UNIDAD 3

UNIDAD 3 ANALISIS DIMENSIONAL Y TEORIA DE MODELOS3.1 ANALISIS DIMENSIONALElanlisis dimensionales una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenmeno en el que estn involucradas muchasmagnitudes fsicasen forma de variables independientes. Su resultado fundamental, elteorema de Vaschy-Buckingham(ms conocido porteorema) permite cambiar el conjunto original de parmetros de entrada dimensionales de un problema fsico por otro conjunto de parmetros de entrada adimensionales ms reducido. Estos parmetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parmetros dimensionales y no son nicos, aunque s lo es el nmero mnimo necesario para estudiar cadasistema. De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamao mnimo se consigue: Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio Reducir drsticamente el nmero de ensayos que debe realizarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.El anlisis dimensional es la base de los ensayos conmaquetasa escala reducida utilizados en muchas ramas de la ingeniera, tales como laaeronutica, laautomocino laingeniera civil. A partir de dichos ensayos se obtiene informacin sobre lo que ocurre en el fenmeno a escala real cuando existesemejanza fsicaentre el fenmeno real y el ensayo, gracias a que los resultados obtenidos en una maqueta a escala son vlidos para el modelo a tamao real si los nmeros adimensionales que se toman como variables independientes para la experimentacin tienen el mismo valor en la maqueta y en el modelo real. As, para este tipo de clculos, se utilizanecuaciones dimensionales, que son expresionesalgebraicasque tienen comovariablesa lasunidades fundamentalesy derivadas, las cuales se usan para demostrar frmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta.Finalmente, el anlisis dimensional tambin es una herramienta til para detectar errores en los clculos cientficos e ingenieriles. Con este fin se comprueba la congruencia de las unidades empleadas en los clculos, prestando especial atencin a las unidades de los resultados.Para reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parmetros, se siguen los siguientes pasos generales:1. Contar el nmero de variables dimensionalesn.2. Contar el nmero de unidades bsicas (longitud,tiempo,masa,temperatura, etc.)m3. Determinar el nmero de grupos adimensionales. El nmero de grupos o nmeros adimensionales ()esn - m.4. Hacer que cada nmerodependa den - mvariables fijas y que cada uno dependa adems de una de lasn - mvariables restantes (se recomienda que las variables fijas sean una del fluido o medio, una geomtrica y otra cinemtica; ello para asegurar que los nmeros adimensionales hallados tengan en cuenta todos los datos del problema).5. Cadase pone como un producto de las variables que lo determinan elevadas cada una a una potencia desconocida. Para garantizar adimensionalidad deben hallarse todos los valores de los exponentes tal que se cancelen todas las dimensiones implicadas.6. El nmeroque contenga la variable que se desea determinar se pone como funcin de los dems nmeros adimensionales.7. En caso de trabajar con un modelo a escala, ste debe tener todos sus nmeros adimensionales iguales a las del prototipo para asegurar similitud.

3.2 GRUPOS ADIMENSIONALESGrupo de cantidades que cuando se multiplican entre ellas es la unidad.Las magnitudes que intervienen en el movimiento de un fluido, se pueden agrupar en tres tipos: - magnitudes mecnicas del fluido - magnitudes trmicas del fluido - magnitudes del flujo

Los parmetros adimensionales asociados a las magnitudes anteriores, vienen determinados por relaciones entre los diversos efectos que se pueden considerar:

3.3 TEORIA DE BUCKINHAMDado un problema fsico en el que el parmetro dependiente es funcin den-1parmetros independientes, se puede expresar la relacin entre las variables de manera funcional como:

dondeq1es el parmetro dependiente yq2,q3,...,qnsonn-1parmetros independientes. Matemticamente se puede expresar la ecuacin anterior como:

dondeges una funcin no especificada, pero diferente def.El Teoremapde Buckingham establece que dada una relacin entrenparmetros de la forma

losnparmetros pueden agruparse enn-mparmetros adimensionales independientes (o parmetrosp) que se expresan de manera funcional como:

o de otra forma

El nmeromusualmente (pero no siempre) es igual al nmero mnimo de dimensiones independientes que se requieren para especificar las dimensiones de todos los parmetrosq1,q2,...,qn.El teorema no predice la forma funcional deGoG1. Estas deben ser determinadas experimentalmente.Procedimiento para el empleo del Teoremapde Buckingham en un anlisis dimensional.El anlisis dimensional de un problema se lleva a cabo en tres etapas. Dentro de la segunda de estas etapas se aplica el Teoremapde Buckingham para obtener los parmetros adimensionales que el problema requiera. La aplicacin del Teorema de Buckingham consta de seis pasos.1. Establecer una lista apropiada de parmetros.2. Obtener los parmetrosPadimensionales usando el teoremapde Buckingham.1. Listar todos los parmetros significativos. (Seanel nmero de parmetros).2. Seleccionar un conjunto fundamental (primario) de dimensiones.3. Listar las dimensiones de todos los parmetros, expresndolos en funcin de las dimensiones primarias. (Searel nmero de dimensiones primarias).4. Seleccionar de la lista de parmetros que se elabor en elPaso 1, aquellos que se repetirn en los parmetros adimensionales que se han de formar. Estos parmetros que se repiten debern ser iguales en nmero a las dimensiones primarias y deber evitarse omitir alguna de ellas. (Seamel nmero de parmetros que se repiten).5. Establecer las ecuaciones dimensionales que combinen los parmetros que se repiten y que se seleccionaron en elPaso 4con cada uno de los parmetros restantes, buscando formar parmetros adimensionales. (Seann-mel nmero de ecuaciones que se obtendrn). Resolver estas ecuaciones dimensionales para obtener losn-m parmetros adimensionales.6. Verificar que cada parmetro obtenido resulte adimensional.1. Determinar experimentalmente la relacin funcional entre los parmetrosP.

3.4 SEMEJANZA GEOMETRICA, CINEMATICA Y DINAMICALateora de las semejanzases aquella que se emplea para el trabajo conmodelos a escalaentneles aerodinmicoscon el objetivo de que el comportamiento de los mismos sea lo ms cercano posible a como se comportara en una situacin real el objeto en cuestin. Manifiesta que los criterios fundamentales para establecer la semejanza de un modelo a escala con el objeto real son los delnmero de Reynoldsy elnmero de Mach. Los objetos de estudio pueden servehculos espaciales,aviones,puentesyedificaciones. SEMEJANZAS ENTRE EL MODELO Y EL OBJETO REALPara analizar mediante un modelo a escala los fenmenos que podran ocurrir en el objeto real es necesario que entre ambos (modelo y objeto real) exista semejanza geomtrica, cinemtica y dinmica.1Semejanza geomtrica[editar]Segn esta teora, los casos ms simples de las semejanzas de fenmenos, es la semejanza geomtrica. Dos fenmenos (cosas) son geomtricamente semejantes si todas las correspondientes dimensiones lineales que las caracterizan son proporcionales. Los criterios de semejanza geomtrica son relaciones entre cualesquier correspondientes dimensiones lineales. En los fenmenos geomtricamente semejantes, todos los criterios homnimos de semejanza geomtrica son iguales.Semejanza cinemtica[editar]Dos fenmenos son cinemticamente semejantes si con la semejanza geomtrica, tiene lugar al mismo tiempo, proporcionalidad y orientacin igual de losvectoresde velocidad en todos los puntos adecuados. Los criterios principales de semejanza cinemtica son ngulos que determinan la posicin de un cuerpo respecto al vector velocidad de la corriente libre.Semejanza dinmica[editar]Dos fenmenos son dinmicamente semejantes si con la semejanza cinemtica tiene lugar la proporcionalidad y orientacin igual de los vectores fuerzas en todos los puntos adecuados de dichos fenmenos hablando en rigor, la semejanza dinmica se consigue solo si tiene lugar la semejanza completa de fenmenos cuando todas las magnitudes fsicas similares son iguales en todos los puntos correspondientes. Para obtener en la prctica la similitud de fenmenos aerodinmicos basta lograr la proporcionalidad de las fuerzas de rozamiento y presin lo que simplifica mucho este problema. CRITERIOS DE SEMEJANZA

Por nmero de ReynoldsSupongamos que hemos logrado la similitud de dosfenmenos aerodinmicos. Por ejemplo, fenmenos de derrame alrededor del ala del avin en vuelo y el de su modelo. Que sean determinadas por va experimental las fuerzas aerodinmicas que actan en el modelo. Para aplicar estos resultados a unplaneadorreal es necesario establecer la ecuacin que podra relacionar las fuerzas aerodinmicas en dos fenmenos semejantes. Con el fin de deducir tal ecuacin vamos a despejar cerca delalareal unapartcula de aireelemental conmasa(Todas las magnitudes referentes al planeador las designaremos con el subndice 1 y al modelo con 2). Que sobre la partcula despejada desde el lado del aire ambiente acte la fuerza. Entonces dicha partcula en su movimiento adquirir laaceleraciny segn laSegunda ley de Newton:

Elvolumende la misma partcula lo expresaremos en la formasiendola disminucin lineal caracterstica yel factor de forma. Por consiguiente, lamasade la partculay la expresin de la fuerza elemental se pone en la forma:

La expresin anloga puede escribirse tambin para la partcula correspondiente al modelo de un fenmeno:

La relacin de las fuerzas elementales que obran en un fenmeno y en su modelo ser:

En unidad de la semejanza geomtricay siendoylas superficies caractersticas correspondientes; debido a la semejanza cinemtica;y al fin, de acuerdo con la semejanza dinmica las fuerzas elementales son proporcionales a otras fuerzas similares:

Por consiguiente, la relacin de cualesquier fuerzas similares que obran en dos fenmenos dinmicamente semejantes, por ejemplo fuerzas aerodinmicas totales, ser:

donde:

Esta ltima expresin es la ecuacin en la que las fuerzas aerodinmicas se hallan relacionadas en dos fenmenos dinmicamente semejantes. En esta ecuacin pueden sustituirse los valores de densidades y velocidades en cualesquiera pero infaliblemente adecuados puntos de la corriente y cualesquiera pero obligatoriamente correspondientes superficies. Para uniformidad, en la determinacin de las caractersticas aerodinmicas de cuerpos suelen emplearse los valores de densidady velocidadde la corriente libre. Como superficie caracterstica de un ala y de un avin en todo su conjunto se toma una superficie de ala en plano, puesto quela expresin puede ponerse en la forma:

La relacin adimensional de cualquier fuerza aerodinmica a la presin dinmica de la corriente libre y superficie caracterstica, se llama coeficiente de esta fuerza:

(Coeficiente de fuerza aerodinmica total)(Coeficiente de resistencia al avance)(Coeficiente de fuerza de sustentacin)

Como se deduce de las ecuaciones anteriores, en los fenmenos dinmicamente semejantes los coeficientes aerodinmicos similares son iguales, lo que quiere decir que pueden determinarse, no en condiciones naturales, sino en modelos dinmicamente semejantes. Si se conoce el coeficiente(por ejemplo) la fuerza misma se calcula por la frmula:

La cual se llama frmula general de la fuerza aerodinmica. De acuerdo con la ecuacin anterior cualquier fuerza aerodinmica puede representarse como un producto del coeficiente adimensional de dicha fuerza por la presin dinmica de la corriente libre y superficie caracterstica. Paralelo a la fuerza aerodinmica se deben considerar los momentos de estas respecto a los diversos ejes. Para pasar, en la ecuacin anterior, de las fuerzas a los momentos, vamos a multiplicar el primer miembro de dicha ecuacin por la relacin, el segundo miembro por la relacinsiendoyrespectivamente, los brazos de fuerzas respecto a un eje elegido y las dimensiones lineales caractersticas en los fenmenos semejantes en un ala, debido a la similitud de los fenmenos; tendremos. Puesto queyson momentos de fuerzas respecto al eje dado, puede escribirse:

La relacin adimensional del momento aerodinmicoa la presin dinmica de la corriente libre, superficie caracterstica y dimensin lineal caracterstica se llama coeficientedel momento:

Parmetros que se emplean para la deduccin de la frmula del momento aerodinmico

Se deduce que en los fenmenos dinmicamente semejantes los coeficientes de los momentos similares son iguales, se escribe en la forma:

En las cuestiones antes expuestas se ha demostrado que si los fenmenos son dinmicamente semejantes los coeficientes aerodinmicos similares son iguales. Para convencernos de la similitud de los fenmenos, durante la simulacin haremos las siguientes observaciones: Supongamos que en dos fenmenos dinmicamente semejantes actan solo las fuerzas derozamiento viscoso. Para las superficies elementalesy, las mismas fuerzas pueden expresarse como:F=>fuerza de rozamiento=>Coeficiente dinmico de viscosidadV=>Velocidad del flujoS=>rea de la superficiePuesto que en los fenmenos dinmicamente semejantes las fuerzas son proporcionales a los productospor lo que podemos escribir:Volviendo a la deduccin de la ecuacin anterior no es difcil establecer que el segundo miembro de la proporcin escrita es la relacin de los productoslos cuales de acuerdo con el principio de D Alembert pueden llamarse Fuerzas de Inercia que se oponen a la variacin de velocidad de las partculas de aire elementales en dos fenmenos dinmicamente semejantes.