Unidad 2: Nmeros aleatorios y pseudoaleatorios Elaborado por M. C. Jos A. Estrada B.4 UNIDAD 2. NMEROS ALEATORIOS Y PSEUDOALEATORIOS. 2.1.- Definicin, propiedades, generadores y tablas de nmeros aleatorios. Debidoaqueenlarealidadloseventossesucedenenformaaleatoria,la simulacinutilizalosnmerosaleatoriosparagenerarlasucesindeeventosquese requieren simular dentro del modelo. Un nmero aleatorio es un nmero al azar escogido de entre un grupo de nmeros, cuyacaractersticaesquelaprobabilidaddeescogercualquiernmerodentrodeese grupo es la misma para todos ellos. Existentablasyaelaboradasdenmerosaleatorios,provenientesdealgunos mtodos matemticos. 2.2.- Tcnicas para generar nmeros pseudoaleatorios. Eltrminopseudoaleatorioprocededelhechodequecuandounnmeroes generadoporunprocedimientomatemtico,seconvierteenunprocedimiento determinstico,peroalnoconocerconcertezaculseresenmero,estolohace probabilstico;entoncessedicequelosnmerosgeneradosporprocesosmatemticos sonunamezcladeambassituaciones,porloqueselesdenominanmeros pseudoaleatorios. Existen varios mtodos para generar nmeros pseudoaleatorios. 2.2.1. Mtodo de centros al cuadrado. Enestemtododegeneracindenmerosaleatorioselsemillerou originador(primernmeroaleatorio)debeserunnmerocualquierade4cifras.Este nmeroseelevaalcuadrado,ysielresultadoesunnmerodemenosde8cifras,se agregantantoscerosalaizquierdacomoserequieranparacompletarlos8dgitos.Los cuatronmerosdelcentroconstituyenelnuevonmeroaleatorio.Esteseelevaal cuadrado y el proceso se repite para seguir generandonmeros aleatorios. Ejemplo: (2523)2 = 6365,5297 dgitos, por lo que se agrega un cero a la izquierda:06365529 (3655)2 = 13359,025 8 dgitos, por lo que no se agrega ningn cero: 13359025 (3590)2 = 12888,100 8 dgitos, por lo que no se agrega ningn cero: 12888100 Unidad 2: Nmeros aleatorios y pseudoaleatorios Elaborado por M. C. Jos A. Estrada B.5 2.2.2. Mtodo congruencial multiplicativo. Este es un mtodo iterativo en el que el i-simo nmero aleatorio se obtiene del remanente de dividir el producto de una constante a por el (i-1)-simo nmero, entre una constante m. En otras palabras: Xi=( a ) (Xi - 1 ) ( modulo m ) ;0Xi - 1m El originador Xi-1y los parmetros a y m deben especificarse por adelantado.Por ejemplo, la secuencia denmerospseudoaleatoriosqueseobtieneconlosparmetros a = 6, m = 23yX0= 13 es: Xi=( a ) (Xi - 1 ) ( mdulo m ) X1 = (6)(13)(mod 23) = 78= (3)(23)+(9) = 78. X1 = 9 es el nuevo nmero aleatorio. 23 X2 = (6)(9)(mod 23) = 54= (2)(23)+(8) = 54 X2 = 8 es el nuevo nmero aleatorio. 23 X3 = (6)(8)(mod 23) = 48= (2)(23)+(2) = 48 X3 =2 es el nuevo nmero aleatorio. 23 La secuencia obtenida es: 13, 9, 8, 2, 12, 3, 18, 16, 4, 1, 6, 13, 9, 8,........... Un perodo es una sucesin de nmeros pseudoaleatorios generados por cualquier mtodo, antes de que se repita de nuevo alguno de ellos. Los nmeros pseudoaleatorios debe cumplir con las siguientes condiciones: a).- que se seleccionen de una distribucin uniforme en el intervalo cerrado(0, 1). b).- que su secuencia sea aleatoria. 2.3.- Pruebas estadsticas de aleatoriedad. Una vez generados los nmeros aleatorios que sern utilizados en el proceso de simulacin, es necesario verificar que sean realmente aleatorios. Para ello, existen una serie de pruebas de hiptesis estadsticas de aleatoriedad. Unidad 2: Nmeros aleatorios y pseudoaleatorios Elaborado por M. C. Jos A. Estrada B.6 2.3.1.- Prueba de los promedios. Quizlafuncindedensidaddeprobabilidadmssimpleesaquellaquese caracteriza por ser constante en el intervalo cerrado ( 0, 1), y cero fuera de l. f (x) F (x) 11 1 x1x Distribucin deDistribucin acumulada de los probabilidad nmeros uniformes (0, 1) Esta funcin de densidad define la distribucin conocida como uniforme o rectangular. Matemticamente, la funcin de densidad uniforme se define como sigue: 1si0X 1 f (x)= 0si1