CONTROL VANZADOUNIDAD II: RESPUESTA EN FRECUENCIA

UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD

INTRODUCCIN: Concepto de estabilidad.Muchos sistemas fsicos son intrnsecamente inestables en lazo abierto e incluso muchos sistemas se disean para sean inestables en lazo abierto.

Definicin: Un sistema estable es un sistema dinmico con una respuesta acotada para una entrada acotada.

En lo que se refiere a los sistemas lineales, se reconoce que el requisito de estabilidad puede definirse en funcin de la localizacin de los polos de la funcin de transferencia de lazo cerrado. Esta funcin se escribe como

donde es la ecuacin caracterstica cuyas races son los polos del sistema de lazo cerrado.

La respuesta de la salida para una entrada impulso (cuando ) es:

donde y son constantes que dependen de , , , y .

Con el objeto de obtener una respuesta limitada, los polos del sistema de lazo cerrado deben estar en la parte izquierda del plano .

Por esto, una condicin necesaria y suficiente para que un sistema de realimentacin sea estable es que todos los polos de la funcin de transferencia del sistema tengan partes reales negativas.

Respuesta al impulso de un sistema estable

Respuesta impulso de un sistema estable.

Si la ecuacin caracterstica tiene polos simples sobre el eje imaginario (eje ) con el resto de las races en el lado izquierdo del plano . La salida en estado estacionario tendr oscilaciones mantenidas para una entrada limitada, a menos que la entrada sea una sinusoide (la cual est limitada) cuya frecuencia sea igual a la magnitud a las races del eje . Para este caso la salida esta sin acotar. Para este caso al sistema se le denomina marginalmente estable o crticamente estable.

Por ejemplo: Si la ecuacin caracterstica de un sistema en lazo cerrado es:

Se dice que el sistema es marginalmente estable.

Respuesta al impulso de un sistema marginalmente estable

Respuesta de un sistema crticamente estable a una entrada sinusoidal de frecuencia 7

Si el sistema se excita con una sinusoide de frecuencia , la salida esta sin acotar.

Respuesta de un sistema crticamente estable a una entrada sinusoidal de frecuencia 4.

Para un sistema inestable, la ecuacin caracterstica tiene al menos una raz en el lado derecho del plano o races en repetidas; para este caso la salida esta sin acotar para cualquier entrada.

CRITERIO DE ROUTH-HURWITZMaxwell y Vishnegradskii consideraron por primera vez el problema de la estabilidad de los sistemas dinmicos. A finales de la dcada de 1800, A . Hurwitz y E. J. Routh publicaron por separado un mtodo para investigar la estabilidad de un sistema lineal. El mtodo de la estabilidad de Routh-Hurwitz proporciona una respuesta al problema de la estabilidad considerando la ecuacin caracterstica del sistema, que en funcin de la variable de Laplace se escribe como

El criterio de Routh-Hurwitz se basa en el ordenamiento de los coeficientes de la ecuacin caracterstica

en una lista como sigue:

Entonces las filas subsecuentes de la lista se completan como sigue.

donde

y as sucesivamente.

El criterio de Routh-Hurwitz establece que el numero de races de con partes reales positivas es igual al nmero de cambios de signo de la primera columna de la lista

Para un sistema estable, este criterio requiere que no haya cambios de signo en la primera columna. Este requisito es tanto necesario como suficiente.

Existen cuatro casos o configuraciones diferentes de la primera columna de la lista que deben ser consideradas y tratadas independientemente, puesto que requieren modificaciones adecuadas del procedimiento de clculo de la lista. 1) Ningn elemento en la primera columna es cero

2) Hay un cero en la primera columna, pero otros elementos de la fila que contienen al cero de la primera columna no son iguales a cero.

3) Hay un cero en la primera columna y los otros elementos de la fila que contienen al cero tambin son iguales a cero.

4) Como el tercer caso, pero con races repetidas sobre el eje .

CASO 1: Ningn elemento en la primera columna es ceroEjemplo: Sistema de segundo orden.La ecuacin caracterstica de un sistema de segundo orden es

El arreglo de Routh-Hurwitz se escribe como:

donde:

El requisito para que un sistema estable de segundo orden es simplemente que todos los coeficientes sean positivos o que todos sean negativos.

TAREA. Sistema de tercer orden

El polinomio caracterstico de un sistema de tercer orden es

a) Encontrar el arreglo de Routh-Hurwitzb) Encontrar las condiciones necesarias y suficientes para que el sistema sea estable.c) Analizar el siguiente polinomio caracterstico y determinar si es estable o inestable.

CASO 2: Hay un cero en la primera columna, con algunos elementos de la fila que contienen un cero en la primera columna diferentes de cero.

Si nicamente un elemento del arreglo es cero, este puede reemplazarse por un numero pequeo positivo, , que se permite que tienda cero despus de completar el arreglo.

Por ejemplo, considrese el siguiente polinomio caracterstico:

Se desarrolla el arreglo de Routh-Hurwitz :

Por lo tanto ,

Resultado:

Hay dos cambios de signo debido a . Por lo tanto el sistema es inestable y dos races caen en la parte derecha del plano .

Utilizando Matlab se tiene que los polos son:

0.8950 + j 1.45610.8950 j 1.4561-1.2407 + j 1.0375-1.2407 - j 1.0375-1.3087

CASO 3: Hay un cero en la primera columna y los otros elementos de la fila que mantienen al cero tambin son cero.

Ocurre cuando todos los elementos de una fila son cero o cuando la fila est constituida por un solo elemento que es cero. Esta condicin se presenta cuando el polinomio contiene singularidades que se localizan simtricamente respecto al origen del plano . Por tanto, el caso 3 ocurre cuando se encuentran factores como .Este problema s evita utilizando el polinomio auxiliar, , que precede inmediatamente al elemento cero en el arreglo de Routh-Hurwitz. El orden del polinomio auxiliar siempre es par e indica el nmero de pares de races simtricas.

Para ilustrar este mtodo, se considera un sistema de tercer orden con un polinomio caracterstico:

donde es una ganancia ajustable del lazo. El arreglo es entonces:

Por tanto, para un sistema estable, se requiere que:

Cuando , se tienen dos races en el eje y un caso de estabilidad marginal. Obsrvese que se obtiene una fila de ceros (caso 3) cuando . El polinomio auxiliar , es la ecuacin de la fila que precede a la de ceros. En este caso la ecuacin de la fila que precede a la de ceros es la que se obtiene de la fila . Recurdese que esta fila contiene los coeficientes de potencias pares de , y, por tanto, en este caso se tiene

Por tanto cuando , los factores del polinomio caracterstico son

La respuesta del caso marginal es una oscilacin inaceptable.

CASO 4: Races repetidas de la ecuacin caracterstica en el eje .

Si las races del eje de la ecuacin caracterstica son sencillas, el sistema no es estable ni estable; en este caso se le denomina marginalmente estable o crticamente estable, debido a que tiene un modo sinusoidal subamortiguado. Si las races del eje estn repetidas, la respuesta del sistema ser inestable con una forma . El criterio de Routh-Hurwitz no revelara esta forma de inestabilidad.

Considere un sistema con un polinomio caracterstico:

La tabla de Routh-Hurwitz es:

donde . Observese la ausencia de cambios de signo, condicin que errneamente indica que el sistema es marginalmente estable. La respuesta impulsional del sistema aumenta con el tiempo ya que . El polinomio auxiliar en la lnea de es

que indica races repetidas en el eje .

TAREA 2:

1. Considrese el control de un brazo robtico. Existen alrededor de un milln de robots en servicio en todo el mundo. El robot que se muestra en la figura es un sistema microbot de seis patas que utiliza patas muy flexibles con controladores de alta ganancia que pueden llegar a ser inestables y oscilatorios. Con esta condicin, se tiene el polinomio caracterstico:

Mediante el criterio de Routh-Hurwitz determinar si el sistema es o no estable.

2. Los ingenieros de diseo trabajan en el desarrollo de aviones de combate pequeos, rpidos y de despegue vertical que sean invisibles para los radares (aviones clandestinos).En la figura E6.8 se muestra el concepto de avin que emplea toberas de chorro de giro rpido para la direccin de la nave. El sistema de control de la direccin se muestra en la figura E6.8. Determine la ganancia mxima del sistema para una operacin estable.

E6.8 Control del cabeceo de un avin.

3. Considere el sistema representado en forma de variables de estado.

donde , , ,

a) Cul es la funcin de transferencia del sistema?b) para qu valores de , el sistema es estable?

2. METODO DEL LUGAR DE LAS RAICES

El comportamiento dinmico de un sistema de control de lazo cerrado se describe mediante la funcin de transferencia de lazo cerrado

(2.1)

donde y son polinomios en . Las races de la ecuacin caracterstica determinan los modos de respuesta del sistema. Para un sistema de lazo simple como el de la figura 2.1, se tiene la ecuacin caracterstica: (2.2)

donde es un parmetro variable.

Figura 2.1 Sistema de control en lazo cerrado con un parmetro variable Las races caractersticas del sistema deben satisfacer la ecuacin (2.2), donde las races estn en el plano . Como es una variable compleja, la ecuacin (2.2) puede escribirse ahora en forma polar como:

Y por tanto, es necesario que

y

donde

El lugar de las races es el camino de las races de la ecuacin caracterstica dibujado en el plano cuando se vara un parmetro del sistema.

ANALISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

En la prctica el desempeo de un sistema se mide ms realsticamente por sus caractersticas en el dominio del tiempo. Esto contrasta con el anlisis y diseo de sistemas de comunicacin para los cuales la respuesta en frecuencia es de mayor importancia, ya que la mayora de las seales a ser procesadas son de tipo sinusoidal o estn compuestas por componentes sinusoidales. La respuesta en el tiempo en el tiempo de un sistema es normalmente ms difcil de determinar analticamente, especialmente para sistemas de orden superior. En mtodos de diseo no hay mtodo unificado para llegar a un sistema diseado que cumpla con las especificaciones de desempeo en el dominio del tiempo. Por otra parte en el dominio de la frecuencia se tiene un conjunto de mtodos grficos que no est limitado a sistemas de bajo orden.

DEFINICION:

La respuesta en frecuencia de un sistema se define como la respuesta del sistema en el estado estacionario a una seal sinusoidal de entrada.

La sinusoide es una seal de entrada nica, y la seal de salida resultante para un sistema lineal, al igual que las seales a travs del sistema, es sinusoidal en el estado estacionario; difiere de la forma de onda de entrada solamente en amplitud y ngulo de fase.

Se considera el sistema con . Se tiene que la transformada de Laplace de es:

y

donde se supone que son polos distintos. Entonces, fracciones parciales, se tiene:

Tomando la transformada de Laplace inversa se obtiene:

donde y son constantes que dependen del problema. Si el sistema es estable, entonces todos los tienen parte real distinta de cero y positiva y

porque cada termino exponencial decae a cero cuando .

En el lmite para , se obtiene, para (estado estacionario),

donde .

Por lo tanto la seal de salida en estado estacionario depende solo de la magnitud y de la fase de a una frecuencia especifica.

GRAFICA DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

La funcin de transferencia de un sistema puede escribirse en el dominio de la frecuencia por la relacin.

donde: y

Alternativamente, la funcin de transferencia puede representarse por una magnitud y una fase como:

La representacin grafica de la respuesta en frecuencia del sistema se puede utilizar:

(8.8)

(8.9)

La representacin grfica polar de la repuesta en frecuencia se obtiene utilizando la ecuacin (8.8), como se muestra en la figura 8.1, las coordenadas de la grafica polar son las partes real e imaginaria de .

Fig 8.1 Plano polar

EJEMPLO: Respuesta en frecuencia de un filtro

En la Figura 8.2 se muestra un filtro simple . Su funcin de transferencia es

Y la funcin de transferencia sinusoidal en estado estacionario es:

donde

Entonces la grfica polar se obtiene mediante la relacin

Parte real en rojoParte imaginaria en azul

El primer paso consiste en determinar y en las dos frecuencias, y .

En , se tiene que y . En , se tiene que y .

Estos dos puntos se muestran en la Figura 8.3

Adems, en esta figura se muestra el lugar geomtrico de las partes real e imaginaria, y fcilmente se demuestra que es un crculo con centro en .

Cuando , las partes real e imaginaria son iguales y el ngulo .

La grafica polar tambin se puede obtener fcilmente a partir de la Ec. (8.9) como

donde

y

Evidentemente, cuando , la magnitud es y la fase es . As mismo, cuando se aproxima a , se tiene y . De manera anloga, cuando , se tiene y .

ESTABILIDAD RELATIVA

MARGEN DE GANANCIA

El cruce de fase. Un cruce de fase sobre la traza de es un punto en el cual la traza se intersecta con el eje real negativo.

Frecuencia de cruce de fase: La frecuencia de cruce de fase es la freuencia en el cruce de la fase, o donde

Margen de ganancia: es la cantidad de ganancia en decibeles (dB) que se pueden aadir al lazo antes de que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable.

MARGEN DE FASECruce de ganancia: El cruce de ganancia es un punto sobre la traza en el cual la magnitud de es igual a 1.

Frecuencia del cruce de ganancia: La frecuencia del cruce de ganancia, es la frecuencia de en el cruce de ganancia o donde

Margen de fase (PM): se define como el ngulo en grados que la traza se debe rotar alrededor del origen, para que el cruce de ganancia pase por punto

Margen de fase definido en el plano

EJEMPLO:

ANALISIS DE ESTABILIDAD CON LA GRAFICA DE BODE

TAREA

1. Considere el sistema con realimentacin unitaria con las funciones de transferencia en lazo abierto.

Obtenga la salida en estado estable del sistema cuando est sujeto a cada una de las siguientes entradas:a) b)

2. Realice las trazas de Bode de las siguientes funciones de transferencias:

3. Determine el margen de fase y margen de ganancia de las siguientes funciones de transferencia.