unidad 3. analisis de error y solucion de ecuaciones

7/17/2019 Unidad 3. Analisis de Error y Solucion de Ecuaciones

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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020

MTI. Ulises Girón Jiménez Página | 108

Unidad

3

Análisis del error y solución deecuaciones

Competencia específica a desarrollar: Resolver numéricamente ecuaciones no lineales de

una variable. Resolver numéricamente sistemas de ecuaciones no lineales simultáneas.

Contenido

3.1. Análisis del error.

3.1.1. Cifras significativas

3.1.2. Exactitud y precisión3.1.3. Definición de error y tipos de error.

3.1.4. Propagación del error

3.1.5. Error de truncamiento y serie de Taylor

3.2. Raíces de ecuaciones

3.2.1. Método gráfico

3.2.2. Métodos cerrados. Bisección. Regla Falsa. Otros métodos

3.2.3. Métodos abiertos. Iteración de punto fijo. Método de la secante. Newton- Raphson

3.2.4. Raíces múltiples3.2.5. Raíces de polinomios. Método de Müller. Método de Bairstow

3.3. Solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.

3.3.1. Métodos para solución de ecuaciones lineales. Jacobi. Gauss- Seidel. Gauss-Jordan .

Otros métodos

3.3.2. Métodos de solución de sistemas de ecuaciones no lineales. Iterativo secuencial.

Newton.





3.1 Análisis del error

3.1.1. Cifras significativas

La noción intuitiva de cifras significativas de un número está directamente relacionada con la

precisión de los instrumentos o procesos que lo generan.

El número de cifras significativas de un número x corresponde al número de cifras en la

mantisa de su representación en notación científica.

Ya que 0.00123 = 31.23 10 x , decimos que 0.00123 tiene tres Cifras significativas.

El número 3210 = 33.210 10 x posee cuatro cifras significativas.

Note que en el ejemplo anterior, hemos mantenido el 0 de las unidades. Si el origen delnúmero no garantizara el valor de sus unidades, entonces deberíamos escribir directamente

33.210 10 x lo que indicaría que contamos con sólo tres cifras significativas.

Sean v x y c x los valores verdadero y calculado de una cierta cantidad, con v c x x . Decimos

que c x aproxima a v x con t cifras significativas si t es el mayor entero no negativo para el cual

5 10 t v c

v

x x x

x

Para el caso v x = c x , c x aproxima v x con las cifras significativas propias.

Ejemplo

El número 3.1416 aproxima a 3.1415926 en 6 cifras significativas, ya que:

6 6

3.1415926 3.1416

3.1415926

2.3554932 10 5 10 x x

Como se observa, no es necesario que coincidan los dígitos de las cifras significativas.





Ejercicio 1

Calcular el número de cifras significativas con que 9.99 aproxima a 10.

Ejercicio 2

Calcular el número de cifras significativas con que 1005 aproxima a 1000

El concepto de cifras o dígitos significativos se han desarrollado para designar formalmente la

confiabilidad de un valor numérico. El número de cifras significativas es el número de dígitos

más un digito estimado que se pueda usar con confianza.

Estas cifras proporcionan información real relativa a la magnitud y precisión de las

mediciones de una cantidad. El aumento de la cantidad de cifras significativas incrementa la

precisión de una medición. Los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden

usarse solo para ubicar el punto decimal. Los números:

0.000 018 45

0.000 184 5

0.001 845

Tienen cuatro cifras significativas. La incertidumbre (duda) se puede desechar usando la

notación científica en donde:4.53 x 104

4.530 x 104

4.5300 x 104

Muestran que el número tiene tres, cuatro y cinco cifras significativas.

3.1.2. Exactitud y precisión

Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su

precisión y exactitud.

La precisión es el grado de concordancia dentro de un grupo de mediciones o instrumentos.

Ya que el número de cifras significativas que representa una cantidad o la extensión en las

lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La precisión se





compone de dos características: conformidad y el número de cifras significativas con las

cuales se puede realizar la medición.

La exactitud se refiere al grado de aproximación o conformidad al valor real de la cantidad

medida.

Estos conceptos se pueden ilustrar gráficamente usando una analogía con un buen tirador al

blanco. Los agujeros en el centro del tiro al blanco de cada esquema de la figura siguiente se

pueden imaginar como las predicciones en una técnica numérica, mientras que el centro del

blanco de cada esquema representa la verdad.

La inexactitud (conocida también como sesgo) se define como un alejamiento sistemático de

la verdad. Por lo tanto, aunque las balas en la figura c están más juntas que las de la figura a,

los dos casos son igualmente inexactos ya que ambos se centran en la esquina superior

izquierda del blanco.

La precisión, por el otro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento de las balas. Por lo

tanto, aunque las figuras b y d son igualmente exactas (esto es, igualmente centradas respecto

al blanco), la última es más precisa ya que las balas están en un grupo más compacto.





Figura: Un ejemplo de un buen tirador ilustra el concepto de exactitud y precisión. a) Inexacto

e impreciso; b) exacto e impreciso; e) inexacto y preciso; d) exacto y preciso.

Llamamos incertidumbre o imprecisión a la falta de precisión, y sesgo o inexactitud, a la falta

sistemática de exactitud, ya sea por debajo o bien por arriba de la cantidad exacta. El manejo

de la incertidumbre o imprecisión puede realizarse mediante distribuciones de probabilidad,

en tanto que el manejo de la inexactitud, mediante rangos o intervalos.

Ejemplo.

Si especificamos que el valor de una resistencia eléctrica es de 100 ± 5% Ω, estamos indicando

que su valor real debe estar en el intervalo [95, 105].

Ejemplo

Supongamos que un profesor debe iniciar siempre sus clases a las 7:00 am. Si existe

incertidumbre, podría iniciar con una distribución normal con media de 7:05 y desviación

estándar de 1 minuto, lo cual indica que el 99.7% de las veces iniciaría en el intervalo [7:02,

7:08]. Por otro lado, si existe (solamente) sesgo, entonces empezaría sistemáticamente (por

ejemplo) a las 7:07.

3.1.3. Definición de error y tipos de error.

Error.

Es la discrepancia que existe entre la magnitud verdadera y la magnitud obtenida. Si * p es

una aproximación a p , el error se define como

* p p E

Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como

* p p EA

y el error relativo como ,*

p

p p ER

si 0 p

y cómo por ciento de error a





100)( ER ERP

Error aproximado

100 xonaproximaci

onaproximacionaproximaci

actual

anterior actual

a

Problema:

Suponga que el valor para un cálculo debería ser

21010.0 x p Pero se obtuvo el resultado2* 1008.0 x p , entonces

2 20.10 10 0.08 10 2 EA x x

2 2

2

0.10 10 0.08 100.2

0.10 10

x x ER

x

100 20% ERP ERx

Error por redondeo.

Este error es el resultado de representar aproximadamente números exactos. Es decir, se

debe a la omisión de algunas de las cifras significativas de algún valor específico. Un ejemplo

de donde sucede se da en las computadoras o calculadoras, que solo guardan un número finito

de cifras significativas, cuyo máximo de dígitos o de cifras significativas son de 8 a 14 lo cual

obliga a redondear el valor real.

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un número finito de

cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras

diferentes. Por ejemplo, si solo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede

almacenar y usar como = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un

error de redondeo.

Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, loserrores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del

porque pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos:

Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta.

Además, estos cálculos a menudo dependen entre sí. Estos es, los cálculos posteriores son





dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual

puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de

cálculos puede ser significativo.

El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas

que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se

presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha

importancia.

En el redondeo se conservan las cifras significativas y el resto se descarta.

El último dígito retenido se aumenta en uno si el primer dígito descartado es 5 , si no fuera

así, el dígito conserva su valor.

La importancia de las cifras significativas de los cálculos algebraicos.

Determínese la diferencia de dos números grandes: 32981108.1234 y 32981107.9989.

Enseguida, repítase los cálculos pero incrementándose el minuendo en in 0.001%.

Solución:

La diferencia de los números es:

32981108.1234

32981107.9989 0.1245

Ahora incrementando el minuendo en un 0.001 % se obtiene el número 32 981 437.934 5 y la

diferencia es:





32981437.9345

32981107.9989

329.3356

Que es considerable diferente de la primera. De aquí que una modificación en el minuendo,aparentemente insignificante, provoca una gran diferencia en el resultado.

Problema: Ilustraciones de las reglas de redondeo

Los siguientes ejemplos tienen por objeto ilustrar las reglas de redondeo analizados.

1. Errores de redondeo

5.6723 5.67 3 cifras significativas





2. suma y resta

2.2 – 1.768 = 0.432 = 0.4

0.00468 x 10 -7 + 8.3 x 10 -4 –228 x 10-6 =6.02468 x 10 –4 = 6.0 x 10 -4 se redondea hasta el 3

porque nos indica que es el valor para redondeo

3. multiplicación y división

Evalúese

0.0642 x 4.8 = 0.30816 = 0.31

945/0.3185 = 2967.032967= 2967

Las siguientes reglas pueden aplicarse al redondear números, cuando se realizan

cálculos a mano.

Primera: En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta.

El último dígito que se conserva se aumenta en uno, si el primer dígito descartado es

mayor de “5”; de otra manera se deja igual, pero si el primer dígito descartado es “5” ó

“5” seguido de ceros, entonces el último dígito retenido se incrementa en uno, sólo si

es par.





Segunda: En la suma y la resta, el redondeo se lleva a cabo de forma tal que, el último

dígito retenido en la respuesta corresponda al último dígito más significativo de los

números que están sumando o restando. Nótese que un dígito en la columna de las

centésimas es más significativo que uno de la columna de las milésimas.

Tercera: Para la multiplicación y para la división, el redondeo es tal que, la cantidad

de cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras

significativas que contiene la cantidad en la operación.

Cuarta: Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos

generales. Se puede sumar o restar el resultado de las multiplicaciones o de las

divisiones.

Error numérico total.

El error numérico total es la suma de los errores de truncamiento y de redondeo. Éste es el

medio para poder lograr minimizar los errores debido a redondeo y esto se logra

incrementando el número de cifras significativas.

Los errores por truncamiento pueden ser disminuidos cuando los errores por redondeo se

incrementan. Para poder disminuir un componente del error numérico total, se debe

incrementar otro valor.

Errores humanos

Errores por equivocación. Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de

modelación matemática y puede contribuir con todas las otras componentes del error.

Se puede evitar únicamente con el conocimiento de los principios fundamentales y con

el cuidado sobre la aproximación y diseño de la solución a un problema.

Errores de formulación. Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en

lo que se podrían considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de

un error de formulación imperceptible es el hecho de que la segunda ley de newton no

explica los efectos relativistas.

Incertidumbre en los datos. Algunas veces se introducen errores en un análisis debido a

la incertidumbre de los datos físicos sobre los que se basa el modelo.





3.1.4. Propagación del error

Causas de errores graves en computación

Existen muchas causas de errores en la ejecución de un programa de cómputo. Para esto,

vamos a pensar en una computadora imaginaria que trabaja con números en el sistema

decimal, en forma tal que tiene una mantisa de cuatro dígitos decimales, y una característica

de dos dígitos decimales, el primero de los cuales es usado para el signo. Sumados estos seis al

bit empleado para el signo del número, se tendrá una palabra de siete bits. Los números que

se van a guardar deben normalizarse primero en la siguiente forma

1

7

5

3.0 0.3000 10

7956000 0.7956 10

0.0000025211 0.2521 10

x

x

x

Empleando esta computadora imaginaria, podemos estudiar algunos de los errores más serios

que se cometen en su empleo.

Suma de números muy distintos en magnitud.

Vamos a suponer que se trata de sumar 0.002 a 600 en la computadora decimal imaginaria.

2

3

0.002 0.2000 10

600 0.6000 10

x

x

Estos números normalizados no pueden sumarse directamente y, por tanto, la computadoradebe normalizarlos antes de efectuar la suma

3

3

3

0.000002 10

0.600000 10

0.600002 10

x

x

x

Como sólo puede manejar solo cuatro dígitos, los últimos dos son eliminados y la respuesta es:

30.6000 10

600

x

o bien

Por el resultado, la suma nunca se realizó.

Resta de números casi iguales

Supóngase que la computadora decimal va a restar 0.2144 de 0.2145





0

0

0

0.2145 10

- 0.2144 10

0.0001 10

x

x

x

Como la mantisa de la respuesta esta desnormalizada, la computadora automáticamente la

normaliza y el resultado se almacena como 30.1000 10 x . Por lo tanto hasta aquí no hay error

pero en la respuesta solo hay un solo digito significativo, por el cual se sugiere no confiar en

su exactitud.

La propagación de errores.

Una vez que se sabe cómo se produce los errores en un programa de cómputo, podría

pensarse en tratar de determinar el error cometido en cada paso, y conocer de esa manera el

error total en la respuesta final. Sin embargo, esto no es práctico. Resulta más adecuado

analizar las operaciones individuales realizadas por la computadora para ver cómo se

propagan los errores de dichas operaciones.

Suma

Se espera que al sumar a y b, se obtenga el valor correcto de c = a + b ; no obstante, se tiene en

general un valor de c incorrecto debido a la longitud finita de palabra que se emplea. Puede

considerarse que este error fue causado por una operación incorrecta de la computadora.Entonces el error es:

( ) ( ) Error a b a b

La magnitud de este error depende de las magnitudes relativas, de los signos de a y b, y de la

forma binaria en que a y b son almacenados en la computadora. Esto último varía

dependiendo de la computadora, y por tanto es un error muy difícil de analizar.

Si por otro lado a y b de entrada son inexactos, hay un segundo error posible. Por ejemplo,considérese que en lugar del valor verdadero de a, la computadora tiene el valor *a , el cual

presenta un error a

*

*

a

b

a a

b b





Como consecuencia se tendría, aun si no se cometiera error en la adición, un error en el

resultado:

( * *) ( )

( ) ( )

*

:

( * *) ( )

a b a b

a b c

c

a b a b

c a b

Error a b a b

Error a b a b a b a b

Error

o sea c c

El error absoluto es

a b a b

o bien

Se dice que los errores ya b se han extendido a c, y c se conoce como error de

propagación, lo cual causa un error en el resultado final.

Resta

El error de propagación ocasionado por valores inexactos iniciales a* y b* pueden darse de

manera similar que en la adición, con un simple cambio de signo.

Multiplicación

Si se multiplica los números a* y b* se obtiene

( * *) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b b a a ba x b a x b a x b a x b x x

Si a y b son suficientemente pequeños, puede considerarse que su producto es muy

pequeño en comparación con otros términos, y por tanto, eliminar el ultimo termino. Se

obtiene entonces el error del resultado final

( * *) ( ) ( ) ( )b aa x b a x b a x b x

Esto hace posible encontrar el valor absoluto del error relativo del resultado dividiendo

ambos lados entre a x b.





( * *) ( )

b a b aa x b a x b

a x b b a b a

El error de propagación relativo en valor absoluto en la multiplicación es aproximadamente

igual o menor a la suma de los errores relativos de a y b en valor absoluto.

División

Puede considerarse la división de a* y b* como sigue

1*/ * ( ) / ( ) ( )

( )a b a

b

a b a b ab

Multiplicando numerador y denominador por

)( bb

22))((

))((*/*

b

baab

bb

ba

b

baab

bb

baba

Si, como en la multiplicación, se considera el producto ba muy pequeño y por las mismas

razones, a2

by se desprecian, se tiene:

2222*/*

b

a

bb

a

b

a

b

b

b

abba baba

El error es entonces:

2*/*

b

a

bb

aba ba

Dividiendo entre a/b se obtiene el error relativo. Al tomar el valor absoluto del error relativo,

se tiene

bababa

b

a

b

ba

b

aba

baba

ba

//

*/*2

Se concluye que el error de propagación relativo del cociente en valor absoluto es

aproximadamente igual o menor a la suma de los errores relativos en valor absoluto de a y b.





3.1.5. Error de truncamiento y serie de Taylor

Errores de truncamiento.

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una sucesión finita o infinita de

pasos en el cual se realizan cálculos para producir un resultado exacto, se trunca

prematuramente después de un cierto número de pasos.

Truncar la siguiente cifra hasta centésimos, o hasta que sean dos las cifras significativas:

645751311.2 7 2.64 7

Como podemos ver, en este tipo de error, lo que se hace es omitir algunas de las cifras de una

cantidad, debido a que esta contiene muchos decimales, entonces se trunca o corta el número,

por lo que también cae en un error.

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de

un procedimiento matemático exacto. Estos errores se regresan a la formulación matemática

usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar funciones en forma polinomial.

La serie de Taylor

La serie de Taylor da una formulación para predecir el valor de la función en 1i x en términos

de la función y de sus derivadas en una vecindad al punto .i x

Por ejemplo: el primer término de la serie es conocida como aproximación de orden cero.

)()( 1 ii x f x f

Aproximación de primer orden.

h x f x f x f iii )()()( 1 Donde )( 1 ii x xh

Aproximación de segundo orden.

2

1!2

)()()()( h

x f h x f x f x f i

iii

Donde )( 1 ii x xh

De esta manera se puede agregar términos adicionales para desarrollar la expansión completa

de la serie de Taylor.





n

ni

n

i

iii Rh

n

x f h

x f h x f x f x f

!

)(

!2

)()()()(

)(

2

1

Se incluye un término residual para considerar todos los términos desde n + 1 hasta el

infinito:

1)1(

)!1(

)(

n

n

n hn

f R

Donde el subíndice n indica que el residuo es de la aproximación a n-ésimo orden y es un

valor cualquiera de x que se encuentra en i x y 1i x

Ejemplo: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor.

Enunciado del problema: úsense términos en la serie de Taylor de cero a cuarto orden para

aproximar la función:

2.125.05.015.01.0)( 234 x x x x x f Desde el punto 0i x y con h = 1. Esto es,

predecir el valor de la función en .11 i x

Solución:

Ya que se trata de una función conocida se puede calcular valores f(x) 0 y 1

Los resultados indican que la función empieza en f(0)=1.2 y continua hacia abajo hasta

f(1)=0.2. Por lo tanto el valor que se trata de predecir es 0.2.

Orden Derivada Aproximaciones

0 - 1.2

1 -0.25 0.95

2 -1 0.45

3 -0.9 0.3

4 -2.4 0.2

Ejemplo:





Uso de la serie de Taylor para aproximar una función que tiene un número infinito de

derivadas. Úsense los términos de la serie de Taylor con n = 0 hasta 6 para aproximar:

x x f cos)(

En 3/ x )60( con base al valor de f(x) y de sus derivadas alrededor del punto 4/ x

)45( .Nótese que esto significa que 1243

h

Solución:

El valor exacto

f x( ) cos x( ) x

3

f x( ) 0.5

Orden Derivada Aproximaciones

0 - 0.707106781

1 -Sen(x) 0.521986659

2 -cos(x) 0.497754491

3 Sen(x) 0.499869147

4 Cos(x) 0.500007551

5 -Sen(x) 0.500000304

6 -Cos(x) 0.499999988

Serie de Maclaurin

Los métodos iterativos obtienen la solución como resultado de una serie de aproximaciones

generadas sucesivamente a partir de una “aproximación inicial a la solución”.

Problema

La función exponencial se puede calcular usando:

...!4!3!2

1432

x x x xe x

Mientras más términos se le agreguen a la serie, la aproximación se acercara más y más al

valor dex . La ecuación anterior se le llama serie de Maclaurin.





Empezando con el primer término, e x = 1, y agregando un término a la vez, estímese el valor

de e 0.5 .

Después que se agregue cada terminó, calcúlense los ERP y a . Nótese que el valor real de

648721271.15.0e , agréguense términos hasta que sa contempla tres cifras

significativas.

Solución

s = (0.5 x 10 2 – 3 ) % = 0.05 %

Por lo tanto, se agregaran términos a la serie hasta que a se menos que este nivel.

,*

p

p p ER

si 0 p 100)( ER ERP

100 xonaproximaci

onaproximacionaproximaci

actual

anterior actual a

Ejemplo:

La expansión en serie de Maclaurin para el cos x es:

!8!6!4!2

8642 x x x xCosx

Iniciando con el primer término Cos x = 1 , agréguense los términos uno a uno para

Estimar 3cos

. Después que se agregue cada uno de los términos, calcúlense los errores

porcentuales relativos, exactos y aproximados .Úsense una calculadora para determinar el

valor exacto. Agréguense términos hasta el valor absoluto del error aproximado falle bajo

cierto criterio de error, considerando dos cifras significativas.

Solución:





s = (0.5 x 10 2 – 2 ) % = 0.5 %cos

3

0.5

3.2 Raíces de ecuaciones

3.2.1. Método gráfico

Es método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) = 0, consiste engraficar y observar en donde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para elcual f(x) = 0, proporciona una aproximación inicial de la raíz.

Ejemplo:Empléese gráficas para obtener una raíz aproximada de la siguiente función:

( ) 0.2 a 1.1 x f x e x x

Solución.Usando matlab>> x=-0.2:0.1:1.1;

>> y=(exp(-x))-x;>> plot(x,y)>> grid on

Ejemplo: Grafíquese el siguiente vector

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-1

-0.5

0

0.5

1

1.5





Ejemplo: Grafíquese el siguiente vector





Títulos, etiquetas.

plot(x,y)

title(‘Experimento de laboratorio 1’)

xlabel(‘Tiempo, seg’)

ylabel(‘Distancia, pies’)

grid on

ejemplo: Grafiquese la siguiente función 2( ) f x x con x = -5 hasta x = 5

Ejemplo: Grafíquese los vectores





Ejemplo: Grafiquese las siguientes funciones sobre los mismos ejes.2 3( ) ; ( ) f x x g x x con

x = -10 hasta x = 10, con h = 0.1

Usando MatLab:

>> clear

>> x=-10:0.1:10;

>> y=x.^2;

>> z=x.^3;

>> plot(x,y,x,z)

>> xlabel('Eje x')

>> ylabel('Eje y')

>> title('Grafica de dos funciones')

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

Eje x

E j e y

Grafica de dos funciones





Ejemplo: Graficar las dos funciones trigonometricas. sin( ); cos( ) y t y t con valor de x =0

hasta x = 2*pi, con h = pi/100

Usando MatLab:

>> t=0:pi/100:2*pi; %intervalo

>> y1=sin(t); %primera funcion

>> plot(t,y1,'g') % Grafica de la primera funcion, color verde

>> y2=cos(t); %segunda funcion

>> hold on %mantiene fija la grafica

>> plot(t,y2,'r') %grafica de la segunda funcion, color rojo

>> xlabel('Tiempo') % Etiqueta del eje x

>> ylabel('Magnitud') %etiqueta eje Y

>> title('Grafica de dos funciones trigonometricas')

Ejemplo:

Empléese gráficas para obtener una raíz aproximada de la siguiente función:( ) (10 ) (3 )

5, 4.9..5

f x Sin x Cos x

x

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo

M a g n i t u d

Grafica de dos funciones trigonometricas





Ejemplo.Para determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa m =68.1 kg. Tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t = 10 s. Nota laaceleración de la gravedad es 9.8 m/s 2 . Determine su gráfica.

t

mc

ec

gmt v 1

Solución:Este problema se resuelve determinando la raíz de la ecuación usando los parámetros:t = 10, g = 9.8, v = 40 y m = 68.1

vec

gmc f

t m

c

1 401)1.68(8.9

)(10

1.68

c

ec

c f

3.2.2. Métodos cerrados. Bisección. Regla Falsa. Otros métodos

Método del intervalo

Cuando para encontrar la solución a una ecuación, digamos f(x) = 0 partimos de un intervalo

,a b dentro del cual sabemos que se encuentra la solución, y paso a paso reducimos dicho

intervalo hasta obtener ,n na b tal que n nb a para 0 como la tolerancia, decimos que

hemos utilizado un método de intervalo o método cerrado.

A estas técnicas se les llama métodos que usan intervalos porque se necesitan de dos valores

iníciales para la raíz. Como su nombre lo indica, estos valores deben encerrar o estar uno de

cada lado de la raíz. Los métodos particulares descritos sobre este punto emplean diferentes

estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así converger a la

respuesta correcta. Además de la utilidad de los métodos gráficos para determinar valores

iníciales, también son útiles para visualizar las propiedades de las funciones y el

comportamiento de los métodos numéricos.





Bisección

Es un método de búsqueda incremental se aprovechan de esta característica para localizar un

intervalo donde la función cambie de signo. Por lo tanto, la localización del cambio de signo, se

logra más exactamente dividiendo el intervalo en una cantidad definida de subintervalos.

El método de bisección conocido también como de corte binario, de partición en dos

intervalos iguales o método Bolzano, es un método de búsqueda incremental en el que el

intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa

el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el

punto medio del subintervalos dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite

hasta obtener una mejor aproximación.

Criterio de convergencia.

Si el intervalo original es de tamaño a y el criterio de convergencia aplicado al valor absoluto

de la diferencia de dos r x consecutivas es , entonces se requerirán n iteraciones, donde n se

calcula con la igualdad de la expresión

2n

a

Despejando el valor de n

1

ln ln2

ln ln 2 ln

ln ln ln 2

ln lnln ln

ln 2 ln 2

n

n

u

a

a

a n

x xan

Nos resulta:

2ln

lnln

a

n

Por esto se dice que se puede saber de antemano cuantas iteraciones se requieren. O bien se

puede utilizar el siguiente criterio de convergencia a E

actual anterior EA aprox aprox





Algoritmo

Paso 1: Elija los valores iníciales inferior 1 x y u x de forma tal que la función cambie de signo

sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que:

01 u x f x f Entonces hay al menos una raíz entre 1 x y u x , ir al paso 2.

1 0u f x f x Entonces, no tiene raíz entre 1 x y u x , cambiar el intervalo o pase al paso 4.

Paso 2: La primera aproximación a la raíz X, se determinan como:

2

1 ur

x x x

Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalos cae la raíz

)a 01 r x f x f ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos inferior o

izquierdo. Por lo tanto, tomer u

x x y continué en el paso 2.

)b 01 r x f x f ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos superior o

derecho. Por lo tanto, tome r x x 1 y continué en el paso 2.

)c 01 r x f x f ; La raíz es igual a r x ; termina el cálculo. Pase al paso 4

Paso 4: Fin del calculo

Problema

Utilice el método de bisección para encontrar la raíz real de la siguiente función:f x( ) e

xx error 0.001 x1 0 xu 1

Solución:

Usando excel

Problema:





Utilice el método de bisección para encontrar la raíz real de la siguiente función:

f x( ) cos x( ) ln x( ) error 0.001 x1 1 xu 2

Solución:

Usando matlab

%Metodo de Biseccion %Elaboro: MTI. Ulises Girón Jiménez %Fecha: Marzo 18, 2014 clc; %Borrar fprintf('\nCalculo de la raiz de una ecuacion por el metodo de

Biseccion\n\n'); Fx=input('Ingrese la funcion: ','s'); %función inicial f(x) x1=input('Ingrese x1: '); %valor inicial X1 xu=input('Ingrese xu: '); %valor final Xu e=input('Ingrese el error: '); %el valor del error

x=x1; Fx1=eval(Fx); %funcion f(x1)

x=xu; Fxu=eval(Fx); %funcion f(xu)

while abs(xu-x1)>e %criterio de paro xr=(x1+xu)/2; %formula de bisección x=xr; %raiz aproximada Fxr=eval(Fx); %función f(xr)

if Fx1*Fxr<0 xu=xr; %subintervalo izquierdo Fxu=Fxr;

else x1=xr;

Fx1=Fxr; end

end fprintf('\n La raiz real por el metodo de biseccion sera %.8f\n',xr); ezplot(Fx);%graficamos la funcion grid on;





Regla Falsa

Aunque el método de bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su

enfoque es relativamente ineficiente. Una alternativa mejorada es la de del método de la regla

falsa (falsa posición) está basada en una idea para aproximarse en forma más eficiente a la

raíz. Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo x1 a xu en mitades

iguales, no se toma en consideración la magnitud de )( 1 x f y de )( u x f .

Por ejemplo, si )( 1 x f está mucho más cerca de cero que )( u x f , es lógico que la raíz se

encuentra más cerca de 1 x que de u x . Este método alternativo aprovecha la idea de unir los

puntos con una línea recta. La intersección de la línea con el eje de las x proporciona una

mejor estimación de la raíz. El reemplazamiento de la curva por una línea recta da una “

posición falsa ” de la raíz , de aquí el nombre de método de la regla falsa o en latín , regula

falsi. También se le conoce como método de interpolación lineal. Con el uso de triángulos

semejantes, la intersección de la línea recta y el eje de las x se puede calcular de la siguiente

manera:

ur

u

r x x

x f

x x

x f

1

1

Figura: esquema grafico del método de la regla falsa. La fórmula se deriva de los triángulos

semejantes (áreas sombreadas)

Multiplicando en cruz la ecuación se obtiene

11)( x x x f x x x f r uur

Agrupando término y reordenando





uuur x f x x f x x f x f x 111

Dividiendo entre 1 u f x f x

u

uur

x f x f x f x x f x x

1

11

Se puede ordenar de una manera alternativa:

u

u

u

ur

x f x f

x x f

x f x f

x x f x

1

1

1

1

Sumando y restando u x del lado derecho

u

uu

u

uur

x f x f

x x f x x f x f

x x f x x

1

1

1

1

Agrupando términos se obtiene

u

u

u

uuur

x f x f

x x f

x f x f

x x f x x

1

1

1

u

uuur

x f x f

x x x f x x

1

1

Esta es la fórmula de la regla falsa. El algoritmo es idéntico al de la bisección con la excepción

de que la ecuación se usa en los pasos 2. Además se usan los mismos criterios de paro para

detener los cálculos.

Algoritmo

Paso 1: Elija los valores iníciales inferior 1 x y u x de forma tal que la función cambie de signo

sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que:

01 u x f x f Entonces hay al menos una raíz entre 1 x y u x , ir al paso 2.

1 0u f x f x Entonces, no tiene raíz entre 1 x y u x , cambiar el intervalo o pase al paso 4.

Paso 2: La primera aproximación a la raíz X, se determinan como:





u

uuur

x f x f

x x x f x x

1

1

Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalos cae la raíz

)a 01 r x f x f ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos inferior o

izquierdo. Por lo tanto, tome r u x x y continué en el paso 2.

)b 01 r x f x f ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos superior o

derecho. Por lo tanto, tome r x x 1 y continué en el paso 2.

)c 01 r x f x f ; La raíz es igual a r x ; termina el cálculo. Pase al paso 4

Paso 4: Fin del calculo

Ejemplo:

Utilice el método de falsa posición para encontrar la raíz real de la siguiente función:

f x( ) e x

x error 0.01 x1 0 xu 1

Solución:

Ejemplo:

Utilice el método de falsa posición para encontrar la raíz real de la siguiente función:

f x( ) cos x( ) ln x( ) error 0.001 x1 1 xu 2

Solución:

Usando matlab

%Metodo de Falsa posición %Elaboro: MTI. Ulises Girón Jiménez clc; fprintf('\nCalculo de la raiz de una ecuacion por el metodo de falsa

posición\n\n'); Fx=input('Ingrese la funcion: ','s'); %Función f(x) x1=input('Ingrese x1 : '); %valor inicial x1 xu=input('Ingrese xu : '); %valor final xu e=input('Ingrese el error : ');%Error





x=x1; Fx1=eval(Fx); x=xu; Fxu=eval(Fx);

while abs(xu-x1)>e %Criterio de paro xr=xu-((Fxu*x1-Fxu*xu)/(Fx1-Fxu)); %formula de falsa posicion x=xr; %raiz aproximada Fxr=eval(Fx);

if Fx1*Fxr<0 xu=xr; %subintervalo izquierdo Fxu=Fxr;

else

x1=xr; Fx1=Fxr;

end end fprintf('\nEl resultado del metodo de falsa posicion sera %.8f\n',xr);

ezplot(Fx);%graficamos la funcion grid on;

Otros métodos

Condición de Lipschitz

Definición. Condición de Lipschitz. Una función f(x) definida en el intervalo [a,b] se dice que

satisface una condición de Lipschitz, si existe una constante L > 0 tal que

1 2 1 2 f x f x L x x

Para cualquier par de números 1 2, , x x a b .

Observamos que cualquier función f(x) donde la expresión

1 2

1 2

f x f x

x x

Se puede simplificar a

1 2,

k

g x x

Donde K es una constante y el valor de 1 2, g x x se pueda hacer arbitrariamente pequeño

para 1 2, , x x a b , no puede satisfacer una condición de Lipschitz.





Si 1( ) , f x C a b (es decir, si ( ) f x existe y es continua) entonces f(x) satisface también una

condición de Lipschitz. Esto se cumple ya que, por el teorema de valor medio para derivadas

una c entre1 x y 2 x tal que:

1 2

1 2

( ) ( )( ) f x f x f c x x

Y entonces

1 2 1 2 1 2( )( ) f x f x f c x x L x x

Para cualesquiera

1 2, , x x a b

3.2.3. Métodos abiertos. Iteración de punto fijo. Método de la secante. Newton-Raphson

Iteración de punto fijo

El método de aproximaciones sucesivas, método iterativo y también conocido como método

de punto fijo, es uno de los métodos más sencillos e ilustra (a diferencia del método de

bisección) el caso cuando no se tiene garantía de obtener la solución. Por tal motivo, el tema

central aquí es el concepto de convergencia de una sucesión de aproximaciones.

Definición. (Velocidad de convergencia). Sea 1n n x

una sucesión de aproximaciones que

convergen a s, de forma que lim nn

x s

. Si la sucesión de errores 1n n

(donde n n x s )

satisface.

1lim , 0n

nn

k k

Para alguno números fijos, K, entonces es el orden de convergencia para n x , y K es la

constante asintótica o factor de convergencia.

En base a la definición anterior, destacamos los casos para cuándo 1 y 2 que

corresponden a convergencia lineal, y convergencia cuadrática respectivamente.





Método de la Secante

Un problema fuerte en la implementación del método de newton Raphson es la evaluación de

la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para muchas otras

funciones, existen algunas cuyas derivadas pueden ser extremadamente difíciles de evaluar.

En estos casos la derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida, como la

figura

Esquema gráfico del método de la secante. Esta técnica es similar a la del método de Newton -

Raphson en el sentido de que una aproximación a la raíz se calcula extrapolando una tangente

de la función hasta el eje x. Sin embargo, el método de la secante usa una diferencia en vez de

la derivada para aproximar la pendiente.

Por lo tanto el método de la secante

1

11

ii

iiiii

x f x f

x f x x x x ii x x 1

Ejemplo.

Utilice el método de la secante para obtener la raíz real de la función

20102)( 23 x x x x f

31

1

10

0

1

i i

i

i

x x

x

x

Solución:





Usando matlab

%Método de la secante %MTI. Ulises Girón Jiménez

clear all; clc; fprintf('\nCalculo de la raiz de una ecuacion por el metodo de la

Secante\n\n'); f=input('Dame la funcion f(x) : ','s');

x0=input('Dame el valor del intervalo inferior de x : ');

x1=input('Dame el valor del intervalo superior de x : '); e=input('Dame el porciento del error : '); ea=1000; c=1;

while ea>e x=x0; g=eval(f);

x=x1; gg=eval(f);

xi=x1-((gg*(x0-x1))/(g-gg)); ea=abs((xi-x1)/xi)*100;

x0=x1; x1=xi;

c=c+1; end

fprintf('\n\n\n\nLa raiz exacta es: %d',xi) fprintf('\n\nNumero de iteraciones: %d\n',c);

Newton Raphson

Es una de las fórmulas más ampliamente usadas para localizar raíces, si el valor inicial de la

raíz es Xi, entonces se puede extender una tangente desde el punto [X i, f (Xi) ]. El punto donde

esta tangente cruza el eje X, representa una aproximación mejorada de la raíz. El método de

Newton-Raphson se puede obtener sobre la base de una interpretación geométrica, la primera

derivada en X es equivalente a la pendiente





1

0

ii

ii

x x

x f x f

Que se puede ordenar para obtener

i

iii

x f

x f x x

1

La cual es conocida como fórmula de Newton - Raphson.

Ejemplo.

Utilice el método de Newton Raphson para obtener la raíz real de la función

20102)( 23 x x x x f 3

1 10 0 0i i i x x x i

Solución:

Ejemplo.

Use el método de Newton Raphson para encontrar la raíz de la ecuación

5

15183)(

2

x x x f , con un punto inicial de 8, con un error de aproximación 01.0 Ea .

Solución:





3.2.4. Raíces múltiples

Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x. Por ejemplo,

una raíz doble resulta de ( ) ( 3)( 1)( 1) f x x x x

O, multiplicando términos,

3 2( ) 5 7 3 f x x x x

La ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x hace que dos términos de la ecuación

Sean igual a cero. Gráficamente, esto significa que la curva toca en forma tangencial al eje x en la

raíz doble.

Figura: Ejemplos de raíces múltiples que son tangentes al eje x. obsérvese que la función no cruza

el eje en casos de raíces múltiples pares a) y c), mientras que para multiplicidad impar si lo hace b)

Véase la figura a en x = 1. Observe que la función toca al eje pero no la cruza en la raíz.

Una raíz triple corresponde al caso en que un valor x hace que tres términos en una ecuación sea

igual a cero, como en ( ) ( 3)( 1)( 1)( 1) f x x x x x

O, multiplicando los términos

4 3 2( ) 6 12 10 3 f x x x x x

Advierta que el esquema grafico ( véase la figura b) indica otra vez que la función es tangente al

eje la raíz, pero que en este caso si cruza el eje. En general la multiplicidad impar de raíces cruza el





eje, mientras que la multiplicidad par no la cruza. Por ejemplo, la raíz cuádruple en la figura c no

cruza el eje.

Las raíces múltiples ofrecen ciertas dificultades a los métodos numéricos expuestos en la parte

dos:

1. El hecho de que la función no cambia de signo en raíces múltiples pares impide el uso de

los Metodos confiables que usan intervalos. De esta manera, de los métodos incluidos en

este texto, los abiertos tiene la limitación de que pueden ser divergentes.

2. Otro posible se relaciona con el hecho de que no solo f(x), sino también f ´(x) se aproxima

a cero. Estos problemas afectan a los métodos de Newton – Raphson y al de la secante,

los cuales contienen derivadas en el denominador de sus respectivas formulas. Esto

provocaría una división entre cero cuando la solución converge muy cercana a la raíz.3. Se puede demostrar que el método de Newton – Raphson y el método de la secante

convergen en forma lineal en vez de cuadrática, cuando hay raíces múltiples:.

El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la

ecuación f(x) = 0, ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada

de f(x) y se necesita una aproximación inicial a la raíz.

Permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de Newton-Raphson modificado

aplicado a la función f tomando como aproximación inicial x0. Observe que no requiere construir

la función M definida en el método de Newton-Raphson modificado

1 2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

i ii i

i i i

f x f x x x

f x f x f x

Algoritmo

Para calcular el punto xi+1, calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que

tiene pendiente





( )im f x

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

( ) ( )( )i i i y f x f x x x

Hacemos y=0:

( ) ( )( )i i i f x f x x x

Y despejamos x:

( )

( )i

i

i

f x x x

f x

Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:

1

( )

( )i

i i

i

f x x x

f x

si ( ) 0i f x

Se puede derivar la ecuación.

1 2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

i ii i

i i i

f x f x x x

f x f x f x

Ejemplo:

Método de Newton Raphson modificado para el cálculo de raíces múltiples.

Enunciado del problema. Use los dos métodos, el estándar y el modificado, de Newton Raphson

para evaluar la raíz múltiple de la ecuación con valor inicial de0 0 x

.con

E = 0.001, la función es

3 2

( ) 5 7 3 f x x x x

Solución

La derivada es:2( ) 3 10 7i f x x x

Y por lo tanto, el método de Newton Raphson para este problema es





3 2

1 2

5 7 3

3 10 7

i i ii i

i i

x x x x x

x x

Que se puede resolver iterativamente para obtener:

Como ya se había anticipado, el método converge en forma lineal hasta el valor verdadero de 1.0.

Para el caso del método modificado, la segunda derivada es ( ) 6 10i f x x y la relación

iterativa es:

3 2 2

1 2 2 3 2

( 5 7 3)(3 10 7)

(3 10 7) ( 5 7 3)(6 10)i i i i i

i i

i i i i i i

x x x x x x x

x x x x x x

Que se puede resolver para obtener :

3.2.5. Raíces de polinomios. Método de Müller. Método de Bairstow

Método de Müller.

Un método deducido por Müller, se ha puesto en práctica en las computadoras con éxito

sorprendente. Se puede usar para encontrar cualquier tipo de raíz, real o compleja, de una función

arbitraria. Converge casi cuadráticamente en un intervalo cercano a la raíz y a diferencia del

método de Newton – Raphson, no requiere la evaluación de la primera derivada de la función y

obtiene raíces reales y complejas aun cuando estas raíces sean repetidas.





La aplicación del método requiere valores iniciales y es una extensión del método de la secante, el

cual aproxima la gráfica de la función f(x) por una línea recta que pasa por los puntos

1 1( , ( )) ( , ( )).i i i i x f x y x f x

El método de la secante obtiene raíces de una función estimando una proyección de una línea

recta en el eje de las x, a través de los valores de la función. El método de Müller, trabaja de

manera similar, pero en lugar de hacer la proyección de una recta utilizando dos puntos, requiere

de tres puntos para calcular una parábola.

Para esto necesitaremos de tres puntos [X0, f(X0)], [X1, f(X1)] y [X2, f(X2)]. La aproximación la

podemos escribir como:

f 2(x) = A(x – x2)2 + B(x – x2) + C

Los coeficientes de la parábola los calculamos resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones.

f 2(x 0 ) = A(x 0 – x 2 )2 + B(x 0 – x 2 ) + C

f 2(x 1 ) = A(x 1 – x 2 )2 + B(x 1 – x 2 ) + C

f 2(x 2 ) = A(x 2 – x 2 )2 + B(x 2 – x 2 ) + C

De la última ecuación podemos ver que el calor de C = f 2(x 2 ). Sustituyendo los valores de C en las

otras dos ecuaciones tenemos:

f 2(x0)- f 2(x2) = A(x0 – x2)2 + B(x0 – x2)

f 2(x1) - f 2(x2) = A(x1 – x2)2 + B(x1 – x2)

Si definimos

h0 = x1 - x0

h1 = x2 – x1

d0 = [f(x1) – f(x0)]/[x1 – x0]

d1 = [f(x2) – f(x1)]/[x2 –x1]

Sustituyendo en las ecuaciones tenemos

-(d 0* h0 + d 1* h1 )= A(h1 + h0 )2 - B(h1 + h0 )

-d 1* h1 = A(h1 )2 - Bh1





La solución de este sistema de ecuaciones es:

A = (d 1 – d 0 )/(h1 + h0 )

B = Ah1 + d 1

C = f(x 2 )

Ahora para calcular la raíz del polinomio de segundo grado, podemos aplicar la formula

general. Sin embargo, debido al error potencial de redondeo, usaremos una formulación

alternativa.

Ejemplo.

Use el método de Müller con los valores iniciales de 4.5, 5.5 y 5 para determinar la raíz de la

ecuación f(x) = x 3 – 13x – 12.

x0 x1 x2 f(x0) f(x1) f(x2) x3

4.50000 5.50000 5.00000 20.62500 82.87500 48.00000 3.97649

5.50000 5.00000 3.97649 82.87500 48.00000 -0.81633 4.00105

5.00000 3.97649 4.00105 48.00000 -0.81633 0.03678 4.00000

3.97649 4.00105 4.00000 -0.81633 0.03678 0.00002 4.00000

Método de Bairstow

El método de Bairstow es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton

Raphson. Dado un polinonio f n(x) se encuentran dos factores, un polinomio cuadrático f 2(x) = x 2 –

rx – s y f n-2(x). El procedimiento general para el método de Bairstow es:

Dado f n(x) y r0 y s0

Utilizando el método de NR calculamos f 2(x) = x 2

– r 0 x – s0 y f n-2(x), tal que, el residuo

de f n(x)/ f 2(x) sea igual a cero.

Se determinan la raíces f 2(x), utilizando la formula general.

Se calcula f n-2(x)= f n(x)/ f 2(x).

Hacemos f n(x)= f n-2(x)

Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2





Si no terminamos

La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite calcular todas las raíces

de un polinomio (reales e imaginarias).

Para calcular la división de polinomios, hacemos uso de la división sintética. Así dado

f n(x) = an x n + an-1 x

n-1 + … + a2 x

2 + a1 x + a0

Al dividir entre f 2(x) = x 2 – rx – s, tenemos como resultado el siguiente polinomio

f n-2

(x) = bn x

n-2 + b

n-1 x

n-3 + … + b

3 x + b

2

con un residuo R = b1(x-r) + b0, el residuo será cero solo si b1 y b0 lo son.

Los términos b, los calculamos utilizamos división sintética, la cual puede resolverse utilizando la

siguiente relación de recurrencia

bn = an

bn-1 = an-1 + rbn

bi = ai + rbi+1 + sbi+2

Una manera de determinar los valores de r y s que hacen cero el residuo es utilizar el Método de

Newton-Raphson. Para ello necesitamos una aproximación lineal de b1 y b0 respecto a r y s la cual

calculamos utilizando la serie de Taylor

donde los valores de r y s están dados y calculamos los incrementos dr y ds que hacen a b1(r+dr,

s+ds) y b0(r+dr, s+dr) igual a cero. El sistema de ecuaciones que tenemos que resolver es:





Bairtow muestra que las derivadas parciales pueden obtener haciendo un procedimiento similar ala división sintética, así

cn = bn

cn-1 = bn-1 + rcn

ci = bi + rci+1 + sci+2

donde

Sustituyendo término

Ejemplo 1

Dado el polinomio f 5(x) = x 5

- 3.5x 4

+ 2.75x 3

+ 2.125x 2

- 3.875x + 1.25, determinar los valores de r

y s que hacen el resido igual a cero. Considere r 0 = -1 ys0 = 2.

Solución.

Iteración 1.

La división sintética con el polinomio f 2(x) = x 2 -x + 2.0 da como resultado

f3(x) = x 3 - 4.5x

2 + 9.25x - 16.125 Residuo = 30.75, -61.75

Aplicando el método de Newton tenemos

-43.875 16.75 dr -30.75

108.125 -43.875 ds 61.75

de donde

r1 = -1.0 + 2.7636812508572213 =1.7636812508572213

s1 = 2.0 + 5.403374022767796 =7.403374022767796





Iteración 2.

La división sintética con el polinomio f 2(x) = x 2 -1.7636812508572213x - 7.403374022767796 da

como resultado

f3(x) = x 3 - 1.7363187491427787x

2 + 7.091061199392814x - 1.776754563401905

Residuo = 51.75640698828836, 105.68578319650365


27.628006 14.542693 dr -51.75640

208.148405 27.62800 ds -105.68578

de donde

r2 = 1.7636812508572213 - 0.04728019113442016 = 1.7164010597228012

s2 = 7.403374022767796 - 3.469106187802152 = 3.934267834965644

Iteración 3.

La división sintética con el polinomio f 2(x)= x 2 - 1.7164010597228012x - 3.934267834965644 da

como resultado

f3(x) = x 3 - 1.7835989402771988x

2 + 3.622896723753395x + 1.3261878347051992

Residuo = 12.654716254544885, 28.1881465309956


13.83497 7.44182 dr -12.65471

65.679212 13.83497 ds -28.18814

de donde

r3 = 1.7164010597228012 - 0.11666951305731528 = 1.599731546665486

s3 = 3.934267834965644 - 1.4835870659929915 = 2.4506807689726524





En resumen

k r s Residuo

0 -1 2 30.75 -61.75

1 1.76368 7.403374 51.756406 105.68578

2 1.71640 3.93426 12.65471 28.18814

3 1.599731 2.450680 2.89958 8.15467

4 1.33354 2.18666 0.760122 2.522228

5 1.11826 2.11302 0.271940 0.607688

6 1.02705 2.02317 0.04313 0.11185

7 1.00165 2.00153 0.00277 0.00634

8 1.00000 2.00000 1.13930E-5 2.67534E-5

La solución es:

f 3(x) = x3 - 2.53x2 + 2.25x - 0.625 y f 2(x) = x2 - x - 2

Las raíces de f 2(x) = x 2 - x - 2, son

x1 = 2

x2 = -1

Si repetimos el ejemplo pero ahora considerando el polinomio f 3(x) = x 3 - 2.53x 2 + 2.25x - 0.625 ,

podemos calcular el total de las raíces del polinomio original.

3.3 Solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.

3.3.1. Métodos para solución de ecuaciones lineales. Jacobi. Gauss- Seidel. Gauss-

Jordán. Otros métodos

Jacobi

El método de Jacobi es un proceso simple de iteraciones de punto fijo en la solución de raíces de

una ecuación. La iteración de punto fijo tiene dos problemas fundamentales:

Algunas veces no converge

Cuando lo hace, es a menudo, muy lento.





El método Jacobi también puede tener esas fallas.

Esquema grafico que muestra el método de iteración de Jacobi, en la solución de ecuaciones

algebraicas lineales simultaneas.

sk

i

k

i

k

iia

x

x x

100*1

,

Ejemplo: resuelva el siguiente sistema por el método de Jacobi

1414

14

14

43

432

321

21

x x x x x

x x x

x x

Con01.0 s sk

i

k

i

k

iia

x

x x

100*1

,

Despejando las ecuaciones

4

121

x x

4

1312

x x x

4

1423

x x x

4

134

x x

1

1 d x x k k

212

21

2

2

11

11 ... k n

k n

k k k k x x x x x xd





Problema: Un ingeniero necesita 4800 m3 de NaCl, 5810 m3 de KCl y 5960 m3 de NaOH, existen

tres depósitos donde el ingeniero puede conseguir estos materiales. La composición de estos

depósitos viene dada en la siguiente tabla. ¿ Cuantas m3 debe tomar de cada depósito para

cumplir con las necesidades requeridas?. Use el método de Jacobi con E = 0.01

Solución:

Solo se muestran una parte de la tabla de donde se realizaron los cálculos, el motivo es porque es

muy extensa la tabla, por lo tanto, los datos que necesitábamos, son los siguientes:

Depósito 1: 3744.764893m





Depósito 2: 7071.741373m

Depósito 3: 5753.48.4857723m

Problemas

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de Jacobi con210

32

2

15489

10253

4321

42

4321

4321

x x x x

x x

x x x x

x x x x

auss Seidel

Los métodos iterativos o aproximados proveen una alternativa en los métodos de eliminación. El

método de Gauss-Seidel es el método iterativo más comúnmente usado. Suponga que se da un

conjunto de n ecuaciones:

A x B

sk

i

k i

k i

ia x

x x

100*1

,

Para toda la i, donde j y j-1 son las iteraciones actuales y previas.

Como cada nuevo valor de x se calcula con el método de Gauss-Seidel, este se usa

inmediatamente en la siguiente ecuación para determinar otro valor de x. De esta manera, si la

solución es convergente, se empleara la mejor estimación posible.





Ejemplo: resuelva el siguiente sistema por el método de Gauss Seidel

14

14

14

14

43

432

321

21

x x

x x x

x x x

x x

Con01.0 s sk

i

k

i

k

iia

x

x x

100*1

,

Despejando las ecuaciones

4

121

x x

4

1312

x x x

4

1423

x x x

4

134

x x

1

1 d x x k k

212

21

2

2

11

11 ... k n

k n

k k k k x x x x x xd

Problema: Un ingeniero necesita 4800 m3 de NaCl, 5810 m3 de KCl y 5960 m3 de NaOH, existen

tres depósitos donde el ingeniero puede conseguir estos materiales. La composición de estos





depósitos viene dada en la siguiente tabla. ¿ Cuantas m3 debe tomar de cada depósito para

cumplir con las necesidades requeridas ? . Use el método de gauss Seidel con E = 0.01

Solución:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0.52 0.20 0.25 4800

0.30 0.50 0.20 5810

0.18 0.30 0.55 5960

x x x

x x x

x x x

auss Jordán

Problema: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Gauss Jordán.

1 2 3

2 3

1 3

2 3 0

2 1

0

x x x

x x

x x

Solución.





Donde los valores de 1 2 3, , x x x son:

1 2 3

3 1 3

5 5 5 x x x

En mathcad

A

2

0

1

3

2

0

1

1

1

0

1

0

rref A( )

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0.6

0.2

0.6

En matlab

Problema: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Gauss Jordán.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 9 2 52 4 6 3

3 4

x x x x x x

x x x





3.3.2. Métodos de solución de sistemas de ecuaciones no lineales. Iterativo

secuencial. Newton.

Método iterativo secuencial

A continuación se dan ejemplos:

a)

0),(

04,

2

12212

2

2

2

1211

x x x x f

x x x x f

b)01),(

0)(10)(

1212

2

122,11

x x x f

x x x x f

c)

0335),(

015)(2),(010),(

3

331

2

23,21

23213,21

2

3

13213,21

x x x x x x x f

x sen x x x x x x f x x x x x x x x f

Ejemplo:

Encuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales

0810

08102

2

221

y x xy y x f

y x x y x f

),(

),(

Solución:

Despejar x Despejar y

10

822

y x

x 10

82

x xy

y

Con la notación de la ecuación:





10

8221

)()( k k k y x

x 10

8221

)()( k k k k y y x

y

con los valores iniciales ,, 00 00 y x se inicia el proceso iterativo

Primera iteración

8010

800 221 .

x 80

10

8000 21 .

)(

y

Segunda iteración

928.010

8)8.0()8.0( 222

x 93120

10

8808080 22 .

.).(.

y

Al continuar el proceso iterativo, se muestra la siguiente sucesión de vectores:

k k x k y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0.00000

0.80000

0.92800

0.97283

0.98937

0.99578

0.99832

0.99933

0.99973

0.99989

0.99996

0.99998

0.00000

0.80000

0.93120

0.97327

0.98944

0.99579

0.99832

0.99933

0.99973

0.99989

0.99996

0.99998





12

13

0.99999

1.00000

0.99999

1.00000

Para observar la convergencia del proceso iterativo, se pudieron usar los criterios, como distancia

entre dos vectores consecutivos, o bien las distancias componente a componente de dos vectores

consecutivos.

Una condición suficiente aunque no necesaria, para asegurar la convergencia es que

;121

M

x

g

x

g 121

M

y

g

y

g

Por otro lado, si M es muy pequeña en una región de interés, la iteración converge rápidamente; si

M es cercana a 1 en magnitud, entonces la iteración puede converger lentamente.

k k k

k k k

y x g y

y x g x

,

,

1

2

1

11

Sistemas de ecuaciones de Newton

El método iterativo para sistemas de ecuaciones converge linealmente. Como en el método de

una incógnita, puede crearse un método de convergencia cuadrática, es decir, el método de

Newton – Raphson multivariable, a continuación se obtendrá este procedimiento para dos

variables; la extensión a tres o más variables es viable generalizando los resultados. Supóngase

que se está resolviendo el sistema.

0,

0,

2

1

y x f

y x f





Donde ambas funciones son continuas y diferenciables, de modo que puedan expandirse en serie

de Taylor. Esto es:

2 2 2

2 21( , ) ( , ) ( ) ( ) [ ( ) 2 ( )( ) ( ) ...

2!

f f f f f f x y f a b x a y b x a x a y b y b

x x x x x y x y

Donde f(x, y) se ha expandido alrededor del punto (a, b) y todas las derivadas parciales están

evaluadas en (a, b).

Para simplificar aún más se cambia la notación con

j y y

h x xk k

k k

1

1

y así queda la ( k + 1) – ésima iteración en términos de la k – ésima , como se ve a continuación:

j y y

h x x

k k

k k

1

1

la sustitución de la ecuación :

),(

),(

222

111

k k

k k

y x f j y

f h

x

f

y x f j y

f h

x

f

El cual es un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas h y j.

Este sistema de ecuaciones lineales resultante tiene solución única, siempre que el determinante

de la matriz de coeficiente o matriz j no sea cero; es decir, si





022

11

y

f

x

f y

f

x

f

J

Interpretación geométrica del método de Newton – Raphson.

Desarrollemos en etapas esta interpretación para un sistema de dos ecuaciones. Sea el sistema

1),(

1),(

22

2

22

1

y x y x f

y x y x f

La grafica de 1),( 22

1 y x y x f se muestra en la figura 4.4.

Use el método de Newton – Raphson para encontrar una solución aproximada del sistema:

0810

0810

2

2

22

1

y x xy y x f

y x x y x f

),(

),(

1021

2102

222

11

xy y

f y

x

f

y y

f x

x

f

que aumentada en el vector de funciones resulta en:





810

810

1021

2102

2

22

222

11

y x xy

y x x

xy y

f y

x

f

y y

f x

x

f

Primera iteración

al evaluar la matriz en T y x 00 , se obtiene :

8101

8010

que al resolverse por eliminación de Gauss da

h = 0.8, j = 0.88

al sustituir en la ecuación se obtiene

88.088.00

8.08.00

01

01

j y y

h x x

Calculo de la distancia entre0 x y

1 x

18929.1)088.0()08.0( 22)0()1( x x

Segunda iteración

al evaluar la matriz en T y x 11, se obtiene :

61952.0592.87744.1

41440.17600.1400.8

Que al resolverse por eliminación de Gauss da

h = 0.19179, j = 0.11171

al sustituir en la ecuación se obtiene

99171.011171.088.0

99179.019179.08.0

22

12

j y y

h x x

Calculo de la distancia entre1 x y

2 x

22190.0)88.099171.0()8.099179.0( 22)0()1( x x





Con la continuación de este proceso iterativo se obtienen los resultados siguientes:

k k x

k y

k k x x 1

0

1

2

3

4

0.00000

0.80000

0.99179

0.99998

1.00000

0.00000

0.88000

0.99171

0.99997

1.00000

------

1.18929

0.22195

0.01163

0.00004

Problemas propuestos

Problema:

En una columna de cinco platos, se requiere absorber benceno contenido en una corriente de gas

V, con un aceite L que circula a contracorriente del gas. Considérese que el benceno transferido no

altera sustancialmente el número de moles de V y L, fluyendo a contracorriente, que la relación de

equilibrio está dada por la ley de henry (y = mx) y que la columna opera a régimen permanente.

Calcule la composición del benceno en cada plato.

Datos: V = 100 moles / min;

L = 500 moles / min,

09.00 y Fracción molar de benceno en V.

0.00 x Fracción molar del benceno en L (el aceite entra por el domo sin benceno).

m = 0.12.





Solución: los balances de materia para el benceno en cada plato son

Plato Balance de benceno

1

2

3

4

5

0

0

0

0

0

1012

2123

3234

4345

5450

y yV x x L

y yV x x L

y yV x x L

y yV x x L

y yV x x L

Al sustituir la información que se tiene, las consideraciones hechas y rearreglando las ecuaciones,

se llega a:

512 x1 - 500 x2 = 9

12 x1 - 512 x2 + 500 x3 = 0

12 x2 - 512 x3 + 500 x4 = 0

12 x3 - 512 x4 + 500 x5 = 0

- 12 x4 + 512 x5 = 0

Un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, que se resuelve con mathcad como sigue:

A

512

12

0

0

0

500

512

12

0

0

0

500

512

12

0

0

0

500

512

12

0

0

0

500

512

9

0

0

0

0

rref A( )

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0.018

4 .3 2 1 0 4

1.037 10 5

2.487 10 7

5.829 10 9

Problema:

Con los datos del diagrama siguiente 8 donde los porcentajes están dados en peso) , encuentre

posibles valores de la corriente 321 ,, M M M , si

Solución: Mediante balance de materia por componentes y global, se tiene:

kg M 1004





Componente Balance de materia

Etanol

Metanol

Agua

Global 0

021.021.039.017.0

021.024.061.00

058.055.0083.0

4321

4321

4321

4321

M M M M

M M M M

M M M M

M M M M

0

2121.039.017.0

2124.061.00

5855.0083.0

4321

321

321

321

M M M M

M M M

M M M

M M M

A0.83

0

0.17

00.61

0.39

0.550.24

0.21

5821

21

rref A( )10

0

01

0

00

1

19.0144.225

76.761

Por lo tanto kg M kg M kg M 761.76,225.4,014.19 321

Problema:

Un granjero desea preparar una formula alimenticia para engordar ganado, dispone maíz,

desperdicios, alfalfa y cebada, cada uno con ciertas unidades de ingredientes nutritivos, de

acuerdo con la tabla siguiente:

Alimento

Maíz Desperdicios Alfalfa Cebada Requerimientos

unidades / Kg.

Carbohidratos 80 15 35 60 230

Proteínas 28 72 57 25 180 Vitaminas 20 20 12 20 80

Celulosa 50 10 20 60 160

Costo $ 18 5 7 20





a) Determine los kilogramos necesarios de cada material para satisfacer el requerimiento

diario ( Presentado en la última columna)

b) Determine el costo de la mezcla.

a( )

A

80

28

20

50

15

72

20

10

35

57

12

20

60

25

20

60

230

180

80

160

rref A( )

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1.852

1.032

0.618

0.745

b( )

Costo 18 5 7 20( ) kilogramos

1.852

1.032

0.618

0.745

Total Costo kilogramos Total 57.722( )

Problema.

(Manufactura). R. S. C. L. S y Asociados fabrica tres tipos de computadora personal: Ciclón, Cíclope

y Cicloide. Para armar una Ciclón se necesitan 10 horas, otras 2 para probar sus componentes y 2

horas más para instalar sus programas. El tiempo requerido para la Cíclope es 12 horas en su

ensamblado, 2.5 para probarla y 2 horas para instalarla. La Cicloide, la más sencilla de la línea,

necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de prueba y 1.5 horas de instalación. Si la fábrica de esta

empresa dispone de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas para probar y 320 horas

para instalar, ¿ cuántas PC de cada tipo puede producir en un mes ?

Solución:

Marcas Ensamblado Pruebas Instalación

Ciclón

Cíclope

Cicloide

10

12

6

2

2.5

1.5

2

2

1.5

1560 340 320

3205.122

3405.15.22

156061210

z y x

z y x

z y x





Resuelta por el método de Gauss Jordán

A

10

2

2

12

2.5

2

6

1.5

1.5

1560

340

320

rref A( )

1

0

0

0

1

0

0

0

1

60

40

80

Por consiguiente cada mes se pueden fabricar 60 Ciclones, 40 Cíclopes y 80 Cicloides.

Problema.

(Cambio de moneda extranjera).Una empresaria internacional necesita, en promedio, cantidades

fijas de yenes japoneses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje de negocios. Este

año viajo 3 veces. La primera vez cambio un total de $ 2550 dólar con las siguientes tasas: 100

yenes por dólar, 0.6 libras por dólar y 1.6 marcos por dólar. La segunda vez cambio $ 2840 dólar en

total con las tasas de 125 yenes, 0.5 libras y 1.2 marcos por dólar. La tercera vez, cambio un total

de $ 2800 dólar a 100 yenes, 0.6 libras y 1.2 marcos por dólar. ¿Cuantos yenes, libras y marcos

compro cada vez?

Solución:

28002.1

1

6.0

1

100

1

28402.1

1

5.0

1

125

1

2550

6.1

1

6.0

1

100

1

z y x

z y x

z y x


A

1

100

1

125

1

100

1

0.6

1

0.5

1

0.6

1

1.6

1

1.2

1

1.2

2550

2840

2800

rref A( )

1

0

0

0

1

0

0

0

1

80000

600

1200

En consecuencia, cada vez compro 80 000 yenes, 600 libras y 1200 marcos para viajar.





Problema:

(Cálculo de una función demanda). Bikey, Inc., quiere fabricar un nuevo tipo de zapato deportivo,

poco costoso, e investiga el mercado de la demanda. Encuentra que si un par de zapatos nuevo

cuesta $ 20 en un área de ingreso familiar promedio de $ 20000, y que si un competidor Tríceps,

Inc., vende cada par de zapatos a $ 20, vendería 660 pares. Por otro lado, si el precio fuera igual y

Tríceps bajara su precio a $10 el par, entonces, vendería 1130 pares en un área de $ 30000 de

ingreso. Por último, si el precio de los zapatos fuera $ 15 el par, y la competencia se queda en $ 20

el par, se vendería 1010 pares en un área de $25000 de ingreso. Determine la función demanda,

suponiendo que depende linealmente de sus variables.

Solución:

Sea D = a P + b I + c C . Deseamos conocer a, b y c.

1010202500015

1130103000020660202000020

cba

cbacba


A

20

20

15

20000

30000

25000

20

10

20

660

1130

1010

rref A( )

1

0

0

0

1

0

0

0

1

20

0.05

3

Por consiguiente, la función demanda esta expresada por C I P D 305.020

Problema:

(Soluciones químicas). Se necesitan tres ingredientes distintos, A, B y C, para producir determinada

sustancia. pero deben disolverse primero en agua, antes de ponerlos a reaccionar para producir la

sustancia. La solución que contiene A con 1.5 gramos por centímetros cúbicos ( g / cm 3 ),

combinada con la solución B cuya concentración es de 3.6 g / cm3 y con la solución C con 5.3 g /

cm3 forma 25.07 g de la sustancia. si las proporciones de A, B y C en esas soluciones se cambian a

2.5, 4.3 y 2.4 g / cm3 , respectivamente ( permaneciendo iguales los volúmenes ), se obtienen

22.36 g de la sustancia. Por último, si las proporciones se cambian a 2.7, 5.5 y 3.2 g / cm 3 ,

respectivamente, se producen 28.14 g de la sustancia. ¿Cuáles son los volúmenes, en centímetros

cúbicos, de las soluciones que contienen A, B y C?

Solución:





14.282.35.57.2

36.224.23.45.2

07.253.56.35.1

z y x

z y x

z y x


A

1.5

2.5

2.7

3.6

4.3

5.5

5.3

2.4

3.2

25.07

22.36

28.14

rref A( )

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1.5

3.1

2.2

Por consiguiente, los volúmenes correspondientes de las soluciones que contienen A, B y C son 1.5

cm3 , 3.1 cm3 y 2.2 cm3.

Problema.

Un ingeniero industrial supervisa la producción de cuatro tipos de computadoras. Se requiere

cuatro clases de recursos – horas-hombre, metales, plásticos y componentes electrónicos – en la

producción. En el cuadro siguiente se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos

recursos en la producción de cada tipo de computadora. Si se dispone diariamente de 504 horas-

hombre, 1970 Kg. de metal , 970 Kg. de plástico y 601 componentes electrónicos, ¿Cuántas

computadoras de cada tipo se puede construir por día?

Solución:

A

3

2010

10

4

2515

8

7

4020

10

20

5022

15

504

1970970

601

rref A( )

1

00

0

0

10

0

0

01

0

0

00

1

10

1218

15




M

3

20

10

10

4

25

15

8

7

40

20

10

20

50

22

15

v

504

1970

970

601

soln lsolve M v( )

soln

10

12

18

15

Problema:

Determine las concentraciones molares de una mezcla de cinco componentes en solución a partir

de los siguientes datos espectrofotométricos

Asúmase que la longitud de la trayectoria óptica es unitaria y que el solvente no absorbe a estas

longitudes de onda. Utilice el método de Gauss – Seidel. Utilizando como criterio de paro

002.0 ; jC es la concentración molar del componente j en la mezcla.

unidad 3. analisis de error y solucion de ecuaciones

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