unidad i

3

ÍNDICE

TONTO POR CIENTO..........................................................................5

DESCUENTO........................................................................................6

PROGRESIONES ARITMÉTICAS........................................................9

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.....................................................13

PROGRESIÓN ARMÓNICA...............................................................16

INTERÉS SIMPLE..................................................................................17

TIPOS DE INTERÉS...........................................................................20

CALCULO DE TIEMPO......................................................................20

MONTO..............................................................................................22

CALCULO DEL VALOR ACTUAL.......................................................24

CÁLCULO DE TASA DE INTERÉS..........................................................26

CÁLCULO DEL TIEMPO.................................................................27

CÁLCULO DE SALDO DEUDOR.......................................................28

MÉTODO DE LAGARTO....................................................................28

DESCUENTO RACIONAL O SIMPLE................................................30

DESCUENTO BANCARIO O BURSÁTIL............................................32

DESCUENTO RACIONAL O SIMPLE................................................32

Redescuento....................................................................................35

ECUACIONES DE VALOR..................................................................35

Aplicación:.....................................................................................35

CUENTAS DE AHORRO....................................................................40

INTERÉS COMPUESTO.....................................................................44

Tipos de interés:..............................................................................44

Ejemplos:......................................................................................44

VARIABLES..................................................................................44

MONTO COMPUESTO.......................................................................46

CONVERTIBILIDAD CONTINÚA INSTANTÁNEAMENTE................47

MONTO COMPUESTOS CON PERIODOS FRACCIONARIOS..........48

VALOR ACTUAL CON TIEMPO FINANCIERO.................................49

TASA EQUIVALENTES......................................................................50

4

CALCULO DE TASA DE INTERÉS ANTICIPADA..............................53

CALCULO DE TASA DE INTERÉS EFECTIVA...................................54

CALCULO DE TIEMPO......................................................................54

CALCULO DEL CAPITAL...................................................................55

CALCULO DE CAPITAL CON PERIODO FRACCIONARIO...............56

ECUACIONES DE VALOR..................................................................58

5

Matemática Básica II

Ejercicios en Clases

TONTO POR CIENTOEs una porción que se establece con relación a cada 100 unidades. Se expresa con el símbolo %.

Tanto por ciento

20% = por cada 100 unidades tomamos 20 unidades.

Tanto por un

0.09% = por cada unidas tomamos 0.09 unidades.

Tanto por ciento

4% = 0,04

12% = 0,12

50% = 0,50

170% = 1,70

5¼% = 0,0525

7½% = 0,075

12¾% =0,1275

19⅗ = 0,196

Tanto por uno

0,05 = 5%

0,19 = 19%

0,65 = 65%

3,29 = 329%

0,0525 = 5¼%

0,075 = 7½%

0,1275 = 12¾%

0,196 =19⅗

Aplicaciones del tanto por ciento

Hallar el precio de la factura de un refrigerador cuyo precio de lista es$ 930 y se aplica un descuento del 9% por la compra al contado.

Datos:

P.F =?

P.V = 930

U = 0,09

P.F = P.V (1-d)

P.F = 930 (1 – 0,09)

P.F = 846,30//

Hallar el precio de la factura de una cocina cuyo precio de lista es $ 930 y se concede un descuento del 7¼% por la compra al contado.

Datos

6

P.F =?

P.V = 930

U = 0,0725

P.F = P.V (1-d)

P.F = 930 (1 – 0,0725)

P.F = 862,58//

Hallar el precio de la factura de una computadora cuyo precio de lista es $ 1650 y se ofrece un descuento del 2 y 11% respectivamente por su compra.

Datos

P.F =?

P.V = 1650

U = 0,02 y 0,11

P.F = P.V (1-d)

P.F = 930 (0,98)(0,89)

P.F = 1432,13//

DESCUENTOHallar el precio de la factura de la venta de un equipo de sonido cuyo precio de lista es de $ 700 y se ofrece un descuento del 3% y se aplica el impuesto del 12 %.

P.F = P.V (1-d) (1 + imp.)

P.F = 700 (1 – 0, 03) (1 + 0,12)

P.F = 700 (0, 97) (1,12)

P.F = 760, 48//

Hallar el precio de la factura de un electrodoméstico cuyo precio de lista es de $ 190 y se ofrece un descuento del 3 y 6% y se aplica el impuesto del 5 % y 17%.

P.F = P.V (1-d) (1 + imp.)

P.F =190 (0, 97)(0,94) (1,05)(1,17)

P.F = 212, 83//

UTILIDAD

Hallar la utilidad de un pantalón si el precio de compra es de $ 30 y se desea vender en $ 45.

U = P.V – P.C

7

U = 45 – 30

U = 15//

A qué precio se debe marcar un vestido para su venta si se compra en $ 190 y desea ganar 18% sobre el precio de compra.

Datos:

P.C = 190

U = 0,18 P.V = P.C + U

P.V =190 (1 +0,18)

P.V = 190 (1,18)

P.V = 224,20//

A que precio se debe marcar u calentador cuyo precio de compra es de $ 75 y se desea obtener una utilidad del 20% sobre el precio de venta. Halle también la utilidad con respecto al precio de compra y venta.

Datos: P.V = P.C + U

P.C = 75 P.V = 75 + 0,20.pv

U = o.20 p.v P.V – 0,20pv = 75

0,80pv = 75

P.V = 75/0,80

P.V = 93,75//

Utilidad en función de P. Compra

9375 100

18,75 X

U = 20%

Utilidad en función de Venta

75 100

18,75 X

U = 25%

8

Halle el precio de compra de un artículo que se vende en $130 con una utilidad del 35% sobre el precio de compra.

Datos: P.C = P.V + U

P.V = 130 PC = 75 + 0,35.pv

U = o.35p.c P.C – o,35 =130

1.35pc = 130

P.C = 130/1,35

P.C =96, 30//

CALCULO DE N,C,I

(1+i)❑21=37+(4−1

2 )❑3+50❑

i = ( 522556 ) 1

21−1

i =24.10%//

(1+i )❑4+ 127

+431=604−(7−1

2)❑5

i=1294839,05

i = 5998,65 %

¿

¿

i=¿ 10639588

¿1

15−2

i = - 78,707% //

¿= 3 - 13+

53¿

¿

9

n= log

533

log 52

n= 3,13//

¿

57−¿

−¿ 343.75

No hay solución

PROGRESIONES ARITMÉTICASDEFINICIÓN DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Se denomina progresión aritmética a una sucesión de números en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma.Por lo tanto, cada término se obtiene sumando una misma cantidad (la diferencia) al término anterior

2,5,8,11………….

6, 11, 16, 21……

32, 28………

26, 23…..

Calculo de la diferencia

Se selecciona dos términos consecutivos de la progresión restas el segundo por el primero.

D= 14-1 d= 8 -12

D=33// positiva d= -4// negativas

7, 43,−13

3,−10 ,− 47

3

P.A. Ascendente

P.A. Descendente

10

D = −17

3//

Calculo del enésimo término

6, 9, 12, 15, 18, 21 ……. Progresión

3, 5, 7, 11, 15, 19…. No progresión

a1;a1+2d; a1+ 3d, a1+4d ;a1+5d

37T = a1+ 36d

193T = a1+192d

589T= a1+ 588d

an=¿Primer Termino ¿

a1=¿Ultimo Termino

n= número de termino

d= diferencia

s=suma

Calculo de la suma de término de la progresión

Formulas:

s=n2(a1+an)

s= n2¿+a1+(n-1)d]

s=n2[2a1+(n-1)d]

Hallar el termino 49 la suma de las progresiones siguientes: 6; 13……………

Datos an=a1+(n-1)d s=n2(a1+an)

a1= 6 an=¿¿6+(49-1)7 s=492

(6+ 342)

an=¿¿ ? an= 342// S= 8526//

an=a1+ (n-1)d formula

11

n=49

d=7

s=?

Hallar el termino 135 la suma de las progresiones asiguientes:50; 60……………


a1=50 an=¿¿50+ (135-1)10 s=153

2(50+ 1570)

an=¿¿? an= 1570// S= 123,930//

n=135

d=10

s=?

Hallar el termino 39 la suma de las progresiones siguientes:74;

35……………

Datos an=a1+(n-1) d s=n2(a1+an)

a1= 74

an=¿ 74¿+ (39-1)

−2320

s=392

(74

+ 83920

)

an=¿?¿ an= −839

20 // S=

−783016

//

n=39

d=−2320

s=?

hallar el termino 85 la suma de las progresiones a

siguientes:12;

35……………


a1=12

an=¿ 1

2¿+ (85-1)

110

s=852

(12+

8910

)

12

an=¿¿? an= 8910

// S= 799

2 //

n=85

d=1

10

s=?

Calcular el primer término y la suma de una progresión aritmética, cuyo último término es 30, el número de término es 17, y la diferencia es 4.

Datos: an = a1 + (n -1) d s = n2 (a1

+an)

A1= ? 30 =a1+ ( 17-1)4 s = 172

(-34

+ 30)

AN=30 30= a1 + (16) 4 s = 172

(-4)

N= 17 30 = a1 + 64 s = −68

2

D=4 30 – 64 =a1 s = −34//

S=? - 34 = a1 //

Ejemplos:

1. Un persona adquiere una computadora por lo que se compromete a pagar el primes mes $ 40, el segundo $48 y el tercero $56 y así sucesivamente. Hallar el precio total del computador si los pagos lo hicieron durante un año y medio.

48; 48; 56……………


a1= 40 an=¿¿40+(18-1)8 s=182

(40+ 176)

an=¿¿ a1=176// s= 1944//

n= 18

13

d= 8

s=

2. Interpolar 42 aritméticos entre: 7, 32.

7; 12; 17; 22; 27; 32.

Datos: an = a1 + (n -1) d s = n2

(a1 +an)

a1= 7 32 =7+ (6 -1)d s = 62 (7 + 32)

AN=32 32= 7 + (5) d s = 62

(39)

N= 6 32 = 7 + 5d s = 234

2D=4 32 – 7 = 5d s =117//S=? 25 =5d

255

=d

5 =d

3. Las edades de 4 amigas están en progresión aritmética creciente si sabemos que la suma de la primera amiga más la cuarta amiga es 58 y el producto de sus amigas es 697. Hallar las edades de las cuatro amigas

a1;a1+2d; a1+ 3d

a+¿a1¿+3d= 58 a1(a1+ 3d)

2a1+3d= 58 a12+ 3a1d= 697

3d= 58−2a1

3a12+ 3(a1I(

58−2a1

3) = 697

d= 58−2(17)

3a12+58a1- 2a1 – 697 = 0

d= 58−34

3a12- 58a1 – 697= 0

d=243

a=58±√3364−27882

d= 8// a= 58+24

2a=

58−242

a= 41// a= 17//

14

4. Del término de un progresión aritmética es 4, el 6 de esa misma progresión es 52. Hallar la suma si la progresión consta de 7 términos.

a1;a1+2d; a1+ 3d, a1+4d ;a1+5d

a4=a1+ 3d a6= a1+d s = n2 (a1 +an)

34= a1+3d 52 = a1 + 5d s = 72 (7 + 61)

-34 = - a1-3d 52 = a1+ 5(9) s = 72 (68)

52= a1 + 5d 52 = a1 + 45 s = 476

2

18= 0 + 2d 52 – 45= a1 s= 238//

182

=d 7 = a1

9 = d

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS4, 12, 36, 108,…………………………

7, -21, -63, -189,………………………… progresiones geométricas crecientes.

6, 24, 96, 384,…………………………

81, 27, 9, 3, 1, 13,

19,

127

,……………. progresiones geométricas

decrecientes.

Calculo de la razón

se obtiene dividiendo el segundo por el primero.

r= 10836

r = 3 r = 63

−21 r = -3 r =

38496

r =4 r =

922

r = 13

Es progresión creciente cuando es un entero. Es decreciente cuando es fracción.

15

Calculo de enésimo termino (ultimo termino) y la suma.

a1. r ; a1.a1.r2

35t=a1.r34

87t=a1.r86

529t=a1.r528

Formula:

an = a1.rn−1 s= a1−a1 . r

n

1−r

an= enésimo termino

a1=primer termino

r= razón

n=número de términos

s= suma

1a = a−1

bc = b . c−1

a p. aq = a p+q

mkml

=mk−l

Hallar el termino 39 la suma de los términos dados la siguiente progresiones geométrica.

7, 28, 112,………………..

Datos an = a1.rn−1 s= a1−a1 . r

n

1−r

a1= 7 an =7(4 ¿¿38 s= 7−7¿¿

an=¿¿? an=¿ 5, 28 x 1023 s= 7, 05 x 1023

n=39

r= 4

16

s=


7, 28, 112,………………..


n

1−r

a1= 7 an =7(4 ¿¿53 s= 7−7¿¿

an=¿¿? an=¿ 5, 68 x 1032 s= 7, 57 x 1032

n=54

r= 4

s=


34;

57,……………………….


n

1−r

a1= 34

an =34

(2021

¿¿61 s=

34−3

4¿¿

an=¿¿? an=¿ 0,038 s= 14,99

n=62

r= 2021

s=?

Una maquina tiene un costo de 35000 y al final de cada año sufre una depreciación del 4% , de valor que tiene al principio del año . Determine el costo de la maquina al final del décimo cuarto año de uso.

Datos a1= c (1-d) an = a1.rn−1

C= 35000 a1= 35000(1-0.04) an = 33,600(0,96¿¿13

17

n=14 a1= 33,600// an = 19763,56//

d= 0.04

a1= ?

an=¿¿?

Determine el valor de una maquina al cabo de 20 años de uso si su costo inicial fue de $ 20000 al final de cada año sufre un depreciación de34

1 del precio que tubo al principio del año.

Datos an = a1.rn−1

C= 20000 an = 20000(96.75¿¿20

n=20 an = 10328,79//

d= 96.75

an= ?

Se adquiere una maquina en $7200 esta máquina sufre un depreciación mensual del 2% del costo que tiene al principio del mes determine el valor de la maquina después de 4 años de uso.

Datos a1= c (1-d) an = a1.rn−1

C= 7200 a1= 7200(1-0.02) an = 7056(0,98¿¿47

n=48 a1= 7056// an = 2730,14//

d= 0,98

a1= ?

an=¿¿?

PROGRESIÓN ARMÓNICAEs el reciproco de la progresión aritmética.

2, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68…………………….. Progresión Aritmética

15,

112

, 1

19,

126

, 1

33,

140

………………………………Progression armónica

Hallar el termino 17 y la suma de los 17 primero términos de la siguiente progresión.

18

3, 11, 19, 27, 35, 43…………….. Progression Aritmética


a1=3 an=¿3¿+ (17-1)8 s=172

(3+ 131)

an=? an= 131// S= 1139//

n= 17

d=8

s=?

INTERÉS SIMPLEEs un pago que se hace por el uso del dinero dese el punto de vista del consumidor o de un ingreso que espera obtener un inversionista por su dinero invertido.

Clasificación

Tasa de interés. Es lo que el usuario paga por el alquiler del dinero.(activa)

Tasa retornable: es lo que un capitalista espera recibir por invertir su dinero.(pasiva)

Tasa de interés (i), conocido como tipo de interés en el porcentaje al que está invertido un capital en unidad de tiempo.

i=tasa de interés

I=interés

C=capital

Calcular la tasa de interés de un capital de $ 230 que genera un interés de $ 35.

Datos

i=? i= IC

I=35 i= 35

230

C=230 i= 15.217 %

i= IC formula

19

Calcular la tasa de interés de un capital de $13600 que genera un interés de $235.

Datos

i=? i= IC

I=235 i= 235

13600

C=13600 i= 1.727 %

Calcular la tasa de interés de un capital de 21980 que genera un interés de $ 5320.

Datos

i=? i= IC

I=5320 i= 5320

21980

C=21980 i= 24.204 %

INTERÉS SIMPLE: Es la ganancia del capital.

I= interés

C= capital

i= tasa de interés

t= tiempo

EJEMPLO

Hallar el interés de un capital de $920 colocados con una tasa de interés del 4% durante 2 años.

Datos I=C* i *t

I=? I=920*0, 04*2

C= 920 I= 73,60//

i= 0,04

I=C* i *t Formula

20

t=2años

Hallar el interés de un capital de $23.570 colocados con una tasa de interés del 64

1% durante 1 años y 3 meses.

Datos I=C* i *t

I=? I=23570*0, 0625*1.5

C= 23570 I= 2209,69//

i= 0,0625

t=1 años y 3 meses

Hallar el interés de un capital de $9550 colocados con una tasa de interés del 7% durante 8 meses.

Datos I=C* i *t

I=? I=9550 (0, 07) (8

12)

C= 9550 I= 445, 67//

i= 0, 07

t= 8 meses

Hallar el interés de un capital de $13100 colocados con una tasa de interés del 1313

4 % durante 13 meses.

Datos I=C* i *t

I=? I=13100 (0, 1366) (1312

)

C= 13100 I= 1938,58//

i= 0, 1366

t= 13meses

Hallar el interés de un capital de $2200 colocados con una tasa de interés del 4% durante 170 días.

Datos I=C* i *t

I=? I=2200 (0, 04) (17030

)

C= 2200 I= 498,67//

i= 0, 04

t= 170 días

21

TIPOS DE INTERÉSInterés simple exacto: es cuando se trabaja con el año calendario es decir:

1año =365 días

1 año =366 días (año bisiesto)

Interés simple ordinario conocido como año comercial decir:

1 año =360 días

CALCULO DE TIEMPOExisten dos tipos de tiempo.

Tiempo exacto

Tiempo aproximado

Para calcular el tiempo es la fecha final menos fecha inicial.

Ejemplo

1.- Hallar el tiempo transcurrido desde el 30 de agosto del 2006 hasta el 31 de diciembre del 2007.

Tiempo aproximado Tiempo exacto

Año mes día

200712 31 365

200608 30 - 242

1año 4mese 1 día 123

T.A= 360+4(30) +1 +365

T.A= 481 días T.E = 488 días

2.- Hallar el tiempo transcurrido desde el 30 de mayo del 2011 hasta el 25 de febrero del siguiente año.


Año mes día

201202 25 56

201105 30 - 150

201113 55 +365

201105 30 T.E = 488 días

0año 8mese 25 días

22

T.A= 8(30) +25

T.A= 265 días

3.- Hallar el tiempo transcurrido desde el 15 de septiembre del 2006 hasta el 2 de mayo del 2009.


Año mes día

200905 02 122

200609 15 - 258

200816 32 +1095 + (1) año bisiesto

200609 15 T.E = 960 días

2año 7mese 17 días

T.A= 720+7(30) +17+1(año bisiesto)

T.A= 948 días

4.-Hallar el interés de un capital $320 colocados al 3% desde el 7 de noviembre hasta el 15 de abril del siguiente año.


Año mes día

200204 15 105

200111 07 - 311

200116 15 +365

200111 07 T.E = 960 días

0año 5mese 8 días Datos

T.A= 5(30) +8 C=320

T.A. = 158 días i=0.03

I.S.E con T.A I.S.O con T.A

I=320(0, 03)(158365

) I=320(0,03)(158360

)

I=41, 57// I= 42,13//

I.S.E con T.E I.S.O con T.E

23

I=320(0, 03)(159365

) I=320(0,03)(

159360

)

I=41,82// I=42,40//

5.- Hallar el interés de un capital de $ 8300 colocados a una tasa del 12% desde el 30 de septiembre del 2011 hasta el 5 de junio del siguiente año.


Año mes día

201206 5 156

201109 30 -273

201117 35 +365+(1)A. bisiesto

201109 30 T.E = 249días

0año 8mese 5días Datos

T.A= 8(30) +5+(1) A. bisiesto C=8300

T.A. = 246días i=0.12

I.S.E con T.A I.S.O con T.A

I=8300(0, 12)(246365

) I=8300(0,12)(

246360

)

I=671,28// I= 680.60//

I.S.E con T.E I.S.O con T.E

I=8300(0,12)(249365

) I=8300(0,12)(

249360

)

I=679,46// I=688,90//

24

MONTOM= C+I

M=C+C*i*t

M=C (1+i*t) Formula:

M= Monto

C=Capital

i= Tasa de Interés

t= tiempo

Hallar el monto de un capital de $5300 colocados con una tasa del 13% anual, durante 7 meses.

Datos:

M=? M= C (1+i*t)

C=5300 M= 5300(1+0, 13(712

))

i= 0,13 M= 5701,92//

t=7meses

Determine el monto de un capital de $6400 colocados con una tasa del 9% desde el 5 de abril hasta el 1 de noviembre del mismo año.

Datos:

M=? M= C (1+i*t)

C=6400 M= 6400(1+0, 09(210360

))

i= 0, 09 M= 6.736//

t=210 Días

Determine el monto de un capital de $8200 colocados con una tasa del 13% semestral durante 135 días.

Datos:

M=? M= C (1+i*t)

C=8200 M= 8200(1+0,13(135180

))

i= 0, 13 M= 8999,50//

t=135Días

25

Hallar el monto de un capital de $13000 colocados con una tasa del 20% trimestral colocado desde el 5 de febrero anual, durante 7 meses hasta el 1 de diciembre del mismo año.

Datos:

M=? M= C (1+i*t)

C=13000 M= 13000(1+0, 20(29990

))

i= 0, 20 M= 21637,78//

t= 299 días

Hallar el monto de un capital de $11500 colocados con una tasa del 2% mensual desde el 7 de abril del 2011hasta el 20 febrero del siguiente año.

Datos:

M=? M= C (1+i*t)

C=11500 M= 11500(1+0, 02(31930

))

i= 0, 02 M= 13945, 67//

t= 319dias

Hallar el monto de un capital de $4200 colocados con una tasa del 1% diario desde el 29 de marzo, hasta el 31 de diciembre del mismo año.

Datos:

M=? M= C (1+i*t)

C=4200 M= 4200(1+0, 01(277))

i= 0, 01 M= 15.834//

t= 277dias

Hallar el monto de un capital de $9300 colocados con una tasa del 11% durante 7 meses.

Datos:

M=? M= C (1+i*t)

C=9300 M= 9300(1+0, 11(712

))

i= 0, 11 M=9896, 75//

26

t= 7meses

CALCULO DEL VALOR ACTUALM=C (1+i*t)

C=M

1+ i∗tC= M (1 + I *t¿−1

M= Monto

C=Capital

i= Tasa de Interés

t= tiempo

Gráfico de Tiempo y Valores

Valor Nominal capital valor presente valor final monto

Fecha de suscripción fecha de negaciónfecha de vencimiento

EJEMPLOS

Hallar el valor actual el día de hoy de un documento de 15000 colocados durante 300 días con un tasa del 7% anual.

i= 0,0715000

0 300 días

C=M

1+ i∗tC=

15000

1+0,07(300360

) C=14173, 23//

En el problema anterior determine el valor actual si el tiempo es 60 días antes de vencimiento.

0 60 días 300 días

C=M

1+ i∗tC=

15000

1+0,07(60300

) C=14827, 02//

Una persona firma un documento de $9300con un tasa del 11% desde el 30 de marzo hasta el 5 de diciembre del mismo

27

año determine el valor actual de ese documento el 25 de septiembre si se aplica una tasa del 19% semestral.

$ 9300 i=0,11

30marzo 25 septiembre 5 diciembre

89 268 339

M= C (1+i*t) M= 9300(1+0, 11(250360

)) M= 10010,42//

i= 0, 19 semestral

C=M

1+ i∗tC=

1 0010,42

1+0,19(71180

) C=9312, 50//

Un documento por $ 15000 se firma el 12 de marzo con una tasa del 15% semestral desde su suscripción, hasta el 1denoviembre del siguiente año determine el valor actual del documento el 7 de Julio si la tasa de interés es de 3% mensual.

15000 i=0,15semestre

12 marzo 7 julio 1 noviembre

71 días 188 días 305 días

i= 0,03 mensual

M= 15000(1 + 0.15 (234180

)) C=

17925

(1+0,03 (17730 ))

M= 17925// C= 16047.45//

El 7 de febrero se suscribe un documento por $13500 con una tasa del 17% trimestral, hasta el 20 de diciembre del mismo año. Determine el valor actual de ese documento 20 días antes de su vencimiento si se reconoce una tasa de 14

1% diario.

13500 i=0,17trimest

7 febrero 20 dias 20 diciembre

28

38 días 354días

i= 0,03 mensual

M= 13500(1 + 0.17 (31690

)) C= 21558

(1+0,0125 (20 ) )

M=21558// C= 17246,4//

CÁLCULO DE TASA DE INTERÉSI= c*i*t Formula M= c(1+i*t)

i= I

c∗ti=

M−Cc∗t

A que tasa de interés se debe colocar un capital de $ 8300, para que genere un interés de $45 durante 7 meses.

i= I

c∗t i= 45

8300(7

12)

i= 0,9294%//

Hallar a que tasa de interés semestral se debe colocar un capital de $5200 desde el5 de enero hasta el 3 de diciembre del mismo año para obtener el triple.

i= M−Cc∗t i=

15600−5200

5200 (332180

)

i= 108,4337%//

A que tasa de interés trimestral se debe colocar un capital de $800

para que produzca 34

veces más desde el 6 de abril hasta el 9 de

mayo del mismo año.

i= M−Cc∗t i=

14000−8000

8000 (3390

)

i= 204,5455%//

Hallar la tasa de interés de un capital de $ 6900qued se convierte en $ 13700 en 8 meses.

i= M−Cc∗t i=

13000−6900

6900(8

12)

i= 147,8261%//

29

CÁLCULO DEL TIEMPOI= c*i*t Formula M= c(1+i*t)

t= I

c∗it=

M−Cc∗i

En qué tiempo un capital de $ 2800 genera $ 65 al 7%.

t= I

c∗i

t= 65

2800(0,07)

t= 0.331632653 años; 119 días.

En qué tiempo un capital de $ 7000 gana $ 130 con una tasa del 11%.

t= I

c∗i

t= 130

7000(0,11)

t= 0.16883 años; 2 meses//

En qué tiempo jun capital de $ 45000 gana $ 135 al 0,05% mensual.

t= I

c∗i

t= 135

4500(0,005)

t= 6 meses//

En qué tiempo un capital de $ 3900se convierte en $ 11200con una tasa de 17%semestral.

t= M−Cc∗i

t= 11200−39003900 (0.17)

t= 11,010 semestres; 66 meses

30

CÁLCULO DE SALDO DEUDORAlgunas instituciones o casa comerciales que trabajan con créditos y utilizan uno de los dos métodos:

1) Acumulación de interés o método de lagarto 2) Interés sobre saldo deudor

Ejemplo:

Una cooperativa de ahorro y crédito otorga un préstamo de $ 14000 con una tasa del 2% mensual para 32

1 años determine el valor de la cuota mensual por los dos métodos.

MÉTODO DE LAGARTO

M= c (1+i (t))

M= 14000(1+0,02(42))

M=25760//

CFM= M

¿COUTAS

CFM= 25760

42

CFM= 613, 33//

I= M-C

I= 25760 - 14000

I= 11760//

SALDO DEUDOR

VSI=C

¿COUTAS

VSI=14000

42

VSI= 333,33//

PRIMERA COUTA

I= C*i*t

I 1= 14000(0, 02) (1)

I 1=280//

C1= VSI +I 1

C1= 333,33 + 280

C1 =613,33//

Segunda cuota

I 2= 13666,67(0, 02) (1)

I 2=273,33//

C2= VSI +I 2

C2= 333,33 + 273,33

C2 =606,66//

Diferencia

d= 606,66 - 613,33

d= -6,67//

Ultimo termino

U= 613,33+ (41)(- 6.67)

U= 339,86//

Suma:

S=422

(613,33+339,86)

S= 20016,99//

31

Valor couta mensual

VCM=S

¿CUOTAS

VCM= 20016,99

42

VCM= 47.60//

I= M-C

I= 20016,99 -14000

I= 6016,99//

i= I

c∗t

i= 6016,99

14000(42)

i= 1,0233%//

Una agencia de autos vende automóviles en $ 20000 con una cuota inicial del 30% determine el valor de la cuota mensual por los dos métodos.

MÉTODO DE LAGARTO

M= c (1+i (t))

M= 14000(1+0,13(4012

))

M=20066,67//

CFM= M

¿COUTAS

CFM= 20066,67

40

CFM= 501,67//

I= M-C

I= 20066,67 - 14000

I= 6066,67//

SALDO DEUDOR

VSI=C

¿COUTAS

VSI=14000

40

VSI= 350//

PRIMERA COUTA

I= C*i*t

I 1= 14000(0, 13) (1

12)

I 1=151, 67//

C1= VSI +I 1

C1= 350 + 151,67

C1 =501,67//

Segunda cuota

I 2= 13650 (0, 13) (1

12)

I 2=147,88//

C2= VSI +I 2

32

C2= 350 + 147,88

C2 =497,88//

Diferencia

d= 497,88- 501,67

d= -3,79//

Ultimo termino

U= 88- 501,67 (41)(- 6.67)

U= 339,86//

Suma:

S=402

(501,67+353,86)

S= 17110, 60//

Valor cuota mensual

VCM=S

¿CUOTAS

VCM= 17110,60

40

VCM= 427, 77//

I= M-C

I= 17110, 60 - 14000

I= 3110.60//

i= I

c∗t

i= 6016,99

14000(42)

i= 0, 55 % mensual//

DESCUENTO RACIONAL O SIMPLEFormula Dr = M –C

Dr = Descuento Racional

M = Monto

C= Capital

El 7 de diciembre se firma un documento por $ 3600ª 190 días plazo. Halle el descuento racional, si se descuenta el 5 de abril del siguiente año con una tasa del 3% mensual.

3600 3600

7 diciembre 5 abril 15 junio

341 días 95días 166días

i= 0.03 mensual.

C=M (1+i∗t ) Dr=M - C

C=3600(1+0, 03(7130

) Dr= 3600 – 3361,34

C=3361,34// Dr= 238,66//

Determine el descuento racional de un pagare de $4800 firmada el 6 de octubre del 2009 con una tasa deel17% desde su suscripción hasta

33

el 4 de abril del 2011 si se descuenta el 29 de noviembre del 2010con una tasa del 22%semestral.

4800 i=0,17

6 Octubre 29 noviembre 4 abril

279 días 333días 94 días

i= 0.22 semestral

M= C (1+i*t)

M= 4800(1+0, 17(545360

))

M= 6035,33//

C= M

(1+i∗t )

C= 6035,33¿¿

C= 5229, 92//

Dr = M – C

Dr=6035, 33 - 5229, 92

Dr= 805, 41//

El 7 de enero se firma un pagare de $5800 con una tasa del 22% trimestral este documento se tiene que pagar el 29 de diciembre del mismo año. Halle el descuento racional si se descuenta 20 días antes de su vencimiento con una tasa de 0.1% mensual.

5800 i=0,22trimestral

7 enero 9diciembre 29 diciembre

46 días 343 días 363días

i= 0.001 mensual

M= C (1+i*t)

M= 5800(1+0, 22(35690

))

M=10847, 29//

C= M

(1+i∗t )

C= 10847,29¿¿

C= 10480, 06//

Dr=M - C

Dr=4910847, 29 - 10480, 06

Dr= 7, 23//

DESCUENTO BANCARIO O BURSÁTILFormula: Db= M*d*t

Db= Descuento Bancario

M= Monto

34

d=Tasa de Descuento

t=Tiempo

Hallar el descuento bancario que un banco aplica a un cliente que descuenta un pagare de $ 7900 el día de hoy a 120 días plazo considerando un tasa del 135.

7900 7900

0 días 120 díasd= 0,13

Db=M * i*t

Db= 7900(0, 13(120360

))

Db= 342,33//

Determine el descuento bancario de un documento de 8900 firmado el 7 de febrero a 220 días plazo con una tasa del 11% si se descuenta el 1 de mayo del mismo año con una tasa del 17 % trimestral.

8900 i=0,11 9394,94

7febrero 1 mayo 15 septiembre

38 días 121 días 258 díasd= 0.17 trimestral

Db=M * i*t

Db= 9394, 94 (0, 17(13790

))

Db= 2457, 94//

DESCUENTO RACIONAL O SIMPLEDr=M- C

Descuento bancario

Db=M*d*t

C=M –C

Cb=M- M*d*t

35

Db=M(1-d*t)

M=cb

(1−d∗t)

El 7 de octubre se firma un documento de $ 5800 con una tasa del 13% a 310 días plazo. Halle el valor efectivo que se recibe si se descuenta ese documento el 5 de febrero del siguiente año 19%trimestral.

5800 i=0,13

7 octubre 5febrero 13 agosto

280 días 36 días 225 días

d= 0.19 trimestral.M= C (1+i*t) Cb=M (1-d*t)

M = 5800(1+0, 13(310360

)) Cb= 6449.28 (1+0, 19(18990

))

M= 6449.28 Cb= 3876.02

Cuanto debe solicitar Margarita en el banco pichincha para obtener $7300 con una tasa del 15% pagadero dentro de 130 días.

M= cb1.d . t

M=7300¿¿

M= 7718.06

Relación entre tasa de (i) y la tasa de descuento (d).

a) La tasa de interés simple se utiliza en el descuento racional o matemática y se aplica generalmente sobre el capital.

b) La tasa de descuento se utiliza en el descuento bancario generalmente sobre el monto.

Hallar el descuento racional y el bancario de un pagare de $8000 a 290 días plazo si le descuenta 55 días antes de su vencimiento con una tasa del 11% trimestral.

Descuento racional

C=8000¿¿

C= 7496.10Dr= M –C

Descuento bancarioCb=M(1-d*t)Cb=8000¿Cb= 7462.22Db= M- Cb

36

Dr= 8000 – 7496.10Dr= 503.90//

Db=-8000 - 7462.22Db= 537.78//

Conclusión:

El descuento racional siempre sede ser menor al descuento bancario.

La relación de la tasa queda establecida de la siguiente forma.

M=c (i+1∗t ) M= c(1−d∗t )

i= d1−d∗t

d= i1+i∗t

A que tasa de interés equivale una tasa de descuento del 22% durante 140 días.

i= d1−d∗t

i=0,22¿¿

i=24.0583 %

A que tasa de interés equivale una tasa de descuento del 25% durante 8 meses.

i= d1−d∗t

i=0,25¿¿

i=30 %

A que tasa de interés equivale una tasa de descuento del 35% durante 230 días.

d= i1−i∗t

d=0,35¿¿

d=28.6038 %

A que tasa de interés equivale una tasa de descuento del 30% durante 8 meses.

d= i1−i∗t

37

d=0,30¿¿

d=25 %

RedescuentoUna persona realiza un descuento de un pagare suscripto a 220 días plazo por $ 8700, 40 días antes de la fecha de vencimiento con una tasa del 11%, ese mismo días el banco ´pichincha redes cuenta en el banco internacional con una tasa del 7% determine el dinero que recibe el banco y la persona.

La Persona Recibe

cb=8700¿cb=8593.67

El Banco Pichincha Recibe

cb=8700¿cb=8632.34

ECUACIONES DE VALOR

Se utiliza para resolver problemas de matemáticas financiera donde se reemplaza un conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento.

Por una o varias fechas de vencimiento.

Por uno o varios previo acuerdo acreedor o deudor.

Aplicación:

1) Reemplaza un conjunto de valores deuda, obligación por un solo valor.

2) Comparación de ofertas para compra y venta 3) Para calcular el monto una serie de depósito a corto plazo.4) Para calcular el capital una serie de depósito a corto plazo.

M=c(1+i∗t)

M= c1−d∗t

C= M1+ i∗t

C=M (1−d∗t)

Monto X Capital

38

FF.

Una persona tiene las siguientes obligaciones $15000 a 60 días plazo $20000 a 1130 días plazo, 30000ª 250 días plazo $35000 a 300 días plazo .la empresa desea reemplazar todos estas obligaciones considerando una tasa a los 230 días plazo.

i= o.15%

15000 20000 30000

35000 x

60 130 250 300330

FF

x=M 1+¿M 3+M 3+M 4¿

t 1=270 t 3=80

t 2=200 t 4=30

X=15000¿

x=104791.67 /¿

En el problema anterior determine el valor de pago si lo hacemos el día de hoy.

x 15000 20000 30000 35000

0 60 130 250 300

FF

X=C1+¿C2+¿C3+¿C

4¿¿¿

x= 15000

(1+o .15( 60360 ))

+ 20000

(1+0.15 (130360 ))

+ 30000

(1+0.15 (250360 ))

+ 35000

(1+0.15 (300360 ))

39

X=91887.40/¿

En el problema # 1 hallar el valor de cada parte si la empresa realiza 2 pagas iguales a los 200 y 350 días plazo tómese como fecha focal los 200 días.

15000 20000 x 30000 35000 x

40

60 130 200 250 300 350

X=M 1+M 2 +C1 +C2−C3

X=15000(1+0.15 (140360 ))+20000(1+0.15( 70

360 ))+ 3000

(1+0,15( 50360 ))

+35000

(1+0.15 (100360 ))

+x

(1+0.15 (150360 ))

X= 99446.09//

X + 0.9411x = 99446.09

1.9411 x = 99446.09

x=99446.091.9411

x=51231.82/¿

Una persona debe $2600 a 90 días plazo con una tasa del 1.5% mensual; $ 4000 a 140 días plazo con una tasa del 6% trimestral; $ 7000 a 220 días plazo con una tasa del 6% semestral; $11000 a 300 días plazo con una tasa del 17% esta persona desea reemplazar toda estas deudas por un solo pago a los 200 días plazo con una tasa del descuento del 11% .hallar el volar de dicho pago.

M=2600¿)

M=2717 /¿

M=4000¿)

M=4373,33/¿

M=7000¿)

M=7770 /¿

M=11000 ¿)

M=12558.33 /¿

2717 4373.33 x 7770 12558.33

41

90 140 200 220 300

X=M 1+M 2 +C1 +C2

x=2717

(1−0.11( 110360 ))

+4373.33

(1−0.11( 60360 ))

+7770 (1−0.11( 20360 ))+12558.33(1−0,11( 180

360 ))x=27163.62/¿

Una persona desea vender su terreno y recibe 3 ofertas:

Primero $2000 al contado con un año plazoSegundo $ 1500 al contado y 2 letras de 1250 a los 7 y 11 meses plazo.Tercera $ 600 al contado una letra de $400 a dos meses plazo y dos letras de $1500 de cada uno a los 5 y 9 meses plazo efectivamente. determine cual oferta le conviene al vendedor si se recarga un tasa del 2% mensual.

1) 2000 2000

0 12 meses

FF

x=2000+ 2000

(1+0.02 (12 ) )

x=3612,90 /¿

x

2) 1500 1250 1250

0 7 meses 11 meses

FF

x=1500+ 1250

(1+0.02 (7 ) )+ 1250

(1+0.02 (11 ) )

x=3621,08 /¿

x

3) 600 400 1500 1500

0 2 meses 5 meses 9 meses

FF

42

x=600+ 400

(1+0.02 (2 ) )+ 1500

( 1+0.02 (5 ) )+ 1500

(1+0.02 (9 ) )

x=3619,44 /¿

Nota: Se requiere la segunda opción.

Hallar el monto de una serie de depósito de $450 que se hace durante 4 meses con una tasa del 7%.

x 450 450 450 450

1 mes 2 meses 3 meses 4meses

X=450 (1+0.07( 312 ))+450 (1+0.07( 2

12 ))+450 (1+0.07( 112 ))+450

x=1815.75 /¿

Si en el problema anterior se utiliza una taza anticipada y los meses anticipados cuales el monto.

450 450 450 450 x

X=450 (1+0.07( 412 ))+450 (1+0.07( 3

12 ))+450 (1+0.07( 212 ))+450(1+0.07 ( 1

12 ))x=1826.25 /¿

Determine el valor original si Jésica deposita $350 durante 5 meses con una tasa del 11%.

X 350 350 350 350 350

1 2 3 4 5

x= 350

(1+0.11( 512 ))

+ 350

(1+0.11( 412 ))

+ 350

(1+0.11( 312 ))

+ 350

(1+0.11( 212 ))

+ 350

(1+0.11( 112 ))

X=1703.43/¿

43

CUENTAS DE AHORRO

La señorita Avilés tiene una cuenta de ahorros en la cual realiza las siguientes transacciones:

El 10 de enero deposita $ 1500

El 13 de febrero deposita $500

El 5 de marzo retira $ 800

El 10 de abril retira $500

El 9 de mayo deposita $600

Cuanto tiene en su cuenta si se aplica una tasa de interés del 8% al final del primer semestre.

Deposita(+)

I 1=1500 (0,08 )( 170360 )

I 1=57

I 2=500 (0,08 )( 137360 )

I 2=15,22

I 3=600 (0,08 )( 52360 )

I 3=6.93

Retiro(-)

I 1=800 (0,08 )( 117360 )

I 1=20.80

I 2=500 (0,08 )( 81360 )

I 2=9

Interés a favorInteres a favor=I 1+ I 2+ I 3

Ia=57+15.22+6.93Ia=79.15

Interés en contraInteres encontra=I 1+ I 2

Ic=20.80+9Ic=29.80

Interés liquidoInteres liquido=I a−I c

Il=79 15−29.80Ic=49.35

44

Ca=1500 + 500 +600

Ca= 2600

CC.=800 + 500

CC.= 1300

Cl= 2600 – 1300

Cl= 130

M= 1300 + 49.35

M= 1349 35// al final del año.

FechaDeposito Retiro Saldo Interés

+ -10-ene 1500 1500 5713-feb 500 2000 15.22

05-mar 800 1200 20.8010-abr 500 700 9

09-may 600 1300 6.9379.15 29,8

30-jun 49.35 1349,35

La señorita xx posee una cuenta de ahorro con $2000 al 30 junio y realiza las siguientes transacciones:

El 4 de julio deposita $600

El 9 de agosto retira $700

El 20 de septiembre retira $ 300

El 20 de octubre deposita $150

El 20 diciembre retira $200

Liquide esta cuenta el 31 de diciembre con una tasa de interés del 9%.


+ -30 junio 2000 2000 92

4 julio 600 2600 279 agosto 700 1900 25,20

45

20 septiembre 300 1600 7,6520 octubre 150 1750 2,7

20 diciembre

200 1550 0,55

121,7 33,431

Diciembre88.30 1638,30

Una persona abre una cuenta de ahorros el 3 de Enero con$ 5000, el 25 de Enero retira $600, el 4 de Febrero deposita $90, el 7 de Marzo retira $800, el 20 de Abril deposita $ 1500 el 11 de Mato retira $700, el 5 de junio deposita $600 durante el segundo semestre realiza las siguientes transacciones el 2 de Julio retira $100 el 4 de Agosto deposita $300 el 9 de Septiembre retira $ 120 el 15 de Octubre deposita $700, el 20 de Noviembre retira $150,el 20 de Diciembre deposita $650cual será el saldo al 31 de diciembre si se considera un tasa del 8 y 7 % para cada una de los semestres, respectivamente la liquidación semestral.


+ -03-ene 5000 5000 197,7825-ene 600 4400 20,801-feb 90 4490 2,92

07-mar 800 3690 20,4420-abr 1300 4990 20,51

11-may 700 4290 7,7805-jun 600 4890 3,33

224,54 49,02

30-jun 175,525065,5

2 181,1302-jul 100 4965,52 3,54

04-ago 300 5265,52 8,6909-sep 120 5145,52 2,6415-oct 700 5845,52 10,4820-nov 150 5695,52 1,220-dic 650 6345,52 1,39

46

201,69 7,38

30-dic 194,316539,8

3

47

INTERÉS COMPUESTO

Tipos de interés:Interés simple: se utiliza a corto plazo h se calcula una sola vez.

Interés compuesto: se utiliza a largo plazo.

Ejemplos:Hallar el interés simple y el interés compuesto de un capital de $ 10000 colocados al 17% durante cinco periodos.

Interés simple:

M= 10000(1+0.17(5))M= 18500 //

I.s =M – C

I= 10000 – 18500I= 8500//

Interés compuestoPrimer PeriodoM=10000 (1+0.17 (1 ) )M=1170 /¿

Segundo periodoM=11700 ( 1+0.17 (1 ) )M=13689 /¿

Tercer periodoM=13689 (1+0.17 (1 ) )M=16016.13 /¿

Cuarto periodoM=16016.13 (1+0.17 (1 ) )M=18738.87 /¿

Quinto periodoM=18738.87 (1+0.17 )M=21924,48 /¿

VARIABLES

i= jm

48

n=m∗t

i=tasa de interes

j= tasa nominal

m= la convertibilidad en un año.

n= total de periodos.

Determinar el número de periodos(n) y la tasa de interés (i) durante 11 años al 13% convertible semestralmente.

i= jm

i=0,132

i=0,065

i=6,5 %

n=m∗t

n=2(11)

n=22 semestres

Hallar i durante 7 años con una tasa del 11 % capitalizable quimestralmente.

i= jm

i=0,112,4

i=0,0458

i=4,58%

n=m∗t

n=2,4(7)

n=16,8quimestral

Hallar n , i durante 5 años con una tasa de interés del 6,5% compuesta trimestralmente.

i= jm

i=0,0654

i=0,01625

i=1,625 %

n=m∗t

n=4 (5)

n=20 trimest res

Hallar n; i de un capital colocado a interés compuesto durante 12 años y 4 meses con una tasa del 20% convertible cuatrimestralmente.

i= jm

i=0,203

49

i=0,06

i=6,67 %

n=m∗t

n=3(12)

n=36cuatrimestral

n=37cuatrimestral

Hallar n; i de un capital colocado a un interés compuesto durante 4b años 10 meses con una tasa del 9% compuesta bimensualmente.

i= jm

i=0,096

i=0,015

i=1,5 %

n=m∗t

n=6(4)

n=24+5

n=29bimensual

MONTO COMPUESTO

Formula:

M=C ¿

m=c¿

Una empresa obtiene un préstamo $ 35000 a 8 años plazo con una tasa del 17% capitalizable semestralmente. Hallar el interés compuesto.

m=c¿ I= M- C

M= 35000 (1+0,17

2¿2 (8) I= 129105,24 - 35000

M= 35000(1+0,085¿16 I= 94105//

M= 129105,24//

Una empresa obtiene un préstamo de $ 25000 a 15 años plazo con una tasa del 19% capitalizable quimestralmente.

50

M= c (1+i¿n I= M- C

M= 25000 (1,07916¿36 I= 388177.38 – 25000

M= 388177.38// I= 363177,38//

CONVERTIBILIDAD CONTINÚA INSTANTÁNEAMENTE.

M=c∗e i∗t Formula

Determine el monto de un capital de $25000 a interés compuesto durante 15 años y 9 meses si la tasa de interés es:

a) 7% Efectiva.

i=0.07n= 15.75 añosM= 25000(1+ 0.07

¿15.75

M= 72566,22//

b) 7% Capitalizable Quimestralmente.i=0.02916n= 37.8 quimestralM= 25000(1+ 0.02916¿37,8

M= 74025,80//

c) 7% Compuesta Cuatrimestralmente.i=0.023n= 47,25 cuatrimestreM= 25000(1+ 0.023¿47,25

M= 74,230//

d) 7%Convertible Trimestralmente.i=0.0175n= 63 trimestral M= 25000(1+ 0.0175¿63

M= 74522,59//

e) 7% Convertible Bimensualmente.

i=0.01167n= 94.5 bimensual M= 4000(1+ 0.01167¿94.5

M= 74836,49//

f) 7% Mensual.i=0, 00583n= 189 mes M= 25000(1+ 0.00583¿189

M=75004,36//

g) 7% Compuesta diarioi=0.000194n= 5,745 días M= 25000(1+ 0.000194

¿5745

M= 76195,14//

h) 7% Convertible Instantánea O Continua.

i=0.07t = 15,745

M=c (e¿i∗t

M=25000(2,7182)¿¿¿

M= 75289,65//

51

Determinar el monto de un capital de $39000 a 9 años y 7 meses si la tasa de interés es:

a) 9% Efectiva.

i=0.09n= 7,58 añosM= 39000(1+ 0.09

¿7,58

M= 89045.15//

a) 11% Compuesta Semestralmentei=0.055n= 19,17M= 39000(1+ 0.055¿19,17

M=108846,45//

b) 12% Capitalizable Cuatrimestralmente.i=0.04n= 28,76 quimestralM= 39000(1+ 0.04¿28,76

M= 120440,66//

c) 12% Compuesta Quimestralmente.i=0.05417n= 23 cuatrimestreM= 39000(1+ 0.05417¿23

M= 131222,89//

d) 13%Convertible Trimestralmente.i=0.0475

n= 38.33 trimestral M= 39000(1+ 0.0475¿38,33

M= 230976,95//

e) 11% Convertible Bimensualmente.i=0.01833n= 57,5 bimensual M= 39000(1+ 0.018,33¿57,5

M= 110829.55//

f) 13% Mensual.i=0, 01083n= 115 mes M= 39000(1+ 0.01083¿115

M=134601,13//

g) 18% Compuesta diarioi=0.0005n= 3495días M= 39000(1+ 0.0005¿3495

M= 223771,38//

h) 9% Convertible Instantánea O Continua.

M=c (e¿i∗t

M=39000(2,7182)¿¿¿

M= 92363,85//

MONTO COMPUESTOS CON PERIODOS FRACCIONARIOS

Cuando el tiempo de un plazo no coincide con el periodo de convertibilidad se utiliza este método.

Ejemplo:

52

Determinar n en 4 años y 11 meses si se convierte semestralmente.

n=4 (12 )+11

n=596

n=956

/¿

Hallar n en 9 años 3 meses convertible quimestralmente.

n=9 (12 )+3

n=1115

n=2215/¿

Hallar n en 20 años 8 meses convertible cuatrimestre.

n=20 (12 )+3

n=2434

n=36

25/¿

Hallar n en 7 años 11 meses convertible trimestralmente

n=7 (12 )+11

n=953

n=3123/¿

Hallar n en 11 años 9 meses convertible bimensualmente.

n=11 (12 )+9

n=1412

n=7012/¿

VALOR ACTUAL CON TIEMPO FINANCIERO

53

Para resolver este tipo de problemas existen dos métodos de resolver.

1) Método matemático: se utiliza la calculadora con el valor exacto de n

2) Método comercial: se utiliza la parte entera para calcular el interés compuesto y la parte fraccionaria para el interés simple

Ejemplos:

Determinar el monto de un capital de $4700 a interés compuesto a 9 años y 7 meses con una tasa del 10 % compuesta semestralmente.

n=9 (12 )+7

6

n=1156

n=19+ 16

Año

Método matemático

M=4700¿M=11973,64 /¿

meses

Método comercial

M=4700¿M=11975,64 /¿

Determinar el monto de un capital de $8500 a 6 años y 7 meses plazo con una tasa del 13 % convertible quimestralmente.

n=9 (12 )+7

5

n=795

n=15+ 45

Método matemático

M=8500¿M=19561,73 /¿

Método comercial

M=8500¿M=19566,04//

Determinar el monto de un capital de $2800 a 9 años y 5 meses plazo con una tasa del 14 % capitalizable trimestralmente.

n=9 (12 )+5

3

n=1133

Método matemático

M=2800¿M=10230,84 /¿

Método comercial

M=2800¿M=10232,18//

54

n=37+ 23

TASA EQUIVALENTES

Tasa nominal (j) j=m¿

Es aquella que se convierte varias veces en año.

Tasa Efectiva (i) j=¿

Es aquella que actúa una sola vez en el año.

Tasa anuales de interés son diferentes periodos de convertibilidad son equivalentes, si produce el mismo interés compuesto al final de un año.

Ejemplo:

Hallar el monto de un capital de $ 100 con una tasa del 18% convertible trimestralmente.

M=100¿

M= 119,25//

Hallar el monto de un capital de $100 con una tasa efectiva del 19.252%.

M=100¿

M= 119.25//

A que tasa efectiva es equivalente una tasa nominal del 15% convertible bimensualmente.

i=¿

i=0,159693∗100

i=15,9693 % /¿

A que tasa efectiva es equivalente una tasa nominal del 8% convertible diariamente.

i=¿

i=0,083277∗100

55

i=8,3277 %/¿

A que tasa nominal capitalizable semestralmente es equivalente una tasa efectiva del 9 %.

j=2(1+0,09 ¿(12 )−1)

j=8,8061 %

A que tasa nominal convertible cuatrimestralmente es equivalente una tasa efectiva del 10 %.

j=3(1+0,1¿(13 )−1)

j=9,6840 %

A que tasa nominal capitalizable mensualmente es equivalente una tasa efectiva del 21 %.

j=12(1+0,21¿( 1

12 )−1)

j=19,2142%

Una persona desea invertir $ 55000 durante 7 años y tiene las siguientes opciones:

a) Una tasa de interés del 412 % efectiva.

i=¿

i=4,6025 % /¿

b) Una tasa de interés del4% compuesta semestralmente.

i=¿

i=0.04 % /¿

c) Una tasa del 4,8 % convertible trimestralmente.

i=¿

i=4,8871% /¿

d) Una tasa de interés 4,92% compuesta cuatrimestralmente.

i=¿

56

i=4,9805 % /¿

Le conviene invertir en la opción (d)

CALCULO DE TASA DE INTERÉS ANTICIPADA

Esta tasa se utiliza para cobrar o pagar por anticipado.

FÓRMULAS:

1+i=¿i=1−m

d¿−m−d

d=m¿

A que tasa de interés efectiva anticipada equivale una tasa anticipada del 20% convertible semestralmente.

i=¿

i=23,4568 % /¿

A que tasa de interés efectiva anticipada equivale una tasa anticipada del 17% capitalizable quimestralmente.

i=¿

i=192821 % /¿

A que tasa de interés anticipada es convertible bimensualmente es equivale una tasa efectiva anticipada del 14% .

d=6¿

d=12,9608 %

A que tasa de interés anticipada mensualmente es equivale una tasa efectiva anticipada del 15%.

d=12¿

d=13,8951%

CALCULO DE TASA DE INTERÉS EFECTIVA

i=¿

A que tasa efectiva un capital de$ 3000 se convierten $1500durante 5 años.

57

i=¿

i=¿

i=37,9730 % /¿

A que tasa anual capitalizable trimestralmente un capital de $ 8000 se convierte en $19000 en una tasa del 20% determine la tasa efectiva equivalente durante 6 años.

j4=¿ i=¿

j=146796 % i=15,5058 %

A que tasa anual convertible cuatrimestral un capital de $ 3600 se duplicara en 4,5 años determine la tasa anual efectiva equivalente.

j3=¿ i=¿

j=15,8056 % i=16,6529 %

CALCULO DE TIEMPOFORMULA:

n=log(m

c)

log(1+i)

En que tiempo un capital de $3200 se convierte en $8100 con una tasa efectiva del 10%.

n=log(m

c)

log(1+i)

n=log( 8100

3200)

log(1+0.10)

n=2anos;8meses :28dias .

En qué tiempo un capital de $8200 se convierte en 34 veces

más con una tasa 25% convertible semestralmente.

58

n=log( 14350

8200)

log(1+0,25

2)

n=2,5078

n=2años

En qué tiempo un capital de $4000 se triplicara una tasa del 8% compuesta mensualmente.

n=log( 12000

4000)

log(1+0,0812

)

n=13,7

n=13años;8meses ;16 dias.

CALCULO DEL CAPITAL Formula:

c= M¿¿

¿ M¿¿

Determiné el valor actual de una letra de cambio cuyo valor al vencimiento al final de 6 años es de $ 8900 con una tasa del 9% convertible semestralmente.

c= M¿¿

c=8900¿¿

c=5248,00 /¿

Determiné el valor actual de un documento cuyo valor es $ 5100 Durante 6 años y 6 meses con una tasa del 12% compuesta trimestralmente.

c= M¿¿

c=5100¿¿

c=2364.84 /¿

59

Determine el valor actual de $ 13800 a 7 años; 8 meses plazo con una tasa del 16 % capitalizable cuatrimestral.

c= M¿¿

c=13800¿¿

c=4180,05/¿

CALCULO DE CAPITAL CON PERIODO FRACCIONARIO

Existen dos métodos de que son el método matemático exacto y método comercial práctico.

Hallar el valor actual de un documento que al final de 7 años es de $ 5400. Halle el valor actual a los 3 años y 4 meses de la fecha de suscripción considerando un tasa del 9% compuesta semestralmente.

5400

3ª ,4m 7 años

t= 3ª ,8m

n=3 (12 )+8

6n=44

6n=7

13

//

i=0,045

Forma matemáticac=5400¿

c=3910,28//

Forma comercialc=5400¿

c=3909.43 /¿

El día de hoy se firma un documento de $ 8200 a nueve años plazo con una tasa del 13% compuesta cuatrimestralmente. Determine el valor actual de ese documento durante 2 años y 7 meses de suscripción si se aplica una tasa del 15% compuesta trimestralmente.

60

8200

2ª ,7m 9 años

t= 6ª ,5m

M=8200¿

M=25755.05//

n=6 (12 )+5

3n=77

3n=25

23

//

i=0,0375

Forma matemática

c=25755.05¿¿

c=10011,55//

Forma comercialc=25755.05 ¿c=10010,04 /¿

Después de 2 años de la fecha de suscripción se negocia un documento de $ 5000 con vencimiento de 5 años y una tasa de interés del 12% convertible semestralmente desde su suscripción calcule el valor actual con una tasa del 10% compuesta trimestralmente con una tasa del 12% capitalizable semestralmente y con una tasa del 3% efectiva. Determine si la negociación fue con premio, castigo o a la par.

5000 i=0,06

2ª 7años

t=5ª

M=5000¿

M=11304,52//

a) i= 0.025 c=11304,52 ¿n=20 c=6898,82/¿ con premio

b) i= 0.06 c=11304,52 ¿n=10 c=6312,38/¿ a la par

61

c) i= 0.03 c=11304,52 ¿n=5 c=9751,38/¿ con premio

ECUACIONES DE VALOR

M=c¿M=C ¿

C= M

1+ i¿n

C=M ¿X

Monto Capital

FF.

Una empresa tiene las siguientes obligaciones $8000 a 12 meses; $ 1500 a 18 meses plazo$3000 a 2 años plazo; 4000 a 30 meses plazo la empresa desea reemplazar todo estas deudas el día de hoy considerando una tasa del 11% convertible semestralmente.

x 800 1500 3000 4000

FF 12m 18m 24 m 30m

x=C1+¿C3+C3+C4¿

X=800¿

x=7478,37 /¿

En el problema anterior determine el valor de pago si se realiza a los 35 meses el pago con una tasa del 15% convertible trimestralmente.

800 1500 x 3000 4000 x

12m 18m 20 m 24 m 30m 35 m

FF FF

x=C1+¿C3+C3+C4¿ i= 0.0375

X=800¿

62

x=10.595,50 /¿

Enel problemaunadetermineel valor de pagosi lo hacemosa los20meses conuna

tasa del15 %convertiblequimestralmente

800 1500 x 3000 4000

12m 18m 20 m 24 m 30m

FF

x=C1+¿C3+C3+C4¿ i= 0.0625

X=800¿

x=8819,53 /¿

unidad i

Art & Photos