unidad 4. transformaciones
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UNIDAD 4. TRANSFORMACIONES
4.1. Transformaciones geométricas 4.1.1 Definición
Son aplicaciones (correspondencias) de un conjunto M en si mismo, tal que a cada elemento E de M,
la transformación asocia (hace corresponder) un elemento E´ que también pertenece a M.
Al elemento E´ tambien le puede corresponder el E, diciéndose entonces que la aplicación es
biyectiva.
El conjunto M puede ser: la recta, el plano, el espacio (el punto).
Un elemento E y su transformado E´ se llaman homólogos, y cuando un par de elementos homólogos
coinciden se llaman dobles.
Las propiedades que permanecen inalteradas en una transformación se llaman invariantes 4.1.2 Principales transformaciones (en el plano)
Homografía: Correspondencia entre elementos de la misma especie. A punto le corresponde
punto, a recta-recta, etc,...
Correlación: Correspondencia entre elementos de distinta especie. A punto le corresponde recta y
a recta-punto.
Proyectividad: Aplicación que conserva la razón doble y es independiente la posición de la
configuración original de la configuración imagen.
Perspectividad: Proyectividad restringida por la posición entre original e imagen. La configuración
original y la imagen deben ser proyección o sección una de la otra.
Homología: Perspectividad homográfica en el plano. (Homotecia, Afinidad, Traslación)
Movimiento: Aplicación que permite obtener una figura imagen congruente con la original
mediante traslación, giro o simetría axial, o convicciones (transformaciones
sucesivas) de los mismos.
Semejanza: Cuando a dos figuras homotéticas se les aplica un giro o una simetría axial o
combinación de ellos (transformaciones sucesivas) se dice que existe semejanza
entre la figura fija y la resultante del movimiento.
Inversión circular: Aplicación biunívoca proyectiva, en el plano, en la que pares de puntos
homólogos están alineados con un punto fijo y sus distancias a dicho punto fijo tienen
producto constante.
Polaridad : (respecto de una circunferencia) Correlación proyectiva entre punto y recta con
relación a una circunferencia fija, cuyo invariante es la razón doble armónica.
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TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
MOVIMIENTO
TRASLACIÓN
X X
AFINIDAD GIRO
SIMETRÍA AXIAL
HOMOTECIA
SIMETRÍA CENTRAL
X
SEMEJANZAINVERSIÓN POLARIDAD
X = producto
PROYECTIVIDAD
HOMOGRAFÍA CORRELACIÓN
PERSPECTIVIDAD
HOMOLOGIA
3
V
AC
B
A'
B'
C'
'
M'M
N'N
Figura 4.1. Definición de homología
4.1.3 Homología y Afinidad
El conocimiento de las propiedades de esta transformación geométrica facilita las construcciones que
surgen en los abatimientos de formas planas y en las secciones planas de todas las figuras radiadas.
Una exposición rigurosa de las transformaciones homológicas se encuentra en libros de Geometría
Proyectiva. Nuestro objetivo será conocer el origen de esta transformación en el espacio,
propiedades, posibilidad de que exista en el plano y construcciones en el plano.
HOMOLOGÍA
Dos formas planas son homológicas cuando
son secciones de una misma radiación. Según
esto, las formas ABC y A’B’C’ de la figura 4.1
son homológicas.
Con independencia de otras propiedades de
carácter proyectivo, que estudia la Geometría
Proyectiva, en la homología así definida se
verifica:
1) Los puntos homólogos A y A’, B y B’... están
alineados con un punto fijo V, llamado centro
de homología.
2) Las rectas homólogas AC , y C'A' se cortan
en una recta fija, MN llamada eje de
homología, que es la recta intersección de los
dos planos y ’. Los puntos M y N del eje son
dobles, es decir, homólogos de sí mismos.
TEOREMA DE LAS TRES HOMOLOGÍAS
Si dos formas planas φ’ y φ’’ (véase figura 4.2) no situadas en el mismo plano, son homológicas de
una tercera φ, respecto de un mismo eje E de homología y de dos centros de homología O’ y O”, son
homológicas entre sí respecto del mismo eje de homología E y de un centro O alineado con 'O'O' .
Sean tres planos , ’ y ’’ que se cortan en la recta E. Proyectemos desde O’ el segmento AB
(forma φ), situado en , sobre ’, con lo que obtendremos el segmento B'A' (forma φ’). 'BA' (φ’) y
AB (φ) son homológicas de centro O’ y eje E. Proyectemos nuevamente AB , ahora desde O’’ y
sobre el plano ’’, con lo que obtendremos el segmento 'B''A' (forma φ”).
'B''A' (φ”) y AB (φ) son homológicos de centro O” y eje E.
4
Veamos que la relación que liga 'B''A' (φ”) con 'BA' (φ’) es una homología. En primer lugar se
cumple que las rectas homólogas 'B''A' y 'BA' se cortan en un punto M de una recta fija E.
Demostraremos a continuación que los puntos homólogos A’ y A”, B’ y B” ... están alineados con un
punto fijo. Para ello observaremos (figura 4.3) que por estar en un mismo plano los puntos O’, O”, A,
A’ y A”, 'O'O' se deberá cortar con 'A'A' . De igual forma 'B'B' cortará a 'O'O' .
Por otra parte (figura 4.4) los puntos A’, B’, M, A” y B” también están en un plano luego 'A'A' se
cortará con 'B'B' . Puesto que 'O'O' no está contenida en el plano anterior, para que corte
simultáneamente a ''AA' y 'B'B' tiene que pasar por el punto de intersección O de ambas rectas, o
lo que es lo mismo, los puntos homólogos están alineados con un punto fijo de 'O'O' .
O''
O'
''
'
A
B
A' A'''''
B'B''
MEJE
E
Figura 4.2. Teorema de las tres homologías
A' A''
B'
B''
O
M
O'O''
A''
A'
A
O
O'
O''
Figura 4.3 Figura 4.4
5
HOMOLOGIA ENTRE FORMAS PLANAS SUPERPUESTAS
Si ’ y ’’ fueran un único plano (figura 4.5) existirá una homología entre φ’ y φ” situada sobre dicho
plano, siendo el centro el punto donde 'O'O' corta al citado plano.
En definitiva, si la relación que liga a dos figuras planas situadas sobre un mismo plano es tal que los
puntos homólogos están alineados con un punto fijo y rectas homólogas se cortan sobre otra recta
fija, esta relación es una homología.
HOMOLOGÍA PLANA. DETERMINACIÓN DE PUNTOS Y RECTAS HOMÓLOGAS
Definida la homología por el centro, eje y dos puntos homólogos A y A’ se pueden presentar los
siguientes problemas:
1º. Determinar el punto homólogo de uno dado B
(figura 4.6)
El punto B’, homólogo del B, estará alineado con el
centro O y el punto B. Por otra parte, la homóloga r’ de
una recta cualquiera r, que pasa por AB pasará por M
(punto doble del eje) y por A’; luego B’ se hallará en la
intersección de r’ con OB .
2º. Determinar la recta r’ homóloga de una dada r
(figura 4.7)
En este caso tomamos una recta auxiliar t que pasa por
A; su homóloga t’ pasará por M≡M’ y A’.
El homólogo del punto T, intersección de r, y t será el T’ alineado con OT y situado sobre t’, y por el
' ''
O''
O
O'A
A''A'B
B''B'
'''
Figura 4.5. Homología entre formas planas
eje
A
A'
r'r
B B'
O
MM'
Figura 4.6
6
que deberá pasar r’, luego esta recta queda definida al
conocer dos puntos T’ y N’ de la misma.
RECTAS LÍMITES DE UNA HOMOLOGÍA
Se llaman rectas límites k’ y l de una homología entre
formas planas a las rectas homólogas de las del infinito
(rectas impropias). Recordemos que recta del infinito o recta
impropia de un plano es la que contiene todos los puntos del
infinito o impropios de este plano.
Puesto que las rectas homólogas se deben cortar sobre el
eje de homología, lógicamente las rectas límites deberán ser
paralelas al eje.
Para su construcción basta con hallar según se ha visto en la figura 4.6 los homólogos de los puntos
M’ y K (figura 4.8).
De dicha construcción se desprende que el cuadrilátero OMUK’ es un paralelogramo (lados opuestos
paralelos) por lo que la distancia de O a l es igual que la de K’ al eje, lo que nos permite situar una de
ellas conocida la otra.
Una recta límite equivale a dos rectas homólogas, luego la homología queda definida conociendo el
centro, el eje y una recta límite.
En la figura 4.9 para determinar el homólogo del punto A conocida la recta límite se ha cogido una
recta auxiliar r que pasa por él; la recta r’ será la paralela por U≡U’ a OM (por estar M en la recta
límite l, su homólogo M’∞ será impropio).
O
MK
l
A
r
K'
UU'
r'
A'
k'
M'
eje
Figura 4.8. Rectas límite
A
A'
MM'
NN'
TO T'
r
t
r'
t'
Figura 4.7
7
En la figura 4.10 se indica como el ángulo , que forman los homólogos r’ y s’ de dos rectas r y s, es
el mismo que el que forman los homólogos M y N de los puntos M’∞ y N’∞ con el centro de la
homología. La demostración no ofrece dificultad ya que OM es paralela a
M'A' .
CONSTRUCCIONES DE HOMOLOGÍA
1º. Dibujar la figura homológica del triángulo ABC (figura 4.11)
El triángulo ABC corta en los puntos M y N a la recta límite, luego su figura homóloga tendrá en el
infinito todos los puntos homólogos del segmento MN .
O M
NA
M'
N'
A'
UU'
l
VV'
M'
N'
B'
C'
eje
B
CUB'||OM
VC'||ON
Figura 4.11. Figura homológica de un triángulo
O
l
M
r
A
UU'
r'
A'
M'
eje
Figura 4.9 . Construcciones de homología
O
M
M'
r'r
A A'
N'
s s'
N
Figura 4.10. Construcciones de homología
8
Los homólogos de los lados AB y AC se obtendrán trazando por U≡U’ y V≡V’ las paralelas a OM
y ON , respectivamente.
2º. Definir la homología que transforma el cuadrilátero ABCD en un cuadrado (figura 4.12)
En el cuadrado homólogo A’B’C’D’ se cumple:
• 'B'A y 'D'C son paralelas (intersección en el infinito), luego AB y CD se deberán cortar en
la recta límite.
• 'D'A y 'C'B son paralelas, luego AD y BC se deberán cortar en la recta límite.
Si ahora tomásemos un punto cualquiera como centro de homología la figura homológica sería, en
general, un paralelogramo.
En el cuadrado se cumple que el ángulo de los vértices es 90º, luego el centro de homología
(recordar la figura 4.10) estaría en el arco capaz de 90º sobre el segmento MN .
Si el centro de homología fuera un punto cualquiera de este arco capaz, la figura homológica sería,
en general, un rectángulo pues cumple las condiciones impuestas hasta ahora de tener los lados
opuestos paralelos y formar los contiguos el ángulo de 90º.
El cuadrado se diferencia del rectángulo en que el ángulo de las diagonales es también de 90º.
Luego el centro de homología deberá estar en el arco capaz de 90º sobre el segmento PQ siendo P
y Q las intersecciones de las diagonales de ABCD con la recta límite.
El centro de homología queda pues definido por la intersección de los dos arcos capaces. Tomando
un eje de homología cualquiera (en la figura se ha elegido el que pasa por C naturalmente, paralelo a
la recta límite) el cuadrilátero ABCD se transforma en el cuadrado
A’B’C’D’. l
O
M
A
A'
CC'
P
N
Q
D
B
B'
D'
Eje
Centro de homología
Recta límite
Figura 4.12. Transformación homológica de un cuadrilátero en cuadrado
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HOMOLOGÍAS PARTICULARES
HOMOTECIA: El eje de homología es impropio e∞. (SIMETRÍA CENTRAL K=-1)
AFINIDAD: U homología afín. El centro de homología es impropio O∞.
Oblicua: dirección de afinidad oblicua al eje.
Ortogonal: dirección de afinidad perpendicular al eje.
Cizalladura: dirección de afinidad coincide con el eje. (conserva las áreas)
TRASLACIÓN: Son impropios eje y centro (e∞ y O∞).
AFINIDAD
Un caso particular de homología se presenta cuando el centro de homología es un punto impropio.
Todos los razonamientos y construcciones que se han hecho para la homología son aplicables a la
afinidad, con la única diferencia de que los puntos homólogos en vez de estar alineados con un punto
fijo O se encuentran alineados en una dirección fija, llamada dirección de afinidad.
En la afinidad no existen rectas límites pues la recta, impropia es doble. Por otra parte (figura 4.13)
por ser 'AA , 'BB ..., paralelas, se cumple que UA / A'U = VB / 'B'V = TC / 'C'T , es decir, que
la razón de las distancias del eje a cada par de puntos homólogos, tomados en la dirección de
afinidad, es constante.
VV'
UU'
B'
B
A'
A
s
C'
C
r
r'
TT' s'
Eje de afinidad
dirección de afinidad
Figura 4.13. Afinidad
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CONSTRUCCIONES DE AFINIDAD
Utilizando las construcciones de afinidad podemos simplificar la determinación del alzado (planta) de
una figura situada en un plano cuando se conoce la planta (alzado). En efecto, las proyecciones a’a”
y se encuentran en una misma dirección, y las rectas b'a' y 'b''a' se cortan en puntos que por tener
las dos proyecciones confundidas son de la recta intersección del plano dado con el 2º bisector, recta
que se fija, e independiente de la línea de tierra que se tome, según se demostró anteriormente.
En la figura 4.14 es conocida la proyección horizontal y de la vertical son datos el a’’b’’g’’.
Los puntos 1’=1” y 2’=2” determinan el eje de afinidad.
Cuando el plano está dado por sus trazas P’ y P” (figura 4.16), se determina en primer lugar el eje de
afinidad hallando la intersección del plano P con el 2º bisector. Para ello basta elegir una horizontal,
por ejemplo la que pasa por el punto B, y observar donde se cortan r’ y r”. Los puntos M (m’=m’’) y N
(n’=n’’) intersección de P’ y P” determinan la recta de intersección con el 2º bisector y por lo tanto el
eje de afinidad. Dada la proyección horizontal a’b’c’d’e’f’, de una figura situada en el plano P, la
proyección vertical a’’b’’c”d’’e’’f’’ se obtiene fácilmente haciendo uso de las construcciones de
afinidad. La dirección de afinidad es la de la perpendicular a la línea de tierra.
b''
a''
c''
d''
e''
f''
g''
a'
b' c'
d'
e'
f'
g'
1'1''
2'''
eje de afinidad
intersección del plano 2º
bisector
Figura 4.14. Afinidad entre proyecciones diédricas
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P ''
P '
d''
e''
d''
f''b''
c''
c'
d'
e'
f'
a'
b'
nn'
m'm'' r''
r'
Figura 4.16. Afinidad en sistema diédrico
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4.2. Métodos clásicos: Abatimiento de un plano (aplicación al sistema diédrico)
Problema directo: ABATIMIENTO DE UN PLANO CUALQUIERA SOBRE UN PLANO DE
PROYECCIÓN O SOBRE UN PLANO PARALELO A UN PLANO DE PROYECCIÓN.
Se dice que un plano cualquiera (α) se abate sobre otro (π) cuando se hace coincidir el primero
sobre el segundo, haciéndolo girar alrededor de su recta de intersección, la cual recibe el
nombre de charnela (Ch). Generalmente se toma como plano de abatimiento uno de los planos
de proyección, o bien un plano paralelo a éstos, con lo cual se consigue visualizar en
verdadera magnitud todo lo que contenga el plano abatido.
La principal aplicación de los abatimientos es, pues, la de facilitarnos la visualización sin
deformar de formas planas contenidas en planos oblicuos con respecto a los de proyección.
Debe remarcarse que únicamente puede abatirse un plano sobre otro. Por tanto, diremos
que un punto se abate cuando se abate un plano que pase por él, sucediendo lo mismo con la
recta.
a) Abatimiento de un punto (figura 4.17)
Supongamos que (π) es el plano de abatimiento y que un punto (A) cuya proyección ortogonal
sobre él es a’, va a ser abatido con el plano (α) que lo contiene, tomando como eje de giro su
traza con el plano de abatimiento α’, que también llamaremos Ch, por ser la charnela.
Figura 4.17. Abatimiento de un punto
13
En el abatimiento, el punto (A) describe en el espacio una circunferencia cuyo plano es
perpendicular a la charnela, siendo su radio la distancia del punto al eje de giro y su centro el
punto Q.
Nuestro objetivo va a consistir en determinar las posiciones [A]1 y [A]2, que puede ocupar el
punto (A) cuando se abate dicho plano a sobre (π), en función de la información de que
disponemos del punto y del plano.
Como se ha visto, [A]1 y [A]2 deben definir una alineación perpendicular a la charnela que
contenga a a'. Por tanto, las posiciones [A]1 y [A]2 necesariamente se han de encontrar en la
perpendicular a la charnela que pasa por a'.
Conocida la situación de la recta sobre la cual se van a encontrar las posiciones abatidas [A]1 y
[A]2, nos será preciso, además, conocer el radio de la circunferencia descrita. Este radio es la
hipotenusa del triángulo (A)Qa', rectángulo en a', que siempre podremos determinar cuando
conozcamos la proyección ortogonal del punto a' y la distancia ha = (A)a' del punto (A) al plano
del abatimiento.
Conocida ha, dicho triángulo es reproducible en el plano de abatimiento sin más que llevar ésta
sobre la paralela a la charnela a partir de a'. De forma que la hipotenusa del mismo nos queda
pasando por Q y por tanto nos permite obtener [A]1 y [A]2 como puntos de intersección de la
recta a'Q con la circunferencia de centro en Q y radio ρ.
En resumen, para obtener el abatimiento de un punto se traza desde su proyección ortogonal
sobre el plano del abatimiento la perpendicular y la paralela a la charnela; en la paralela se
toma la distancia del punto al plano de abatimiento para determinar el radio, y haciendo centro
en el punto de intersección de la charnela con la perpendicular se traza una semicircunferencia
que determina con esta última las posiciones del punto abatido.
b) Abatimiento de una recta (figura 4.18)
Como la recta está determinada por dos puntos, bastará conocer el abatimiento de dos de
ellos para tener el de la recta; pero si tenemos presente que todos los puntos de la charnela,
permanecen invariables en el abatimiento, la intersección (B) de la recta (r) con la charnela
será punto que pertenecerá a las posiciones abatidas [r]1 ó [r]2 de la recta, que se conseguirán
conociendo el abatimiento de uno solo de sus puntos (A) que, abatido por aplicación de lo visto
anteriormente, ocupa las posiciones [A]1 ó [A]2 según sea el sentido del giro del plano abatido.
Segú
plano
cuant
por e
c) Ab
En Si
E
- L
h
- L
- L
p
U
- L
p
- L
- L
E
- L
p
- L
ún esto, co
o, a part
tos puntos d
el punto abati
batimiento de
istema Diédr
El Plano Hor
La proyecció
horizontal de
La charnela
La distancia
punto.
Un Plano Pa
La proyecció
proyección h
La charnela
La distancia
El Plano Ver
La proyecci
proyección v
La charnela
mo se ha
ir de él
del mismo de
ido y por el q
e un plano cu
rico los plano
rizontal (figur
ón ortogonal
e éste a'.
es la traza h
del punto a
aralelo al Hor
ón ortogonal
horizontal de
es la recta h
del punto a
rtical (figura 4
ón ortogona
vertical de és
es la traza v
Figura 4.19
eseemos, sin
que deseemo
ualquiera en
os de abatim
ra 4.19). En
del punto a a
horizontal del
abatir al plan
rizontal (figur
del punto a a
éste a'.
horizontal del
abatir al plan
4.21). En est
al de el pu
ste a".
vertical del pl
Figura 4.1
n más que u
os abatir.
diédrico
miento puede
este caso:
abatir sobre
l plano α’. no de abatim
ra 4.20). En
abatir sobre
l plano inters
no de abatim
te caso:
unto a abati
ano α’’.
18. Abatimient
tilizar rectas
n ser:
el plano de a
miento es la "
este caso:
el plano de a
sección de és
miento se mid
ir sobre el
to de una rect
Fig
abatid
podre
s auxiliares d
abatimiento
altura" o "co
abatimiento
ste con el de
de en proyec
plano de a
ta
gura 4.20
do un punto
emos
de éste que p
es la proyec
ta" de dicho
coincide con
e abatimiento
cción vertical
abatimiento
14
de un
abatir
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ción
n la
o.
.
es la
- L
d
U
- L
p
- L
a
- L
E
- L
p
- L
- L
p
U
- L
t
- L
- L
v
La distancia
dicho punto.
Un Plano Pa
La proyecció
proyección v
La charnela
abatimiento.
La distancia
El Plano De
La proyecció
proyección d
La charnela
La distancia
punto".
Un Plano Pa
La proyecció
tercera proye
La charnela
La distancia
vertical.
del punto a
ara/e/o al Ver
ón ortogonal
vertical de és
a es la rect
del punto a
Perfil o De T
ón ortogona
de éste a'".
es la traza d
del punto a
aralelo al De
ón ortogonal
ección de és
es la recta d
del punto a
Figura 4.2
abatir al plan
rtical (figura
del punto a
ste a".
ta frontal d
abatir al plan
Tercera Proy
l del punto
del plano con
abatir al de a
Perfil o De T
del punto a
ste a'".
de perfil del p
abatir al de
21
no de abatim
4.22). En es
a abatir sobr
el plano a
no de abatim
yección (figur
a abatir sob
n el de Perfil
abatimiento
Tercera Proy
a abatir sobr
plano intersec
abatimiento
miento es la "
te caso:
re el plano d
abatir, inte
miento se mid
ra 4.23). En e
bre el plano
o de Tercera
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yección (figur
re el plano d
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F
distancia" o
de abatimien
rsección de
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este caso:
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de abatimien
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mos en proye
igura 4.22
"alejamiento
to coincide c
e éste con
cción horizon
ento es la te
n α’’’.
ferencia" de
este caso:
to coincide c
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ección horizo
15
o" de
con la
el de
tal.
ercera
dicho
con la
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Probl
SUS
Si se
deter
abati
abati
afinid
lema inverso
PROYECCIO
e conoce el
rminar sus p
miento y las
miento, [A][B
dad la traza h
o: CONOCID
ONES.
l abatimient
proyecciones
s proyeccion
B][C][D], de u
horizontal α’-
Figura 4.23
DO EL ABAT
o de una f
s, operando,
nes. En la f
un cuadriláte
-Ch y direcci
Figura 4.25
[A]
[D]
K
TIMIENTO D
figura plana
por ejempl
figura 4.25
ero, sobre el
ón de afinida
5. Problema in
H'f
A
D''
D'
[B]
DE UNA FIG
contenida
o, por la afi
se ha segu
plano horizo
ad la de la pe
nverso
f''
f'
N
A'' B
C''
C'
A'
[C]
GURA PLAN
en un plan
inidad que e
uido este ca
ontal, emplea
erpendicular
Figura 4.24
B''
- Ch
B'
A, DETERM
o (α) es se
existe entre
amino a part
ando como e
a la misma.
16
MINAR
encillo
dicho
tir del
eje de
17
4.3. Métodos clásicos: Giros (aplicación al sistema diédrico)
El Método de los Giros consiste en, dejando invariables los
planos de proyección, variar la posición del conjunto de
puntos, rectas, figuras planas y superficies objeto de
nuestro estudio, hasta conseguir otra más cómoda para
trabajar con ellos. La forma de alcanzar esta posición radica
en someter a dicho conjunto de elementos a uno o más giros
alrededor de una o más rectas. Habitualmente dos giros
sucesivos son suficientes para lograr tal objetivo. Si así
conviniera, una vez resuelto el problema planteado, para
restituir a las posiciones de partida los resultados
obtenidos bastará deshacer los giros que se hayan
realizado.
Al girar una figura alrededor de cierta recta fija (e) (eje de giro)
cada punto (P) de esta figura se desplaza en un plano α perpendicular al eje de giro (plano de giro). El
punto describe una circunferencia (figura 4.26) cuyo centro es el punto de intersección (I) del eje con
el plano de giro (centro de giro), y cuyo radio es igual a la distancia desde el punto que gira hasta el
centro de giro (radio de giro). Si un punto cualquiera del conjunto dado se encuentra en el eje de giro,
al girar dicho conjunto este punto permanece fijo.
Un giro de un determinado conjunto de elementos puede realizarse alrededor de una recta cualquiera.
Sin embargo, la ejecución de los dibujos resulta de tal complicación, que éste es de poca aplicación.
En cambio, el giro alrededor de una recta resulta sencillo y de aplicación muy útil en muchos casos
cuando la recta es perpendicular a uno de los planos de proyección, cuyos casos vamos a estudiar.
4.3.1. Giro alrededor de un eje perpendicular al plano horizontal de proyección
Sea el eje de giro la recta (e) (figura 4.27) perpendicular al plano horizontal y (A) el punto que se trata de
girar alrededor de ella un ángulo θ. El punto (A) efectúa el movimiento en un plano perpendicular al
eje (e), o sea en un plano horizontal, de modo que su proyección vertical se mueve sobre la traza de
dicho plano, es decir, sobre una paralela a la línea de tierra. Como el punto (A) describe en ese plano un
arco de circunferencia de centro la proyección ortogonal del punto (A) sobre el eje (e), la proyección
horizontal a' de (A) describirá sobre el plano horizontal un arco de circunferencia igual al anterior, de
centro la traza horizontal de (e).
Figura 4.26
Figura 4.27
18
En proyección diédrica (figura 4.27) la posición final del punto (A), será un punto (A1) cuya
proyección horizontal a’1 se ha obtenido girando a' un ángulo θ alrededor de e’ traza del eje (e).
La proyección a" de (A) describe una recta paralela a la línea
de tierra, luego trazando por a" dicha paralela, queda
determinada la segunda proyección a’’1 del punto girado,
teniendo en cuenta que a’1 y a’’1 deben definir una alineación
perpendicular a la línea de tierra.
Si queremos girar una recta efectuaremos el giro de dos de
sus puntos cualesquiera, que podremos elegir
convenientemente.
Sea (r) (figura 4.28) la recta que queremos girar y (e) el eje
de giro, perpendicular al plano horizontal. Elegiremos para
girar dos puntos de (r) que serán su traza horizontal (Hr) y su
punto (M) de mínima distancia al eje de giro obtenido
trazando por e' la perpendicular e'm' a r’ El punto m' se
transforma siguiendo el proceso anterior en el m’1 y la
proyección horizontal r’1 de la recta (r) después del giro será
tangente en m’1 a la circunferencia descrita por m'. Por su
parte, la traza horizontal h’r de la recta (r) se transforma en la
traza horizontal h’r1 de la recta girada, ya que dicha traza se
mueve en el plano horizontal. Los puntos (Hr1) y (M1) nos dan
la recta girada.
Si la recta a girar corta al eje de giro, como la (s) en la figura
4.29, dicho punto de intersección (I) permanece invariable en él
(I = l1) y por tanto para obtener la posición final de la misma
basta girar un solo punto.
Para hallar la nueva posición de un plano (α) tras ser sometido a
un giro, bastará girar una recta y un punto de este plano, o bien
una recta y otra paralela a ella. En caso de que sea posible
podemos elegir la traza horizontal y la horizontal del plano que
pasa por el
punto de
intersección del
eje (e) con el plano (α). Naturalmente dicha horizontal,
tras el giro, continuará siendo una horizontal del
plano.
Sea el plano (α) y sometámoslo a un giro de eje (e) y
ángulo w (figura 4.31). La traza α' se transforma en
la α’1 trazando la perpendicular por e' a α' y girándola
el ángulo w dado. Si m' es el punto de intersección de
dicha perpendicular y la traza α' del plano, éste
describirá una circunferencia de centro e' y tomará la
posición m’1. La tangente en m’1 a esta
circunferencia será la traza horizontal girada α’1. Por
Figura 4.28
Figura 4.29
Figura 4.30
otro lado
(α) y la
h’1, form
permane
girado.
Si por p
horizont
Obsérve
por lo qu
4.3.2. G
Si el eje
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20
Obsérvese que, en este caso, α’’1 junto con el punto (I) intersección de (α) con (e) determinan ya por sí solos
al plano (α) tras ser sometido al giro, es decir al plano (α1). Al igual que ocurría en el apartado anterior el
conocimiento de ambos elementos basta para completar la transformación de dicho plano
4.3.3. Giros alrededor de ejes perpendiculares a los planos horizontal y vertical de proyección
sucesivos
En muchas ocasiones es de gran utilidad la realización de dos giros de ejes perpendiculares a los
planos horizontal y vertical de proyección sucesivos.
La determinación de las posiciones finales de cuantos puntos, rectas o planos sometamos a estas
transformaciones, se obtienen según lo visto, sin más que considerar las posiciones finales (A1),
(r1), (α1)..., de los elementos sometidos al primer giro como las iniciales en el segundo, que les hace
alcanzar, definitivamente, las posiciones (A2), (r2), (α2)...
En la figura 4.35, se han sometido a dos giros consecutivos de ejes (e1) perpendicular al P.H. y (e2)
perpendicular al P.V. al punto (A), la recta (r) y el plano (α).
V’’r1
Figura 4.33 Figura 4.32
Figura 4.34
21
4.3.4. Obtención de posiciones particulares de rectas y planos mediante giros
A) TRANSFORMACIÓN DE UNA RECTA EN FRONTAL (figura 4.36)
Bastará para ello someter a la recta a un giro de eje perpendicular al P.H. hasta dejar a su
proyección horizontal paralela a la línea de tierra.
Figura 4.35
Figura 4.36
22
B) TRANSFORMACIÓN DE UNA RECTA EN HORIZONTAL (figura 4.37)
Bastará para ello someter a la recta a un giro de eje perpendicular al P.V. hasta dejar a su proyección
vertical paralela a la línea de tierra.
C) TRANSFORMACION DE UN PLANO EN PERPENDICULAR AL PLANO VERTICAL (figura 4.38)
Bastará para ello someter al plano a un giro de eje perpendicular al P.H., hasta dejar su traza horizontal
perpendicular a la línea de tierra.
D) TRANSFORMACIÓN DE UN PLANO EN PERPENDICULAR AL PLANO HORIZONTAL (figura 4.39)
Bastará para ello someter al plano a un giro de eje perpendicular al P.V., hasta dejar su traza vertical
perpendicular a la línea de tierra.
Figura 4.37
Figura 4.39
23
E) TRANSFORMACIÓN DE UNA RECTA EN PERPENDICULAR AL PLANO HORIZONTAL (figura
4.40)
Transformaremos, en primer lugar, a la recta en frontal mediante un giro de eje perpendicular al P.H., y,
a continuación, someteremos a ésta a un giro de eje perpendicular al P.V. hasta dejar a la recta
perpendicular al P.H.
F) TRANSFORMACIÓN DE UNA RECTA EN PERPENDICULAR AL PLANO VERTICAL (figura 4.41)
Transformaremos, en primer lugar, a la recta en horizontal mediante un giro de eje perpendicular al
P.V., y, a continuación, someteremos a ésta a un giro de eje perpendicular al P.H. hasta dejar a la
recta perpendicular al P.V.
Figura 4.40
Figura 4.41
24
G) TRANSFORMACIÓN DE UN PLANO EN PARALELO AL PLANO HORIZONTAL (Fig. 4.42)
Transformaremos, en primer lugar, el plano en perpendicular al plano vertical mediante un giro de eje
perpendicular al P.H., y, a continuación, mediante un giro de eje perpendicular al P.V. dejaremos el
plano paralelo al horizontal.
H) TRANSFORMACIÓN DE UN PLANO EN PARALELO AL PLANO VERTICAL (Fig. 4.43)
Transformaremos, en primer lugar, el plano en perpendicular al plano horizontal mediante un giro de eje
perpendicular al P.V., y, a continuación, mediante un giro de eje perpendicular al P.H. dejaremos el plano
paralelo al vertical
4.4.4. Aplicaciones de los giros
1a OBTENCIÓN DE VERDADERAS MAGNITUDES DE DISTANCIAS Y
ÁNGULOS
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Si mediante dos mediante dos giros se deja a la recta perpendicular a un
plano de proyección, la distancia del punto a la recta, que
necesariamente se encuentra contenida en un plano que contiene al
punto y es perpendicular a la recta y por tanto paralela al de proyección,
la visualizaremos sin deformar a través de su proyección sobre este
último.
En la figura 4.44 se ha dejado a la recta (r) perpendicular al P.V.
mediante dos giros sucesivos. La distancia se ha medido, a
continuación, directamente en proyección vertical
Figura 4.42
Figura 4.43
Figura 4.44
25
DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PLANO PARALELO
Si mediante dos giros dejamos el plano y la recta perpendiculares a uno de proyección, la distancia
entre la recta y el plano la veremos proyectada sin deformar y por tanto en verdadera magnitud sobre
dicho plano.
En la figura 4.45 mediante dos giros se han dejado la recta (r) y el plano α determinado por lo puntos (A),
(B), (C) perpendiculares al P.H. y la distancia buscada se ha medido directamente a través de su
proyección sobre dicho plano. El giro de eje e1 ha servido para dejar frontal a la recta (r) y el de eje e2
la coloca perpendicular al horizontal.
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
En el caso general de dos rectas (r) y (s) oblicuas respecto de los planos de proyección, siempre
podremos dejar una de ellas perpendicular respecto de uno de éstos. Si procedemos de esta manera,
podremos medir directamente, a continuación, la distancia buscada.
En la figura 4.46 se ha obtenido la distancia entre (r) y (s) mediante la aplicación de dos giros. El giro de
eje e1 de la la recta (r) frontal y el de eje e2 perpendicular al horizontal.
Figura 4.45
26
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS INCIDENTES
Para obtener el ángulo que forman dos rectas que se cortan, precisaremos ver sin deformar el plano que
determinan dichas rectas. Una manera de ver sin deformar el plano que determinan las rectas se podrá
conseguir dejando a éste paralelo a uno de proyección mediante dos giros sucesivos.
En la figura 4.47 se ha hallado el ángulo que forman las rectas (r) y (s), tras someter a las mismas a
dos giros consecutivos. El giro de eje e1 deja el plano proyectante vertical (se ha elegido la horizontal
h para realizar este giro). El giro de eje e2 deja el plano paralelo al horizontal.
Figura 4.46
r''
s''
s'
r'
e1''
A''
A'
B'
B''
e1'
A1''
r1''
r1' A1'
B1'
B1''
s1''
s1'
e2''
e2'
A2''
r2''
A2'-M2'
B2''
s2''
N1''
N1'
M1''
M1'
M2''
N2''
N2'
s2'
r2'
D
27
ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y LOS PLANOS DE PROYECCIÓN
Como es sabido, el ángulo que forma una recta con un plano es el ángulo que forma la recta con su
proyección ortogonal sobre ese plano. Podemos medir el ángulo que forma la recta con el horizontal de
proyección si giramos la recta (r) alrededor de un eje perpendicular al P. H. hasta dejarla paralela al P. V.,
sobre el que, tras ello, se proyectará el ángulo buscado en verdadera magnitud (figura 4.48). Mediremos
igualmente el ángulo con el plano vertical si giramos la recta (r) alrededor de un eje perpendicular al
P.V. hasta dejarla paralela al P.H., sobre el que, tras ello, se proyectará el ángulo buscado en
verdadera magnitud (figura 4.49).
r''
s''
r'
s'
A''
A'
C'
C'' G''
G'
e1'
e1''
h''
h'
h1''
A1'
A1''
C1'
- C1''-G1''
G1'
A2'
- e2''
?
Figura 4.47
Figura 4.48 Figura 4.49
28
ÁNGULO QUE FORMA UN PLANO CON EL HORIZONTAL DE PROYECCIÓN
El ángulo entre dos planos es el de la sección recta del diedro de ambos planos. El ángulo que forma un
plano cualquiera con el P.H. es el que forman con éste último las rectas de máxima pendiente. Si
dejamos el plano perpendicular al P.V. mediante un giro de eje perpendicular al P.H., visualizaremos la
verdadera amplitud de dicho ángulo en proyección vertical (fig. 4.50).
2ª OBTENCIÓN DE SECCIONES PLANAS
Mediante giros siempre podremos dejar al plano seccionador en proyectante respecto alguno de los de
proyección y simplificar, en gran medida, el proceso de obtención la sección (figura 4.51). En dicha
figura el plano seccionador (β) viene dado por los puntos (M), (N) y (O).
Esta aplicación adquiere especial interés en el caso de que la pieza sea de revolución (cilindro, cono,
esfera...) y tengamos su eje perpendicular a un plano de proyección, en cuyo caso elegiremos dicho
eje como el de giro. De esta forma el giro que, a continuación, realicemos, no afectará a la pieza con
el consiguiente ahorro de trabajo.
3ª VISUALIZACIÓN EN VERDADERA MAGNITUD Y SIN DEFORMAR DE FIGURAS PLANAS
Al igual que con el empleo de cambios de planos de proyección, mediante giros podemos dejar
cualquier cara plana de una pieza o el plano que contenga una sección plana de la misma, paralelos a
algún plano de proyección, con lo que podremos visualizarlas en verdadera magnitud y sin deformar. En
la figura 4.51 el plano que contiene a la sección de la pieza se ha convertido, mediante un segundo giro
de eje perpendicular al plano vertical, en paralelo al plano Horizontal, proporcionándonos la
visualización deseada.
4a OBTENCIÓN DE PERSPECTIVAS AXONOMETRICAS ORTOGONALES
Dada una pieza como la de la figura 4.52, podremos obtener su perspectiva axonométríca ortogonal
según una dirección "d" cualquiera, a partir de sus proyecciones diédricas, girando el conjunto de la
pieza y la dirección "d" hasta dejar esta última perpendicular a alguno de los planos de proyección. El
plano de proyección que elijamos hará las veces de plano del cuadro en la perspectiva axonométrica.
Figura 4.50
Figura 4.5
Figura 4
1
4.52
29
30
5ª- OBTENCIÓN DE LAS PROYECCIONES DE LOS EJES DE UNA AXONOMETRÍA ORTOGONAL
CONOCIDOS LOS VALORES DE α, β y γ. (Ángulos que forman los ejes con el plano del cuadro) (figura
4.53)
Conocidos los ángulos α, β y γ, la posición de las proyecciones de los ejes las obtendremos como
planta de un sistema diédrico en el que el plano (X)(O)(Y) resulta proyectante vertical, de manera que el
eje (O)(Z) se proyecta sin deformar y forma con la línea de tierra el ángulo γ.
Los ejes (X) e (Y) por su parte formarán ángulos α y β con el Plano Horizontal y en proyección vertical
aparecerán confundidos con la traza vertical del plano (X)(O)(Y). Por ello representaremos en alzado dos
segmentos (O)(A) y (O)(B), paralelos al plano vertical, que formen ángulos α y β con el Horizontal y que
apoyen en (A) y (B) sobre este último, y a continuación los giraremos alrededor de un eje vertical que
contenga a (O) hasta que en proyección vertical se confundan con la traza vertical de (X)(O)(Y), la nueva
posición que adquieran dichos segmentos determinará la de los ejes (X) e (Y). Posición cuya proyección
en planta junto con la del eje (Z) nos proporciona las proyecciones de los ejes axonométricos.
En la figura 4.53 se ha abatido el plano XOY sobre el Horizontal, comprobándose la ortogonalidad de los
ejes OX y OY.
Figura 4.53
31
4.4. Métodos clásicos: Cambios de plano (aplicación al sistema diédrico)
El artificio que constituye la teoría del cambio de plano de proyección, consiste en sustituir uno de los
planos de proyección, bien el horizontal, bien el vertical, por otro arbitrariamente elegido pero que
cumpla la condición de ser perpendicular al que permanezca fijo.
Para obtener el cambio de los dos planos de proyección, se efectúa en primer lugar el cambio de uno
sólo, sustituyéndose el sistema primitivo por el que resulta una vez se ha realizado el cambio
indicado. Posteriormente se emplea un nuevo cambio de plano, en este caso el plano que variará
será el que en el primer caso permaneció fijo. De esta forma el sistema primitivo se ha sustituido por
otro más adecuado.
Operando de este modo, de forma sucesiva y alternada se pueden efectuar cuantos cambios de
plano sean necesarios. Normalmente uno o dos son suficientes, considerando además que es
necesario en todo caso evitar la excesiva complejidad constructiva.
En ningún caso es posible cambiar los dos planos de proyección simultáneamente.
4.4.1. Restricciones de uso
En general todo método auxiliar, y el cambio de plano entre ellos, si no es aplicado en la forma más
idónea, añade complejidad constructiva al proceso, por lo que su uso se verá restringido a la
aplicación concreta, a determinados casos en los que la ventaja que supone su utilización es
evidente, aconsejando su empleo.
4.4.2 Notaciones
En la aplicación de la teoría del cambio de plano tiene gran interés precisar una notación adecuada,
lo más clara posible.
Se suele indicar el plano que cambia añadiendo a su letra característica H o V según se trate de un
plano horizontal o vertical, el subíndice 1 si se trata del primer cambio de plano, 2 si es el segundo,
etc. (figura 4.54).
Como ya se ha explicado, la mecánica del desarrollo de un cambio de plano supone sustituir uno de
los del sistema (el vertical en la figura 4.54), por
otro que es perpendicular al que permanece fijo,
en este caso el horizontal; el plano que sustituye
será pues un proyectante, y su traza con el que
quedó invariable será la nueva línea de tierra.
Como es sobradamente conocido, la línea de
tierra en el sistema primitivo se indica con dos
trazos paralelos a la misma y situados uno en
cada uno de los extremos de ella, posicionados
además en la región anterior del plano
horizontal, lo que implica precisar el sentido en
el que se abate uno de los planos de proyección
sobre el otro, de acuerdo con la característica
del sistema.
De igual manera, la nueva línea de tierra
obtenida tras el cambio de plano, se indica con
dos trazos paralelos situados en cada extremo
de la referida línea de tierra. Este sistema de Figura 4.54 Cambio de plano vertical
32 trazos se sitúa igualmente en la zona del plano horizontal que se considera como anterior del mismo,
es decir, la que define el primer diedro (donde se sitúa el supuesto observador).
Analizando la figura 4.54 se tiene que la colocación de los trazos implica el abatimiento del plano tal
como se indica en la figura 4.55. Si se hubiesen situado los trazos al otro lado de la línea de tierra el
abatimiento del plano se realizaría como se muestra en la figura 4.56.
Así pues el sentido de abatimiento es elegible, en función de que no se acumulen y superpongan las
construcciones.
Esta consecuencia es lógica si se tiene en cuenta que el nuevo plano vertical se eligió de forma
arbitraria, sólo dependiente de la resolución más fácil del problema, resultando la línea de tierra
consecuencia de tal elección.
Una vez fijado el sentido de abatimiento, será invariable para determinar las nuevas proyecciones de
cualquier elemento referido al sistema primitivo.
Para indicar la posición de los planos del nuevo sistema se suele emplear una notación consistente
en situar en uno de los extremos de la nueva línea de tierra las letras H y V, una a cada lado de la
misma de forma semejante a los términos de un quebrado en el que la línea de tierra es la divisoria.
La letra correspondiente al plano que se cambia se afecta de un subíndice, que será el 1 para el
Figura 4.55. Abatimiento de un plano. Sentido 1 Figura 4.56. Abatimiento de un plano. Sentido 2
Figura 4.57. Notación en cambios de plano
33 primer cambio, el 2 si el plano sustituido lo fue en un segundo cambio, etc. En alguna ocasión se
sustituye el quebrado formado por las letras H y V por una llave que abarca ambas letras, según se
muestra en la figura 4.57.
Las proyecciones de los elementos geométricos considerados, referidas a un sistema diédrico
primitivo definido por los planos H y V, vienen indicadas mediante letras latinas o griegas, seguidas
de uno o dos acentos según se refieran a una proyección horizontal o vertical, respectivamente. Así,
un punto A, una recta r o un plano quedarían expresados en proyección, respectivamente, por las
notaciones A’A’’, r’r’’, ’’’. Una vez efectuado el primer cambio de plano las nuevas proyecciones se
indicarán con la misma notación literal, pero seguida del subíndice 1, es decir A’1 A’’1, r’1 r’’1, ’1 ’’1.
Tras el segundo cambio, el subíndice será 2, y se tendrá A’2 A’’2, r’2 r’’2, ’2 ’’2. Igualmente el
subíndice sería 3 en el tercer cambio y así sucesivamente.
4.4.3. Cambio de plano vertical de proyección
Sean los planos V y H los planos de proyección que determinan un sistema diédrico en el que se
encuentran definidos un punto A, una recta r y un plano . Vamos a estudiar como se modifican estos
elementos geométricos cuando se realiza un cambio de plano vertical de proyección sobre el sistema
diédrico definido, introduciendo un nuevo plano vertical V1.
Cambio de plano vertical de un punto
En la figura 4.58 se ha representado un punto A del espacio por sus proyecciones A’ y A’’ en el
sistema diédrico definido por los planos V y H y un segundo plano vertical V1, proyectante en el
mismo sistema (por tanto ortogonal al plano H).
Las proyecciones horizontal y vertical de dicho
punto, en un nuevo sistema diédrico definido
conservando uno de los planos, el horizontal H,
e introduciendo el nuevo plano vertical V1 (figura
4.58), son respectivamente, A’1 y A’’1. Se puede
ver que la proyección horizontal en el nuevo
sistema, A’1, no cambia, puesto que es la
proyección ortogonal del punto A sobre el plano
H que no varía, y por tanto coincide con la
proyección horizontal en el sistema primitivo, A’.
Sin embargo, obtenemos una nueva proyección
vertical, A’’1, proyección ortogonal sobre V1.
Podemos ver que la cota del punto A no varía al
pasar de un sistema a otro.
Por tanto, el cambio de plano vertical se caracteriza por:
a) permanecer invariable la proyección horizontal de un punto A cualquiera del espacio, y b) ser constante la cota de dicho punto.
Una vez abatidos los planos en el sentido indicado por los trazos, el dibujo en proyección queda tal
como se indica en la figura 4.59. Dichos trazos se podían haber situado del otro lado de la nueva
línea de tierra, con lo que la representación en proyección sería la que se dibuja en la figura 4.60. El
punto A aparecería en este caso representado en el segundo cuadrante al estar situado en él con
respecto a este último sistema de planos considerado.
Figura 4.58. Cambio de plano vertical. Punto.
34 Si se mantiene fijo el plano horizontal y se varía el plano vertical manteniéndolo siempre
perpendicular al primero, un punto situado en el primer cuadrante en un sistema primitivo puede
pasar al segundo cuadrante tras un cambio de plano vertical o viceversa. De igual manera, si el punto
pertenece al tercer cuadrante, aplicando la metodología descrita se puede pasar al cuarto o a la
inversa.
Por tanto, para llevar correctamente (sobre el plano del dibujo) los segmentos que representan las
cotas de un punto se deberá tener en cuenta la posición de los trazos que subrayan la línea de tierra,
los cuales indicarán el sentido a partir del cual se habrán de tomar estas distancias.
En definitiva, para obtener la nueva proyección vertical de un punto cuando se ha cambiado el plano
vertical, se trazará por la proyección horizontal del mismo, que permanece fija, una perpendicular a la
nueva línea de tierra, y se llevará sobre ella y en el mismo sentido relativo respecto de sus trazos, la
distancia que separa la proyección primitiva de su línea de tierra.
Cambio de plano vertical de una recta
Para determinar las nuevas proyecciones de una recta r después de efectuar un cambio de plano
vertical de proyección, es suficiente con obtener las nuevas proyecciones de dos de sus puntos.
Naturalmente la proyección horizontal permanece invariable (figuras 4.61 y 4.62).
En estas figuras se han elegido como puntos de la recta, sus trazas. La traza horizontal no varía,
estando su nueva proyección vertical, H’’r1, sobre la nueva línea de tierra (véase figura 4.6.9). En esta
figura, se ha trazado la perpendicular por V’r , a la nueva línea de tierra y se ha situado V’’r1 de
manera que su distancia a ella coincida con la cota z de la traza vertical, V’’r.
La recta H’’r1V’’r1 será la nueva proyección vertical r’’1 de la recta r. Obsérvese que la traza vertical de
la recta en el nuevo sistema no coincide con la traza vertical en el sistema primitivo. Únicamente
coincidirán ambas trazas en el caso especial en que las dos líneas de tierra se corten en Vr’. La nueva
traza vertical en el nuevo sistema es U’’r1.
Figura 4.60. Nuevas proyecciones de un punto tras un cambio de plano vertical.
Sentido 2.
Figura 4.59. Nuevas proyecciones de un punto tras un cambio de plano vertical. Sentido 1.
35
Cambio de plano vertical de un plano
Veamos cómo afecta a la representación de un plano, un cambio de plano vertical de proyección.
Si el plano está determinado por tres puntos no alineados, por dos rectas (paralelas o incidentes) o
por una recta y un punto exterior, la nueva representación del plano se obtiene averiguando las
nuevas proyecciones de estos elementos geométricos definidores del plano, según lo ya visto.
En el caso de que un plano esté dado por sus trazas (recordemos que son dos rectas del mismo
que se cortan en la línea de tierra), la traza horizontal, ’, no varía, mientras que la nueva traza
vertical, ’’1, será la recta de intersección de , con el nuevo plano vertical, V1 (figura 4.63).
El problema consiste, por tanto, en determinar la nueva traza vertical ’’1 de . En la figura 4.64 se
puede observar que los dos planos verticales, el nuevo V1 y el antiguo, V, se cortan según la recta
N’’N’, perpendicular al plano horizontal, siendo el punto N del espacio, el punto común a los tres
planos, V, V1 y (figura 4.63). Dicho punto pertenece a la nueva traza vertical ’’1 de .
Figura 4.61. Cambio de plano vertical. Recta. Figura 4.62. Nuevas proyecciones de una recta tras un cambio de plano vertical.
Figura 4.63. Cambio de plano vertical. Plano Figura 4.64. Nuevas trazas de un plano tras un cambio de plano vertical.
36 En la figura 4.64 conoceremos el punto N’, que será la intersección de las dos líneas de tierra; y si por
N’ se traza la perpendicular a la línea de tierra primitiva, obtendremos sobre ’’ el punto N’’. Ahora se
lleva sobre la perpendicular a la nueva línea de tierra trazada por N’, la cota del punto N del espacio,
obteniendo de este modo el punto N’’1, nueva proyección vertical del punto N. Por N’’1 pasa la nueva
traza vertical ’’1 del plano, que como además, ha de pasar por el punto M’ de corte de ’ con la
nueva línea de tierra, queda completamente determinada y con ella la nueva representación del plano
.
Ahora bien si el punto de corte de las dos líneas de tierra no fuese utilizable por quedar fuera de los
límites del dibujo, podremos obtener ’’1 del siguiente modo:
Como se trata de un cambio de plano vertical, las rectas horizontales del plano seguirán siéndolo
en el nuevo sistema. Por tanto, elegida una de ellas, h, y obtenida su traza vertical en el nuevo
sistema, U’’h1, la nueva traza vertical ’’1 de pasará por U’’h1 y M’, siendo este último punto el de
encuentro de ’ con la nueva línea de tierra (figura 4.65).
Un modo alternativo de trabajo es el que se muestra en la figura 4.66. Consiste en operar con otra
línea de tierra (de trazo discontinuo en la figura) paralela a la nueva línea de tierra e incidente con la
primitiva en un punto dentro de los límites del dibujo, de manera que permita conseguir la dirección de
la nueva traza vertical (recta M’N’’1). Mediante una sencilla traslación de dicha recta hasta hacerla
pasar por P, punto de encuentro de la nueva línea de tierra con la traza horizontal del plano, se
conseguirá la nueva traza vertical ’’1.
4.4.4. Cambio de plano horizontal de proyección
Sean, como en el caso anterior, los planos V y H los planos de proyección que determinan un sistema
diédrico en el que se encuentran definidos un punto A, una recta r y un plano . Vamos a estudiar, en
este caso, como se modifican estos elementos geométricos cuando se realiza un cambio de plano
horizontal de proyección sobre el sistema diédrico definido, introduciendo un nuevo plano horizontal
H1.
Figura 4.65. Obtención de las trazas de un plano tras un cambio de plano vertical. Método 1.
Figura 4.66. Obtención de las trazas de un plano tras un cambio de plano vertical.
Método 2.
37 Cambio de plano horizontal de un punto
Representado un punto A del espacio en un sistema diédrico inicial determinado por los planos V y H,
mediante sus proyecciones A’ y A’’, vamos a obtener las nuevas proyecciones A’1 y A’’1 del mismo, en
un nuevo sistema diédrico definido por el primitivo V y un nuevo plano horizontal H1, que,
naturalmente, debe ser perpendicular a V.
En la figura 4.67 se puede ver que en este caso la proyección vertical A’’ no varía al cambiar H por
H1, obteniéndose, sin embargo, una nueva proyección horizontal A’1. También se observa que la
distancia del punto A del espacio al plano vertical (alejamiento), y, no se modifica, ya que el plano
vertical V permanece invariable. Por tanto, operando de modo análogo al caso del cambio de plano
vertical, la nueva proyección horizontal, A’1, se obtendrá (figura 4.68) trazando desde A’’, que
permanece fija y por tanto coincide A’’1, la perpendicular a la nueva línea de tierra, y llevando sobre
esta perpendicular la distancia y, que separa la proyección primitiva A’ del plano vertical, a partir de la
nueva línea de tierra y en el mismo sentido respecto de sus trazos que en la primitiva línea de tierra.
Cambio de plano horizontal de una recta
Para obtener la nueva representación de una recta tras un cambio de plano horizontal (figura 4.69),
Figura 4.69 Cambio de plano horizontal. Recta Figura 4.70. Nuevas proyecciones de una recta tras un cambio de plano horizontal
Figura 4.67. Cambio de plano horizontal. Figura 4.68. Nuevas proyecciones de un punto tras un cambio de plano horizontal.
38 procederemos de manera análoga al caso del cambio de plano vertical, es decir, obtendremos las
nuevas proyecciones de dos cualesquiera de sus puntos, teniendo en cuenta que la proyección
vertical no varía.
Los puntos elegidos, como en el caso anterior, han sido las trazas de la recta. La nueva proyección
horizontal de la recta, r’1, es ahora la recta H’r1V’r1. Obsérvese en la figura 4.70 que en este caso la
primitiva traza vertical de la recta lo sigue siendo, mientras que la traza horizontal, en general, varía.
La nueva traza horizontal es ahora G’r1.
Cambio de plano horizontal de un plano
Veamos, por último, cómo afecta a la representación de un plano, un cambio de plano horizontal de
proyección.
Si el plano está determinado por tres puntos no alineados o por dos rectas (paralelas o incidentes), la
nueva representación del plano se obtiene averiguando las nuevas proyecciones horizontales de
estos puntos o rectas, según lo ya visto.
En el caso de que un plano esté dado por sus trazas, la traza vertical, ’’, no varía, mientras que la
nueva traza horizontal, ’1, será la recta de intersección
de , con el nuevo plano horizontal, H1 (figura 4.71).
El problema consiste, por tanto, en determinar la nueva
traza horizontal ’1 de . Razonando de modo análogo
al epígrafe anterior, en la figura 4.72 se puede observar
que los dos planos horizontales, el nuevo H1 y el
antiguo, H, se cortan según la recta F’’F’, perpendicular
al plano vertical, siendo el punto F del espacio, el punto
común a los tres planos, H, H1 y (figura 4.71). Dicho
punto pertenece a la nueva traza horizontal ’1 de .
Si el punto F no se pudiese obtener dentro de los
límites del dibujo por no incidir las dos líneas de tierra,
se puede operar como en el caso del cambio de plano
Figura 4.73. Obtención de las trazas de un plano tras un cambio de plano vertical.
Figura 4.71. Cambio de plano horizontal. Plano Figura 4.72. Nuevas trazas de un plano tras un cambio de plano horizontal
39 vertical, pero utilizando en este caso una recta frontal f del plano (figura 4.73), que seguirá siéndolo
después del cambio de plano horizontal. Obtenida la nueva traza horizontal, J’f1, la nueva traza
horizontal ’1 de pasará por G” y J’f1 . También se puede seguir el método descrito en el epígrafe
anterior, que se puede ver en la figura 4.66.
4.4.5. Cambios de planos de proyección sucesivos
En este epígrafe se va a realizar sucesivamente el cambio de los dos planos de proyección, y se va a
aplicar a las representaciones de un punto P, perteneciente a una recta r contenida en un plano .
(figura 4.74).
Para ello supondremos en primer lugar que el sistema primitivo constituido por los planos V y H ha
pasado al determinado por los planos V1 y H, siendo, naturalmente, V1 perpendicular a H y por tanto
proyectante horizontal en el sistema primitivo. En una segunda etapa el sistema constituido por los
planos V1 y H pasa al determinado por los planos V1 y H2, siendo H2 perpendicular a V1, es decir,
proyectante vertical en el segundo sistema.
Figura 4.74. Cambios sucesivos de planos de proyección. a) Punto, b) Recta, c) Plano y d) Representación agrupada tras aplicar cambios
a) b)
c) d)
40 4.4.6. Obtención de posiciones particulares de rectas y planos
Para conseguir posiciones favorables de rectas y
planos empleando cambios de plano se ha de
proceder planteando las siguientes etapas:
1) elección de la nueva línea de tierra, y 2) determinación del plano que se ha de
cambiar.
Posiciones particulares de rectas
Transformación de una recta oblicua en
horizontal (figura 4.75)
Considerando que una recta horizontal tiene su
proyección vertical paralela a la línea de tierra,
bastará efectuar un cambio de plano horizontal,
tomando la nueva línea de tierra paralela a la
proyección vertical de la recta dada. En la figura
4.6.22 se ha procedido cambiando dos puntos A y
B cualesquiera de la recta.
Transformación de una recta oblicua en frontal
(fiura. 4.76)
Teniendo en cuenta que una recta frontal tiene su
proyección horizontal paralela a la línea de tierra,
bastará hacer un cambio de plano vertical
tomando la nueva línea de tierra paralela a la
proyección horizontal de la recta.
Transformación de una recta oblicua en recta
de perfil (figura. 4.77)
Las proyecciones de una recta de perfil son
perpendiculares a la línea de tierra, y por tanto
esta será la condición con la que se elegirá la
nueva línea de tierra. Se puede elegir
perpendicular a la proyección horizontal, por lo
que la proyección horizontal se mantendrá, o bien
perpendicular a la proyección vertical, en cuyo
caso será la proyección vertical la que se
mantenga. Este es el caso mostrado en la figura
4.77, habiéndose realizado un cambio de plano
horizontal.
Transformación de una recta oblicua en recta
perpendicular al plano horizontal (figura 4.78)
En este caso son necesarios dos cambios de
plano. En primer lugar, mediante un cambio de
plano vertical (sistema de planos de proyección
V1-H), se convierte la recta en frontal y, seguidamente, mediante un cambio de plano horizontal
Figura 4.75. Transformación de una recta oblicua en horizontal.
Figura 4.76. Transformación de una recta oblicua en frontal.
Figura 4.77. Transformación de una recta oblicua en recta de perfil.
41
(sistema de planos de proyección V1-H2), en el que se elige la nueva línea de tierra perpendicular a
r”1, la recta se transforma en perpendicular al horizontal.
Transformación de una recta oblicua en recta perpendicular al plano vertical (figura 4.79)
Bastará para ello convertir a la recta en horizontal mediante un cambio de plano horizontal (sistema
de planos de proyección V-H1) y, a continuación, transformarla en la posición deseada de
perpendicularidad respecto al plano vertical mediante un cambio de plano vertical (sistema de planos
de proyección V2-H1), tomando la línea de tierra perpendicular a r’1.
Transformación de una recta de perfil en recta paralela a la línea de tierra (figura 4.80)
Será necesario efectuar un doble cambio de plano.
En primer lugar para situar una de las
proyecciones de la recta paralela a la línea de
tierra, es decir en horizontal o frontal. En la figura
4.80, la recta r se ha transformado en frontal
mediante un cambio de plano vertical (sistema de
planos de proyección V1-H). La línea de tierra de
este nuevo sistema se ha tomado paralela a la
proyección horizontal inicial. Los alejamientos de
todos los puntos de la recta ahora son iguales, por
tanto si se efectúa un segundo cambio de plano
(sistema de planos de proyección V1-H2) de tal
forma que sea la proyección vertical r”1 la que no
varíe, situando la nueva línea de tierra paralela a
ella, es decir un cambio de plano horizontal, la
nueva proyección horizontal queda paralela a esta
última línea de tierra, consiguiéndose de este
modo la posición deseada.
Figura 4.78. Transformación de recta oblicua a perpendicular al plano horizontal.
Figura 4.79. Transformación de recta oblicua a perpendicular al plano vertical.
Figura 4.80 . Transformación de una recta de perfil en paralela a la línea de tierra.
42
Posiciones particulares de planos
Transformación de un plano oblicuo en paralelo a la línea de tierra (figura 4.81)
Para convertir el plano , dado por sus trazas en
una posición de paralelismo respecto de la línea
de tierra, basta con elegir la nueva línea de tierra
paralela a la traza que no cambia. En la figura
4.81 se ha elegido como traza que no cambia la
vertical ”, y teniendo en cuenta que interceptará
a la nueva línea de tierra en un punto impropio, la
nueva traza horizontal ’1 seguirá la dirección de
este punto impropio. Es decir ambas trazas serán
ahora paralelas a la nueva línea de tierra, que era
la posición deseada.
Transformación de un plano oblicuo en proyectante vertical (figura 4.82)
Para transformar un plano oblicuo en
proyectante, se efectuará un cambio de plano
considerando qué traza se desea que se
mantenga. La nueva línea de tierra se tomará
perpendicular a esa traza y se opera en la forma
acostumbrada. En la figura 4.82 se ha realizado
un cambio de plano vertical, en el que se ha
tomado como nueva línea de tierra una
perpendicular a la traza horizontal del plano.
Transformación de un plano oblicuo en proyectante horizontal (figura 4.83)
Siguiendo las indicaciones anteriores, en la figura
4.83 se ha tomado la nueva línea de tierra
perpendicular a la traza vertical, que no cambia, y
se ha efectuado, por tanto, un cambio de plano
horizontal.
Transformación de un plano oblicuo en horizontal (figura 4.84)
En este caso son necesarios dos cambios de
plano. En primer lugar se transforma el plano
dado, , en perpendicular al plano vertical de
proyección mediante un cambio de plano vertical
(sistema de planos de proyección V1-H) y, a
continuación, mediante un cambio de plano
horizontal (sistema planos de proyección V1-H2)
en el que se elige la nueva línea de tierra paralela
a la traza vertical ”1, se transforma en paralelo al
horizontal, que es la posición buscada.
Figura 4.82. Transformación de un plano oblicuo en proyectante vertical
Figura 4.83. Transformación de un plano oblícuo en proyectante horizontal
Figura 4.81. Transformación de un plano oblícuo en plano paralelo a L.T.
43
Transformación de un plano oblicuo en frontal (figura 4.85)
Se precisan, como en el caso anterior, dos
cambios de plano. En este caso bastará con
transformar el plano para conseguir posición de
perpendicularidad respecto del plano horizontal,
mediante un cambio de plano horizontal (sistema
de planos de proyección V-H1) para, a
continuación, convertirlo en frontal mediante un
cambio de plano vertical (sistema de planos de
proyección V2-H1), tomando la línea de tierra
paralela a la traza horizontal ’1.
Transformación de un plano oblicuo en plano de perfil (figura 4.86)
También se necesita en este caso realizar un
doble cambio de plano de proyección. Se puede
operar utilizando, en primer lugar, un cambio de
plano horizontal con lo que la traza vertical se
mantiene (sistema de planos de proyección V-
H1). De este modo, se elige la nueva línea de
tierra perpendicular a la esta traza y se convierte
el plano en proyectante horizontal. Un segundo
cambio de plano, en esta ocasión un cambio de
plano vertical (sistema de planos de proyección
V2-H1) cuya nueva línea de tierra es
perpendicular a la nueva traza, ’1, determinada
en la etapa anterior, permite obtener la posición
deseada. Este es precisamente el proceso
seguido en la figura 4.86.
Transformación de un plano oblicuo en vertical de proyección (figura 4.87)
Para conseguir la posición buscada se necesitan
dos cambios de plano. Uno de ellos transforma
el plano dado en proyectante horizontal (sistema
de planos de proyección V-H1), y por tanto se
trata de un cambio de plano horizontal, mientras
que el segundo convierte al anterior en vertical
de proyección (sistema de planos de proyección
V2-H1), para lo que basta considerar que la
nueva línea de tierra es la traza ’1.
Transformación de un plano oblicuo en horizontal de proyección (figura 4.88)
En este caso el plano se convierte en primer
lugar en proyectante vertical (sistema de planos
de proyección V1-H), adoptándose después la
nueva traza vertical ”1 como línea de tierra del
Figura 4.84. Transformación de un plano oblicuo en horizontal.
Figura 4.85. Transformación de un plano oblicuo en frontal.
Figura 4.86. Transformación de un plano oblicuo en plano de perfil.
44
sistema en el que el plano es horizontal de proyección (sistema de planos de proyección V1-H2).
4.4.7. Aplicaciones de los cambios de planos de proyección
Obtención de verdaderas magnitudes de distancias
Distancia de un punto a una recta (figura 4.89)
Si mediante dos cambios de planos de proyección se consigue posicionar la recta de modo que
quede perpendicular a uno de los planos de proyección, el horizontal por ejemplo, la mínima distancia
que separa al punto P de la recta r, vendrá medida por el segmento D. Este es precisamente el
conjunto de operaciones que se ha efectuado en la figura 4.89. En primer lugar, mediante un cambio
de plano vertical se ha situado la recta paralela al plano vertical y posteriormente, mediante un
cambio de plano horizontal la recta queda perpendicular al plano horizontal. Conseguida la verdadera
magnitud de dicha distancia, retornar al sistema de planos de proyección inicial es una operación
carente de dificultad, ya que como se observa en la figura, por P’’1 se ha trazado la perpendicular a la
proyección r’’1 recta, obteniendo el punto A’’1, y a partir de este último punto se obtienen sobre las
proyecciones iniciales de la recta, las de la distancia buscada.
Figura 4.87. Transformación de un plano oblicuo en vertical de proyección.
Figura 4.88. Transformación de un plano oblicuo en horizontal de proyección.
Figura 4.89. Distancia de un punto a una recta.
45
Distancia de un punto a un plano (figura 4.90)
Se habrá de llegar a una posición, por ejemplo, de perpendicularidad respecto al plano horizontal
para que en d’’1 se consiga la verdadera magnitud D de la distancia buscada. Mediante un solo
cambio de plano, en este caso horizontal se alcanza la posición deseada empleando una frontal f del
plano determinado por los puntos A, B y C. Obsérvese en la figura que la recta PQ es horizontal en el
nuevo sistema V-H1, por lo que su proyección vertical resulta paralela a la nueva línea de tierra y por
tanto, perpendicular a la proyección vertical f’’ de la recta frontal utilizada.
Distancia entre dos rectas paralelas (figura 4.91)
Si mediante dos cambios de planos de proyección sucesivos, por ejemplo uno de ellos de vertical y el
otro de horizontal, se consiguen posiciones de ambas rectas de modo que resulten perpendiculares a
un plano de proyección (en este caso se ha elegido el plano horizontal), la distancia entre las rectas r
y s se obtendrá sin deformar, y por tanto en verdadera magnitud sobre dicho plano. Esta es la
secuencia de operaciones que se ha efectuado en la figura 4.91.
Figura 4.90. Distancia de un punto a un plano.
Figura 4.91. Distancia entre dos rectas paralelas.
46
Distancia entre una recta y un plano paralelo (figura 4.92)
De nuevo, si mediante dos cambios de planos de proyección se dejan recta y plano perpendiculares a
uno de proyección, la distancia entre la recta y el plano se verá proyectada sin deformar y por tanto
en verdadera magnitud sobre dicho plano. En la figura 4.6.38 se han conseguido posiciones de la
recta r, paralela al plano determinado por los puntos A, B y C y de este plano, perpendiculares al
plano vertical, empleando dos cambios de planos sucesivos, uno de horizontal y otro de vertical.
Figura 4.92. Distancia entre una recta y un plano
paralelo.
47
Distancia entre dos planos paralelos (figura 4.93)
Se deberá conseguir una posición favorable en la que
ambos planos resulten proyectantes horizontales o
bien verticales. Dicha posición se alcanza mediante
un único cambio de plano, en la figura un cambio de
plano vertical. Sobre el nuevo plano vertical se
obtendrá la verdadera magnitud de la distancia entre
ambos planos.
Distancia entre dos rectas que se cruzan (figuras 4.94 y 4.95)
La obtención de la mínima distancia entre dos rectas
que se cruzan viene dada por el segmento de
perpendicular común a ambas cuyos extremos
apoyen en dichas rectas. Si una de las rectas es
perpendicular a uno de los planos de proyección, la
obtención de la mínima distancia entre ellas se
simplifica considerablemente, ya que se puede ver en
verdadera magnitud sobre ese plano de proyección al
que una de ellas era perpendicular. En el caso
general que las rectas r y s sean oblicuas a los
planos de proyección, siempre se podrá conseguir
una posición de perpendicularidad respecto de un
plano de proyección para una de ellas, mediante dos
cambios de planos de proyección. Si se procede de
este modo, siempre se podrá medir directamente la
distancia buscada. Este es el procedimiento seguido
en la figura 4.94. Retornar al sistema primitivo de
planos de proyección es ya una operación sencilla.
Otra alternativa, mostrada en la figura 4.95, consiste
en trazar un plano que contenga a una de las rectas r
y sea paralelo a la otra s (en la figura dicho plano es el triángulo ABC, que determinan una de las
rectas, r, la paralela a s por un punto cualquiera B de r, recta m, y una frontal AC del mismo) y a
continuación, mediante un
cambio de plano de proyección
(horizontal en la figura) se deja
dicho plano, contenedor de la
recta r, proyectante, resultando
la nueva proyección s’1 de la
otra recta paralela a la recta
definidora de dicho plano (recta
A’1B’1C’1), obteniéndose de este
modo la verdadera magnitud de
la distancia buscada sobre el
segmento D. Sin embargo la
situación exacta en el espacio
Figura 4.93. Distancia entre dos planos paralelos.
Figura 4.94. Distancia entre dos rectas que se cruzan. Método 1
Figura 4.95. Distancia entre dos rectas que se cruzan. Método 2.
48 del segmento mínima distancia no estará todavía determinada. Para ello, se efectúa un segundo
cambio de plano de proyección (vertical en la figura) respecto del cual ambas rectas resulten
paralelas, es decir frontales, y por tanto se pueden localizar los puntos de apoyo sobre estas del
segmento mínima distancia, segmento PQ.
Obtención de verdaderas amplitudes de ángulos
Ángulo entre una recta y un plano (figuras 4.96, 4.97 y 4.98)
Como es sabido el ángulo que forma una recta con un plano es el determinado por la recta y su
proyección ortogonal sobre dicho plano.
Para obtener el ángulo que forma una recta con el plano horizontal de proyección, si se efectúa un
cambio de plano vertical, de modo que el plano proyectante horizontal que contiene a la recta quede
paralelo al plano vertical, en el nuevo sistema, el ángulo que se desea medir se proyectará en
verdadera magnitud sobre dicho plano. La recta pasará, por tanto, a una posición frontal (figura 4.96).
Análogamente si mediante un cambio de plano horizontal, en este caso, el plano proyectante vertical
que contiene a la recta queda paralelo al nuevo plano horizontal, el ángulo que forma la recta con el
plano vertical se proyectará en verdadera magnitud sobre dicho plano. La recta se transforma ahora
en horizontal (figura 4.97).
El ángulo entre una recta y un plano
oblicuo cualquiera se podrá ver en
verdadera magnitud si mediante dos
cambios de planos de proyección, se deja
la recta perpendicular a un plano de
proyección y, seguidamente, por medio
de un tercer cambio de plano,
manteniendo la recta perpendicular al
plano de proyección correspondiente al
segundo cambio, se deja el plano
perpendicular al otro plano de proyección.
En la figura 4.98, el ángulo buscado se ha
medido tras dejar la recta r perpendicular
al plano horizontal, mediante dos cambios
de plano y, a continuación conseguir una
posición de perpendicularidad del plano
Figura 4.96. Ángulo entre una recta y el plano horizontal de proyección.
Figura 4.97. Ángulo entre una recta y el plano vertical de proyección.
Figura 4.98. Ángulo entre una recta y un plano oblicuo cualquiera.
49 (dado por los puntos A, B y C) respecto del plano vertical mediante un tercer cambio en el que se ha
utilizado la recta 1B del mismo.
Ángulo diedro entre dos planos (figs. 4.99, 4.100 y 4.101)
El ángulo que forman dos planos es el rectilíneo correspondiente al diedro que determinan ambos
planos.
Para conseguir el ángulo que forma un plano oblicuo cualquiera con el plano horizontal de
proyección, se transforma el plano dado en perpendicular al plano vertical mediante un cambio de
plano vertical. De este modo la nueva traza vertical del plano o la proyección vertical de cualquier
frontal del plano determinan con la nueva línea de tierra el ángulo buscado (figura 4.99).
Si se desea determinar el ángulo de un plano oblicuo cualquiera con el plano vertical de proyección,
se transforma el plano dado en perpendicular al plano horizontal de proyección mediante un cambio
de plano horizontal. Ahora la nueva traza horizontal del plano o la proyección horizontal de cualquier
recta horizontal del plano determinan con la nueva línea de tierra el ángulo buscado (figura 4.100).
Directamente se dispondrá de la verdadera amplitud del ángulo de dos planos oblicuos cualesquiera
cuando ambos sean proyectantes respecto del mismo plano de proyección, como ocurre en la figura
4.101. En esta figura, la recta intersección de ambos planos queda perpendicular al plano horizontal
del segundo cambio. Obsérvese que en el primer cambio efectuado la recta se ha colocado frontal,
por lo que las nuevas trazas verticales de ambos
planos, ’’1 y ’’1 serán paralelas al r’’1, pasando
respectivamente por N y M. Las trazas horizontales
’2 y ’2 pasan por r’2, que se reduce a un punto en
el segundo cambio, determinando el ángulo
buscado.
Alternativamente, para determinar el ángulo entre
dos planos se puede utilizar el procedimiento que
se muestra en la figura 4.102, en la que se han
trazado dos rectas, t y t, perpendiculares
respectivamente a ambos planos por un punto P
cualquiera del espacio. Si a continuación, por
medio de dos cambios de plano, se visualiza la
verdadera amplitud del ángulo que determinan
Figura 4.99. Ángulo entre un plano oblicuo con el horizontal de proyección.
Figura 4.100. Ángulo entre un plano oblicuo con el vertical de proyección.
Figura 4.101. Ángulo de dos planos. Método 1.
50 ambas rectas, el ángulo que forman los dos planos es el suplementario del que forman ambas rectas.
En la representación diédrica que se puede ver en dicha figura, se ha aplicado este método, en el que
se ha optado por realizar los dos cambios de plano de proyección mencionados. En esta
representación los dos planos vienen dados por los triángulos ABC y DEF.
Obsérvese en dicha figura la conveniencia de elegir la recta frontal 1-2 del plano determinado por t y
t, para conseguir que este plano sea proyectante horizontal en el primer cambio (de horizontal en la
figura), para a continuación, dejar dicho plano paralelo al vertical del último cambio y poder visualizar
la verdadera amplitud del ángulo buscado en esta proyección.
Obtención de secciones planas
La obtención de secciones planas se simplifica considerablemente si el plano seccionador es
proyectante respecto de alguno de los planos de proyección. Siempre se podrá conseguir esta
posición del plano seccionador
mediante un sólo cambio de
plano de proyección.
En la figura 4.103 se ha
efectuado tal operación, para
conseguir que el plano dado
por los puntos M, N y O sea
proyectante, en este caso
vertical. De este modo se
consiguen los puntos P, Q, R,
S, T y U, proyecciones de los
puntos de la sección deseada,
para a continuación, referirlos
a las proyecciones primitivas
del sólido a seccionar.
Seguidamente se ha efectuado
un segundo cambio de plano,
en este caso horizontal, para
determinar la verdadera
Figura 4.102. Ángulo entre dos planos. Método 2. a) Figura de análisis y b) Representación diédrica.
a) b)
Figura 4.103 Obtención de secciones planas de sólidos.
51 magnitud de la sección. En la representación, al objeto de reducir el tamaño de la misma, y tras
efectuar el segundo cambio de plano se han considerado los alejamientos de todos los puntos de la
verdadera magnitud de la sección, relativos al alejamiento del punto S, que se ha considerado nulo.
/Visualización en verdadera magnitud y sin deformar de figuras planas (vistas auxiliares)
Mediante uno o dos cambios de plano de proyección siempre se podrá transformar cualquier cara de
una pieza, oblicua a los planos de proyección en su representación diédrica, con lo que dicha cara se
visualizará en verdadera magnitud y sin deformar. La nueva proyección de la pieza que se obtiene se
denomina “vista auxiliar”.
En la figura 4.104, el plano que contiene a la cara ABC de la pieza dada se ha transformado mediante
dos cambios de planos de proyección sucesivos, uno vertical y el siguiente horizontal. Para ello se ha
elegido una recta, d en la figura, perpendicular a dicha cara que, por medio de las transformaciones
mencionadas, se ha convertido en perpendicular al plano de proyección horizontal correspondiente al
segundo cambio. La vista obtenida según la dirección de esa recta, permite conseguir la verdadera
magnitud buscada.
Figura 4.104. Verdadera magnitud de figuras planas. Vistas auxiliares.
52 Obtención de perspectivas axonométricas ortogonales
Dada una pieza como la de la figura 4.105, se puede obtener la perspectiva axonométrica de la
misma según una dirección d cualquiera, a partir de sus proyecciones diédricas, sin más que realizar
dos cambios de planos de proyección sucesivos hasta convertir a la recta d en perpendicular a uno
de los de proyección.
En la figura se han realizado dichos cambios de planos, convirtiendo a la recta d en perpendicular al
plano horizontal H2 correspondiente al segundo cambio. Este plano se considera entonces como
plano del cuadro de la axonometría ortogonal mencionada.
Figura 4.105. Obtención de perspectivas axonométricas ortogonales.