UNIDAD IV: PROBLEMAS RELATIVOS A EVENTOS DINÁMICOS

LECCIÓN 8: Problemas de Simulación Concreta y Abstracta

Ejemplos: Hay cinco cajas de gaseosas en un lugar y tienen que llevarse a diferentes sitios como sigue: la primera a 10m de distancia del origen, la segunda a 20m, la tercera a 30m, y así sucesivamente hasta colocarlas siempre a 10m de la anterior. En cada movimiento la persona sale del origen, lleva la caja al lugar que corresponde y regresa al lugar de origen. Este proceso se repite hasta mover todas las cajas y regresar al punto de origen. Si solo se puede llevar una caja en cada intento, ¿Qué distancia habrá recorrido la persona al finalizar la tarea?

¿De qué trata el problema

De una persona que traslada cajas de gaseosa a diferentes sitios.

¿Cuál es la pregunta?

Situación Dinámica:

Una situación Dinámica es un evento o suceso que experimenta cambios a medida que transcurre el tiempo.

Situación Concreta:

La situación concreta es una estrategia para la solución de problemas dinámicos que se basa en una reproducción física directa de las acciones que se proponen en el enunciado.

Situación Abstracta:

Es una estrategia para la solución de problemas dinámicos que se basa en la elaboración de gráficos, diagramas representación simbólica que permiten visualizar la acción que se proponen en el enunciado sin recurrir a una reproducción física y directa.

¿Qué distancia habrá recorrido la persona al finalizar la tarea?

¿Cuántas y cuáles variables tenemos en el problema?

Dos variables; el número de cajas y la distancia que recorre.

Representación:

50m x2 = 100m

40mx2=80m

30mx2=60m

20mx2=40m

10mx2=20m

Respuesta: Recorre una distancia total de 300m.

Cierre:

¿Qué estudiamos en esta lección?

Problemas de simulación concreta y abstracta

¿Qué es un problema dinámico?

Es un evento o suceso que experimenta cambios o diferentes tipos de variables.

¿Qué estrategias utilizamos para resolver el problema?

Aplicando las tres reglas que estudiamos que son situación dinámica, simulación concreta, simulación abstracta.

¿En qué consiste la simulación concreta?

Consiste en la solución de problemas dinámicos que se basa en una reproducción física de las acciones que se proponen en el enunciado.

¿En qué consiste la simulación abstracta?

Es una estrategia para la solución de problemas dinámicos que se basa en la elaboración de gráficos, diagramas y representaciones simbólicas que permiten visualizar las acciones que se proponen en el enunciado si recurrir a una reproducción física directa.

¿Por qué es importante elaborar esos esquemas o diagramas en la solución de estos problemas?

Nos facilitan la solución de los problemas y nos ayudan a comprender mucho mejor el enunciado y podemos interpretarlo mejor para resolverlo.

Conclusión.-

Podemos concluir de esta lección lo siguiente:

Situaciones que cambian en el tiempo, son llamadas situaciones dinámicas.Reproducir de manera directa el evento o situación, simulación concreta.Podemos apelar a nuestra memoria, diagramas y a representaciones simbólicas del fenómeno estudiado, simulación abstracta.

LECCIÓN 9: Problemas con Diagramas de Flujo y de Intercambio

Ejemplos: Un bus inicia su recorrido sin pasajeros. En la primera parada se suben 25; en la siguiente parada bajan 3 y suben 8; en la otra no se baja nadie y suben 4; en la próxima se bajan 15 y suben 5; luego bajan 8 y se sube 1, y en la última parada no sube nadie y se bajan todos. ¿Cuántos pasajeros se bajaron en la última estación? ¿Cuántas personas quedan en el bus después de la tercera parada? ¿Cuántas paradas realizó el bus?

¿De qué trata el problema?

Del recorrido del bus y los pasajeros de este.

¿Cuál es la pregunta?

¿Cuántos pasajeros se bajaron en la última estación? ¿Cuántas personas quedan en el bus después de la tercera parada? ¿Cuántas paradas realizó el bus?

Representación Gráfica:

Parada Pasajeros antes de la parada

#pasajeros que suben

#Pasajeros que bajan

Pasajeros después de la parada

1 0 25 0 25

2 25 8 3 30

3 30 4 0 34

4 34 5 15 24

5 24 1 8 17

Estrategia de diagrama de flujo:

Esta es una estrategia que se basa en la construcción de un esquema o diagrama que permite mostrar los cambios en las características de una variable que concurre en función del tiempo de manera secuencial. Este diagrama generalmente se acompaña con una tabla que resume el flujo de la variable.

6 17 9 17 9

Ejemplo: El rio Verde tiene un caudal de 150 m3 /s (metros cúbicos por segundo) al pasar por la ciudad Tejo. 5 Km agua debajo de Tejo le desemboca el afluente Río Azul de 22 m3/s y 7.5 Km más adelante queda la toma para el acueducto de Pueblo Nuevo que consume 10 m3/s, ubicado 2.5 Km antes de Pueblo Nuevo. 2.5 Km agua debajo de Pueblo Nuevo está la toma del sistema de riego del valle Turbio que demanda 37 m3/s y 10 Km más adelante le desemboca el Rio Blanco de 55 m3/s. 5 Km más abajo el río pasa por Caicara donde el acueducto consume 15 m3/s. ¿Cuál es el caudal del río Verde después de Caicara? ¿Cuánto es la disminución del caudal por conceptos de tomas de acueducto y riegos entre Tejo y Caicara? ¿Cuál es la longitud del recorrido del río entre Tejo y Caicara?

150 m3/s + (22 m3/s + 55 m3/s) – (10m3/s + 37 m3/s + 15 m3/s) =

150 m3/s + 77 m3/s – 62 m3/s = 165 m3/s

¿Cuánto es la disminución del caudal por conceptos de tomas de acueducto y riegos entre Tejo y Caicara? Es la suma de todas las tomas de agua:

10 m3/s + 37 m3/s + 15 m3/s = 62 m3/s

¿Cuál es la longitud del recorrido del rio entre Tejo y Caicara? A partir del grafico, por inspección nos da:

5 Km + 7.5 Km + 2.5 Km + 2.5 Km + 10 Km + 5 Km = 32.5 Km

Localización Distancia al punto previo

Distancia acumulada

Variación de caudal

Caudal acumulado

Tejo 0 Km 0Km 0 m3/s 150 m3/s

Desembocadura del Rio Verde

5Km 5Km +22 m3/s 172 m3/s

Toma acueducto Pueblo Nuevo

7.5Km 12.5 Km -10 m3/s 162 m3/s

Pueblo Nuevo 2.5Km 15Km 0 m3/s 162 m3/s

Toma riego del valle Turbio

2.5Km 17.5Km -37 m3/s 125 m3/s

Desembocadura del Rio Blanco

10Km 27.5Km +55 m3/s 180 m3/s

Toma acueducto Caicara

5Km 32.5Km -15 m3/s 165 m3/s

Caicara 0Km 32.5Km 0 m3/s 165 m3/s

A partir de la tabla podemos obtener todos los valores que habíamos calculado antes, pero ahora, también podemos obtener respuesta a otras interrogantes, por simple inspección, como por ejemplo, ¿Cuál es el caudal del Rio Verde en Pueblo Nuevo? La respuesta es 162 m3/s.

La elaboración del esquema anterior constituye una estrategia particular para resolver este tipo de problemas donde se tienen flujos o intercambios. Esta estrategia se llama ‘’Diagrama de Flujo’’.

Cierre:

¿Qué aprendimos en esta lección?

Problemas de diagrama de flujo y de intercambio.

¿En qué consisten estas relaciones?

En la construcción de un diagrama, representación gráfica.

¿Cómo hicimos para estudiar este nuevo tema durante la lección?

Aplicando simulaciones.

Conclusión.- Podemos concluir que en esta lección aprendimos a identificar las variables y nos dimos cuenta cómo fue cambiando su valor mediante operaciones repetitivas que se lo aumentan o reducen.

LECCIÓN 10: Problemas dinámicos, Estrategia Medios-Fines

Ejemplo: Juan Carlos dispone de 3 tobos, un balde de 8 litros, uno de 5 litros y el tercero de 3 litros. Si el balde de 8 litros está lleno de agua, ¿Cómo puede dividir el agua en dos porciones de exactamente 4 litros haciendo exclusivamente trasvases entre los tres baldes?

Definiciones

Sistema:

Es el medio ambiente con todos los elementos e interacciones existentes donde se plantean la situación.

Estado:

Conjunto de características que describen integralmente un objeto, situación o evento en un instante dado; al primer estado se lo conoce como inicial, al último como final, y a los demás como intermedios.

Operador:

Conjunto de acciones que definen un proceso de transformación mediante el cual se genera un nuevo estado a partir de uno existente; casa problema puede tener uno o más operadores que actúan en forma independiente y uno a la vez.

Restricción:

Es una limitación, condicionamiento o impedimento existentes en el sistema que determina la forma de actuar de los operadores, estableciendo las características de estos para generar el paso de un estado a otro.

8 litros

5 litros

3 litros

Sistema: 3 baldes, baldes de 8 litros, 5 litros y 3 litros.

Estado inicial: baldes de 8 litros lleno y los otros dos vacíos.

Operadores: Trasvasado de baldes.

Estado final: Dos baldes con 4 litros cada uno.¿Qué restricciones tenemos en este problema?

Que no existen tobos con la medida exacta que es 4 litros y no debemos perder agua.

¿Cómo podemos describir el estado?

Usando X que va a ser la cantidad de agua que contiene el baldes de 8 litros, Y que va a ser la cantidad de agua que contiene el tobo de 5 litros y Z que va a ser la cantidad de agua que contiene el tobo de 3 litros.

¿Qué estados se generan después de ejecutar la primera acción con los diferentes operadores después que el llega al río? Dibuja el diagrama resultante de aplicar todas las alternativas del operador al estado inicial. Sigue luego construyendo el diagrama con las aplicaciones sucesivas de los operadores.

8 litros 5 litros 3 litros

8 0 0

5 0 3

2 3 3

2 5 1

7 0 1

4 1 3

4 4 0

Cierre:

¿Qué estudiamos en esta lección?

Problemas dinámicos, estrategia medios-fines.

¿Por qué es importante la estrategia de medios-fines?

Nos ayuda a resolver problemas muchos más complejos y nos ayuda a comprender mejor la situación del problema.

¿Qué elementos intervienen en la solución de un problema con la estrategia medio-fines?

Esta con los elementos estado inicial, estado final y estados intermedios.

Conclusión: En esta lección aprendimos que cada situación tiene un sistema que contiene o define los elementos propios de la situación, tiene una o varias variables que acceden constituir el estado del sistema, y tiene uno o más operadores, con sus respectivas restricciones, que crean cambios, y que establecen la evolución en el tiempo del sistema. Por esta razón las definiciones de sistema, estado, operador y restricción son aplicables en problemas dinámicos.

LECCIÓN 11 Problemas de Tanteo Sistemático por Acotación del Error

Ejemplo:

En una máquina de venta de chucherías 10 niños compraron chupetes y chocolates. Todos los niños compraron solamente una chuchería. Los chupetes valen $1 y los chocolates $2 ¿Cuántos chupetes y chocolates compraron los niños si gastaron entre todos $20.

¿Cuál es la respuesta?

9 chocolates y 2 chupetes.

ESTRATEGIA BINARIA PARA EL TANTEO SISTEMÁTICO.El método seguido para encontrar cuál de las soluciones tentativas es la respuesta correcta se llama estrategia binaria. Para poder aplicar esta estrategia hacemos lo siguiente:Ordenamos el conjunto de soluciones tentativas de acuerdo a un criterio.Luego le aplicamos el criterio de validación a los extremos para verificar si es uno de ellos la respuesta, o que la respuesta es una de las soluciones intermedias.Continuamos identificando el punto intermedio que divide el rango en dos porciones y le aplicamos la validación a dicho punto. Si esa no es la solución, entonces podemos identificar en que porción del rango esta la respuesta. Como resultado de este paso terminamos con un nuevo rango que tiene la mitad de soluciones tentativas que tiene el rango original.Repetimos el paso anterior comenzando por identificar el nuevo punto intermedio que divide el nuevo rango en dos porciones y repetimos la validación en ese punto. Si no hemos acertado la respuesta, terminamos con otro nuevo rango que tiene la cuarta parte de las soluciones tentativas que tiene el rango del inicio del problema.Repetimos esto hasta encontrar la respuesta al problema. Este método es muy efectivo para descartar

ESTRATEGIA DE TANTEO SISTEMÁTICO POR ACOTACIÓN DEL ERROR

Consiste en definir el rango de todas las soluciones tentativas del problema, evaluamos los extremos de rango para verificar que las respuestas están en él, y luego vamos explorando soluciones tentativas en el rango hasta encontrar una que no tenga desviación respecto a los requerimientos expresados en el enunciado del problema.

Chupetes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Chocolates

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

total 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12

Ejemplo:

Coloca signos + y x entre los números indicadores para que la igualdad sea correcta. Dale prioridad a la operación de multiplicación, es decir, primero multiplica, y luego suma todos los términos al final.

a) 3+5+4+6x2= 36 b) 3+5+4x6+2=74c) 3+5x4+6+2=40 d) 3x5+4+6+2= 27

Cierre

¿Qué estudiamos en esta lección?

Problemas de tanteo sistemático por acotación del error.

¿En qué consiste la estrategia de acotación del error?

En definir el rango de todos las situaciones tentativas del problema

¿En qué consiste la estrategia binaria para el tanteo sistemático?

Ordenamos el conjunto de soluciones tentativas de acuerdo a un criterio.

Conclusión:

Concluyo que para la resolución de este tipo de problemas debemos plasmar todas las posibles soluciones, ya que dentro de esas se encuentra la respuesta correcta; también que es muy importante que el rango de las posibles soluciones sea el adecuado con respecto a los datos que me del problema, pues si no es así la solución no será la correcta.

ESTRATEGIA BINARIA PARA EL TANTEO SISTEMÁTICO.El método seguido para encontrar cuál de las soluciones tentativas es la respuesta correcta se llama estrategia binaria. Para poder aplicar esta estrategia hacemos lo siguiente:Ordenamos el conjunto de soluciones tentativas de acuerdo a un criterio.Luego le aplicamos el criterio de validación a los extremos para verificar si es uno de ellos la respuesta, o que la respuesta es una de las soluciones intermedias.Continuamos identificando el punto intermedio que divide el rango en dos porciones y le aplicamos la validación a dicho punto. Si esa no es la solución, entonces podemos identificar en que porción del rango esta la respuesta. Como resultado de este paso terminamos con un nuevo rango que tiene la mitad de soluciones tentativas que tiene el rango original.Repetimos el paso anterior comenzando por identificar el nuevo punto intermedio que divide el nuevo rango en dos porciones y repetimos la validación en ese punto. Si no hemos acertado la respuesta, terminamos con otro nuevo rango que tiene la cuarta parte de las soluciones tentativas que tiene el rango del inicio del problema.Repetimos esto hasta encontrar la respuesta al problema. Este método es muy efectivo para descartar