unidad ii: distribuciÓn de velocidades en flujo laminar prof. pedro josé tineo figueroa

Unidad II: DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES EN FLUJO LAMINAR

Unidad II: DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES EN FLUJO LAMINAR

Prof. Pedro José Tineo Figueroa Prof. Pedro José Tineo Figueroa

Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Determinar los perfiles de velocidad de fluidos en

régimen laminar para configuraciones sencillas

Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Determinar los perfiles de velocidad de fluidos en

régimen laminar para configuraciones sencillas

Interpretar el principio de balance de cantidad de movimiento.Interpretar el principio de balance de cantidad de movimiento.

Identificar las condiciones límites.Identificar las condiciones límites.

Aplicar el principio de balance de cantidadde movimiento para el cálculo del Perfil de Velocidades, Velocidad Media y Velocidad Máxima de Flujo.

Aplicar el principio de balance de cantidadde movimiento para el cálculo del Perfil de Velocidades, Velocidad Media y Velocidad Máxima de Flujo.

Inferir sobre la importancia de la aplicación del Balance de Cantidad de Movimiento y la ecuación de Hagen-Poiseuille en procesos específicos.

Inferir sobre la importancia de la aplicación del Balance de Cantidad de Movimiento y la ecuación de Hagen-Poiseuille en procesos específicos.

Determinar la ecuación de Hagen-Poiseuille.Determinar la ecuación de Hagen-Poiseuille.

1. Balance de Cantidad de Movimiento1. Balance de Cantidad de Movimiento

2. Condiciones Límites2. Condiciones Límites

3. Perfil de Velocidades3.1 Velocidad Media.3.2 Velocidad Máxima.3.3 Ecuación de Hagen-Poiseuille3.4 Aplicaciones

3. Perfil de Velocidades3.1 Velocidad Media.3.2 Velocidad Máxima.3.3 Ecuación de Hagen-Poiseuille3.4 Aplicaciones

Bibliografía:• Bird, Stewart y Lightfoot. FENÓMENOS DE

TRANSPORTE. Editorial Reverte, 1987.• Streeter V. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS. Mc Graw Hill

2002.• Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE

TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001

Bibliografía:• Bird, Stewart y Lightfoot. FENÓMENOS DE

TRANSPORTE. Editorial Reverte, 1987.• Streeter V. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS. Mc Graw Hill

2002.• Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE

TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001

Consideraciones: Para una delgada envoltura de fluido de un sistema geométricamente sencillo, con:

• Flujo Laminar.• Estado Estacionario.• Líneas de Corriente Rectilíneas.Se puede aplicar el siguiente balance:

Consideraciones: Para una delgada envoltura de fluido de un sistema geométricamente sencillo, con:

• Flujo Laminar.• Estado Estacionario.• Líneas de Corriente Rectilíneas.Se puede aplicar el siguiente balance:

Velocidad de Entrada de Cantidad de Movimiento

Velocidad de Salida de Cantidad de Movimiento

Σfuerzas que Actúan Sobre el Sistema

0- + =

La entrada y/o salida de cantidad de movimiento se debe a:

• Efecto Viscoso ó transporte.• Convección ó movimiento global del fluido.

La entrada y/o salida de cantidad de movimiento se debe a:

• Efecto Viscoso ó transporte.• Convección ó movimiento global del fluido.

Las fuerzas que se consideran son:• La Presión que actúa sobre las superficies• La Fuerza de Gravedad que actúa sobre todo

el volumen.

Las fuerzas que se consideran son:• La Presión que actúa sobre las superficies• La Fuerza de Gravedad que actúa sobre todo

el volumen.

En general debe considerarse el siguiente procedimiento:

En general debe considerarse el siguiente procedimiento:

Se escribe un balance de Cantidad de Movimiento sobre una envoltura de espesor finito.

Se escribe un balance de Cantidad de Movimiento sobre una envoltura de espesor finito.Se hace tender a cero el espesor y se aplica la definición de derivada para obtener una ecuación diferencial respectiva que describe la distribución de esfuerzo cortante.

Se hace tender a cero el espesor y se aplica la definición de derivada para obtener una ecuación diferencial respectiva que describe la distribución de esfuerzo cortante.

Se introduce la definición adecuada para el esfuerzo cortante.

Se introduce la definición adecuada para el esfuerzo cortante.

Por integración y aplicando las condiciones de borde se obtienen las distribuciones respectivas de vx y yx

Por integración y aplicando las condiciones de borde se obtienen las distribuciones respectivas de vx y yx

Condiciones Límites ó de Borde :Condiciones Límites ó de Borde :

Interfase sólido-fluido: La velocidad del fluido se asume igual a la de la superficie (condición de no resbalamiento).

Interfase sólido-fluido: La velocidad del fluido se asume igual a la de la superficie (condición de no resbalamiento).

Interfase líquido-gas: La densidad de flujo de cantidad de movimiento y por tanto el gradiente de velocidad en la fase líquida es muy pequeño y se supone igual a cero en la mayoría de los cálculos.

Interfase líquido-gas: La densidad de flujo de cantidad de movimiento y por tanto el gradiente de velocidad en la fase líquida es muy pequeño y se supone igual a cero en la mayoría de los cálculos.Interfase líquido-líquido: Tanto como

dv/dy son continuas a través de la interfase, es decir, son iguales a ambos lados.

Interfase líquido-líquido: Tanto como dv/dy son continuas a través de la interfase, es decir, son iguales a ambos lados.

Como primer ejemplo se considera el flujo de una película descendente

Como primer ejemplo se considera el flujo de una película descendente

Este caso es aplicable a: torres de pared mojada, evaporación o adsorción de gases, aplicación de capas de pintura a rollos de papel, entre otros.

Este caso es aplicable a: torres de pared mojada, evaporación o adsorción de gases, aplicación de capas de pintura a rollos de papel, entre otros.

Considerando un tramo de longitud L, sin ondulaciones como el mostrado en la figura:

Considerando un tramo de longitud L, sin ondulaciones como el mostrado en la figura:

Suposiciones: y son constantes.• Estado Estacionario.• La región de la longitud L no esta afectada por las

perturbaciones en los extremos (vz f(z))

Suposiciones: y son constantes.• Estado Estacionario.• La región de la longitud L no esta afectada por las

perturbaciones en los extremos (vz f(z))

Balance de Cantidad de Movimiento:• Espesor del sistema: x.• Límites: Plano z=0 y z=L• Ancho: W ( en la dirección y)

Balance de Cantidad de Movimiento:• Espesor del sistema: x.• Límites: Plano z=0 y z=L• Ancho: W ( en la dirección y)

Velocidad de Entrada de Cantidad de Movimiento

Velocidad de Salida de Cantidad de Movimiento

Σfuerzas que Actúan Sobre el Sistema

0- + =

Como vz ≠ f(z) se anulan el tercero y cuarto término y dividiendo por LWx y tomando el limite cuando x 0 se obtiene:

Lim ((xz|x+x –xz|x)/x) = gcos x 0

Como vz ≠ f(z) se anulan el tercero y cuarto término y dividiendo por LWx y tomando el limite cuando x 0 se obtiene:

Lim ((xz|x+x –xz|x)/x) = gcos x 0

El primer término es por definición la primera derivada de xz con respecto a x, obteniéndose la ecuación diferencial buscada:

d(xz)/dx = gcos

El primer término es por definición la primera derivada de xz con respecto a x, obteniéndose la ecuación diferencial buscada:

d(xz)/dx = gcos

Al integrarla se obtiene:xz = gcos·x + C1

Al integrarla se obtiene:xz = gcos·x + C1

Al aplicar la condición de borde correspondiente a la interfase líquido-gas: C.B. 1: para x= 0 xz = 0

Se obtiene que C1 = 0, por lo tanto:

xz = gcos·x

Al aplicar la condición de borde correspondiente a la interfase líquido-gas: C.B. 1: para x= 0 xz = 0

Se obtiene que C1 = 0, por lo tanto:

xz = gcos·x

Si el fluido es Newtoniano (xz = -·dvz/dx) al sustituir e integrar de nuevo se obtiene:

vz = -(gcos·x2)/(2) + C2

Si el fluido es Newtoniano (xz = -·dvz/dx) al sustituir e integrar de nuevo se obtiene:

vz = -(gcos·x2)/(2) + C2

Para obtener C2 se aplica la condición:C.B. 2: para x= vz= 0Para obtener C2 se aplica la condición:C.B. 2: para x= vz= 0

Obteniéndose finalmente el perfil de velocidades:

vz = -g2cos/(2)·[1 – (x/)2]

Obteniéndose finalmente el perfil de velocidades:

vz = -g2cos/(2)·[1 – (x/)2]

Velocidad Máxima (vz,max): Evidentemente se obtiene para x=0; por tanto:

vz,max= g2cos/(2)

Velocidad Máxima (vz,max): Evidentemente se obtiene para x=0; por tanto:

vz,max= g2cos/(2)

3cosg

dxv1

dydx

dydxvv

2

0 zW

0 0

W

0 0 zz

Velocidad Volumétrica de Flujo (Q): Se obtiene a partir de la velocidad media, ó por integración de la velocidad:

Velocidad Volumétrica de Flujo (Q): Se obtiene a partir de la velocidad media, ó por integración de la velocidad:

3cosgW

vWdydxvQ3W

0 0 z

Velocidad Media ( ): Se obtiene mediante el siguiente cálculo:

Velocidad Media ( ): Se obtiene mediante el siguiente cálculo:

v

Espesor de la Película (): Se puede expresar en función de la velocidad media o la volumétrica:

Espesor de la Película (): Se puede expresar en función de la velocidad media o la volumétrica:

3cosgWQ3

cosgv3

Componente z de la Fuerza F del fluido sobre la superficie: Se obtiene integrando el esfuerzo cortante sobre la interfase fluido-sólido:

Componente z de la Fuerza F del fluido sobre la superficie: Se obtiene integrando el esfuerzo cortante sobre la interfase fluido-sólido:

cosLWgdxdy

dxdv

dxdyFL

0

W

0x

zL

0

W

0 xxzz

La ecuación de Hagen-Poiseuille: establece la relación que hay entre el flujo volumétrico y las fuerzas que originan dicho flujo en un tubo circular.

La ecuación de Hagen-Poiseuille: establece la relación que hay entre el flujo volumétrico y las fuerzas que originan dicho flujo en un tubo circular.

Suposiciones: y son constantes.• Estado estacionario.• Tubo de longitud muy larga (L>>R)

Suposiciones: y son constantes.• Estado estacionario.• Tubo de longitud muy larga (L>>R)

Balance de Cantidad de Movimiento:• Espesor del sistema: r (coordenadas cilíndricas).• Longitud L

Balance de Cantidad de Movimiento:• Espesor del sistema: r (coordenadas cilíndricas).• Longitud L


(2rLrz)|r – (2rLrz)|r+r

Entrada Salida


(2rLrz)|r – (2rLrz)|r+r

Entrada Salida


2rrvz(vz )|z=0 – 2rrvz(vz·)|z=L

Entrada Salida


2rrvz(vz )|z=0 – 2rrvz(vz·)|z=L

Entrada Salida

Fuerza de gravedad:2rrLgz

Fuerza de gravedad:2rrLgz

Sustituyendo en el balance se obtiene: (2rLrz)|r – (2rLrz)|r+r + (2rrvz

2)|z=0 – (2rrvz

2)|z=L + 2rrLgz + 2rr(p0 – pL) = 0

Sustituyendo en el balance se obtiene: (2rLrz)|r – (2rLrz)|r+r + (2rrvz

2)|z=0 – (2rrvz

2)|z=L + 2rrLgz + 2rr(p0 – pL) = 0

Fuerza de presión:2rr(p0 – pL)

Fuerza de presión:2rr(p0 – pL)

Como el flujo es incompresible vz f(z), anulándose el tercer y cuarto término y al dividir por 2rL y aplicando el límite cuando r → 0, se obtiene:

Como el flujo es incompresible vz f(z), anulándose el tercer y cuarto término y al dividir por 2rL y aplicando el límite cuando r → 0, se obtiene:

rgL

ppr

)r()r(Lim z

L0rrzrrrz

0r

Obteniéndose así la ecuación diferencial que describe el flujo en un tubo circular:

Obteniéndose así la ecuación diferencial que describe el flujo en un tubo circular:

rLdr

)r(d L0rz

PP

Donde Pz = p + gz, y al integrar se obtiene:Donde Pz = p + gz, y al integrar se obtiene:

rC

rL2

1L0rz

PP

Como rz no puede ser infinito en el origen, C1 = 0; por tanto:

Como rz no puede ser infinito en el origen, C1 = 0; por tanto:

rL2

L0rz

PP

Esta distribución se indica en la siguiente figura:Esta distribución se indica en la siguiente figura:

En este caso la Ley de Viscosidad de Newton se expresa como:

En este caso la Ley de Viscosidad de Newton se expresa como:

drdv z

rz

Sustituyendo e integrando se obtiene la siguiente ecuación general para la velocidad:

Sustituyendo e integrando se obtiene la siguiente ecuación general para la velocidad:

22L0

z CrL4

v

PP

Con la condición de borde en la pared de la tubería:para r = R vz = 0

Se obtiene la siguiente distibución de velocidades:

Con la condición de borde en la pared de la tubería:para r = R vz = 0

Se obtiene la siguiente distibución de velocidades:

22L0

z Rr

1L4

Rv

PP

Que corresponde a una distribución parabólicaQue corresponde a una distribución parabólica

Velocidad máxima vz,max: tiene lugar para x = 0Velocidad máxima vz,max: tiene lugar para x = 0

L4

Rv

2L0

max,z PP

L8

R

drdr

drdrvv

2L0

2

0

R

0

2

0

R

0 zz

PP

Velocidad Media ( ):Velocidad Media ( ):v

Velocidad Volumétrica de Flujo (Q):Velocidad Volumétrica de Flujo (Q):

L8

RQ

4L0

PP

Este resultado es conocido como la “Ley de Hagen-Poiseuille”

Este resultado es conocido como la “Ley de Hagen-Poiseuille”

Componente z de la fuerza F que actúa sobre la superficie mojada de la tubería:

Componente z de la fuerza F que actúa sobre la superficie mojada de la tubería:

gLR)pp(RRdr

dvR2F 2

L02

L02z2

z

PP

Esto es válido solamente si el flujo es laminar, lo que ocurre para Re < 2000, con Re = D /, con D = 2R

Esto es válido solamente si el flujo es laminar, lo que ocurre para Re < 2000, con Re = D /, con D = 2Rv

“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas

cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.”

“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas

cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.”

AnónimoAnónimo

unidad ii: distribuciÓn de velocidades en flujo laminar prof. pedro josé tineo figueroa

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