03 analisis dimensional
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ANÁLISIS DIMENSIONAL
M. en C. RICARDO ROBERTO HORTA OLIVARESPROFESOR DE LA ACADEMIA DE BIÓNICA.
Prof. Ricardo R. Horta Olivares,Acad. de Biónica, UPIITA.
Ejemplo 1, 1ª Y 2ª Leyes de NewtonGalileo hizo un gran avance en la comprensión delmovimiento cuando descubrió el Principio de Inercia: siun objeto se abandona y, si no es perturbado, continúamoviéndose con una velocidad constante en una línearecta si es que estaba originalmente moviéndose ócontinúa en reposo si es que estaba en reposo.
Prof. Ricardo R. Horta Olivares,Acad. de Biónica, UPIITA.
Por ejemplo:
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( )
tLv
vtLvtmL
bcdatMLtLtMLvtmL dcbdaddcba
=∴⋅
==Π
=−=−=⇒=
==Π=Π
−−
−+−
: tantoloPor 0y 1 ,11 :Sea,,,
11011
11
Para conocer la relación entre nuestras tres variablesbásicas, L, m y t, con la variación de L en el tiempo (v,velocidad), aplicamos el Teorema de Buckingham.Donde n=4 y k=3, por lo que n – k = 1. Un productoadimensional Π1:
Prof. Ricardo R. Horta Olivares,Acad. de Biónica, UPIITA.
Newton escribió 3 leyes, la 1ª ley fueuna mera confirmación del Principio deInercia de Galileo. La 2ª ley dio unamanera específica para determinarcomo la velocidad cambia bajodiferentes influencias llamadas“fuerzas”. La 3ª ley describe lasfuerzas con algún detalle de laigualdad de la acción y reacción. La 2ªLey de Newton sostiene que lasfuerzas cambian el movimiento de unobjeto de este modo: “la variacióntemporal de una cantidad llamadamomentum (p) es proporcional a lafuerza”.
Prof. Ricardo R. Horta Olivares,Acad. de Biónica, UPIITA.
Ahora, para conocer la relación entre nuestras nuevastres variables básicas, L, m, y v con la cantidad demasa en movimiento (p, momentum), aplicamos elTeorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por lo quen – k = 1. Un producto adimensional Π1:
( )
vmppmvpvmL
acdbtMLtLMtLMLpvmL dcdbdcadddccba
⋅=∴==Π
==−=⇒=
==Π=Π
−
−−+++−−
: tantoloPor 0y 1 ,11 :Sea,,,
11101
11
Prof. Ricardo R. Horta Olivares,Acad. de Biónica, UPIITA.
De nuevo, para conocer la relación entre nuestrasnuevas tres variables básicas, L, t, y p con lavariación de p en el tiempo (F, fuerza), aplicamos elTeorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por loque n – k = 1. Un producto adimensional Π1:
( )
naceleració
:Con
: tantoloPor 0y 1 ,11 :Sea,,,
11101
2211
=
=⋅=∴⋅=⇒
=∴⋅
==Π
=−=−=⇒=
==Π=Π
−−
−−+++−−
atvaamF
tvmF
tpF
tFpFptL
abdctMLtLMtLMtLFptL dcbdcdcadddcccba
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Ejemplo 2, Definiciones Eléctricas.En el S.I. De unidades, por acuerdo internacional, seha aceptado que para medir la intensidad de unacorriente eléctrica se use el amperio, nombre querecuerda al sabio físico y matemático francés, AndréMarie Ampere; para la diferencia de potencial, elvoltio, como reconocimiento a Volta y para laresistencia eléctrica el ohmio, para perpetuar lamemoria del sabio alemán descubridor de la ley.
La corriente eléctrica es una corriente de electrones(Q), por consiguiente, el número de ellos en ciertolapso de tiempo (t) a través de una resistenciaunitaria (R) es lo que se llama intensidad decorriente eléctrica.
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Para conocer la relación entre nuestras tres variablesbásicas, Q, t, y R con la variación de Q en el tiempo (I,corriente), cantidad de carga en movimiento, aplicamosel Teorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por loque n – k = 1. Un producto adimensional Π1:
( )
tQI
ItQItQR
acdbtQRtQtQRItQR dcdbaddcba
=∴⋅
==Π
=−=−=⇒=
==Π=Π
−−
−+−
: tantoloPor 0y 1 ,11 :Sea,,,
11101
11
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El físico alemán, George Simón Ohm, despues de unaserie numerosa de experimentos para fijar los factoresque afectan a la corriente eléctrica, estableció en 1827la relación que existe entre ellos y enunció su ley comosigue: “La intensidad de una corriente eléctrica (I )varía directamente proporcional a la diferencia depotencial (V ) e inversamente a la resistencia delconductor (R )”
Prof. Ricardo R. Horta Olivares,Acad. de Biónica, UPIITA.
Ahora, para conocer la relación entre nuestras tresvariables básicas, I, t, y R con el potencial eléctricoproducido en una resistencia unitaria por una corrienteunitaria (V, voltaje), aplicamos el Teorema deBuckingham. Donde n=4 y k=3, por lo que n – k = 1.Un producto adimensional Π1:
( )
IRVVRIVIRt
acdbIRtIRIRtVIRt dcdbaddcba
⋅=∴==Π
==−=⇒=
==Π=Π
−
++
: tantoloPor 0y 1 ,11 :Sea,,,
11101
11
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Así pues, se define el ohmio como “la resistencia quepresenta un conductor que al aplicarle entre susextremos una diferencia de potencial de un voltio, esrecorrido por una corriente de un amperio”.
Así mismo el voltio es definido como “la diferencia depotencial eléctrico (V ) que existe entre dos puntos deun hilo conductor (R ), que transporta una corrienteconstante de un amperio (I ), cuando la potenciaeléctrica (P ) disipada entre estos dos puntos es igual aun Vatio”.
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Ahora, para conocer la relación entre nuestras nuevastres variables básicas, I, R, y V con la potenciaeléctrica disipada en una resistencia unitaria por unacorriente y potencial unitarios (P, potencia), aplicamosel Teorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por loque n – k = 1. Un producto adimensional Π1:
( )
RVRIP
IVPPVIPVIR
acdbVIRVIVIRPVIR dcdbaddcba
22
11101
11
:ó
: tantoloPor 0y 1 ,11 :Sea,,,
==
⋅=∴⋅
==Π
==−=⇒=
==Π=Π
−
++
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Ejemplo 3La fuerza de arrastre Fa que actúa sobre un cuerpo(esfera) que se mueve por un fluido de viscosidad µ[M/LT] y densidad ρ [M/L3], es una función deldiámetro D [L] y de la velocidad v [L/T] del objeto conrelación al fluido. Determinar (a) la forma de laecuación de esta fuerza y (b) la fuerza de arrastre deuna esfera del doble de tamaño a la misma velocidad.
Número de variables:
Número de dimensiones:
Número de GruposAdimensionales:
5
3 y sean D, v y ρ.
5-3=2
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Resolvemos para Π1 :
dbdcdcba
dddccbba
dcba
TMLTLMLMTLL
vD
−−+−−+
−−−−
=Π
=Π
Π=Π
31
31
11 )( µρ
(a) Tenemos: ),,,( µρvDFa =
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Igualamos a cero los exponentes y resolvemos comoecuaciones simultáneas:
1y 111
00
03
==
−=⇒
=
=−−
=+
=−−+
acdbSea
dbdc
dcba
Por lo tanto:
Π=Π=Π −
µρ
µρDvvD 1
111111 )(
Que es el Número de Reynolds (Re), que es larazón de la Fuerza de Inercia a la de fricción.
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Resolvemos para Π2 :
dbdcdcba
dddccbba
da
cba
TMLTLMLMTLL
FvD
232
232
22 )(
−−++−+
−−−
=Π
=Π
Π=Π ρ
Igualamos a cero los exponentes y resolvemos comoecuaciones simultáneas:
1y
1
020
03
21
21
==
−=⇒
=
=−−
=+
=+−+
acdbSea
dbdc
dcba
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Π=
Π=Π=Π −
aaa F
vDF
DvFvD ρρρ
22
2211
22 )( 21
21
Por lo tanto:
De acuerdo con Buckingham:
( )
Re
1
1,
2222
22
21
210
ρµρ
ρ
ρµρ
vDvDvDF
FvDvD
f
a
a
=
=
=
Π⋅
Π
=ΠΠ=Π
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(b) Por el principio de similitud, tenemos queD 2=2 D 1 y v1=v2:
12
2
21
1
21
2
22
1
21
2
22
22
2
1
12
12
1
4
4
aa
aaaa
aa
FFFD
FD
FD
FD
FvD
FvD
=⇒
=∴=
=ρρ
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Ejemplo 4, Grupos Adimensionales en la Mecánica de Fluidos.
La fuerza de inercia FI que actúa sobre una burbuja quese mueve por un fluido de viscosidad µ [M/LT] y densidadρ [M/L3], es una función del diámetro D [L] y de lavelocidad v [L/T] del objeto con relación al fluido.Determinar la forma de las ecuaciónes de las fuerzasdebidas a: la gravedad g [L/T2]; normales o de presión p[M/T2L]; fricción, debidas a la viscosidad µ; tangenciales,debidas a la tensión superficial σ [M/T2]; normales,debidas a la compresibilidad κ [M/LT2].Número de variables:Número de dimensiones:Número de GruposAdimensionales:
93 y sean D, v y ρ.
9-3=6
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Resolvemos para Π0 :
dbdcdcba
dddccbba
dI
cba
TMLTLMLMTLL
FvD
230
230
00 )(
−−++−+
−−−
=Π
=Π
Π=Π ρ
Tenemos: κσµ FFFFFamF pgI ++++=⋅=
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Igualamos a cero los exponentes y resolvemos comoecuaciones simultáneas:
1y
1
020
03
21
21
==
−=⇒
=
=−−
=+
=+−+
acdbSea
dbdc
dcba
Por lo tanto:
Π=
Π=Π=Π −
III F
vDF
DvFvD ρρρ
22
0011
00 )( 21
21
Es decir: ρ22vDFI =
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Resolvemos para Π1 :
dbcdcba
ddccbba
dcba
TMLTLLMTLL
gvD
231
231
11 )(
−−+−+
−−−
=Π
=Π
Π=Π ρ
Tenemos: ρ22vDFI =
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Igualamos a cero los exponentes y resolvemos comoecuaciones simultáneas:
21
21
y 0
1
020
03
−==
−=⇒
=
=−−
=
=+−+
acdbSea
dbc
dcba
Por lo tanto:
⋅Π=Π=Π −−
gDvgvD 1
0111 )( 2
121
ρ
Que es el Número de Froude (Fr), la razón de laFuerza de Inercia a la de gravedad.
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Por lo tanto, la Fuerza debida a la gravedad es:
ρρ gD
DgvvD
FFFr
Ig
32
22
===
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Resolvemos para Π2 :
dbdcdcba
dddccbba
dcba
TMLTLMLMTLL
pvD
232
232
22 )(
−−+−−+
−−−−
=Π
=Π
ΔΠ=Π ρ
Tenemos: ρ22vDFI =
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Igualamos a cero los exponentes y resolvemos comoecuaciones simultáneas:
0y
1
020
03
21
21
==
−=⇒
=
=−−
=+
=−−+
acdbSea
dbdc
dcba
Por lo tanto:
ΔΠ=
ΔΠ=ΔΠ=Π −
pv
pvpvD ρρ
ρ2
2210
22 )( 21
21
Que es el Número de Euler (Eu), la razón de laFuerza de Inercia a la de presión.
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Por lo tanto, la Fuerza debida a la presión es:
pD
pvvD
EuFF I
p Δ=
Δ
== 22
22
ρρ
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Resolvemos para Π3:
dbdcdcba
dddccbba
dcba
TMLTLMLMTLL
vD
−−+−−+
−−−−
=Π
=Π
Π=Π
33
33
33 )( µρ
Tenemos: ρ22vDFI =
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Igualamos a cero los exponentes y resolvemos comoecuaciones simultáneas:
1y 111
00
03
==
−=⇒
=
=−−
=+
=−−+
acdbSea
dbdc
dcba
Por lo tanto:
Π=Π=Π −
µρ
µρDvvD 3
111133 )(
Que es el Número de Reynolds (Re), la razón dela Fuerza de Inercia a la de fricción.
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Por lo tanto, la Fuerza debida a la fricción es:
µ
µρρ
µ DvDvvDFF I ===22
Re
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Resolvemos para Π4:
dbdccba
ddccbba
dcba
TMLTMLMTLL
vD
234
234
44 )(
−−+−+
−−−
=Π
=Π
Π=Π σρ
Tenemos: ρ22vDFI =
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Igualamos a cero los exponentes y resolvemos comoecuaciones simultáneas:
21
21
21
y
1
020
03
==
−=⇒
=
=−−
=+
=−+
acdbSea
dbdccba
Por lo tanto:
Π=
Π=Π=Π −
σρ
σρ
σρ2
441
44 )( 21
21
21 DvDvvD
Que es el Número de Weber (We), la razón de laFuerza de Inercia a la tensión superficial.
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Por lo tanto, la Fuerza debida a la tensión superficial es:
σ
σρρ
σ DDvvD
WeFF I === 2
22
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Resolvemos para Π5:
dbdcdcba
dddccbba
dcba
TMLTLMLMTLL
vD
235
235
55 )(
−−+−−+
−−−−
=Π
=Π
Π=Π κρ
Tenemos: ρ22vDFI =
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Igualamos a cero los exponentes y resolvemos comoecuaciones simultáneas:
0y
1
020
03
21
21
==
−=⇒
=
=−−
=+
=−−+
acdbSea
dbdc
dcba
Por lo tanto:
Π=
Π=Π=Π −
ρκκ
ρκρ
vvvD 5510
55 )( 21
21
Que es el Número de Mach (Ma), la razón de la Fuerzade Inercia a la de elasticidad, siendo el radical lavelocidad del sonido en el fluido.
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Por lo tanto, la Fuerza debida a la elasticidad es:
κ
κρρ
κ2
2
22
DvvD
MaFF I ===
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Ejemplo 5La hemodinámia se encarga de investigar los fenómenosfísicos que gobiernan el flujo de sangre en el sistemacirculatorio. Utilizando el teorema de Buckinghamestablezca las expresiones que describen el flujosanguíneo considerando las siguientes variables: masaM [M], longitud L [L], velocidad v [L/T], densidad ρ[M/L3], viscosidad µ [M/LT] y presión P [ML/(LT)2].
Número de variables:
Número de dimensiones:
Número de GruposAdimensionales:
6
3 y sean M, L y v.
6-3=3
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Resolvemos para Π1 :
cdadcb
ddccba
dcba
TMLLMTLLM
vLM
−+−+
−−
=Π
=Π
Π=Π
31
31
11 )( µ
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Igualamos a cero los exponentes y resolvemos comoecuaciones simultáneas:
3y 11 :
003
0
−=
−=⇒
=
=−
=−+
=+
bdaSea
cdcb
da
Por lo tanto:
Π=Π=Π −−
ρρ 311031
11 )(LMvLM
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Resolvemos para Π2 :
dcdadcb
dddccba
dcba
TMLTLMTLLM
PvLM
22
22
22 )(
−−+−+
−−−
=Π
=Π
Π=Π
Igualamos a cero los exponentes y resolvemos comoecuaciones simultáneas:
3y 211 :
020
0
−==
−=⇒
=
=−−
=−+
=+
bcdaSea
dcdcbda
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Π=Π=Π −−
PLMvPvLM 32
123122 )(
Por lo tanto:
Resolvemos para Π3:
dcdadcb
dddccba
dcba
TMLTLMTLLM
vLM
−−+−+
−−−
=Π
=Π
Π=Π
3
3
33 )( µ
Prof. Ricardo R. Horta Olivares,Acad. de Biónica, UPIITA.
Igualamos a cero los exponentes y resolvemos comoecuaciones simultáneas:
2y 111 :
00
0
−==
−=⇒
=
=−−
=−+
=+
bcdaSea
dcdcbda
Por lo tanto:
Π=Π=Π −−
µµ 23
112133 )(
LMvvLM
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BIBLIOGRAFÍA
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FLUIDOS, ED. Mc. GRAW-HILL, 1990
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GEOFFREY GORDON, SIMULACIÓN DE SISTEMAS, ED. DIANA, 1980
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LOWEN SITERER-BOHDAN T. KULAKOWSKI, DINAMIC MODELING ANDCONTROL OF ENGINEERING SYSTEM, EL COLLIER MACMILLAN, 1990
PAUL A. LUKER, BERND SCHMIOT, R. P. VAN WIJK VAN BRIEVING, D. P.F. MÖLLER, BIOMEDICAL MODELING AND SIMULATION ON A PC,ADVANCES IN SIMULATION, ED. SPRINGER-VERLAG, 1993