Conjuntos numéricos

Tercera cesión4° Medio Colegio Chile 2020

Conjunto ● un conjunto es una colección de elementos que

tienen una característica en común y que se puede definir escribiendo los elementos que lo conforman

● Otra manera de definir el conjunto anterior consiste en describir la característica común que tienen los elementos del conjunto.

A :{a , e , i , o ,u}

A : {Letras que son vocales}

*Regularmente los conjuntos se denominan con letras mayúsculas

Tipos de definición de conjuntos ● Como vimos anteriormente los conjuntos se

pueden definir de dos maneras, la primera se denomina “Definición por extensión ” osea mostrando todos sus elementos, y la segunda “Definición por comprensión” osea mostrando una característica común de los elementos.

● Ejemplos:P : {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

P : {Dígitos}

● Los dos conjuntos “P” Representan los mismos elemento, por tanto se dicen que son iguales

Definición por comprensión ● Los conjuntos numéricos también pueden

definirse por comprensión, usando simbología matemática; por ejemplo, para definir el conjunto “D” de los números positivos pares, podemos escribir:

● Que se puede leer comox “pertenece” a los “números naturales” “tal que” x es par

D :{x∈ℕ/ x es par }

Simbología básica Símbolo Se lee como:

/ Tal que Pertenece

^ yv o= Igual que

≠ Distinto que Distinta a

Ejemplo:

Se lee como : x pertenece a los números enteros tal que x es par y distinto que 8

L : {x∈ℤ/ x es par∧x≠8}

Ejemplos de transformación 1 ● Ahora vamos a pasar de una definición a otra tomando

en cuenta los patrones comunes de cada conjuntos ● De extensión a compresión:

A : {3 ,6 ,9 ,12 ,15 ,18 , ...}

Lo primero que podemos notar es que los números del conjunto AA son positivos y no decimales, por tanto, estos pertenecen a los números naturales

Lo segundo es ver los patrones del conjunto, en este caso todos los números son múltiplos de 3

Entonces tendremos:

A : {x∈ℕ/ x es múltiplo de 3}

Ejemplos de trasformacion 2

B :{x∈ℕ/ x es divisor de 144∧x no es par }

● De comprensión a extensión:

Aquí tenemos tres condiciones; la primera es “natural” eso significa que es positivo y sin decimales La segunda es “ser divisor” de 144 (todo numero que pueda dividirlo sin dejarlo decimal) por tanto tenemos los números 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48,72 y 144. pero la ultima condicion nos dice que tomemos solo los “no pares” por tanto nos quedamos solo con el 1, 3 y 9 entonces:

B :{1 , 3 , 9}

Operatoria de conjuntos● Para comenzar utilizaremos las dos operaciones básicas de los

conjuntos:la unión (U) y la intersección ( ) ∩

● Union: tal como dice su nombre es la unión o mejor dicho combinación de los elementos de dos o mas conjuntos, por ejemplo:

la unión de estos conjuntos estaría dada por:

siempre debemos que tomar en cuenta que si un termino se repite en ambos conjuntos, no es necesario ponerlo dos veces.

C :{1,2,3,4 }

D : {−1,0,1,2 }

C∪D :{−1,0,1,2,3,4}

Operatoria de conjuntos● Intersección: esta operación indica todos los elementos

que pertenecen tanto al primer conjunto como al segundo, osea los elementos “repetidos”. Por ejemplo:

● La intersección de estos conjuntos esta dada por:

● Si los dos conjuntos no tienen ningún termino en común diremos que su intersección es “vacía”

A : {−2 ,−1,0,1,2,3,4,5 }

B :{−2,0,2,4,6}

C :{1,3,5,7 }

A∩B :{−2,0,2,4}

B∩C :{ϕ }

Diagrama de Venn● Si queremos determinar los conjuntos AUB y A∩B, a simple vista

no resultará muy sencillo pues no conocemos los elementos de A ni de B, de modo que podemos escribir ambos conjuntos por extensión y luego representarlos en un diagrama de Venn. Observa.

A : {2, 3, 5, 7}B : {1, 3, 7, 21}

● Solo observando el diagrama podemos deducir que:AUB : {1, 2, 3, 5, 7, 21 }A∩B : {3, 7 }

Actividad ● Escribe por extensión los siguientes conjuntos.

S = {x N / x es divisor de 32}∈

T = {x N / x es múltiplo de 5}∈

U = {x Z / x tiene 2 cifras x termina en 4}∈ ∧

V = {x Z / x es divisor de 8 x es divisor de 12}∈ ∨

W = {x Z / x es primo x es par}∈ ∧

Actividad ● Escribe por comprensión los siguientes

conjuntos.O = {1, 2, 3, 4, 6, 12}P = {2, 4, 6, 8, 10}Q = {4, 8, 12, 16, 20, 24}R = {1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, …}S = {1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91}T = {4, 6, 8, 9}

Actividad● Observa el diagrama de Venn y define, por

extensión y por comprensión:El conjunto AEl conjunto BEl conjunto A U BEl conjunto A ∩ B.

Actividad● A partir de los conjuntos dados, realiza las siguientes

operaciones.A = {x N / x es divisor de 20}∈

B = {x Z / x es impar x tiene una cifra}∈ ∧

C = {–6, –3, –1, 1, 3, 6, 9}● A U B● B∩C● C U A● (A∩B) U C● (C U B) U A● (B∩A) U (C∩B)

Actividad ● Dado el conjunto A = {x N / x es divisor de ∈

48}, determina, en cada caso, un conjunto B tal que se cumplan las condiciones indicadas.

● A U B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 48}● A∩B = {1, 2, 3, 6}● A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 16, 24, 40, 48}● A∩B = ∅

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