (Figura 3.5.1.1); cuenta con dos

bombas sumergibles: la bomba que se etiquetó como bomba 1 es marca Franklin

modelo FPS 4400 de 2.0 hp, su curva característica se ilustra en la figura 3.5.2.1 de

este apartado, mientras que la bomba 2 es marca Sistemas Altamira modelo KOR2

R10-7 de 1 hp se puede ubicar en la figura 3.5.2.2. El prototipo consta de 2 nodos y 5

líneas de conducción, dos líneas con bombas, dos líneas que simulan alimentar los

sistemas de riego y una línea entre nodos, para seleccionar el conjunto de

ecuaciones que resuelvan la red del prototipo. Las características físicas del prototipo

se ilustran en el cuadro 3.5.1.1.


108

Figura 3.5.1.1. Prototipo (Caso II subcaso 1).

Cuadro 3.5.1.1. Datos de la red.

I Material D nominal (pulgadas)

D (mm)

L (m)

1CB PVC 1 ½ 40.5 1.25

1d PVC 1 ½ 40.5 44.75

2CB PVC 1 26.6 3.84

2d PVC 1 26.6 15.17

3 PVC 1 ½ 40.5 35.93

4 PVC ¾ 20.9 35.39

5 PVC 2 52.5 23.50


109

3.5.2. Las bombas y operación del prototipo

Aforo de los caudales:

Se verificó que los gastos aforados, por los medidores volumétricos de

engranes correspondieron a los gastos aforados volumétricamente:

Los gastos de entrada fueron aforados por medidores volumétricos de

engranes.

Los gastos de salida fueron aforados con un recipiente de 80 litros y un

cronómetro.

Las presiones fueron medidas con un manómetro de Bourdon, que fue

calibrado con manómetro de mercurio.

En el prototipo se probaron tres tratamientos, con tres repeticiones, donde

cada tratamiento consistió:

1. 35 psi en las salidas de las líneas 3 y 4.

2. 50 psi en las salidas de las líneas 3 y 4.

3. 55 y 44.8 psi en las salidas de las líneas 3 y 4 respectivamente.


110

Figura 3.5.2.1. Curva característica de la bomba sumergible Franklin: bomba 1 (Franklin Electric MJ2157, 2008).


111

Figura 3.5.2.2. Curva característica de la bomba sumergible Altamira, serie KOR:

bomba 2 (Jimaja de México, 2010).



112

Cuadro 3.5.2.1. Datos de la curva característica de la bomba sumergible Franklin

(bomba 1).

HB1

(pies) Q1

(GPM) HB1 (m)

Q1 (m3/s)

170.01 15.00 51.82 0.00095

162.01 20.00 49.38 0.00126

154.99 25.00 47.24 0.00158

Al tomar tres puntos de la curva señalada en la Figura 3.7.2, (Cuadro 3.7.2), se

obtiene la ecuación de la curva característica de la bomba 1, modelo FPS 4400

Franklin de 2 hp:

546.61497.12022225.1878520 1

2

11 QQH B (3.7.2.1)

Cuadro 3.5.2.2. Datos de curva característica de la bomba sumergible Altamira, serie

KOR (bomba 2).

HB2

(pies) Q2

(GPM) HB2 (m)

Q2 (m3/s)

190.29 13.16 58.00 0.00083

187.01 15.85 57.00 0.00100

173.88 18.54 53.00 0.00117

Igualmente, al tomar tres puntos de la curva característica de la bomba sumergible

en la Figura 3.7.3 (Cuadro 3.7.3), Altamira, serie KOR, de 3/4 hp con 3450 rpm, se

obtiene la ecuación siguiente:

803.19346.8910030.51903114 2

2

22 QQH B (3.7.2.2)

las derivadas parciales de las ecuaciones (3.7.2.1) y (3.7.2.2), con respecto a sus

gastos son:

497.1202245.3757040 1

1

1

Q

Q

H B

346.89100374.103806228 2

2

2

Q

Q

HB






113

Las 5 ecuaciones seleccionadas del modelo del caso II, subcaso 1 son las

siguientes: (3.3.46), (3.3.59), (3.3.51), (3.3.52) y (3.3.53).

k; vector de los coeficientes de pérdidas de carga locales, por tramo de cada


k11 = [0.18, 2.20, 0.80, 10.00]

k12 = [0.40, 0.40, 0.40, 0.16]

k21 = [0.18, 2.20, 0.80, 10.0]

k22 = [0.16, 0.57]

k31 = [1.0, 0.18]

k32 = [0.80]

k41 = [0.30, 0.40]

k42 = [0.0]

k51 = [0.0]

k52 = [0.0].

Para todos los tratamientos:

Zr (1) = 1.40 m

Zr (2) = 0.0 m

Tratamiento 1 (35 psi, equivale a 24.61m de columna de agua, en cada una de

las salidas de las líneas 3 y 4).

HPr (1) = 24.61 m (carga piezométrica)


Hr (1) y Hr (2) cargas medidas a partir del nivel de referencia:

)1()1()1( rHPZrHr


114

)2()2()2( rHPZrHr

Hr (1) = 26.01 m

Hr (2) = 24.61 m.

Repetición 1:

Zf (1) = 2.36 m

Zf (2) = 1.54 m

Repetición 2:

Zf (1) = 2.34 m

Zf (2) = 1.53 m

Repetición 3:

Zf (1) = 2.31 m

Zf (2) = 1.52 m

Tratamiento 2 (50 psi, equivale a 45.77m de columna de agua, en cada una de

las salidas de las líneas 3 y 4).



Hr (1) = 47.17 m

Hr (2) = 45.77 m.

Repetición 1:

Zf (1) = 2.80 m

Zf (2) = 1.35 m

Repetición 2:

Zf (1) = 2.32 m


115

Zf (2) = 1.28 m

Repetición 3:

Zf (1) = 2.30 m

Zf (2) = 1.33 m

Tratamiento 3 (55 y 44.8 psi, equivale a 38.67m y 31.50m de columna de

agua, en cada una de las salidas de las líneas 3 y 4 respectivamente).



Hr (1) = 40.07 m

Hr (2) = 31.50 m.

Repetición 1:

Zf (1) = 2.33 m

Zf (2) = 1.28 m

Repetición 2:

Zf (1) = 2.22 m

Zf (2) = 1.29 m

Repetición 3:

Zf (1) = 2.16 m

Zf (2) = 1.26 m


116

4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

4.1. Resultados del prototipo y del modelo matemático

Los resultados de los tratamientos de las mediciones realizadas en el prototipo

(caso II subcaso 1), se compararon con los resultados del modelo matemático, los

cuales se muestran en los cuadros 4.1.1, 4.1.2 y 4.1.3. En ellos se muestra que los

valores obtenidos en el prototipo tuvieron una gran similitud a los valores del modelo,

a pesar de los diferentes tratamientos.

Cuadro 4.1.1. Tratamiento 1. Comparación de los caudales medidos del prototipo contra los estimados por el modelo matemático aplicado, considerando presiones a la salida de 35 psi en los manómetros de las líneas 3 y 4.

CAUDAL PROTOTIPO* MODELO RESIDUO

(lps) (lps) (lps)

3.10 2.99 0.11

Q1 3.06 2.99 0.07

3.02

2.99 0.03

1.46 1.4 0.06

Q2 1.55 1.4 0.15

1.42

1.4 0.02

3.62 3.66 -0.04

Q3 3.64 3.66 -0.02

3.67

3.66 0.01

0.71 0.73 -0.02

Q4 0.73 0.73 0

0.77

0.73 0.04

4.48 4.39 0.09

Q5 4.49 4.39 0.1

4.46 4.39 0.07


117

Cuadro 4.1.2. Tratamiento 2. Comparación de los caudales medidos del prototipo contra los estimados por el modelo matemático, considerando presiones a la salida de 65.1 psi en los manómetros de las líneas 3 y 4.

PROTOTIPO* MODELO RESIDUO

(lps) (lps) (lps)

1.26 1.28 -0.02

Q1 1.20 1.24 -0.04

1.20

1.24 -0.04

0.99 1.11 -0.12

Q2 1.08 1.12 -0.04

1.06

1.11 -0.05

1.80 1.94 -0.14

Q3 1.74 1.91 -0.17

1.77

1.91 -0.14

0.41 0.45 -0.04

Q4 0.43 0.45 -0.02

0.42

0.45 -0.03

2.30 2.39 -0.09

Q5 2.24 2.36 -0.12

2.22 2.35 -0.13

Cuadro 4.1.3. Tratamiento 3. Comparación de los caudales medidos del prototipo contra los estimados por el modelo matemático, considerando presiones a la salida de 55 y 44.8 psi en los manómetros de las líneas 3 y 4, respectivamente.

PROTOTIPO* MODELO RESIDUO

(lps) (lps) (lps)

1.75 1.86 -0.11

Q1 1.77 1.85 -0.08

1.79

1.85 -0.06

1.27 1.25 0.02

Q2 1.26 1.25 0.01

1.28

1.25 0.03

2.14 2.25 -0.11

Q3 2.16 2.24 -0.08

2.14

2.24 -0.1

0.86 0.85 0.01

Q4 0.89 0.86 0.03

0.87

0.86 0.01

2.96 3.11 -0.15

Q5 3.18 3.1 0.08

3.20 3.1 0.1


118

4.2. Prueba de Ji cuadrada ( 2)

Se efectuó una prueba de Ji cuadrada con los datos de los caudales medidos

y los estimados por el modelo, aplicando la fórmula siguiente:

n

i i

ii

CalcuadaE

EO

1

2

2

donde:

2

Calculada = Ji cuadrada.

Oi = Datos observados

Ei = Datos esperados

Cuadro 4.2.1. Prueba de Ji cuadrada realizada a los tres tratamientos.

PROTOTIPO MODELO RESIDUO JI CUADRADA

(lps) (lps) (lps) 2

3.10 2.99 0.11 0.00405

3.06 2.99 0.07 0.00164

3.02 2.99 0.03 0.0003

1.46 1.4 0.06 0.00257

1.55 1.4 0.15 0.01607

1.42 1.4 0.02 0.00029

3.62 3.66 -0.04 0.00044

3.64 3.66 -0.02 0.00011

3.67 3.66 0.01 0.00003

0.71 0.73 -0.02 0.00055

0.73 0.73 0 0

0.77 0.73 0.04 0.00219

4.48 4.39 0.09 0.00185

4.49 4.39 0.1 0.00228

4.46 4.39 0.07 0.00112


119

1.26 1.28 -0.02 0.00031

1.20 1.24 -0.04 0.00129

1.20 1.24 -0.04 0.00129

0.99 1.11 -0.12 0.01297

1.08 1.12 -0.04 0.00143

1.06 1.11 -0.05 0.00225

1.80 1.94 -0.14 0.0101

1.74 1.91 -0.17 0.01513

1.77 1.91 -0.14 0.01026

0.41 0.45 -0.04 0.00356

0.43 0.45 -0.02 0.00089

0.42 0.45 -0.03 0.002

2.30 2.39 -0.09 0.00339

2.24 2.36 -0.12 0.0061

2.22 2.35 -0.13 0.00719

1.75 1.86 -0.11 0.00651

1.77 1.85 -0.08 0.00346

1.79 1.85 -0.06 0.00195

1.27 1.25 0.02 0.00032

1.26 1.25 0.01 0.00008

1.28 1.25 0.03 0.00072

2.14 2.25 -0.11 0.00538

2.16 2.24 -0.08 0.00286

2.14 2.24 -0.1 0.00446

0.86 0.85 0.01 0.00012

0.89 0.86 0.03 0.00105

0.87 0.86 0.01 0.00012

2.96 3.11 -0.15 0.00723

3.18 3.1 0.08 0.00206

3.20 3.1 0.1 0.00323

SUMATORIA 0.15117

Ji cuadrada calculada y de tablas, con 44 grados de libertad:

48.601511728.0 22

44

GLTablaCalculada

Por tanto no se rechaza H0 con un nivel de significancia 05.0


120

Las características tan sobresalientes del lenguaje de programación MATLAB,

permitió determinar las curvas características de las bombas de carga versus

descarga, y resolver el procedimiento matricial usando instrucciones propias de

MATLAB.

El método iterativo de aproximaciones sucesivas de Newton-Raphson, cuando

se aplica a una sola ecuación no lineal, converge a la solución tanto más rápido

como buena sea la primera aproximación. Puede converger a una raíz no deseada, o

incluso divergir y hasta llegar a un proceso donde una iteración es igual a otra

anterior formando un sinfín de ciclos. Lo anterior es característico del método de

Newton Raphson. Por ello, resulta sorprendente que en la generalización de las

ecuaciones hidráulicas que aquí se plantean, el proceso converja a la solución, y lo

que es más notable: converge rápidamente en apenas seis iteraciones y para este

caso no se ha obtenido alguna divergencia.

Optativamente, una vez determinados los caudales con el proceso iterativo

anterior, se calcula la distribución de presiones en la red.

Tomando en cuenta solamente el aspecto matemático, cuando los caudales

son muy pequeños comparado con los diámetros de la tubería que conforma la red,

el modelo produce otro resultado con gastos positivos y negativos, lo que significa

que los caudales negativos se les debe cambiar de sentido, dando una incongruencia

ya que para este caso los sistemas de riego alimentarían a las bombas.


121

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

El modelo matemático desarrollado es determinístico y emplea información

heurística y empírica fundamentada en las ecuaciones de la energía del flujo de

agua, que toma en cuenta sus pérdidas en la red, y también se basa en la ecuación

de continuidad. Es un modelo conceptual que reproduce mediante fórmulas y

algoritmos matemáticos los procesos físicos del estudio, con una representación

numérica referida a diferentes aspectos lógicos estructurados de la ciencia físico-

matemática, cuyos resultados numéricos son obtenidos mediante la codificación en

el lenguaje computacional MATLAB para Windows, versión 7.12.0.635 (R2011a), The

MathWorks, Inc.

En forma sistemática se han desarrollado las ecuaciones que rigen el

comportamiento hidráulico en estado estacionario, de redes abiertas por las que

circula un fluido incompresible en régimen turbulento. Con este antecedente se

establecen las expresiones hidráulicas requeridas, al utilizar la información topológica

de la red, y la conformación de las matrices necesarias para solucionar cada caso,

por lo que su aplicación plantea la resolución del sistema de ecuaciones no lineales y

lineales que rigen el equilibrio de energía y masa dentro de la red. Dicha formulación

considera la inclusión de cualquier tipo de las bombas dinámicas más usadas en la

agricultura.

Usando el programa de MATLAB para Windows, con el modelo matemático

presentado en este trabajo, cada análisis de la red puede efectuarse fácil y

rápidamente para la toma de decisiones, permitiendo la obtención de un diseño


122

razonablemente eficiente, luego de probar una serie de opciones alternativas con el

programa, como sería la evaluación de:

La distribución de caudales en la red y la entrega de caudales en los sistemas

de riego.

La distribución de presiones en los nodos, tomando en cuenta la presión al

inicio de los sistemas de riego.

Las pérdidas de carga de las líneas que conforman la red.

Las eficiencias con que funcionan las bombas.

La selección del RD (relación de diámetros estandarizados) cuando se trata

de tuberías de PVC.

La disposición física y topográfica de la red.

De esta evaluación se podrá detectar:

Déficit o excesos de caudales que se suministran a los sistemas de riego.

Déficit o excesos de caudales en las líneas de la red.

Déficit o excesos de presiones en la red.

Velocidades irrazonablemente bajas o altas en las líneas de la red.

Tuberías cuyos diámetros son insuficientes o están excedidos.

Bombas que operan fuera de su rango permisible.

Bombas funcionando con baja eficiencia.

Bombas con caudales estrangulados.

Finalmente, la persona que maneje el programa tendrá la facilidad de:

Seleccionar las bombas más apropiadas.


123

Seleccionar los diámetros de los conductos más adecuados.

Mejorar la eficiencia de energía del conjunto de bombas en la red.

Se ha validado la hipótesis general con un porcentaje del 95 % que expresa

que el modelo matemático propuesto se ajusta con el comportamiento real de una

interconexión de bombas que conforman una red abierta con un número determinado

de nodos, para abastecer sistemas de riego agrícola.

El modelo matemático propuesto en este trabajo soluciona cualquier red

abierta con interconexión de bombas centrifugas tipo voluta y/o sumergibles

emplazadas arbitrariamente.

Se recomienda en trabajos posteriores:

Incluir los modelos de optimización, en el medio agrícola, usando

procedimientos como la programación lineal y el algoritmo genético.

Se amplíe este estudio para una combinación de redes abiertas y cerradas

tomando en cuenta la topología de las redes, para abastecer de agua a las

poblaciones.


124

6. BIBLIOGRAFÍA

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7. APÉNDICE

7.1. Codificación en MATLAB del caso II subcaso 1 y el prototipo

function [X,F,HPn,Hn,HPsb,Hsb,HB,v,RR,Re,f,Sk,Q] =

CASO2SUB1(Zf,Zr,Zn,Zsb,HPr,Qb,Hb,L,D,k11,k12,k21,k22,k31,k32,k41,k42,k51,k5

2,RA,a,b,q) % [X,F,HPn,Hn,HPsb,Hsb,HB,v,RR,Re,f,Sk,Q] =

CASO2SUB1(Zf,Zr,Zn,Zsb,HPr,Qb,Hb,L,D,k11,k12,k21,k22,k31,k32,k41,k42,k51,k5

2,RA,vc,a,b,q) % % % SOLUCIONA UNA RED ABIERTA DE: 5 LÍNEAS, 2 NODOS, 2 SISTEMAS DE

RIEGO % % - DATOS DE ENTRADA - % Lo primero es ubicar el nivel de referencia en cualquier lugar. % Es preferible que el nivel de referencia se ubique en el nivel de la % fuente de abastecimiento que esté más bajo, ya sea el nivel dinámico % de un pozo en el caso de que sea bomba sumergible ó el nivel de la % superficie del agua de la fuente de abastecimiento en el caso de % bomba centrífuga tipo voluta. % % ***TODAS LAS CARGAS O ALTURAS ESTAN EN METROS DE COLUMNA DE AGUA*** % % % Z alturas medidas desde el nivel de referencia. % % Zf Matriz de 1x2, que corresponde a las alturas de las % superficies libres de las fuentes de abastecimiento de % agua, que pueden ser niveles dinámicos de acuíferos, si % son bombas sumergibles, o estanques, lagos, ríos, etc., % si son bombas centrífugas horizontales tipo voluta de

un . % solo paso. % Zf(1), Zf(2) niveles de las fuentes de abastecimiento de las bombas % 1 y 2. % % Zr Matriz de 1x2, que corresponde a las alturas o niveles % de las entradas a los sistemas de riego. % Zr(1),Zr(2) alturas a la entrada de los sistemas de riego 1 y 2 % respectivamente. % % Zn Matriz de 1x2 que corresponde a los niveles de los % nodos. % % Zn(1),Zn(2) alturas de los nodos 1 y 2, respectivamente. % % Zsb Matriz de 1x4, alturas de las salidas de las bombas. % En bombas sumergibles es a la salida del pozo. % Zsb(1),Zsb(2) Alturas de la salida del agua en las bombas 1 y 2 % respectivamente. % % Qb caudales de las curvas características de las bombas, en


133

% litros por segundo. Matriz de 2x3. % El primer renglón, 3 caudales de la bomba 1; segundo renglón % 3 caudales de la bomba 2. % % Hb cargas de las curvas características de las bombas en

metros. % Matriz de 2x3. % El primer renglón 3 cargas de la bomba 1; segundo renglón 3 % cargas de la bomba 2. % % Las siguientes matrices son de 5x2, que comprenden dos

tramos % por línea de conducción que conforma la red: % Primer subíndice (renglón): número de línea. % Segundo subíndice (columna): número de tramo en la línea. % % L Matriz de 5x2, de longitudes de las tuberías en metros. % % D Matriz de 5x2 de diámetros interiores, en milímetros. % % RA Matriz de 5x2 de rugosidades absolutas, en milímetros. % % % k 10 vectores de coeficientes adimensionales de pérdidas de % cargas locales o por accesorios, por tramo, cada línea % comprende dos tramos: % k11 en el tramo de succión o columna de bombeo en la línea 1 % k12 en el tramo de descarga en la línea 1 % k21 en el tramo de succión o columna de bombeo en la línea 2 % k22 en el tramo de descarga en la línea 2 % k31 en el primer tramo de la línea 3 % k32 en el segundo tramo de la línea 3 % k41 en el primer tramo la línea 4 % k42 en el segundo tramo de la línea 4 % k51 en el primer tramo de la línea 5 % k52 en el segundo tramo de la línea 5 % % selección del tipo de bomba: % a si a == 1 es bomba sumergible; si a es diferente de 1 es % voluta, en bomba 1. % b si b == 1 es bomba sumergible; si b es diferente de 1 es % voluta, en bomba 2. % % % q vector de gastos supuestos en cada línea, en litros por % segundo [Q1 Q2 Q3 Q4 Q5]. Matriz de 1x5. % % - RESULTADOS - % Q vector columna de distribución de gastos en la red en litros % por segundo. % [Q1 Q2 Q3 Q4 Q5]'. % % H vector de distribución de cargas totales en la red, en

metros % medidas a partir del nivel de referencia. % H = carga por posición + carga piezométrica.


134

% Carga por posición = altura de la tubería o de la superficie

de la fuente de abastecimiento, medida a partir del nivel de

referencia. % Carga piezométrica = altura del agua en el piezómetro de la

tubería. % % Hf(1) Carga total de la fuente de abastecimiento 1: Hf(1) =

% Zf(1)+HPf(1) % Hf(2) carga total de la fuente de abastecimiento 2: Hf(2) =

Zf(2)+HPf(2) % Hf1=Zf1; Hf2=Zf.(Por que la presión atmosférica relativa es

igual cero); HPf(1) = 0; HPf(2) = 0. % % Hn(1),Hn(2) cargas totales de los nodos 1 y 2, respectivamente. % % Hsb(1),Hsb(2) cargas totales a las salidas de las bombas 1 y 2, % respectivamente; en bombas sumergibles es en la % salida del pozo. % % Hr(1) carga total a la entrada del sistema de riego 1. % Hr(2) carga total a la entrada del sistema de riego 2. % % HB cargas dinámicas totales de las bombas, en metros, (bomba % centrífuga tipo voluta o sumergible). % HB(1) carga dinámica total de la bomba 1. % HB(2) carga dinámica total de la bomba 2. % % % *** CARGAS PIEZOMÉTRICAS,EN METROS DE COLUMNA DE AGUA *** % % HP matriz de distribución de cargas por presión en la red o en % fuentes de abastecimiento, medidas a partir del centro de la % tubería o a partir de la superficie libre del líquido en las % fuentes de abastecimiento (carga piezométrica). % % HPf cargas por presión en las superficies de las fuentes de % abastecimiento. Si están a la presión atmosférica: HPf1 = 0

y % HPf2 = 0, por ser presiones relativas. % % HPr matriz de 1x2 de las cargas de operación de los sistemas

de % riego o la presión a la entrada de los sistemas de riego

en % metros de columna de agua. % % HPr(1),HPr(2) cargas piezométricas a las entradas de los sistemas

% de riego 1 y 2. % % % HPn(1),HPn(2) cargas por presión en los nodos 1 y 2,

% respectivamente % % HPsb(1),HPsb(2) cargas por presión a las salidas de las bombas % 1 y 2 respectivamente, en bombas sumergibles, es a

la % salida del pozo


135

% % *** DATOS CALCULADOS *** % Rutinas utilizadas: Colebrook

clc % limpia la pantalla clf % limpia la pantalla gráfica

% Conversión de litros por segundo a metros cúbicos por segundo. Q = (q/1000)'; Qb = Qb/1000;

% conversión de milímetros a metros D = D/1000; RA = RA/1000;

% Constantes vc = 0.000001007 % viscosidad cinemática del agua, en metros cuadrados % por segundo g = 9.81; % aceleración de la gravedad terrestre en m/s HPf(1) = 0; % carga de la presión atmosférica relativa, de la fuente

de % abastecimiento 1. HPf(2) = 0; % carga de la presión atmosférica relativa, de la fuente

de % abastecimiento 2.

Hf(1) = Zf(1) + HPf(1); Hf(2) = Zf(2) + HPf(2); Hr(1) = Zr(1) + HPr(1); Hr(2) = Zr(2) + HPr(2);

% Variables % Matrices con elementos de ceros f = zeros(5,2); % Matriz de 5x2 de coeficiente de fricción

% hidráulica. v = zeros(5,2); % Matriz de 5x2 de velocidades. Re = zeros(5,2); % Matriz de 5x2 de números de Reynolds. RR = zeros(5,2); % Matriz de 5X2 de rugosidades relativas. Sk = zeros(5,2); % Matriz de 5x2 de sumatorias de k locales. HPn = zeros(1,2); % Matriz de 1x2 de cargas piezométricas en nodos. Hn = zeros(1,2); % Matriz de 1x2 de cargas totales en nodos

% (Hn = Zn + HPn).

HPsb = zeros(1,2); % Cargas piezométricas en las salidas de las

bombas.

Hsb = zeros(1,2); % Cargas totales en las salidas de las bombas

% (Hsb = Zsb + HPsb).

HB = zeros(1,2); % Cargas dinámicas totales de las bombas.

% suma de los coeficientes de pérdidas por cargas locales, por tramo

de % cada línea de conducción de la red. Sk11 = sum(k11); Sk12 = sum(k12); Sk21 = sum(k21); Sk22 = sum(k22); Sk31 = sum(k31); Sk32 = sum(k32);


136

Sk41 = sum(k41); Sk42 = sum(k42); Sk51 = sum(k51); Sk52 = sum(k52); Sk(1,1) = Sk11; Sk(1,2) = Sk12; Sk(2,1) = Sk21; Sk(2,2) = Sk22; Sk(3,1) = Sk31; Sk(3,2) = Sk32; Sk(4,1) = Sk41; Sk(4,2) = Sk42; Sk(5,1) = Sk51; Sk(5,2) = Sk52;

% curva característica de la bomba 1 p1 = polyfit(Qb(1,:), Hb(1,:),2); % polinomio 1 (Ecuación de la curva % característica de la bomba 1) dp1 = polyder(p1); % derivada del polinomio 1

% curva característica de la bomba 2 p2 = polyfit(Qb(2,:), Hb(2,:),2); % polinomio 2 (Ecuación de la curva % característica de la bomba 2) dp2 = polyder(p2); % derivada del polinomio 2

X = Q; x = Q;

for i = 1:9 % ciclo. J = zeros(5); % matriz jacobiana de ceros de 5x5. Q = x; for j = 1:5 % ciclo anidado. v(j,1) = 4*Q(j)/(pi*(D(j,1))^2); v(j,2) = 4*Q(j)/(pi*(D(j,2))^2); RR(j,1) = RA(j,1)/D(j,1); RR(j,2) = RA(j,2)/D(j,2); Re(j,1) = v(j,1)*D(j,1)/vc; Re(j,2) = v(j,2)*D(j,2)/vc; f(j,1) = Colebrook(RR(j,1),Re(j,1)); f(j,2) = Colebrook(RR(j,2),Re(j,2)); end

% variables K1 =

((f(1,1)*L(1,1)/D(1,1)+Sk(1,1))*1/D(1,1)^4+(f(1,2)*L(1,2)/D(1,2)+Sk(1,2))*1

/D(1,2)^4)*(8/(pi^2*g)); K2 =

((f(2,1)*L(2,1)/D(2,1)+Sk(2,1))*1/D(2,1)^4+(f(2,2)*L(2,2)/D(2,2)+Sk(2,2))*1

/D(2,2)^4)*(8/(pi^2*g)); K3 =

((f(3,1)*L(3,1)/D(3,1)+Sk(3,1))*1/D(3,1)^4+(f(3,2)*L(3,2)/D(3,2)+Sk(3,2))*1

/D(3,2)^4)*(8/(pi^2*g)); K4 =

((f(4,1)*L(4,1)/D(4,1)+Sk(4,1))*1/D(4,1)^4+(f(4,2)*L(4,2)/D(4,2)+Sk(4,2))*1

/D(4,2)^4)*(8/(pi^2*g)); K5 =

((f(5,1)*L(5,1)/D(5,1)+Sk(5,1))*1/D(5,1)^4+(f(5,2)*L(5,2)/D(5,2)+Sk(5,2))*1

/D(5,2)^4)*(8/(pi^2*g));

HB(1) = polyval(p1,Q(1)); % valor del polinomio 1 (Ec. curva

% característica de la bomba 1) dHB1 = polyval(dp1,Q(1)); % valor de la derivada del polinomio 1


137

HB(2) = polyval(p2,Q(2)); % valor del polinomio 2 (Ec. curva

% característica de la bomba 2) dHB2 = polyval(dp2,Q(2)); % valor de la derivada del polinomio 2

Hn(1) = Hf(1) + HB(1) - K1*Q(1)^2; % carga total del nodo 1. HPn(1) = Hn(1) - Zn(1); % carga piezométrica del nodo 1. Hn(2) = Hn(1) - K5*Q(5)^2; % carga total del nodo 2. HPn(2) = Hn(2) - Zn(2); % carga piezométrica del nodo 2.

h11 =

(f(1,1)*L(1,1)/D(1,1)+Sk(1,1))*1/D(1,1)^4*(8/(pi^2*g))*Q(1)^2; h21 =

(f(2,1)*L(2,1)/D(2,1)+Sk(2,1))*1/D(2,1)^4*(8/(pi^2*g))*Q(2)^2; % Carga piezométrica en la salida de la bomba 1. if a == 1 % bomba sumergible.

HPsb(1) = HB(1)+ Hf(1) - Zsb(1) - v(1,1)^2/(2*g) - h11;

else % bomba centrifuga tipo voluta. HPsb(1) = HB(1) + Zf(1)- Zsb(1) - v(1,2)^2/(2*g) - h11; end

% Carga piezométrica en la salida de la bomba 2. if b == 1 % bomba sumergible. HPsb(2) = HB(2)+ Zf(2) - Zsb(2) - v(2,1)^2/(2*g) - h21;

else % bomba centrifuga tipo voluta. HPsb(2) = HB(2) + ZF(2) - Zsb(2) - v(2,2)^2/(2*g) - h21; end

% Cargas totales en las salidas de las bombas (medidas a partir

del % nivel de referencia).

Hsb(1) = HPsb(1) + Zsb(1); Hsb(2) = HPsb(2) + Zsb(2);

% matriz jacobiana J(1,1) = dHB1-2*K1*Q(1); J(1,3) = -2*K3*Q(3); J(1,5) = -2*K5*Q(5); J(2,2) = dHB2-2*K2*Q(2); J(2,4) = -2*K4*Q(4); J(2,5) = -2*K5*Q(5); J(3,3) = 2*K3*Q(3); J(3,4) = -2*K4*Q(4); J(4,1) = 1; J(4,2) = 1; J(4,5) = -1; J(5,3) = 1; J(5,4) = 1; J(5,5) = -1; det(J);

% lado derecho


138

F(1) = HB(1)+ Hf(1)- Hr(1)- K1*Q(1)^2- K3*Q(3)^2 - K5*Q(5)^2; F(2) = HB(2)+ Hf(2)- Hr(2)- K2*Q(2)^2- K4*Q(4)^2- K5*Q(5)^2; F(3) = Hr(1)- Hr(2)+ K3*Q(3)^2- K4*Q(4)^2; F(4) = Q(1) + Q(2)- Q(5); F(5) = Q(3) + Q(4)- Q(5); F = [F(1) F(2) F(3) F(4) F(5)]'; x = x - J\F; X = [X x]; end

% conversión de metros cúbicos por segundo a litros por segundo X = 1000*X; Q = 1000*Q; % Gráficas de gastos xlabel('\bfIteraciones') hold on ylabel('\bfGastos') plot(X') % líneas plot(X','*') % puntos legend('Q_1','Q_2','Q_3','Q_4','Q_5', 0) title('\bfRedes hidráulicas abiertas a presión') shg end

Programa auxiliar Colebrook function f = Colebrook(RR,Re) % f = Colebrook(RR,Re) % Usando la fórmula de Colebrook calcula el coeficiente de fricción % hidráulica de Darcy Weisbach f % Datos: % RR rugosidad relativa adimensional % Re número de Reynolds adimensional if Re <= 2300 % FLUJO LAMINAR f2 = 64/Re; else % FLUJO TURBULENTO f1 = 0.02; % valor inicial propuesto de f ya = 0; % valor artificial para empezar el while while ya == 0; f2 = 1/(-2*log10(RR/3.71+2.51/(Re*sqrt(f1))))^2; if (abs(f1-f2) < 0.0001) ya = 1; end f1 = f2; end end f = f2;


139

7.2. Codificación en MATLAB del caso único IV

function [X,F,HPn,Hn,HPsb,Hsb,HB,v,RR,Re,f,Sk,Q] =

CASOUNICO4(Zf,Zr,Zn,Zsb,HPr,Qb,Hb,L,D,k11,k12,k21,k22,k31,k32,k41,k42,k51,k

52,k61,k62,k71,k72,k81,k82,k91,k92,k101,k102,RA,vc,a,b,c,d,q,n) % [X,F,HPn,Hn,HPsb,Hsb,HB,v,RR,Re,f,Sk,Q] = %

CASOUNICO4(Zf,Zr,Zn,Zsb,HPr,Qb,Hb,L,D,k11,k12,k21,k22,k31,k32,k41,k42,k51,k

52,k61,k62,k71,k72,k81,k82,k91,k92,k101,k102,RA,a,b,c,d,q,n) % SOLUCIONA UNA RED ABIERTA, CASO ÚNICO 4: 10 líneas, 4 nodos, 3

% sistemas de riego. % *** DATOS CALCULADOS *** % % Rutinas utilizadas: Colebrook

clc % limpia la pantalla clf % limpia la pantalla gráfica

% Conversión de litros por segundo a metros cúbicos por segundo. Q = (q/1000)'; Qb = Qb/1000; % conversión de milímetros a metros D = D/1000; RA = RA/1000; % Constantes g = 9.81; % aceleración de la gravedad terrestre en m/s. vc = 0.000001007 % viscosidad cinemática del agua, en metros cuadrados % % por segundo. HPf(1) = 0; % carga de la presión atmosférica relativa % (fuente de abastecimiento de la bomba 1). HPf(2) = 0; % carga de la presión atmosférica relativa % (fuente abastecimiento de la bomba 2). HPf(3) = 0; % carga de la presión atmosférica relativa % (fuente de abastecimiento de la bomba 3). HPf(4) = 0; % carga de la presión atmosférica relativa % (fuente de abastecimiento de la bomba 4).

Hf(1) = Zf(1) + HPf(1); % carga total de la fuente de abastecimiento

1. Hf(2) = Zf(2) + HPf(2); % carga total de la fuente de abastecimiento



4.

Hr(1) = Zr(1) + HPr(1); % carga total en la entrada del sistema de % riego 1. Hr(2) = Zr(2) + HPr(2); % carga total en la entrada del sistema de % riego 2. Hr(3) = Zr(3) + HPr(3); % carga total en la entrada del sistema de % riego 3.

% Variables f = zeros(10,2); % coeficiente de fricción hidráulica.


140

v = zeros(10,2); % velocidades en m/s. Re = zeros(10,2); % números de Reynolds. RR = zeros(10,2); % rugosidades relativas. Sk = zeros(10,2); % sumatorias de k locales. HPn = zeros(1,4); % carga piezométrica en los nodos. Hn = zeros(1,4); % cargas totales en los nodos (Hn = Zn + HPn). HPsb = zeros(1,4); % cargas piezométricas a las salidas de las bombas. Hsb = zeros(1,4); % cargas totales en las salidas de las bombas % (Hsb = Zsb + HPsb). HB = zeros (1,4); % cargas dinámicas totales de las bombas.

% suma de los coeficientes de pérdidas por carga locales por linea y % tramo. Sk(1,1) = sum(k11); Sk(1,2) = sum(k12); Sk(2,1) = sum(k21); Sk(2,2) = sum(k22); Sk(3,1) = sum(k31); Sk(3,2) = sum(k32); Sk(4,1) = sum(k41); Sk(4,2) = sum(k42); Sk(5,1) = sum(k51); Sk(5,2) = sum(k52); Sk(6,1) = sum(k61); Sk(6,2) = sum(k62); Sk(7,1) = sum(k72); Sk(7,2) = sum(k72); Sk(8,1) = sum(k81); Sk(8,2) = sum(k82); Sk(9,1) = sum(k91); Sk(9,2) = sum(k92); Sk(10,1) = sum(k101); Sk(10,2) = sum(k102);

% curvas características de las bombas: p1 = polyfit(Qb(1,:), Hb(1,:),2); % polinomio 1 (Ecuación de la

curva % característica carga vs caudal

de % la bomba 1) dp1 = polyder(p1); % derivada del polinomio 1

p2 = polyfit(Qb(2,:), Hb(2,:),2); % polinomio 2 (Ecuación de la









X = Q;


141

x = Q;

for i = 1:n J = zeros(10); % matriz jacobiana de ceros de 10x10 Q = x; for j = 1:10 v(j,1) = 4*Q(j)/(pi*(D(j,1))^2); v(j,2) = 4*Q(j)/(pi*(D(j,2))^2); RR(j,1) = RA(j,1)/D(j,1); RR(j,2) = RA(j,2)/D(j,2); Re(j,1) = v(j,1)*D(j,1)/vc; Re(j,2) = v(j,2)*D(j,2)/vc; f(j,1) = Colebrook(RR(j,1),Re(j,1)); % llamando al programa

Colebrook f(j,2) = Colebrook(RR(j,2),Re(j,2)); % llamando al programa

Colebrook end

% coeficientes para determinar pérdidas de carga de cada línea de % conducción de la red, al ser multiplicados por el caudal al % cuadrado (Ki*Q^2). K1 =

((f(1,1)*L(1,1)/D(1,1)+Sk(1,1))*1/D(1,1)^4+(f(1,2)*L(1,2)/D(1,2)+Sk(1,2))*1

/D(1,2)^4)*(8/(pi^2*g)); K2 =

((f(2,1)*L(2,1)/D(2,1)+Sk(2,1))*1/D(2,1)^4+(f(2,2)*L(2,2)/D(2,2)+Sk(2,2))*1

/D(2,2)^4)*(8/(pi^2*g)); K3 =

((f(3,1)*L(3,1)/D(3,1)+Sk(3,1))*1/D(3,1)^4+(f(3,2)*L(3,2)/D(3,2)+Sk(3,2))*1

/D(3,2)^4)*(8/(pi^2*g)); K4 =

((f(4,1)*L(4,1)/D(4,1)+Sk(4,1))*1/D(4,1)^4+(f(4,2)*L(4,2)/D(4,2)+Sk(4,2))*1

/D(4,2)^4)*(8/(pi^2*g)); K5 =

((f(5,1)*L(5,1)/D(5,1)+Sk(5,1))*1/D(5,1)^4+(f(5,2)*L(5,2)/D(5,2)+Sk(5,2))*1

/D(5,2)^4)*(8/(pi^2*g)); K6 =

((f(6,1)*L(6,1)/D(6,1)+Sk(6,1))*1/D(6,1)^4+(f(6,2)*L(6,2)/D(6,2)+Sk(6,2))*1

/D(6,2)^4)*(8/(pi^2*g)); K7 =

((f(7,1)*L(7,1)/D(7,1)+Sk(7,1))*1/D(7,1)^4+(f(7,2)*L(7,2)/D(7,2)+Sk(7,2))*1

/D(7,2)^4)*(8/(pi^2*g)); K8 =

((f(8,1)*L(8,1)/D(8,1)+Sk(8,1))*1/D(8,1)^4+(f(8,2)*L(8,2)/D(8,2)+Sk(8,2))*1

/D(8,2)^4)*(8/(pi^2*g)); K9 =

((f(9,1)*L(9,1)/D(9,1)+Sk(9,1))*1/D(9,1)^4+(f(9,2)*L(9,2)/D(9,2)+Sk(9,2))*1

/D(9,2)^4)*(8/(pi^2*g)); K10 =

((f(10,1)*L(10,1)/D(10,1)+Sk(10,1))*1/D(10,1)^4+(f(10,2)*L(10,2)/D(10,2)+Sk

(10,2))*1/D(10,2)^4)*(8/(pi^2*g));

HB(1) = polyval(p1,Q(1)); % valor del polinomio 1 (CDTB1). % Ecuación de la curva característica

% de la bomba 1. dHB1 = polyval(dp1,Q(1)); % valor de la derivada del polinomio 1.


142

HB(2) = polyval(p2,Q(2)); % valor del polinomio 2 (CDTB2). % Ecuación de la curva característica % de la bomba 2. dHB2 = polyval(dp2,Q(2)); % valor de la derivada del polinomio 2. HB(3) = polyval(p3,Q(3)); % valor del polinomio 3 (CDTB3). % Ecuación de la curva característica % de la bomba 3. dHB3 = polyval(dp3,Q(3)); % valor de la derivada del polinomio 3. HB(4) = polyval(p4,Q(4)); % valor del polinomio 4 (CDTB4). % Ecuación de la curva característica

de % de la bomba 4. dHB4 = polyval(dp4,Q(4)); % valor de la derivada del polinomio 4.

Hn(1) = Hf(1) + HB(1) - K1*Q(1)^2; Hn(2) = Hn(1) - K10*Q(10)^2; Hn(3) = Hn(2) - K9*Q(9)^2; Hn(4) = Hn(3) - K8*Q(8)^2; HPn(1) = Hn(1) - Zn(1); % carga piezométrica del nodo 1. HPn(2) = Hn(2) - Zn(2); % carga piezométrica del nodo 2. HPn(3) = Hn(3) - Zn(3); % carga piezométrica del nudo 3. HPn(4) = Hn(4) - Zn(4); % carga piezométrica del nudo 4.

% Pérdidas de carga en las columnas de las bombas h11 =

(f(1,1)*L(1,1)/D(1,1)+Sk(1,1))*1/D(1,1)^4*(8/(pi^2*g))*Q(1)^2; h21 =

(f(2,1)*L(2,1)/D(2,1)+Sk(2,1))*1/D(2,1)^4*(8/(pi^2*g))*Q(2)^2; h31 =

(f(3,1)*L(3,1)/D(3,1)+Sk(3,1))*1/D(3,1)^4*(8/(pi^2*g))*Q(3)^2; h41 =

(f(4,1)*L(4,1)/D(4,1)+Sk(4,1))*1/D(4,1)^4*(8/(pi^2*g))*Q(4)^2;

% carga piezométrica en la salida de la Bomba 1. if a == 1 % bomba sumergible. HPsb(1) = HB(1) + Zf(1) - Zsb(1) - v(1,1)^2/(2*g) - h11; else % bomba centrífuga voluta. HPsb(1) = HB(1) + Zf(1) - Zsb(1) - v(1,2)^2/(2*g) - h11; end % carga piezométrica en la salida de la Bomba 2. if b == 1 % bomba sumergible. HPsb(2) = HB(2) + Zf(2) - Zsb(2) - v(2,1)^2/(2*g) - h21; else % bomba centrífuga voluta. HPsb(2) = HB(2) + Zf(2) - Zsb(2) - v(2,2)^2/(2*g) - h21; end % carga piezométrica en la salida de la Bomba 3. if c == 1 % bomba sumergible. HPsb(3) = HB(3) + Zf(3) - Zsb(3) - v(3,1)^2/(2*g) - h31; else % bomba centrífuga voluta. HPsb(3) = HB(3) + Zf(3) - Zsb(3) - v(3,2)^2/(2*g) - h31; end % carga piezométrica en la salida de la Bomba 4. if d == 1 % bomba sumergible. HPsb(4) = HB(4) + Zf(4) - Zsb(4) - v(4,1)^2/(2*g) - h41; else % bomba centrífuga voluta. HPsb(4) = HB(4) + Zf(4) - Zsb(4) - v(4,2)^2/(2*g) - h41;


143

end % Cargas a las salidas de las bombas, medidas a partir del nivel

de % referencia

Hsb(1) = HPsb(1) + Zsb(1); Hsb(2) = HPsb(2) + Zsb(2); Hsb(3) = HPsb(3) + Zsb(3); Hsb(4) = HPsb(4) + Zsb(4);

% matriz jacobiana J(1,1) = dHB1 - 2*K1*Q(1); J(1,5) = -2*K5*Q(5); J(3,5) = -2*K5*Q(5); J(4,5) = -2*K5*Q(5); J(1,8) = -2*K8*Q(8); J(2,8) = -2*K8*Q(8); J(3,8) = -2*K8*Q(8); J(4,8) = -2*K8*Q(8); J(1,9) = -2*K9*Q(9); J(2,9) = -2*K9*Q(9); J(3,9) = -2*K9*Q(9); J(1,10) = -2*K10*Q(10); J(2,10) = -2*K10*Q(10); J(2,2) = dHB2 - 2*K2*Q(2); J(2,6) = -2*K6*Q(6); J(5,6) = -2*K6*Q(6); J(3,3) = dHB3 - 2*K3*Q(3); J(4,4) = dHB4 - 2*K4*Q(4); J(5,5) = 2*K5*Q(5); J(6,6) = 2*K6*Q(6); J(6,7) = -2*K7*Q(7); J(7,1) = 1; J(7,2) = 1; J(8,3) = 1; J(8,10) = 1; J(9,4) = 1; J(9,9) = 1; J(10,8) = 1; J(7,10) = -1; J(8,9) = -1; J(9,8) = -1; J(10,5) = -1; J(10,6) = -1; J(10,7) = -1;

% La solución de las 9 ecuaciones para resolver la distribución de

caudales. F(1) = HB(1) + Hf(1) - Hr(1) - K1*Q(1)^2 - K5*Q(5)^2 - K8*Q(8)^2 -

K9*Q(9)^2 - K10*Q(10)^2; F(2) = HB(2) + Hf(2) - Hr(2) - K2*Q(2)^2 - K6*Q(6)^2 - K8*Q(8)^2 -

K9*Q(9)^2 - K10*Q(10)^2; F(3) = HB(3) + Hf(3) - Hr(1) - K3*Q(3)^2 - K5*Q(5)^2 - K8*Q(8)^2 -

K9*Q(9)^2; F(4) = HB(4) + Hf(4) - Hr(1) - K4*Q(4)^2 - K5*Q(5)^2 - K8*Q(8)^2;


144

F(5) = Hr(1) - Hr(2) + K5*Q(5)^2 - K6*Q(6)^2; F(6) = Hr(2) - Hr(3) + K6*Q(6)^2 - K7*Q(7)^2; F(7) = Q(1) + Q(2) - Q(10); F(8) = Q(3) + Q(10) - Q(9); F(9) = Q(4) + Q(9) - Q(8); F(10) = Q(8) - Q(5) - Q(6) - Q(7); F = [F(1) F(2) F(3) F(4) F(5) F(6) F(7) F(8) F(9) F(10)]'; x = x - J\F; X = [X x];

end

% conversión de metros cúbicos por segundo a litros por segundo X = 1000*X; Q = 1000*Q;

% Gráfica de la variación del caudal en cada línea de la red en cada % iteración xlabel('\bfIteraciones') hold on ylabel('\bfGastos') plot(X') % líneas plot(X','*') % puntos legend('Q_1','Q_2','Q_3','Q_4','Q_5','Q_6','Q_7','Q_8','Q_9','Q_10') title('\bfRedes hidráulicas abiertas a presión') shg

end

Programa auxiliar Colebrook function f = Colebrook(RR,Re) % f = Colebrook(RR,Re) % Usando la fórmula de Colebrook calcula el coeficiente de fricción % hidráulica de Darcy Weisbach f % Datos: % RR rugosidad relativa adimensional % Re número de Reynolds adimensional if Re <= 2300 % FLUJO LAMINAR f2 = 64/Re; else % FLUJO TURBULENTO f1 = 0.02; % valor inicial propuesto de f ya = 0; % valor artificial para empezar el while while ya == 0; f2 = 1/(-2*log10(RR/3.71+2.51/(Re*sqrt(f1))))^2; if (abs(f1-f2) < 0.0001) ya = 1; end f1 = f2; end end f = f2;


145

7.3. Valores de los coeficientes de pérdidas por accesorios de la ecuación

(Walski et al., 2003):

gD

QK

g

vKh loclocloc 42

22 8

2

Coeficientes pérdidas locales Valor

KDepósito-tuberia 0.78

KVálvula de pie de asiento 12.5

KVálvula check 4

KVálvula de compuerta 0.39

KTe de flujo en línea 0.4

KTe de flujo perpendicular 1.8

KCoco 90° 0.8

KCodo 45° 0.2

KEnsanchamiento brusco 6”→ 8” 0.16

K Ensanchamiento brusco 8”→ 10” 0.16

KEnsanchamiento cónica 5”→ 8” 0.08


KContracción brusca 10”→ 8” 0.18

K Contracción cónica 10”→ 6” 0.07




KCruz de flujo en línea 0.5

KCruz de flujo perpendicular 0.75


146

7.4. Diagrama universal de Moody para obtener el coeficiente de fricción hidráulico de la ecuación de Darcy-

Weisbach

Figura 7.4.1. Diagrama universal de Moody (Sotelo, 1998).


147

7.5. Imágenes del prototipo

Figura 7.5.1. Línea de la red.

Figura 7.5.3. Aforador de engranes

Figura 7.5.5. Fuente de

abastecimiento 1

Figura 7.5.2. Parte de la red.

Figura 7.5.4. Aforo volumétrico

Figura 7.5.6. Fuente de

abastecimiento 2


148

7.6. Plano del prototipo

UNIDAD DE RIEGO

DISEÑO

ARTEAGA, COAHUILA.MAYO. 2012 ESCALA:

APROBÓ:

PLANO

TUBERIA HIDRAULICA DE PVC 1 1/2"TUBERIA HIDRAULICA DE PVC 1"

TUBERIA HIDRAULICA DE PVC 2"

DIAMETROS DE TUBERIA

MANOMETRO

BOMBA

SIMBOLOGIA

DIRECCION DEL FLUJO

PRESION A LA SALIDA DE LA RED



MODELO DE LA BOMBA

MODELO DE LA BOMBA

65.1 PSI

55 Y 44.8 PSI

35 PSI

FPS 4400 DE 2.0 HP

KOR2 R10-7 DE 1 HP

VALVULA ESFERICA

MC. SERGIO Z. GARZA VARA DR. JUAN F. PISSANI ZUÑIGA

TUBERIA HIDRAULICA DE PVC 3/4"

CUADRO DE INFORMACION DEL SISTEMA

DATOS DE LA RED

i MATERIAL D NOMINAL (PLG) D (MM) L (M)

1CB

1d

2CB

2d

3

4

5

1 1/2"

1 1/2"

1"

1"

1 1/2"

3/4"

2"

40.5

40.5

26.6

26.6

40.5

20.9

52.5

1.25

44.75

3.84

15.17

35.93

35.39

23.50

PVC

PVC

PVC

PVC

PVC

PVC

PVC

E = ELEVACION

Q = CAUDAL


150

7. 7. Segundo ejemplo de interconexión de bombas

El segundo ejemplo de solución de una red abierta con interconexión de

bombas para alimentar a sistemas de riego. Se seleccionó el caso más complejo

(Caso IV). Figura 7.7.1.

Consiste en una red de interconexión de cuatro bombas sumergibles de pozos

profundos que alimentan a tres pivotes centrales, El primero y el tercero tienen un

radio de 332.23 m, para irrigar 34.68 has cada uno, con un caudal requerido por

pivote central de 35.0 lps. El segundo pivote, tiene un radio de 398.68 m, e irriga

49.93 has, con un caudal de 50.0 lps. Las cuatro bombas son marca GRUNDFOS:

Las bombas 1 y 2 son modelos 375S1000-17DS (Figura 7.7.2). La bomba 3 es

modelo 600S1500-9DS (Figura 7.7.3). La bomba 4 es modelo 1000S 2500-6DS

(Figura 7.7.4). La red abierta con los sistemas de riego está en un terreno

prácticamente plano, donde los datos de las tuberías que conforman la red y su

croquis se presentan en el Cuadro 7.7.1 y la Figura 7.7.1, respectivamente.


151

Cuadro 7.7.1. Datos de las tuberías de la red.

I Material Diámetro Nominal Diámetro Interior Longitud

(pulgadas) (mm) (m)

1CB Acero 5 128.19 160

1d PVC 6 160.1 190

2CB Acero 5 128.19 160

2d PVC 6 160.1 200

3CB Acero 6 154.05 160

3d PVC 6 160.1 120

4CB Acero 8 202.72 160

4d PVC 8 208.5 500

51 PVC 6 160.1 300

52 PVC 6 160.1 125

61 PVC 8 208.5 400

62 PVC 8 208.5 100

71 PVC 6 160.1 300

72 PVC 6 160.1 52

81 PVC 12 308.81 300

82 PVC 12 308.81 80

91 PVC 10 259.74 200

92 PVC 10 259.74 60

101 PVC 8 208.5 100

102 PVC 8 208.5 90


152

Figura 7.7.1. Red abierta con interconexión de cuatro bombas sumergibles para

alimentar a tres pivotes centrales (Caso IV)


153


375S (Groundwater Catalog, 1993).


154


1000S (Groundwater Catalog, 1993).


155

Las cargas a las entradas de los pivotes centrales 1 y 3 son 35 psi (24.61

metros de columna de agua) y en el pivote central 2 es de 40 psi (28.12 metros de

columna de agua). El nivel dinámico del pozo 1 se encuentra a 216.0 m, a un caudal

supuesto de 23.0 lps, el nivel dinámico del segundo pozo está a 212.1 m, con un

caudal de 23 lps, el tercero está a 209.8 m, con un caudal de 25 lps y el cuarto está a

205.6 m con un caudal de 40 lps. Según las pruebas de bombeo de cada pozo. El

nivel de referencia se ubicará en el nivel dinámico del primer pozo por ser el más

profundo. Por lo tanto las alturas de los niveles dinámicos con respecto al nivel

referencial son: Zf(1)= 0.0 m, el nivel dinámico del pozo 1; Zf(2) = 5.0 m, nivel

dinámico del pozo 2; Zf(3) = 8.0 m, nivel dinámico del pozo 3; Zf(4) = 12.0 m, nivel

dinámico del pozo 4. Nivel de la entrada al pivote central 1, Zr(1) = 207.0 m; nivel de

la entrada al pivote central 2, Zr(2) = 206.0 m; nivel de la entrada al pivote central 3,

Zr(3) = 208.0 m; nivel del nodo ; Zn(1) = 216.10 m; del nodo , Zn(2) = 216.90 m,

del nodo 3; Zn(3) = 217.80 m y del nodo 4, Zn(4) = 218.50 m. Niveles de las tuberías

a las salidas del pozo: bomba 1 = 216.50 m; bomba 2 = 217.60 m; bomba 3 = 218.30

m; bomba 4 = 218.10 m. La rugosidad absoluta de la tubería de acero es 0.15 mm y

la de PVC es 0.0015 mm; La viscosidad cinemática del agua es 0.000001 m2/s. a =

1; b = 1; c = 1; d = 1, para elegir bombas sumergibles. Se tomaron en cuenta los

coeficientes de pérdidas locales significativas en accesorios de las tuberías como:

válvulas, contracciones, ensanchamiento, tees, codos. El programa de MATLAB,

tiene en todas las líneas que conforman la red siempre 2 tramos, para el caso de que

se tenga en una línea dos diámetros diferentes, por lo tanto, en el caso de que tenga

un solo diámetro también debe dividirse en 2 tramos, seleccionándose las longitudes

respectivas.


156

Los datos de los cuadros 2, 3 y 4, son los tres puntos escogidos de las curvas

características de cada bomba.

Cuadro 7.7.2. Tres puntos de la curva característica de bomba 1 y 2, de carga versus caudal (375S1000-17DS).

HB (pies) QB (gpm) HB (m) QB (m3/s)

968 300 295.05 0.01892

878 350 267.61 0.02208

772 400 235.31 0.02523

Cuadro 7.7.3. Tres puntos de la curva característica de la bomba 3, de carga versus caudal (600S1500-9DS).


781 400 238.05 0.02523

732 500 223.11 0.03154

675 600 205.74 0.03785

Cuadro 7.7.4. Tres puntos de la curva característica de la bomba 4, de carga versus caudal (1000S2500-6DS).


764 800 232.87 0.02523

652 1000 198.73 0.03154

534 1200 162.76 0.03785

La entrada de datos debe de ser de manera matricial, para que el programa

pueda identificarlos, mediante su renglón y su columna.

Z, es el vector de alturas medidas desde el nivel de referencia, en metros.

Zf, es el vector de las alturas de las fuentes de abastecimiento.

Zf(1), Zf(2), Zf(3) y Zf(4); niveles de las fuentes de abastecimiento de las

bombas 1,2, 3 y 4, respectivamente.


157

Zr(1), Zr(2) y Zr(3); niveles a la entrada de los sistemas de riego 1, 2 y 3,

respectivamente.

Zn(1), Zn(2), Zn(3) y Zn(4); niveles de los nodos 1, 2, 3 y 4, respectivamente.

Zsb(1), Zsb(2), Zsb(3) y Zsb(4); niveles a la salida del agua en las bombas 1,

2, 3 y 4, respectivamente. En bombas sumergibles el nivel se toma a la salida del

pozo.

Zf, es una matriz de 4x1.

Zf = [0.0, 5.0, 8.0, 12.0].

Zr, es una matriz de 3x1.

Zr = [207.0, 206.0, 208.0].

Zn, es una matriz de 4x1.

Zn = [216.10, 216.9, 217.80, 218.50].

Zsb, es una matriz de 4x1.

Zsb = [216.50, 217.60, 218.30, 218.10].

QB; matriz de gastos de las curvas características de las bombas en litros por

segundo. Matriz de 4x3. El primer renglón 3 caudales de la bomba 1; segundo

renglón 3 caudales de la bomba 2; tercer renglón 3 caudales de la bomba 3; cuarto

renglón 3 caudales de la bomba 4.

QB = [18.92, 22.08, 25.23; 18.92, 22.08, 25.23; 25.23, 31.54, 37.85; 50.46,

63.08, 75.70].

HB; matriz de cargas de las curvas características de las bombas en metros.

Matriz de 4x3. El primer renglón 3 cargas de la bomba 1; segundo renglón 3 cargas

de la bomba 2; tercer renglón 3 cargas de la bomba 3; cuarto renglón 3 cargas de la

bomba 4.


158

HB = [295.05, 267.61, 235.31; 295.05, 267.61, 235.31; 238.05, 223.11, 205.74;

232.87, 198.73, 162.76].

L; matriz de longitudes de cada línea de conducción en metros. Matriz de10x2.

L = [266.0, 190.0; 262.0, 200.0; 260.0, 120.0; 256.0, 500.0; 300.0, 125.0;

400.0, 100.0; 300.0, 52.0; 300.0, 80; 200.0, 60.0; 100.0, 90.0].

D; matriz de diámetros interiores en milímetros. Matriz de 10x2.

D = [128.19, 160.10; 128.19, 160.10; 154.05, 160.10; 202.72, 208.50;

160.10, 160.10; 208.50, 208.50; 160.10, 160.10; 308.81, 308.81; 259.74, 259.74;

208.50, 208.50].

k; vector de los coeficientes de pérdidas de carga locales por tramo de cada
















159


K81; primer tramo de la línea 8.

K82; segundo tramo de la línea 8.





Sus valores son:

k11 = [12.50, 0.16, 0.80, 4.0, 0.39, 0.40]

k12 = [0.16, 0.40]

k21 = [12.50, 0.16, 0.80, 4.0, 0.39, 0.40]

k22 = [0.16, 1.80]

k31 = [12.50, 0.16, 0.80, 4.0, 0.39, 0.40]

k32 = [1.80, 0.61]

k41 = [12.50, 0.16, 0.80, 4.0, 0.39, 0.40]

k42 = [1.80, 0.16]

k51 = [0.75, 0.37]

k52 = [0.80, 0.80, 0.39]

k61 = [0.50, 0.18]

k62 = [0.80, 0.80, 0.39]

k71 = [0.75, 0.37]

k72 = [0.80, 0.80, 0.39]

k81 = [0.40]

k82 = [0.0]


160

k91 = [0.0]

k92 = [0.0]

k101 = [0.0]

k102 = [0.16].

RA; matriz de 7x2 de rugosidades absolutas en milímetros. Primer subíndice

(renglón): número de línea. Segundo subíndice (columna): número de tramo en la

línea.

RA = [0.1500, 0.0015; 0.1500, 0.0015; 0.1500, 0.0015; 0.0015, 0.0015; 0.0015,

0.0015; 0.0015, 0.0015; 0.0015, 0.0015].

vc, es la viscosidad cinemática del agua, en metros cuadrados por segundo.

vc = [1.0 e-006].

a; si a = 1 es bomba sumergible; si a es diferente de 1 es voluta, en bomba 1.

a = 1.

b; si b = 1 es bomba sumergible; si b es diferente de 1 es voluta, en bomba 2.

b = 1.

c; si c = 1 es bomba sumergible; si c es diferente de 1 es voluta, en bomba 3.

c = 1.

d; si d = 1 es bomba sumergible; si d es diferente de 1 es voluta, en bomba 4.

d= 1.

Hpr; vector de cargas de operación de los sistemas de riego o carga a la

entrada de los sistemas der riego, en metros de columna de agua: [Hpr1, HPr2, HPr3].

HPr = [24.61, 28.12, 24.61].

HPr(1); carga de operación de todo el sistema de riego 1. Matriz de 1x3.

HPr(1) = 24.61.


161


HPr(2) = 28.12.


HPr(3) = 24.61.

q; vector de gastos supuestos en cada línea, en litros por segundo: [q1, q2, q3,

q4, q5, q6, q7, q8, q9, q10]. Matriz de 1x10. Los valores supuestos son:

q = [30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30].

De la fórmula (3.1.8) se obtiene la ecuación de la curva característica de la

bomba 1 y 2 (375S1000-17DS) es:

3727.3554782.15205975.248878 1

2

11 QQHB

3727.3554782.15205975.248878 2

2

22 QQHB

4782.1520195.497757 1

1

1

Q

Q

H B

4782.1520195.497757 2

2

2

Q

Q

H B

La ecuación de la curva característica de las bombas 3 (600S1500-9DS) es:

5036.2733171.6352941.30515 3

2

33 QQH B

3171.6355882.61030 3

3

3

Q

Q

H B

La ecuación de la curva característica de las bombas 4 (1000S 2500-6DS) es:

0889.3518479.41056536.22980 4

2

44 QQHB

8479.41053072.45961 4

4

4

Q

Q

H B

Las diez ecuaciones a solucionar son las siguientes:


162

02

1010

2

99

2

88

2

55

2

111111 QKQKQKQKQKHrHfHbF

02

1010

2

99

2

88

2

66

2

222222 QKQKQKQKQKHrHfHbF

02

99

2

88

2

55

2

331333 QKQKQKQKHrHfHbF

02

88

2

55

2

441444 QKQKQKHrHfHbF

02

66

2

55215 QKQKHrHrF

02

77

2

66326 QKQKHrHrF

010217 QQQF

091038 QQQF

08949 QQQF

0765810 QQQQF

La solución consiste en encontrar los caudales de cada línea que conforma la

red, para que las 10 ecuaciones anteriores, resulten ser cero o próximas a cero.

Las derivadas parciales de 1F hasta

10F con respecto a todos los caudales de

la red, son los elementos de la inversa de la matriz jacobiana como se muestra a

continuación:

11

1

1

1

1 2)1,1( QKQ

H

Q

FJ B

33

3

3

3

1 2)3,1( QKQ

H

Q

FJ

B

66

6

1 2)6,1( QKQ

FJ


163

22

2

2

2

2 2)2,2( QKQ

H

Q

FJ B

33

3

3

3

2 2)3,2( QKQ

H

Q

FJ

B

66

6

2 2)6,2( QKQ

FJ

33

3

3

3

3 2)3,3( QKQ

H

Q

FJ

B

44

4

3 2)4,3( QKQ

FJ

77

7

3 2)7,3( QKQ

FJ

44

4

4 2)4,4( QKQ

FJ

55

5

4 2)5,4( QKQ

FJ

1)2,5()1,5(2

5

1

5

Q

FJ

Q

FJ

1)6,6()3,6(6

6

3

6

Q

FJ

Q

FJ

1)5,7()4,7(5

7

4

7

Q

FJ

Q

FJ

1)7,6()6,5(7

6

6

5

Q

FJ

Q

FJ


164

1)7,7(7

7

Q

FJ .

Los demás elementos de la matriz son igual a cero.

Datos de salida.

En el cuadro 7.7.5, se tienen los caudales obtenidos por la ecuación (3.2.2.6)

de manera iterativa.

Cuadro 7.7.5. Resultados de los caudales en la red en litros por segundo.

i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5 i = 6 i = 7

Q(1) = 30.000 24.2666 23.3999 23.3750 23.3748 23.3748 23.3748

Q(2) = 30.000 24.6032 23.8360 23.8157 23.8197 23.8156 23.8156

Q(3) = 30.000 25.3039 24.5564 24.5266 24.5260 24.5259 24.5259

Q(4) = 30.000 50.2323 48.8123 48.7852 48.7847 48.7847 48.7847

Q(5) = 30.000 35.3874 35.2390 35.3000 35.3070 35.3076 35.3077

Q(6) = 30.000 53.8681 50.4122 50.1795 50.1632 50.1619 50.1618

Q(7) = 30.000 35.1505 34.9533 35.0230 35.0308 35.0315 35.0316

Q(8) = 30.000 124.4060 120.6045 120.5025 120.5010 120.5010 120.5010

Q(9) = 30.000 74.1734 71.7923 71.7174 71.7164 71.7163 71.7163

Q(10) = 30.000 48.8698 47.2359 47.1908 47.1904 47.1904 47.1904

Caudales en litros por segundo, que circulan en la red:

Q(1) = 23.37

Q(2) = 23.82

Q(3) = 24.53

Q(4) = 48.78


165

Q(5) = 35.31

Q(6) = 50.16

Q(7) = 35.03

Q(8) = 120.50

Q(9) = 71.72

Q(10) = 47.19.

Cargas piezométricas, en metros de columna de agua, en los nodos de la red:

HPn(1) = 26.98

HPn(2) = 24.86

HPn(3) = 22.64

HPn(4) = 19.74

Cargas en metros de columna de agua, medidas a partir del nivel de

referencia, en los nodos de la red:

Hn(1) = 243.08

Hn(2) = 241.76

Hn(3) = 240.44

Hn(4) = 238.24

Cargas piezométricas en metros de columna de agua, a la salida de cada

bomba:

HPsb(1) = 27.75

HPsb(2) = 26.86

HPsb(3) = 24.45

HPsb(4) = 26.07.


166

Cargas en metros de columna de agua, medidas a partir del nivel de

referencia, a la salida de cada bomba:

Hsb(1) = 244.25

Hsb(2) = 244.46

Hsb(3) = 242.75

Hsb(4) = 244.17.

Carga dinámica total de cada bomba, en metros de columna de agua:

HB(1) = 254.93

HB(2) = 250.42

HB(3) = 239.57

HB(4) = 237.26

Velocidades en las líneas de conducción que conforman la red en metros por

segundo (el primer subíndice se refiere a la línea de conducción; el segundo, al

tramo en la misma línea de conducción):

v(1,1) = 1.81; v(1,2) = 1.16

v(2,1) = 1.85; v(2,2) = 1.18

v(3,1) = 1.32; v(3,2) = 1.22

v(4,1) = 1.51; v (4,2) = 1.43

v(5,1) = 1.75; v(5,2) = 1.75

v(6,1) = 1.47; v(6,2) = 1.47

v(7,1) = 1.74; v(7,2) = 1.74

v(8,1) = 1.61; v(8,2) = 1.61

v(9,1) = 1.35; v(9,2) = 1.35

v(10,1) = 1.38; v(10,2) = 1.38.


167

Coeficientes de fricción Hidráulica de la ecuación de Darcy-Weisbach

(adimensional):

f(1,1) = 0.0215; f(1,2) = 0.0160

f(2,1) = 0.0215; f(2,2) = 0.0159

f(3,1) = 0.0209; f(3,2) = 0.0158

f(4,1) = 0.0194; f(4,2) = 0.0146

f(5,1) = 0.0148; f(5,2) = 0.0148

f(6,1) = 0.0145; f(6,2) = 0.0145

f(7,1) = 0.0148; f(7,2) = 0.0148

f(8,1) = 0.0133; f(8,2) = 0.0133

f(9,1) = 0.0141; f(9,2) = 0.0141

f(10,1) = 0.0147; f(10,2) = 0.0147.

Suma de los coeficientes de pérdidas por accesorios, por tramo en cada línea

de conducción (adimensional):

Sk(1,1) = 18.25; Sk(1,2) = 0.56

Sk(2,1) = 18.25; Sk(2,2) = 1.96

Sk(3,1) = 18.25; Sk(3,2) = 2.41

Sk(4,1) = 18.25; Sk(4,2) = 1.96

Sk(5,1) = 1.12; Sk(5,2) = 1.99

Sk(6,1) = 1.99; Sk(6,2) = 1.99

Sk(7,1) = 1.12; Sk(7,2) = 1.99

Sk(8,1) = 0.40; Sk(8,2) = 0.0

Sk(9,1) = 0.0; Sk(9,2) = 0.0

Sk(10,1) = 0.0; Sk(10,2) = 0.16.


168

Número de Reynolds en las líneas de conducción (adimensional):

Re(1,1) = 230555.19; Re(1,2) = 184602.56

Re(2,1) = 234902.37; Re(2,2) = 188083.29

Re(3,1) = 201300.41; Re(3,2) = 193693.49

Re(4,1) = 304275.93; Re(4,2) = 295840.84

Re(5,1) = 278842.04; Re(5,2) = 278842.04;

Re(6,1) = 304191.83; Re(6,2) = 304191.83

Re(7,1) = 276661.72; Re(7,2) = 278842.04

Re(8,1) = 493378.29; Re(8,2) = 493378.29

Re(9,1) = 349108.08; Re(9,2) = 349108.08

Re(10,1) = 286172.68; Re(10,2) = 286172.68.

Rugosidades relativas en las líneas de conducción (adimensional):

RR(1,1) = 0.001170293; RR(1,2) = 0.000009659

RR(2,1) = 0.001170138; RR(2,2) = 0.000009659

RR(3,1) = 0.000973710; RR(3,2) = 0.000009659

RR(4,1) = 0.000739937; RR(4,2) = 0.000007415

RR(5,1) = 0.000009369; RR(5,2) = 0.000009369

RR(6,1) = 0.000007194; RR(6,2) = 0.000007194

RR(7,1) = 0.000009369; RR(7,2) = 0.000009369

RR(8,1) = 0.000004935; RR(8,2) = 0.000004935

RR(9,1) = 0.000005854; RR(9,2) = 0.000005854

RR(10,1) = 0.000007062; RR(10,2) = 0.000007062


169