unidad 8 funciones lineales cuando dos...

unidad 8 Funciones lineales

cuando dos magnitudes son proporcionales Página 1

Veamos un ejemplo:

Las magnitudes x e y ligadas por la relación y = 3x son proporcionales.

Puedes comprobar que al aumentar una (doble, triple, …), la otra aumenta del mismo modo; y al disminuir una (mitad, tercera parte, …), la otra disminuye de forma análoga.

actividades

1 Di, en cada caso, si el par de magnitudes son o no proporcionales:

a) El coste de una bolsa de patatas y su peso.

b) El peso del agua en una garrafa y el volumen que contiene.

c) La longitud del lado de un cuadrado y el área de este.

d) El tiempo que lleva en marcha un tren con velocidad uniforme y el camino que ha recorrido.

e) La estatura de una persona y su peso.

Dos magnitudes son proporcionales cuando los valores de una de ellas se obtienen a partir de los de la otra, multiplicándolos por un número fijo llamado constante de proporcionalidad.

y = 3x ÄÄÄ8 7 constante de proporcionalidad

x 1 2 3 4

y 3 6 9 12

unidad 8 Funciones lineales

cómo se reresentan las relaciones de proporcionalidad

Página 2

Las funciones de proporcionalidad se representan mediante rectas que pasan por el origen de coordenadas.

Veamos el ejemplo siguiente:

Un kilo de patatas cuesta 2 E. La representación de la función peso 8 coste es una recta. Cuando la x aumenta 1 kg, la y aumenta 2 E. La constante de proporcionalidad es 2 (2 E por cada kilo). Es la pendiente de la recta.

actividades

1 Asocia cada una de las gráficas a uno de los siguientes enunciados:

a) El peso en kilos del agua es igual a su volumen en litros. b) El espacio recorrido por un tren (en kilómetros) es igual a su velocidad (120 km/h) por

el tiempo (en horas) que lleva en marcha.

1 2 3 4 5 6

100200300400500600700

Represéntalas en tu cuaderno, señala las escalas en los ejes y di cuál es la constante de proporcionalidad en cada una de ellas.

1

12345678

2 3 4 PESO (kg)

COSTE (€)

1 Completa las tablas, representa los puntos y traza las rectas que determinan.

a) y = x 8 b) y = x 8

Pendiente: m = Pendiente: m =

c) y = –3x 8 d) y = – x 8


X

Y

2

2X

Y

2

2

x –6 –3 0 3 6

y23

x –2 –1 0 1 2

y

X

Y

2

2X

Y

2

2

x –4 –2 0 2 4

y32

x –4 –2 0 4 6

y12

UNIDAD 8 Funciones lineales

Pág. 1 de 22. Refuerza: función de proporcionalidad y = mx


Pág. 2 de 22. Refuerza: función de proporcionalidad y = mx

2 Observa cada recta y escribe su pendiente (simplificada todo lo posible) y su ecuación.

a) b)


Ecuación: y = x Ecuación: =

c) d)


Ecuación: = Ecuación: =

X

Y

2

2X

Y

2

2

X

Y

2

2X

Y

2

2


Pág. 1 de 23. Refuerza: función y = mx + n

1 Representa las siguientes rectas completando previamente las tablas. Determina sus pendientes y sus ordena-das en el origen.

a) y = 3x + 2 8 b) y = x – 1 8


Ordenada en el origen: n = Ordenada en el origen: n =

c) y = 2 – 2x 8 d) y = 1 – x 8


Ordenada en el origen: n = Ordenada en el origen: n =

X

Y

2

2X

Y

2

2

x –8 –4 0 4 8

y14

x –2 –1 0 1 2

y

X

Y

2

2X

Y

2

2

x –4 –2 0 2 4

y12

x –2 –1 0 1 2

y


Pág. 2 de 23. Refuerza: función y = mx + n

2 Escribe la pendiente, la ordenada en el origen y la ecuación de cada una de estas rectas.

a) b)

m = ; n = m = ; n =

y = x + y = x + ( )

c) d)

m = ; n = m = ; n =

y = x + ( ) y = x +

X

Y

2

2X

Y

2

2

X

Y

2

2X

Y

2

2


Pág. 1 de 24. Refuerza: la ecuación punto-pendiente

1 Escribe la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por P.

a) 8 y = + (x – )

b) 8 y = + [x – ( )]

c) 8 y = + (x – )

d) 8 y = + · (x – )

2 Determina la ecuación de las siguientes rectas:

a) b)

m = ; P ( , ) m = ; P ( , )

Ecuación: y = + (x – ) Ecuación: y = + (x – )

X

Y

2

2P

X

P

Y

2

2

°¢£

m = 1P (2, –1)

°§¢§£

1m = – —

5P (5, 0)

°§¢§£

2m = – —

3P (–1, 3)

°¢£

m = 3P (1, 2)


Pág. 2 de 24. Refuerza: la ecuación punto-pendiente

c) d)

m = ; P ( , ) m = ; P ( , )

Ecuación: y = + (x – ) Ecuación: y = + (x – )

X

Y

2

2

P

XP

Y

2

2


Pág. 1 de 15. Refuerza: ecuación de la recta que

pasa por dos puntos

1 Calcula, en cada caso, la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q, y escribe la ecuación de di-cha recta usando el punto P.

a) P (4, 6); Q (3, 3)

m = =

Ecuación: y = + (x – )

b) P (2, 1); Q (–4, 4)

m = =


c) P (2, 4); Q (–3, –1)

m = =


d) P (–1, –1); Q (2, –3)

m = =

Ecuación: y = + [x – ( )]

–

– ( )( )

–

–

–

–

–

–


Pág. 1 de 26. Refuerza: forma general de la ecuación de una recta

1 Representa las siguientes rectas completando previamente la tabla de valores:

a) 2x + 3y = 1 b) 4x – y = –3

y = 8 y = 8

c) x + 4y + 6 = 0 d) 2x – 3y + 7 = 0

y = 8 y = 8

X

Y

2

2X

Y

2

2

x –2 1 4

y

x –2 2 6

y

X

Y

2

2X

Y

2

2

x –2 –1 0

y

x –1 2 5

y


Pág. 2 de 26. Refuerza: forma general de la ecuación de una recta

2 Escribe la forma general de la ecuación de la recta para los datos que se ofrecen en cada apartado.

a) P (5, 2); Q (2, –1)

Ecuación general:

b) P (2, –2); Q (–2, –1)

Ecuación general:

c) m = 1; P (–3, 2)

Ecuación general:

d) m = ; P (3, 0)

Ecuación general:

32


Pág. 1 de 27. Ayuda para elegir escalas en los ejes

1 El coste de las llamadas provinciales en cierta compañía telefónica es de 0,30 € de establecimiento de llama-da más 0,05 €/min. Dibuja la gráfica de la función que expresa el coste de las llamadas en euros al cabo de x minutos.

2 El sueldo de Sara, vendedora de coches, es de 1 000 € fijos todos los meses más una comisión de 250 € porcada coche que venda. Halla la función que expresa el sueldo de Sara un mes que haya vendido x coches ydibuja su gráfica.

y =

500

1 000

1 500

2 000

2 500

3 000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N.° DE COCHES

SUELDO (€)

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TIEMPO (min)

COSTE (€)


Pág. 2 de 27. Ayuda para elegir escalas en los ejes

1 El coste de las llamadas a móviles en cierta compañía telefónica es de 0,80 € de establecimiento de llamadamás 0,50 €/min. Dibuja la gráfica de la función que expresa el coste de las llamadas en euros al cabo de xminutos.

2 La paga que le dan a Raquel sus padres es de 5 € al mes más 0,50 € cada día que haga la cama. Halla la fun-ción que expresa el dinero que recibe Raquel al final del mes habiendo hecho la cama x días y dibuja su grá-fica.

y =

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

N.° DE VECESQUE HACE LA CAMA

PAGA (€)

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

2,40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

COSTE (€)

TIEMPO (min)

ACTIVIDADES


Pág. 1 de 38. Refuerza: estudio conjunto de dos funciones

1 Un depósito contiene 240 l de agua y recibe el caudal de un grifo que aporta 9 l por minuto. Un segundo de-pósito contiene 300 l y recibe el caudal de un grifo que aporta 4 l por minuto. ¿Cuánto tiempo pasará hastaque ambos depósitos tengan la misma cantidad de agua?

8 y = + x 8

8 y = + x 8

La reserva de agua se iguala en ambos depósitos transcurridos minutos.

250

300

350

5 10TIEMPO (min)

CANTIDAD DE AGUA (litros)

x 0 5 10

y

°¢£

Cantidad de agua (l ) en el segundo depósito (y )en función del tiempo (min) transcurrido (x ).

x 0 5 10

y

°¢£

Cantidad de agua (l ) en el primer depósito (y )en función del tiempo (min) transcurrido (x ).



2 Un depósito contiene 350 l de agua. Se le conecta una bomba que aporta 30 l por minuto a la vez que seabre un desagüe que evacúa 80 l por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?

8 y = + x 8

8 y = x 8

Cuando la cantidad evacuada es igual a la que habría sin desagüe, el depósito estará vacío.

El depósito se vacía en minutos.

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7TIEMPO (min)

CANTIDAD DE AGUA (litros)

x 0 5

y

°¢£

Cantidad de agua (l ) evacuada ( y ) en fun-ción del tiempo (min) transcurrido (x ).

x 0 5

y

°§¢§£

Cantidad de agua (l ) que habría en el depó-sito ( y ) en función del tiempo (min) trans-currido (x ) si no hubiera desagüe.



3 Un peatón sale a dar un paseo caminando a 4 km/h. Media hora más tarde sale en su busca un ciclista a10 km/h. ¿Cuánto tardará en darle alcance?

8 y = x 8

8 y = (x – ) 8

El encuentro se produce cuando ambos hayan recorrido la misma distancia. Por tanto, el encuentro se produ-

ce a los minutos de la salida del peatón.

1

2

3

4

5

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65(1 h) 1(– h) 2

TIEMPO (min)

DISTANCIA (km)

x 1/2 1

y

°¢£

Espacio recorrido por el ciclista ( y ) en fun-ción del tiempo transcurrido (x ) en horas.

x 0 1

y

°¢£

Espacio recorrido por el peatón ( y ) en fun-ción del tiempo transcurrido (x ) en horas.

unidad 8 funciones lineales cuando dos...

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