unidad ii

UNIDAD II: TORSIN Y FLEXIN

DIAGRAMA DE PRESENTACION DE LA UNIDAD II

ORGANIZACIN DE LOS CONTENIDOS

CONOCIMIENTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

TEMA N 1: TORSIN

1. Torsin 2. Barras circulares de

materiales linealmente elsticos

3. La frmula de la torsin 4. Momento polar de

inercia 5. ngulo de torsin

TEMA N 2: FLEXIN PURA

1. Flexin pura y flexin no uniforme

2. Curvatura de una viga 3. Deformaciones unitarias

longitudinales en vigas

4. Deformaciones unitarias normales

1. Establece y aplica las ecuaciones de torsin en los cuerpos.

2. Calcula el momento polar de inercia

3. Determina la flexin pura y no uniforme.

4. Aplica los conceptos de Deformacin unitaria.

Actividad N 2 5. Resuelve los problemas

propuestos al final de esta unidad.

6. Participa en los diversos FOROS TEMTICOS por semana

7. Realiza las actividades de la autoevaluacin 1

8. Realiza el control de lectura

N 1 correspondiente a la unidad

Control de Lectura N 1

Elabora una monografa de un

par de lecturas seleccionadas pudiendo ser la 1 y 3 o 2 y 4.

1. Toma conciencia del rol de ser estudiante universitario en

ingeniera. 2. Muestra inters por

las aplicaciones de la mecnica vectorial y resistencia de materiales.

3. Muestra entusiasmo al conocer los conceptos ms importantes de la mecnica de materiales y su aplicacin en la

solucin de problemas de INGENIERIA tanto en el quehacer cotidiano como en el profesional

TEMA N2: TORSIN

Los efectos que produce la aplicacin de una carga sobre un elemento largo y recto como

un eje o tubo. En un inicio se considerar que el elemento tiene una seccin transversal

circular. De tal manera se pueda medir el grado de torcimiento de dicho elemento.

1. TORSIN

Torsin se refiere al torcimiento de una barra recta al ser cargada por momentos (o

pares de torsin) que tienden a producir rotacin con respecto al eje longitudinal de

la barra. Por ejemplo, cuando usted gira un destornillador.

Figura N 1. Torcimiento en el destornillador

Fuente: HIBBELER, Russell Charles. Mecnica de Materiales (2007)

Su mano aplica un par de torsin T al mango y tuerce el vstago del destornillador.

Figura N 1. Torsin del mango del destornillador


Otros ejemplos de barras en torsin son los ejes de impulsin en automviles, ejes

de transmisin, ejes de hlices, barras de direccin y brocas de taladros. Un caso

idealizado de carga torsional se representa en la figura siguiente.

Figura N 1. Carga Torsional


Donde se muestra una barra recta soportada en un extremo y cargada por dos pares

de fuerzas iguales y opuestas. El primer par consiste en las fuerzas P1 que actan

cerca del punto medio de la barra y el segundo para consiste de las fuerzas P2 que

actan en el extremo. Cada par de fuerzas forma un par de torsin que tiende a

torcer la barra con respecto a su eje longitudinal. Como sabemos de la esttica, el

momento de un par de torsin es igual al producto de una de las fuerzas y la

distancia perpendicular entre las lneas de accin de las fuerzas; por tanto, el primer

par de torsin tiene un momento T1 = P1d1 y el segundo tiene un momento T2 = P2d2.

Las unidades en el sistema ingls para el momento son la libra-pie (lb-ft) y la libra-

pulgada (lb-in).

La unidad en el SI para el momento es el newton metro (Nm).

El momento de un par de torsin se puede representar por un vector en forma de

una flecha con cabeza doble tal y como se muestra enseguida.

Figura N 1. Momento de un Par


La flecha es perpendicular al plano que contiene el par de torsin y, por tanto, en este

caso las dos flechas son paralelas al eje de la barra. La direccin (o sentido) del

momento se indica mediante la regla de la mano derecha para vectores momento:

empleando su mano derecha, permita que sus dedos se curven en el sentido del

momento y entonces su dedo pulgar apuntara en la direccin del vector.

Una representacin alternativa de un momento es una flecha curva que acta en el

sentido de la rotacin.

Figura N 1. Rotacin del momento


La flecha curva y las representaciones vectoriales son de uso comn y emplearemos

las dos. La eleccin depende de la conveniencia y la preferencia personal. Los

momentos que producen el torcimiento de una barra, como los marcados T1 y T2, se

llaman pares de torsin o momentos de torsin. Los elementos cilndricos que se

someten a pares de torsin y transmiten potencia mediante rotacin se llaman ejes;

por ejemplo, el eje impulsor de un automvil o el eje de la hlice de un barco. La

mayor parte de los ejes tienen secciones transversales circulares sean solidas o

tubulares.

2. BARRAS CIRCULARES DE MATERIALES LINEALMENTE ELSTICOS

Las magnitudes de los esfuerzos cortantes se pueden determinar a partir de las

deformaciones unitarias mediante la relacin esfuerzo deformacin unitaria para el

material de la barra. Si el material es linealmente elstico, podemos utilizar la ley de

Hooke en cortante

En donde G es el mdulo de elasticidad en cortante y y es la deformacin unitaria por cortante en radianes. Al combinar esta ecuacin con las ecuaciones para las

deformaciones unitarias por cortante obtenemos.

Figura N 1. Esfuerzo cortante

Fuente: GERE, James. Resistencia de Materiales (2002)

Esfuerzos cortantes en una barra circular en torsin.

En donde tmax es el esfuerzo cortante en la superficie exterior de la barra (radio r),

es el esfuerzo cortante en un punto interior (radio ) y u es la razn de torsin. (En estas ecuaciones, tiene unidades de radianes por unidad de longitud).

Las ecuaciones muestran que los esfuerzos cortantes varan linealmente con la

distancia desde el centro de la barra, como se ilustra por el diagrama triangular en la

figura siguiente.

Figura N 1. Variacin del esfuerzo cortante


Esta variacin lineal del esfuerzo es una consecuencia de la ley de Hooke.

Los esfuerzos cortantes que actan sobre un plano transversal van acompaados de

esfuerzos cortantes con la misma magnitud que las que actan sobre planos

longitudinales.

Figura N 1. Plano transversal


Esfuerzos cortantes longitudinal y transversal

en una barra circular sometida a torsin.

3. LA FRMULA DE LA TORSIN

El paso siguiente en nuestro anlisis es determinar la relacin entre los esfuerzos

cortantes y el par de torsin T. Una vez determinada esta relacin, podremos calcular

los esfuerzos y las deformaciones unitarias en una barra debidas a cualquier conjunto

de pares de torsin aplicados.

La distribucin de los esfuerzos cortantes que actan sobre una seccin transversal

se representa.

Figura N 1. Esfuerzo cortante

Fuente: BEER, JOHNSTON, DEWOLF. Mecnica de Materiales (2006)

Debido a que dichos esfuerzos actan continuamente alrededor de la seccin

transversal, tienen una resultante en la forma de un momento que es igual al par de

torsin T que acta sobre la barra. Para determinar esta resultante consideramos un

elemento de rea dA ubicado a una distancia radial r desde el eje de la barra.

Figura N 1. Esfuerzo cortante a un radio


La fuerza cortante que acta sobre este elemento es igual a dA, donde t es el esfuerzo cortante a un radio r. El momento de esta fuerza con respecto al eje de la

barra es igual a la fuerza multiplicada por su distancia desde el centro, o rdA.

Sustituyendo el valor del esfuerzo cortante , podemos expresar este momento elemental como.

El momento resultante (igual al par de torsin T) es la suma a lo largo de toda el rea

de la seccin transversal de todos los momentos elementales:

En donde:

4. Momento polar de inercia

De la seccin transversal circular. Para un crculo con radio r y dimetro d, el

momento polar de inercia es:

Es posible obtener una expresin para el esfuerzo cortante mximo

Las unidades comunes empleadas en la frmula de la torsin son las siguientes. En

el sistema SI el par de torsin T suele expresarse en newton metro (Nm), el radio r en metros (m), el momento polar de inercia IP en metros a la cuarta potencia (m4) y el esfuerzo cortante t en pascales (Pa). Si se utilizan unidades inglesas, con frecuencia

T se expresa en libra-pies (lb-ft) o libra-pulgadas (lb-in), r en pulgadas (in), IP en pulgadas a la cuarta potencia (in4) y t en libras por pulgada cuadrada (psi).

Sustituyendo r = d/2 e IP = d2/32 en la frmula de la torsin, obtenemos la ecuacin siguiente para el esfuerzo mximo:

Esta ecuacin solo se aplica a barras con seccin transversal circular slida en tanto

que la frmula de la torsin mxima se aplica tanto a barras solidas como a tubos

circulares.

El esfuerzo cortante a una distancia r desde el centro de la barra es:

Es una formula generalizada de la torsin y de nuevo observamos que los esfuerzos

cortantes varan linealmente con la distancia radial desde el centro de la barra.

5. ngulo de torsin

Ahora podemos relacionar el Angulo de torsin de una barra de material linealmente

elstico con el par de torsin aplicado T.

En donde tiene unidades de radianes por unidad de longitud. Esta ecuacin muestra que la razn de torsin es directamente proporcional al par de torsin T e inversamente proporcional al producto GIP, conocido como rigidez torsional de la

barra.

Para una barra en torsin pura, el Angulo de torsin total, igual a la razn de

torsin multiplicada por la longitud de la barra (es decir, = L), es:

En donde se mide en radianes.

La cantidad GIP/L, llamada rigidez torsional de la barra, es el par de torsin

necesario para producir una rotacin de un ngulo unitario. La flexibilidad torsional

es el reciproco de la rigidez, o L/GIP, y se define como el ngulo de rotacin producido

por un par de torsin unitario. Por tanto, tenemos las expresiones siguientes:

La ecuacin para el Angulo de torsin proporciona una forma conveniente para

determinar el mdulo de elasticidad en cortante G de un material. Al realizar una

prueba de torsin en una barra circular podemos medir el ngulo de torsin producido por un par de torsin conocido T. Luego se puede calcular el valor de G con

la ecuacin.

LECTURA SELECCIONADA No 3:

MORFOLOGA DE LA ESTRUCTURA

Estructura

Entidad fsica de carcter unitario, concebida como una organizacin de cuerpos

dispuestos en el espacio de modo que el concepto del todo domina la relacin entre las

partes, segn esta definicin vemos que una estructura en un ensamblaje de elementos

que mantiene su forma y su unidad.

Sus objetivos son: resistir cargas resultantes de su uso y de su peso propio y darle forma

a un cuerpo, obra civil o mquina. Ejemplos de estructuras son: puentes, torres,

edificios, estadios, techos, barcos, aviones, maquinarias, presas y hasta el cuerpo

humano.

1. Qu es un sistema estructural?

Es un ensamblaje de miembros o elementos independientes para conformar un

cuerpo nico y cuyo objetivo es darle solucin (cargas y forma) a un problema civil

determinado.

La manera de ensamblaje y el tipo de miembro ensamblado definen el

comportamiento final de la estructura y constituyen diferentes sistemas estructurales.

En algunos casos los elementos no se distinguen como individuales sino que la

estructura constituye en si un sistema continuo como es el caso de domos, losas

continuas o macizas y muros, y se analizan siguiendo los conceptos y principios

bsicos de la mecnica.

Figura N 1. Estructuras de Acero

Fuente: www.webdelprofesor.ula.ve

El sistema estructural constituye el soporte bsico, el armazn o esqueleto de la

estructura total y l transmite las fuerzas actuantes a sus apoyos de tal manera que

se garantice seguridad, funcionalidad y economa.

En una estructura se combinan y se juega con tres aspectos:

FORMA

MATERIALES Y DIMENSIONES DE ELEMENTOS

CARGAS Los cuales determinan la funcionalidad, economa y esttica de la solucin propuesta.

2. ANLISIS ESTRUCTURAL

El anlisis estructural consiste en la determinacin de los efectos originados por las

acciones sobre la totalidad o parte de la estructura, con objeto de efectuar

comprobaciones en los Estados Lmite ltimos y de Servicio.

Figura N 1. Programa FIN 3D de anlisis estructural

Fuente: www.archiexpo.es

a. Modelos estructurales

Para la realizacin del anlisis, se idealizan tanto la geometra de la estructura

como las acciones y las condiciones de apoyo mediante un modelo matemtico

adecuado. El modelo elegido deber ser capaz siempre de reproducir el

comportamiento estructural dominante.

Para el anlisis, los elementos estructurales se clasifican en unidimensionales,

cuando una de sus dimensiones es mucho mayor que las restantes,

bidimensionales, cuando una de sus dimensiones es pequea comparada con las

otras dos, y tridimensionales cuando ninguna de sus dimensiones resulta

sensiblemente mayor que las otras.

b. Mtodos de clculo

Las condiciones que, en principio, debe satisfacer todo anlisis estructural son las

de equilibrio y las de compatibilidad teniendo en cuenta el comportamiento tenso

deformacional de los materiales.

Generalmente, las condiciones de compatibilidad o las relaciones tenso-

deformacionales de los materiales resultan difciles de satisfacer estrictamente, por

lo que pueden adoptarse soluciones en que estas condiciones se cumplan

parcialmente, siempre que sean equilibradas y que se satisfagan a posteriori las

condiciones de ductilidad apropiadas.

c. Tipos de anlisis

El anlisis global de una estructura puede llevarse a cabo de acuerdo con las

metodologas siguientes:

Anlisis lineal

Anlisis no lineal

Anlisis lineal con redistribucin limitada

Anlisis plstico.

d. Anlisis lineal

Es el que est basado en la hiptesis de comportamiento elstico-lineal de los

materiales constituyentes y en la consideracin del equilibrio en la estructura sin

deformar. En este caso se puede utilizar la seccin bruta de hormign para el

clculo de las solicitaciones.

e. Anlisis no lineal

Es el que tiene en cuenta la no linealidad mecnica, esto es, el comportamiento

tenso-deformacional no lineal de los materiales y la no linealidad geomtrica, es

decir, la consideracin del equilibrio de la estructura en su situacin deformada.

El comportamiento no lineal hace que la respuesta estructural dependa de la

historia de cargas. Por ello, para obtener la carga ltima es a menudo preciso

proceder de forma incremental, recorriendo los rangos elstico, fisurado y previo

al agotamiento.

El anlisis no lineal requiere, para un nivel determinado de carga, un proceso

iterativo en el que, tras sucesivos anlisis lineales, se converge a una solucin que

satisface las condiciones de equilibrio, tenso-deformacionales y de compatibilidad.

Estas condiciones se comprueban en un nmero determinado de secciones,

dependiendo de la discretizacin, que deber ser suficiente para garantizar que se

representa adecuadamente la respuesta estructural.

El comportamiento no lineal lleva intrnseco la invalidez del principio de

superposicin y, por tanto, el formato de seguridad del captulo IV no es aplicable

directamente en el anlisis no lineal.

f. Anlisis lineal con redistribucin limitada

Es aqul en el que los esfuerzos se determinan a partir de los obtenidos mediante

un anlisis lineal, como el descrito anteriormente, y posteriormente se efectan

redistribuciones que satisfacen las condiciones de equilibrio.

El anlisis lineal con redistribucin limitada exige unas condiciones de ductilidad

adecuadas que garanticen las redistribuciones requeridas para las leyes de

esfuerzos adoptadas.

Anlisis plstico, Es aquel que est basado en un comportamiento plstico, elasto-

plstico o rgido-plstico de los materiales y que cumple al menos uno de los

teoremas bsicos de la plasticidad: el del lmite inferior, el del lmite superior o el

de unicidad.

3. DISEO ESTRUCTURAL

Diseo por medio de modelos, Se recomienda en el diseo de elementos estructurales

de forma muy compleja que no son fciles de analizar por medio de los modelos

matemticos usuales.

Figura N 1. Construccin

Fuente: www.edicioneslanca.com

Mtodo de los esfuerzos de trabajo o de esfuerzos permisibles o teora elstica. Los

elementos mecnicos producidos en los distintos elementos por las solicitaciones de

servicio o de trabajo se calculan por medio de un anlisis elstico. Se determinan

despus los esfuerzos en las distintas secciones debido a los elementos mecnicos,

por mtodos tambin basados en hiptesis elsticas. Los esfuerzos de trabajo as

calculados, deben mantenerse por debajo de ciertos esfuerzos permisibles que se

consideran aceptables, el mtodo es razonable en estructuras de materiales con un

comportamiento esencialmente elstico.

a. Mtodo de la resistencia o mtodo de factores de carga y de reduccin de

resistencia o teora plstica

Los elementos mecnicos se determinan por medio de un anlisis elstico-lineal.

Las secciones se dimensionan de tal manera que su resistencia a las diversas

acciones de trabajo a las que puedan estar sujetas sean igual a dichas acciones

multiplicadas por factores de carga, de acuerdo con el grado de seguridad deseado

o especificado. La resistencia de la seccin se determina prcticamente en la falla

o en su plastificacin completa.

b. Mtodos basados en el anlisis al lmite

En este criterio se determinan los elementos mecnicos correspondientes a la

resistencia de colapso de la estructura. (Formacin de suficientes articulaciones

plsticas para llegar a la falla total de la estructura).

Se hace un anlisis estructural plstico.

4. Mtodos probabilsticos

Las solicitaciones que actan sobre las estructuras, as como las resistencias de estas

son cantidades en realidad de naturaleza aleatoria, que no pueden calcularse por

mtodos determinsticos como se supone en los criterios de diseo anteriores. Esto

nos conduce a pensar en mtodos basados en la teora de las probabilidades.

Las principales limitaciones que se tienen en la actualidad son que no se tiene

suficiente informacin sobre las variaciones tanto de las solicitaciones que deben de

considerarse como la resistencia de los materiales y de las estructuras construidas

con ellos.

TEMA N 2: FLEXIN PURA

Los esfuerzos normales en las vigas son producidos por los momentos flectores. Por tanto, para calcularlos utilicemos una viga en voladizo sometida slo a momento

flector (flexin pura).

Figura N 1. Voladizo sometido a momento


Flexin de una viga en voladizo: viga con carga y la curva de flexin.

1. FLEXIN PURA Y FLEXIN NO UNIFORME

Al analizar vigas, con frecuencia es necesario distinguir entre flexin pura y flexin

no uniforme. Flexin pura se refiere a la flexin de una viga ante un momento

flexionante constante. Por tanto, la flexin pura ocurre slo en regiones de una viga

donde la fuerza cortante es cero ya que:

V = dM/dx

En contraste, flexin no uniforme se refiere a la flexin en presencia de fuerzas

cortantes, lo cual significa que el momento flexionante cambia conforme nos

movemos a lo largo del eje de la viga. Como ejemplo de flexin pura considere una

viga simple AB cargada por dos pares M1 que tienen la misma magnitud pero que

actan en sentidos opuestos y se puede observar en la siguiente figura.

Figura N 1. Viga sometida a momentos contrarios


Viga simple en flexin pura (M = M1).

Estas cargas producen un momento flexionante constante M = M1 en toda la longitud

de la viga, como lo muestra el diagrama de momento flexionante en la parte de la

figura de la figura. Observe que la fuerza cortante V es cero en todas las secciones

transversales de la viga.

Figura N 1. Seccin transversal de la viga

Fuente: Luis Miguel Pineda Coronel

Otra ilustracin de flexin pura se presenta en la figura a continuacin

Figura N 1. Flexin pura en la viga


Donde la viga en voladizo AB est sometida a un par M2 en el sentido de las manecillas

del reloj en el extremo libre.

No hay fuerzas cortantes en esta viga y el momento flexionante M es constante en

toda su longitud. El momento flexionante es negativo (M = M2), como se muestra en el diagrama de momento flexionante.

Figura N 1. Momento Flexionante


Viga en voladizo en flexin pura (M = -M2).

La viga simple cargada de manera simtrica se muestra a continuacin.

Figura N 1. Viga con carga simtrica

.

Fuente: Luis Miguel Pineda Coronel Viga simple con regin central en flexin pura y

regiones extremas en flexin no uniforme.

Este es un ejemplo de una viga que est parcialmente en flexin pura y parcialmente

en flexin no uniforme, como se puede ver a partir de los diagramas de fuerza

cortante y momento flexionante como sigue.

Figura N 1. Regin central de la viga en flexin pura


La regin central de la viga est en flexin pura debido a que la fuerza cortante es

cero y el momento flexionante es constante. Las partes de la viga cerca de los

extremos estn en flexin no uniforme debido a la presencia de las fuerzas cortantes

y a que los momentos flexionantes varan.

2. CURVATURA DE UNA VIGA

Cuando se aplican cargas a una viga, su eje longitudinal se deforma y adopta una

forma curva, como se ilustra.

Figura N 1. Viga deformada


Las deformaciones unitarias y los esfuerzos en la viga estn directamente

relacionados con la curvatura de la curva de deflexin.

Para ilustrar el concepto de curvatura, considere de nuevo una viga en voladizo

sometida a una carga P que acta en el extremo libre.

Figura N 1. Viga sometida a carga


La curva de deflexin de esta viga se muestra a continuacin.

Figura N 1. Curva de deflexin


Para fines de anlisis, identificamos dos puntos m1 y m2 en la curva de deflexin. El

punto m1 se selecciona a una distancia arbitraria x del eje y y el punto m2 est ubicado

a una distancia pequea ds ms alejada a lo largo de la curva. En cada uno de estos

puntos trazamos una lnea normal a la tangente de la curva de deflexin, es decir,

normal a la propia curva. Estas normales se intersecan en el punto O, que es el

centro de curvatura de la curva de deflexin. Como la mayora de las vigas tienen

deflexiones muy pequeas y curvas de deflexin casi planas, es usual que el punto

O se ubique mucho ms alejado de la viga de lo que se indica en la figura.

La distancia m1O desde la curva hasta el centro de curvatura se denomina radio de curvatura y se denota (letra griega rho), y la curvatura se denota k (letra griega kappa) y se define como el recproco del radio de curvatura. Por tanto:

La curvatura es una medida de qu tan agudamente est flexionada una viga. Si la

carga sobre una viga es pequea, la viga ser casi recta, el radio de curvatura ser

muy grande y la curvatura ser muy pequea. Si la carga se aumenta, la cantidad de

flexin aumentar; el radio de curvatura ser menor y la curvatura ser mayor.

De la geometra del tringulo Om1m2 obtenemos

En donde d (medido en radianes) es el ngulo infinitesimal entre las normales y ds es la distancia infinitesimal a lo largo de la curva entre los puntos m1 y m2. Al combinar

la ecuacin anterior con la primera ecuacin, obtenemos

La convencin de signos para la curvatura depende de la orientacin de los ejes

coordenados. Si el eje x es positivo hacia la derecha y el eje y es positivo hacia arriba,

como se muestra en la figura a continuacin:

Figura N 1. Signos para curvatura


Entonces la curvatura es positiva cuando la viga se flexiona cncava hacia arriba y el

centro de curvatura est arriba de la viga. De manera inversa, la curvatura es

negativa cuando la viga se flexiona convexa hacia abajo y el centro de curvatura est

debajo de la viga.

3. DEFORMACIONES UNITARIAS LONGITUDINALES EN VIGAS

Las deformaciones unitarias longitudinales en una viga se pueden determinar

analizando la curvatura de la viga y las deformaciones unitarias correspondientes.

Para este fin, consideremos una parte AB de una viga en flexin pura sometida a

momentos flexionantes positivos M.

Figura N 1. Viga sometida a momentos Flexionantes


Suponemos que la viga inicialmente tiene un eje longitudinal recto (el eje x en la

figura) y que su seccin transversal es simtrica con respecto al eje y, como se

muestra en la figura siguiente.

Figura N 1. Seccin transversal de la viga


Bajo la accin de los momentos flexionantes, la viga se flexiona en el plano xy (el

plano de flexin) y su eje longitudinal se flexiona en una curva circular (curva ss en

la figura que sigue).

Figura N 1. Viga flexionada


La viga se flexiona con la concavidad hacia arriba, que es una curvatura positiva,

todas estas imgenes hacen referencia a una sola viga.

Figura N 1. Viga antes y despus de la flexin


Deformaciones de una viga en flexin pura: vista lateral de la viga,

Seccin transversal de la viga y viga deformada.

Nota: si bien una seccin transversal plana en flexin pura

permanece plana, an puede haber deformaciones en el

propio plano. Dichas deformaciones se deben a los efectos de

la relacin de Poisson, como se explica al final de este anlisis.

4. DEFORMACIONES UNITARIAS NORMALES x

Para evaluar estas deformaciones unitarias normales, considere una lnea

longitudinal comn ef ubicada dentro de la viga entre los planos mn y pq.

Figura N 1. Viga sometida a momentos


Identificamos la lnea ef por su distancia y desde la superficie neutra en la viga

inicialmente recta. Por tanto, ahora estamos suponiendo que el eje x yace a lo largo

de la superficie neutra de la viga sin deformar. Por supuesto, cuando la viga se

flexiona, la superficie neutra se mueve con la viga, pero el eje x permanece fijo en

posicin. No obstante, la lnea longitudinal ef en la viga flexionada a continuacin.

Figura N 1. Viga flexionada


An est ubicada a la misma distancia y desde la superficie neutra. As, la longitud

L1 de la lnea ef despus que tiene lugar la flexin es:

En donde sustituimos d = dx/. Como la longitud original de la lnea ef es dx, se deduce que su alargamiento es L1

dx o ydx/. La deformacin unitaria longitudinal correspondiente es igual al alargamiento dividido entre la longitud inicial dx; por tanto, la relacin deformacin

unitaria curvatura es:

Donde k es la curvatura

LECTURA SELECCIONADA No 4:

EL ACERO ESTRUCTURAL

Es el material estructural ms usado para construccin de estructuras en el mundo. Es

fundamentalmente una aleacin de hierro (mnimo 98 %), con contenidos de carbono

menores del 1 % y otras pequeas cantidades de minerales como manganeso, para

mejorar su resistencia, y fsforo, azufre, slice y vanadio para mejorar su soldabilidad y

resistencia a la intemperie. Es un material usado para la construccin de estructuras, de

gran resistencia, producido a partir de materiales muy abundantes en la naturaleza.

Entre sus ventajas est la gran resistencia a tensin y compresin y el costo razonable.

A pesar de la susceptibilidad al fuego y a la intemperie es el material estructural ms

usado, por su abundancia, facilidad de ensamblaje y costo razonable. Su mayor uso

como material estructural ha correspondido a las varillas usadas en el concreto reforzado

y a los perfiles livianos usados en estructuras de techos.

La industria de la construccin ha desarrollado diferentes formas de secciones y tipos de

acero que se adaptan ms eficientemente a las necesidades de la construccin de

edificios.

Las aplicaciones comunes del acero estructural en la construccin incluyen perfiles

estructurales de secciones: I, H, L, T, [, 0, usadas en edificios e instalaciones para

industrias; cables para puentes colgantes, atirantados y concreto pre-esforzado; varillas

y mallas electro-soldadas para el concreto reforzado; lminas plegadas usadas para

techos y pisos.

Figura N 1. Aceros estructurales modernos

Fuente: www.arqhys.com

Como el acero tiene propiedades prcticamente idnticas a tensin y compresin, por

ello su resistencia se controla mediante el ensayo de probetas pequeas a tensin. Los

elementos de acero pueden unirse fcilmente, mediante soldadura, pernos o remaches.

La fatiga puede reducir la resistencia del acero a largo plazo, cuando se lo somete a

gran nmero de cambios de esfuerzos y an fallarlo frgilmente, por lo que en estos

casos deben limitarse los esfuerzos mximos. El acero ms comnmente usado es el

denominado A-36, que tiene un un punto fluencia de 36000 psi (2530 kgf/cm2), aunque

modernamente la tendencia es hacia un acero de resistencia superior, el A-572 de punto

de fluencia de 50.000 psi.

Las caractersticas estructurales del acero estructural tipo A-36 se pueden apreciar en

las curvas esfuerzo-deformacin unitaria a tensin, mostradas. En ella se muestran,

tambin, los aceros estructurales A572 y A-36.

Figura N 1. Tren de aterrizaje

Fuente: Google Imgenes

En la figura se pueden ver varias zonas:

Un comportamiento elstico hasta un esfuerzo alto. Se aplican las relaciones lineales

entre el esfuerzo y la deformacin, definidas por la Teora de la Elasticidad. Los

parmetros bsicos son el Esfuerzo de Fluencia (fy) y la deformacin unitaria de

fluencia (Ey).

Una zona de comportamiento plstico, en la cual el esfuerzo permanece

prcticamente constante, pero aumenta continuamente la deformacin unitaria.

Un punto de falla o de ruptura. La deformacin unitaria en la falla es de 0,20 (curva

inferior de la figura) para el acero estructural usado corrientemente en la construccin

de estructuras.

Los aceros de "alta resistencia" como los usados para los cables de preesforzado y aceros

especiales, no presentan la fluencia definida que se muestra en la figura para los aceros

tipo A-36 (curva inferior de la figura), ni tienen el grado de ductilidad del acero

estructural. En ellos, el esfuerzo de fluencia no se presenta tan claro como en los tipo

A-36 y debe definirse. El acero para pre-esforzado tiene la resistencia ms alta de las

mostradas: fpu = 240 ksi (240.000 psi = 17.500 kgf/cm2).

La deformacin del acero a partir de la fluencia es denominada ductilidad. Esta es una

cualidad muy importante en el acero como material estructural y es la base de los

mtodos de diseo plstico. Permite, que la estructura absorba grandes cantidades de

energa por deformacin, circunstancia muy importante en zonas ssmicas, en las cuales

es necesario que la estructura libere la energa introducida en su base por los terremotos.

El Mdulo de Elasticidad es prcticamente independiente del tipo de acero est

alrededor de 2000000 kgf/cm2.

CONCRETO ESTRUCTURAL

El CONCRETO, tambin denominado hormign, es un material artificial, creado de

materiales comunes: piedra, arena y cemento, de gran resistencia a la compresin, pero

muy poca a la tensin. Es el material estructural ms usado en el pas para construccin

de estructuras de edificios de oficinas y vivienda y puentes.

El concreto es un material muy durable, resistente al fuego y a la intemperie; muy

verstil, y puede adoptar cualquier forma, dependiendo de la formaleta usada. Posee

una resistencia a la compresin buena, con valores tpicos en el pas entre 210 y 350

kgf/cm2 (21-35 Mpa). Sin embargo, se producen actualmente concretos de alta

resistencia con valores de resistencia hasta de 1200 kgf/cm2 (120 Mpa).

Tambin tiene desventajas, como su poca resistencia a la traccin, aproximadamente la

dcima parte de la de compresin y tal vez su peso. Adems, sus propiedades mecnicas

pueden ser muy variables, ya que dependen de la calidad, la dosificacin de los

materiales, del proceso de produccin, transporte, colocacin y curado.

La fisuracin por traccin del concreto se presenta en casi todos los miembros de

concreto reforzado a flexin, excepto en aquellos que estn poco cargados o los que

funcionan bsicamente a compresin. La ausencia de fisuras tambin se da en las

estructuras de concreto preesforzado, en las cuales se mantiene un estado controlado

de esfuerzos internos de compresin, o pequeos de traccin, con el fin de contrarrestar

los esfuerzos de tensin producidos por las cargas externas.

La deficiente resistencia a traccin del concreto simple dificulta su uso como material en

vigas o elementos a flexin. Es necesario combinarlo con acero que tiene alta resistencia

a la tensin, dando origen al concreto reforzado (con varillas) y al concreto preesforzado,

que introduce esfuerzos de compresin que contrarrestan los esfuerzos de traccin en

las secciones donde se presentan.

Composicin del concreto simple

El concreto se elabora con arena y grava (agregado grueso) que constituyen entre el 70

y 75 por ciento del volumen y una pasta cementante endurecida formada por cemento

hidrulico con agua, que con los vacos forman el resto. Usualmente, se agregan aditivos

para facilitar su trabajabilidad o afectar las condiciones de su fraguado y contenido de

vacos para mejorar la durabilidad.

La grava (gravilla) vara en tamaos desde 5 mm hasta 50 mm para los concretos usados

en edificaciones y puentes; en concretos especiales como los usados en presas de

gravedad los tamaos pueden ser mayores. Requiere buena gradacin, resistencia al

desgaste, durabilidad, superficies libres de impurezas. El tamao mximo est

determinado por el proceso de construccin; especialmente influye la separacin del

refuerzo y las dimensiones del elemento que se pretende construir.

La arena es el material granular que pasa el tamiz N 4, y debe estar libre de impurezas,

especialmente orgnicas.

El cemento suministra las propiedades adhesivas y cohesivas a la pasta. Se usa el

cemento hidrulico tipo Portland. Para su hidratacin requiere cerca del 25% de agua.

Sin embargo para mejorar la movilidad del cemento dentro de la pasta se requiere un

porcentaje adicional del 10 al 15 %. La relacin agua-cemento (a/c) mnima es de 0,35;

en la prctica es mayor para darle trabajabilidad a la mezcla de concreto. La relacin a/c

es uno de los parmetros que ms afecta la resistencia del concreto, pues a medida que

aumenta, aumentan los poros en la masa y por ende disminuye la resistencia.

El agua de la mezcla debe ser limpia y libre de impurezas y en general debe ser potable.

El proceso de hidratacin genera calor, que produce aumento de temperatura en la

mezcla y expansin volumtrica y que debe controlarse sobre todo en vaciados masivos.

Con el fin de controlar el exceso de agua en la mezcla, necesario para facilitar la

trabajabilidad del concreto fresco, la tecnologa moderna del concreto, facilita los aditivos

plastificantes, los cuales adems de facilitar el proceso constructivo, permiten obtener

concretos de resistencia ms uniforme.

Las proporciones de los materiales del concreto deben permitir la mayor compactacin

posible, con un mnimo de cemento. Las proporciones de una mezcla se definen

numricamente mediante frmulas: 1:2:4 que representa: "1" parte de cemento, "2"

partes de arena, "4" partes de grava, al peso o al volumen. Las proporciones

(dosificaciones) al peso son las ms recomendables.

Las proporciones en volumen son cada vez menos usadas; se usan donde no se requiere

una resistencia muy controlada: aplicaciones caseras o poblaciones pequeas alejadas

de los centros urbanos, y siempre presentan grandes variaciones en su resistencia, no

siendo modernamente recomendables. En la ciudades grandes la produccin se hace

generalmente en plantas de premezclado, lo que permite un control de calidad estricto

y una resistencia del concreto ms uniforme, con reduccin en el consumo de cemento.

Una mezcla tpica de concreto en el pas tiene una resistencia de 210 kgf/cm2 (3000 psi),

o 21 MPa.

Siendo la compresin la propiedad ms caracterstica e importante del concreto, las

dems propiedades mecnicas se evalan con referencia a ella. La resistencia a

compresin (f c) se mide usualmente mediante el ensayo a compresin en cilindros de

150 mm de dimetro por 300 mm de altura y con 28 das de edad. ltimamente se ha

ido popularizando la medida de la compresin con cilindros de menor dimetro, 100 y

75 mm, con las ventajas de menor consumo de concreto para el programa de control de

calidad y menor peso para el transporte de los cilindros; en este caso el tamao mximo

del agregado debe limitarse a 2,5 cm (una pulgada).

La resistencia a compresin (f c) vara significativamente con la variacin de algunos

parmetros, tales como: la relacin agua-cemento (a/c), el tamao mximo de la grava,

las condiciones de humedad durante el curado, la edad del concreto, la velocidad de

carga, la relacin de esbeltez de la muestra (en casos de ensayos sobre ncleos extrados

de concretos endurecidos es diferente de 2, que es la relacin de los cilindros estndar,

usados para determinar la resistencia del concreto).

Ya se mencion que el concreto posee una resistencia a la tensin baja y cercana al 10%

de la resistencia a compresin; en la actualidad esta resistencia se mide mediante el

ensayo de los cilindros apoyados en su arista, denominado "ensayo brasileo".

La resistencia a flexin del concreto, denominada Mdulo de Ruptura (fR) se evala

mediante el ensayo a flexin de viguetas de concreto simple de 50 cm de longitud y

seccin cuadrada de 15 cm de lado, con cargas aplicadas en los tercios de la luz. Este

parmetro es usado para controlar el diseo de pavimentos de concreto. La norma NSR-

98 sugiere un valor de 2 (kg/cm2).

Mdulo de Elasticidad es la pendiente de la parte inicial de la curva esfuerzo-deformacin

unitaria del concreto y aumenta con la resistencia del concreto a compresin. Se usa

normalmente el denominado mdulo secante, que se obtiene de la pendiente de la recta

que une el origen de la curva de esfuerzos v.s. deformacin unitaria del concreto, con

un punto correspondiente a un esfuerzo de 0,45 f c. Esta propiedad del concreto es muy

importante para la prediccin de las deflexiones producidas por cargas de corta duracin

en los elementos a flexin. Aunque es un valor que es variable segn la resistencia del

concreto a compresin, su valor puede asumirse como 200000 kg/cm2, para muchos

casos en que no sea necesaria demasiada precisin. La norma sugiere un expresin para

su clculo de: Ec = 12500 (kg/cm2)

CONCRETO PREESFORZADO

En las secciones anteriores se ha mencionado la debilidad del concreto para resistir

tensin. El refuerzo convencional solo puede usarse econmicamente si se acepta

fisuracin en el concreto. El preesforzado es una solucin alterna a este problema y

permite que los miembros se mantengan sin fisuracin en un rango de cargas ms

amplio, con ventajas adicionales de deflexiones pequeas y una durabilidad mucho

mayor, por su menor fisuracin y la posibilidad de cubrir mayores luces, para la misma

altura.

El principio bsico del preesforzado consiste en aplicar una fuerza de compresin en la

seccin, que contrarreste los esfuerzos de traccin producidos por la flexin. Este

preesfuerzo es aplicado generalmente mediante una fuerza excntrica producida por un

cable paralelo o con inclinacin ligera respecto al eje del elemento. Estos cables de acero

de alta resistencia denominados tendones, pasan a lo largo del elemento y transmiten

su fuerza generalmente en los extremos; pueden ser alambres o hilos individuales

(usualmente de dimetro 5mm) o torones trenzados de 7 hilos (generalmente de

dimetros de 3/8, 1/2 o 5/8 pulgadas). Segn el momento de aplicacin del preefuerzo

al concreto se consideran dos clases: concreto pretensado, concreto postensado.

Figura N 1. Vigas prefabricadas

Fuente: Google Imgenes

Los tendones en el concreto pretensado estn adheridos al concreto a lo largo del

elemento, como en el refuerzo no tensionado y transmiten su fuerza por adherencia.

Para construir un elemento pretensado es necesario que antes de colocar el concreto se

mantengan tensionados los tendones o alambres entre anclajes externos, hasta que el

concreto se haya endurecido; entonces se pueden liberar los tendones y se produce la

transmisin del preesfuerzo al elemento.

El postensado requiere de un gato porttil y anclajes permanentes; su costo hace que

sea empleado para miembros de gran luz, pesados, cuyo transporte no es econmico.

En cambio, el pretensado se usa para elementos livianos que se pueden construir en

planta y transportar fcilmente.

LA MADERA ESTRUCTURAL

La madera es un material natural, de poco peso y buena resistencia, pero de propiedades

mecnicas muy variables. Aunque es combustible, sus propiedades mecnicas no se

afectan con el fuego, como s ocurre con los materiales metlicos como el acero y el

aluminio. Es muy susceptible a los cambios de humedad y al ataque de insectos; sin

embargo esta desventaja puede eliminarse con tratamientos qumicos adecuados

mediante el proceso de inmunizacin.

Aunque la madera ha sido un material muy abundante en nuestro pas, su uso se ha

dedicado principalmente a la carpintera para muebles o acabados arquitectnicos, a la

exportacin, y como combustible en las regiones rurales y semi-urbanas. La madera

como material estructural se usa poco e inadecuadamente en muchas de las regiones

del pas. No hay en el pas una cultura ingenieril bien difundida para el uso de la madera

como material estructural con buen conocimiento de los mtodos y elementos de unin

de los elementos.

Existen algunos pocos diseadores y constructores en el pas que s aprovechan

eficientemente las propiedades estructurales de nuestras maderas y algunos arquitectos

que las usan ampliamente.

Tal vez debido a la popularizacin del acero en las estructuras de techos, se abandon

la prctica constructiva con madera. An existen ejemplos importantes de cubiertas

soportadas por grandes arcos y cerchas de madera en nuestras ciudades.

MADERA LAMINADA

A medida que se han ido agotando los rboles robustos en los bosques debido a la

sobreexplotacin o a que algunos pases han prohibido su explotacin y a que la sociedad

ha ido demandando estructuras que soporten cargas y luces mayores, las secciones

grandes que pueden extraerse de los bosques existentes son difciles de obtener con

maderas aserradas. El avance tecnolgico en los pegantes ha permitido que la madera

pueda unirse, tanto en los extremos como lateralmente; as se han desarrollado

productos como la madera terciada, aglomerada, laminada.

Figura N 1. Madera laminada

Fuente: www.arqhys.com

Actualmente, el cliente demanda soluciones completas de una sola mano; por tal la

ingeniera, el clculo, la fabricacin de las piezas (el producto), su montaje e incluso

algunos complementos como tejas o aislamientos, provengan de un nico proveedor

de este tipo de material

ACTIVIDAD No 2

INSTRUCCIONES

Seleccionar y marcar la respuesta correcta de las 5 alternativas presentadas en cada

pregunta.

PROBLEMAS DE FLEXIN Y TORSIN

1. Una barra de cobre con longitud L = 18.0 in se torcer mediante pares de torsin T

hasta que el ngulo de rotacin entre los extremos de la barra sea 3.0 Si la

deformacin unitaria por cortante permisible en el cobre es 0.0006 rad, .cual es el

dimetro mximo permisible de la barra?

a. 0.113 in.

b. 0.213 in.

c. 0.313 in.

d. 0.413 in.

e. 0.513 in.

2. Una barra de plstico con dimetro d = 50 mm se torcer por pares de torsin T hasta que el ngulo de rotacin entre los extremos sea 5.0. Si la deformacin unitaria por

cortante permisible en el plstico es 0.012 rad, .cual es la longitud mnima permisible

de la barra?

a. 179 mm b. 181 mm c. 182 mm d. 183 mm e. 184 mm

3. Un tubo circular de aluminio sometido a torsin pura mediante pares de torsin T

(consulte la figura) tiene un dimetro exterior r2 igual a 1.5 multiplicado por el radio

interior r1. a. Si la deformacin unitaria por cortante mxima en el tubo es 400 106rad, .cual

es la deformacin unitaria por cortante 1 en la superficie interior? b. Si la razn de torsin mxima permisible es 0.15 grados por pie y la deformacin

unitaria por cortante mxima se debe mantener en 400 106rad ajustando el par de torsin T, .cual es el radio exterior mnimo requerido (r2)min?

a. 70x106 rad; 5.83 in. b. 80x106 rad; 4.83 in. c. 90x106 rad; 3.83 in. d. 100x106 rad; 2.83 in. e. 200x106 rad; 1.83 in.

4. Al taladrar un agujero en una pata de una mesa, un carpintero utiliza un taladro de

operacin manual con una broca con dimetro d = 4.0 mm.

a. Si el par de torsin resistente suministrado por la pata de la mesa es igual a 0.3

Nm, .cual es el esfuerzo cortante mximo en la broca del taladro? b. Si el mdulo de elasticidad cortante del acero es G = 75 GPa, .cual es la razn de

torsin de la broca del taladro (grados por metro)?

a. 20.8 MPa; 6.12/m b. 21.8 MPa; 7.12/m c. 22.8 MPa; 8.12/m d. 23.8 MPa; 9.12/m e. 24.8 MPa; 10.12/m

5. Una barra de aluminio con seccin transversal solida se tuerce por pares de torsin T

que actan en los extremos. Las dimensiones y el mdulo de elasticidad en cortante

son las siguientes: L = 1.2 m, d = 30 mm y G = 28 GPa.

a. Determine la rigidez torsional de la barra.

b. Si el ngulo de torsin de la barra es 4, .cual es el esfuerzo cortante mximo?

.Cual es la deformacin unitaria por cortante mxima (en radianes)?

a. 22.4 MPa; 875x106rad b. 23.4 MPa; 874x106rad c. 24.4 MPa; 873x106rad d. 25.4 MPa; 872x106rad

e. 26.4 MPa; 871x106rad

PROBLEMAS DE FLEXIN PURA

6. Determine la deformacin unitaria mxima mx producida en un alambre de acero con dimetro d = 1/16 in cuando se dobla alrededor de un tambor cilndrico con radio

R = 24 in.

a. 1200x106 b. 1300x106 c. 1400x106 d. 1500x106 e. 1600x106

7. Un alambre de cobre con dimetro d = 3 mm se dobla para formar un crculo y se

mantiene con sus extremos apenas tocndose. Si la deformacin unitaria mxima

permisible en el cobre es mx = 0.0024, cul es la longitud menor L del alambre que se puede emplear?

a. 1.93 m

b. 2.93 m

c. 3.93 m

d. 4.93 m

e. 5.93 m

8. Un tubo de polietileno con dimetro exterior de 4.5 in diseado para transportar

desechos qumicos se coloca en una zanja y se dobla alrededor de una curva de un

cuarto de crculo a 90. La seccin curva del tubo tiene una longitud de 46 ft.

Determine la deformacin unitaria mxima en compresin mx en el tubo.

a. 2400x106 b. 3400x106 c. 4400x106 d. 5400x106 e. 6400x106

9. Una viga en voladizo AB est cargada por un par M0 en su extremo libre. La longitud

de la viga es L = 2.0 m y la deformacin unitaria normal longitudinal en la superficie

superior es 0.0012. La distancia desde la superficie superior de la viga hasta la

superficie neutra es 82.5 mm. Calcule el radio de curvatura , la curvatura k y la deflexin vertical en el extremo de la viga.

a. 0.08333 1 b. 0.09333 1 c. 0.00333 1 d. 0.01333 1 e. 0.02333 1

10. Una tira delgada de cobre (E = 16,000 ksi) con longitud L = 90 in y espesor t = 3/32

in se dobla para formar un crculo y se mantiene con sus extremos apenas tocndose.

Calcule el esfuerzo de flexin mximo mx en la tira.

a. 56.4 ksi

b. 58.4 ksi

c. 60.4 ksi

d. 62.4 ksi

e. 64.4 ksi

11. Un alambre de acero (E = 200 GPa) con dimetro d = 1.25 mm se dobla alrededor

de una polea con radio R0 = 500 mm. Cul es el esfuerzo mximo mx en el alambre?

a. 230 MPa

b. 240 MPa

c. 250 MPa

d. 260 MPa

e. 270 MPa

Tarea Acadmica N 1

Elabora una monografa de las lecturas seleccionadas:

Lectura seleccionada 2

Lectura seleccionada 4

Glosario

Elasticidad. Tericamente propiedad por la que al cesar la fuerza, desaparece

totalmente la deformacin. Se usa, incorrectamente, como sinnimo de linealidad,

cuando las tensiones y deformaciones crecen proporcionalmente, con independencia

de la recuperabilidad. El denominado mdulo de elasticidad no representa esa

cualidad, sino la mayor o menor deformabilidad, independientemente de la linealidad

y de la recuperabilidad.

Equivalente. Cuando el tratamiento de un fenmeno es complicado, se puede

sustituir con xito con otro o con una variable de definicin ms sencilla, que tenga

el mismo efecto.

Esbeltez. En general relacin de la longitud a un trmino de longitud de la seccin.

La esbeltez geomtrica es el cociente de longitud entre el canto en el plano

considerado, o entre el lado mnimo de la seccin. En pandeo la esbeltez es la

mecnica, o cociente de la longitud de pandeo entre el radio de giro mnimo de la

seccin.

Espesor. Grueso de una chapa. / Lado transversal a la directriz en el plano

perpendicular al del dibujo.

Estabilidad. Cualidad deseable en una estructura por la que, cada pieza, y cualquier

agrupacin de ellas, mantiene el equilibrio aunque varen levemente algunas de sus

caractersticas geomtricas o mecnicas, de forma que el equilibrio no es casual.

Estado de tensin. Situacin de un punto de un elemento, en trminos de sus

tensiones. En el plano se caracteriza por cuatro parmetros que forman el tensor de

tensiones, las dos tensiones normales en las direcciones de referencia y las dos

tangenciales cruzadas que son iguales.

Estructura. En sentido general la parte de un objeto o edificio que se ocupa de

suministrar la resistencia y estabilidad al conjunto. / En ocasiones la estructura no se

diferencia del objeto, dicindose simplemente que ste posee suficiente estructura o

comportamiento estructural adecuado. / En sentido estricto cuando la estructura es

de barras.

Exacto. Dcese del valor numrico que representa correctamente la magnitud de una

variable. / No debe confundirse con preciso: nmero de cifras significativas vlidas

en un proceso numrico. Un clculo puede ser muy preciso pero poco exacto.

Fatiga. Cuando se produce la repeticin de carga y descarga un nmero elevado de

veces, la capacidad resistente de un material o disposicin disminuye por fatiga, y

puede incluso llegar a romper para tensiones muy bajas debido a ese fenmeno. Este

problema es tpico del acero en las estructuras de mquinas.

Flexin. Esfuerzo en el que la resultante de las tensiones es un momento sin

resultante. En el caso habitual de que el momento flector cambie de una seccin a

otra, va acompaado de cortante y la solicitacin se denomina flexin simple. En el

particular de que no vare, se denomina flexin pura, ya que no hay cortante. Si hay

simultneamente momento y resultante, la solicitacin se denomina flexin

compuesta, con compresin o traccin segn el signo de la resultante. Como punto

de referencia se suele tomar el centro de compresin.

Friccin. Sinnimo de rozamiento. / El clculo de uniones atornilladas por friccin

supone que la capacidad resistente a fuerzas en el plano de unin es consecuencia de

la fuerza de apriete de los vstagos.

Bibliografa de la Unidad II

1. HIBBELER, Russell Charles. (2007). Mecnica de Materiales. Mxico: Pearson Prentice

Hall.

2. SINGER, Ferdinand L., PYTEL. (2008). Resistencia de Materiales. Mxico: Harla S.A.

3. BEER, JOHNSTON, DEWOLF. (2006). Mecnica de Materiales. Mxico: McGraw-

Hill/Interamericana.

4. MOTT, Robert L. (1996). Resistencia de Materiales Aplicada. Mxico: Prentice Hall.

5. POPOV, Egor P. (2003). Mecnica de Slidos. Mxico: Prentice Hall.

6. GERE, James. (2002). Resistencia de Materiales. Espaa: Thomson.

7. SHAMES, Irving. (1979). Introduccin a la Mecnica de Slidos. Mxico: Prentice Hall.

Autoevaluacin No. 02.

1. Definimos los esfuerzos como..

a. Cada una de las tres de resultantes de los cuerpos sometidos a torsin.

b. Cada una de las tres componentes de la resultante y de las tres fuerzas cortantes

c. Cada una de las tres componentes de la resultante y de las tres del momento

resultante de la reduccin de las fuerzas que actan en la seccin.

d. Cada una de las tres componentes rectangulares y de las tres componentes

resultantes

e. N.A.

2. Se dice que un problema es de flexin plana (o flexin recta), cuando las cargas

estn contenidas en un plano.

a. Los desplazamientos de la lnea de centros de reas de la barra son paralelos a

ese plano.

b. Los desplazamientos de la lnea de centros de reas de la barra son

perpendiculares a ese plano.

c. Los desplazamientos de la lnea de centros de reas de la barra son transversales

a ese plano.

d. Los desplazamientos de la lnea de centros de reas de la barra son oblicuos a

ese plano.

e. N.A.

3. El momento torsor generar en las secciones un cierto sistema de tensiones

tangenciales estticamente..

a. Existiendo tensiones normales

b. No existiendo tensiones normales

c. Existiendo tensiones planas

d. No existiendo tensiones planas

e. N.A.

4. Cual no es una seccin que no tienen tendencia al alabeo y slo desarrollarn

torsin uniforme

a. Circulares, tanto macizas como huecas

b. Macizas, como las rectangulares, cuadradas, elpticas.

c. Cerradas de pared delgada,

d. Secciones formadas por rectngulos de pequeo espesor

e. Secciones de pared gruesa

5. A continuacin se muestra una barra cuadrada uniforme

Que representa los vectores que se encuentran en el eje X.

a. Tensin Variable

b. Torsin uniforme

c. Deformacin constante

d. Plasticidad uniforme

e. N.A.

unidad ii

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