unión de conjuntos
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Los Conjuntos
Un conjunto es una agrupacin de objetos, que poseen alguna caracterstica en comn. Pero no slo nos referimos a cosas fsicas, como lpices, libros, calculadoras, etc., sino tambin a elementos abstractos como nmeros letras, entre otros.A los objetos se les llama elementos del conjunto.Si tenemos el siguiente conjunto:C = {1, 2, 3, 4}, decimos que los elementos del conjunto C son los nmeros: 1, 2, 3 y 4.Con frecuencia, utilizamos letras maysculas A, B, C para designar al conjunto, y letras minsculas a, b, c, d. para referirnos a los elementos que forman parte de ese conjunto. Todos los conjuntos se escriben entre llaves {}.Determinacin de un ConjuntoLos conjuntos pueden definirse por extensin o por comprensin.ExtensinSe escriben los elementos que forman parte del conjunto, uno por uno separados por una coma y entre parntesis de llaves.C = {norte, sur, este, oeste}ComprensinDecimos que un conjunto es determinado por comprensin, cuando se da una propiedad que se cumpla en todos los elementos del conjunto y slo ellos.C = {x / x es un punto cardinal}Y se lee de la siguiente manera: C es el conjunto de todos los elementos x, tal que x es uno de los puntos cardinales.Ejemplos: A = { x/x es una consonante} B = { x/x es un nmero impar menor que 10} C = { x/x es una letra de la palabra feliz}Para definir un conjunto por compresin, es necesario saber algunos smbolos matemticos:1. < menor que2. > mayor que3. / tal que4. ^ yDecimos que dos conjuntos son iguales, slo si contienen los mismos objetos.Ejemplo: A = { a, e, i, o, u } A = { a, e, i, o, u, a} C = {x / x es una vocal}Como se puede ver, los tres conjuntos (A, B y C) son iguales, por lo que podemos darnos cuenta que podemos describir un mismo conjunto de diferentes maneras.Ejemplos por ExtensinEjemplos por Comprensin
A = { a, e, i, o, u}A = { x/x es una vocal }
B = { 1, 3, 5, 7, 9}B = { x/x es un nmero impar menor que 10 }
D = { f, e, l, i, z}D = { x/x es una letra de la palabra feliz }
E = { b, c, d, f, g, h, j, k . . . }E = { x/x es una consonante }
G = {venus, marte,}G = {x/x es un planeta}
Relacin entre ConjuntosUn elemento puede pertenecer o no a un conjunto dado.Para sealar se un elemento pertenece a un conjunto se usa el smbolo y, para decir que no pertenece el smbolo .Ejemplo:Sea A = { a, e, o, u } a A se lee: a pertenece al conjunto A i A se lee: i no pertenece al conjunto AUn conjunto puede ser o no subconjunto de otroUn conjunto A es subconjunto de B (o est incluido en B), si todos los elementos de A pertenecen a B.Notacin: A B; se lee: A es subconjunto de BTipos de conjuntosConjunto VacoEs el que no posee elementos. Tambin se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los smbolos: { }B = B = { } se lee: B es el conjunto vaco B es el conjunto nuloConjunto UnitarioEs el que tiene un nico elementoConjunto UniversoSe llama as al conjunto formado por todos los elementosEjemploU = {a, e, i, o, u}A={a, e}B={a, i, o, u}Conjunto FinitoSe llama as al conjunto al cual podemos nombrar su ltimo elementoEjemplo: D ={x/x es da de la semana}Es finito porque sabemos cules son todos los das de la semana.Conjunto InfinitoSe denomina as, ya que no podemos nombrar su ltimo elemento.Conjuntos disjuntosSon aquellos que no poseen ningn elemento comn.Operaciones de Conjuntos1.- InterseccinA C= Es el conjunto formado por los elementos comunes de A y C2.- UninB A = Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto a B como a A3.- DiferenciaA D = Conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a D4.- ComplementoB = Es el conjunto formado por todos los elementos del universo, que no pertenecen a B
UNIN DE CONJUNTOSLa unin de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unin de conjuntos se define como:A U B = {x / xEA o x E B}
Cuando no tienen elementos comunes
Cuando tienen algunos elementos comunes
Cuando todos los elementos del conjunto pertenecen a otro conjunto.EJEMPLO:. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:a)A U Cb)B U Cc)A U B
A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }
Representacin grfica de la unin de conjuntos A y CB U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }
Representacin grfica de la unin de conjuntos B y CA U B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
Representacin grfica de la unin de conjuntos A y BINTERSECCIN DE CONJUNTOSSe define la interseccin de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A nB, que se lee: A interseccin B. La interseccin de A y B tambin se puede definir:A nB = { x / x E A y x E B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:
Cuando tienen algunos elementos comunes
Cuando no tienen elementos comunes
Cuando todos los elementos del conjunto pertenecen a otro conjunto
EJEMPLO:Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
Representacin grfica de la interseccin de conjuntos A y C
Representacin grfica de la interseccin de conjuntos B y C
Representacin grfica de la interseccin de conjuntos A y B
Centro de Estudios Universitarios LondresGua para examen extraordinario de: Matemticas VPlan: 2000 Ciclo Escolar: 06-1 Semestre: 5 BachilleratoNombre del profesor: Oscar Guzmn Guzmn
OPERACIONES DE CONJUNTOS
A) Dados lo siguientes conjuntos, represente mediante un Diagrama de Venn Euler la solucin a cada operacin de conjuntos e indique qu elementos forman la solucin. NO ES NECESARIO REPRESENTAR CONJUNTOS QUE NO PERTENEZCAN AL PROBLEMA.
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 15 }
A = { 4, 8, 10, 12 }B = { 3, 6, 9, 12, 15 }
C = { 1, 2, 3, 11, 12, 13 }D = { 1, 5, 6, 10, 11 }
E = { 12, 13, 14, 15 }
a) A Bb) (A B)c) (D E) A
d) B Ce) Af) B
g) E Dh) B Ei) B E
j) A Ck) ( B C)l) ( C D )
m) ( A D )n) ( E C )
B) Sombrea en cada uno de los diagramas la solucin que satisfaga a la operacin de conjuntos pedida.
S (R T)L K
( A B ) C( H G ) I
H I
C) De las tres operaciones proporcionadas para cada ejercicio subraye aquella que corresponda a la zona gris (zona sombreada)
1) U (T R S )1) I (H G )
2) (S R )2) H ( G I )
3) ( S R ) T3) ( H G ) I
1) ( U L ) K1) H I
2) K L2) H I
3) ( U L ) K3) U ( H I )
1) U ( A C B )
2) ( B C ) A
3) C ( B A )
D) Utilizando en Diagrama de Venn resuelva los siguientes problemas:
0. En una encuesta realizadas a mujeres casadas se obtuvieron los siguientes resultados: 150 mujeres vean pelculas romnticas, 190 mujeres lean novelas de misterios, 160 mujeres escuchaban msica para meditar y un grupo mujeres preferan ver telenovelas, adems de estos datos algunas de damas anexaron lo siguiente: 90 mujeres preferan ver pelculas romnticas y leer novelas de misterio, 75 mujeres disfrutaban de escuchar msica y leer novelas de misterio, 68 mujeres vean pelculas romnticas y escuchaban msica para meditar, 30 vean tanto pelculas romnticas, escuchaban msica para meditar y lean novelas de misterio, 15 vean telenovelas y lean novelas de misterio.Cuntas mujeres vean telenovelas si el grupo encuestado era de 350 mujeres?
0. En una escuela de preparatoria con dos turnos de trabajo, la planta docente de ambos turnos tiene los siguientes datos: 19 profesores de Biologa, 30 Profesores de Qumica, 15 Profesores de Fsica, 24 Profesores de Matemticas y 19 Profesores de Ingls; algunos maestros ensean otras materias y he aqu los datos: 8 profesores ensean tanto Biologa como Qumica, 9 Profesores ensean tanto Fsica como Qumica, 10 profesores de Matemticas ensean tambin Qumica y 9 profesores de Ingls tambin imparten la materia de Matemticas. Si existen 230 profesores de otras asignaturas Qu cantidad de profesores hay en ambos turnos? Cuntos profesores imparten a lo ms una asignatura?
0. En un estudio realizado en 24 municipios de estado de Veracruz por los Herpetlogos de la UNAM encontraron los siguientes datos, 20 especies de serpientes arbreas, 24 especies de serpientes son terrestres, 24 especies de serpientes son de agua, 19 especies de serpientes son venenosas, adems algunas especies de serpientes presentan algunas de las siguientes caractersticas: 6 especies arbreas tambin terrestres, 10 especies que son acuticas tambin son arbreas, 4 especies arbreas son terrestres y tambin son acuticas, 9 especies de las serpientes terrestres tambin son acuticas, 3 especies que son terrestres tambin son acuticas y son venenosas, 6 especies terrestres son tambin son venenosas, 8 especies de serpientes que son acuticas tambin son venenosas Cuntas especies estudiaron los Herpetlogos?
E) Realice los siguientes problemas:0. Calcule el nmero de ordenaciones diferentes que se pueden realizar con las letras a, b, c, d, e, f, g, que contengan 3 letras.0. Se ordenan en una fila 7 banderas rojas, 5 banderas azules, 8 banderas amarillas y 6 banderas verdes De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar?0. Cuntos comits de 7 personas se pueden formar con un grupo de 15 personas?0. De cuantas formas es posible ordenar las letras de la palabra TLATELOLCO?0. El domin es un juego que consta de 28 fichas que normalmente se juega entre 4 personas, donde cada una recibe 7 fichas. Calcule el nmero de juegos diferentes que puede tener cada jugador.
F) Encuentre lo que se te pide:
1) En una caja hay 10 boletos con un nmero marcado: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Si se saca un boleto al azar identifique los siguientes sucesos: a) Sacar un nmero par, b) sacar un nmero mayor a 11, c) Sacar un nmero impar menor a 8, d) Sacar un nmero par mayor a 5.2) Para participar en la rifa de un reloj, los alumnos de 6to ao de preparatoria compraron 18 boletos, los de 5to ao compraron 12 boletos. Si la rifa consta de un total de 50 boletos Cul es la probabilidad de que: a) un alumno de 6to ao gane la rifa, b) un alumno de 5to ao gane la rifa, c) un alumno de 6to o de 5to gane la rifa.3) De un grupo escolar se van a elegir por sorteo a 3 alumnos que se hagan cargo de una ceremonia escolar, en el grupo hay 24 hombres y 12 mujeres Cul es la probabilidad de que el grupo de representantes est conformado de las siguientes maneras? A) Sean tres hombres, B) Sean tres mujeres, C) Sean 2 mujeres y un hombre, D) Sean 2 hombres y una mujer.4) En una urna hay 6 bolas azules marcadas con nmeros del 1 al 6; en otra urna hay6 bolas rojas tambin marcadas con nmeros del 1al 6. Cul es la probabilidad de que la suma de los nmeros de ambas esferas sea mayor a seis, si sabemos que la esfera azul fue un nmero divisible entre 2?5) Una maestra tiene cuatro pelotas de colores diferentes y tres libros tambin diferentes, quiere regalarle s sus mejores alumnos un libro y una pelota, para ello realiza un sorteo. Juanito quiere la pelota amarilla y el libro de aviones, pero se conformara con que al menos en uno de los dos regalos le toque lo que l quiere Qu probabilidad tiene de que se cumpla su deseo?6) Si se lanza una moneda al aire y sobre una mesa se lanza un dado legal Cul es la probabilidad de que salga en el dado un nmero menor que 3 y el guila de moneda?7) Un arquero olmpico presenta los siguientes datos: que atine al centro del blanco en su primer lanzamiento es de 0.68; que atine al centro del blanco en su segundo lanzamiento es de 0.37 y que atine al centro del blanco en su tercer lanzamiento es de 0.88 Cul es la probabilidad de que acierte a la diana en por lo menos uno de sus tres intentos?8) En una maquiladora de circuitos para computadoras, un grupo de trabajadores A produce el 68 % de la produccin total de la maquiladora, mientras que el grupo B produce el 32 % del total. Del grupo A el 2% es defectuoso, en tanto que del grupo B el 5 % es defectuoso. Calcule: a) Cul es la probabilidad de que la revisar un circuito al azar, sea defectuoso; b) Cul es la probabilidad de que al revisar un producto defectuoso, este provenga del grupo B?G) Resolver los siguientes problemas:a) Calcular la varianza en la serie de nmeros 3, 2, 1, 7, 5, as como su desviacin estndar.b) Calcular la desviacin media de los valores siguientes: 7, 8, 9, 5, 4.c) Identifique la moda en los siguientes valores sin agrupar:Xf
153
160
177
184
192
200
215
Total21
d) Calcule la moda de la siguiente serie de nmeros: a) 3, 2, 4, 8, 9, 10, 1, 5; b) 4, 5, 6, 4, 7, 8, 9, 8, 3, 1, 3.e) Calcular la desviacin estndar aplicando la frmula:
2
S = f X2( f X)
NN
En la distribucin de frecuencias agrupadas siguiente:ClaseMarcaFrecuencias
53 5855.58
58 6360.512
63 6865.515
68 7370.514
73 7875.523
f) Calcule el valor de la calificacin Z de una serie de nmeros cuya media aritmtica X = 110 y desviacin estndar s=6, para una partida de puntuacin de 134.
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