1

GUÍA DEL ALUMNO.SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICASUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR E INVESTIGACIÓN CIENTÍFICASUBSISTEMA DE UNIVERSIDADES TECNOLÓGICASCOORDINACIÓN GENERAL DE UNIVERSIDADES TECNOLÓGICAS

ELABORÓ:

GRUPO DE DIRECTORES DE LA

CARRERA DE BIOTECNOLOGIA

REVISÓ:

COMISIÓN ACADÉMICA NACIONAL DEL ÁREA COMISION AGROINDUSTRIAL ALIMENTARIA

APROBÓ:

COORDINACIÓN GENERAL DE

UNIVERSIDADES TECNOLÓGICAS

FECHA DE

ENTRADA EN VIGOR:

MAYO 2002

Revisión No . 0.

Fecha de revisión: Página F-CADI-SA-MA-24-GP-A

2

I. DIRECTORIOII.DR. REYES TAMEZ GUERRA

SECRETARÍO DE EDUCACIÓN PÚBLICA

ING. EDMUNDO GUAJARDO GARZA

SUBSECRETARIO DE EVALUACIÓN Y EDUCACIÓN SUPERIOR

DR. ARTURO NAVA JAIMES

COORDINADOR GENERAL DE UNIVERSIDADES TECNOLÓGICAS

RECONOCIMIENTOS

LIC. MARÍA IRMA SALAZAR HERNANDEZ

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA

M. en C. HERIBERTO MARTÍN HERNÁNDEZ VÉLEZ.

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREON

3

MATEMÁTICAS II D.R. 20001ESTA OBRA, SUS CARACTERÍSTICAS Y DERECHOS SON PROPIEDAD DE LA: COORDINACIÓN GENERAL DE UNIVERSIDADES TECNOLÓGICAS (CGUT) FRANCISCO PETRARCA No. 321, COL. CHAPULTEPEC MORALES, MÉXICO D.F.LOS DERECHOS DE PUBLICACIÓN PERTENECEN A LA CGUT. QUEDA PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN PARCIAL O TOTAL POR CUALQUIER MEDIO, SIN AUTORIZACIÓN PREVIA Y POR ESCRITO DEL TITULAR DE LOS DERECHOS.

ISBN (EN TRÁMITE)IMPRESO EN MÉXICO.

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III ÍNDICE

CONTENIDO PÁGINA

I PORTADA 1II DIRECTORIO Y RECONOCIMIENTOS 3III INDICE 5IV

INTRODUCCIÓN A LA ASIGNATURA 6

V

UNIDADES TEMÁTICASFUNCIONES

CONTINUIDAD

LIMITES

GRAFICAS

DERIVADAS

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

OPTIMIZACIÓN

INTEGRALES DEFINIDAS

7

VI

DESARROLLO DE CONTENIDOS7

VII

BIBLIOGRAFÍA

VIII

GLOSARIO

IX

EXAMEN DE DIAGNÓSTICO

Página 5 de 65

IV. INTRODUCCIÓN DE LA ASIGNATURA.OBJETIVO : QUE EL ALUMNO MANEJE LAS HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS

PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA INDUSTRIA EN

GENERAL Y DESARROLLAR SU CAPACIDAD ANALÍTICA Y LÓGICA EN LA

APLICACIÓN DE ESTAS HERRAMIENTAS.

Página 6 de 65

V. CONTENIDOS TEMÁTICOSUNIDAD TEMÁTICA I: FUNCIONES.HORAS TEORÍA : 2HORAS PRÁCTICA : 2HORAS TOTALES : 4OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Comprenda el concepto de funciónOBJETIVO PRÁCTICO: Calcular el valor de una función que se aproxima a un número. RELACIÓNSean S y T conjuntos de números, entonces una relación de S a T es un conjunto de pares ordenados (x, y) tales que x S y yT.Una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano S x T.Ejemplo: Sean S = 2,3 y T = 3, 4, 5 entonces puede definir una relación de S a T como sigue

r = (2, 3), (2, 4), (2, 5) (3, 4), (3, 5)para ésta relación en particular se observa que x y, para el mismo conjunto de números, podemos definir otras relaciones, por ejemplo

R = 3, 3en éste caso la relación está definida por x = y.Para los dos ejemplos de relaciones anteriores se coloca a los elementos de S como primeros elementos de los pares ordenados. Un par en el que el orden de sus componentes es relevante es un par ordenado (x , y) (y, x).Al conjunto cuyos primeros elementos son los componentes de una relación, se le llama dominio de la relación. Mientras que al conjunto cuyos elementos son las segundas componentes del par ordenado se le llama rango de la relación. Ejemplo.Dada la relación r =(2, 4), (3, 9), (4, 16), el dominio está determinado por D = 2, 3, 4 y el rango R = 4, 9, 6, nótese que r puede definirse como y = x2

FUNCIÓNLas relaciones en que para cada elemento del dominio hay solamente un elemento en el rango se llaman funciones.Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto (llamado dominio de la función) exactamente un valor de otro conjunto, el conjunto de todos los valores asignados se llama el rango de la función.En la figura 1 se representa la grafica de la expresión y = x2 es una función ya que si se establece un dominio D = -2, -1, 0, 1, 2, 3 y sustituimos cada uno de los valores en dicha función, encontramos los siguientes valores Para y (rango) R =0, 1, 4, 9. Observe la siguiente figura:

Figura 1.

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Aquí se observa que para cada valor de x hay un valor en y, esto cumple con la definición de función; donde para cada valor de x hay uno y solo un valor en y.La figura 2 no es función el siguiente ejemplo:

Figura 2.

La definición dice que una función asigna exactamente un valor a cada elemento del dominio, entonces, en este ejemplo en particular, no se trata de una función pues el elemento 1 tiene dos valores asignados.

Página 8 de 65

-2-1 00 11 42 93

-2

0

2

4

68

10

12

14

16

18

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

yNo es ni siquiera función.

x

En la siguiente figura 3, se presenta un ejemplo de una gráfica que representan una función.

Figura 3.Son ejemplos de funciones las siguientes expresiones:

FUNCIÓN IMPLÍCITA Y FUNCIÓN EXPLÍCITAUna función implícita de dos variables, x y y, se expresa por una ecuación no resuelta para ninguna de esas variables.Ejemplo:

x2 – 2xy + y2 = 6x – 4y + 1Una función implícita se convierte en explícita, despejando a una de las variable

Ejemplo: x2 + y2 = 36

despejando tenemos y = 6 – xen la que y es una función explícita de xTIPOS DE FUNCIONESFunciones algebraicas: Pueden ser racionales o irracionales.Ejemplo:a) b) c) d)

c)

d) Función Racional: Son funciones que no contienen exponentes fraccionarios.Ejemplo:

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-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

0.00 2.50 5.00 7.50 10.00 12.50 15.00 17.50

)ω(seny

Funciones potencia: la función está elevada a una potencia que es un número entero.

Función exponencial: el exponente contenido es una función.

Ejemplo:

Problemas.Si Entonces

Ejercicios.1. - Dado demostrar que .2. - Si, calcular f(0), f(1), f(-1), f(2), f(-2).3. - Si hallar F(0).4. - Dado, demostrar que f(t+1)=5. - Dado que demostrar que 6. - Dado que, demostrar que

7. - Dado, demostrar que

8. - Dado, demostrar que 9. - Si, demostrar que

10. - Dado, demostrar que

11. - Dado, demostrar que

UNIDAD TEMÁTICA 2:CONTINUIDAD.HORAS TEORÍA : 2HORAS PRÁCTICA : 4

414)3(93)3(f 24149(-1)-1)()1f(

1414)0(9)0()0f(6b7b14)1(b9)1(b)1f(b

14x9y)y(f

2

2

2

22

2

HORAS TOTALES : 6OBJETIVO APRENDIZAJE: Obtener la continuidad de una funciónOBJETIVO PRÁCTICO: Calcular la continuidad de una función en un intervalo dado.Se dice que una función f(x) es continua en el intervalo a< x < b si f es continua para todo valor de x del intervalo. Nótese que la grafica de una función continua carece de brechas o saltos por pequeños que sean.

UNIDAD TEMÁTICA 3 : LIMITES.HORAS TEORÍA : 3HORAS PRÁCTICA : 5HORAS TOTALES : 8OBJETIVO TEÓRICO: Expresar el fundamento de la noción de limite de una función.

OBJETIVO PRÁCTICO: Cálculos de limites de funciones algebraicas elementales. LIMITES Y CONTINUIDADConsideremos la gráfica de la siguiente función.

Para todo valor distinto de 1 podemos usar las técnicas habituales, pero para x = 1 la función no puede ser evaluada. Al graficar esta función, resulta que la gráfica es una

parábola con un hueco en el punto (1, 3) como se muestra en la figura 4.

Figura 4.Aunque x no puede hacerse 1, podemos ir tan cerca como queramos de 1, como consecuencia, f(x) se hace tan próximo como queramos a 3, decimos que el limite de f(x) cuando x tiende a 1 es 3 y escribimos:

1x1x)x(f

3

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-6 -4 -2 0 2 4

Lim x1 f (x) = 3Cuando la función no puede evaluarse para un valor dado de x se dice que la gráfica de la función es discontinua, por ejemplo en la figura 5, tenemos

Cuando una función pude definirse para todos los valores posibles de x se dice que dicha función es continua, por ejemploLIMITES QUE NO EXISTEN.

En la figura 6 se observe la gráfica.

De la gráfica vemos que cuando x se acerca a cero por la derecha o por la izquierda, f(x) crece sin tope. Se observa entonces, que la curva (función) no se aproxima a un número real cuando x tiende a cero, o sea, el valor para el cual la función no puede ser evaluada no está sobre la gráfica de dicha función.

PROPIEDADES DE LOS LIMITES

Si b y c son números reales, n un entero positivo, f y g funciones que tienen limites cuando xC, entonces

Lim x c [ b ( f(x) ] = b [Lim xc f(x) ] multiplicación por un escalar

Lim x c [ f(x) g(x) ] = Lim x c f(x) Lim x c g(x) suma o diferencia

Lim x c [ f(x) g(x) ] = [Lim x c [Lim x c f(x) ] [Lim x c g(x) ] producto

Lim x c f(x) = Lim x c f(x), si Lim x c g(x) 0 cociente

g(x) Lim x c g(x)

Lim x c [ f(x) ]n = [Lim x c f(x) ]n

FORMAS DE ENCONTRAR LIMITES

Los limites pueden ser evaluados por sustitución directa. Si el limite no puede calcularse por sustitución directa cuando x tiende a un valor determinado, digamos C por ejemplo, (xC), inténtese encontrar una función que coincida con todos los intervalos de x salvo x = C.1. - Calculo de limites directamente Ejemplo: Calcular el limite de la siguiente función

Solución: Sustituyendo el valor de x = 3 se obtiene el limite

Calculo del limite de una función donde el denominador se hace cero y el limite no puede ser determinado.

Ejemplo: Encontrar el límite de la siguiente función

al sustituir x = 5 en la función el denominador se hace cero, es una división indeterminada.Solución: Transformar la función en otra función donde su denominador sea diferente de cero, esto puede hacerse factorizando el numerador como sigue.

Ejemplos:

1. - Demostrar que

Divídanse el numerador y el denominador por, que es la mayor potencia de x .

Entonces tenemos

Ejercicios.Demostrar las siguientes igualdades.

1. -

2. -

3. -

4. -

UNIDAD TEMÁTICA 4: GRAFICAS.HORAS TEORÍA: 1HORAS PRÁCTICA: 2HORAS TOTALES : 3OBJETIVO TEORICO: Describir la derivada como una razón de cambio.OBJETIVO PRACTICO: Formular la derivada de funciones algebraicas simples por medio de incrementos.UNIDAD TEMÁTICA 5: DERIVADAS.HORAS TEORÍA: 5HORAS PRÁCTICA: 10HORAS TOTALES : 15OBJETIVO TEORICO: Describir la derivada como una razón de cambio.OBJETIVO PRACTICO: Formular la derivada de funciones algebraicas simples por medio de incrementos.LA DERIVADAPara un círculo podemos caracterizar la tangente en un punto como la recta perpendicular a la recta radial que pasa por p. Ver la siguiente figura 7.

Figura 7.Sin embargo para una curva arbitraria el problema es más difícil, por ejemplo en las siguientes curvas representadas en la figura 8.

Figura 8.El problema de hallar la recta tangente en un punto se reduce a hallar su pendiente. Y esta puede aproximarse mediante rectas que pasen por P y por otro punto de la curva, a las que llamaremos recta secante se muestra en la figura 9.

Figura 9.Si [ c, f( c ) ] es el punto de tangencia y [ c + x, f (c + x)] es otro punto de la gráfica de f, la pendiente de la recta secante que pasa por ambos puntos es:

Obtendremos cada vez más aproximaciones a la pendiente de la tangente sin mas que acercar el otro punto al de tangencia. Figura 10.

Figura 10.Si f está definida en un intervalo contenido c y existe el limite.

Llamaremos a la recta que pasa por [ c, f (c )] con pendiente m la recta tangente a la gráfica de f en el punto [c, f ( c )]El limite utilizado para definir la pendiente de la tangente se usa también para definir una de las dos operaciones fundamentales del Cálculo, la derivada.La derivada de una función f en x está dada por:

Siempre y cuando exista el limite.Algunas formas de representar la derivada son:

ENCONTRAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CON EL CONCEPTO DE LIMITE.Método general para obtener la derivada de una función.Para obtener la derivada de una función se realizan las operaciones siguientes:1. - Dar un incremento x a la variable x, corresponderá un incremento y a la función y.2. - Réstese la función dada de la incrementada.3. - Divídase el resultado anterior entre el incremento de la variable ( x ).4. - Paso al límite, haciendo que x tienda a cero.El límite del segundo miembro es la derivada.

Por éste método se han obtenido las formulas de derivación para calcular derivadas rápidamente sin recurrir a éste método.Ejemplo: Obtener la derivada de la siguiente función por medio del método de incrementos.

Derivación.-Ejemplos. Hallar la derivada de la función Aplicando los pasos sucesivos de la regla general. Obtenemos, después de hacer. Primer paso.

Segundo paso.

Tercer paso.

Cuarto paso. En el segundo miembro hagamos

O bien.

Ejemplo 2. Hallar la derivada de Resolución. Hagamos Primer paso.

Segundo paso.

Tercer paso.

Cuarto paso. En el segundo miembro Hagamos.

Ejemplo 3. Hallar derivada de la función

Resolución. Hagamos

Primer paso.

Segundo paso.

Tercer paso.

Cuarto paso. En el segundo hagamos. Tendremos:

Problemas.Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general.

1. - 2. -

3. -4. -5. -6. -7. -8. -

9. -

10. -

11. -

12. -

13. -

14. -

15. -

16. -

17. -

LA DERIVADA Y REGLAS DE DERIVACIÓNOBJETIVO TEORICO: Identificar las formulas de derivaciónOBJETIVO PRACTICO: Calcular la derivada de funciones algebraicas. Aplicar la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.TEMA : REGLAS DE DERIVACIÓN.En el tema anterior se utilizó la definición por limites para hallar la derivada. A continuación se dan varias reglas de derivación que permiten hallar derivadas sin recurrir a la definición.Reglas para derivar funciones algebraicas.

1. -

2. -

3. -

4. -

5. -

6. -

6a. -

7. -

7a. -

8. -

9. -

Derivadas de una constante.Si se sabe que una función tiene el mismo valor para cada valor de la variable independiente, esta función es constante, y podemos representarla por

Cuando x toma un incremento, el valor de la función no se altera; es decir, y

Ejercicios:Comprobar cada una de las siguientes derivadas.

1. -

2. -

3. -

4. -

5. -

Comprobar cada una de las siguientes derivadas.

1. -

2. -

PROCEDIMIENTO DE DERIVACIÓNA continuación se presentan diferentes casos de funciones a derivar y se sugiere la forma o técnica de derivación para cada caso correspondiente. 1) Regla de la constanteLa derivada de una constante es cero.Dx ( K ) = 0 donde c es el número realEjemplo: Derivar y = 7y’ = 02) Regla de las potencias

Dx un = unn-1 DxuEjemplo : Derivar f(x) = x3 y’ = 3x2 Dx (x)y’ = 3x2 (1) y’ = 3x2 Ejemplo:

Regla de la suma y la diferenciaDx[ u + v + z = Dxu + Dxv + Dxz

Ejemplo.

Derivación de una función conteniendo un radicalEjemplo.

REGLAS PARA DERIVAR PRODUCTOS Y COCIENTESRegla del productoSea una función del tipo y = uv o f(x) = uv, donde u y v representan funciones.Las dos funciones se encuentran multiplicando, por lo que para derivarla se aplica la siguiente formula.Dx uv = uDxv + vDxu

Donde Dx significa dy/dx la derivada de y con respecto a x

Ejemplo. Hallar la derivada de f(x) = (3x – 2x2) (5 + 4x)

Donde u = (3x – 2x2) y v = (5 + 4x)

f(x) = (3x – 2x2) Dx (5 + 4x) + (5 + 4x) Dx (3x – 2x2) f’(x) = (3x – 2x2) (4) + (5 + 4x) (3 – 4x)

f’(x) = 12x –8x2 + 15 – 20x + 12 – 16x2

f’(x) = -8x – 24x2 – 27

Ejemplo: Derivar y = (1 + x-1) (x – 1)

Donde u = (1 + x-1) y v = (x – 1)

y = (1 + x-1) Dx (x – 1) + (x – 1) Dx(1 + x-1)

y’ = (1 + x-1) (1) + (x – 1) (-x-2)

2) Regla del cociente. Dada la función f(x) = u / v la función representa un cociente, don u y v representan funciones, su derivada se encuentra aplicando la formula:

Expresar primero la formula de la derivada. Conteniendo a u y v,

Derivada de productos y cocientesDerivación aplicando la regla de la cadenaEsta regla se refiere a la derivación de funciones compuestas.Ejemplo de funciones que se derivan fácilmente sin la regla de la cadena.

Ejemplo de derivadas de funciones que no pueden ser derivadas sin la regla de la Cadena.

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASOBJETIVO TEÓRICO: Identificar las formulas de derivación de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.OBJETIVO PRÁCTICO: Obtener la derivada de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.1. - Derivada del seno y el cosenoEjemplo.Derivar la función y = 3 cos 5xaplicar la formula Dx cos u = - senu Dxu donde u = 5x

y’ = 3 Dx (cos 5x) Dx (5x)y’ = 3 ( -sen 5x ) (5)y’ = -15 sen 5x

Ejemplo

y = 2-1 sen2 ax

y = 2-1 ( sen ax )2

y’ = (2-1) (2) (sen ax) Dx (sen ax)

y’ = a (sen ax ) ( cos ax )

Ejemplo.Derivar y = (cos 2x)Aplicar la regla de la cadena

y = (cos 2x)1/2

Empezar derivando como un

y’ = ½ (cos 2x ) –1/2+ Dx (cos 2x ) Dx (2x)y’ = ½ 8 cos 2x ) –1/2 ( -sen 2x ) (2 )

Derivada de una función trigonométrica inversa.Obtener la derivada de la función trigonométrica inversa aplicando la regla correspondiente.EjemploDerivar la siguiente función y = arc tg ax2

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALESPara derivar una función exponencial se aplica la formula Dx eu = eu Dxu, donde u representa una función y no un exponente.Ejemplo: Derivar la siguiente función exponencial:

Ejemplo Encontrar la derivada de y = xex

Aplicando la formula Dx (u v) = uDx v + v Dx u llamada también la regla del producto, donde

DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS

La función exponencial natural f(x) = ex es continua y creciente, esta función exponencial natural tiene inversa y se llama función logarítmica.Sea x un número real positivo, la función logaritmo natural (ln x) tiene la siguiente definición:

Lx = b si eb = xEsto significa que la ecuación logarítmica se puede escribir en la forma exponencial equivalente.Ejemplos: ln 1 = 0 entonces e0 = 1

ln e = 1 entonces e1 = e

ln e –1 = -1 entonces e –1 = 1/e

Como la función f -1 (x) = ln x se define como la inversa de f(x) = ex, su gráfica es la reflejada en la función exponencial natural como se muestra en la siguiente figura 11.

Figura 11PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1) ln xy = lnx + ln y

2) ln x/y = ln x – ln y

3) ln xy = y ln x

Derivando la función logaritmo natural

Ejemplo

Derivar la función f(x) = ln 2x

Aplicando la fórmula Dx lnu = 1/u Dx u

Dx ln(x2 + 1) = Dx ln 2x = 1/2x Dx(2x)

y’ = 1/2x (2)

y’ = 1/x

Ejemplo. Derivar la función y = ln (x2 + 1)

Aplicando la formula anterior

Ejemplo. Derivar F (x) = x lnx

Aplicando la regla del producto

y’ = x Dx lnx + lnx Dx (x)

y’ = x/x Dx(x) + lnx (1)

y’ =1 + lnx

Derivadas sucesivas La derivada de la primera derivada de una función se llama segunda derivada, si esta se deriva, se obtiene la tercera derivada, cuya derivada es la cuarta derivada de la función dada.Formas de representar derivadas sucesivas: D f ( x) ; D2 f ( x ); D3 f (x ); etcF’ (x ) o y’; f’’ ( x ) o y’’; etc

Ejemplo de derivadas sucesivas

a) y = x4 – 3x3 + 2x2 – 6x – 8y’ = 4x3 – 9x2 + 4x – 6

y’’ = 12x2 – 18x + 4

y’’’ = 24x – 18

yIV = 24

yv = 0

b) y = sen 3xy’ = cos 3x d3x

y’’ = 3 cos 3x

y’’’ = -9 sen 3x

yIV = -27 cos 3x

yV = 81 sen 3x, etc

Derivadas parcialesSea una función u, función de dos variables independientes x y y; esto es u = f (x, y )Si y se supone constante, entonces u es una función de x. La derivada de u con respecto a x (manteniendo a y constante) se llama derivada parcial u con respecto a x, y su notación es u / x

Del mismo modo si se deriva u con respecto a y, suponiendo a x constante, se obtendrá la derivada parcial de u con respecto a y, cuya notación análoga es

u / y

Ejemplo u = 3x2 – 2xy + 5y2 – 6x – 2y + 7 u / x = 6x – 2y – 6 u / x = -2x + 10y - 2 Ejemplo de aplicación.Resuélvase el sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables, que se obtiene anulando las derivadas parciales de la ecuación canónica. Los respectivos valores de x y y representan la abscisa y la ordenada del centro de la curva. Ejemplo

a) 5x2 – 4xy + y2 – 16x + 4y + 16 = 0

la solución de éste sistema de ecuaciones nos da X = 4 y y = 6

b) 3x2 – y2 + 6x + 4y – 13 = 0 ( hipérbola )

la solución de ésta ecuación nos es ( -1, 2), este punto representa el centro de la hipérbola.

LA DERIVADA Y REGLAS DE APLICACIÓN

TEMA: DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITASOBJETIVO TEORICO: Identificar una función implícita y conocer el proceso de derivación.OBJETIVO PRACTICO: Derivar funciones implícitas.DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITASPara obtener la derivada de una función implícita, se procede en primer término a despejar la variable considerada como función.Ejemplo.Dada la función, expresada por la ecuación x2 – 4y = 1 al considerar y función implícita de x, antes de obtener la derivada, despejamos y, es decir:

En algunos casos es complicado despejar y por lo que se procede a derivar término a término, considerando a y como función de x en cada término; por último, se despeja y’ de la ecuación resultante. Ejemplo Dada la ecuación expresada por la ecuación x2 – xy + y2 = 1 donde y = f ( x ) Derivando término a término, resulta

APLICACIONES DE LA DERIVADA.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y CIRCULAROBJETIVO TEÓRICO: Expresar la derivada de una función como velocidad y aceleración.OBJETIVO PRÁCTICO: Por medio de la derivada resolver problemas cinemáticas de posición, velocidad y aceleración.MOVIMIENTO RECTILÍNEO (VELOCIDAD Y ACELERACIÓN)Sea AB un eje orientado, sobre el que se toma un punto O como origen. Sea OM el camino recorrido por el móvil M al cabo de un tiempo t. Sea So el espacio o camino inicial de M en el momento inicial t = 0. Como se muestra en la figura 12 siguiente.

Figura 12.El camino recorrido por M es una función de t: S = f (t)

O sea la velocidad es la derivada del camino respecto al tiempo.Se llama velocidad inicial (o ) el valor que toma , cuando t = 0.Si 0, el movimiento es llamado directo. Si 0, el movimiento es contrario, la velocidad del móvil disminuye y el móvil retrocede en distancia.El móvil M se encuentra en un punto límite, cuando la velocidad se anula con cambio de signo.

Se define la aceleración media como

La aceleración en un momento cualquiera t, es:

La aceleración es, pues, la derivada de la velocidad respecto al tiempo, lo que es lo mismo, la segunda derivada de S respecto a t, o bien, el producto de la velocidad por la derivada de ésta respecto a S. La aceleración también se expresa en esta forma.

En efecto, d = d . ds = ds. d = . d El movimiento es acelerado, si 0 ( y son de igual signo)El movimiento es retardado, si 0 ( y son de signos contrarios)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.

Es aquél cuya velocidad es constante. Sus ecuaciones son:s = s0 + t = 0 = K

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADOEs aquél cuya aceleración es constante. Sus ecuaciones son:

s = s0 + 0t + ½ t2

= 0 + t

= K

Ejemplo

Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial 0 = 58.86 m/s. Calcular su velocidad al cabo de 3 segundos. ¿Cuándo deja de subir y que altura alcanza?Ecuación s = 58.86t – ½ g t2 , g = 9.81 m/s2

Solución: Obtener la derivada de la ecuación de la distancia con respecto al tiempo, esto nos representa la velocidad en cualquier tiempo t.

Para encontrar la velocidad después de t = 3 segundos, se sustituye éste valor en la derivada obtenida.

= 29.43 m/sEl cuerpo deja de subir cuando su velocidad es nula, = 0O sea 0 = 58.86 – 9.81 tDespejando t tenemos: t = 6 segundosPara t = 6 resulta s = 176.58 metros, que es la altura que alcanza.

OTRAS APLICACIONES DE LA DERIVADA . TRABAJO Y POTENCIA.Si un cuerpo de peso W es levantado verticalmente el camino s, se efectúa un trabajo = Ws. Si el movimiento es uniforme, s = t . Por lo tanto. = W t

Entonces : d / dt = W Por lo tanto, la potencia es la derivada del trabajo respecto al tiempo.Supongamos ahora que el cuerpo cae libremente, el trabajo es: = W s = W ½ g t2 = ½ W g t2

Entonces d = W g tComo se sabe g t / dt = d / dt = W = Potencia EjemploUn cuerpo de peso W = 30 kg cae libremente durante t segundos. Calcular el espacio recorrido, su velocidad, aceleración, trabajo y potencia cuando has transcurrido 6 segundos.

s = ½ g t = g t aceleración = g ; = ½ W g t2Potencia = W g t

Para t = 6 se obtiene s = 176.58 m

= 58.86 m/s, aceleración = 9.81 m/s2

= 5297. 4 kg Potencia 1765.8 kg m/s.UNIDAD TEMÁTICA 6: MÁXIMOS Y MINIMOSHORAS TEORÍA: 3HORAS PRÁCTICA: 6HORAS TOTALES 9OBJETIVO TEÓRICO: Reconocer los conceptos geométricos de máximo y mínimo, puntos de inflexión, sección cóncava función creciente o decreciente, etc.OBJETIVO PRÁCTICO: Por medio de la derivada, encontrar los puntos máximos y mínimos de una función, los puntos donde hay inflexión, donde la función es creciente o decreciente, etc.APLICACIONES DE LA DERIVADATEMA : TANGENTES Y NORMALESOBJETIVO TEÓRICO: Identificar rectas tangentes y normales a curvas y rectasOBJETIVO PRÁCTICO: Aplicar la derivada para encontrar rectas tangentes y normales a curvas dadas.RECTAS TANGENTES Y NORMALESSean P y Q dos puntos de una curva, como se muestra en la figura 13,

Figura 13.

Es la pendiente de la secante PQSi supongamos que Q se mueve a lo largo de la curva hacia la posición que tiene P, la recta PQ gira alrededor de P y tiende a ocupar la posición PT como limite.Esta recta PT es la tangente a la curva en P, a medida que Q se aproxima a P, T 0 y la pendiente de la secante PQ tiene por limite la pendiente de la tangente PT; luego podemos concluir que:

Pendiente de la tangente en P = tg = lim y/x cuando x 0.Es decir dy/dx = tg = pendiente de la tangente en el punto P.El valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente de la curva en ese punto.Ejemplo: Obtener la tangente de la parábola y = x2 en el punto (2, 4).

La gráfica de la función se muestra a continuación.

Figura 14.Derivando la función con respecto a x se obtiene la pendiente, ya que dy/dx = tg = m en un punto, entonces

luego, la pendiente de la distancia de PT es 4 y su inclinación es tg –1 4 = 75° 58’En algunas aplicaciones de la derivada es necesario determinar, cuando la función tiene un valor máximo o un valor mínimo. Sea la función y = 4x – x2, la gráfica que se muestra en la figura 15 .De la figura se deduce que el valor máximo de la curva está en x = 2, es decir, en el punto y = 4 que es el valor máximo de la función.Como el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la recta tangente es ese punto; sin recurrir a la gráfica se puede hallar el valor de x mediante el siguiente procedimiento:

Figura 15.

1. - Obtener el valor de la derivada de la función2. - Igualar a cero la ecuación que resulta.3. - Resolver la ecuación para hallar el valor crítico de x.4. - Sustituir el valor crítico de x en la función dada y encontrar el valor de y.5. - Tomar un valor ligeramente mayor y otro ligeramente menor que el valor crítico de x y sustituir en la derivada de la función.6. - Si la pendiente resulta con un valor (+) a (-) entonces, se trata de un máximo, y si cambia de (-) a (+) entonces es un mínimo.Ejemplo : Encontrar el valor máximo o mínimo de la función y = 4x – x2

Siguiendo los tres pasos anteriores, tenemos

Tomar dos valores, uno ligeramente mayor y otro ligeramente menor que x = 2Para x = 1.9 dy / dx = 4 – 2 (1.9) = 0.2 es positivoPara x = 2.1 dy/dx = 4 – 2 (2.1) = -0. 2 es negativoSe observa que hay un cambio en la pendiente de la recta de (+) a (-) entonces la curva pasa de creciente a decreciente por lo que se deduce que la curva presenta un punto máximo.Ejemplo: Determinar si la gráfica de la función y = x2 – 3x + 6 presenta un máximo o un mínimo, mediante el método de la derivada.Siguiendo el procedimiento anterior

1) dy/dx = 2x – 32) 2x – 3 = 0, donde x = 3/2 = 1.53) Tomar dos valores cercanos a x = 3/2Para x = 1 dy/dx = 2(1) – 3 = 3 – 2 = -1 es negativoPara x = 2 dy/dx = 2(2) – 3 = 4 – 3 = 0 es positivoLa gráfica va de positivo a negativo, entonces la gráfica presenta un valor mínimo; va de decreciente a creciente.Para conocer la coordenada en y del valor mínimo; sustituimos x = 3/2 en la funcióny = (3/2)2 – 3(3/2) + 6, de donde y = 3 ¾Ejemplo: Sea la función y = 1/3x3 – 2x2 + 3x + 1, determinar los máximos o mínimos de dicha función.Siguiendo el procedimiento, tenemos1) dy/dx = x2 – 4x + 32) x2 – 4x + 3 = 0, factorizando tenemos ( x – 3 ) ( x – 1) = 0de donde x1 = 3 y x2 = 1Para x = 3 toma dos valores, uno ligeramente mayor y otro ligeramente menor.

3) Para x = 2.5 dy/dx = -0.75 es negativo Para x = 3.5 dy/dx = 1.25 es positivo

La pendiente va de (-) a (+) , por lo tanto el valor es un mínimo.Las coordenadas en y se determina sustituyendo en la función el valor de x = 3 y tenemos y = 1Para el valor de x = 1, tomamos un valor ligeramente menor y otro ligeramente mayor.Para x = 0.5 dy /dx = 1.25 es positivoPara x = 1.5 dy/dx = -0.75 es negativoEsto representa un máximo con la coordenada en y = 2 ½CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN.Dada una curva de ecuación y = f(x)Si la pendiente de esta recta tangente a esa curva es ( + ) a la izquierda y ( - ) a la derecha del punto A, entonces la curva tiene un valor máximo, se dice que la curva es cóncava hacia abajo.Si la pendiente de una recta tangente a esa curva es (-) a la izquierda y (+) a la derecha en un punto B, entonces la curva presenta un máximo, la curva es cóncava hacia arriba.Si la pendiente de una recta tangente a la curva tiene el mismo signo a ambos lados del punto, como en C; entonces, la curva solo cambia el sentido de la concavidad y por tanto no presenta un máximo ni mínimo. Se trata de un punto de inflexión.CALCULO DE PUNTO MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN.El método consiste en encontrar la primera y segunda derivada de la función, siguiendo los pasos que a continuación se enumeran:I.- Hallar la primera derivada de la funciónII.- Igualar a cero la primera derivada y resolver la ecuación para determinar los valores críticos.III.- Obtener la segunda derivada de la función.IV.- Sustituir en la segunda derivada cada uno de los valores críticos obtenidos. Si el resultado es negativo se tendrá un máximo y si es positivo se tendrá un mínimo.El método no es aplicable cuando la segunda derivada es igual a cero.

Ejemplo. Hallar los máximos y mínimos de cada función empleando el método de la segunda derivada.

a) y = x4 + 32xI.- y’ = 4x3 + 32II.- 0 = 4x3 + 32x3 = 32/4x3 = 8x = 2 valor crítico

III.- y’’ = 12x2

IV.- y’’ = 12 (2)2 y’’’ = 48 éste valor es positivo, entonces, el valor es un mínimo.

b) y = x3 – 2x2 + xI.- y’ = 3x2 – 4x + 1II.- 0 = 3x2 – 4x + 1factorizando (x – 1) (3x – 1) = 0x1 = 1 x2 = 1/3III.- y’’ = 6x – 4 y’’ = 6x – 4para x = 1 valor crítico para x = 1/3 valor críticoIV.- y’’ = 6(1) – 4 y ‘’ = 6 (1/3) – 4y’’ = 6-4 y’’ = (6/3) – 4y’’ = 2 y’’ = 2-4

y’’ = -2 Este es un mínimo por ser (+) éste es un máximo por ser (-)

UNIDAD TEMÁTICA 7: OPTIMIZACION.HORAS TEORÍA: 3HORAS PRÁCTICA: 6

HORAS TOTALES : 9DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOSOBJETIVO TEÓRICO: Reconocer el procedimiento de encontrar los máximos y mínimos aplicado a problemas geométricos o físicos.OBJETIVO PRÁCTICO: Aplicar el concepto de derivada a problemas de encontrar los máximos o mínimos.Es posible resolver problemas en los que se buscan valores máximos o mínimos, si podemos expresarlos mediante una función de dos variables. En los problemas de máximos y mínimos se sigue, por regla general la siguiente norma: expresar la función cuyos valores extremos se buscan, en términos de una sola variable independiente, convenientemente escogida; anular la derivada de la función respecto a dicha variable, y despejar ésta.En muchos casos el mismo problema indica si se trata de una valor máximo o un mínimo. En los casos dudosos, recúrrase al criterio de la segunda derivada, recordando que, si ésta es positiva, hay un mínimo; si es negativa hay un máximo.Ejemplo:Hallar las dimensiones de una caja sin tapa de 108 cm3 de volumen que tiene la forma de un prisma recto de base cuadrada, para que en su construcción se emplee la menor cantidad posible de material.Considerando la figura 17, se tiene.

Figura 17.Si x = lado de la base y v = 108, la altura será de 108/x2

Entonces el área requerida es A = x2 + 4x ( 108/x2 ) A = x2 + 432/x

A = x2 + 432 x-1 donde x debe ser tal que A sea un mínimo.Derivando la función tenemos:

Para saber si se trata de un máximo o un mínimo tomar un valor ligeramente menor y otro ligeramente mayor y sustituir en dA / dx.Para x = 5

Por lo tanto para x = 6 la función tiene un mínimo. Entonces el lado de la base mide 6 cm. Y la altura h = 108/36 = 3 cm.Su área será A = 36 + 24(3) = 108 cm2

En la siguiente gráfica de la figura 18, se presenta el comportamiento de la función A = x2 + 432/x

Figura 18.Se observa que la función tiene un mínimo en el punto TEjemploDemostrar que si se requiere construir un bote de hojalata cerrado, en forma de cilindro circular recto de un litro de capacidad y gastar la menor cantidad posible de hojalata, se requiere que la altura sea igual a diámetro de la base.Considerando la figura 19, tenemos:

Figura 19.r = radio de la baseh = alturaEl área toral del cilindro será. A = 2r2 + 2rhComo la capacidad del bote es de un litro, por consiguiente su volumen equivale a un decímetro cúbico.

Sustituyendo la ecuación de la altura en la ecuación del área, resulta

Derivando la función obtenida para A, se tiene:

Igualando a cero la derivada resulta:

Obtener la segunda derivada para saber si se trata de un máximo o un mínimo.

Sustituyendo r = 3 (1/2) en la segunda derivada y resolviendo su valor tenemos:

Como el valor es positivo, se presenta un mínimo.Para obtener la altura h, sustituimos r = 3( 1/2) en la ecuación h = 1/(r2), de donde h = 3( 4/)Comparando este valor de h con el diámetro 2r resulta2r = 3(4/)Luego, h = 2r, lo que significa que la altura es igual al diámetro, que es lo que se quiere demostrar.Podemos comprobar que el bote cilíndrico con estas dimensiones tiene una capacidad de un litro, aplicando la fórmula del volumen de un cilindro.

UNIDAD TEMÁTICA 8:INTEGRALES DEFINIDAS HORAS TEORÍA: 7HORAS PRÁCTICA: 14HORAS TOTALES : 21OBJETIVO TEÓRICO: Identificar las diversas formulas para la integración de funciones algebraicas.OBJETIVO PRÁCTICO: Obtener la integración de diversas funciones aplicando las formulas de integración.El problema del Cálculo Integral consiste en hallar la función a que corresponde una determinada derivada o diferencial.El procedimiento mediante el cual hallamos una función a que corresponde cierta derivada se llama integración y se representa por el signo , que se lee “integral de”Supongamos ahora que se conoce f’(x) y se desea saber cuál es f (x); por ejemplo, si se conoce f’(x) = 2 cos 2x y se pide f(x), es claro que f(x) buscada es sen 2x. Pero sen 2x no es la única función cuya derivada es 2cos 2x ya que ésta es también la derivada de sen 2x + C, una constante cualquiera. Así podemos escribir:

f’(x) = f(x)

f’(x) dx = f(x)dx indica que x es la variable de integración.En el Cálculo Integral se emplean diferenciales en lugar de derivadas.Ejemplo: Si f(x) = x3

Entonces el diferencial es d(x)3 = 3x2 dxLuego 3x2 dx = x3

Ejemplo:Si f(x) = sen x

Entonces dsen x = cos dx

Luego cos x dx = sen x

Consideremos los siguientes ejemplos:

Si d (x3) = 3x2 dx, su integral es 3x2 dx = x3

Si d (x3 + 2) = 3x2 dx, su integral es 3x2 dx = x3 + 2

Si d(x3 – 5) = 3x2 dx por lo tanto 3x2 dx = x3 – 5

Se concluye que la diferencial tiene un número infinito de integrales que solo difieren en una constante. La constante C se llama constante de integración.

Las integrales de los ejemplos anteriores reciben el nombre de integrales indefinidas, ya que se desconoce el valor de C.PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL1. - Suma Algebraica du + d - dw = du + d + dw

2. - Factor constante antes de la integración.a d = a d

A continuación se presentan las fórmulas de integración que permiten integrar

PROCEDIMIENTO DE INTEGRACIÓN APLICANDO LAS FORMULAS CORRESPONDIENTES.1. - Integrar 7 dxSolución : aplicar la fórmula no. 1

K du = K7 dx = 7 + C

2. - Integrar dx/11Solución: aplicar la fórmula no. 1

(1/11) dx = (1/11 )x + C3. - Integrar: x5 dx Solución: aplicar la fórmula no. 2

un = ( u n-1 )/ (n+1) + C x5 dx = x6 / 6 + C4. - Integrar 5 x dxSolución : aplicar la fórmula no. 2

5. - Integrar (x – 5) (x + 3) dxSolución: primero desarrollar el producto de los dos binomios.

(x – 5) (x + 3) dx = (x2 + 3x – 5x – 15) dx = (x2 – 2x – 15) dx

(x – 5) (x + 3) dx = x3 – x2 – 15x + CFORMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN Y TÉCNICAS DE INTEGRACIÓNINTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLEOBJETIVO TEÓRICO: Identificar funciones que no son posibles de integrar con las fórmulas.OBJETIVO PRÁCTICO: Integrar funciones donde es necesario un cambio de variable.La técnica consisten en introducir una nueva variable u, convenientemente escogida, para que la dada se reduzca a una más sencilla y de resolución casi siempre inmediata.Ejemplo. Integrar

Tomando como u = bx + c, tenemos:

de donde du = b dxdx = du / b

sustituyendo en

tenemos

donde y

Donde , entonces

Ejemplo: Integrar

Sustituyendo

Ejemplo. Integrar : cos 3x dx

Entonces:cos 3x dx = 1/3 cos u du

= 1/3 sen u + C = 1/3 sen 3x + C

FORMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN Y TÉCNICAS DE INTEGRACIÓNLA INTEGRAL DEFINIDAOBJETIVO TEÓRICO: Reconocer el concepto de integral definida.OBJETIVO PRÁCTICO: Integrar diversas funciones y aplicar los límites establecidos para encontrar el valor de la función integrada.LA INTEGRAL DEFINIDADerivada del área de una curva.Considere una función continua y se y = g (x) la ecuación de una curva AB, como se muestra en la figura. Al valor inicial x = a de la variable, corresponde el valor inicial MP para la función. Considerando MP fija, y sea una ordenada variable. Designemos por S el área MM´QP. Al incremento M´M = x de la variable le corresponde el incremento y. El área se incrementa, a su vez S = M´NTQ. Figura 21.

Figura 21.

Área M´NTS M´NTQ área M´NRQO sea ( y + y x S y x

Si x tiende a cero, los incrementos de y y de S también tienden a cero. La ordenada M´Q permanece fija, y en el paso al límite se tendrá:

La diferencial del área de una curva es igual a la ordenada de la curva por la diferencial de la variable independiente.Esto es, dS representa la diferencial del área comprendida debajo de la curva, el eje X´X y dos ordenadas.Si se integra la última expresión, tenderemos:

S = S = g (x) dx O sea el área comprendida entre una curva, el eje X´X y dos ordenadas es igual a la integral del producto de la ordenada variable de la curva, por la diferencial de su abscisa correspondiente.

CALCULO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓNSustituyendo g(x) dx por f(x) + C, tenemos:

S = f(x) + CPara calcular C , hay que observar que, para x = a, el valor de S es nulo. Por lo tanto, la última expresión da:

0 = f (a ) + C C = -f (a)El valor de S es, entonces, S = f(x) – f(a), y el valor del área M´MQP (si x toma un valor particular OM´= b) es: La integral deja de ser indefinida y se convierte en definida, los cual se expresa así:que se lee” integral de a b de ye de equis “. Los límites de la integral son a y b, puede escribirse:

o = f(b) – f(a)

Ejemplo: Obtener la integral definida de 1/3 x3 dx

Se escribe

APLICACIONES DE LA INTEGRALAREA BAJO LA CURVAOBJETIVO TEÓRICO: Describir el concepto de área bajo la curva y área entre curvas.OBJETIVO PRÁCTICO: Por medio de la integración encontrar el área bajo la curva y el área entre curvas. Una de las principales aplicaciones del Cálculo Integral es la de encontrar áreas de superficies limitadas por curvas. Considere la curva AB con ecuación y = f(x). Si trazamos el segmento O y Ox, se tiene la curva comprendida entre P y Q , como se muestra en la figura 22.

Figura 22.

Si consideramos que = x1 = x2

= y1 = y2

El área PMNQ será igual a la suma de todos los segmentos de la base dx y la altura y. Al pensar que y es la altura media y dx la base, puede hacerse tan pequeña como se pueda, entonces:El área de un solo segmento es y dx, pero siendo S el área total, entonces el área de un segmento será dS. Por lo tanto el área total será:

S = ds = y dxPara hallar el valor del área total o sea S, solamente se integra y dx.Para obtener el área comprendida entre PMNQ, es necesario integrar entre dos límites, es decir, cuando x vale x2 y cuando x vale x1, entonces

S = y dx

Ejemplo: Encontrar el área bajo la curva de la siguiente ecuación en los límites dados.

S = (3 + 4x2) dxIntegrando, tenemos:

Sustituyendo los límite

Ejemplo: Obtener el área limitada por la curva de ecuación y = 2x – 2x 2 el eje Ox y las ordenadas que parten de x1 =0 y x2 =1 , se muestra en la figura 23.

Figura 23.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

TEMA : VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓNOBJETIVO TEÓRICO: Conocer el concepto de sólido en revolución.OBJETIVO PRÁCTICO: Aplicar la integral para encontrar el volumen de un sólido en revolución.Un sólido es un cilindro recto si está limitado por dos regiones planas R1 y R2, que pertenecen a dos planos paralelos, y por una superficie lateral generada por un segmento rectilíneo, que tiene sus extremos en las fronteras o límites de R1 y R2, el cual se desplaza siempre en forma perpendicular a los planos de R1 y R2. La figura siguiente muestra un cilindro recto.(Figura 24 )

Figura 24.La altura del cilindro es la distancia perpendicular entre los planos de R1 y R2 y la base del cilindro es R1 o R2. Si la base es una región acotada por una circunferencia se tiene un cilindro rectangular recto, como se muestra en la siguiente figura 25.

Figura 25.

El volumen de una cilindro recto está dado por V = AhConsideremos un sólido S que está entre dos planos perpendiculares al eje x en a y b. Sea A (x) unidades cuadradas el área de la sección plana de S perpendicular al eje x en x. Se requiere que A es continua en a, b.Sea x partición del intervalo cerrado a, b dado por

a = x0 x1 x2.... xn = bEntonces existen n intervalos de la forma xi–1 , xi donde i = 1, 2 3,....n, donde la longitud del i-ésimo subintervalo ix = xi – xi-1.

La figura 26 muestra el i-ésimo cilindro recto, el cual recibe el nombre de elemento de volumen. Si iV unidades cúbicas es el volumen del i-ésimo elemento, entonces.

iV = A (wi) i x La suma de las medidas de los n elementos es

i V = A (Wi) ix.

Figura 26.Esta suma es una aproximación de lo que intuitivamente llamamos número de unidades cúbicas del volumen del sólido.DEFINICIÓN DEL VOLUMEN DE UN SÓLIDOSea S un sólido tal que S está entre dos planos perpendiculares al eje x en a y b: si la medida del área de la sección plana S perpendicular al eje en x, está dada por A(x), donde A es continua en a, b, entonces la medida del volumen de S está dada por:

V = A(x) dx

Ejemplo: La siguiente figura muestra un cilindro circular recto, que tiene una altura de h unidades y un radio de la base de r unidades, el origen está en el punto de una base y su altura se miden a lo largo del lado positivo del eje x. Una sección plana a una distancia de x unidades del origen tiene un área de A(x) unidades cuadradas, donde

A(x) = r2

V = A (x) dx

V = r2 dx

V = xr2x V = r2h

La gráfica de la figura 28 que se muestra enseguida:

Figura 28.

En el caso de que S fuera un sólido que está entre planos perpendiculares al eje y en C y d, y la medida del área de la sección plana de S perpendicular al eje y y en y está dada por A(y), donde A es continua en (C, d). Entonces la medida del volumen de S está dada por:

V = A(y) dySi f una función continua en el intervalo cerrado a, b y suponga que f(x) 0 para toda x en a, b. Si S es el sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje x la región limitada por la curva y = f(x) el eje x y las rectas x = a y x = b y si V unidades cúbicas es el volumen de S, entonces:V = f(x)2 dxEjemplo: Calcule el volumen del sólido de revolución generado cuando la región acotada por la curva y = x2, el eje x y las rectas x = 1 y x = 2 se gira alrededor del eje x, la figura 29, se muestra enseguida:

Figura 29.La figura 30 se muestra la región y un elemento rectangular del área. La siguiente figura muestra el sólido de revolución y un elemento de volumen. La medida del volumen del sólido del disco está dada por:

Figura 30.Cuando en eje de revolución y una frontera de la región girada son el eje y o cualquier recta paralela al eje x o al eje y, se aplica un procedimiento igual al seguido en éste ejemplo.Ejemplo: Calcular el sólido de revolución generado al girar alrededor de la recta x = 1 la región limitada por la curva.(x – 1)2 = 20 – 4y y las rectas x = 1, y = 1, y = 3 y a la derecha de x = 1.Al resolver la ecuación de la curva para x, tenemos.

Se toma una partición del intervalo 1, 3 del eje y

Se toma una participación del intervalo 1, 3 del eje yEl sólido generado se muestra enseguida en la figura 31.

Figura 31.Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo cerrado a, b. Tales que f(x) g(x) 0 para toda x en a, b. Si V unidades cúbicas es el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje x la región limitada por las curvas y = f(x) y y = g(x) y las rectas x = a, x = b, entonces

Ejemplo: Calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la región acotada por la parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3Los puntos de intersección de las dos curvas son (-1, 2) y (2, 5). La figura 32 siguiente muestra la región y un elemento rectangular de área

Figura 32.El sólido de revolución y un elemento de volumen se presentan en la siguiente figura 33.

Figura 33.

Ejemplo: Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta x = -4, la región limitada por las dos parábolas x = y – y2 y x = y2 – 3

Las rectas se intersectan en los puntos (-2, -1) y (-3/4, 3/2). La región y un elemento rectangular de área se muestran en la siguiente figura 34.

Figura 34.

El sólido de revolución así como un elemento de volumen se muestra enseguida. SE muestra en la figura 35

Figura 35.

Si F(y) = y – y2 y G(y) = y2 – 3. El número de unidades cúbicas del volumen de la arandela circular esV = ( 4 – y – y2 )2 ) – ( 4 + y2 - 3)2 dy

V = ( -2y3 – 9y2 + 8y + 15) dy

V = -1/2y4 – 3y3 + 4y2 + 15y

APLICACIONES DE LA INTEGRALCENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS PLANASOBJETIVO TEÓRICO: Identificar el concepto de centroide y momento de inercia.OBJETIVO PRÁCTICO: Analizar y encontrar el centroide y el momento de inercia de áreas planas.

Considere una placa delgada de masa distribuida en forma continua en dos dimensiones y con densidad de área constante. A tal región se le llama lámina.Considere un sistema de n partículas ubicadas en los puntos (x1, y1) (x2, y2).....(xn, yn) en el plano xy, y sean las medidas de sus masas m1, m2 .....mn, despreciables. El centro de masa es el punto donde la lámina está en equilibrio, como se muestra en la siguiente figura 36:

Figura 36.La figura muestra ocho partículas colocadas sobre la placa. L a identificación de la i-ésima partícula es mi, que es la medida de su masa. La placa está en equilibrio sobre un punto de apoyo ubicado en el centro de masa denotado por (x,y). Para determinar el centro de masa de dicho sistema, primero se debe definir la masa total del sistema y el momento de masa del sistema con respecto a los ejes coordenadosSuponga que la i-ésima partícula ubicada en el punto (x i,yi) tiene masa mi kilogramos. Entonces la masa total del sistema es M kilogramos, donde:

M = mi

El momento de masa de la i-ésima partícula con respecto al eje y es m ixi kilogramos metros, y su momento de masa con respecto al eje x es m ixi kilogramos metros. Si M kilogramos metros es el momento del sistema de n partículas con respecto al eje x, entonces:

My = mi xi y Mx = mi xi

El centro de masa del sistema es el punto ( ) donde

El punto ( ) puede representarse como el punto tal que si la masa total del sistema del M kilogramos se concentrase ahí, entonces el momento de masa del sistema con respecto al eje y sería Mx kilogramos metros y su momento con respecto al eje x sería My kilogramos metro.Ejemplo: Determine el centro de masa del 4 partículas cuyas masas tienen medidas 2, 4, 6 y 1 las cuales se ubican en los puntos (5,-2), (-2,1), (0,3) (4, -1) respectivamente.

Calcular My My = mi xi = 2(5) + 6(-2) + 4(0) + 1(4) = 2

Calcular Mx Mx = mi yi = 2(-2) + 6(1) + 4(3) + 1(-1) = 13

M = mi = 2 + 6 + 4 + 1 = 13

Por lo tanto

X = 2/13 y y = 1

El centro de masa está en ( 2/13 , 1 ) Sea L la lámina homogénea cuya densidad de área constante es kilogramos por metro cuadrado, la cual está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b. Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado a,b y que f(x) 0 para toda x en (a,b). Como lo muestra la figura 38 siguiente:

Figura 38.DEFINICIÓN DE MASA, MOMENTO DE MASA Y CENTRO DE MASA DE UNA LÁMINA.Sea L una lámina homogénea cuya densidad de área constante es kilogramos por metro cuadrado. La cual está limitada por la curva. Y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b. La función es continua en a,b y f(x) 0 para toda x de a,b. Si M kilogramos de masa total de la lámina L, entonces

M = k f(x) dxSi Mx kilogramos metro es el momento de masa de la lámina L con respecto al eje x, entonces

M = (1/2) k f(x)2 dx Si My kilogramos metro es el momento de masa de la lámina L con respecto al eje y, entonces

M = k x f(x) dx Si ( ) es el centro de masa de la lámina L, entonces

Podemos hallar el centro de una región plana en lugar del centro de masa de una región homogénea, por lo tanto se considerará el centro de masa como centroide de la región. En lugar de momento de masa se considerarán momentos de la región.

Sea R la región limitada por la curva y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b. La función f es continua en a,b y f(x) 0 para toda x de a,b. Si Mx denota el momento de R con respecto al eje x y Mx denota el momento de R respecto al eje y., entonces Mx = (1/2) f(x)2 dx

My = x f(x) dx Si ( ) es el centroide de la región plana de R cuya área es A unidades cuadradas y Mx y M y se define como

Ejemplo: Determinar el centroide de la región del primer cuadrante limitada por la curva y2 = 4x, el eje x y las rectas x = 1 y x = 4Si f(x) = 4xEntonces f(x) = 4x

F(x) = 2xf(x) = 2 x1/2

El área de la región está dada porA = f(x) dx

A = 2 x1/2 dx

A = 4/3 x3/2

Ahora se calcula My y MxMy = x f(x) dx

My = x (2x1/2) dxMy = 2 x3/2 dx

My = 4/5 x 5/2 My = 124

5Mx = 1/2 f(x) 2 dx

Mx = (½) 4x dx

Mx = x ½ My = 15

Calcular ahora y

= 93/35 = 45/28El centroide está en ( 93/35, 45/28 )

En el ejemplo siguiente la región está limitada por dos curvas en lugar de una y el eje x. El método para determinar el centroide es el mismo que el anterior, pero las ecuaciones para Mx y My ahora dependen de las ecuaciones que definen las curvas.Determinar el centroide limitado por las curvas y = x2 y y = 2x + 3Los puntos de intersección de las curvas son (-1,1) y (3,9). En la figura se muestra la región junto con el i-ésimo elemento rectangular.Sea f(x) = x2 y g(x) = 2x + 3. El centroide del i-ésimo elemento rectangular está en el punto ( mi, ½ f(mi) + g(mi) donde mi es el punto medio del i-ésimo subintervalo xi-1, xi. La medida del área de la región está dada por

A = g(x) – f(x9 dx

A = ( 2x + 3 – x2 ) dxA = 32/3

Calcular My y MxMy = x g(x) – f(x) dx

My = x (2x + 3 – x2 ) dx

Mx = g(x) + f(x) - g(x) - f(x) dx

Mx = ½ (2x + 3) + x2 (2x + 3) – x2 dx

APLICACIONES DE LA INTEGRALPRESIÓN Y TRABAJOOBJETIVO TEÓRICO: Reconocer el concepto de presión y trabajoOBJETIVO PRÁCTICO: Calcular la presión y el trabajo aplicando el método de la integral.En la física se utiliza el término trabajo para caracterizar la energía de movimiento de un cuerpo cuando éste es movido cierta distancia debido a una fuerza que actúa sobre el, de modo que W = FdDonde F = fuerza y d = distanciaSea F una función continua en el intervalo cerrado a,b y f(x) unidades la fuerza que actúa sobre un objeto en el punto x del eje x. Si W unidades es el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se desplaza de a a b , entonces

W = f(x) dxEjemplo: Una particular se mueve a lo largo del eje x debido a la acción de una fuerza de f(x) libras cuando la partícula está a x pies del origen. Si f(x) = x2 + 4, calcule el trabajo realizado conforme la partícula se mueve del punto donde x = 2 hasta el punto donde x = 4.

Se toma una partición del intervalo cerrado 2,4. Si W libras-pie es el trabajo realizado cuando la partícula se mueve del punto donde x = 2 hasta el punto donde x = 4, entonces

FUERZA EJERCIDA POR LA PRESIÓN DE UN FLUIDOOtra aplicación de la integral definida en física consiste en determinar la fuerza ejercida por la presión de un líquido sobre una placa sumergida en él o sobre un lado del recipiente que lo contiene.La presión de un líquido es la fuerza por unidad cuadrada de área ejercida por el peso del líquido. Así, si es la densidad del líquido, entonces la presión ejercida por el líquido en un punto a h unidades debajo de la superficie del líquido es P unidades, donde P = hEl tamaño del recipiente no importa en lo que a la presión se refiere. Por ejemplo, a una profundidad de 5 pies en una alberca llena de agua salada la presión es la misma que a 5 pies del Océano Pacífico, considerando que la densidad del agua es la misma.Suponga que se introduce horizontalmente una capa delgada en el líquido de un recipiente. Si A unidades cuadradas es el área de la placa sumergida y F es la medida de la fuerza ejercida por el líquido que actúa sobre la cara superior de la placa, entonces F = PASi se sustituye el valor de la presión en ésta ecuación, tenemos F = h A

Ejemplo:Una lámina rectangular de hojalata de 8 pies por 12 pies se sumerge en un tanque que contiene agua a una profundidad de 10 pies. Como se muestra en la figura 40 Calcular la fuerza ejercida por la presión del agua sobre la cara superior de la lámina

Figura 40. Si P son lb/pie2 es la presión ejercida por el agua en un punto de la cara superior de la lámina, entonces P = 10

El área de la lámina es de 96 pie2. De este modo, si F libras es la fuerza debida a la presión del agua que actúa sobre la cara superior de la lámina, entonces F = 96 PAl sustituir 10 por P, tenemos F = 960 PComo = 624 en el sistema inglés F = 960 (62.4)

F = 60 000Por lo tanto, la fuerza ocasionada por la presión del agua sobre la cara superior de la lámina de hojalata es de 60 000 lb.Ahora suponga que se sumerge una placa delgada verticalmente en el líquido de un recipiente. Entonces, en puntos de la placa a diferentes profundidades la presión, calculada mediante P = h, es diferente y será mayor en la parte inferior que en laparte superior de la placa. Para definir la presión causada por la presión de un líquido sobre una placa vertical se utiliza el principio de Pascal.Principio de Pascal: En cualquier punto de un líquido, la presión es la misma en todas las direcciones.En la siguiente figura 41:

Figura 41.Sea ABCD la región limitada por el eje x, las rectas x = a y x = b y la curva y = f(x), donde la función f es continua y f(x) 0 en el intervalo a, b. Elija los ejes coordenados de modo que el eje y quede sobre la superficie del líquido. Considere el eje x vertical con el sentido positivo hacia abajo, de modo que f(x) unidades es la longitud de la placa a una profundidad de x unidades.Sea una partición del intervalo cerrado a, b que divide al intervalo en n intervalos. Elija un punto en el i-ésimo subintervalo, de modo que xi-1 wi xi. Dibuje los n rectángulos horizontales. El i-ésimo rectángulo tiene una longitud de f(wi) unidades y un ancho de ix unidades.Si se gira cada elemento rectangular 90, cada elemento se convertirá en un aplaca sumergida horizontalmente en el líquido a una profundidad wi unidades debajo de la superficie del líquido y perpendicular a la región ABCD. Entonces, la medida de la fuerza sobre el i-ésimo elemento rectangular es wi f(wi) ix. Una aproximación de la medida de la fuerza total ejercida por la presión del líquido sobre la placa es

wi f(wi) ix faltan datos de la sumatoria Suponga que una placa se sumerge verticalmente en un líquido para el cual la medida de su densidad es .La longitud de la placa a una profundidad x unidades debajo de la superficie del líquido es f(x) unidades, donde f es continua en el intervalo cerrado a, b y f(x) 0

en a, b. Si F es la medida de la fuerza ejercida por la presión del líquido sobre la placa, entonces

F = x f(x) dx Ejemplo. Una artesa, cuya sección transversal es un trapecio, está llena de agua. Si el trapecio mide 3 pies de ancho en su parte superior, 2 pies de ancho en su parte inferior, y 2 pies de profundidad, calcule la fuerza total ejercida por la presión del agua en un lado de forma trapezoidal de la artesa.La figura muestra el lado de la artesa junto con un elemento rectangular de área. Puesto que una ecuación de la recta AB es y = 3/2 – 1/4x

F(x) = 3/2 – ¼ xSi se gira el elemento rectangular un ángulo de 90, la fuerza sobre el elemento es 2 wi f(wi) ix libras. Si F libras es la fuerza total sobre el lado de la artesa, entonces

F = 2 x f(x) dx

F = 2 x ( 3/2 – 1/4x) dx

F = 2 ¾ x2 – 1/12 x3 F = 14/3

Con = 62.4, la fuerza total es de 291 libras. Ver figura 42.

Figura 42.Ejemplo: Los extremos de un tanque de gasolina son regiones semicirculares, cada una con radio de 2 pies: Determine la fuerza ejercida por la presión en un extremo si el tanque está lleno de gasolina, la cual tiene una densidad de 41 lb/pie2

La figura 43 muestra el extremo de un tanque junto con un elemento rectangular de área,

Figura 43.

al resolver la ecuación de la semicircunferencia para y se tiene y = (4 – x2). La fuerza sobre el elemento rectangular es 2wi(4 – wi2) ix libras. Por tanto, si F libras es la fuerza total. Sobre el lado semicircular del tanque, entonces

Con = 41, la fuerza total es de 219 lb.APLICACIONES DE LA INTEGRALLONGITUD DE ARCOOBJETIVO TEÓRICO: Expresar el concepto de longitud de arco.OBJETIVO PRÁCTICO: Aplicar la integral para encontrar la longitud de arco.Sea f la función continua en el intervalo cerrado a,b y considere la gráfica de ésta función definida por la ecuación y = f(x), la cual se muestra en la siguiente figura 44.

Figura 44.La porción de la curva desde el punto A (a,F(a)) hasta el punto B (b, f(b)) se denomina arco. Se desea asignar un número a lo que se considera la longitud de dicho arco. Si el arco es un segmento de recta, desde el punto (x1,y1) hasta el punto (x2, y2) se sabe por la fórmula de la distancia entre dos puntos que su longitud está dada por (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2. Esta formula se utiliza para definir la longitud de un arco en general.Sea una partición del intervalo cerrado a,b formada al dividir el intervalo en n subintervalos eligiendo cualesquiera n – 1 números intermedios entre a y b. Sea x0 = a y xn =b, y X1, x2, x3, . . ., xn-1, los números intermedios de modo que ; x x1 x2 . . . xn-1 xn. Así, el 1-ésimo subintervalo es xi-1, xn, y su longitud, denotada por ix, es xi- xi-1, donde i = 1, 2, 3, . . . , n. Entonces, si .Asociado con cada punto (xi,0) del eje hay un punto Pi(xi,f(xi)) de la curva. Dibuje un segmento de recta desde cada punto Pi-1 al siguiente punto Pi. La longitud del segmento de recta de Pi-1 a Pi se denota por Pi-1 Pi y está determinada por la fórmula de la distancia

= (xi – x

i-1)2 + (y

i – y

i-1)2

La suma de las longitudes de los segmentos es + . . . + + . . . +

La cual puede escribirse de la siguiente forma

La gráfica se muestra a continuación en la figura 45.

Figura 45.Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado a,b: Además considere que existe un número L que tiene la siguiente propiedad: Para cualquier 0 existe una 0 tal que para cada partición del intervalo a,b es cierto que

Si entonces - L

Entonces se escribe L = lim 0

Y L se denomina la longitud de arco de la curva y = f(x) desde el punto A(a,f(a)) hasta el punto B(b,f(b)).Si la función f y su derivada f´ son continuas en el intervalo cerrado a,b, entonces la longitud del arco de la curva y = f(x) a partir del punto (a,f(a)) hasta el punto (b,f(x)) está dada por

L = (1 + f´(x)2 dx

x = 1, u = 13; cuando x= 8, u = 40, entonces

La longitud de arco es 7.634Si la función g y su derivada g’ son continuas en el intervalo cerrado c,d, entonces la longitud del arco de la curva x = g(y) a partir del punto (g( c ),c) hasta el punto (g(d),d) está dada por: