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Bloque 2. Líneas, ángulos, simetría y superficie Tema 1. Propiedades de las figuras geométricas y tipos de líneas (paralelas, perpendiculares, oblicuas, mediatrices y bisectrices) y ángulos Líneas paralelas y perpendiculares Araceli veía un programa televisivo sobre la aplicación de la Geometría en el arte. ¿Sólo estará presente en el arte?, se preguntó, observando a su alrededor y recordando se dio cuenta que el panal de las abejas y el piso de su casa tenían forma hexagonal.

¿En dónde está presente la Geometría en tu alrededor?

La palabra geometría proviene de los vocablos griegos geo-tierra y metron-medir, por lo que significa “medida de la tierra”. Los conceptos de

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formas, figuras, cuerpos y líneas se elaboraron y sistematizaron en Grecia. Un punto es un objeto geométrico que da origen a todos los demás. No tiene tamaño, pero sí tiene posición. Generalmente se le representa por una letra mayúscula. Una línea es una sucesión continua infinita de puntos que no tiene ni origen ni fin. Los tipos de línea son:

Al dibujar una recta, se trazan puntas de flechas, esto significa que la recta no termina, pero tiene dirección. Una semirrecta o rayo es cada una de las partes resultantes de dividir la recta en un punto, las semirrectas tiene origen, pero no fin. Un segmento es la parte de una recta comprendida entre dos puntos: A y B, y

se denota AB . La longitud del segmento es la distancia entre sus extremos A y B.

Para la construcción de figuras geométricas se emplean diferentes instrumentos entre los que destacan la regla, las escuadras y el compás.

Curva

Recta

Poligonal

Mixta

La dirección cambia de punto a punto.

Formada solamente por segmentos de rectas unidas en sus extremos.

La dirección no cambia (constante).

Se mezclan rectas y curvas.

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Ángulos, mediatrices y bisectrices

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos rayos con origen común, es decir, parten de un mismo punto. A los dos rayos se les llama lados del ángulo y a su p unto en común se le llama vértice. A los ángulos se les denota

por el símbolo ∠ seguido de tres mayúsculas ∠AOB. Un grado se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Los ángulos se miden en grados. Las medidas de los ángulos de las escuadras son:

Se pueden utilizar las escuadras para trazar algunos ángulos, por ejemplo:

Rectas:

Paralelas:

Secantes:

No se cortan por más que se prolonguen y no tienen puntos en común.

Tienen un punto en común.

Se cortan en un ángulo de 90º.

Perpendiculares:

Oblicuas: No son perpendiculares.

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Los ángulos se clasifican según su magnitud en:

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a él en el punto medio. Lospuntos de la mediatriz están a la misma distancia de los extremos del segmento.

Al instrumento para medir o trazar ángulos se le llama transportador, es un medio círculo graduado de 0º a 180º.Al medir un ángulo se coloca el punto central del transportador sobre el vértice del ángulo, uno de los lados debe coincidir con la línea del cero.

BAC = 40°

Ángulos nulos:iguales a 0°

Ángulos convexos:mayores que 0°, pero

menores que 180°

Ángulos llanos: iguales a 180°

Ángulos cóncavos o entrantes:mayores que 180° y menores que 360°

Ángulos agudos:menores que 90°

Ángulos rectos:iguales a 90°

Ángulos obtusos:mayores que 90°

Ángulos perigonales: iguales a 360°

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Un método para obtener la mediatriz de un segmento es el siguiente:1) Se debe trazar un segmento AB . Después se apoya el compás en el punto B, la abertura del compás debe ser igual a la longitud del segmento y se traza una media circunferencia.2) Se debe apoyar el compás en el punto A y trazar una media circunferencia de tal manera que se cruce con la antes trazada.

3) Se debe trazar una línea recta que pase por los dos puntos de intersección.

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. Un método para obtener la bisectriz de un ángulo es el siguiente:

1) Se debe apoyar el compás en el vértice del ángulo y marcar los puntos A y B en cada uno de los lados respectivamente.

2) Se debe trazar una recta que pase por los puntos A y B.

3) Se debe abrir el compás y colocarlo sobre el ángulo cuidando que las puntas coincidan con el punto A y el B respectivamente.

4) Se debe obtener la mediatriz del segmento AB.

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Ahora bien, un polígono es la porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada. Los polígonos regulares son aquellos en los que la longitud de sus lados es igual. Los polígonos se clasifican por el número de sus lados.

Nombre Núm. de lados

Nombre Núm. de lados

Nombre Núm. de lados

triángulos 3 hexágonos 6 nonágonos 9 cuadriláteros 4 heptágonos 7 decágonos 10 pentágonos 5 octágonos 8 undecágonos 11 Los cuadriláteros se clasifican por el paralelismo de sus lados.

Cu

ad

rilá

tero

s

Paralelogramos: dos pares de lados paralelos.

Rectángulo Tiene los 4 á ngulos iguales, es decir, cuatro ángulos rectos.

Cuadrado

Tiene lados iguales y ángulos iguales. Tiene cuatro ángulos rectos y por lo tanto es un rectángulo. Tiene cuatro lados iguales y en consecuencia es un rombo.

Rombo Tiene los cuatro lados iguales.

Trapecios: dos lados paralelos y los otros dos no.

Rectángulo Tiene un lado perpendicular a las bases, es decir, tiene dos ángulos rectos.

Isósceles Los lados no paralelos son iguales.

Escaleno

No es rectángulo ni isósceles, es decir, sus lados no paralelos son de diferente tamaño y ninguno es perpendicular a las bases.

Trapezoides: ningún lado paralelo.

Cuadriláteros que no tienen lados paralelos.