unidad_5_distribuciones

PROBABILIDADES Y ESTADSTICA

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Lic. Mnica L. Pascual

DISTRIBUCIONES

DE

PROBABILIDAD

UNIDAD 5


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INTRODUCCIN

En esta unidad y para concluir con la tarea de plasmar los primeros conceptos de

Probabilidades y Estadstica; desarrollaremos los conceptos referidos a la probabilidad

clsica y frecuencial. Las reglas y los conceptos generales, hasta la utilizacin de la regla

de Bayes.

Luego se exponen las distribuciones de probabilidad para espacios muestrales

discretos como la distribucin uniforme discreta, la Binomial, la Poisson, y para espacios

muestrales continuos, como la distribucin uniforme continua, la normal y la exponencial.

Trabajar con las tablas permite ahorrar tiempo y esfuerzo, al tiempo que podemos

entender mejor algunos conceptos. Adelante

OBJETIVOS ESPECFICOS

Que el alumno luego de conocer los conceptos bsicos de probabilidad, los aplique en

distribuciones discretas y/o continuas.


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CONTENIDOS

5.1. Distribuciones Discretas de Probabilidad.

Uniforme discreta.

Binomial.

Poisson.

5.2. Distribuciones Continuas de Probabilidad.

Uniforme continua.

Normal.


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Esquema de contenidos

A continuacin le presentamos un esquema con vinculacin de contenidos.


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5.1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Definiciones y conceptos

Variable aleatoria: Es aquella cuyos valores surgen asignando nmeros a los

resultados de un experimento aleatorio. Como los valores que asumen las

variables aleatorias surgen de cuantificar eventos, podemos asignar una

probabilidad a cada valor de la variable aleatoria. Es decir, si se tiene una

variable X, cuyos posibles valores X1 , X2 , ........... , Xn , a los cuales podemos

asociarles una probabilidad p1 , p2 , .............. pn , decimos que ha quedado

definida una variable aleatoria.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas

Distribuciones discretas

Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede tomar

un nmero determinado de valores, provienen de espacios muestrales discretos

cuya caracterstica principal es que surgen del hecho de contar.

Se representan por el conjunto de nmeros enteros, los naturales y el cero,

no admiten en la observacin valores de la variable con decimales. Por ejemplo: si

se tira un dado puede salir un nmero de 1 al 6; en una ruleta el nmero puede

tomar un valor del 1 al 32; una familia puede no tener hijos (0 hijos) o puede tener

1, 2, 3, ..10 hijos, nunca podran tener 1,5 hijos.

Como los valores de probabilidad surgen de cuantificar todos los resultados

posibles de un experimento aleatorio, la suma de las probabilidades debe se igual

a uno:


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1)(1

n

i

ixp

Funcin de distribucin de probabilidad: para estas variables es una

funcin que acumula probabilidades de manera similar a las frecuencia

acumuladas en una tabla de frecuencias relativas y se simboliza:

F (u) = P (x u)

Se lee: probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual a u.

Distribuciones continuas

Las distribuciones continuas son aquellas que provienen de espacios

muestrales continuos cuya caracterstica principal es que surgen del hecho de

medir.

Se representan por el conjunto de nmeros reales, admiten infinitos valores

intermedios como puntos en un segmento de lnea, con la particularidad que la

probabilidad que una variable aleatoria continua asuma un valor exacto tiende a

cero. Por ejemplo: el peso medio de los alumnos de una clase puede tomar

infinitos valores dentro de cierto intervalo (de 42 a menos de 45 kg, de 45 a menos

de 48, etc.); la esperanza media de vida de una poblacin (72,5 aos, 75,13 aos,

72, 51234 aos).

Al tener la variable infinitos valores, se puede calcular la probabilidad que

valores particulares de la variable aleatoria ocurran dentro de ciertos rangos o

intervalos considerando la funcin matemtica que se conoce con el nombre de

funcin de densidad de probabilidad: f (x).


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Si X es una variable aleatoria continua, cuyo campo de variabilidad es el

intervalo: a x b, siendo a y b dos nmeros reales fijos, la probabilidad en este

intervalo se define:

En las variables aleatorias continuas tambin se pueden calcular una

funcin de distribucin que acumula probabilidades y se define como:

u

adxxfuFuXaP )()()(

F(u) est representada por el rea comprendida entre el eje x, la funcin de

densidad f(x) y las ordenadas f(a) y f(u), pero tambin la podemos representar

como la funcin de probabilidad acumulada; de all que F(a) = f(a) y F(b) = 1

Las distribuciones quedan definidas a travs de sus parmetros: esperanza

matemtica, varianza y desvo estndar.

1)()( b

adxxfbXaP

f(x)

)( bXaP


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Esperanza matemtica: E(x):

Calcula el valor esperado promedio, el cual est en funcin de la

probabilidad asignada a cada uno de los valores que toma la variable

aleatoria.

Esperanza matemtica para variables aleatorias discretas:

n

i

ii xpxxE1

)()(

Esperanza matemtica para variables aleatorias continuas:

dxxfxxE

b

a

ii )()(

5.1.1.- DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

5.1.1.1.- UNIFORME DISCRETA:

Cuando la variable aleatoria discreta asume cada uno de sus valores con idntica

probabilidad la distribucin de dicha variable recibe el nombre de distribucin

discreta uniforme.

.,,,,

1);( 21 kxxxxcon

kkxf

Por ejemplo: Si seleccionamos un empleado de un grupo de 8 para supervisar

determinado proyecto, eligiendo aleatoriamente una placa numerada de un box


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que contiene 8 fichas numeradas del 1 al 8. Cul sera la frmula para la

distribucin de probabilidad de X que representa el nmero de la placa que se

saca?. Cul sera la probabilidad que el nmero que se saque sea menor que 6?

.8,,2,1,8

1)8;( xconxf

P(x < 6) = P(x 5) = 625,08

5

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

La media aritmtica de una distribucin uniforme discreta est dada por:

k

xk

ii

1

La varianza de una distribucin uniforme discreta est dada por:

k

xk

ii

2

12

)(

1

.5.1.1.2.- DISTRIBUCIN DISCRETA BINOMIAL Proceso de Bernoulli:

El proceso de Bernoulli es aquel modelo que sigue un experimento que se realiza

una sola vez y que puede tener dos soluciones: xito (acierto) o fracaso:

Cuando es xito (acierto) la variable toma el valor 1

Cuando es fracaso la variable toma el valor 0

Por ejemplo: Variables dicotmicas como la probabilidad de salir cara al lanzar

una moneda al aire (sale cara o no sale); probabilidad de acertar una quiniela (o


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aciertas o no aciertas), o dicotomizadas probabilidad de ser admitido en una

universidad (o lo admiten o no lo admiten).

Al hablar de dos soluciones nicamente se trata de sucesos

complementarios:

A la probabilidad de xito se le denomina "p"

A la probabilidad de fracaso se le denomina "q" = 1 - p

Verificndose que: p + q = 1

Veamos algunos ejemplos:

a) Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire:

P (cara) = p = 0,5

P (cruz) = q = 0,5 p + q = 0,5 + 0,5 = 1

b) Probabilidad de ser admitido en la universidad:

P (admitido) = p = 0,25

P (no admitido) = q = 0,75 p + q = 0,25 + 0,75 = 1

c) Probabilidad de acertar a la quiniela:

P (acertar) = p = 0,001

P (no acertar) =q = 0,999 p + q = 0,001 + 0,999 = 1

La distribucin de Bernoulli se aplica cuando se realiza una sola vez un

experimento que tiene nicamente dos posibles resultados (xito o fracaso), por lo

que la variable slo puede tomar dos valores: el 1 y el 0


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La distribucin binomial parte del proceso de Bernoulli:

La distribucin binomial se aplica cuando se repite un nmero "n" de veces

el experimento de Bernoulli, siendo cada ensayo independiente del anterior. La

variable puede tomar valores entre:

0: si todos los experimentos han sido fracaso

n: si todos los experimentos han sido xitos

En general, las condiciones que debe cumplir son:

El experimento consiste en n intentos repetidos.

Los resultados de cada uno de los intentos pueden clasificarse como

un xito o como un fracaso.

La probabilidad de xito, representada por p, permanece constante

para todos los intentos.

Los intentos repetidos son independientes.

La distribucin de probabilidad para este tipo de distribucin basada en

experimentos de Bernoulli, donde estudiamos el comportamiento de la variable

aleatoria binomial X, el nmero de xitos en n experimentos independientes,

sigue el siguiente modelo:

knk

kn qpCkxP ..)( con k = 0,1,2,,n

Recuerde que:

)!!.(

!

knk

nCkn


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Ejemplo 1

En cierto sector de una empresa el 75% de los accidentes se deben a la

falta de sealizacin adecuada Cul es la probabilidad de que dentro de los

prximos 8 accidentes, exactamente 4 se deban a la falta de sealizacin?

"k" es el nmero de xitos. En este ejemplo " k " igual a 4 (en cada xito decimos

que la variable toma el valor 1: como son 4 xitos, entonces k = 4)

"n" es el nmero de intentos. En el caso planteado n = 8

"p" es la probabilidad de xito, es decir, que los accidentes de deban a la falta de

sealizacin adecuada. Por lo tanto p = 0,75

La frmula quedara: 08652,025,0.75,0.)!48!.(4

!8)4( )48(4

xP

La probabilidad de que 4 de los prximos 8 accidentes se deban a la

falta de sealizacin es del 8,652%.

A nuestro problema tambin lo solucionamos con el Excel, vamos a insertar

funcin:


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Elegimos en seleccionar una categora de funciones, a las estadsticas, y dentro

de las estadsticas, escogemos a la DISTR.BINOM.

Ingresamos la informacin del problema y listo. P(X=4) = 0,086517334


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En una distribucin binomial, tenemos que:

pnxE )(

qpnVarianza 2:

qpnestndarDesvo :

Aplicando la frmula de la esperanza matemtica para la distribucin

binomial en el ejercicio que se est estudiando: 675,08)( xxE


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Este resultado debe interpretarse como: Se espera que en los prximos 8

accidentes, 6 se deban a la falta de sealizacin

Continuando con el ejemplo anterior si queremos conocer Cul es la

probabilidad de que menos de 4 accidentes se deban a la razn antes indicada?

En este caso nos pide P(x


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Ejemplo 2

Un agrnomo recibe una publicidad sobre un nuevo insecticida donde se

manifiesta que la eficiencia del producto es del 90 % en la exterminacin de una

plaga especfica. Para verificar este anuncio se realiza un experimento en el cual

se someten a 20 insectos al insecticida en cuestin.

a) Calcular el valor esperado de insectos vivos y muertos

p(insectos muertos) = 0,90

p(insectos vivos) = 0,10

En probabilidad, se ha definido como valor esperado al parmetro

esperanza matemtica.

En la distribucin binomial: E(x) = n p(x)

E(insectos vivos) = 20 0,10 = 2 insectos vivos

E(insectos muertos) = 20 0,90 = 18 insectos muertos

Interpretacin de los resultados: se espera que despus de realizar el

experimento se encuentren 2 insectos vivos y 18 insectos muertos

Continuando con el mismo ejemplo, cul es la probabilidad de encontrar:

b) 2 insectos vivos

c) 16 insectos muertos

d) menos de 5 insectos vivos

e) ms de 15 insectos muertos


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b) Como vimos antes, la probabilidad de xito de encontrar insectos vivos es:

p(x) = 0.10. Reemplazamos en la frmula de las probabilidades binomiales:

2852,090,010,0!18!2

!20])(1[)(

)!(!

!)](,/[ 182

xnx xpxp

XnX

nxpnXP

La probabilidad de encontrar dos insectos vivos es 0.2852

c) La probabilidad de xito asociada a los insectos muertos es p(x) = 0.90.

Aplicando y reemplazando en la frmula se obtiene:

0898,010,090,0!4!16

!20])(1[)(

)!(!

!)](,/[ 416

xnx xpxp

XnX

nxpnXP

La probabilidad de encontrar 16 insectos muertos es 0,0898

d) Determinar la probabilidad de encontrar menos de 5 insectos vivos,

significa que puedo encontrar uno, dos, tres, cuatro o ningn insecto vivo:

P(X < 5/ n = 20, p = 0.10) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

En este caso, se puede aplicar la frmula de la distribucin binomial para

cada uno de los valores que adopta la variable y sumar todos los resultados

obtenidos:

P(X < 5/ n=20, p=0.10) = P(X 4/ n=20, p=0.10)

P(X 4/ n=20, p=0.10)= 0,1216 + 0,2702 + 0,2852 +,0,1901 + 0,0898 = 0,9568

La probabilidad de encontrar menos de 5 insectos vivos es 0,9568


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Estos clculos pueden omitirse utilizando la funcin del excel

DISTR.BINOM, colocando la palabra Verdadero en el argumento de la funcin.

Otra opcin para resolver el problema anterior, es usar la Tabla de

Probabilidad Binomial acumulada que se adjunta en archivo aparte. Esta tabla

muestra la probabilidad acumulada hasta cada valor que adopta X, segn las

diferentes combinaciones de los parmetros n y p(x).

Para el ejercicio propuesto puede encontrarse fcilmente el resultado en la

interseccin de p(x) = 0,1 y x = 4

n=20 Probabilidad p(x)

X 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95

0 0,3585 0,1216 0,0115 0,0008 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,7358 0,3917 0,0692 0,0076 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9245 0,6769 0,2061 0,0355 0,0036 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9841 0,8670 0,4114 0,1071 0,0160 0,0013 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9974 0,9568 0,6296 0,2375 0,0510 0,0059 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,9997 0,9887 0,8042 0,4164 0,1256 0,0207 0,0016 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

6 1,0000 0,9976 0,9133 0,6080 0,2500 0,0577 0,0065 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

7 0,9996 0,9679 0,7723 0,4159 0,1316 0,0210 0,0013 0,0000 0,0000 0,0000

8 0,9999 0,9900 0,8867 0,5956 0,2517 0,0565 0,0051 0,0001 0,0000 0,0000

9 1,0000 0,9974 0,9520 0,7553 0,4119 0,1275 0,0171 0,0006 0,0000 0,0000

10 0,9994 0,9829 0,8725 0,5881 0,2447 0,0480 0,0026 0,0000 0,0000

11 0,9999 0,9949 0,9435 0,7483 0,4044 0,1133 0,0100 0,0001 0,0000

12 1,0000 0,9987 0,9790 0,8684 0,5841 0,2277 0,0321 0,0004 0,0000

13 0,9997 0,9935 0,9423 0,7500 0,3920 0,0867 0,0024 0,0000

14 1,0000 0,9984 0,9793 0,8744 0,5836 0,1958 0,0113 0,0003


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15 0,9997 0,9941 0,9490 0,7625 0,3704 0,0432 0,0026

16 1,0000 0,9987 0,9840 0,8929 0,5886 0,1330 0,0159

17 0,9998 0,9964 0,9645 0,7939 0,3231 0,0755

18 1,0000 0,9995 0,9924 0,9308 0,6083 0,2642

19 1,0000 0,9992 0,9885 0,8784 0,6415

20 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

e) La probabilidad de encontrar ms de 15 insectos muertos se puede

calcular como:

P(X >15/ p(x)=0,90, n=20) = P(X16/ p(x)=0,90, n=20) = 1- P(X15/ p(x)=0,90,

n=20)

Este resultado puede encontrarse rpidamente utilizando la funcin del

Excel antes mencionada o la tabla de la distribucin binomial acumulada en la

interseccin de p(x) = 0,90 y X = 15

n=20 Probabilidad p(x)

X 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95

0 0,3585 0,1216 0,0115 0,0008 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,7358 0,3917 0,0692 0,0076 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9245 0,6769 0,2061 0,0355 0,0036 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9841 0,8670 0,4114 0,1071 0,0160 0,0013 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9974 0,9568 0,6296 0,2375 0,0510 0,0059 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,9997 0,9887 0,8042 0,4164 0,1256 0,0207 0,0016 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

6 1,0000 0,9976 0,9133 0,6080 0,2500 0,0577 0,0065 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

7 0,9996 0,9679 0,7723 0,4159 0,1316 0,0210 0,0013 0,0000 0,0000 0,0000


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8 0,9999 0,9900 0,8867 0,5956 0,2517 0,0565 0,0051 0,0001 0,0000 0,0000

9 1,0000 0,9974 0,9520 0,7553 0,4119 0,1275 0,0171 0,0006 0,0000 0,0000

10 0,9994 0,9829 0,8725 0,5881 0,2447 0,0480 0,0026 0,0000 0,0000

11 0,9999 0,9949 0,9435 0,7483 0,4044 0,1133 0,0100 0,0001 0,0000

12 1,0000 0,9987 0,9790 0,8684 0,5841 0,2277 0,0321 0,0004 0,0000

13 0,9997 0,9935 0,9423 0,7500 0,3920 0,0867 0,0024 0,0000

14 1,0000 0,9984 0,9793 0,8744 0,5836 0,1958 0,0113 0,0003

15 0,9997 0,9941 0,9490 0,7625 0,3704 0,0432 0,0026

16 1,0000 0,9987 0,9840 0,8929 0,5886 0,1330 0,0159

17 0,9998 0,9964 0,9645 0,7939 0,3231 0,0755

18 1,0000 0,9995 0,9924 0,9308 0,6083 0,2642

19 1,0000 0,9992 0,9885 0,8784 0,6415

20 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

P(X >15/ p(x)=0,90, n=20) = 1- P(X15/ p(x)=0,90, n=20) = 1-0,0432 = 0,9568

La probabilidad que se encuentren ms de 15 insectos muertos es de 0,9568

1.5.1.1.3.- DISTRIBUCIN DE POISSON Experimentos de Poisson:

Cuando la variable aleatoria X representa el nmero de resultados durante

un intervalo de tiempo dado o una regin especfica nos encontramos frente a

experimentos de Poisson.


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Generalmente cuando en una distribucin binomial se realiza el

experimento un nmero "n" muy elevado de veces y la probabilidad de xito "p" en

cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribucin de Poisson.

El proceso de Poisson tiene las siguientes caractersticas:

El nmero de ocurrencias en dos intervalos de tiempo disjuntos son

independientes.

La probabilidad de exactamente una ocurrencia en un intervalo de tiempo

muy pequeo es proporcional a la longitud del intervalo y no depende del

intervalo en particular.

La probabilidad de tener ms de una ocurrencia en un intervalo de tiempo

particular muy pequeo es despreciable.

No olvide que los objetivos de cada Unidad guiarn su estudio hacindoselo ms

agradable porque sabe dnde debe (quiere) llegar.

Sigamos

La distribucin de probabilidad para este tipo de distribucin basada en

experimentos de Poisson, donde estudiamos la variable aleatoria binomial X, el

nmero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en una

regin especfica, sigue el siguiente modelo:

!

)(.)(

k

tekxP

kt con k = 0,1,2,,n

txE )( t 2


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Recuerde que:

e = 2,71828

t = es el nmero promedio de resultados por unidad de tiempo o regin.

k " es el nmero de xito cuya probabilidad se est calculando

Ejemplo 1 de Poisson: Si en promedio, llegan tres operarios por minuto al

servicio de comidas de la fbrica durante la hora del almuerzo.

a) Cul es la probabilidad de que en un minuto dado, lleguen exactamente dos

operarios?

Datos: t = 3 operarios por minuto

K = 2

224,0!2

)3(.)2(

23 exP

La probabilidad de que lleguen exactamente 2 operarios en un minuto

dado es del 22,4%.

Para resolver esto utilizado Excel se pueden utilizar las funciones

estadsticas: seleccionamos la funcin POISSON.


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Ingresamos la informacin que tenemos: y listo, tenemos el resultado:

P(X=2) = 0,2240


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Continuando con el ejemplo:

b) Cul es la probabilidad de que lleguen ms de dos operarios en un minuto

dado?

P(X>2/=3) = ?

Esta probabilidad puede plantearse tambin como:

P(X>2/=3) = 1-P(X2/=3) = 1-[P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]

Aplicando la formula para cada una de las probabilidades se obtiene:


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P(X>2/=3) = 1- [0,0498 + 0,1494 + 0,2240] = 1- 0,4232 = 0,5768

El 57,68% es la probabilidad que lleguen ms de 2 operarios en un minuto dado

Los resultados anteriores pueden encontrarse con el Excel:

P(X>2/=3) = 1-P(X2/=3) = 1- 0,4232 = 0,5768


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Otra opcin que tienen disponible para encontrar las probabilidades de una

variable aleatoria que sigue una distribucin de Poisson es utilizar la Tabla de la

Distribucin de Poisson acumulada.

La probabilidad acumulada P(X2/=3) puede encontrarse en la

interseccin de = 3 y X = 2

X 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0 0,905 0,819 0,741 0,67 0,607 0,549 0,497 0,449 0,407 0,368 0,223 0,135 0,082 0,0498

1 0,995 0,982 0,963 0,938 0,91 0,878 0,844 0,809 0,772 0,736 0,558 0,406 0,287 0,1991

2 1 0,999 0,996 0,992 0,986 0,977 0,966 0,953 0,937 0,92 0,809 0,677 0,544 0,4232

3 1 1 1 0,999 0,998 0,997 0,994 0,991 0,987 0,981 0,934 0,857 0,758 0,6472

4 1 1 1 1 1 0,999 0,999 0,998 0,996 0,981 0,947 0,891 0,8153

5 1 1 1 1 1 1 0,999 0,996 0,983 0,958 0,9161

6 1 1 1 1 0,999 0,995 0,986 0,9665

7 1 1 0,999 0,996 0,9881

8 1 1 0,999 0,9962

9 1 1 0,9989

10 1 0,9997

11 1 0,9999

12 1,0000

Lea atentamente el siguiente concepto:


_____________________________________________________________________


Algunas veces nos encontramos con muestras de tamao bastante grande

y con probabilidades de xito, a las que hemos llamado p, muy pequeas. En

estos casos, la distribucin de Poisson resulta apropiada para obtener una buena

aproximacin al resultado que se obtendra si se aplicara la distribucin binomial.

En general, se usa como regla que cuando n 30 y adems n.p < 5 n.q

< 5, se puede obtener de la distribucin de Poisson aproximaciones apropiadas a

la distribucin binomial.

Cuando se utiliza la distribucin de Poisson para aproximar el modelo

binomial, los parmetros se definen como:

pnXE )( 2

Ejemplo:

La probabilidad de tener un accidente de trnsito es de 0,02 cada vez que

se viaja. Si se realizan 200 viajes, cul es la probabilidad de tener exactamente 3

accidentes?

Como la probabilidad p es menor que 0,1, y el producto n.p es menor que 5,

entonces aplicamos el modelo de distribucin de Poisson.

!3

4.)3(

34 eXP

Luego, P (x = 3) = 0,1953

Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de trfico en 200 viajes es

del 19,53%


_____________________________________________________________________


ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

No hay aprendizaje sin actividad! Responda las siguientes consignas.

1. Proporcione ejemplos de espacios muestrales discretos

2. Proporcione ejemplos de espacios muestrales continuos

Si finaliz con la tarea, contine con la lectura.


_____________________________________________________________________


5.2.1- DISTRUBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

5.2.1.1.- UNIFORME CONTINUA

La distribucin uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro

de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad.

Es una distribucin continua porque puede tomar cualquier valor y no

nicamente un nmero determinado (como ocurre en las distribuciones discretas).

La funcin de densidad, aquella que nos permite conocer la probabilidad que tiene

cada punto del intervalo, viene definida por:

1)(xf , con < x <

Podemos ejemplificar diciendo: el precio medio del litro de gasoil durante el

prximo ao se estima que puede oscilar entre 2,40 y 3,60 $. Podra ser, por tanto,

de 2,43 $, o de 2,434 $, o de 2,4345 $, o de 2,43455 $, etc. Hay infinitas

posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.

1)(xf , con < x <

Donde: : es el extremo superior (en el ejemplo, 3,60 $)

: es el extremo inferior (en el ejemplo, 2,40 $)

Por lo tanto, la funcin de distribucin del ejemplo sera:

8333,020,1

1

40,260,3

1)(

xf


_____________________________________________________________________


Es decir, que el valor final est entre 2,40 $ y 2,50 $ tiene un 8,33% de

probabilidad, que est entre 2,50 y 2,60, otro 8,33%, etc.

El valor medio de esta distribucin se calcula:

2)(

xE

$00,32

60,340,2

Por lo tanto, el precio medio esperado del gasoil para el prximo ao es de $ 3,00

La varianza en una distribucin uniforme continua ser:

12

)()(

22

xVAR

22

2 $12,012

)40,260,3(


_____________________________________________________________________



No hay aprendizaje sin actividad! Responda las siguientes consignas.

1. Cmo ser la grfica de una distribucin uniforme continua?

2. En este caso es lo mismo P (X< 6 ) que P(X 6), por qu?

Si finaliz con la tarea, contine con la lectura.


_____________________________________________________________________


5.2.1.2.- DISTRIBUCIN NORMAL

La teora de probabilidades se basa en el estudio de este tipo de distribuciones, es

el modelo de distribucin ms utilizado en la prctica, ya que una multitud de

fenmenos se comportan segn una distribucin normal.

Esta distribucin de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una

campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de

la distribucin

La funcin de densidad de la variable aleatoria normal X, con media y

varianza 2, es:

2)(2

1

..2

1)(

x

exf

Donde ...14159,3 y e = 2,71828


_____________________________________________________________________


A no asustarse la aplicacin en la prctica es de clculo sencillo, utilizando

la tabla de la distribucin normal.

Caractersticas de la Distribucin Normal:

La Moda, que es el punto donde la curva tiene su mximo valor, sobre el

eje horizontal, ocurre en x = .

La curva es simtrica respecto de su eje vertical donde tiene la media .

La curva posee sus puntos de inflexin en x = , entonces es cncava hacia

abajo si - < X < + y es cncava hacia arriba en cualquier otro punto.

La curva normal es asinttica en cualquiera de las dos direcciones

alejndose de la media, se acerca al eje horizontal, sin tocarlo.

El rea total bajo la curva y por encima del eje horizontal es igual a uno.-

La distribucin normal viene definida por dos parmetros: X ~ N (, 2)

: como ya lo expusimos es el valor medio de la distribucin y precisamente all es

donde se sita el centro de la curva (de la campana de Gauss).

2 : es la varianza, indica si los valores estn ms o menos alejados del valor

central: si la varianza es baja los valores estn prximos a la media; si es alta,

entonces los valores estn muy dispersos.

Cuando la = 0 y = 1 la distribucin se denomina normal estndar, y su ventaja

reside en tablas donde se recogemos la probabilidad acumulada para cada punto

de la curva. Adems, toda distribucin normal se puede transformar en una normal

estndar empleando una frmula de transformacin

Para transformarla en una normal estndar se crea una nueva variable (Z) que

ser igual a la anterior (X) menos su media y dividida por su desviacin estndar

(que es la raz cuadrada de la varianza).


_____________________________________________________________________


Frmula de transformacin:

X

Z

Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada, con media =0 y

desvo estndar =1, permitindonos, por tanto, conocer la probabilidad

acumulada en cada valor: Z ~ N (0, 1)

Trabajar con la distribucin normal estndar tiene la ventaja, de que las

probabilidades o reas para cada valor bajo la curva se encuentran en una tabla.

Por ejemplo: tenemos una variable aleatoria que sigue el modelo de una

distribucin normal con = 10 y 2 = 4, es decir: X ~ N (10, 4). Para transformarla

en una normal estndar se procede de la siguiente forma:

X

Z 2

10X

Z

Metodologa de trabajo de la Tabla Normal:

La columna de la izquierda indica el valor estndar Z (entero y primer

decimal) cuya probabilidad acumulada queremos conocer. La fila superior indica el

segundo decimal del valor de Z que estamos consultando.

Por ejemplo: si queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 1,88.

Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 1,8 y en la primera fila

el valor 0,08. La casilla donde se intersectan es su probabilidad acumulada

(0,9699, es decir 96,99 %).

IMPORTANTE

La tabla nos da probabilidades acumuladas, es decir, la que va desde el

inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor. No nos da la probabilidad

concreta en ese punto. En una distribucin continua en el que la variable puede


_____________________________________________________________________


tomar infinitos valores, la probabilidad en un punto concreto es prcticamente

despreciable.

Buscando en la tabla de la distribucin normal estndar acumulada:

La probabilidad acumulada en el valor Z = - 0,85: la respuesta es 0,1977

La probabilidad acumulada en el valor Z = 0,85: la respuesta es 0,8023



Ejemplo 1

El tiempo medio que los empleados de una empresa trabajan en una maquina en

particular, se distribuye segn una distribucin normal, con media 5 hs. y

desviacin estndar de 1 hs. Calcular el porcentaje de empleados que trabajan

menos de 7 hs. en la mquina. Este problema puede escribirse como:

)1,5/7( XP

Lo primero que vamos a hacer es transformar esa distribucin en una normal

estndar, para ello se crea una nueva variable (Z) que ser igual a la anterior (X)

menos su media y dividida por la desviacin estndar:

0 Z


_____________________________________________________________________


Recuerde que:

X

Z en nuestro ejemplo ser 21

57

Z

Esta nueva variable Z se distribuye como una normal estndar. Ahora podemos

consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la

probabilidad de empleados que trabajan menos de 7 hs. en la mquina).

)2()1,5/7( ZPXP

Esta probabilidad es 0,97725 o sea que el porcentaje de empleados que

trabajan menos de 7 hs. en la mquina es del 97,725%.

Resolveremos ahora un problema que refuerza los conceptos vistos

Ejemplo 2

Una empresa que tiene a su personal distribuido en grupos de trabajo de igual

cantidad de personas, desea realizar un estudio sobre presentismo. Toma en

cuenta la asistencia de cuatro grupos de trabajo en dos semanas consecutivas

obteniendo:

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4

Semana 1 47 42 46 48

Semana 2 48 48 42 45

Esta empresa desea saber entre que valores se encuentra el 90% de la

asistencia de los empleados de estos grupos, si por estudios realizados con

anterioridad el comportamiento del presentismo tiene una distribucin normal.


_____________________________________________________________________


Utilizamos los datos obtenidos como una serie simple para encontrar la media

y el desvo estndar: = 45,75 y = 2,55.

Como sabemos que la poblacin tiene distribucin normal, podemos

escribir: 55,2

75,45

XXZ

El 90 % en una distribucin normal es el 0,9000 del rea bajo la curva de dicha

distribucin. Esto es:

p(Xi)

El rea es 0.4500 El rea es 0.4500

x = 41,55 x = 45,75 x = 49,94 X

z = -1,645 z = 0 z = 1,645

Como hemos visto que la distribucin es simtrica con respecto a la media,

significa que a ambos lados de la misma, la superficie bajo la curva es 0,4500. Por

lo tanto, en cada extremo de la distribucin normal, el rea bajo la curva es 0,05.

Como la tabla de la distribucin normal estndar, nos da probabilidades

acumuladas, es decir, la probabilidad desde el inicio de la curva por la izquierda

hasta el valor de Z buscado, tendremos que hallar ahora a que valor de Z1 le

corresponde una probabilidad de 0,0500 (5%) y a que valor de Z2 le corresponde

5% 5% 90%

Z1 Z2


_____________________________________________________________________


la probabilidad de 0,9500 (5%+90% = 95%), o el valor ms cercano a estos. Esta

bsqueda se hace desde el cuerpo o centro de la tabla hacia los bordes de sta,

donde se encuentran los valores de Z.

Z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183

-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

Observando los valores de probabilidad en el cuerpo de la tabla, se encuentran

dos valores igualmente cercanos a 0,0500 y corresponden a Z = -1,64 y Z= -1,65.

Ser indistinto utilizar un valor u otro, pues la diferencia en el resultado final no es

significativo.

De la misma forma se busca en la tabla el valor de Z correspondiente a una

probabilidad de 0,9500, el cual corresponde a Z = 1,64 o Z = 1,65

Reemplazando en la expresin antes obtenida:


_____________________________________________________________________


645,155,2

75,45

X

Z

Despejando X se tiene: X = 45,75 1,645 x 2,55

55,4155,2645,175,451 X

94,4955,2645,175,452 X

Estos resultados X1 = 41,55 y X2 = 49,94, nos dicen que el 90 % del

presentismo est entre 42 y 50 empleados por grupo.

Ejemplo 3

A los efectos de reducir el ausentismo diario, la empresa desea premiar a

aquellos grupos de trabajo cuya asistencia supera el 98 %.

En este ejemplo, a diferencia del anterior, no interesa saber cual es el valor

mnimo (x1), sino directamente el valor de X2.

El rea es 0,5000 rea 0,4800

X=45,75 X=50,98

Z=0 Z=2,05


_____________________________________________________________________


Buscando en el cuerpo de la tabla normal estndar el valor de probabilidad

ms cercano a 0,9800 (0,5000 + 0,4800) vemos que corresponde al valor de

Z=2,05

Utilizando esta informacin en la frmula de transformacin, obtenemos:

X

Z 98,5055,205,275,4555,2

75,4505,2

XX

Segn el resultado precedente, los grupos debern trabajar mucho para

concientizar a sus integrantes de la importancia que tiene para todos ellos la

asistencia de cada uno, ya que por lo menos 51 personas por grupo deberan

estar presentes para alcanzar el premio. Si se observa la tabla que da origen a

estos resultados, ningn grupo lleg a esta cantidad de empleados presentes

durante las dos semanas.

- EJERCICIOS RESUELTOS-

I.- La renta media de los habitantes de un pas es de 40.000 $/ao, con una

varianza de 150 millones de pesos. Se supone que se distribuye segn una

distribucin normal. Calcular:

a) Porcentaje de la poblacin con una renta inferior a 30 mil $; Lo primero que

hacemos es estandarizar los valores:

X

Z en nuestro ejemplo ser 8165,045,12247

4000030000

Z

(*) Recordemos que el denominador es la desviacin estndar (raz cuadrada de la varianza)


_____________________________________________________________________


El valor de Z equivalente a 30 mil $ es -0,816, o sea

2061,0)82,0()45,12247,000.40/000.30( ZPXP

De donde, el 20,61% de la poblacin tiene una renta inferior a 30 mil $.

b) Porcentaje de la poblacin con una renta superior a 55 mil. Estandarizando se

obtiene:

22,145,12247

4000055000

XZ

Por lo tanto: )22,1()45,12247,000.40/000.55( ZPXP

Recordemos que la tabla nos proporciona las probabilidades acumuladas. Por lo

tanto, al buscar Z=1,22, la probabilidad ser la acumulada desde el extremo

inferior de la distribucin hasta este valor de Z. Pero en nuestro problema nos

interesa conocer la proporcin que supera ese valor. Conociendo que toda el rea

bajo la curva suma 1, podemos calcular:

1112,08888,01)22,1(1)22,1( ZPZP

Concluimos que el 11,12% de la poblacin tiene una renta superior a 55 mil $

c) Proporcin de la poblacin cuyos ingresos se encuentran entre 30 mil $ y 55 mil

$

En los tems a) y b) se ha procedido a estandarizar estos dos valores de X:

)22,182,0()45,12247,40000/5500030000( ZPXP

Como las probabilidades que encontramos en la tabla son acumuladas, entonces

procedemos a restar el rea menor del rea mayor:

6827,02061,0888,0)85,0()22,1()22,182,0( ZPZPZP

El 68,27% de la poblacin tiene ingresos entre 30 mil $ y 55 mil $

d) Renta a partir de la cual se sita el 10% de la poblacin con mayores ingresos.


_____________________________________________________________________


Vemos en la tabla el valor de la variable Z cuya probabilidad acumulada es el

0,9000 (90%), lo que quiere decir que por encima se sita el 10% superior.

Ese valor corresponde a Z=1,28. Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese

valor de la normal estandarizada despejando X en la frmula de transformacin.

ZX en nuestro ejemplo ser 23,701.5545,1224728,140000 X

De donde, aquellas personas con ingresos superiores a 55.701,23 $

constituyen el 10% de la poblacin con renta ms elevada.

c) Ingresos mnimo y mximo que encierra al 60% central de la poblacin.

Si en el centro de la distribucin se encierra al 60%, entonces en cada extremo

queda un rea del 20%

Para encontrar los valores de Z1 y Z2, tendremos que buscar en el cuerpo de la

tabla las probabilidades 0,2000 (20%) y 0,8000 (20%+60%=80%).

El valor de Z que acumula el 20% es -0,84 y el que acumula el 80% es 0,84. Ahora

calculamos los valores de la variable X correspondientes a estos valores de Z

despejando en la frmula de transformacin:

ZX

14,712.2945,1224784,0000.401 X

86,287.5045,1224784,0000.402 X

20% 20% 60%

Z1 Z2


_____________________________________________________________________


Por lo tanto, las personas con ingresos superiores a 29.712,14 $ e inferiores

a 50.287,86 $ constituyen el 60% de la poblacin con un nivel medio de

ingresos.

II.- La vida media de los habitantes de un pas es de 68 aos, con una varianza de

25. Se hace un estudio en una pequea ciudad de 10.000 habitantes:

a) Cuntas personas superarn previsiblemente los 75 aos?

Calculamos el valor estndar de la normal equivalente a 75 aos

4,15

6875

Z

Por lo tanto )40,1()5,68/75( zPXP

0808,09192,01)40,1( ZP

De aqu que el 8,08% de la poblacin (808 habitantes) vivirn ms de 75 aos

b) Cuntos vivirn menos de 60 aos?

Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 aos

6,15

6860

Z

0548,0)60,1()5,68/60( zPXP

Entonces, el 5,48% de la poblacin (548 habitantes) no llegarn probablemente a

esta edad.


_____________________________________________________________________



No hay aprendizaje sin actividad!

EJERCICIOS PROPUESTOS:

III.- El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de un pas es de 59

litros, con una varianza de 36. Se supone que se distribuye segn una distribucin

normal.

a) Si usted presume de buen bebedor, cuntos litros de cerveza tendra que

beber al ao para pertenecer al 5% de la poblacin que ms bebe?

b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al ao y su mujer le califica de borracho qu podra

argumentar en su defensa?


_____________________________________________________________________


IV.- A un examen de admisin se han presentado 2.000 aspirantes. La nota media

ha sido un 5,5, con una varianza de 1,5.

a) Tan slo hay 100 plazas. Usted ha obtenido un 7,7. Sera oportuno ir

organizando una fiesta para celebrar su xito?

b) Va a haber una 2 oportunidad para el 20% de notas ms altas que no se hayan

clasificados. A partir de que nota se podr participar en este repechaje?


_____________________________________________________________________


Recuerde la importancia de elaborar un cuadro resumen que lo ayude a la

interpretacin del contenido.

Responda ahora a las siguientes consignas.

1. Cules son las caractersticas de una curva normal?

2. Qu se entiende por el proceso de estandarizacin?

Recuerde la importancia de elaborar un cuadro resumen que lo ayude a la

interpretacin del contenido.

Responda ahora a las siguientes consignas.

1. Cuntos tipos de distribuciones de probabilidad conoce, y qu las diferencia: _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


_____________________________________________________________________


2. La exponencial es una distribucin _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,

parmetro , el recproco del parmetro en la distribucin de _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

3. La media y la varianza son iguales en la distribucin de _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

4. Cmo se determina si una variable aleatoria tiene distribucin normal o no: _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _._ _ _ _ _

5. Cmo expondra un ejemplo de una distribucin uniforme continua _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _._ _ _ _ _ _ _ _

6. Si utilizamos la distribucin multinomial es porque estamos en presencia de:_ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

7. Si x es un

nmero entero.

8. Al hablar de k xitos y N-k fracasos A qu distribucin nos estamos refiriendo?

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

9. Exponga la frmula que utilizamos para el proceso de estandarizacin: _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


_____________________________________________________________________


10. Qu condiciones debe cumplir una distribucin para aplicar lo del punto

anterior? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


_____________________________________________________________________


BIBLIOGRAFIA

1. BERENSON Mark y LEVINE David, Estadstica Bsica en Administracin.

Conceptos y Aplicaciones. 6 Edicin. Pearson -Prentice-Hall (2006)

2. VALIENTE, Stella Maris PASCUAL, Mnica. Temas de Estadstica y

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3. MONTGOMERY, DOUGLAS RUNGER, GEORGE C. "Probabilidad y Estadstica

Aplicadas a la Ingeniera" (2. Ed) McGraw-Hill. 2003.

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7. MEYER, Paul L. "Probabilidad y Aplicaciones Estadsticas". De. Fondo Educativo

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8. CRAMER, Harold. Teora de Probabilidades y Aplicaciones" De. Aguilar - Madrid

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