unidad 2 matrices
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Competencias genéricas: Comunicarse en el lenguaje matemático
en forma oral y escrita. Modelar matemáticamente fenómenos y
situaciones. Pensamiento lógico, algorítmico. Resolución de
problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Toma de
decisiones. Capacidad de organizar y planificar. Habilidades básicas
de manejo de la computadora. Solución de problemas. Habilidad para
trabajar en forma autónoma. Búsqueda del logro.
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Competencia por unidad: Manejar las matrices, sus propiedades yoperaciones a fin de expresar conceptos y problemas mediante ellas, enlos sistemas de ecuaciones lineales; así como en otras áreas de lasmatemáticas y de la ingeniería, para una mejor comprensión y unasolución más eficiente. Utilizar el determinante y sus propiedades paraprobar la existencia y el cálculo de la inversa de una matriz.
Competencias genéricas: Comunicarse en el lenguaje matemáticoen forma oral y escrita. Modelar matemáticamente fenómenos ysituaciones. Pensamiento lógico, algorítmico. Resolución de problemas.Analizar la factibilidad de las soluciones. Toma de decisiones.Capacidad de organizar y planificar. Habilidades básicas de manejo dela computadora. Solución de problemas. Habilidad para trabajar enforma autónoma. Búsqueda del logro.
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2.1 Definición de matriz, notación y orden
1. MATRICES
DEFINICION: Se llama MATRIZ a todo cuadro denúmeros distribuidos en filas y columnas.
NOTACION: Generalmente, una matriz se nombra poruna letra mayúscula y sus elementos, una vezdistribuidos en las filas y columnas respectivas, seencierran con corchetes o con paréntesis, así:
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; o así:
En estas notas usaremos preferentemente los corchetes.
a2a1a
aaa
aaa
= A
mnmm
n2221
n1211
2
1
a2a1a
aaa
aaa
= A
mnmm
2n2221
1n1211
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ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de una matriz es el número de filas y de columnas que tiene esa matriz.
Si el número de filas de una matriz A es "m" y el de columnas es "n", se suele anotar Amxn, leyéndose "matriz A de orden m por n".
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ELEMENTO GENÉRICO
El símbolo "aij", llamado elemento genérico de una matriz, se usa para indicar que el elemento por él designado ocupa el lugar correspondiente a la fila "i" y a la columna "j".
En consecuencia, una anotación del tipo "a23" debe interpretarse que se trata del elemento "a", que ocupa el lugar correspondiente a la fila 2 y a la columna 3.
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OTRA NOTACIÓN DE UNA MATRIZ
Para el caso de una matriz A con m filas y ncolumnas, se debe entender que i varía desde 1 hastam y que j varía desde 1 hasta n (siendo i y j variablesen el conjunto de los números naturales).
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Así, la matriz
Por ello, otra forma de anotar una matriz A, de m filas y n columnas, quetiene como elemento genérico a aij, es:
Amxn = (aij) (i= 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n)
puede anotarse de esta forma:
A4x3 = (aij) (i= 1, 2, 3, 4; j= 1, 2, 3)
aaa
aaa
aaa
aaa
= A
434241
333231
232221
131211
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Transpuesta. Sea A una matriz de m x n, entonces latranspuesta de A se denota por At o A’, es la matriz de n xm que se obtiene escribiendo las filas de A, por orden,como columnas. Ejemplos.
Las transpuestas de las matrices
Son
3 4
8 2
3 0
A
1 4 5B
4 2 6
3 1 0
1 2 1
C
3 8 3'
4 2 0
tA A
1
' 4
5
B
4 3 1
' 2 1 2
6 0 1
C
2.2 Operaciones con matrices
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2.2 Operaciones con matrices.3.3.1 Suma y resta de matrices.
Suma y diferencia. La suma (diferencia) A B de dosmatrices del mismo tamaño se obtiene sumando(restando) los elementos correspondientes de lasmatrices.
Ejemplos.
Dadas las matrices
Hallar la suma de A y B.
A + B =
2 1 0 3
2 3 2 3
5 2 8 0
A
1 4 3 2
2 1 2 3
0 1 0 1
B
1835
6040
5353
1008)1(205
33221322
23304112
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3.3 Operaciones con matrices.3.3.1 Suma y resta de matrices.
Dadas las matrices.Hallar la diferencia de A yB
A – B =
La suma (diferencia) de A y C, B y C no sonconformables para la suma (diferencia) porque no sondel mismo tamaño.
2 1 0 3
2 3 2 3
5 2 8 0
A
1 4 3 2
2 1 2 3
0 1 0 1
B
1815
0424
1331
)1(008)1(205
33)2(21322
23)3(04112
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3.3.2 Multiplicación de matrices. Multiplicación por un escalar. El producto de una
matriz A por un escalar k denotado como kA seobtiene multiplicando todos los elementos de A por k.
Ejemplos.
Dada la matriz
Hallar 3 A
1 2
3 1
2 0
A
1 2 3( 1) 3(2) 3 6
3 3 3 1 3(3) 3(1) 9 3
2 0 3( 2) 3(0) 6 0
A
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3.3.2 Multiplicación de matrices. Multiplicación por un escalar.
Dada la matriz
Hallar 2 A
1 2
3 1
2 0
A
1 2 2( 1) 2(2) 2 4
2 2 3 1 2(3) 2(1) 6 2
2 0 2( 2) 2(0) 4 0
A
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3.3.2 Multiplicación de matrices. Multiplicación por un escalar.
Dada la matriz
Hallar (-1) A= -A
1 2
3 1
2 0
A
1 2 ( 1)( 1) ( 1)(2) 1 2
( 1) 3 1 ( 1)(3) ( 1)(1) 3 1
2 0 ( 1)( 2) ( 1)(0) 2 0
A
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Producto de matrices. El producto de AB de una matriz A de m x r y B una matriz r x n
resulta una matriz C de m x n, en donde cada elemento Cij se obtiene multiplicando los elementos correspondientes de la fila ide la matriz A con los elementos de la columna j de la matriz B y se suman todos los resultados. Ejemplos.
Efectuar AB
2 1 3
4 1 2A
2 1 2
4 0 6
2 3 1
B
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MATRICES IGUALES
DEFINICION: dos matrices son iguales si y sólo si
i) son del mismo orden
ii) los elementos homólogos son respectivamente iguales.
En símbolos: A = B aij = bij, i,j
Ejemplo:
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3.2 Tipos especiales de matrices.
Comúnmente las matrices tienen características definidas, por esta razón se les asigna un nombre específico.
3.2.1 Vector renglón y columna.
Vector fila. También llamada Vector renglón, es una matriz que consta de una sola fila y su tamaño es de 1 x n.
Ejemplos.
1 0 2 0P 1 2 4 2Q
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3.2 Tipos especiales de matrices.
Vector columna. Es una matriz que consta de una sola columna y su tamaño es de m x 1.
Ejemplos. 3
5X
2
1
3
Y
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3.2.2 Matriz cuadrada.
Una matriz cuadrada de orden n, será aquella que tiene el mismo número de filas y de columnas. Ejemplos.
es una matriz cuadrada de orden 3.
es una matriz cuadrada de orden 2.
1 2 1
3 4 3
2 1 0
A
1 2
4 0B
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3.2.3 Matriz identidad.
Una matriz identidad denotada como de orden n, es una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son igual a 1 y todos los demás son igual a cero. Ejemplos.
1I 1 0
0 1I
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
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3.2.4 Transpuesta de una matriz.
Transpuesta. Sea A una matriz de m x n, entonces latranspuesta de A se denota por At o A’, es la matriz den x m que se obtiene escribiendo las filas de A, pororden, como columnas. Ejemplos.
Las transpuestas de las matrices
Son
3 4
8 2
3 0
A
1 4 5B
4 2 6
3 1 0
1 2 1
C
3 8 3'
4 2 0
tA A
1
' 4
5
B
4 3 1
' 2 1 2
6 0 1
C
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3.3.3 Representación matricial de ecuaciones.
El sistema de ecuaciones anterior es equivalente a la siguiente matriz.
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 1 2
...
...
. . . .
. . . .
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
2
1
11
22221
11211
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3.4 Introducción a los determinantes. Solución de undeterminante de 2x2, 3x3 por método de columnas aumentadasy cofactores.
Definición. El determinante de una matriz A deorden n se define como la suma de todos los productoselementales con signo y se denota como det(A) o A .
En forma general el determinante se puede representar así:
11 12 1
21 22 2
1 2
. . .
. . .
. . . . . .
. . . . . .
. . .
n
n
n n nn nxn
a a a
a a a
A
a a a
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CÁLCULO DE DETERMINANTES n x n. Para obtener el determinante de un matriz de orden 2
y 3, se utilizan generalmente procedimientosnemotécnicos, en los cuales se suman todos losproductos elementales con signo que señalan lasflechas que se indican a continuación.
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A = = a11 a22 - a21 a12
A =
O también
A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 – a31a22a13 – a21a12a33 – a11a23a32
2221
1211
aa
aa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A
-
+
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Solución de un determinante de 2x2.Calcula la determinante de A:
65
23A
281018)2(5)6(3 A
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Ejemplo.
Hallar el determinante de la siguiente matriz.
=
=-6 – 15/2 – 6 – 60 – 9/2 + 1 = -83
215
263
24/32/1
15
63
4/32/1
215
263
24/32/1
4
332
2
12126513252
4
326
2
1
Solución de un determinante de 3x3 por método de columnas aumentadas
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Definición. Dada una matriz A, el menor del elemento aij denotadocomo Mij es el determinante que la submatriz que resulta de imprimir lafila i y la columna j de A.
Así, el numero (-1)i+j Mij denotado como Cij es el cofactor del elementoaij. En otras palabras los signos quedan como sigue (en dominó).
Ahora, el determinante de una matriz de orden n sepuede calcular sumando los productos de los elementosde una fila (columna) por sus cofactores.
Un desarrollo particular considerando los elementos dela primera fila se puede expresar de la siguiente forma:
det (A) = a11C11 + a12C12 + a1nC1n
aij Cij = (-1)i+j aijMij
ji)1(
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Ejemplo de cálculo de undeterminante de 3X3 por cofactores.
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Otra forma de resolverse
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En excel el determinante de A se calcula:
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Ahora, el determinante de una matriz de orden n sepuede calcular sumando los productos de los elementos deuna fila (columna) por sus cofactores.
Un desarrollo particular considerando los elementos de laprimera fila se puede expresar de la siguiente forma:
det (A) = a11C11 + a12C12 + a1nC1n
Ejemplo.
Calcular el determinante de la matriz A.
A=4321
1234
1531
2/1212/1
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aij Cij = (-1)i+j aijMij
det (A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
det (A) = (-1)1+1 (1/2) + (-1)1+2 (-1) + (-1)1+3 (2)
+(-1)1+4(1/2)
Realizando operaciones tenemos:det (A) = ½ (-24-10+9-4+60+9) - (-1)(8+5-12+2-80-3) + 2(-12-3+8-3+48+2) –
(- ½)(-9-6-40+15+36+4)
det (A) = ½(40) + 1(-80) + 2(40) + ½(0) = 20 – 80 +80 + 0 = 20
432
123
153
421
134
131
431
124
151
321
234
531
4321
1234
1531
2/1212/1
A
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aij Cij = (-1)i+j aijMij
det (A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
det (A) = (-1)2+1 (-1) + (-1)2+2 (-3) + (-1)2+3 (-3)
+(-1)2+4(-2)
Realizando operaciones tenemos:det (A) = -(-1)(8+5-12+2-3-80) + (-3)(4+2-6+1-3/2-32)
– (-3)(10-2-3/2+5/2+3/2-8) + (-2)(5/2-8-1+10+1-2)
det (A) = (-80) -3(-32.5) +3(2.5) - 2(2.5) = -80 + 97.5 +7.5 -5 = 20
431
124
151
431
1512
12
2
1
431
1242
12
2
1
124
1512
12
2
1
4321
1234
1531
2/1212/1
A
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En excel: 4321
1234
1531
2/1212/1
A
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16.3.5.Propiedades de los determinantes
A continuación se enuncian las principales propiedades de los determinantes.
1. El determinante de la matriz y su transpuesta son iguales A = At .
Ejemplo.
Si A = entonces A = At
Si A = = -8 + 3 = -5; ; At = = -8 + 3 = -5
41
32
41
32
43
12
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2. Si todos los elementos de una fila (columna de una matriz son ceros, entonces A = 0.
Ejemplo.
Si A = entonces A = 0
3. Si dos filas (columnas) de una matriz A son idénticas, entonces A = 0
Ejemplo.
A= entonces A = 0
03
02
321
132
132
![Page 39: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/39.jpg)
4. Si B se obtiene de A intercambiando dos filas (columnas) de A, entonces B = - A
Ejemplo.
Sean A = y se obtiene B=
entonces B = - A
B = = -1 – 4 + 8 – 4 + 4 + 2 = 5
122
121
212
122
112
221
122
112
221
![Page 40: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/40.jpg)
A = = -4 – 2 + 4 – 8 + 1 + 4 = -5
5. Si una fila (columna) de una matriz A se multiplica por un escalar k, entonces B = kA
Ejemplo.
Si A = y K = 2
B = = = -6 + 4 = -2
k A = 2 = 2 ( -3 + 2) = 2(-1) = -2
122
121
212
11
23
1)2)(1(
2)2)(3(
12
26
![Page 41: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/41.jpg)
6. Si B se obtiene de A sumando el múltiplo de una fila a otra, entonces B = A .
Ejemplo.
Sea A = y se obtiene B = multiplicando la
1ª fila por (-2) y sumando con la 2ª fila, entonces
B = A .
B = = 3 – 4 + 2 + 12 = 13
221
123
212
221
301
212
221
301
212
![Page 42: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/42.jpg)
A = = 8 – 1 + 12 + 4 – 6 – 4 = 13
17. 3.6 Solución de la inversa de una matriz de 2x2, 3x3.
18. 3.6.1 Método de eliminación-Gaussiana.
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A.
221
123
212
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Paso 1. Se escribe la matriz aumentada A .
Paso 2. Se utiliza la reducción por renglones para poner la matriz A a su forma escalonada reducid por renglones.
Paso 3. Se decide si A es invertible.
Si la forma escalonada reducida por renglones de A es la matriz identidad , entonces A-1 es la matriz que se tiene a la derecha de la barra vertical.
Si la reducción de A conduce a un renglón de ceros a la izquierda de la barra vertical, entonces A no es invertible.
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A A-1
Ejemplo.
Hallar la inversa de la matriz A.
A=
Nota: F1 es fila 1, F2 es fila 2, F3 es fila 3, de la matriz A
123
2/13/12/1
313
21
2
1
13
1
100123
0102/13/12/1
003/113/11
100123
0102/13/12/1
001313
=A FF
F
I
Convertir en 1
Convertir en 0
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101210
061010
003/113/11
101210
016/106/10
003/113/11
100123
016/106/10
003/113/1126
313
F
FF
13
2/332 2/130100
061010
003/113/11
160200
061010
003/113/11 FF
FFF
2/130100
061010
2/153/2001
2/130100
061010
2/133/103/1112
3
1
FF
Convertir en 0 Convertir en 1
![Page 46: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/46.jpg)
A-1 =
20.3.6.2 Método de cofactores.
Definición. Dada una matriz A de orden n y Cij el cofactor del elemento aij, la matriz
2/130
061
2/153/2
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
...
......
......
...
...
21
22221
11211
![Page 47: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/47.jpg)
Otra forma de obtener la inversa de una matriz de 2X2
11
3
11
111
4
11
5
31
45
)4(1)5(3
1
51
43
1
1
A
A
ASe intercambian
Cambian de signo
Cambian de signo
![Page 48: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/48.jpg)
Ejemplo.
Hallar la inversa de la matriz A.
A= ; det (A) = 8/3 – 8 + 8 – 16/3 – 4 + 8 = 4 – 8/3 = 4/3
+ - +
C11 = 8/3 C12 = -6 C13 = 2/3
- + -
C21 = 4 C22 = -8 C23 = 0
+ - +
C31 = -10/3 C32 = 8 C33 = -2/3
224
13/11
424
AdjADetA
A11
![Page 49: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/49.jpg)
Matriz de cofactores Matriz adjunta Matriz inversa
A-1 = ¾
A-1 =
3/283/10
084
3/263/8
3/203/2
886
3/1043/8
3/203/2
886
3/1043/8
2/102/1
662/9
2/532
![Page 50: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/50.jpg)
Sea A una matriz cuadrada, A es invertible si el Det
A es diferente de cero. Obtener la matriz M, que es
la de cofactores de A, donde A es de orden n x n y
el ij-ésimo cofactor de A denotado como Aij, esta
determinado por Aij=(-1)i+j|Mij| es decir el cofactor Aij
se obtiene del determinante
ij-ésimo menor Mij y multiplicando por (1)i+j donde
se multiplica por 1 si i+j es par, o -1 si i+j es impar.
Considere esta matriz A, donde m=n, es
decir una matriz cuadrada.
![Page 51: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/51.jpg)
Det A= a11A11+ a12A12+a13A13 + …+a1nA1n =
Esta expresión se le llama, determinante por cofactores.
Es necesario definir la matriz Adjunta de A (Adj A) como Mt, donde esta última se le conoce como matriz de cofactores. En otras palabras
en tanto que
nnnn
n
n
t
AAA
AAA
AAA
MAdjA
...
............
...
...
21
22212
12111
AdjADetA
A11
![Page 52: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/52.jpg)
Ejemplo 1: Obténgase la mediante la Adjunta, la inversa de la matriz F.
Se Obtiene primero la matriz de cofactores M.
:= F
2 1 2
1 0 -1
1 5 2
![Page 53: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/53.jpg)
, por lo tanto
141
928
535
M y Mt (Traspuesta de M) , la cual es
5 8 -1
-3 2 4
5 -9 -1
Igual a Adj F. y el Det F= 2(5)+2(8)+1(-1)=17
AdjADetA
A11
17/117/917/5
17/417/217/3
17/117/817/5
195
423
185
17
11A
:= F
2 1 2
1 0 -1
1 5 2
![Page 54: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/54.jpg)
21. 3.6.3 Solución de ecuaciones de 2x2 y 3x3. Utilizando el método de la inversa y Cramer.
Un método para encontrar las soluciones (si existen) de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, consiste en simplificar las ecuaciones al multiplicar (o dividir) los dos lados de una ecuación por un numero diferente de cero, sumar un múltiplo de una ecuación a otra e intercambiar dos ecuaciones de un sistema, de manera que las soluciones se puedan identificar de inmediato. Estas tres operaciones, cuando se aplican a los renglones de la matriz aumentada que representa un sistema de ecuaciones, se llaman operaciones elementales con renglones.
![Page 55: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/55.jpg)
Las operaciones elementales con renglones son:
Multiplicar (o dividir) un renglón por un numero diferente de cero.
Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
Intercambiar dos renglones.
Al proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para simplificar una matriz aumentada se llama reducción por renglones.
![Page 56: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/56.jpg)
Notación
1. Ri cRi :
Quiere decir “reemplaza el i-esimo renglón por ese renglón multiplicado por c”
2. Rj Rj + cRi :
Significa “sustituye el j-esimo renglón por la suma del renglón j mas el renglón i multiplicado por c”.
3. Ri Rj :
Quiere decir “intercambiar los renglones i y j”.
4. A B :
Indica que las matrices aumentadas A y B son equivalente; es decir, que los sistemas que representan tienen la misma solución.
![Page 57: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/57.jpg)
ELIMINACIÓN GAUSSIANA. Método.
Se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones, se despeja el valor de la última incógnita y después se usa la sustitución hacia atrás para las demás incógnitas.
Ejemplo.
Resuelva el sistema
2x1 + x2 - 2x3 = 1
3x1 + 2x2 - 4 x3 = 1
5x1 + 4 x2 - x3 = 8
![Page 58: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/58.jpg)
R1 R3
R2 R2 – 3R1
R3 R3 – 2R1
R2 -1/6 R2
11251
02193
21042
21042
02193
11251
41460
31560
11251
R1 R1 – 5R2
R3 R3 + 6R2
R3 - R3
41460
2/116/1510
11251
1100
2/116/1510
2/32/101
1100
2/116/1510
2/32/101
R1 R1 – 5R2
R3 R3 + 6R2
La solución es x1 = -2, x2 = 3, x3 = 1
1100
3010
2001
![Page 59: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/59.jpg)
3x1 - 4x2 - x3 = 1
2x1 - 3x2 + x3 = 1
x1 - 2 x2 + 3x3 = 2
R2R2 – 4R1
R3R3 -6R1
R2-1/5 R2 R1R1-R2
R3R3+5R2
0316
0514
0111
0950
0950
0111
5950
35/910
2111
0000
05/910
05/401
![Page 60: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/60.jpg)
Se tienen dos ecuaciones con las incógnitas x1, x2 x3 y existe un numero infinito de soluciones, se supone que x3 tiene un valor especifico, entonces x2 = 9/5 x3 y x1 = -4/5 x3 estas soluciones se escriben en la forma (-4/5 x3, 9/5 x3, x3).
REGLA DE CRAMER.
El sistema de n ecuaciones con n incógnitas.
![Page 61: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/61.jpg)
Se puede representar de la siguiente manera:
=
nnnnnn
n
n
b
b
b
b
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
.
...
......
......
...
...
3
2
1
2211
22222121
21212111
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
......
......
......
...
...
21
22221
11211
nx
x
x
.
.
.
2
1
nb
b
b
.
.
.
2
1
![Page 62: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/62.jpg)
Si se designan estas matrices por A, X y B, respectivamente, entonces, se puede escribir en la forma
AX = B
En donde A se denomina matriz de coeficientes, X se llama matriz de incógnitas y B matriz de términos independientes o vector solución.
Regla de Cramer. Si A X = B es un sistema de n ecuaciones lineales en n incógnitas tal que det (A) 0, entonces el sistema tiene solución única. Esta solución es
![Page 63: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/63.jpg)
en donde Aj se obtiene sustituyendo en la columna j de la matriz A por la columna B.
Otro método para resolver el sistema A X = B tal que A sea una matriz invertible de n x n, entonces tiene exactamente una solución, que es:
X = A-1B
Para obtener la expresión anterior se procede de la siguiente forma:
Se multiplica A X = B por A-1
A-1A X = A-1B ; X = A-1B, entonces X = A-1B
x1 =
det (A1)
, x2 =
det (A2)
, . . . ,
xn =
det (An)
det (A) det (A) det (A)
![Page 64: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/64.jpg)
Ejemplo.Resolver mediante la regla de Cramer.
=2(-2)(5)+(1)(-3)(8)+1(3)(2)-(8)(-2)(1)-(2)(-3)(2)-(5)(3)(1)
= -20 – 24 + 6 + 16 + 12 – 15
Det(A)= -25
2x1 + x2 + x3 = 6
3x1 - 2x2 - 3x3 = 5
8x1 + 2x2 + 5x3 = 11
28
23
12
528
323
112
A
![Page 65: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/65.jpg)
Ejemplo.
Resolver mediante la regla de Cramer.
det (A1) =
=6(-2)(5)+1(-3)(11)+1(5)(2)-11(-2)(1)-2(-3)(6)-5(5)(1)
= -60 – 33 + 10 + 22 + 36– 25
det (A1) = -50
2x1 + x2 + x3 = 6
3x1 - 2x2 - 3x3 = 5
8x1 + 2x2 + 5x3 = 11
211
25
16
5211
325
116
![Page 66: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/66.jpg)
Ejemplo.
Resolver mediante la regla de Cramer.
det (A2) =
=2(5)(5)+6(-3)(8)+1(3)(11)-8(5)(1)-11(-3)(2)-5(3)(6)
= 50 – 144 + 33 – 40 – 90 + 66
det (A2)= -125
2x1 + x2 + x3 = 6
3x1 - 2x2 - 3x3 = 5
8x1 + 2x2 + 5x3 = 1
118
53
62
5118
353
162
![Page 67: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/67.jpg)
Ejemplo.Resolver mediante la regla de Cramer.
det (A3) =
=2(-2)(11)+1(5)(8)+6(3)(2)-8(-2)(6)-2(5)(2)-11(3)(1)
= -44 + 40 + 36 + 96– 20 – 33
det (A3)= 75
2x1 + x2 + x3 = 6
3x1 - 2x2 - 3x3 = 5
8x1 + 2x2 + 5x3 = 1
28
23
12
1128
523
612
![Page 68: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/68.jpg)
225
50
)det(
)det( 11
A
Ax
525
125
)det(
)det( 22
A
Ax
325
75
)det(
)det( 33
A
Ax
)det(
)det(
A
Ax n
n
![Page 69: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/69.jpg)
22. 3.6.4 Aplicaciones de matrices.
1. Las calificaciones de matemáticas, de cuatro alumnos de 2º de Bachillerato, en las tres evaluaciones del curso fueron las siguientes:
CALIFICACIONES
Alumnos 1ª Ev 2ª Ev 3ª Ev
Antonio 8 7 5
Jaime 4 6 5
Roberto 6 5 4
Santiago 7 6 8
![Page 70: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/70.jpg)
Para calcular la calificación final, el departamento de matemáticas ha establecido los siguientes "pesos" para cada una de las evaluaciones: 1ª Ev: 25 %, 2ª Ev: 35 % y 3ª Ev: 40 %. Se pide:
a) La nota final de cada uno de los alumnos.
b) La media aritmética de las calificaciones de cada evaluación.
Solución:
![Page 71: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/71.jpg)
![Page 72: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/72.jpg)
2. Tres familias numerosas van a una heladería. La primera familia pidió 3 helados de barquillo, un helado de vasito y 2 granizadas, la segunda familia consumió 1 helado de barquillo, 4 helados de vasito y una granizada y la tercera familia, 3 helados de barquillo, 2 helados de vasito y 2 granizadas.
a) Obtén una matriz A, 3 x 3, que exprese el número de helados de barquillo, helados de vasito y granizadas que consume cada familia.
b) Si cada una de las tres familias ha gastado respectivamente: 13 €, 12€ y 15€, calcula el precio de un helado de barquillo, un helado de vasito y una granizada.
![Page 73: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/73.jpg)
Solución:
![Page 74: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/74.jpg)
3. La maestra de matemáticas está poniendo ejemplos a sus alumnos acerca de las matrices, tomando a Juan y David, y Jorge, Alex y Mónica como su ejemplo principal. Juan posee 3 lapiceros rojos, 2 azules y perdió 5 negros, David tiene 1 rojo, 4 azules y perdió 2 negros, mientras que Jorge sólo tiene 2 rojos y 4 azules, Alex posee 5 rojos y 1 azul, y Mónica cuenta con 3 rojos. La maestra toma estos datos de ejemplo, y dadas las matrices obtenidas por ambos grupos, les pidió:
a) Calcula, si es posible, los productos A.B y B.A.
b) Calcula, si es posible, (A.B) -1.
![Page 75: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/75.jpg)
Solución:
![Page 76: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/76.jpg)
4. Calcula An siendo A:
Solución:
![Page 77: Unidad 2 matrices](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062406/55a36fa71a28ab186f8b47c2/html5/thumbnails/77.jpg)
5. Resuelve la ecuación matricial: A.X - 4.B = X, siendo:
Solución: