Unidad 4 – Lección 4.1

La Integral Indefinida

01/11/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 15

Actividades 4.1

• Referencia del Texto: Sección 14.21: The Indefinite Integral; 1-16, 23-

33 (impares), 41-43 . 14.3 – Integration with Initial Conditions 13-15

• Math2me Integral de una constante

Integral con exponente positivo│ej 1, 2 y 3

Integral con exponente negativo│ej 1 y 2

Integral de la suma o resta de funciones

Integral indefinida│comprobación

Integral de una función algebraica│ejercicio 1

Integral de una función algebraica│ejercicio 3

• Khan Academy. Bajo el tema "Integrales indefinidas como

antiderivadas" vea: Video "Las antiderivadas e integrales indefinidas"

Video "Integrales indefinidas de x elevada a una potencia"

Video "La antiderivada de una expresión todavía más peliaguda"

Video "La antiderivada de x^-1"

Video "Antiderivadas trigonométricas y exponenciales básicas"

Hacer los ejercicios de "Antiderivadas"

Hacer los ejercicios de "Integrales Indefinidos"

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Antiderivada

• Una función F es la antiderivada de f sobre un

intervalo I si F’(x) = f(x) para todo x en I.

• Ejemplo:

• es una antiderivada de

• Otras son:

• En general, si F es una función antiderivada de f

sobre un intervalo I, cualquier otra antiderivada de f

será de la forma F(x) + c donde c es una constante.

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5)( 2 xxxF

12)( xxf

1)( 2

1 xxxF xxxF 2

2 )( xxxF 2

3 )(

3 de 15

Integral indefinida

• La integral indefinida de f(x) se define como el

conjunto de todas las antiderivadas F de f(x).

donde c es una constante.

• Ejemplos:

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cxFdxxf )()(

dxx 12 xx 2c

dxx3

4

4x c

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Reglas básicas de antiderivadas

• Recuerde

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ckxdxk

xndx xn1

n 1 c , n 1

dx 5 cx 5

dxx 3 cx

4

4

Ejemplos:

dx cx

Ejemplos:

dxx 21

cx

2

3

23

cx

3

2 23

cxx

3

2

dx cx

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Reglas básicas de antiderivadas …

• Si f, g son las funciones antiderivables en un

intervalo y k una constante. Entonces:

• Ejemplos:

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dxfkdxkf (x) (x)

dxx26 cx

36

3

dxx26 cx 32

dxx33- dxx 3 3

1

cx

13

13

13

1

cx

3

43

3

4

cx

4

93 4

cxx

4

9 3

6 de 15

Reglas básicas de antiderivadas …

• Si f, g son las funciones antiderivables. Entonces:

• Ejemplos:

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dxgdxfdxf (x) (x) g(x)](x)[

dxxx 122

dxxdxdxx 122

3

3x

22

2x x

cxxx 23

31

c

dx

x

21

cx

x

2

12

2

1

dxxdx 2

1

2 1

cxx 4

dxxdx 2

1

2 1

321 cccc

7 de 15

Ejercicio #1

1.

2.

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dxxx 121 53

dxx 4 3

dxxdxxdx 53 12

cxxx 64 24

1

dxx 43

cx

4

7

47

cxx

7

4 4 3

cx

7

4 4

7

8 de 15

Antiderivadas para recordar ..

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dxx

1

dxe xcex

dxa x número,un es a Si ca

a x

ln

cx ||ln

dx 3- x dxx 3 cx

ln3 c

x

ln

3

Ejemplos:

dx

x

61 xdxdx

x

16 ||ln6 x c

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Ejercicio #2

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2ex dx

2ex c

dxx 32 cx

2ln

32

dxx

x

23

dx

xx

x 23

dxxx 2

1

2

1

23

dxxdxx 2 3 2

1

2

1

cxx

2

12

2

33

2

1

2

3

cxxx 42

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Ejemplo 3

• Encuentre f si si f(1) = 3

• Solución: f es una antiderivada de f’(x)

• si f(1) = 3, entonces

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225)(' xxxf

dxxxf 225 dxxxdxdx 225

x52

22x

3

3x

cxxx 32

3

15

c

3)1(3

1)1()1(5)1( 32 cf

33

115 c

3

4c

3

4

3

15)( 32 xxxxf

11 de 15

Ejemplo 4

• El costo marginal de cierta empresa está dada por

𝐶′ 𝑥 = 18 − 0.05𝑥 + 0.005𝑥2. Si el costo de producir

200 unidades es de $25,400, encuentre

a) La función costo

b) Los costos fijos de la empresa

c) El costo de producir 450 unidades

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Ejemplo 4 (a)…

• 𝐶 𝑥 = 𝐶′ 𝑥 𝑑𝑥

Si el costo de producir 200 unidades es de $25,400,

Por tanto la función costo es:

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0.05𝑥2

2+

0.005𝑥3

3+ 𝑐

25400 = 18 200 −0.05(200)2

2+0.005(200)3

3+ 𝑐

25400 = 3600 − 1000 +40,000

3+ 𝑐

25400 ≈ 15,933 + 𝑐

9,467 ≈ 𝑐

= (18 −0.05𝑥 + 0.005𝑥2)𝑑𝑥

= 18𝑥 −

C 𝑥 = 18𝑥 −0.05𝑥2

2+0.005𝑥3

3+ 9,467

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Ejemplo 4 (b) y (c) …

• Si la función costo es:

• Los costos fijos son:

• El costo de producir 450 unidades es aproximadamente:

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C 𝑥 = 18𝑥 −0.05𝑥2

2+0.005𝑥3

3+ 9,467

$9,467

C 450 = 18 450 −0.05 450 2

2+0.005 450 3

3+ 9,467

= 8,100 − 5,062.50 + 151,875 + 9,467

≈ $164,379

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Ejercicios del Texto

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 15 de 1501/11/2016