unidad ii ecuaciones diferenciales ok
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8/19/2019 Unidad II Ecuaciones Diferenciales Ok
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UNIDAD II ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
A menudo nos interesa resolver una ecuación dierencial de 1! orden"
# $ %dy
f x y
dx
= #&'1%
Su(eta a la condición )#*+% , )+$ donde *+ es un n-mero en un intervalo I ) )+ es unn-mero real ar.itrario' El /ro.lema"
Su(eta a" # $ %dy
f x ydx
= #&'&%
Resolver" )#*+% , )+ #&'0%se llama problema de valor inicial' eom2tricamente /odemos decir 3ue estamos .uscando al menos una solución de la ecuación dierencial deinida en un intervalo I$ tal3ue la 4r5ica de esta solución /ase /or el /unto dado #*+$ )+%'Al considerar el /ro.lema de valor inicial #&'0% sur4en las si4uientes /re4untas"6E*iste una solución del /ro.lema7
Si e*iste$ 6es -nica7
1'1 FAMILIAS DE CUR8AS
1'& 9EOREMA DE E:IS9ENCIA ; UNICIDAD
Al considerar el /ro.lema de valor inicial #&'0% sur4en las si4uientes /re4untas"6E*iste una solución del /ro.lema7Si e*iste$ 6es -nica7El si4uiente 9eorema de.ido a Picard da res/uesta a estas interro4antes"9eorema de E*istencia ) Unicidad
Sea R una re4ión rectan4ular en el /lano *) deinida en a x b≤ ≤ $ c y d ≤ ≤ 3ue contieneal /unto ( )+ +$ x y en su interior' Si # $ % f x y )
f
y
δ
δ son continuas en R$ entonces e*iste un
intervalo I con centro en *+ ) una -nica unción )#*% deinida en I 3ue satisacen el /ro.lema de valor inicial"
# $ %dy
f x ydx
=
)#*+% , )+FIURA
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1'0 Maremos con el estudio del m2todo /ara resolver ecuaciones dierenciales de 1! ordencon la ecuación dierencial m5s sim/le'
&'0'1 SEPARACI=N DE 8ARIA?LES
Deinición
Si el lado derec@o de la ecuación dierencial"
# $ %dy
f x ydx
= #1%
Se /uede e*/resar como una unción 4#*% 3ue sólo de/ende de *$ /or una unción /#)% 3uesólo de/ende de )$ entonces la ecuación dierencial es de varia.les se/ara.les'
En otras /ala.ras$ una ecuación de 1! orden es se/ara.le si se /uede escri.ir de la orma"# % # %
dy g x p y
dx= #&%
M
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# $ % # $ % + M x y dx N x y dy+ = #&%
se dice 3ue es @omo42nea si M ) N son unciones @omo42neas del mismo 4rado'Es decir$
# $ % # $ % + M x y dx N x y dy+ = es @omo42nea si"
# $ % # $ %n M x y M x yλ λ λ = ) tam.i2n # $ % # $ %n N x y N x yλ λ λ = #0%
M
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&'0'0 ECUACI=N DIFERENCIAL E:AC9A DE PRIMER ORDEN
DEFINICI=N
Una e*/resión dierencial # $ % # $ % M x y dx N x y dy+ es una dierencial e*acta en unare4ión R del /lano *)$ si corres/onde a la dierencial de al4una unción F#*$)%' Unaecuación dierencial de 1! orden$ de la orma"
# $ % # $ % + M x y dx N x y dy+ =
es una ecuación e*acta$ si la e*/resión del /rimer miem.ro es una dierencial e*acta'
CRI9ERIO PARA UNA DIFERENCIAL E:AC9A
Sean M#*$)% ) N#*$)% continuas ) con derivadas /arciales de 1! orden continuas en unare4ión rectan4ular R deinida /or $a x b c y d < < < < ' Entonces una condiciónnecesaria ) suiciente /ara 3ue"
# $ % # $ % M x y dx N x y dy+
sea una dierencial e*acta es 3ue"
M N
y x
∂ ∂=
∂ ∂Para toda #*$)% en una Re4ión'
9eorema
Sean las unciones M$ N$ M
y
∂∂
) N
x
∂∂
continuas en la re4ión rectan4ular
" $ R a x b c y d < < < < ' Entonces"
# $ % # $ % + M x y dx N x y dy+ = #1%
es una ecuación dierencial e*acta si ) sólo si"
M N
y x∂ ∂=∂ ∂
#&%
en cada /unto de R' Es decir$ e*iste una unción F 3ue satisace las ecuaciones"
# $ % F
M x y x
∂=
∂$ # $ %
F N x y
y
∂=
∂ #0%
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Si ) sólo si M ) N satisacen la ecuación #&%'Demostración"Su/on4amos 3ue M#*$)% ) N#*$)% tienen /rimeras derivadsa /arciales continuas /aratodo #*$)%' Si la e*/resión # $ % # $ % M x y dx N x y dy+ es e*acta$ e*iste una unción F
tal 3ue /ara todo * de R$
# $ % # $ % F F
M x y dx N x y dy dx dy x y
∂ ∂+ = +
∂ ∂
En consecuencia$
# $ % F
M x y x
∂=
∂$ # $ %
F N x y
y
∂=
∂
)& M F
y y x
∂ ∂=
∂ ∂ ∂$
& N F
x x y
∂ ∂=
∂ ∂ ∂& & F F
y x x y
∂ ∂=
∂ ∂ ∂ ∂
La i4ualdad de las derivadas /arciales mi*tas es una consecuencia de la continuidad delas /rimeras derivadas /arciales de # $ % M x y ) # $ % N x y '
M
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Esto da$ # % # $ % # $ % g y N x y M x y dx y
∂= −
∂ ∫ #%Por -ltimo$ inte4ramos la unción anterior con res/ecto a ) ) sustituimos el resultadoen la ecuación #&%'La solución im/lcita de la ecuación es"
# $ % F x y c= #%
E(em/lo"
&'0' FAC9ORES DE IN9ERACI=N GUE DEPENDEN DE : O DE ;
Si la ecuación
# $ % # $ % + M x y dx N x y dy+ = #1%
no es e*acta$ es /osi.le 3ue la ecuación la /odamos @acer e*acta al multi/licarla /or unactor inte4rante a/ro/iado µ $ de modo 3ue la ecuación resultante$
# $ % # $ % + M x y dx N x y dy µ µ + = #&%
ser5 e*acta$ esto es"
( ) ( ) M N
y x
µ µ ∂ ∂
=
∂ ∂
#0%
E*isten varios m2todos entre ellos el m2todo de se/aración de varia.les'Consideraremos los si4uientes dos casos 3ue involucran una varia.le'
Caso 1 µ es una unción sólo de *' En este caso /odemos escri.ir como"
M N N
y x x
µ µ µ
∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂ o
1d M N dx
N y x
µ
µ
∂ ∂= − ÷∂ ∂
#%
Si el coeiciente de d* a la derec@a de #% es una unción sólo de * Hdi4amos #*%$entonces tenemos"
# %d
f x dx µ
µ = ) as
ln # % f x dx µ = ∫ ó # % f x dxe µ ∫ =Omitiendo la constante de inte4ración' Podemos enunciar este resultado como si4ue"Teorema
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Si1
# % M N
f x N y x
∂ ∂− = ÷∂ ∂
$ entonces
# %# %
f x dx
x e µ ∫ = es un actor inte4rante'
Caso 2 µ es una unción sólo de )' en este caso$ #0% /uede ser escrita como"
M N M
y y x
µ µ µ
∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂ ó
1d M N dy
M y x
µ
µ
∂ ∂= − − ÷∂ ∂
) /oder /ro.ar el
Teorema
Si1
# % M N
g y M y x
∂ ∂− = ÷∂ ∂
$ entonces
# %# %
g y dy y e µ
−∫ = es un actor inte4rante'
Un es3uema /ara resumir el /rocedimiento es el si4uiente' Considere"
# $ % # $ % + M x y dx N x y dy+ =
Calcule #1% M
y
∂=
∂$ #&%
N
x
∂=
∂
Si #1% , #&%$ la ecuación es e*acta ) /uede resolverse 5cilmente'Si #1% #&%≠ $ calcule #1% menos #&%$ dividida /or N$ llame el resultado '
Si es una unción sólo de *$ entonces # % f x dxe∫ es un actor inte4rante'Si no$ calcule #&% menos #1%$ dividida entre M$ llame el resultado 4'
Si 4 es una unción sólo de )$ entonces # % g y dye−∫ es un actor inte4rante'
E(em/lo"
&'0' ECUACI=N DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN
DEFINICI=N
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Una ecuación 3ue /uede escri.irse en la orma"
# % # %dy
P x y Q xdx
+ = #1%
donde P#*% ) G#*% son unciones dadas de * se llama una ecuación dierencial de 1!orden lineal' Es 5cil veriicar 3ue la ecuación tiene como actor inte4rante a Pdxe∫ $ /uesto 3ue al multi/licar am.os lados de #1% /or este actor se o.tiene"
Pdx Pdx Pdxdye Pye Qe
dx
∫ ∫ ∫ + =
lo cual es e3uivalente a"
Pdx Pdxd ye Qe
dx
∫ ∫ = ÷
Esto es cierto si dierenciamos el /roducto$ del lado i>3uierdo de #0% tenemos"
Pdx Pdx Pdxd d dy ye y e e
dx dx dx
∫ ∫ ∫ = + = ÷ ÷
Pdx Pdx dy
y e P edx
∫ ∫ = + = ÷
Pdx Pdxdy
e Pyedx
∫ ∫ = +
esto es$ el lado i>3uierdo de #&%' De #0% o.tenemos /or inte4ración la solución"
Pdx Pdx ye Qe dx c∫ ∫ = +∫
O.servación" Se /uede usar un actor inte4rante Pdxe µ ∫ = $ multi/licar la ecuación #1%
/or este actor ) lue4o escri.ir el lado i>3uierdo como la derivada del /roducto de µ
con ) como en #0%'
E(em/los"
&' ECUACI=N DIFERENCIAL DE 9IPO ?ERNOULLI
Definición Una ecuación de la orma"
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# % # % ndy
P x y Q x ydx
+ =
se llama ecuación de ?ernoulli'
Se o.serva 3ue si n,+ la ec' #1% se reduce a una ecuación lineal' Si n,1 la ec' #1% sereduce a una ecuación de varia.les se/ara.les ) se /uede resolver 5cilmenteJ sinem.ar4o$ en el caso en 3ue +n ≠ o 1n ≠ $ este caso de.e mane(arse de maneradierente'
Teorema Se su/one +n ≠ $ 1n ≠ ' Entonces la transormación 1 nv y −= reduce laecuación de ?ernoulli'
# % # % ndy
P x y Q x ydx
+ =
a una ecuación lineal en v'
Demostración
Primero se multi/lica la ecuación #1% /or n y− $ con esto se /uede e*/resar"
1# % # %n ndy
y P x y Q xdx
− −+ =
Si se @ace 1 nv y −= $ entonces"
( )( )
111
n
n
dv dy dy dvn ydx dx dx n y dx
−−= − ⇒ = −
) la ec' #&% se transorma en"
( )
1# % # %
1
dv P x v Q x
n dx+ =
−
o de manera e3uivalente"
( ) ( )1 # % 1 # %dv n P x v n Q xdx
+ − = −
Al introducir las sustituciones"
1
1
# % #1 % # %
# % #1 % # %
P x n P x
Q x n Q x
= −
= −
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se /uede escri.ir"
1 1# % # %dv
P x v Q xdx
+ =
3ue es lineal en v'
E(em/los"
&' ECUACI=N 9IPO RICA99I
La ecuación dierencial no lineal
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% # % # %dy
P x Q x y R x ydx
= + +
se llama ecuación de Ricatti' Donde los coeicientes P#*%$ G#*% ) R#*% son unciones
3ue de/enden de *'Las ecuaciones de Ricatti orman una clase de ecuaciones 3ue /ueden reducirse aecuaciones de ?ernoulli'Para resolver una ecuación de Ricatti$ /rimero de.e conocerse una solución /articular de la ecuación #1%$ la cual llamaremos )$ entonces las sustituciones"
1 y y u= + )1dydy du
dx dx dx= +
se a/lican a la ecuación #1%$ o.teni2ndose"
( ) ( ) &1
1 1# % # % # %dy du P x Q x y u R x y udx dx
+ = + + + +
& &11 1 1# % # % # % # % & # % # %
dy du P x Q x y Q x u R x y R x y u R x u
dx dx+ = + + + + +
Como )1 es solución de la ecuación #1% entonces #0% se reduce a"
&
1# % & # % # %du
Q x u R x y u R x udx
= + +
( ) &1# % & # % # %du
Q x R x y u R x u
dx
− + =
La ecuación #% es una ecuación de ?ernoulli con n,&'Al resolver la ecuación #%$ dividimos #% entre u&'
( )& 11# % & # % # %du
u Q x R x y u R xdx
− −− + =
si @acemos 1v u−=entonces
& &dv du du dv
u udx dx dx dx
− −
= − ⇒ = −
sustitu)endo en la ecuación #% tenemos"
( )1# % & # % # %dv
Q x R x y v R xdx
− − + =
( )1# % & # % # %dv
Q x R x y v R xdx
+ + = −
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O.teni2ndose la ecuación #K% 3ue es una ecuación lineal en v' La cual se /uede resolver 5cilmente'
E(em/los"
&'K APLICACIONES&'K'1 9RA;EC9ORIAS OR9OONALES&'K'& SIS9EMAS MECNICOS&'K'0 SIS9EMAS EL