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UNIDAD: Teoremas de
Pitágoras, Euclides y Tales
Docente: Camilo Castillo
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Objetivos
• Conocer los teoremas de Pitágoras,
Euclides y Tales, su relación con las
proporciones entre elementos de
triángulos y sus aplicaciones.
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¿Qué es el Teorema de
Pitágoras?
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¿Qué es el Teorema de
Pitágoras?
• Establece la relación que existe entre
los catetos y la hipotenusa de un
triángulo rectángulo.
– Recordar que los catetos son los lados que
formar el ángulo recto y la hipotenusa el
lado opuesto a dicho ángulo.
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¿Qué es el Teorema de
Pitágoras?
• Los suma de las áreas de los cuadrados
que se pueden dibujar a partir de los
catetos del triángulo rectángulo es igual
al área del cuadrado que se puede
dibujar a partir de su hipotenusa.
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¿Qué es el Teorema de
Pitágoras?
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¿Qué es el Teorema de
Pitágoras?
• Matemáticamente:
a2 + b2 = c2
Donde a y b son la medida de los catetos y
c la medida de la hipotenusa
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¿Qué es el Teorema de
Pitágoras?
• Ejemplo: Determinar la medida de la
hipotenusa (c) de un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 12u y
5u.𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐
𝟏𝟐𝟐 + 𝟓𝟐 = 𝒄𝟐
𝟏𝟒𝟒+ 𝟐𝟓 = 𝒄𝟐
𝟏𝟔𝟗 = 𝒄𝟐
𝒄 = 𝟏𝟔𝟗 = 𝟏𝟑𝒖
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Números Pitagóricos
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Números Pitagóricos
• Los números pitagóricos o tríos
pitagóricos, son ternas de números que
satisfacen el teorema de Pitágoras. Los
más usados son el 3-4-5 y el 5-12-13
aunque existen muchos más
• También sirven sus múltiplos como el 6-
8-10, el 10-24-26, el 1,5-2-2,5; etc
• El número mayor corresponde a la
hipotenusa y los restantes a los catetos
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Teorema de Euclides
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Teorema de Euclides
• El Teorema de Euclides relaciona las
medidas de los lados de un triángulo
rectángulo, su altura y las proyecciones
de los catetos sobre la hipotenusa
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Teorema de Euclides
• “m”: proyección del cateto “b” sobre
la hipotenusa “c”
• “n”: proyección del cateto “a” sobre la
hipotenusa “c”
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Teorema de Euclides
• Dos de las fórmulas del Teorema de
Euclides relacionan el cuadrado de cada
cateto con el producto de su
proyección y la hipotenusa
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Teorema de Euclides
𝒃𝟐 = 𝒎 ∙ 𝒄
𝒂𝟐 = 𝒏 ∙ 𝒄
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Teorema de Euclides
• Otra de las fórmulas del Teorema de
Euclides relaciona el cuadrado de la
altura con el producto de ambas
proyecciones sobre la hipotenusa
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Teorema de Euclides
𝒉𝟐 = 𝒎 ∙ 𝒏
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Teorema de Euclides
• Una última fórmula nace a partir de las
tres anteriores y relaciona la altura con
los lados del triángulo
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Teorema de Euclides
𝒉 =𝒂 ∙ 𝒃
𝒄
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Teorema de Euclides
• Ejemplo: determinar el valor de x en el
siguiente triángulo
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Teorema de Euclides
• Entonces, m=5 y n=4, por tanto la
hipotenusa c=9
𝒙𝟐 = 𝒏 ∙ 𝒄
𝒙𝟐 = 𝟗 ∙ 𝟒
𝒙𝟐 = 𝟑𝟔
𝒙 = 𝟑𝟔
𝒙 = 𝟔
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Teorema de Tales
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Teorema de Tales
• Relaciona las medidas entre segmentos
de rectas paralelas que son
intersectadas por un par de rectas
secantes
• Eventualmente, las rectas decante
pueden terminar formando un triángulo
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Teorema de Tales
• L1//L2//L3 son intersectadas por dos
rectas secantes
L1
L2
L3
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Teorema de Tales
• En este caso, se pueden describir una serie de proporcionalidades entre los distintos segmentos de rectas:
𝑨𝑩
𝑩𝑪 =
𝑨´𝑩´
𝑩′𝑪′
𝑨𝑩
𝑩𝑩′ =
𝑨𝑪
𝑪𝑪′
𝑨𝑩
𝑨𝑪 =
𝑨′𝑩′
𝑨′𝑪′
𝑨′𝑩′
𝑩′𝑩 =
𝑨′𝑪′
𝑪′𝑪
𝑩𝑪
𝑨𝑪 =
𝑩′𝑪′
𝑨′𝑪′
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Teorema de Tales
• Algunas de las fórmulas mostradas, no son más que las proporciones de los segmentos homólogos
• El teorema de Tales se basa en el concepto de semejanza, por lo que es mejor deducir las fórmulas relacionando los lados de las figuras semejantes que pueden observarse
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Teorema de Tales
• El teorema de Tales también puede
aplicarse en triángulos
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Teorema de Tales
• O también puede aplicarse en rectas
que se cruzan de la siguiente manera
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Teorema de Tales
• En este caso, las proporciones que
pueden describirse son:
𝑨𝑩
𝑩𝑬 =
𝑪𝑫
𝑫𝑬
𝑨𝑬
𝑬𝑪 =
𝑩𝑬
𝑬𝑫
𝑨𝑬
𝑨𝑪 =
𝑩𝑬
𝑩𝑫
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Teorema de Tales
• Ejemplo: Determinar x
𝑨𝑬
𝑬𝑪 =
𝑩𝑬
𝑬𝑫
𝟖
𝟒=
𝟐
𝒙
𝒙 =𝟒 ∙ 𝟐
𝟖
𝒙 = 𝟏
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Teorema de Tales
• Ejemplo: Determinar x
𝑨𝑩
𝑩𝑩′=
𝑨𝑪
𝑪𝑪′
𝟐
𝟒=
𝟖
𝒙
𝒙 =𝟖 ∙ 𝟒
𝟐
𝒙 = 𝟏𝟔
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Ahora debes ejercitar…
¡Éxito!