unidad 3. medidas de posición

Unidad 3:Medidas de posiciónLas medias y sus propiedades

Mediana y modaMedidas de posición no centrales;

Cuartiles, deciles y percentiles

Prof. Alejandra Camors

2

Es buena idea codificar las variables como números para poder procesarlas con facilidad

Es conveniente asignar “etiquetas” a los valores de las variables para recordar qué significan los códigos numéricos. Sexo (Cualit: Códigos arbitrarios)

1 = Hombre 2 = Mujer

Raza (Cualit: Códigos arbitrarios) 1 = Blanca 2 = Negra,...

Felicidad Ordinal: Respetar un orden al codificar. 1 = Muy feliz 2 = Bastante feliz 3 = No demasiado feliz

Se pueden asignar códigos a respuestas especiales como

0 = No sabe 99 = No contesta...

Estas situaciones deberán ser tenidas en cuentas en el análisis. Datos perdidos (‘missing data’)

Tema 1: Introdución 3

Aunque se codifiquen como números, debemos recordar siempre el verdadero tipo de las variables y su significado cuando vayamos a usar programas de cálculo estadístico.

No todo está permitido con cualquier tipo de variable.

4

ARREGLO ORDENADO

Una vez que los datos de la encuesta se encuentran listos, el siguiente paso es organizar la información y ordenarla.

• Por cada variable se hace un ordenamiento simple.

• El determinar cual es el dato que tiene menor valor y cual el de mayor valor es información vital para empezar a trabajar con variables cuantitativas.

5

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Sin importar si los datos están o no ordenados, siempre es posible crear una distribución de frecuencias para los datos de una variable en una muestra.

La distribución de frecuencias es una tabla de resumen en la que los datos están organizados en clases o grupos numéricamente ordenados.

6


Se organiza en filas y columnas para resumir la información y poder realizar interpretaciones de manera rápida y efectiva.

Seleccionar el número apropiado de agrupaciones o clases para la tabla,

determinando una amplitud conveniente de las clases y estableciendo los límites

de cada una para evitar traslape.

7

Amplitud de intervalo o clase

La Amplitud de cada intervalo o clase se calcula dividiendo el rango entre el número de intervalos elegidos.

Se ha convenido que todos los intervalos tengan la misma amplitud.

elegidosIntervalosdeNumero

RangoAmplitud

8

Amplitud de un Intervalo o clase

La mayoría de las veces la amplitud de un intervalo es mejor trabajarla con una anchura que sea un número entero (aplican restricciones).

Si el resultado de la división es decimal, se redondea el resultado de la siguiente manera.• Si el resulta es menor de 0.5 se elimina la parte decimal.

• En caso contrario se pasa al próximo entero.

9

Cálculo de la amplitud

Muestra de restaurantes citadinos

7

7/49

7

49

1463

Amplitud

Amplitud

Intervalos

Rango

Rango

DatoMenorDatoMayorRango

10

Calcular el rango.Elegir el número de intervalosCalcular la anchura de cada intervaloGenerar los intervalos de clases (no

deben menos de 5 ni más de 15)Determinar la frecuencia para cada

intervalo.

Procedimiento para generar una distribución de frecuencias

11

FRECUENCIA ABSOLUTA

La información en cada intervalo debe ser única.

Para determinar el número de intervalos para una distribución, se calcula con la información del valor del Rango.

Intervalos Frecuencia

2-200812

Se sugiere que una distribución de frecuencias no debe tener menos de 5 intervalos, ni más de 15.

Si no se sigue esta convención, la interpretación de los datos puede ser demasiado condensada o muy dispersa y en ambos casos los resultados aunque están bien, no son objetivos. Y puede afectar la toma de decisiones.

IntervalosFrecuen

cia

Intervalo 1 Frec. 1

Intervalo 2 Frec. 2

Intervalo 3 Frec. 3

Intervalo 4 Frec. 4

Intervalo 5 Frec. 5

Intervalo 6 Frec. 6

FRECUENCIA ABSOLUTA

13


Determinar el número de intervalos que sirva a una muestra se basa en la experiencia o sentido común de la persona que va a generar la distribución de frecuencias.

Intervalos Frecuencia

Intervalo 1 Frec. 1

Intervalo 2 Frec. 2

Intervalo 3 Frec. 3

Intervalo 4 Frec. 4

Intervalo 5 Frec. 5

Intervalo 6 Frec. 6

14

Frecuencia Acumulada

La frecuencia acumulada es la suma parcial para cada intervalo, permite hacer observaciones sobre los intervalos que están por debajo de él.

15

Cálculo de la frecuencia acumulada

Se suman todas las frecuenciasSe suma la frecuencia del intervalo con

todas las frecuencias anteriores.La frecuencia acumulada de cada

intervalo nunca es menor que el valor del intervalo anterior.

El último intervalo debe tener como resultado la suma de todas las frecuencias (tamaño de la muestra)

2-200816

PRECIO POR PLATO FrecuenciaFrecuencia Acumulada

14 pero menos de 21 1 1








Frecuencia Acumulada

17

Frecuencia Porcentual

La frecuencia porcentual es la misma frecuencia relativa pero en formato de % (porcentaje). El total de la muestra siempre resulta ser 100%

18

Frecuencia Porcentual

La frecuencia porcentual se puede calcular para las frecuencias absolutas o las acumuladas

2-200819

PRECIO POR PLATO FrecuenciaFrecuencia

Porcentual

14 pero menos de 21 1 0.02*100 = 2

21 pero menos de 28 5 0.10 *100 = 10

28 pero menos de 35 7 0.14*100 = 14

35 pero menos de 42 16 0.32*100 = 32

42 pero menos de 49 10 0.20*100 = 20

49 pero menos de 56 9 0.18*100 = 18

56 pero menos de 63 1 0.02*100 = 2

63 pero menos de 70 1 0.02*100 = 2

20

FrecuenciaFrecuencia: desde un conjunto de unidades, corresponde al Número o Porcentaje de veces que se : desde un conjunto de unidades, corresponde al Número o Porcentaje de veces que se presenta una característica.presenta una característica.

DISCRETADISCRETA

CONTINUACONTINUA

ORDINALORDINAL

NOMINALNOMINAL

TIPO FRECUENCIATIPO FRECUENCIAFrecuencia Absoluta (F)Frecuencia Absoluta (F) Frecuencia Relativa Frecuencia Relativa

(f)(f)

Frecuencia Absoluta Frecuencia Absoluta Acumulada (FAA)Acumulada (FAA)

Frecuencia Relativa Frecuencia Relativa Acumulada (fra)Acumulada (fra)

DISCRETADISCRETA

CONTINUACONTINUANOMINALNOMINAL

ORDINALORDINAL

Variable Variable CuantitativaCuantitativa

Variable Variable CualitativaCualitativa

Variable Variable CuantitativaCuantitativa

Variable Variable CualitativaCualitativa

21

VariablesVariables- Tipo de Industria: se clasifica en industria tipo A, B, C o D. (- Tipo de Industria: se clasifica en industria tipo A, B, C o D. (cualitativa nominalcualitativa nominal))- Nº de Empleados: se refiere al número de empleados en las líneas de producción. (- Nº de Empleados: se refiere al número de empleados en las líneas de producción. (cuantitativa discretacuantitativa discreta))- Superficie: se refiere a los - Superficie: se refiere a los metros cuadradosmetros cuadrados ( (unidad de medidaunidad de medida) disponibles para las áreas de ) disponibles para las áreas de

producción. (producción. (cuantitativa continuacuantitativa continua))- Calificación: calificación realizada por una institución pública sobre cumplimiento de ciertos estándares - Calificación: calificación realizada por una institución pública sobre cumplimiento de ciertos estándares

(Muy Bien, Bien, Regular, Mal). ((Muy Bien, Bien, Regular, Mal). (cualitativa ordinalcualitativa ordinal))

Industria nº Tipo Nº Empleados Superficie Calificación

1 A 100 1000,6 Muy Bien

2 B 150 1200,4 Bien

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

299 D 250 800,3 Mal

300 C 300 4000,2 Regular

Problema de Investigación: Se quiere establecer el perfil de las industrias de Problema de Investigación: Se quiere establecer el perfil de las industrias de conserva en función de algunas características. conserva en función de algunas características. Unidad de Análisis: Industria de ConservaUnidad de Análisis: Industria de ConservaPoblación: Industrias de Conservas del paísPoblación: Industrias de Conservas del país

DatosDatos

EJEMPLOEJEMPLO

22

EJEMPLOEJEMPLO

TABLAS DE TABLAS DE FRECUENCIAFRECUENCIA

Tipo deIndustria

FrecuenciaAbsoluta (Fj)

FrecuenciaRelativa (fj)

Porcentaje(%)

A

B

C

D

Total 300 1 100

CalificaciónFrec.

Absoluta (Fj)Frec.Relativa

(fj) o %Frec. Absol.

Acum. (FAAj)Frec. Relat.

Acum. (fraj) o %

Muy Bien

Bien

Regular

Mal 300 1 (o 100)

Total 300 1 (o 100)

Numero deEmpleados

Frec.Absoluta (Fj)

Frec.Relativa(fj) o %

Frec. Absol.Acum. (FAAj)

Frec. Relat.Acum. (fraj) o %

<100

[100-150[

.

.

[950-1000] 300 1 (o 100%)

Total 300 1 (o 100%)Superficie

(mt2)Frec.

Absoluta (Fj)Frec.Relativa

(fj) o %Frec. Absol.

Acum. (FAAj)Frec. Relat.

Acum. (fraj) o %

<200

[200-400[

.

.

[50000-5200] 300 1 (o 100%)

Total 300 1 (o 100%)

(1)(1)(2)(2)

(3)(3)

(4)(4)

Problema de Investigación: Se quiere establecer el perfil de las industrias de conserva en Problema de Investigación: Se quiere establecer el perfil de las industrias de conserva en función de algunas características. función de algunas características. Unidad de Análisis: Industria de ConservaUnidad de Análisis: Industria de ConservaPoblación: Industrias de Conservas del paísPoblación: Industrias de Conservas del país

SE CONSTRUYE UNA TABLA de DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA POR CADA VARIABLE

23

Elementos de una tabla de frecuencia cuando la variable es continua (x)Elementos de una tabla de frecuencia cuando la variable es continua (x)

Intervalo Centro de clase Amplitud F f FAA fra

I1 c1 a1

I2 c2 a2 . .

Ik ck ak n 1

Total n 1

[LI1 ; LS1 [

[LI2 ; LS2 [

[LIk ; LSk]

aj = (LSj – LIj))cj = (LIj) + LSj )/2

Estadística

24

En síntesis, para la presentación ordenada de datos

0

1

2

3

4

5

6

7

Hombre Mujer

Las tablas de frecuencias y las representaciones gráficas son dos maneras equivalentes de presentar la información. Las dos exponen ordenadamente la información recogida en una muestra.

Género Frec.

Hombre 4

Mujer 6

Tema 1: Introdución25Instituto Universitario Gastón Dachary

Datos desordenados y ordenados en tablas

Variable: GéneroModalidades:

H = HombreM = Mujer

Muestra:

M H H M M H M M M H

equivale aHHHH MMMMMM

Género Frec. Absoluta

Frec. Relat.

porcentaje

Hombre 4 4/10=0,4=40%

Mujer 6 6/10=0,6=60%

10 = tamaño muestral

26

Número de hijos

419 27,8 27,8

255 16,9 44,7

375 24,9 69,5

215 14,2 83,8

127 8,4 92,2

54 3,6 95,8

24 1,6 97,3

23 1,5 98,9

17 1,1 100,0

1509 100,0

0

1

2

3

4

5

6

7

Ocho+

Total

Frec.Porcent.(válido)

Porcent.acum.

Ejemplo ¿Cuántos individuos

tienen menos de 2 hijos?frec. indiv. sin hijos

+ frec. indiv. con 1 hijo = 419 + 255= 674 individuos

¿Qué porcentaje de individuos tiene 6 hijos o menos?97,3%

¿Qué cantidad de hijos es tal que al menos el 50% de la población tiene una cantidad inferior o igual?2 hijos

≥50%

Media aritméticaMedia aritmética

La media aritmética es la suma de todos los valores de la distribución dividida por el número total de datos.

Para el caso de En el caso contrario

frecuencias unitarias;

N

x

N

xxxx

N

ii

n

121 ...

n

i

iinn

N

nx

N

nxnxnxx

1

2211 ...

Media aritméticaSi tenemos datos agrupados en intervalos,

se puede usar la marca de clase representando el valor medio de dicha clase.

Media aritmética ponderada es la media cuando cado valor tiene una ponderación

ii

iiix

x

La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma

de todos los datos y el número de estos.

Ejemplo: las notas de Juan el año pasado fueron:

5, 6, 4, 7, 8, 4, 6

La nota media de Juan es:

Nota media = 7,57

40

7

6487465

que suman 40

Hay 7 datos

Media aritmética (I)

Media aritméticaVentajas…

Consideración de todos los valores Calculable Única Es el centro de gravedad (primera propiedad).

…e inconvenientes…

Si la variable tiene valores anormalmente extremos, la media aritmética puede distorsionarse, haciéndola incluso poco representativa. (La mediana, que vamos a estudiar más tarde, no tiene este inconveniente.)

Uso: distribuciones en escala de intervalos o de proporción.

Cálculo de la media aritmética cuando los datos se repiten.

Ejemplo. Las notas de un grupo de alumnos fueron:

Notas Frecuenciaabsoluta

Notas xF. absoluta

3 5 155 8 40

6 10 60

7 2 14Total 25 129

1,525

129 Media

Datos por frecuencias

Total de datos

1º. Se multiplican los datos por sus frecuencias absolutas respectivas, y se suman.2º. El resultado se divide por el total de datos.

Media aritmética (II)

MedianaDefinición:

Aquel valor de la distribución, supuesta ésta ordenada de menor a mayor, que deja a su izquierda y a su derecha el mismo número de frecuencias, es decir el valor que ocupa el lugar central, supuesto un número impar de datos. Si el número de datos fuese par puede decirse que hay dos valores medianos, y se toma la media aritmética entre ellos como valor mediano.

La mediana de un conjunto de datos es un valor del mismo tal que el número de datos menores que él es igual al número de datos mayores que él.

1º. Ordenamos los datos:

56,57, 59, 63, 65, 71, 72, 72

2º. El dato que queda en el centro es: 63 y 65

La mediana vale 65.

Si el número de datos fuese par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales.

la mediana es: 642

6563

Número par de valores

2

122

nn xx

Me

La mediana de un conjunto de datos es un valor del mismo tal que el número de datos menores que él es igual al número de datos mayores que él.

Los pesos, en kilogramos, de 7 jugadores de un equipo de fútbol son:

Ejemplo:72, 65, 71, 56, 59, 63, 72

1º. Ordenamos los datos:

56, 59, 63, 65, 71, 72, 72

2º. El dato que queda en el centro es 65.

La mediana vale 65.

Número impar de valores

2

1nxMe

MedianaEn distribuciones agrupadas en intervalos:

Busca el valor que ocupa el lugar

Encontramos un intervalo mediano. Suponemos que todos los valores dentro del intervalo mediano se encuentran distribuidos uniformemente a lo largo de él. Vamos a considerar la poligonal de frecuencias acumuladas correspondiente al intervalo mediano y a sus dos contiguos, y determinamos gráficamente la mediana.

2/N

ii

i

i cn

NN

LMe

1

12

Test sobre satisfacción en el trabajo: N=88

Clases fi Fi

[38-44)

[44-50)

[50-56)

[56-62)

[62-68)

[68-74)

[74-80)

7

8

15

25

18

9

6

7

15

30 < 44

55 > 44

73

82

88

Aplicando la fórmula:

Li = 56c = 6N/2 = 44Fi-1 = 30fi = 25

36.5925

3044656

M

i

i

i f

FN

cLM12.

Li = Límite inferior de la clase modalc = amplitud de los intervalosN = Número total de datosFi-1 = Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la clase mediana.Fi = frecuencia absoluta de la clase mediana.

88/2= 44

Mediana

La mediana no es sensible como la media aritmética a los valores extremos. En estos casos, la mediana puede dar un resumen más representativo.

La mediana de un variable discreta es siempre un valor de la variable. (Ej. Numero de hijos.).

ModaEl valor de la variable que más veces se

repite; en una distribución de frecuencias, es decir, es el valor que tiene la frecuencia más alta.

La moda de un conjunto de datos es el dato que más se repite.

Una zapatería ha vendido en una semana los zapatos que se reflejan en la tabla:

Ejemplo.

La moda es 41.

Nº de calzado 38 39 40 41 42 43 44 45

Nº de personas 16 21 30 35 29 18 10 7

El número de zapato más vendido, el dato con mayor frecuencia absoluta, es el 41.

Lo compran 35 personas

Modaa) Distribuciones no agrupadas en

intervalos.

observa la columna de las frecuencias absolutas, el valor que tiene la mayor frecuencia es la moda.

Una distribución puede tener una moda relativa y una moda absoluta.

Una distribución también puede tener más que una moda.

Moda b) Distribuciones agrupadas en intervalos

B1: intervalos de la misma amplitudEl intervalo que tiene la mayor frecuencia da un intervalo

modal. Dentro este intervalo podemos encontrar el valor modal, usando diferentes criterios;Tomar como valor modal el extremo inferior del intervalo.

.Considerar como valor modal el extremo superior.

.Hacer la moda igual a la marca de clase. .Suponiendo que:

1) Todos los valores del intervalo están distribuidos uniformemente dentro de él.

2) La moda estará más cerca de aquel intervalo contiguo cuya frecuencia sea mayor.

1 iLMo

iLMo ixMo

Claramente la frecuencia mayor la encontramos en 8.

Entonces, la moda de las notas de este curso corresponde a un 4,0.

Ejemplo 1

Nota Frecuencia

2,5 1

3,0 2

3,5 7

4,0 8

4,5 6

5,0 2

5,5 6

6,0 5

6,5 2

7,0 2

Encontramos que hay dos frecuencias que son igualmente altas.

Ambas corresponden a 4.

Entonces, esta es una distribución bimodal, que corresponde a las edades de 23 y 25.

Ejemplo 2

Edad Frecuencia

22 2

23 4

25 4

26 3

28 3

30 1

31 2

35 1

47

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

-Media Aritmética (Promedio)Media Aritmética (Promedio)-MedianaMediana-ModaModa

n

xx

n

ii

1

Media Aritmética o PromedioMedia Aritmética o Promedio

MedianaMediana

)(EM kx

2M )1()(

E

kk xx

x

1x

2x

nx

Datos CuantitativosDatos Cuantitativos

x

)1(x

)2(x

)(nx

Datos Cuantitativos ordenados de menor a mayorDatos Cuantitativos ordenados de menor a mayor

Si Si nn es par es par

Si Si n n es impares impar

centro del dato)( kx

repite" se más que dato el"M o ModaModaDatos Datos

Cualitativos y CuantitativosCualitativos y Cuantitativos

Estadística

2-200848

Cuantiles

CuartilesDecilesPercentiles

Los cuantiles son medidas de posición “no central” que se utilizan con mayor frecuencia y se emplean sobre todo para resumir o describir las propiedades de conjuntos grandes de datos

numéricos.

Medidas de posición no centralesLos cuartiles; tres valores que dividen la

distribución en cuatro partes iguales. 25 por ciento están incluidos en cada uno de los cuatro intervalos.

Los deciles; nueve valores que dividen la distribución en diez partes iguales. 10 por ciento están incluidos en cada uno de los diez intervalos.

Los percentiles; noventa y nueve valores que dividen la distribución en cien partes iguales. 1 por ciento están incluidos en cada uno de los cien intervalos.

CuartilesDe la misma manera que la mediana divide un conjunto de datos en dos grupos iguales, los cuartiles lo dividen en cuatro grupos iguales.

Cada grupo está formado por 25% de los datos de la muestra y se denotan por C1, C2 y C3

respectivamente

25% 25% 25% 25%

C1 C2 C3

51

Cuartiles

)4

)1(3(

)4

)1(2(

)4

1(

3

2

1

niónValorPosicQ

niónValorPosicQ

niónValorPosicQ

La obtención de los cuartiles depende del número de datos de la muestra; se utilizan los mismo conceptos del cálculo de la mediana. Las fórmulas para cada los cuartiles 1 y al vienen a ser:

52

Se define en minutos el tiempo que le lleva arreglarse, desde que se levanta hasta que sale de casa. A lo largo de 10 días hábiles consecutivos, Usted recaba los tiempos (redondeados a minutos) que se muestras a continuación

39 29 43 52 39

44 40 31 44 35

53

Tamaño de la muestra N=10

35

)3(

)75.2(

)4

110(

)4

1(

1

1

1

1

1

Q

VPQ

VPQ

VPQ

nVPQ

29

31

35

39

39

40

43

44

44

52

Cuartil 1

33

54


5.392

4039

)5.5(

)4

)110(2(

)4

1(

2

2

2

2

1

Q

Q

VPQ

VPQ

nVPQ

29

31

35

39

39

40

43

44

44

52

Cuartil 2

5.55.5

55


44

)8(

)25.8(

)4

)110(3(

)4

1(

3

3

3

3

1

Q

VPQ

VPQ

VPQ

nVPQ

29

31

35

39

39

40

43

44

44

52

Cuartil 3

88

56

Deciles

Los deciles dividen una muestra en 10 grupos iguales y cada decil acumula el 10% de los

datos.

Se trabajan igual que los cuartiles

10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%

Medidas de posición no centrales

Deciles:

1D es el valor que ocupe el lugar 10

N.


2N.

…etc…


9N.

58

Percentiles

Los percentiles dividen una muestra en 100 grupos iguales y cada percentil acumula el 1%

de los datos.

Se trabajan igual que los cuartiles y deciles

1% 1% 1% 1% 1% 1% 1%

Medidas de posición no centrales

Perceciles:

1P es el valor que ocupe el lugar 100

N.


2N.

…etc…


99N.

unidad 3. medidas de posición

Education