unidad 7. progresion geometrica- gonzalo revelo pabon
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Luis Gonzalo Revelo Pabón
Dpto. de matemáticas - Goretti 67
PROGRESION GEOMETRICA.
Una progresión geométrica, es una sucesión de números reales llamados términos tales que, cada uno
de ellos es igual al término anterior multiplicando por un número constante o fijo llamado razón de la
progresión geométrica, que se simboliza por la letra r. Es decir:
Dónde:
Termino enésimo.
Termino enésimo, menos uno
Razón
1, 2, 3, 4, 5, 6………
Ejemplos:
Escribir los 6 primeros términos de las progresiones geométricas cuyo primer término y razón se indican a
continuación.
a)
b)
c)
d)
e)
Ejemplos. Encontrar la razón r dadas las siguientes progresiones.
a) 1, 3, 27, 81,……….
b) 90, 30, 10, 10/3, 10/9…….
c) 3, 6, 12, 24, 48,……….
TALLER
1. Encontrar la Progresión Geométrica dada la siguiente información: a. a1 = 4; r = 3; n = 5.
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b. a1 = 3; r = -5; n = 4.
2. Indicar la razón de las siguientes progresiones geométricas: a. 7, 21, 63, 189,... b. 512, 128, 32, 8,...
c. 1, 4, 16, 64,…. d. 3, 9, 27, 81,….
e. 2, 10, 50, 250,…
f. 27, 9, 3, 1,… 3. Encontrar seis términos de una Progresión Geométrica, dada la siguiente información:
a. a1 = 2; r = 5 b. a1 = 7; r = 4. c. a1 = 2916; r = 1/3 d. a1 = 256; r = ¾
ECUACION DEL TERMINO GENERAL O ENESIMO DE UNA PROGRESION GEOMETRICA.
Dada una progresión geométrica de razón r, entonces para calcular cualquier término o el término gene-
ral o enésimo de una progresión geométrica, se aplica la siguiente ecuación:
Dónde:
Termino general o enésimo.
Primer término.
Razón.
Numero de términos
Ejemplos:
1. Calcular el término 7º de la progresión: 3, 6, 12……
.
.
. .
Remplazamos.
( )
( ) ( )
2. Calcular el octavo término de una progresión geométrica, sabiendo que el primer término es
igual a , y la razón es igual a 2.
.
.
. .
Remplazamos.
( )
( ) ( )
3. Calcular el noveno término de una progresión geométrica que tiene 9 términos, sabiendo que
el primer término igual a 2 y la razón es igual a 5.
.
.
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. .
Remplazamos.
( )
( ) ( )
COROLARIO: (Conclusión-Consecuencia) Dados dos términos cualesquiera y de una progresión
geométrica, tales que el se cumple que:
Por lo tanto, la razón geométrica es igual a: √
Ejemplos: a) En una progresión geométrica se sabe que el y . Hallar la razón r y la progre-
sión geométrica. .
.
√
√
b) En una progresión geométrica se sabe que el y . Hallar la razón r y la progre-
sión geométrica. .
.
√
√
c) El octavo término es 384 y el sexto término es 96. Formar la progresión geométrica .
.
√
√
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INTERPOLACION DE TERMINOS EN UNA PROGRESION GEOMETRICA
Si queremos intercalar entre dos números extremos a y b, de una progresión, otros n números de tal
manera que formen entre ellos una progresión geométrica, entonces la razón está definida por la si-
guiente ecuación.
√
Razón geométrica Numero de términos
Termino extremo izquierdo de la progresión geométrica.
Termino extremo derecho de la progresión geométrica.
Numero de términos a intercalar entre a y b.
Ejemplo: Intercalar entre los términos 3 y 96 cuatro números de tal manera que forman una progresión geométrica .
,
.
.
√
Remplazamos
√
√
Por lo tanto, la progresión geométrica es:
Ejemplo: Intercalar 4 términos entre 4 y 972 de modo que formen una progresión geométrica. .
,
. .
√
Remplazamos
√
√
Por lo tanto, la progresión geométrica es:
Ejemplo: Interpolar 6 terminos entre 64 y ½, de tal manera que formen una progresion geometrica. .
, .
.
√
Remplazamos
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√
√
√
√
Por lo tanto, la progresión geométrica es:
Taller
1. Hallar el término decimo de la progresión geométrica: 2, 4, 8,… Solución
2. Hallar el término decimo de la progresión geométrica: 1/64, 1/32, 1/16… Solución
3. El término de una progresión geométrica vale 324 y la razón vale 3. Hallar . Solución 4
4. Calcular el octavo término de la progresión geométrica: 3, 6, 12, 24…. Solución:384
5. En una progresión geométrica y . Encontrar el término quinto. Solución: 160.
6. En una progresión geométrica y , encontrar la razón y los 5 primeros términos de
la progresión geométrica.
7. En una progresión geométrica y , encontrar la razón y los 4 primeros términos
de la progresión geométrica.
8. En una progresión geométrica y , encontrar la razón y los 4 primeros términos de
la progresión geométrica.
9. En una progresión geométrica y la razón es igual a 0,5. Hallar el término octavo. solu-
ción
10. En una progresión geométrica y . Hallar la razón y el primer término.
11. Intercalar 3 términos entre 7 y 567 de modo que resulte una progresión geométrica. Solución:
7, 21, 63, 189, 567…
12. Intercalar 4 términos entre 2 y 486 de modo que resulte una progresión geométrica. Solución:
2, 6, 18, 54, 162, 486…
13. Intercalar 5 términos entre 1 y 4096 de modo que resulte una progresión geométrica. Solución:
1, 4, 16, 64, 256, 1024, 4096….
14. Intercalar 2 términos entre 50 y 400 de modo que resulte una progresión geométrica. Solución:
50, 100, 200, 400…
15. Intercalar 2 términos entre 6 y 3072 de modo que resulte una progresión geométrica. Solución:
6, 48, 384, 3072.
SUMA DE TERMINOS EN UNA PROGRESION GEOMETRICA.
Para encontrar la suma de los n términos consecutivos de una progresión geométrica, aplicamos la si-
guiente ecuación:
(
)
: Suma de los n primeros términos de la P.G.
: Primer término de la P.G
: Razón de la progresión geométrica.
: numero de términos.
Ejemplo: Hallar la suma de los 5 primeros términos de la progresión geométrica. 3, 6, 12, 24, 48, 96
(
)
= 5
=?
= 3
=2
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( )
( )
Ejemplo: Hallar la suma de los 8 primeros términos de la progresión geométrica. 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280
(
)
= 8 =?
= 5
=2
( )
( )
= 1.275
Ejemplo: ¿Cuál es la suma de los 4 primeros términos de la progresión geométrica. 2, 10, 50, 250, 1250.
(
)
= 4 =?
= 2
=5
( )
( )
= 312
PRODUCTO DE TERMINOS EN UNA PROGRESION GEOMETRICA.
el producto de n terminos consecutivos de una progresion geometrica es igual a la raiz cuadrada de la
potencia n-ésima del producto de los dos numeros o terminos extremos . Es decir:
√( )
Ejemplo Dada la siguiente: 1, 3, 9, 27, 81…… encontrar el producto de los 5 primeros términos de la progresión
geométrica.
.
.
.
.
√( )
√( )
√( )
√
Ejemplo Dada la siguiente: 2, 6, 18, 54, 162…… encontrar el producto de los 4 primeros términos de la progre-
sión geométrica.
.
.
.
.
√( )
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√( )
√( )
√
Taller
1. En una progresión geométrica y , encontrar la razón y la suma de los 5 primeros
términos de la progresión geométrica. Solución:
2. En una progresión geométrica y , encontrar la razón y la suma de los 4 prime-
ros términos de la progresión geométrica. Solución:
3. En una progresión geométrica y , encontrar la razón y la suma de los 4 primeros
términos de la progresión geométrica. Solución:
4. El tercer término de una progresión geométrica vale 80 y la razón es 4. Encontrar la suma de los
cinco primeros términos. Solución:
5. La razón de una progresión geométrica es 3 y el tercer término vale 45. Hallar la suma de los
ocho primeros términos. Solución:
RESUMEN
PROGRESIÓN ARITMÉTICA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
( )
Termino Enésimo o general
( )
Termino Enésimo o general
Dados 2 términos de una Progresión Aritmética
( )
Dados 2 términos de una progresión Geométrica
√
Interpolación en una Progresión Aritmética
a ⏟
b
Interpolación en una Progresión Geométrica
a ⏟
b
√
Suma de los n primeros términos de una PA
* ( ) +
Suma de los n primeros términos de una PG
(
)