unidad 6 regulares y pirámides -...

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Sistema didrico: poliedrosregulares y pirmides6

UNIDAD

a representacin de los poliedros debe abordarse desde la comprensin de sus

propiedades. Despus de definir los poliedros, sus caractersticas y elementos,

se plantea el estudio de los poliedros regulares: sus condiciones de existencia,

seccin principal y representacin en distintas posiciones.

La representacin de los poliedros regulares se realiza obteniendo primero la proyec-

cin horizontal, hallando, a continuacin, la cota de los vrtices mediante el abatimien-

to de la seccin principal y trazando, por ltimo, lneas de referencia hasta dichas cotas

para obtener la segunda proyeccin de los vrtices. El trazado de las aristas debe rea-

lizarse cara a cara , comenzando por las ms prximas al observador, que sern vistas,

y terminando con las ms alejadas, que pueden ser ocultas.

Con el estudio de esta Unidad nos proponemos alcanzar los siguientes objetivos:

1. Utilizar las propiedades de los poliedros regulares para representarlos en distintasposiciones, en didrico.

2. Realizar construcciones basadas en las relaciones entre los poliedros regulares yen el conocimiento de sus elementos y propiedades.

3. Realizar secciones de poliedros por planos e intersecciones por rectas.

4. Obtener el desarrollo de cualquier poliedro regular y de la pirmide.

L

Icosaedro (modificacin de la fotografa: Enegono del Banco de imgenes del ISFTIC)

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1. TETRAEDRO, OCTAEDRO E ICOSAEDRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

1.1. Superficie polidrica y poliedro. Los poliedros regulares: condiciones de existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

1.2. Propiedades de los poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

1.3. Seccin principal y desarrollo del tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

1.4. Tetraedro con una cara contenida en el plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

1.5. Tetraedro apoyado por una arista en el plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

1.6. Seccin principal y desarrollo del octaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

1.7. Octaedro con una diagonal perpendicular al plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

1.8. Octaedro con una cara contenida en el plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

1.9. Seccin principal y desarrollo del icosaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

1.10. Icosaedro con una diagonal perpendicular al plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

2. CUBO Y DODECAEDRO. INTERSECCIN DE LOS POLIEDROS REGULARES CON PLANOS Y RECTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

2.1. Seccin principal y desarrollo del cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

2.2. Cubo con una cara contenida en el plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

2.3. Cubo con una diagonal perpendicular al plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

2.4. Seccin principal y desarrollo del dodecaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

2.5. Dodecaedro con una cara contenida en el plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

2.6. Seccin de un poliedro regular por un plano oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

2.7. Interseccin de un poliedro regular con una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3. PIRMIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.1. Pirmide: definicin y clasificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.2. Pirmide regular apoyada por una cara lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.3. Homologa entre las proyecciones de las secciones planas de una pirmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

3.4. Aplicacin de la homologa a la obtencin de secciones planas de una pirmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

3.5. Desarrollo de la pirmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3.6. Interseccin de la pirmide con una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

N D I C E D E C O N T E N I D O S

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1. Tetraedro, octaedro e icosaedro1.1. Superficie polidrica y poliedro. Los poliedrosregulares: condiciones de existencia

Poliedro es el slido terminado por superficies planas. Dos superficies contiguas delpoliedro se encuentran en una arista. Tres o ms superficies y sus aristas comunes se

encuentran en un vrtice. La superficie que lo limita se llama polidrica y est formada porun nmero finito de polgonos llamados caras, dispuestos de tal modo que cada uno de sus

lados pertenece a dos polgonos que estn en distinto plano [Ilustracin 1].

Un poliedro es convexo si el plano de cada cara deja a las dems en un mismo semiespacio,

de los dos en que el plano divide el espacio. Ser cncavo en caso contrario.

Se llama regular a un poliedro convexo cuyas caras son polgonos regulares igualesy en cuyos vrtices concurren el mismo nmero de ellas. Irregular es cualquier poliedroque no sea regular.

En un poliedro convexo los puntos del espacio comprendidos entre los planos que concurrenen un vrtice forman un ngulo poliedro. En un poliedro regular, la suma de los ngulos delos polgonos regulares que concurren en un vrtice debe ser menor que 360 para formar el

ngulo poliedro, lo que limita la existencia de los poliedros regulares a cinco [Ilustracin 2]:

Cuando las caras son tringulos equilteros se puede formar un tetraedro regular siconcurren 3 caras en un vrtice, un octaedro regular si lo hacen 4 y un icosaedroregular con 5, pero 6 caras daran un ngulo poliedro de 6 60 = 360.

Cuando las caras son cuadrados se puede formar un cubo o hexaedro regular si concurren3 caras en un vrtice, pero 4 daran un ngulo poliedro de 4 90 = 360.

Cuando las caras son pentgonos regulares se puede formar un dodecaedro regularsi concurren 3 caras en un vrtice, pero 4 daran un ngulo poliedro de 4 108 > 360.

Ilustracin 1

SISTEMA DIDRICO: POLIEDROS REGULARES Y PIRMIDES

6UNIDAD

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Cuando las caras son hexgonos regulares y concurren 3 en un vrtice daran un ngulo

poliedro de 3 120 = 360, no pudiendo formarse ningn poliedro, ni tampoco con polgonosregulares de 7, 8, ... lados.

1.2. Propiedades de los poliedros regulares

Los poliedros regulares tienen un centro que, a su vez, es el centro de las esferas[Ilustracin 3 izquierda]:

Inscrita, tangente a las caras en su centro.

Tangente a las aristas en su punto medio.

Circunscrita, que pasa por los vrtices.

Ilustracin 2

Ilustracin 3 Animacin

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6UNIDADSe llama seccin principal del poliedro regular [Ilustracin 3 derecha] a la realizada por un

plano de simetra que contenga la mayor cantidad posible de sus principales magnitudes:

Centro O y radios Ri, Rt, Rc de las tres esferas: inscrita, tangente a las aristas y circunscrita.

Arista del poliedro a, que es tambin el lado de una cara.

Diagonal del poliedro D y de una cara d (la seccin principal del dodecaedro de la figurano la contiene).

Altura del poliedro (la tienen slo el tetraedro y el cubo por ser adems pirmide y prisma)

y de una cara h.

Distancia entre caras m o aristas opuestas n.

Se llaman poliedros regulares conjugados a aquellos poliedros que se obtienen, uno apartir del otro, uniendo los centros de sus caras [Ilustracin 4]:

El tetraedro es conjugado de s mismo.

El octaedro lo es del cubo.

El icosaedro lo es del dodecaedro.

1.3. Seccin principal y desarrollo del tetraedroLa seccin principal del tetraedro se obtiene al cortarlo por un plano que contiene una

arista y el punto medio de la opuesta. Es un tringulo issceles de base la arista y lados la

altura de la cara. En la Ilustracin 5 aparecen las principales magnitudes:

Centro O y radios GO GP , GO GN , GO GB de las esferas inscrita, tangente a las aristas y circunscrita.

Arista del tetraedro GAGB.

Altura del tetraedro GBGP y de una cara GB GM.

Distancia entre aristas opuestas GMGN.

Ilustracin 4

153

El desarrollo del tetraedro est formado por 4 tringulos equilteros de lado igual a la arista

[Ilustracin 5 derecha].

1.4. Tetraedro con una cara contenida en el planohorizontal

Sea a la arista [Ilustracin 6].

A2

D2

D1

B2 C2

a

A1

B1

C1

M1

(C)

(D)

(M)

M2

Ilustracin 6


154


6UNIDADLa primera proyeccin est formada por la cara contenida en el plano horizontal

dividida en tres tringulos issceles iguales, que son proyeccin de las otras tres.

La primera proyeccin de la cara contenida en el plano horizontal se construye trazando

el lado A1C1 = a con la inclinacin que se desee respecto a l. t. y los arcos de radio a y cen-tros en A1 y C1. Las perpendiculares desde cada vrtice a su lado opuesto se cortan en laprimera proyeccin D1 del vrtice superior, que se une con A1, B1 y C1.

Se abate la seccin principal CDM sobre el plano horizontal tomando como charnela ellado CM = C1M1. Los vrtices C = C1, M = M1 son puntos dobles y el tercero D, en su posi-cin abatida (D), es el punto de corte del arco de centro C1 y radio a con su direccin de aba-timiento, que es la perpendicular a C1M1 desde D1. La distancia GD1(G G GD) es la altura del tetrae-dro, que coincide con la cota del vrtice D.

Se trazan lneas de referencia desde A1, B1 y C1 hasta l. t. y desde D1 hasta la cota GD1(G G GD),obteniendo A2, B2, C2 y D2 respectivamente, que unidos entre s dan las segundas proyec-ciones de las aristas del tetraedro.

1.5. Tetraedro apoyado por una arista en el planohorizontal


La primera proyeccin est formada por el cuadrado cuya diagonal es la arista conteni-da en el plano horizontal, que es proyeccin de las dos caras ocultas que concurren en ella,y la diagonal que es proyeccin de la arista opuesta, en la que se unen las otras dos caras.

Ilustracin 7

155

Se traza con lnea discontinua la diagonal A1B1 = a y la mediatriz que la corta en su centroM1. Se trazan arcos de centro M1 y radio M1A1, que cortan a la mediatriz en los extremos dela otra diagonal C1D1, que se dibujar con lnea continua, as como los lados del cuadrado.

Se abate la seccin principal ABM sobre el plano horizontal tomando como charnela ellado AB = A1B1. Para ello, se precisa conocer la altura de una cara que puede obtenerseconstruyendo el tringulo equiltero A1B1E. Al abatir, los vrtices A1, B1 son puntos dobles yel tercero M, en su posicin abatida (M), es el punto de corte del arco de centro A1 y radioGMG1GE con su direccin de abatimiento, que es la perpendicular a A1B1 desde M1. La distanciaGM1(G G GM) es la cota del punto M y de la arista CD.

Se trazan lneas de referencia desde A1, B1 hasta l. t. y desde C1, D1 hasta la cota GM1(G G GM),obteniendo A2, B2, C2 y D2 respectivamente, que unidos entre s, dan las segundas proyeccio-nes de las aristas del tetraedro. En la primera proyeccin puede verse cmo las caras DCB yDAB, ms prximas al observador, al realizar la proyeccin vertical, ocultan la arista AC.

1.6. Seccin principal y desarrollo del octaedro

La seccin principal del octaedro se obtiene al cortarlo por un plano que contiene una dia-

gonal y es perpendicular a dos aristas opuestas. Es un rombo de lado igual a la altura de una

cara y diagonales iguales a la arista y la diagonal del octaedro.

En la Ilustracin 8 aparecen las principales magnitudes:

Centro O y radios GO GE , GO GC , GO GB de las esferas inscrita, tangente a las aristas y circuns-crita, respectivamente.

Diagonal del octaedro GB GD.

Altura de la cara del octaedro GA GD.

Distancia entre caras opuestas GEGF y entre aristas opuestas GA GC, que coincide con la lon-gitud de la arista del octaedro.

El desarrollo del octaedro est formado por 8 tringulos equilteros de lado igual a la arista

[Ilustracin 8 derecha].


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6UNIDAD1.7. Octaedro con una diagonal perpendicular alplano horizontal


La primera proyeccin est formada por un cuadrado, de lado igual a la arista, divi-dido en cuatro tringulos issceles, que son proyeccin de cuatro caras vistas y otrascuatro ocultas que se confunden al proyectarlas.

Se transporta la arista a = A1B1 y se construye el cuadrado A1B1C1D1 tomndola comolado. Las diagonales se cortan en las primeras proyecciones E1, F1 del vrtice superior F einferior E.

Las primeras proyecciones A1C1 y B1D1 de las diagonales del octaedro son paralelas alplano horizontal y estn, por tanto, en verdadera magnitud. La segunda proyeccin E2F2 dela diagonal EF tambin lo est, lo que facilita la cota de los vrtices E, F, situndose losdems a media altura.

Se trazan lneas de referencia desde E1 hasta l. t., desde A1, B1, C1, D1 hasta la cota iguala GA1GE1 y desde F1 hasta la cota igual a GA1GC1, obteniendo E2, A2, B2, C2, D2 y F2 respectiva-mente, que unidos entre s, dan las segundas proyecciones de las aristas del octaedro. En la

primera proyeccin puede verse cmo las caras BCE y CDE, ms prximas al observador alrealizar la proyeccin vertical, ocultan la arista AC.

A2 D2

D1

B2 C2

a

A1

B1

C1

E2

F2

E1 F1

Ilustracin 9

157

1.8. Octaedro con una cara contenida en el planohorizontal


La primera proyeccin est formada por: la cara oculta A1B1C1, contenida en el planohorizontal; el tringulo equiltero D1F1E1, simtrico de ella respecto al centro, que esproyeccin de la cara opuesta y vista; el hexgono regularA1B1C1D1F1E1 que es proyeccindel contorno del octaedro, formado por aristas de las otras seis caras, tres vistas y tresocultas.

Se construye, con lnea discontinua, el tringulo equiltero A1B1C1 de lado igual a la aristaa. El punto de corte de sus alturas es el centro de la circunferencia circunscrita, que las cortaen los vrtices del tringulo equiltero de la cara superior. El hexgono definido por los vrtices

de ambos tringulos completa la primera proyeccin del octaedro.

Se abate la seccin principal ANDM sobre el plano horizontal, tomando como charnela ellado AN = A1N1. Al abatir, los vrtices A = A1, N = N1 son puntos dobles, y el vrtice M, en suposicin abatida (M), es el punto de corte del arco de centro A1 y radio la altura de la caraGA1GN1 con su direccin de abatimiento, que es la perpendicular a A1N1 desde M1. La distanciaGM1(G G GM) es la cota del punto M y de la cara superior DEF.

Se trazan lneas de referencia desde A1,B1,C1 hasta l. t. y desde D1,E1,F1 hasta la cota GM1(G G GM),obteniendo A2, B2, C2, D2, E2, F2 respectivamente que, unidos entre s, dan las segundas proyeccionesde las aristas del octaedro. En la primera proyeccin puede verse cmo las caras DCB, CDF, CFA,ms prximas al observador, al realizar la proyeccin vertical ocultan las aristas BE y EA.

Ilustracin 10

158


6UNIDAD1.9. Seccin principal y desarrollo del icosaedro

La seccin principal del icosaedro se obtiene al cortarlo por un plano que contiene dos

aristas opuestas. Es un hexgono irregular con un eje de simetra, dos lados paralelos a l e

iguales a la arista, y los otros cuatro iguales a la altura de una cara.


Centro O y radios GO GQ , GO GN , GO GA de las esferas inscrita, tangente a las aristas y circuns-crita, respectivamente.

Arista del icosaedro GAGB.

Diagonal del icosaedro GAGD.

Altura de la cara del icosaedro GBGC.

Distancia entre caras opuestas GPGQ y entre aristas opuestas GMGN.

El desarrollo del icosaedro est formado por 20 tringulos equilteros de lado igual a la

arista [Ilustracin 11 derecha].

1.10. Icosaedro con una diagonal perpendicular alplano horizontal


La primera proyeccin est formada por: un pentgono regular A1B1C1D1E1 de ladoigual a la arista a, dividido en cinco tringulos issceles que son proyeccin de las cincocaras inferiores ocultas; la figura simtrica de sta respecto al centro K1, que esproyeccin de las cinco caras superiores; el decgono regular definido por los vrticesde ambas figuras, que es proyeccin del contorno que forman los lados de las diez carasintermedias.


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Se construye, con lnea discontinua, el pentgono regular A1B1C1D1E1 de lado igual a laarista a, y los segmentos de altura que lo dividen en 5 tringulos. Para ello se obtienensucesivamente: la diagonal d, de la cual el lado a es seccin urea, el tringulo A1B1D1, formadopor dos diagonales y un lado, y los vrtices C1, E1.

Se dibuja con trazo continuo la figura simtrica de la obtenida, respecto a K1, y el decgonoA1, B1, C1, D1, E1, F1, G1, H1, I1, J1.

Se abate la seccin principal KANLHM sobre el plano horizontal, tomando como charnelala traza 1 = A1H1 del plano vertical que la contiene. Previamente se obtiene, sobre el dato a,la altura h de una cara, y a continuacin se abaten los vrtices siguiendo estos pasos:

(K) = K1 por tratarse de un punto doble y (A), (N), (L) se encuentran en el punto de cortede sus direcciones de abatimiento con arcos trazados sucesivamente de centros K1, (A),(N) y radios a, h, h.

(M), (H) son los puntos de corte de sus direcciones de abatimiento con paralelas a 1trazadas desde (A) y (H).

Se trazan paralelas a l. t. cuyas cotas sean GA1(G G GA) , GN1(G G GN) , GL1(G G GL) para obtener las segun-das proyecciones de los vrtices, mediante lneas de referencia.

Los pentgonos A2B2C2D2E2 y F2G2H2I2J2 se proyectan segn rectas paralelas a l. t. quedividen la segunda proyeccin del icosaedro en tres zonas, en las que sucesivamente deben

trazarse las aristas vistas y ocultas.

Ilustracin 12

160


6UNIDAD

2. Cubo y dodecaedro. Interseccin de lospoliedros regulares con planos y rectas2.1. Seccin principal y desarrollo del cubo

La seccin principal del cubo se obtiene al cortarlo por un plano que contiene dos aristas

opuestas. Es un rectngulo que tiene dos lados iguales a la arista y los otros dos a la diago-

nal de una cara.


Centro O y radios GO GE , GO GM , GO GA de las esferas inscrita, tangente a las aristas y circuns-crita, respectivamente.

Arista, altura del cubo y de una de sus caras GAGD.

Diagonal del cubo GAGC y de una cara GAGB.

Distancia entre caras opuestas GAGD y entre aristas opuestas GAGB.

El desarrollo del cubo est formado por 6 cuadrados de lado igual a la arista [Ilustracin

13 derecha].


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2.2. Cubo con una cara contenida en el plano horizontalSea a la arista [Ilustracin 14].

La primera proyeccin es un cuadrado.

La primera proyeccin de la cara contenida en el plano horizontal se construye trazando

el lado A1B1 = a, con la inclinacin que se desee respecto a l. t., el lado A1D1 perpendicular al, y los lados D1C1 y B1C1, paralelos a ellos. La proyeccin horizontal de la cara superiorE1F1G1H1 coincide con la de la inferior A1B1C1D1.

Se trazan lneas de referencia desde A1, B1, C1, D1 hasta l. t. para obtener A2, B2, C2, D2,prolongndolas hasta la cota a, para obtener E2, F2, G2, H2. La proyeccin vertical de la aris-ta AE es oculta.

2.3. Cubo con una diagonal perpendicular al planohorizontal


La primera proyeccin de las tres caras superiores del cubo son tres rombos quecomponen un hexgono regular. Su figura simtrica respecto al centro del hexgono es laprimera proyeccin de las tres caras inferiores, que estn ocultas.

Se construye, sobre el dato a, la diagonal d de la cara y la seccin principal del cubo, quees un rectngulo de lados d y a, cuya diagonal es la del cubo g.

Ilustracin 14

162

Se elige la primera proyeccin A1B1 de la diagonal del cubo, que est en posicin vertical,y la de la traza 1 del plano vertical que contiene a la seccin principal ACBD, de la cual formaparte.

Se abate la diagonal A1B1, de longitud g, sobre el plano horizontal, tomando comocharnela la traza 1. Se dibuja la seccin principal abatida (A)(C)(B)(D) a partir de sudiagonal (A)(B) mediante arcos de radios d y a. Se obtiene la primera proyeccinA1C1B1D1 de la seccin principal, la circunferencia de centro A1 y radio GA G1GC1, y el hex-gono regular C1G1E1D1F1H1 inscrito en ella. Se completa el trazado de la primera proyeccindel cubo con la de las aristas vistas B1C1, B1E1, B1F1 y ocultas B1G1, B1D1, B1H1.

Se trazan lneas de referencia desde A1 hasta l. t., desde G1, D1, H1 hasta la cota GD1(G G GD),desde C1, E1, F1 hasta la cota GC1(G G GC) y desde B1 hasta la cota GB1(G G GB), obteniendo A2, G2, D2,H2, C2, E2, F2 , B2 respectivamente, que unidos entre s dan las segundas proyecciones delas aristas del cubo. En la primera proyeccin puede verse cmo las caras AHCG, AHFD,BFHC, ms prximas al observador, al realizar la proyeccin vertical, ocultan las aristas queconcurren en E.

Ilustracin 15


6UNIDAD

163

2.4. Seccin principal y desarrollo del dodecaedro

La seccin principal del dodecaedro se obtiene al cortarlo por un plano que contiene dos

aristas opuestas. Es un hexgono irregular con un eje de simetra, dos lados paralelos a l e

iguales a la arista, y los otros cuatro iguales a la altura de una cara.


Centro O y radios GO GM , GO GA , GO GB de las esferas inscrita, tangente a las aristas y cir-cunscrita, respectivamente.

Arista del dodecaedro GBGC.

Diagonal del dodecaedro GBGE.

Altura de la cara del dodecaedro GAGB.

Distancia entre caras opuestas GMGN y entre aristas opuestas GAGD.

El desarrollo del dodecaedro est formado por 12 pentgonos regulares de lado igual a la

arista [Ilustracin 16 derecha].

2.5. Dodecaedro con una cara contenida en el planohorizontal


La primera proyeccin de las seis caras superiores del dodecaedro est formadapor un pentgono regular, rodeado de cinco pentgonos irregulares adyacentes,cuyos lados libres forman un decgono regular. Su figura simtrica respecto al centro deldecgono es la primera proyeccin de las seis caras inferiores, que estn ocultas.

Se construye, con lnea discontinua, el pentgono regular A1B1C1D1E1 de lado igual a laarista a, que es la primera proyeccin de la cara ABCDE contenida en el plano . Para ellose obtiene previamente su diagonal d, de la cual el lado a es seccin urea.


164

Para hallar el radio de la circunferencia circunscrita del decgono regular se puede considerar

la cara ABCDE abatida de la ABGKF, siendo 1 la charnela. La proyeccin F1 de F ser homlogade su abatida E1 = (F) y se encontrar en el punto de corte de la direccin de afinidad E1F1con el eje de simetra A1M1 del dodecaedro.

Las alturas del pentgono proyeccin de la cara inferior determinan el centro Z1, de lacircunferencia de radio GZG1GF1, a la cual cortan en los vrtices del contorno horizontal F1, Q1, J1,P1, I1, O1, H1, L1, G1, K1. Se traza el decgono regular que definen con lnea continua, y lossegmentos GA G1GF1, GB G1GG1, GC G1GH1, GD G1GI1, G GE G1GJ1 con lnea discontinua, para obtener la proyeccin delas cinco caras unidas a la ABCDE.

La figura simtrica de la obtenida respecto a Z1, trazada con lnea contina, es la proyeccinde las seis caras restantes.

Se abate la seccin principal AFNTOM sobre el plano horizontal, tomando como charnelala traza 1 = A1M1del plano vertical que la contiene, siguiendo estos pasos:

Ilustracin 17


6UNIDAD

165

A1 = (A) y M1 = (M) por tratarse de puntos dobles y (F), (N) se encuentran en el punto decorte de sus direcciones de abatimiento con arcos trazados sucesivamente de centros

A1, (F) y radios la arista a y la altura h de la cara.

(GMG)G(OG ) y (GOG)G(TG ) se trazan paralelas a (GF)G(NG ) y (GAG)G(FG ) .

Se trazan paralelas a l. t. cuyas cotas sean GF1(G G GF) , GO1(G G GO) , GT1(G G GT) para obtener las segundasproyecciones de los vrtices mediante lneas de referencia. Para dibujar las segundas

proyecciones de las aristas se empieza por las cinco caras unidas a la A2B2C2D2E2, que seproyectan sobre la l. t..

2.6. Seccin de un poliedro regular por un plano oblicuoPara obtener la seccin de un poliedro por un plano oblicuo se realiza un cambio de plano

que site al plano en posicin de canto.

Sean 1, 2 las trazas del plano, estando el cubo definido por sus proyecciones [Ilustracin 18].

Se elige la lnea de tierra del nuevo sistema {VH} perpendicular a 1. La nueva traza vertical2 se obtiene mediante una horizontal de plano h. La primera proyeccin h1 se mantiene y lasegunda h2, que coincide con Vh, es un punto situado a la misma cota que tiene h2. Se traza 2pasando por Vh y por el punto de corte de 1 con l. t..

2

1

h2

h1

Vh

2

Vh V

H

VHA2

D2

D1

B2

C2

A1B1

C1

E2 F2

F1

G1

H1

G2H2A2

D2

B2

C2

E2

F2

G2

H2

E1

I2

I1

I2

Ilustracin 18

166


6UNIDADLa segunda proyeccin de los vrtices del cubo en el nuevo sistema se obtiene trazando

lneas de referencia desde su proyeccin primera y llevando la misma cota que tienen en el

primer sistema. Para trazar las aristas conviene hacerlo cara a cara, empezando por las ms

prximas al observador.

La proyeccin vertical de la seccin en el nuevo sistema coincide con la traza 2, y la hori-zontal, igual en ambos sistemas; se obtiene mediante lneas de referencia. Por ejemplo, el

punto I2 es el punto de corte de la traza 2 con la proyeccin B2F2 de la arista BF y su lneade referencia corta a B1F1 en I1.

La proyeccin vertical de la seccin en el primer sistema se obtiene tambin mediante

lneas de referencia. As, la lnea de referencia trazada desde I1 corta a B2F2 en I2.

2.7. Interseccin de un poliedro regular con una rectaLos puntos de interseccin de un poliedro con una recta son los de corte con la seccin

por un plano proyectante que la contenga.

Sea el octaedro dado por sus proyecciones y r1, r2 las proyecciones de la recta [Ilustracin 19].

Se halla la seccin del octaedro por el plano vertical que contiene a r. La proyeccinhorizontal coincide con la traza 1, y la vertical se obtiene mediante lneas de referencia. Porejemplo, K1 es el punto de corte de la traza 1 con la proyeccin A1F1 de la arista AF y sulnea de referencia corta a A2F2 en K2.

Los puntos de corte I2, J2 de r2 con la segunda proyeccin de la seccin son las segundasproyecciones de los puntos de interseccin de recta y octaedro, cuyas primeras proyeccio-

nes I1, J1 se obtienen mediante lneas de referencia.

Ilustracin 19

167

3. Pirmide3.1. Pirmide: definicin y clasificacin

Pirmide es el poliedro cuyas caras son tringulos con un vrtice comn exceptouna, llamada base, que es el polgono formado por los lados opuestos a dicho vrtice.La pirmide se llamar triangular, cuadrangular, pentagonal,... segn que la base sea un

tringulo, cuadriltero, pentgono... Segn sea la base, convexa o cncava, as ser la pir-

mide [Ilustracin 20].

Las caras y aristas que concurren en el vrtice comn, llamado vrtice de la pirmide, reci-

ben el nombre de laterales.

La distancia del vrtice al plano que contiene a la base de la pirmide es la altura.

Si la base es un polgono regular y el pie de la altura coincide con su centro, la pirmide

se llama regular. Si alguna de dichas condiciones no se cumple la pirmide ser irregular.

La altura de las caras laterales de una pirmide regular se llama apotema.

3.2. Pirmide regular apoyada por una cara lateralSea l el lado de la base y h la altura de una pirmide regular hexagonal [Ilustracin 21].

Se representa la pirmide en un sistema {VH} con la base apoyada en el plano horizontal.Para ello, sobre una perpendicular a l. t. se transporta el lado l de la base y se construye elhexgono regular A1B1C1D1E1F1 . Los seis tringulos issceles en que las diagonales dividenal hexgono son proyeccin de sus caras laterales, cuyo vrtice comn es G1.


168


6UNIDAD

Se trazan lneas de referencia desde A1, B1, C1, D1, E1 hasta l. t. y desde G1 hasta la cotah, obteniendo A2, B2, C2, D2, E2 y G2 respectivamente, que unidos entre s, dan las segundasproyecciones de las aristas de la pirmide.

Se efecta un cambio de plano horizontal, eligiendo ste de modo que coincida con la cara

DEG de la pirmide. Para ello se elige la lnea de tierra del sistema {VH} pasando por D2, E2y G2. Las primeras proyecciones A1, B1, ... de los vrtices en el sistema {VH} se obtienentransportando sus alejamientos sobre las lneas de referencia perpendiculares a la nueva l.t., a partir de ella. Al unir los vrtices para obtener las proyecciones de las aristas convieneempezar por la base.

La representacin de la pirmide en el sistema {VH} cumple los objetivos de la construccin.

3.3. Homologa entre las proyecciones de las sec-ciones planas de una pirmide

En la Ilustracin 22 la base de la pirmide est contenida en el plano horizontal, y se ha

efectuado su seccin por un plano . Se puede interpretar este hecho diciendo que unaradiacin de vrtice V es seccionada por los planos y horizontal, produciendo dos figurashomolgicas.

Ilustracin 21

169

Al proyectar el conjunto en el plano horizontal, las primeras proyecciones de la base de la

pirmide y de su seccin por el plano sern figuras homolgicas. El centro de homologaes la proyeccin primera V1 del vrtice V de la pirmide; el eje de homologa es la traza 1;y la recta lmite la traza 1 del plano paralelo a , que pasa por el vrtice V.

As, podemos ver que la recta A1B1 es homloga de la recta A1B1 y los puntos A1 y B1son homlogos de los puntos A1 y B1 respectivamente.

3.4. Aplicacin de la homologa a la obtencin desecciones planas de una pirmide

Sean 1, 2 las trazas del plano, estando la pirmide definida por sus proyecciones[Ilustracin 23].

Se halla la seccin de la arista GF (o de cualquier otra) con el plano. Para ello se traza elplano de canto , de modo que su traza vertical 2 coincida con G2F2. Trazada la recta i, deinterseccin de los planos y , se obtiene F1 en el punto de corte de las proyecciones pri-meras i1 y G1F1. La lnea de referencia trazada desde F1 hasta G2F2 dar F2.

Se define una homologa entre la base de la pirmide A1, B1, C1, ... y la primera proyec-cin de la seccin por el plano en la que F1 y F1 son homlogos, 1 es el eje de homolo-ga y G1 el centro de homologa. Se obtiene el homlogo A1 de A1 en el punto de corte dela recta doble G1A1 con la transformada MF1 de A1F1. Anlogamente se obtienen B1, C1, ...

Ilustracin 22

170


6UNIDAD

La segunda proyeccin de la seccin se obtiene trazando lneas de referencia desde A1,B1, C1, ... hasta las segundas proyecciones de las aristas G2A2, G2B2, G2C2, ..., obtenindo-se A2, B2, C2, ...

3.5. Desarrollo de la pirmideSe define la pirmide por sus proyecciones [Ilustracin 24].

La base de la pirmide est en el plano horizontal y, por tanto, en verdadera magnitud. No

as las aristas laterales, que es preciso girar alrededor de un eje vertical hasta colocarlas en

posicin frontal, en la que su proyeccin vertical no se deforma.

Se elige el eje vertical e de modo que su proyeccin horizontal e1 coincida con G1. Al girarlas aristas G1A1, G1B1, G1C1, ... el punto G1 es doble y los puntos A1, B1, C1, ... describen cir-cunferencias en el plano horizontal hasta los puntos de corte A1, B1, C1, ..., con la recta para-lela a l. t. que pasa por e1. Lneas de referencia trazadas desde A1, B1, C1, ... hasta l. t. per-miten obtener A2, B2, C2, ....

La base A1, B1, C1, ... forma parte del desarrollo, debiendo aadrsele las caras lateralesque son tringulos cuyos lados se conocen. Mediante dos arcos de centros C1, D1 y radiosG2C2, G2D2, se construye la cara GCD. Anlogamente se construyen las dems.

1

2

A2 D2B2 C2 E2F2

G2

G1

D1

A1

B1

C1

E1

F1

D1B1

C1

E1A1

F1

1

2i2

i1

D2

B2

C2 E2

A2F2

M

Ilustracin 23

171

3.6. Interseccin de la pirmide con una rectaSean r1, r2 las proyecciones de la recta, estando la pirmide definida por las suyas

[Ilustracin 25].

Un plano de canto que contenga a la recta r produce una seccin en la pirmide que esel polgono ABCDE, cuya proyeccin vertical A2B2C2D2E2 coincide con la traza 2. Suproyeccin horizontal se obtiene trazando lneas de referencia desde A2, B2, C2, .... hastalas aristas correspondientes. Los puntos de corte con ella, de la proyeccin r1 de la recta, sonlas proyecciones horizontales I1, J1 de los puntos de interseccin de la recta con la pirmide.Sus proyecciones verticales I2, J2 se obtienen mediante lneas de referencia.

Ilustracin 24

172


6UNIDAD

Ilustracin 25

R e c u e r d a

Se llama regular a un poliedro convexo cuyas caras son polgonos regulares iguales y en cuyos

vrtices concurren el mismo nmero de ellas.

Se llama seccin principal del poliedro regular a la realizada por un plano de simetra que

contenga la mayor cantidad posible de sus principales magnitudes.

Se llaman conjugados a aquellos poliedros que se obtienen uno a partir del otro uniendo los

centros de sus caras.

La seccin principal del tetraedro se obtiene al cortarlo por un plano que contiene una arista y

al punto medio de la opuesta.

La seccin principal del octaedro se obtiene al cortarlo por un plano que contiene una diagonal

y es perpendicular a dos aristas opuestas.

La seccin principal del icosaedro, cubo, y dodecaedro se obtiene al cortarlos por un plano que

contiene dos aristas opuestas.

Para obtener la seccin de un poliedro por un plano oblicuo se realiza un cambio de plano

que site al plano en posicin de canto.

173

Los puntos de interseccin de un poliedro con una recta son los de corte con la seccin por

un plano proyectante que la contenga.

Las primeras proyecciones de la base de la pirmide y de su seccin por un plano son figuras

homolgicas. El centro de homologa es la proyeccin primera del vrtice de la pirmide; el

eje de homologa es la traza horizontal del plano; y la recta lmite la traza del plano paralelo al

de la seccin que pasa por el vrtice.

1. Dibujar la seccin principal de un octae-dro conocida su arista.

2. Hallar la seccin de la pirmide por elplano .

A c t i v i d a d e sA c t i v i d a d e s

174


6UNIDAD

3. Hallar la interseccin de la pirmide con larecta r.

4. Construir la esfera circunscrita al cubo repre-sentado.

A2 D2

D1

B2 C2

A1

B1

C1

E2F2

E1

F1

H2G2

H1

G1

175

5. Hallar las proyecciones del octaedro conju-gado del cubo representado.

6. Representar el cubo en didrico, apoyadopor una arista AB en el plano horizontal,conocida la primera proyeccin de sta.

ilustracion: animacion: -GT1: Poliedro es el slido terminado por superficies planas.-GT2: Est formado por los puntos del espacio comprendidos entre varios planos que pasan por un punto.GT1: GT2: -GT3: Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son polgonos regulares iguales y en cuyos vrtices concurren el mismo nmero de ellas.GT3: -GT4: Son aquellos que se obtienen uno a partir del otro uniendo los centros de sus caras.-GT5: Es la realizada en un poliedro regular por un plano de simetra que contenga la mayor cantidad posible de sus principales magnitudes.GT4: GT5: -GT6: Es aquella que tiene por base un polgono regular cuyo centro coincide con el pie de la altura.GT6: SG1: -SG2: -SG1: SG2: SG3: -SG4: -SG3: SG4: SG5: -SG6: SG6: -SG5: Inicio: ndice: Siguiente: Anterior: Imprimir: Ampliar: Reducir: Buscar:

unidad 6 regulares y pirámides -...

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