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UNIDAD 2: EL Movimiento
Introducción La unidad comienza con una introducción muy básica al tema de los vectores; suficiente para fundamentar el estudio de la mecánica. Continúa con el estudio descriptivo (cinemática) y causal (dinámica) del movimiento, considerándose, como temas centrales: las leyes de Newton, la energía mecánica y su conservación, la cantidad de movimiento lineal y su conservación, y la relatividad clásica y moderna del movimiento. Cómo caso de aplicación de la dinámica, se aborda el estudio de sistemas en equilibrio estático. El movimiento y la energía se relacionan con el calor, la temperatura y la energía cinética; desde ese punto de partida, se aborda la fenomenología del calor. Finalmente, las leyes de la termodinámica vienen a generalizar el concepto de energía y su conservación, así como a delimitar las posibilidades de los procesos que ocurren espontáneamente en la naturaleza.
Objetivos:
Que el alumno o la alumna pueda:
1. Comprender la importancia del lenguaje vectorial como medio para expresar las relaciones entre
cantidades que intervienen en los fenómenos naturales.
2. Establecer los elementos conceptuales del movimiento de los cuerpos sólidos considerados como
partículas, tanto desde el punto de vista cinemático como dinámico, y su importancia práctica. 3. Comprender los conceptos, fenomenología y forma de medición del calor y de la temperatura, así
como su aplicación en la naturaleza y en la vida cotidiana. 4. Comprender los conceptos, fenomenología y forma de medición del calor y de la temperatura, así
como su aplicación en la naturaleza y en la vida cotidiana. 5. Comprender las leyes que rigen la conservación y posibilidades de transformación de la energía, así
como sus aplicaciones.
1. Qué son los vectores .
¿Recuerdas el esquema anterior?... Claro que lo recuerdas. Lo utilizamos en la unidad pasada para comprender lo que son un vector y un escalar. Dijimos que un vector es una cantidad que posee dirección, magnitud y sentido. Por ejemplo, la velocidad es un vector, mientras que el tiempo y la masa son escalares. Hagamos un pequeño repaso. En la nieve se encuentran 2 esquiadores: A y B. Si A se mueve con una velocidad mayor que la de B, ¿podemos afirmar que A se juntará con B?... Alguien podría decir que sí; pero la respuesta es NO. ¿Por
qué?... Porque no conocemos ni la dirección ni el sentido de ambos. Las direcciones podrían ser las que se muestran a continuación: Coloquemos ahora a los esquiadores en la misma dirección
Objetivos conceptuales. Comprender lo que es un vector y sus formas de expresarlo. Objetivos procedimentales. Sumar vectores gráficamente y analíticamente.
Objetivos actitudinales. Valorar la importancia de conocer lo que es un vector y su diferencia con un escalar
F A B
A B
A B
A B
¿Se juntará A con B?... Podrían juntarse o no. No podemos decir que sí o que no. ¿Por qué? … Porque no conocemos el SENTIDO. Si A se mueve hacia atrás, nunca se juntarán; pero si se mueve hacia delante, Sí se juntarán: tarde o temprano se juntarán porque A se mueve con una velocidad un poco
mayor.
discusión 1. El cangrejo y el alacrán están en una misma dirección.
Para que ambos se junten es necesario:
1. Que el alacrán esté estático.
2. Que el cangrejo esté estático.
3. Que ambos estén estáticos.
4. Que ambos se muevan.
5. Que el alacrán esté estático, pero que el cangrejo se mueva.
6. Que el alacrán esté estático, pero que el cangrejo se mueva hacia la derecha.
7. Que el alacrán se mueva hacia la izquierda.
8. Que el alacrán se mueva hacia la izquierda y el cangrejo esté estático.
9. Que ambos se muevan hacia la derecha.
10. Que ambos se muevan hacia la derecha, pero que la velocidad del cangrejo sea un poco mayor que
la del alacrán.
11. Que ambos se muevan hacia la izquierda, pero que la velocidad del cangrejo sea un poco menor que
la del alacrán.
12. Que el alacrán se mueva hacia la derecha y el cangrejo hacia la izquierda.
13. Que el alacrán se mueva hacia la izquierda y el cangrejo hacia la derecha.
14. Que ambos se muevan hacia la derecha, pero con velocidades iguales.
Resumiendo: un vector posee magnitud, dirección y sentido. Un escalar, en cambio, sólo posee magnitud. Para el caso, si la cuerda del esquema se rompe al colocarle una masa de 100 kilogramos, se romperá siempre que se le coloque tal masa. Por el contrario, un carro puede alcanzar a otro por tener una velocidad mayor, pero no siempre lo alcanzará: todo depende de la dirección y del sentido. 1.1 Cómo se representan los vectores
Los vectores pueden representarse gráficamente con flechas, en donde la punta indica el sentido
del vector. La longitud de la flecha es la magnitud del vector o una proporción del vector representado.
La dirección está en el sentido. Entendamos esto.
A B
El vector anterior tiene una magnitud de 5 cm, su dirección es AB y el sentido es de A hacia B. Pero el
vector anterior puede representar una fuerza de 50 newton. Por lo tanto una flecha de 7 cm representaría
una fuerza de 70 newton (la fuerza es un vector, como la velocidad y la aceleración)
La dirección también se expresa en grados. Veámoslo.
El vector A tiene una dirección de 75°. B tiene una
dirección de 150° (180°-30°=150°, recordemos que
los grados positivos se miden en sentido contrario a
las agujas del reloj) El vector C tiene una dirección
de 225° (180°+ 45°) El vector D tiene una dirección
de 330° (270°+ 60°) 75° 30°
45° 60°
A
C
B
D NOTA IMPORTANTE: Representaremos los vectores
en este libro con negrita o con el tipo de letra Berlín Sans FB Demi. Las magnitudes se representarán sin
negrita o metiendo el vector entre barras de valor
absoluto: Vectores: A, F, T.
Escalares A, F, T o IAI, IFI, ITI
Alacránn
También los vectores pueden representarse de la forma V = ai + bj. Aquí i y j se conocen como vectores unitarios, y están referidos al plano cartesiano (i para el eje X y j para el eje y)
1.2 Las operaciones básicas con vectores
Suma de vectores. La suma de vectores puede efectuarse gráficamente y analíticamente. El método
gráfico es aproximado, de manera que el resultado se aproximará tanto al valor real en la medida en que
se trabaje con precisión y exactitud.
Suma gráfica. Supongamos que queremos efectuar la suma A + B + C . Colocamos el vector A (u otro)
y al final de éste colocamos el B y al final de éste colocamos el C. La suma es el vector que comienza en
el principio de A y termina en el final de C. Por supuesto que el orden de los sumandos no altera la suma.
Ejemplo 1. Efectuar la suma A + B + C siendo estos vectores los del plano cartesiano anterior.
Solución. Los vectores son los siguientes:
En este plano cartesiano tenemos los
siguientes vectores:
A = 3 i + 2 j
B = -3i + j
C = – i – 4j
D = 4i – 2j
NOTA: en todo plano cartesiano por lo
general se usan segmentos de 1 centímetro.
A B
C
-1
A
3 4
2
-3
-4
-2
B
C D
1
Coloquemos B después de A y C después de B. La suma, o resultante (R), será el vector que comienza en el principio de A y termina en el final de C.
Coloquemos a R en un plano cartesiano:
Suma analítica. Para sumar vectores analíticamente, éstos deben estar escritos en la forma a
i + bj (o llevarlos a esa forma)
Ejemplo 2. Efectuar la suma A + B + C , siendo estos vectores los del plano cartesiano anterior.
Solución. Los vectores son los siguientes: A = 3 i + 2 j B = -3i + j C = – i – 4j. Para sumarlos simplemente se suman las i con las i y las j con las j. Veamos.
A = 3 i + 2 j B = -3i + j C = – i – 4j
R = – i – j
Ubiquemos a R en el plano cartesiano:
Ejemplo 3. Sobre un bloque actúan 2 fuerzas: A y B. La magnitud de A es de 40 newton y tiene una
B
C
A
R
Podemos observar que la magnitud de la resultante
(R) es menor que la de cualquiera de los otros
vectores. Por supuesto que la resultante depende
de las magnitudes, direcciones y sentidos de los
que se están sumando. La resultante puede tener
magnitud CERO, pero nunca tendrá una magnitud
mayor que la suma de las magnitudes de los
vectores que se suman.
Observamos que está en el tercer
cuadrante y su dirección es de más o
menos unos 220°
R
La suma se ha efectuado así: 3 – 3 – 1 = -1 -i. 2 + 1 – 4 = -1 -j.
R
Podemos observar que el
resultado gráfico es
similar al resultado
analítico.
dirección de 30°. La magnitud de B es de 60 newton y tiene una dirección de 140°. Determinar, gráfica y
analíticamente, la fuerza y la dirección con que se moverá el bloque.
Solución. Para 40 newtons tomaremos 4 cm, y para 60 newton tomaremos 6 cm. El esquema es el
siguiente:
Suma gráfica.
Utilizando una regla, se aprecia que la magnitud de R, que se denota |R|, es de aproximadamente 6 cm;
es decir que R es de más o menos 60 newton (por la escala que hemos tomado: 1 cm son 10 N) . Con un
transportador se aprecia un ángulo de aproximadamente 100°. Por lo tanto el bloque se moverá,
aproximadamente, con una fuerza de 60 newton y en una dirección de 100°.
Suma analítica.
Para encontrar la resultante, echaremos mano de la trigonometría. Tenemos que expresar cada vector en
la forma ai + bj. Esto implica encontrar las componentes de cada vector en los respectivos ejes.
30°
140°
40°
X i
y j
A
B
Encontremos la resultante
gráficamente. Aplicaremos el
método del paralelogramo, que
consiste en juntar los ventores por
sus orígenes y trazar luego paralelas
por los extremos. La suma será el
vector desde el origen hasta donde
se cortan las paralelas. Observa el
gráfico.
A
B
R
X
y
A
B
30° 40°
Componente de A en y
Componente de A en X
Este diagrama se
conoce como
diagrama de
cuerpo libre (DCL)
En él se muestran
todas las fuerzas que
actúan sobre el
cuerpo.
Conocemos las magnitudes de A y B (40 y 60). Encontremos sus componentes en los ejes.
Componentes de A.
Componente de A en y (bj): Sen 30° = opuesto/hipotenusa Sen 30° = opuesto/40
Op = 40 sen 30° = 20 b j = 20j
Componente de A en X (a i ): Cos 30° = adyacente/hipotenusa Cos 30° = adyacente/40
Ad = 40 cos 30° = 34.64 a i = 34.64 i
Por lo tanto A = 34.64 i + 20 j
Componentes de B.
Componente de B en y (bj): Sen 40° = opuesto/60 Op = 60 sen 40° = 38.5 b j = 38.5j
Componente de B en X (a i ): Cos 40° = adyacente/60 Ad = 60 Cos 40° = 45.96
Aquí debemos observar que la componente en X es negativa. Esto implica a i = -45.96 i
Por lo tanto B = -45.96 i + 38.5j
Por lo tanto la suma es:
A + B: A = 34.64 i + 20 j
B = -45.96 i + 38.5j
R = A + B = -11.32 i + 58.5j
NOTA: la dirección puede expresarse de diversas formas. Por ejemplo, una es 79° medidos
negativamente a partir del eje X negativo. Otra: 11° a partir del eje y positivo. También: -259° (259 es
360 -101)
También se pudo utilizar el ángulo de 140°. Esto no afecta los resultados, y tiene la ventaja que
los signos aparecen directamente en los cálculos. Veámoslo para el caso de a i .
Componente de B en X (a i ): Cos 140° = adyacente/60 Ad = 60 Cos 140° = -45.96
IMPORTANTE. En general se tiene que para un vector A, con dirección θ y magnitud |A|, sus
componentes son:
Podemos observar que
este vector R, es
similar al que antes
encontramos por el
método gráfico.
-11.32
Para calcular la magnitud o módulo del vector se
aplica Pitágoras, pues se tiene un triángulo rectángulo
en el que 11.32 y 58.5 son los catetos. Tenemos:
|R| = (11.32)2 + (58.5)
2 = 59.6 newton
La dirección puede calcularse con cualquier función
trigonométrica. Utilicemos la tangente para el ángulo
θ.
Tan θ = 58.5/11.32 = 5.17 θ = tan-1
(5.17)
θ = 79°
¡Cuidado! Este ángulo que hemos encontrado no
representa directamente la dirección. Debemos
restarlo de 180°: (180°-79°) = 101°
La dirección es 101°
58.5
θ
R
A = |A| cosθ i + |A| senθj
Ejemplo 4. Sobre un bloque actúan 2 fuerzas: A y B. Para A: 200 N y 30°. Para B: 300 N y 60° medidos
negativamente a partir de eje X negativo. Determinar, gráfica y analíticamente, la fuerza y la dirección con
que se moverá el bloque.
Solución. Como escala tomaremos 1 cm por cada 100N. Veamos el DCL.
Suma analítica.
La suma es:
A + B: A = 173.2 i + 100 j
B = -150 i + 259.8 j
R = A + B = 23.2 i + 359.8 j
Ejemplo 5. Sobre un punto (en el origen del plano) actúan 3 fuerzas: F1, F2 y F3. Sus magnitudes son 400,
300 y 200 N respectivamente. La dirección de F1 es 50°. F2 está en el cuadrante II y forma con F1 un
ángulo de 90°. F3 está en el cuadrante IV, y forma con el eje X un ángulo de 30°. Determinar
analíticamente la fuerza y la dirección con que se moverá la resultante.
Solución. A continuación aparecen las 3 fuerzas en el plano cartesiano.
30°
Observemos la
semejanza de R
encontrado
analíticamente con el
R encontrado por el
método gráfico.
Calculemos la magnitud o módulo del vector R.
Se aplica Pitágoras.
|R| = (23.2)2 + (359.8)
2 = 360.5 N
La dirección puede calcularse con cualquier
función trigonométrica. Utilicemos la tangente
para el ángulo θ.
Tan θ = 35 9 . 8 /23.2 = 15.5 θ = Tan-1
(15.5)
θ = 86 .3 °
La dirección es 86.3°
θ
A
B
60°
X i
y j A la derecha vemos la suma gráfica
A + B = R. La longitud de R es de
3.6 cm, aproximadamente. Esto
significa que la magnitud de R es de
360 N (por la escala) Con un
transportador puede apreciarse una
dirección de 85°, aproximadamente.
Resumiendo:
|R| = |A + B| = 360 N
Dirección: 85°
Fuerzas aplicadas
sobre el bloque.
30° 60°
A
B
Puede observarse que la dirección de B es:
90°+30° = 120°. También: 180°-60° = 120°.
B = |B| cos120°i + |B| sen120° j
= 300 (-0.5) i + 300 (0.866)j = -150 i + 259.8 j
A = |A| cos30°i + |A| sen30° j
= 200 (0.866) i + 200 (0.5)j = 173.2 i + 100 j
3.59
0.232
R
A
B R
F1 + F2 + F3 = 256 i + 308 j
-231 i + 192 j
173.2 i - 100 j
198.2 i + 400 j
Resta de vectores. Comenzaremos diciendo que la resta es un caso especial de la suma. Se afirma
esto porque: A – B = A + (– B) Si B = 3 i – 2 j , entonces – B = -3 i + 2 j
Gráficamente, el negativo de un vector únicamente varía su sentido; por lo tanto, un vector y su opuesto
son paralelos: F y –F son paralelos. Veámoslo.
El procedimiento para restar vectores es el mismo utilizado para sumarlos.
Ejemplo 6. Dados F1 y F2 encontrar F1 – F2 y F1 + F2 gráficamente.
Solución.
Identifiquemos las direcciones de F2 y F3.
La dirección de F2 es: 50°+90° = 140°.
La dirección de F3 es: 270°+ 60° = 330°.
Los vectores son:
F1 = |F1| cos 50° i + |F1| sen 50° j
= 400(0.64) i + 400(0.77) j = 256 i + 308 j
F2 = |F2| cos140°i + |F2| sen140° j
= 300(-0.77) i + 300(0.64) j = -231 i + 192 j
F3 = |F3| cos 330°i + |F3| sen 330 ° j
= 200(0.866) i + 200(-0.5) j = 173.2 i - 100 j
Resumiendo:
|R| = |A + B| = 360 N
Dirección: 85°
50°
90°
F1
F2
F3
30°
Calculemos la magnitud o módulo de la suma.
| F1 + F2 + F3| = (198.2)2 + (400)
2 = 446.4 N
Calculemos la dirección.
198.2 i + 400 j está en el primer cuadrante. Utilicemos la tangente
para calcular la dirección o ángulo θ.
Tan θ = 400/198.2 = 2 θ = Tan-1
(2) θ = 63.4° es la dirección.
F
-F
V
-V
a
-a
Un vector es paralelo a su
negativo. Esto significa
que el vector 3 i – 2 j es
paralelo a -3 i + 2 j
Multiplicación de un vector por un escalar. Recordemos que un escalar carece de dirección y
sentido; sólo posee magnitud: 2 m, 5 Kg, 7 s. Al multiplicar un escalar por un vector, simplemente
multiplicamos cada término del vector por el escalar. Para el caso, al multiplicar el escalar 4 por el vector
A = 3i – 2 j, obtenemos: 4A = 4(3i – 2 j) = 12i – 8 j 4A = 12i – 8 j. Si el vector está en forma gráfica,
entonces su magnitud se multiplica por el escalar.
Ejemplo 7. Sean A = 3 i – 2 j B = 4i + 5j C = -5 i + 5j. Con estos vectores calcular: a. 2A + 3B b. 3A –
2C c. 5C – 2B d. Para K, de 2 cm de magnitud y 30° de dirección, trazar 2K, 3K y -2K
Solución.
a. 2A + 3B: 2A = 2(3i – 2 j) = 6i – 4j
3B = 3(4i + 5j) = 12i + 15j
2A + 3B = 18i + 11j
c. 5C – 2B: 5C = 5(-i + 5j) = -25i + 25j
-2B = -2(4i + 5j) = -8 i – 10j
5C – 2B = -33i + 15j
d.
Actividad 1. Con los vectores dados, efectuar gráficamente las operaciones siguientes:
Actividad 2. Se tienen 4 vectores: A, B, C y D. El vector A tiene una dirección de 30° y su magnitud es
4; el vector B tiene una dirección de 30° abajo del eje X positivo y su magnitud es 2; el vector C tiene una
dirección de 30° abajo del eje X negativo y su magnitud es 5; el vector D tiene una dirección de 0° y su
magnitud es 7. Encontrar analíticamente : a. A + B _____________ b. A + B + C _____________ c. A +
B + C + D _____________ d. A + C _____________ e. A – C _____________ f. B + C _____________
g. B + D _____________ h. A + D _____________ i. D – C _____________
Si agregamos un nuevo vector, F3, para
calcular F1–F2–F3, le restamos F3 a F1–F2.
Supongamos que F3 = -4i. Entonces el vector
F1–F2–F3 es el siguiente:
Compruébenlo.
b. 3A – 2C: 3A = 3(3 i – 2 j) = 9 i – 6 j
-2C = -2(-5 i + 5j) = 10 i – 10 j
3A – 2C = 19 i – 16 j
a. P + Q b. Q + R c. P + Q + R
d. P – Q e. R – Q f. R – (P + Q)
g. 2P + Q h. R + 2Q i. 3P – 2Q)
j. 4P – R k. 2Q – R l. R – P + Q
P Q
R
K
-
2K
3K
2K 30° 30° 30° 30°
F2
F1 –F2
F1–F2 = (F1+ (–F2))
F1 + F2
y
X
-F3
Actividad 3. Se tienen 3 vectores: A, B y C. El vector A tiene una dirección de 36.87° y su magnitud es
5; el vector B tiene una dirección de 248.2° su magnitud es 5.385; el vector C tiene una dirección de 23.2°
abajo del eje X positivo y su magnitud es 7.61. Determina analíticamente la dirección y magnitud de a. A
+ B ________ ____ b. A + B + C ________ ____ c. 2A + B ________ ____ d. A + 2C ________
____ e. A – C ________ ____ f. B – 2C ________ ____ g. B – 2A ________ ____
discusión 2. En cada caso responde falso (f) o verdadero (v)
1. La dirección de 2A es el doble de la dirección de A ………………………………………..………___
2. La magnitud de 2A es el doble de la magnitud de A ………………………………………………___
3. La magnitud de A + B será SIEMPRE mayor que la magnitud de A ……………………….…. ___
4. La magnitud de A + B es igual a la magnitud de A más la magnitud de B …………………… ___
5. La dirección de 2A es igual a la dirección de A …………………………………………………….___
6. La dirección de 3A es igual a la dirección de A …………………………………………………….___
7. Puede ocurrir que la magnitud de A + B sea igual a la magnitud de A ………………………….___
8. Puede ocurrir que la magnitud de A + B sea CERO ……………………..………………………..___
9. Puede ocurrir que la magnitud de A + B sea igual a la magnitud de A más la magnitud de B ___
10. La magnitud de A + B podrá ser mayor que la magnitud de A más la magnitud de B ……..___
Resumen del capítulo. Un vector posee magnitud, dirección y sentido; en cambio un escalar sólo
posee magnitud. Gráficamente, un vector se representa con una flecha en la que la punta indica el sentido. Analíticamente, un vector se expresa de la forma ai – bj (i para el eje X y j para el eje y) siendo la
magnitud la raíz cuadrada de a2
+ b2
y la dirección es la tangente inversa de b/a. Cuando se tiene la magnitud y la dirección de un vector A, entonces el vector es A = |A| cos θ i + |B| sen θ j. Los vectores
pueden sumarse (o restarse) Para sumarlos gráficamente, se coloca un vector a continuación de otro; la resultante comienza en el principio del primer vector y termina al final del último vector.
2. Cómo se describe el movimiento .
2.1 El movimiento es relativo
El ciclista, el conejo y el conductor del bus se mueven en la misma dirección y en los sentidos indicados
por las flechas, mientras que Bob Esponja está estático. Si el conductor se mueve a 60 Km/h, el conejo a
30 Km/h y el ciclista a 40 Km/h, pueden darse las siguientes apreciaciones:
a. Para Bob esponja el conductor se mueve a 60 Km/h, el conejo a 30m/h y el ciclista a 40 Km/h.
b. El conejo observa que el ciclista se aleja de él a 10Km/h.
c. El conejo observa que él se aleja del conductor a 90m/h.
d. El conductor observa que se aleja del conejo a 90Km/h y del ciclista a 100Km/h.
e. El ciclista observa que se aleja del conejo a 10Km/h y del conductor a 100Km/h.
Objetivos conceptuales. Comprender qué es desplazamiento, velocidad y aceleración en una y 2 dimensiones.
Objetivos procedimentales. Calcular desplazamientos, velocidades y aceleraciones en distintos fenómenos que se dan en la
naturaleza.
Objetivos actitudinales. Reflexionar sobre las distintas formas de movimiento que puede adquirir un cuerpo en la naturaleza.
60 Km/h 30 Km/h 40 Km/h
f. Para un pasajero del bus, el conductor no se mueve con relación a él.
g. Para el ciclista, su bicicleta está en reposo con respecto a él.
Lo antes descrito pone de manifiesto que el movimiento es relativo; es decir que está en relación a un
determinado sistema de referencia, que son puntos fijos. Los que van en el bus tienen un sistema de
referencia; Bob esponja tiene su propio sistema de referencia; lo mismo ocurre con el conejo y el ciclista.
Para un observador fuera del planeta, el sistema de referencia es otro, pues, además de los elementos en
movimiento, observa que el planeta se mueve con ellos.
Considerado así el movimiento relativo, es correcto afirmar que Bob Esponja se mueve hacia la derecha
con una velocidad de 60 Km/h.
2.2 Conceptos necesarios para la descripción del movimiento
Como herramientas para la descripción del movimiento aclararemos los conceptos siguientes: partícula,
posición, desplazamiento, trayectoria, velocidad y aceleración.
Partícula. Una partícula carece de dimensiones y su movimiento es de traslación. En física, con
frecuencia los objetos en movimiento son considerados como partículas por varias razones. Una es
porque, en relación con otros elementos, sus dimensione no afectan considerablemente los resultados;
otras es porque considerarlos como partículas facilita su manejo. Veamos un caso.
Posición. La posición de una partícula es el punto en el que se encuentra. Con frecuencia, este punto
está referido a la trayectoria que sigue la partícula. Veamos algunos ejemplos de posiciones.
Desplazamiento. El desplazamiento es un vector con origen en la posición inicial del móvil y con
extremo en la posición final del móvil. No debe confundirse con distancia, que es un escalar. Veamos
esta diferencia con ejemplos.
Supongamos que el tren de la figura se tardó 15 minutos
desde la estación A a la estación B. Un hecho es claro: la
punta de la locomotora se tardó un tiempo en llegar a la
estación; pero el coche de pasajero (último) con seguridad
se tardó un tiempo mayor. Para evitar estos inconvenientes,
se considera a todo el tren como una partícula, y ya no
interesa si fue la punta, un vagón de carga o de pasajero el
que se tardó 15 minutos en llegar a la estación B. Además,
la longitud de los vagones carece de importancia
comparada con los muchos kilómetros que el tren ha
recorrido. Consideraciones semejantes se hacen con el
planeta Tierra, el cual, aunque posee miles de kilómetros de
diámetro, su órbita es de 938 900 000 kilómetros, y su
velocidad es de 72 360 Km/h.
A B
La bruja se dirige del punto A al punto B en línea
recta. Cinco minutos más tarde se encuentra a 200
metros del punto A (posición)
La lancha arranca del punto A. Media hora después se
encuentra a 50 Km, 40° al norte de su posición inicial. Se tienen 2 partículas: A y B. La partícula A ocupa la
posición (10, 15); y la partícula B ocupa la posición (20, 15)
Un móvil se desplaza de A a B y de B a C,
según el diagrama. Resulta que el móvil se ha
desplazado 7.4 centímetros.
Gráficamente podemos ver que el
desplazamiento es de 7.4 cm aproximadamente.
Sin embargo, la distancia recorrida por el móvil
es de 9 cm (5 cm + 4 cm)
B
A C Desplazamiento resultante
5 cm 4 cm
A B
Trayectoria. En palabras sencillas diremos que la trayectoria es el camino que recorre una partícula en
su movimiento. En esta unidad trabajaremos mucho con trayectorias rectilíneas, aunque también se
tratará la trayectoria parabólica. Es importante recalcar que en una trayectoria encontramos infinitas
posiciones. Además, el desplazamiento no depende de la trayectoria. Veamos un gráfico con distintas
trayectorias para un desplazamiento AB. ¡Cuidado! La trayectoria no es un vector.
Sin importar la ruta que haya seguido el móvil, el desplazamiento siempre será AB; para este caso es de
unos 12.7 cm.
Velocidad. La velocidad es un vector definido por el cociente del desplazamiento y el tiempo.
Matemáticamente:
Es oportuno aclarar el término rapidez. La rapidez es la distancia recorrida por un móvil por unidad de
tiempo. Es decir que la rapidez no es un vector.
Si un móvil se desplaza en línea recta y sin cambiar el sentido de su movimiento, entonces la magnitud
del vector desplazamiento coincide con el espacio recorrido.
Aceleración. Para un móvil, la aceleración es el cambio de la velocidad. Se calcula restando la
velocidad inicial de la final, y dividiendo la resta por el tiempo en el que ocurrió ese cambio.
Matemáticamente:
Generalmente el tiempo inicial es cero, de manera que la ecuación queda así: a = (vf – vi)/t
La aceleración más común que encontramos en la naturaleza es la gravedad. Esta aparece mientras un
cuerpo cae desde determinada altura. Si soltamos una piedra desde unos 20 m, ésta comenzará a
adquirir nuevas velocidades en cada punto, de manera que al caer a la tierra lo hará con la máxima
velocidad. Esta sería la velocidad final; pero en todo momento su aceleración fue la misma: la aceleración
de la gravedad, que es de 9.8 m/s2.
discusión 3. En cada caso responde falso (f) o verdadero (v)
1. El movimiento es relativo porque depende del tiempo …..…………..……………………..………___
A B
Entre A y B hay 20 metros. Una partícula se desplaza de A a
B y de B a A, por la ruta indicada. En este caso tenemos que
el desplazamiento resultante de la partícula es CERO, ya que
vuelve al punto inicial. Sin embargo recorre una distancia de
40 metros.
v = d/t
A B Desplazamiento
a = (vf – vi)/(tf - ti)
2. Si A y B se mueven hacia la derecha no hay movimiento relativo …….…………………………___
3. El movimiento es relativo porque depende de un sistema de referencia …..……………….…. ___
4. Si A y B se mueven, puede considerarse que A está relativamente en reposo ……………… ___
5. Una partícula es un cuerpo muy pequeño …………………..……………………………………….___
6. Una partícula carece de dimensiones ………………………..……………………………..……….___
7. Una partícula carece de posición ……………………………..………………………………..…….___
8. Una partícula siempre tiene una posición …………………..……………………………………….___
9. Partícula y posición son equivalentes ……………………..……………………………………..….___
10. Una trayectoria es una línea recta ………………………..……………………………………..….___
11. Una trayectoria puede ser una curva ……….……………..…………………………………….….___
12. En una trayectoria hay infinitas posiciones .……………..…………………………………….….___
13. El desplazamiento es la misma distancia ………………..……………………………………..….___
14. El desplazamiento es un vector ……………………………..…………………………….…….….___
15. El desplazamiento interviene en la velocidad ………………..………………………………… ___
16. La velocidad se calcula así: distancia / tiempo ……………………..…………………………… ___
17. La velocidad es el desplazamiento entre el tiempo ………………..…………………….……….___
18. La aceleración es el cambio de velocidad entre el tiempo ………………..………………….….___
2.3 Tipos de movimiento.
Movimientos unidimensionales. Los movimientos unidimensionales son los que se producen en una
sola dirección; por ejemplo el de un carro que se mueve siempre siguiendo una línea recta o un cuerpo
que cae desde cierta altura. Estudiaremos dos movimientos unidimensionales: Movimiento Rectilíneo
Uniforme (MRU) y Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado.
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
Un móvil posee Movimiento Rectilíneo Uniforme cuando se mueve en línea recta y con velocidad
constante; es decir que la velocidad no cambia: posee la misma magnitud y sentido. El sentido de un
móvil con MRU es el sentido del desplazamiento.
Ejemplo 8. Resuelve cada caso de MRU: 1. Un móvil se desplaza a 70 Km / h durante 180 minutos.
Calcular la distancia total recorrida. 2. Un móvil se desplaza a 5 m / s, recorriendo 600 m. Calcular el
tiempo invertido en recorrer esa distancia.
Solución.
1. Poseemos el tiempo y la velocidad, por lo que debemos calcular el desplazamiento (o distancia): v = d/t d = v t = 70 Km / h (180 minutos) Convirtamos los minutos a horas:
180 min (180/60) h = 3 h 180 min = 3 h.
d = v t = 70 Km/h (3 h) = 210 Km d = 210 Km d = 210 000 m distancia = 210000 m
2. Poseemos la velocidad (5 m/s) y el desplazamiento (600 m). Calculemos el tiempo para ese
desplazamiento. v = d/t t = d/v t = 600 m/(5 m/s) = 120 s. t = 120 s.
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)
Un móvil posee MRUA (movimiento con aceleración constante) cuando posee determinada aceleración;
es decir que su velocidad varía de una manera regular en cada instante. La velocidad media en tal caso
se calcula dividiendo entre 2 la suma de 2 velocidades: la inicial y la final: v = (vf + vi)/2
Ejemplo 9. Se tienen 3 móviles. Todos inician su movimiento a partir de velocidad cero, luego se reportan
las velocidades siguientes para los primeros 4 segundos: Móvil A: 2 m/s, 4 m/s, 6 m/s y 8 m/s. Móvil B: 3
m/s, 6 m/s, 9 m/s y 12 m/s. Móvil C: 4 m/s, 8 m/s, 12 m/s y 16 m/s. Móvil D: 5 m/s, 10 m/s, 15 m/s y 20
m/s. Calcular la aceleración de cada móvil.
Solución.
La aceleración se calcula con la ecuación a = (vf – vi)/(tf - ti) Apliquémosla a cada móvil.
Móvil A: 2 m/s, 4 m/s, 6 m/s y 8 m/s.
a = (2 – 0)/(1 - 0) m/s2 = 2 m/s
2 a = (6 – 4)/(3 - 2) m/s
2 = 2 m/s
2
a = (4 – 2)/(2 - 1) m/s2 = 2 m/s
2 a = (8 – 6)/(4 - 3) m/s
2 = 2 m/s
2
El móvil A se desplaza a 2 m/s2.
Móvil B: 3 m/s, 6 m/s, 9 m/s y 12 m/s.
a = (3 – 0)/(1 - 0) m/s2 = 3 m/s
2 a = (9 – 6)/(3 - 2) m/s
2 = 3 m/s
2
a = (6 – 3)/(2 - 1) m/s2 = 3 m/s
2 a = (12 – 9)/(4 - 3) m/s
2 = 3 m/s
2
El móvil A se desplaza a 3 m/s2.
Por el mismo proceso se llega a que el móvil C se desplaza a 4 m/s2, y el móvil D se desplaza a 5 m/s
2.
discusión 4. Un móvil arranca de cero. Las velocidades (m/s) que adquiere en distintos tiempos (s)
se muestran en la tabla siguiente. Demostrar que el cuerpo NO posee MRUA.
tiempo 0 1.2 1.8 2.5 3.5 4.75 5.25 7 8 8.75 10
Veloc. 0 1.5 2.25 3.125 4.375 5.9375 6.5625 9.45 10.8 11.8125 13.5
Relaciones entre aceleración, velocidad, tiempo y desplazamiento.
Supongamos que vemos pasar un móvil que en cierto instante lleva una velocidad de 10 m/s y una
aceleración de 2 m/s2. De inmediato podemos plantearnos preguntas como las siguientes:
1. En cuánto tiempo avanzará 1000 metros.
2. Qué velocidad tendrá al cabo de 1000 metros.
3. Qué tiempo le tomará alcanzar la velocidad de 20 m/s.
4. Si aplica los frenos a razón –8 m/s2, en cuánto tiempo y espacio se detendrá.
Supongamos que aparecen 2 nuevos móviles: uno que lo persigue y otro en sentido contrario. Entonces
podemos plantearnos preguntas como las siguientes:
1. En cuánto tiempo y espacio le dará alcance el que lo persigue.
2. En cuánto tiempo y espacio chocará con el que viene en sentido contrario.
3. Cuál es la distancia y aceleraciones a las que deben frenar para evitar el choque.
4. Qué aceleración requiere el que lo persigue para darle alcance en 100 metros.
Todas estas preguntas tienen una respuesta, pero se debe escoger la ecuación adecuada para
conseguirla. Con frecuencia, resolver un problema de esta naturaleza requiere el uso de más de una
ecuación. Conozcámoslas.
Recordemos la ecuación de la aceleración:
a = (vf – vi)/t Al despejar de aquí la velocidad final, obtenemos:
vf = vi + a t I
Si en la ecuación v = (vf + vi)/2 sustituimos v = x/t, obtenemos:
v = (vf + vi)/2 x = (vi + vf)t/2 Si aquí sustituimos vf = vi + a t, obtenemos la ecuación para calcular el
desplazamiento de un móvil con cierta velocidad inicial:
x = (vi + vf)t/2 x = (vi + vi + a t)t/2 x = (2vi + a t)t/2, que nos da:
x = vit + ½ a t2 II
Despejemos t de vf = vi + a t y sustituyámoslo en x = (vi + vf)t/2, obtenemos:
t = (vf – vi)/a Sustituyamos en x = (vi + vf)t/2, obtenemos:
x = (vf + vi)(vf – vi)/2a 2ax = vf2 - vi
2 Obtenemos:
vf2 = vi
2 + 2ax III
Las ecuaciones anteriores son las llamadas ecuaciones cinemáticas.
Caída libre.
Un cuerpo se halla en caída libre cuando cae desde cierta altura sin ninguna interrupción, aunque haya
sido arrojado con cierta velocidad inicial. Un cuerpo en caída libre se caracteriza porque su aceleración es
la gravedad; es decir 9.8 m/s2.
Ejemplo 10. Dos autos, separados por 40 metros, arrancan en el mismo sentido. El primero arranca con
una aceleración de 3 m/s2. El otro (perseguidor) arranca 2 segundos después con una aceleración de 4
m/s2. Respondamos: a. Qué distancia recorrerá el primero en 10 segundos. b. En cuánto tiempo el
primero recorrerá 37.5 m. c. En cuánto tiempo el primero alcanzará una velocidad de 24 m/s. d. En
cuánto tiempo el segundo alcanzará al primero. e. En cuántos metros el segundo alcanzará al primero.
f. Qué velocidades tendrán los autos en el instante de juntarse.
Solución.
a. Qué distancia recorrerá el primero en 10 segundos. Tenemos el tiempo. Busquemos una ecuación que
involucre tiempo y desplazamiento, además de otras variables conocidas, como la aceleración. Utilizamos
la ecuación II: x = vit + ½ a t2. Al decir que arrancan, significa que la velocidad inicial es cero; por lo tanto
tenemos:
x = vit + ½ a t2 x = ½ a t
2 x = 0.5 (3 m/s
2) (10 s)
2 = 150 m. Recorrerá150 metros.
b. En cuánto tiempo el primero recorrerá 37.5 m. Aplicamos la misma ecuación, despejando el tiempo:
x = vit + ½ a t2 x = ½ a t
2 2x/a = t
2 t = ± 2x/a = ± 2(37.5)/3 s. t = 5 s. Lógicamente se toma
el tiempo positivo, dado que jamás el tiempo puede ser negativo.
c. En cuánto tiempo el primero alcanzará una velocidad de 24 m/s. Buscamos velocidad final. Nos será
útil la ecuación I.
vf = vi + a t vf = a t t = vf/a = ( 2 4 m / s ) / ( 3 m/s2) = 8 s .
d. En cuánto tiempo el segundo alcanzará al primero. Llamémosle X a la distancia que habrá recorrido el
primer móvil (B) en el momento de ser alcanzado. Tenemos el esquema siguiente:
Hay 2 elementos a considerar: el perseguidor está 40 metros atrás y arranca 2 segundos después que ha
arrancado el primero (B).
Planteemos para cada auto la ecuación de desplazamiento:
Para B: x = vit + ½ a t2 x = ½ a t
2 X = ½ ( 3 m/s
2) t
2
Para A: x = vit + ½ a t2 x = ½ a t
2 X + 40 = ½ ( 4 m/s
2) ( t - 2)
2
Observemos que A arranca 40 m atrás de B. Esto significa que A recorrerá 40 m más de lo que haya
recorrido B en el momento del alcance. Además A arranca 2 segundos después, por lo que el tiempo
consumido será el de B menos 2. Despejemos X de X + 40 e igualemos.
X + 40 m = ½ (4 m/s2) ( t - 2)
2 X + 40 = 2 m/s
2( t
2- 4 t + 4 ) X = 2 m/s
2( t
2- 4 t + 4 ) – 40 m
X = ( 2 t2
- 8 t + 8 ) – 40 = 2 t2
- 8 t – 32 X = 2 t2
- 8 t – 32 I
De la ecuación para B obtenemos: X = ½ (3 m/s2) t
2 X = 1.5t
2 II
Igualemos I y II: 2 t2
- 8 t – 32 = 1.5 t2 2 t
2- 1.5 t
2 - 8 t – 32 = 0 0.5 t
2- 8 t – 32 = 0
Al resolver la cuadrática, obtenemos: t = 19.3137 s. (El otro tiempo es negativo, no se toma)
Por lo tanto el auto A alcanza al B en (19.3137 – 2) s. Esto es: 17.3137 s.
e. En cuántos metros el segundo alcanzará al primero. Como ya tenemos los tiempos, sustituimos. En
19.3137 s el primero ha recorrido:
X = 1.5 t2 = 1.5(19.3137)
2 = 559.53 m. Por lo tanto A alcanza a B en (559.53 + 40) m = 599.53 m.
f. Qué velocidades tendrán los autos en el instante de juntarse. Utilizamos la ecuación I:
vf = vi + a t En ambos casos la velocidad inicial es cero. Los tiempos a utilizar son los de recorrido:
19.3137 s para B y 17.3137 s para A.
Para A: vf = a t = 4(17.3137 s) = 69.25 m/s.
Para B: vf = a t = 3(19.3137 s) = 57.94 m/s.
Ejemplo 11. Un auto (A) arranca con una aceleración de 7 m/s2. En ese mismo instante se aproxima,
desde 84 m, otro auto (B) en sentido contrario con una aceleración de 5 m/s2 y una velocidad de 10 m/s.
Además, una piedra se deja caer desde 19.6 m de altura; justo 30 m a la izquierda de B. Calcular el punto
en que se dará el choque; el tiempo del choque y si la piedra caerá sobre algún auto. Calcula el punto
donde B inició su movimiento.
Solución.
Podemos aplicar también vf2 = vi
2 + 2ax, pues
conocemos el desplazamiento y la aceleración de
cada uno. La velocidad inicial es cero.
40 m X Punto de
alcance
84m
X B Punto de choque
19.6 m
30 m
A
El enunciado del problema establece que parten al mismo tiempo; por lo tanto en el momento del choque
habrán recorrido el mismo tiempo. Supongamos que el choque se da a X m a partir de A. Se tiene que:
Para A: x = ½ a t2 X = ½ a t
2 X = 3.5 t
2 I
Para B se tiene que, como viene en sentido contrario, su desplazamiento, velocidad y aceleración son
negativos. Para B el choque ocurrirá en la posición 84 – X, pero medidos desde B; es decir, – (84 – X)
La velocidad inicial será –10 m/s y la aceleración será –5 m/s2. Calculemos X para B, e igualamos.
Para B: x = vit + ½ a t2 – (84 – X) = -10t – 2.5 t
2 X – 84 = -10t – 2.5 t
2
X = -10t – 2.5 t2 + 84 II
Igualando I y II: -10t – 2.5 t2 + 84 = 3.5 t
2 – 6t
2 -10t + 84 = 0 Al resolver la cuadrática, obtenemos 3
segundos. El choque se dará en 3 segundos. Encontremos el punto de choque.
X = 3.5 (3)2 m = 31.5 m Chocarán a 31.5 m a partir de A. Con la altura de la piedra calcularemos su
tiempo de caída. Con ese tiempo calcularemos el desplazamiento de cada auto.
Calculemos si la piedra cae sobre algún auto. Como la piedra se deja caer vi = 0.
x = vit + ½ a t2 = ½ a t
2 -19.6 = - (1/2)9.8t
2 -19.6 = - 4.9t
2 t
2 = -19.6/(-4.9) = 4
t = 2 s. La piedra cae en 2 segundos. Si la piedra cae sobre un auto, tendrá que ser sobre el B.
Observemos que el desplazamiento y aceleración de la piedra son negativos. Esto es así porque el
desplazamiento es hacia abajo. La aceleración de la gravedad se toma como negativa porque se dirige
hacia abajo siempre.
Encontremos el desplazamiento de B en 2 segundos.
x = vit + ½ a t2 = -10t – 2.5 t
2 = -10(2) – 2.5 ( 2 )
2= (-20 – 10) m = -30 m. El auto B recorre en 2 segundos
30 metros hacia la izquierda; justo la posición en que caerá la piedra. Por lo tanto la piedra cae sobre el
auto B.
¿Dónde inició su movimiento B?... En el momento de iniciar su movimiento, su velocidad inicial era cero.
Apliquemos vf2 = vi
2 + 2ax. Como la velocidad inicial es cero vf
2 = 2ax. Despejemos x.
x = vf2/(2a) = (-10)
2/(2(-5)) = 100/-10 m = -10 m. Arrancó 10 m atrás del punto en el que alcanza 10 m/s.
De otra forma: arrancó 94 m a la derecha de A.
Ejemplo 12. Un cuerpo se lanza de diversas formas desde 50 m de altura. Se lanza hacia abajo con las
velocidades siguientes: 14 m/s, 11 m/s, 8 m/s y 5 m/s. Luego se deja caer. Después se lanza hacia arriba
con las velocidades siguientes: 5 m/s, 8 m/s, 11 m/s y 14 m/s. Llenar una tabla con las velocidades de
caída y los tiempos de caída. Además, calcular la altura máxima que alcanzará el cuerpo cuando se lanza
hacia arriba con velocidad de 14 m/s.
Solución.
Con la ecuación vf2 = vi
2 + 2ax calcularemos la
velocidad final. Con esa velocidad calcularemos el
tiempo, utilizando vf = vi + a t.
vf = vi2 + 2(-9.8)(-50) = vi
2 + 980
t = (vf - vi)/-9.8.
50m
vi vf t
-14 -34.29 2.07
-11 -33.18 2.26
-8 -32.3 2.48
-5 -31.7 2.72
0 -31.3 3.19
5 -31.7 3.74
8 -32.3 4.11
11 -33.18 4.5
14 -34.29 4.92
Observemos que las velocidades finales se repiten, por ejemplo para 5 y -5. Esto se debe a que al lanzar
un cuerpo hacia arriba llega con la misma velocidad final que si lo lanzamos con esa misma velocidad
hacia abajo. Cuando el cuerpo pasa de nuevo por el punto de partida, lleva la misma velocidad, pero con
sentido contrario, que la de lanzamiento. El tiempo, desde luego, siempre aumentará. El esquema
siguiente muestra el sentido de las velocidades.
8 m/s 11 m/s 14 m/s
-8 m/s -11 m/s -14 m/s
Para calcular la altura máxima que alcanzará el cuerpo cuando se lanza hacia arriba con velocidad de 14
m/s, utilizamos la ecuación vf2 = vi
2 + 2ax. Al llegar a la máxima altura, el cuerpo se detiene; es decir que
su velocidad final es cero. Por lo tanto la única incógnita es x.
vf2 = vi
2 + 2ax 0 = vi
2 + 2ax x = - vi
2 /(2a) No olvidemos que la aceleración es la de la gravedad:
– 9.8 m/s2.
x = - vi2 /(2a) x = - vi
2 /(2(-9.8)) = - (14)
2 /-19.6 m = 10 m Estos 10 m los alcanza a partir del punto en
el que es lanzado: 50 m. Por lo tanto la máxima altura que alcanza es (50 + 10) m: 60 m.
Ejemplo 13. Un auto de carrera se conduce a 6 m/s2. En cierto instante su velocidad es de 5 m/s. Dos
segundos después aparece un conejo en la carretera a 10 m. El conductor frena y se detiene justo donde
está el conejo, sin golpearlo. Calcular la aceleración con la que se detuvo y el tiempo para hacerlo.
Solución.
Calculemos la velocidad final al término de los 2 segundos: vf = vi + a t.
vf = vi + a t vf = 5 + 6(2) m/s = 17 m/s. Esta velocidad final se convertirá en inicial a la hora de frenar.
Como el auto se detiene, su velocidad final será cero. Utilizaremos la ecuación vf2= vi
2 + 2ax.
vf2 = vi
2 + 2ax 0 = 17
2 + 2a(10) 0 = 17
2 + 20a a = -17
2/20 m/s
2 = -14.45 m/s
2. El signo menos
indica que el auto está frenando. Con esta aceleración y vf = vi + a t calculamos el tiempo.
vf = vi + a t 0 = 17 - 14.45t -17 = -14.45t 17 = 14.45t t = 17/14.45 = 1.17 s.
Actividad 4. Se tienen 2 autos separados por 40 m. El de adelante arranca con una aceleración de 5
m/s2. Determina el tiempo y distancia en el que el auto de atrás (perseguidor) lo alcanzará en los casos
siguientes: 1. El perseguidor arranca al mismo tiempo con aceleraciones de a. 6 m/s2 ______ ______ b.
5 m/s
-5 m/s
10m
7 m/s2 ______ ______ c. 8 m/s
2 ______ ______ d. 9 m/s
2. ______ ______ 2. El perseguidor arranca
2 segundos después con aceleraciones de a. 6 m/s2 ______ ______ b. 7 m/s
2 ______ ______ c. 8 m/s
2
______ ______ d. 9 m/s2 ______ ______ 3. El perseguidor arranca al mismo tiempo con una
aceleración de 9 m/s2, pero estando atrás a. 10 m ______ ______ b. 20 m ______ ______ c. 30 m
______ ______ d. 40 m. ______ ______
Actividad 5. Un auto (A) arranca con una aceleración de 6 m/s2. En ese mismo instante se aproxima
otro auto (B) en sentido contrario. Encuentra el tiempo y el desplazamiento de A en el momento del
choque en los casos siguientes: 1. El que se aproxima arranca con una aceleración de 5 m/s2 y a una
distancia de a. 49.5 m ______ ______ b. 88 m ______ ______ c. 137.5 m ______ ______ d. 198 m
______ ______ 2. El que se aproxima está a 100 m y arranca con aceleraciones de a. 4 m/s2 ______
______ b. 6 m/s2 ______ ______ c. 8 m/s
2 ______ ______ d. 10 m/s
2 ______ ______ 3. El que se
aproxima está a 150 m, se acerca a 5 m/s2 y con velocidades de a. 64 m/s ______ ______ b. 33.5 m/s
______ ______ c. 15.5 m/s ______ ______ d. 2.5 m/s ______ ______
Actividad 6. Una esfera de acero se lanza desde el piso hacia arriba. 1. Si se lanza con una velocidad
de 28 m/s: a. Qué altura alcanzará ______ b. Cuánto tiempo le tomará alcanzar la máxima altura
______ c. Cuánto permanecerá en el aire ______. 2. Si alcanza una altura de 122.5 m a. Con qué
velocidad fue lanzada ______ b. Qué tiempo le toma alcanzar la altura máxima ______. 3. Si le toma
6 s en alcanzar la altura máxima a. Con qué velocidad fue lanzada ______ b. Cuál es la máxima altura
alcanzada ______ 4. Si se lanza con una velocidad de 49 m/s, calcular sus velocidades y alturas en los
tiempos a. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 segundos.
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Veloc.
Alturas
Actividad 7.
Actividad 8. Un auto de carrera se conduce a 8 m/s2. En cierto instante su velocidad es de 6 m/s. Dos
segundos después aparece un conejo en la carretera a 15 m. El conductor frena. 1. a. Calcular la
aceleración mínima necesaria para no golpear al conejo ______ b. El tiempo mínimo para detenerse sin
golpear al conejo ______ c. Qué ocurrirá si frena con una aceleración de -12 m/s2. __________-
________ 2. Si la aceleración del auto hubiese sido de 6 m/s2 d. Calcular la aceleración mínima
necesaria para no golpear al conejo ______ e. El tiempo mínimo para detenerse sin golpear al conejo
______
Movimientos bidimensionales. Los movimientos bidimensionales son los que se producen en el
plano X – y. El movimiento bidimensional más conocido es el parabólico.
El auto está a 30 m del punto en el que caerá la piedra.
La piedra se lanza estando el auto en la posición
indicada. Con qué velocidad debe lanzarse la piedra de
manera que caiga sobre el auto en los casos siguientes:
El auto va a: a. 5 m/s ________ b. 10 m/s ________ c.
15 m/s ________ d. 5 m/s y 8 m/s2 ________ 50 m
30 m
El movimiento parabólico se conoce así porque el cuerpo que se desplaza describe una parábola. En este
desplazamiento encontramos ciertas constantes que es bueno analizar. A continuación se muestra el
esquema de un cuerpo lanzado con movimiento parabólico con un ángulo θ.
Podemos observar lo siguiente:
1. El cuerpo es lanzado con una velocidad v1 que tiene componentes en X y en y: vx y vy1.
2. La componente de la velocidad en y, vy, disminuye a medida que el cuerpo sube; de manera que al
llegar a la altura máxima su valor es cero. Después de la altura máxima, se repiten los valores de vy, pero
hacia abajo: son negativos.
3. La componente de la velocidad en X, vx, no cambia durante todo el movimiento: es constante. Esto
significa que la sombra del cuerpo se mueve en la tierra con velocidad constante.
4. La magnitud de la velocidad del cuerpo al ser disparado es la misma que la magnitud al caer (siempre
que el terreno sea plano)
5. Por todas las variables, se concluye que el tiempo que le toma en subir al cuerpo es el mismo que le
toma en bajar (este tiempo es el mismo que si se deja caer el cuerpo desde la altura máxima) 6. La altura máxima alcanzada, es la altura que alcanzaría un cuerpo lanzado (verticalmente) con velocidad vy1.
Ejemplo 14. En una superficie plana, se lanza un cuerpo con un ángulo de 60° y con una velocidad de 100
m/s. Calcular: a. El tiempo en alcanzar la máxima altura b. La altura máxima alcanzada c. El
desplazamiento o alcance en X d. La magnitud de la velocidad en los tiempos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8
segundos.
Solución.
a. El tiempo en alcanzar la máxima altura. Las ecuaciones a utilizar son las mismas utilizadas en una dimensión. El tiempo lo despejamos de vf = vi + a t; pero estas variables deben estar dirigidas en el eje y, pues buscamos el tiempo en alcanzar la altura máxima. Para el caso de vf = vi + a t se tiene que la velocidad final es cero; y la velocidad inicial, vi, es la componente en el eje y de 100 m/s.
Calculémosla.
v4
v = 100 m/s
vy
Para calcular la componente de la velocidad en y aplicamos el
seno:
Sen 60° = vy/v = vy/100 vy = 100 Sen 60° = 86.6
vy = 86.6 m/s. (En forma similar se tiene que:
vx = 100 (Cos60° vx = 50 m/s. Ya usaremos este dato)
Apliquemos ahora la ecuación (recordemos que vfy (en la altura
máxima) es cero):
θ vx
vy1
vy2
θ
v1
v2
vx
vx
vx
vx
-vy2
-vy1
v3
Altura máxima (Ym)
b. La altura máxima alcanzada. Como ya tenemos el tiempo en alcanzar la máxima altura, tal dato nos servirá para calcular la máxima altura. Para esto debemos recordar que el tiempo en subir es el mismo en bajar dejando caer el cuerpo: velocidad inicial cero. Por lo tanto utilizamos la ecuación y = vit + ½ a t
2 y = 0 + ½ (-9.8) (8.8 3 )
2 y = -382 m. El signo negativo es debido a que hemos
considerado que soltamos el cuerpo desde la altura máxima. Pero éste se lanza de abajo hacia arriba, por lo que la altura máxima es de 382 m. También puede calcularse la altura máxima con vf
2 = vi
2 + 2ay. En la máxima altura vf = 0. La velocidad
inicial en y, vyi, ya la tenemos: 86.6 m/s. Con esta velocidad utilizamos vf2 = vi
2 + 2ax, que se convierte en
vfy2 = viy
2 + 2ay. Calculemos la altura.
vfy2 = viy
2 + 2ay 0 = 86.6
2 – 2(9.8)y y = -86.6
2/–19.6 y = 382.6 m.
c. El desplazamiento o alcance en X. Para responder esta pregunta sólo necesitamos la componente de
la velocidad en X (vx), que ya la tenemos: 50 m/s. El tiempo en subir es de 8.83 s, y es el mismo en bajar.
Esto significa que el cuerpo estuvo en el aire 2(8.83 s) = 17.66 s.
Apliquemos v = d/t. d = vt d = 50 (17.66) d = 883 m. El cuerpo cae a 883 m a partir del punto de
lanzamiento.
d. La magnitud de la velocidad en los tiempos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 segundos. Debemos calcular la
velocidad en y en estos tiempos. La velocidad en X no varía: es 50 m/s. La ecuación a utilizar es:
vfy = viy + a t vfy = 86.6 – 9.8 t vfy para cada tiempo se presenta en la tabla siguiente:
t 1 2 3 4 5 6 7 8
vfy 76.8 67 57.2 47.4 37.6 27.8 18 8.2
Es importante observar que el cuerpo va disminuyendo su velocidad en y a medida que sube. En 8.83
segundos será cero.
Calculemos ahora la magnitud de la velocidad para los tiempos dados.
t 1 2 3 4 5 6 7 8
vfy 76.8 67 57.2 47.4 37.6 27.8 18 8.2
vy
vx
Para calcular la magnitud de la velocidad aplicamos Pitágoras:
IvI = vy2 + vx
2 No olvidemos que vx es constante y vale 50 m/s.
Con los datos de la tabla anterior, calculemos la magnitud de la velocidad
para cada tiempo.
IvI 91.64 83.6 75.97 68.89 62.56 57.2 53.14 50.66
Es importante observar que la magnitud de la velocidad tiende a 50 m/s. Este será el valor en el punto de
máxima altura.
Ejemplo 15. En una superficie plana, se lanza un proyectil con 60°, alcanzando una altura máxima de
122.5 m. Calcular a. El tiempo de vuelo b. La magnitud de la velocidad con la que fue lanzado c. El
alcance o desplazamiento máximo d. La magnitud de la velocidad y la velocidad en y en los tiempos
cero, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 segundos.
Solución. a. El tiempo de vuelo. Con la altura máxima podemos calcular el tiempo en llegar a tal
punto, que es el mismo que tardará en bajar al suelo, si se suelta desde tal altura máxima.
Apliquemos x = vit + ½ a t2, que se convierte en y = viyt + ½ a t
2. Además, al soltarla, viy = 0.
y = viyt + ½ a t2 -122.5 = 0 + ½ ( - 9 . 8 ) t
2 -122.5 = - 4 . 9 t
2 t = 122.5/4. 9 t = 5 s.
b. La magnitud de la velocidad con la que fue lanzado. Necesitamos las componentes en X y y. Calculemos vi en y con vf = vi + a t. En la altura máxima la velocidad en y es cero.
vf = vi + a t 0 = vi – 9.8 ( 5 ) vi = 9.8(5) = 49 vi = 49 m / s .
c. El alcance o desplazamiento máximo. Usemos el doble del tiempo de subida y la velocidad en X.
vx = d/t. d = vx t d = 28.29(2)(5) d = 282.9 m. Esta ecuación es válida porque vx no cambia: es
constante en el movimiento parabólico. Por tal razón no se usa vix o vfx.
d. La magnitud de la velocidad y la velocidad en y en los tiempos cero, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10
segundos. En la tabla siguiente se muestran.
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
vfy 49 39.2 29.4 19.6 9.8 0 -9.8 -19.6 -29.4 -39.2 -49
IvI 56.6 48.3 40.8 34.4 29.9 28.29 29.9 34.4 40.8 48.3 56.6
Es importante observar cómo la velocidad en y se repite, aunque con signo negativo, en ambas ramas de
la parábola. La magnitud de la velocidad también se repite, pero, como es lógico, siempre es positiva.
Ejemplo 16. Se lanza un proyectil que alcanza una altura máxima de 176.4 metros. Para esta altura
máxima, el alcance es de 240 metros. Calcular: a. La dirección y magnitud de la velocidad de
lanzamiento. b. La altura en los tiempos de cero a 12 segundos (sólo números enteros).
Solución. a. Dirección y magnitud de la velocidad de lanzamiento. Veamos el diagrama.
Necesitamos la velocidad en X. Apliquemos la tangente.
Tan60° = 49 /vx vx = 49/Tan 60° = 49/1.732 vx = 28.29 m/s.
IvI = vx2 + vy
2 = 28.292 + 492 IvI = 56.6 m/s.
v 49
vx
60°
176.4 m
240 m
Con la altura máxima y vf2 = vi
2 + 2ay podemos calcular la velocidad en y.
vf2 = vi
2 + 2ay 0 = viy
2 – 19.6 y viy
2 = 19.6(176.4) viy = 58.8 m/s.
Para calcular la velocidad en X, utilizamos vx = d/t. La ecuación es válida porque vx es constante en el
movimiento parabólico. Tomamos los 240 m, y calculemos el tiempo en recorrer esos 240 m. El tiempo es el de subida del proyectil. El que tarda en subir es el mismo que tardaría si se dejase caer desde la altura máxima. Utilizamos y = vit + ½ a t
2, siendo vi = 0, pues se deja caer.
y = vit + ½ a t2 -176.4 = 0 – 4.9 t
2 t
2 = 176.4/4.9 t
2 = 36 t = 6 s.
vx = d/t vx = 240/6 = 40 vx = 40 m/s. Esta ecuación es válida porque vx no cambia: es constante en
el movimiento parabólico.
Tenemos:
b. La altura en los tiempos de cero a 12 segundos. Utilizamos la ecuación y = vit + ½ a t2, siendo vi = 58.8
m/s. La ecuación se convierte en: y = 58.8 t – 4.9 t2.
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 0 53.9 98 132.3 156.8 171.5 176.4 171.5 156.8 132.3 98 53.9 0
Observemos que las alturas se repiten después que el proyectil sobrepasa la altura máxima.
Ejemplo 17. Desde una colina de 200 m se lanza un cohete con una velocidad de 100 m/s y 60° de
inclinación. Calcular la posición en la que caerá.
Solución. El fenómeno se esquematiza así:
58.8
40
55.8°
v
Con la tangente calculamos la dirección:
Tan θ = 58.8 / 40 θ = Tan-1
(58.8 / 40) θ = Tan-1
(1.47) θ = 55.8°
La magnitud la calculamos con Pitágoras:
v = vx2 + vy
2 = 402 + 58.82 v = 71.1 m/s.
x
100 m/s
60°
200 m
vx
vy
Necesitamos el tiempo que permanecerá el cohete en el aire. Apliquemos y = vit + ½ a t2. Al caer al suelo,
el cohete habrá recorrido 200 m en y. Medidos desde el punto de partida, resulta ser -200 m. La velocidad
inicial en y es 100 seno 60°; es decir que: viy = 86.6 m/s (positivo porque va hacia arriba)
Calculemos el tiempo.
y = vit + ½ a t2 -200 = 86.6t – 4.9 t
2 0 = 4.9 t
2 – 86.6t – 200 t = 19.74 s.
Calculemos la velocidad en X. vx es 100 cos θ vx = 100 cos 60° = 50 vx = 50 m/s.
Calculemos el desplazamiento x. x = vxt = 50 (19.74) x = 987 m.
Actividad 9. Se lanza un cohete con un ángulo de 75° y con una velocidad de 60.87 m/s. Calcular: a.
El tiempo en alcanzar la máxima altura _______ b. La altura máxima alcanzada _______ c. El
desplazamiento o alcance en X _______ d. El alcance, la altura, la velocidad en y y la magnitud de la
velocidad en los tiempos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12 segundos.
T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X
Y
vy
V
Actividad 10. Se lanza un proyectil con 60°, alcanzando una altura máxima de 313.6 m. Calcular a. El
tiempo de vuelo _______ b. La magnitud de la velocidad con la que fue lanzado _______ c. El
alcance o desplazamiento máximo _______
Actividad 11. Se lanza un proyectil con diferentes ángulos, alcanzando siempre una altura máxima de
119 m. Determinar la velocidad de lanzamiento para los ángulos: a. 15° ________ b. 30° ________ c.
45° ________ d. 60° ________ e. 75° ________ f. 90° ________
discusión 5. Determina el ángulo para el cual al alcanzar su altura máxima, el cuerpo haya recorrido
lo mismo en X. _________
Actividad 12. Se lanza un proyectil que alcanza una altura máxima de 240.1 metros. Para esta altura
máxima, el alcance es de 350 metros. Calcular: a. La dirección y magnitud de la velocidad de
lanzamiento. _______ _______
Actividad 13. Se lanza un proyectil horizontalmente desde una colina de 300 m de altura. Se desea
golpear un objetivo ubicado 313.6 m a partir de la base de la colina. Determinar la velocidad con la que
debe dispararse el proyectil __________
Actividad 14. Desde una colina de 150 m se lanza un cohete con una velocidad de 80 m/s. Calcular la
posición en la que caerá si el ángulo es de a. 30° __________ b. 40° __________ c. 45°
__________ d. 50° __________ e. 60° __________ f. 70° __________
discusión 6. Determina el ángulo para el cual el alcance (total) sea igual a la altura máxima lograda
por el cuerpo en movimiento parabólico _________
discusión 7. Se lanza un cuerpo con una velocidad de 75 m/s desde una colina de 200 m de altura.
Calcular el ángulo de disparo si el punto donde debe caer, a partir de la base de la colina, está a: a. 125
m ______ b. 150 m ______ c. 175 m ______ d. 200 m ______ e. 300 m ______ f. 400 m
______ g. 450 m ______ h. 593.75 m ______ i. 700.6 m ______ j. 745.7 m ______ k. 732 m
______ l. 628 m ______ m. 479.1 m ______
Resumen del capítulo. El movimiento está en relación con otros movimientos: es relativo. Para
efectos de cálculo, se considera todo cuerpo como una partícula, y tiene una posición. El desplazamiento
es un vector, no así la distancia. Al desplazarse, un cuerpo sigue cierta trayectoria, que no es un vector.
La velocidad es el vector desplazamiento entre tiempo; mientras que la aceleración es el cambio de
velocidad en el tiempo. La gravedad es la aceleración más común en nuestra naturaleza. El movimiento
puede darse en una dimensión o en 2 dimensiones. En una dimensión es cuando sigue una trayectoria
rectilínea. Por ejemplo, cuando un móvil sigue una línea recta durante su movimiento. También es
movimiento en una dimensión la caída libre, pues no hay cambio de dirección. El movimiento en 2
dimensiones se da cuando hay un cambio de dirección: un cuerpo se mueve hacia el norte y luego gira
ciertos grados hacia la derecha o izquierda. El movimiento parabólico se da en 2 dimensiones: X–y. El
movimiento parabólico posee ciertas características: la velocidad en X es constante, lo que tarda en subir
tarda en bajar, la aceleración es la gravedad, la velocidad en y, cuando el cuerpo se lanza desde abajo,
es positiva y disminuye con el tiempo; en la altura máxima es cero, y luego es negativa y su valor absoluto
aumenta a medida que baja. Al caer, su magnitud es la misma con la que inició (para una superficie
plana)
3. El porqué del movimiento .
Supongamos que un auto se desplaza en línea recta a velocidad constante, ¿qué lo mantiene en
movimiento? Es obvio que si se le termina la gasolina, seguramente se detendrá. Pero puede detenerse
aunque no se le termine la gasolina: al aplicar los frenos. Sin embargo, al aplicar los frenos, el auto se
mueve cierta distancia y ésta puede variar. ¿Por qué? Si el auto frena en una superficie lisa, tardará más
tiempo en detenerse. Imaginemos una pendiente de 15°. Si colocamos una pelota, esta se desplazará
hacia abajo. Sin embargo, si colocamos un trozo de madera, seguramente no se desplazará. Pero si la
pendiente es mucho mayor, entonces aumenta la probabilidad de que el trozo se desplace. Imaginemos
ahora un plano de madera a 45° y coloquemos sobre él un bloque de madera y otro de metal. Puede
ocurrir lo siguiente: ambos se desplazan, ninguno se desplaza, se desplaza sólo el de madera o el de
metal. En todas estas circunstancia, la gran pregunta es: ¿qué genera movimiento y qué lo impide? Estas
interrogantes aclararemos de alguna manera en las páginas siguientes.
3.1 Leyes de Newton del movimiento
Tres son las leyes del movimiento de Newton. La primera se conoce como ley de inercia o principio de
inercia. La segunda es la que establece que la fuerza es igual al producto de la masa por la
aceleración. La tercera se conoce como principio de acción y reacción.
Primera ley de Newton. Los meteoritos ambulantes que se mueven en el espacio, lo hacen en línea
recta y con velocidad constante. Sin embargo, al pasar cerca de un planeta, estrella u otra masa
gigantesca, su velocidad cambia en magnitud y sentido. Es decir que adquiere una aceleración. Esto se
debe a que es atraído por el otro cuerpo. Cuando un meteorito pasa cerca de la Tierra, ésta lo atrae. Al
penetrar en la atmósfera, generalmente el meteorito se incendia por la fricción con el aire. Queda claro
que si no aparece ninguna fuerza capaz de alterar el estado natural de movimiento del meteorito, éste
continuará moviéndose en línea recta y con velocidad constante. Por otra parte, si un cuerpo está en
reposo, seguirá así a menos que una fuerza altere ese reposo. Esto confirma la primera ley de Newton,
que establece lo siguiente: si la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero, éste
continuará en reposo o seguirá moviéndose con velocidad constante. En otras palabras, la inercia es
la oposición que ofrece un cuerpo a cambiar su estado natural de movimiento.
Objetivos conceptuales. Comprender los efectos de la fuerza al mover un cuerpo linealmente o circularmente, así como en
generar trabajo. Diferenciar la fuerza de la cantidad de movimiento. Comprender que un cuerpo acelerado posee energía y
diferenciar la física clásica de la relativista.
Objetivos procedimentales. Aplicar las ecuaciones del movimiento a diversos fenómenos naturales.
Objetivos actitudinales. Reflexionar sobre lo importante que es conocer cómo las leyes físicas rigen la naturaleza.
Segunda ley de Newton. Supongamos que sobre el bloque anterior actúa una fuerza neta que lo hace
bajar; es decir, que hace cambiar su velocidad: que lo acelera. La aceleración del bloque será
proporcional a la fuerza aplicada. Es decir que a mayor fuerza, mayor será la aceleración. En otras
palabras: cuanto mayor sea la fuerza, más rápido bajará el bloque. En este caso, la constante de
proporcionalidad es la masa del cuerpo. Al decir que la aceleración es proporcional a la fuerza,
estamos expresando la segunda ley de Newton. Matemáticamente se expresa así:
Sometamos a análisis esta ecuación.
Supongamos que una fuerza le genera a un bloque una aclaración de 5 m/s2. Esa misma fuerza generará
una aceleración menor a un bloque de mayor masa, y una aceleración mayor a un bloque de menor
masa.
El sentido y la dirección de la fuerza serán las mismas que la de la aceleración generada.
Si un bloque se mueve con una aceleración y repentinamente ésta varía, es porque ha aparecido una
nueva fuerza.
Unidades de fuerza. En el sistema MKS, la unidad de fuerza es el newton (N) Es decir que se tiene: 1 N
= 1 Kg-m/s2. En el sistema cgs, la unidad de fuerza es la DINA (D) Es decir que se tiene: 1 D = 1 g-cm/s
2.
Calculemos cuántas dinas hay en un newton.
1 Kg-m 1000 g 100 cm De aquí resulta que 1 N = 100 000 D 1 N = 105
D.
s2 1 Kg 1 m
Ejemplo 18. Se tiene un bloque y sobre él actúa una fuerza de 100 N de izquierda a derecha; determinar
la aceleración con la que se moverá si la masa del bloque es de: a. 10 Kg b. 20 Kg c, 30 Kg y d. 40 Kg.
Tres fuerzas importantes. Existen tres fuerzas que casi siempre actúan en todo cuerpo: el peso (P), la
normal (N), y la fricción (Ff).
El peso es la fuerza de un cuerpo por efecto de la gravedad, por lo que es el producto de la gravedad y
la masa: P = mg, siendo g la gravedad. Para el caso, un cuerpo de 10 Kg, posee un peso de 98 N. Un
El bloque está en reposo y así continuará a menos
que una fuerza lo levante, lo impuse hacia arriba o
hacia abajo del plano. Es decir que la inercia le
impide cambiar su estado natural de movimiento (en
este caso, el reposo)
F = ma
Tenemos la masa y la fuerza que actúa sobre el bloque.
Despejemos la aceleración.
F = ma a = F/m Para 10 Kg, obtenemos:
a = F/m = 100/10 = 10 a = 10 m/s2 Para 20, 30 y 40 Kg,
se obtienen: 5 m/s2, 3.33 m/s
2 y 2.5 m/s
2.
F
cuerpo de 1 Kg, posee un peso de 9.8 N, que se conoce también como kilogramo fuerza (Kgf) Es decir
que 1 Kgf equivale a 9.8 N.
La fuerza normal es la fuerza perpendicular a la superficie de contacto. Generalmente depende del
peso. A continuación se esquematiza la normal en 2 situaciones.
La fuerza de fricción, Ff, posee la característica de oponerse al movimiento. Si un cuerpo se mueve
hacia la derecha, la fuerza de fricción actúa hacia la izquierda; y viceversa. La fuerza de fricción aparece
entre las superficies en contacto. Entre 2 superficies en contacto aparece la fuerza de fricción para evitar
que un cuerpo se deslice el sobre otro. Entre las superficies aparece un coeficiente de fricción que puede
ser estático (s) o dinámico (k) El primero aparece entre superficies en reposo, y el segundo entre
superficies en movimiento. Este coeficiente de fricción generalmente es menor que UNO, carece de
unidades y depende de la rugosidad de las superficies en contacto. Si las superficies son lisas, es
pequeño; y si son ásperas, es grande.
Las fuerzas de fricción son importantes. Por ejemplo, si no hay fuerza de fricción entre 2 superficies, una
no podrá desplazarse sobre la otra. Sin fricción no podríamos tomar un lápiz, pues éste se deslizaría entre
nuestros dedos. Un carro no se desplazaría, pues las llantas simplemente girarían en la misma posición.
Una serpiente no podría desplazarse si no existiera fricción entre su cuerpo y la tierra. Pero las fuerzas de
fricción generan calor y hacen que las piezas de un motor, por ejemplo, se desgasten más rápido. Para
reducir al mínimo la fricción es que se usan los aceites.
Se calcula la FF multiplicando la normal por el coeficiente de fricción:
Otra fuerza: la tensión. Otra fuerza de importancia es la tensión. Esta aparece en distintas situaciones,
pero en las cuerdas se aprecia de la mejor manera. Es una fuerza de reacción.
Ejemplo 19. Se tiene un bloque de 10 Kg. Resolver los casos siguientes: a. Sobre el bloque actúan 2
fuerzas: la primera es de 100 N y a 30°, la segunda es de 150 N y a 150°; determinar la dirección y la
magnitud de la fuerza con la que se moverá el bloque b. Se le aplica al bloque (que está horizontal) una
fuerza horizontal de 100 N y el coeficiente de fricción entre el bloque y la superficie es de 0.5. Calcular su
aceleración c. Si el bloque se coloca en un plano inclinado a 30°, calcular su aceleración para los
N
P
En el primer caso observamos que la
normal es igual al peso, pero de sentido
contrario. En el segundo caso la normal
es igual a la componente del peso en y
(N = -Py) pero de sentido contrario. Es
evidente que si el plano se inclina 90°, la
normal es cero.
N
P
Py
FF = N
En el primer caso un peso pende de una
cuerda. La tensión reacciona al peso, por lo
que va hacia arriba.
En el segundo caso tenemos 2 tensiones. Una
reacciona a la fuerza de fricción, que va
hacia la izquierda, pues la tendencia es que el
bloque se mueva hacia la derecha. La otra T
reacciona al peso que cuelga.
T
T
P
T
P
Ff
coeficientes de fricción c1. 0.75 c2. 0.6 c3. 0.5 c4. 0.4 c5. 0.2 d. Si = 0.55, determinar el ángulo
arriba del cual se inicia el movimiento y el ángulo necesario para conseguir una aceleración de 2 m/s2.
Solución.
a. Sobre el bloque actúan 2 fuerzas: la primera (A) es de 100 N y a 30°, la segunda (B) es de 150 N y a
150°; determinar la dirección y la magnitud de la fuerza con la que se moverá el bloque. En realidad el
bloque está sometido a tres fuerzas, pues actúa sobre él su peso. Esquematicemos el caso.
Las fuerzas en X son:
Ax = 100 cos30° Ax = 86.6 i
Bx = 150 cos30° Bx = -129.9 i observemos el signo negativo; es porque Bx va hacia la izquierda. Al
usar 150°, el signo aparece en el cálculo: cos150 = -0.866,
Al sumar las fuerzas en X, obtenemos: Fx = (86.6-129.9) = -43.3 i Fx = - 43.3 i
Por lo tanto la fuerza resultante, FR, es: FR = - 43.3 i + 27 j
La magnitud de FR es: |FR| = (-43.3)2 + (27)
2 = 2603.89 |FR| = 51 N.
Calculemos la dirección. Observemos que la fuerza resultante está en el cuadrante II. Esto es importante
para la dirección.
b. Se le aplica al bloque (que está horizontal) una fuerza horizontal de 100 N y el coeficiente de fricción
entre el bloque y la superficie es de 0.5 Veamos el diagrama de cuerpo libre del caso.
30°
B A
P
Bx
By
Ax
Ay
30°
Las fuerzas en y son:
Ay = 100 sen 30° Ay = 50 j
By = 150 sen 30° By = 75 j (puede usarse 150°)
P = mg = 10(9.8) = 98 N P = -98 j
Observemos que el peso es negativo porque
se dirige hacia abajo: – y
Al sumar las fuerzas en y, obtenemos:
Fy = (50+75-98) = 27 j Fy = 27 j
Observemos que aquí no interviene la
normal. Esta fuerza aparece con la fricción.
By
El ángulo θ se calcula con el seno o el coseno:
Senθ = Fy / FR = 27/51 = 0.53 θ = Sen-1 0.53 = 32°
Por lo tanto la dirección de FR es (180-32)° Dirección: 178 °
F = 100 N
N
P
FF
Como el bloque está horizontal, la normal es igual al peso en
sentido contrario. Y tenemos que:
FF = N = 0.5 (98) N = 49 N FF = -49 N (va hacia la izquierda)
FF es negativa porque va hacia la izquierda (se opone a F). La
sumatoria de fuerzas queda así.
FR = F + FF = 100 + (- 49) = 100 - 49 FR = 51 N (ojo: el – aparece al
sustituir)
Como la masa es 10 Kg, la aceleración es:
FR = ma a = FR /m = 51/10 = 5.1 a = 5.1 m/s2
Dirección y sentido del movimiento del bloque
al ser sometido a distintas fuerzas.
FX
Fy FR θ
c1. El bloque se coloca en un plano inclinado a 30°, calcular su aceleración para = 0.75
Esquematicemos el caso.
¡Cuidado! La fuerza de fricción a vencer es mayor que la fuerza en X hacia abajo. Esto NO significa que el
bloque se moverá hacia arriba del plano. La fuerza de fricción está latente y aparece cuando una
superficie intenta deslizarse sobre otra, pero no mueve al cuerpo en sentido contrario.
c2. El bloque se coloca en un plano inclinado a 30°, calcular su aceleración para = 0.6
Cálculos para = 0.6
La fuerza que bajaría al bloque es PX. Cuyo valor es PX = 49 N. En este caso la normal es igual, pero de sentido contrario, a la componente del peso en y. N = 84.87 N.
FF = N = 0.6(84.87 N) = 50.9 FF = -50.9 N (va hacia la izquierda)
De nuevo el bloque no se moverá porque PX es menor que la fuerza de fricción.
c3. El bloque se coloca en un plano inclinado a 30°, calcular su aceleración para = 0.5
Cálculos para = 0.5 Se tiene que PX = 49 N. Como no ha variado la masa del bloque, la normal no cambia: N = 84.87 N.
La fuerza de fricción es: FF = N = 0.5(84.87 N) = 42.435 FF = -42.435 N (va hacia la izquierda) Ahora sí se mueve el bloque porque PX supera a la fuerza de fricción. La fuerza resultante, FR, es:
FR = PX + FF = 49 + (-42.435) N FR = 6.565 N
La aceleración es: FR = ma a = FR / m = 6.565/10 = 0.65 a = 0.65 m/s2
c4. El bloque se coloca en un plano inclinado a 30°, calcular su aceleración para = 0.4
Cálculos para = 0.4 De nuevo PX = 49 N. Como no ha variado la masa del bloque, la normal no cambia: N = 84.87 N.
La fuerza de fricción es: FF = N = 0.4(84.87 N) = 33.9 FF = -33.9 N (va hacia la izquierda) De nuevo se mueve el bloque porque PX supera a la fuerza de fricción. La fuerza resultante, FR, es:
FR = PX + FF = 49 + (-33.9) N FR = 15.1 N
La aceleración es.
FR = ma a = FR / m = 15.1/10 = 1.51 a = 1.51 m/s2.
c5. Para = 0.2, la aceleración es 3.2 m/s2
Es importante bóxer//////var que al disminuir el coeficiente de fricción, el bloque se mueve con una
aceleración mayor.
d. Si = 0.55, determinar el ángulo arriba del cual se inicia el movimiento. Veamos el diagrama de cuerpo
libre del caso.
30°
N
P
Py
FF
60°
PX
Cálculos para = 0.75
La fuerza que bajaría al bloque es PX, cuyo valor es:
PX = P cos 60° = 98 cos 60° PX = 49 N (va hacia la derecha)
En este caso la normal es igual, pero de sentido contrario, a la
componente del peso en y.
Py = P sen 60° = 98 sen 60° Py = -84.87 N (va hacia abajo)
Por lo tanto la normal es N = 84.87 N. (va hacia arriba)
FF = N = 0.75 (84.87 N) FF = 63.6 N
El bloque no se moverá porque PX es menor que la fuerza de
fricción.
PX PX
FF
Encontremos el ángulo crítico; es decir, el ángulo a partir del
cual el bloque comenzará a moverse. Para ese ángulo, la
fuerza de fricción será igual, en magnitud y dirección, a la
fuerza en X. Calculemos PX.
PX = P cos β = 98 cos β PX = 98 cos β N
Por lo tanto la fuerza de fricción es: FF = N = 0.55 (98 sen β) FF = -53.9 sen β N
Para el ángulo crítico, la sumatoria de fuerzas es cero: FF + PX = 0.
FF + PX = 0 -53.9 sen β + 98 cos β = 0 -53.9 sen β = -98 cos β 53.9 sen β = 98 cos β
Dividamos cada miembro por 98 cos β.
53.9 sen β 98 cos β
98 cos β 98 cos β ¡Cuidado! Hemos encontrado β, pero el ángulo de inclinación es θ. θ = 90°-β = 28.82°
. θ = 28.82°
El bloque se moverá arriba de 28.82°. Compruébalo.
Respondamos la segunda parte: el ángulo necesario para conseguir una aceleración de 2 m/s2. En este
caso, la fuerza resultante será FR = 2 m/s2 (m) = 2 m/s
2 (10 Kg) = 20 N. En otras palabras:
FF + PX = 20 N -53.9 sen β + 98 cos β = 20 Resolvemos la igualdad por ensayo y error: démosle
distintos valores a β hasta llegar a 20. Naturalmente, probaremos valores de β MENORES que 61.18°.
Esto porque el ángulo de inclinación es θ: 90°-β.
β 60° 55° 50° 51° 50.5° 50.7° 50.8° 50.9°
FR 2.3 12 21.7 19.7 20.7 20.36 20.2 19.97
Para β = 50.9° obtenemos casi 20. Calculemos θ: θ = 90°-50.9° = 39.1° Para este ángulo se obtiene la aceleración de 2 m/s
2. Compruébalo.
Ejemplo 20. Sobre una superficie horizontal se tiene un bloque (A) de 50 Kg, que se une, mediante una cuerda que pasa por una polea sin fricción, a otro (B) de 80 Kg que cuelga. Calcular a. La aceleración del sistema si el coeficiente de fricción entre el bloque A y la superficie horizontal es de 0.25. b. La tensión en
la cuerda.
Solución.
Veamos el DCL del caso.
N
= =
a. Para calcular la aceleración del sistema nos bastan las fuerzas
externas. En el caso del bloque A, la normal es su peso.
Los pesos de ambos bloque son:
PA = 50(9.8) N PA = 490 N. PB = 80(9.8) N PB = 784 N.
FF = 0.25(490) N FF = -122.5 N.
Las fuerzas externas son PB y FF. La masa del sistema es
(50 + 80) Kg. = 130 Kg.
Se tiene que:
FR = PB+FF = 130a 784-122.5 = 130a despejemos a:
a = (784-122.5) / 130 = 5.09 a = 5.09 m/s2.
53.9 sen β / 98 cos β = 1 0.55Tanβ = 1 Tanβ = 1.8181 β = 61.18°
T
T
PB
Ff
A
B
b. La tensión en la cuerda. Para calcular la tensión debemos tener presente lo siguiente: la tensión es la misma en toda la cuerda. Nunca la tensión será distinta en un punto determinado. Sin embargo, como es una fuerza de reacción, se tiene que para B va hacia arriba porque el peso va hacia abajo. Para A va hacia la derecha porque el bloque se resiste, por la fricción, a moverse. Podemos calcular T analizando
cualquiera de los bloques. No olvidemos que la aceleración de cada bloque es la misma del sistema (la cuerda no es elástica): 5.09 m/s
2.
Para B. Tenemos que el peso es mayor que la tensión, pues el bloque se mueve hacia abajo. Por lo tanto,
al restar la tensión del peso, obtendremos un valor positivo.
PB –T = mB a = 80 (5.09) = 407.2 PB–T = 407.2 T = PB –407.2 T = 784– 407.2
T = 376.8 N
Para A. Tenemos que la T es mayor que la FF, pues el bloque se mueve hacia la derecha. Por lo tanto, al
restar FF de T, obtendremos un valor positivo.
T - FF = mA a = 50 (5.09) = 254.5 T - FF = 254.5 T = 254.5 + FF = 254.5 + 122.5 T = 377 N
Actividad 15. Una fuerza de 120 N actúa en tiempos diferentes sobre cada uno de 5 bloques.
Determinar la aceleración de cada bloque si las masas son: a. 10 Kg _________ b. 20 Kg _________
c. 30 Kg _________ d. 40 Kg _________ e. 50 Kg. _________ f. 60 Kg. _________
Actividad 16. Sobre un bloque de 50 Kg actúan, por separado, 6 fuerzas. Determinar la aceleración
que adquiere el bloque con cada fuerza si éstas son: a. 50 N _________ b. 100 N _________ c. 150 N
_________ d. 200 N _________ e. 250 N _________ f. 300 N _________
discusión 8. Se tienen 2 móviles, A y B, en la misma posición. La masa de A es 50 Kg, y la masa de
B es 75 Kg. Arrancan al mismo tiempo con las fuerzas siguientes: FA = 350 N, FB = 375 N. Determinar la
separación entre los móviles al término de a. 5 s _________ b. 10 s _________ c. 15 s _________ d.
20 s _________ e. 25 s _________ f. 30 s _________
Actividad 17. Sobre un bloque en una superficie horizontal actúa una fuerza. Determinar la
aceleración del bloque en los casos siguientes: a. m = 50 kg, F = 100 N y = 0.25 _________ b. m = 40
kg, F = 100 N y = 0.2 _________ c. m = 40 kg, F = 120 N y = 0.15 _________ d. m = 30 kg, F =
120 N y = 0.2 _________ e. m = 25 kg, F = 140 N y = 0.35 _________ f. m = 25 kg, F = 150 N y
= 0.2 _________
Actividad 18. Un bloque de 100 Kg se halla en un plano inclinado. Determinar la inclinación para la
cual iniciará el movimiento si el coeficiente de fricción es de a. 0.2 ___ b. 0.3 ___ c. 0.4 ___ d. 0.5
___ e. 0.6 ___ f. 0.7 ___ g. 0.8 ___ h. 0.9 ___
Actividad 19. Un bloque de 30 Kg se coloca en un plano inclinado a 35°. Calcular su aceleración para
los coeficientes de fricción a. 0.1 _______ b. 0.2 _______ c. 0.3 _______ d. 0.4 e. 0.5 _______ f.
0.6 _______ g. 0.9 _______
Actividad 20. Sobre un bloque de 20 Kg se aplican 2 fuerzas. La fuerza A es de 100 N y a 60°. La
segunda, B, es de 150 N. Determinar la dirección y la magnitud de la fuerza con la que se moverá el
bloque si: a. La dirección de B es 90° ______ ___ b. La dirección de B es 100° ______ ___ c. La
dirección de B es 110° ______ ___ d. La dirección de B es 120° ______ ___ e. La dirección de B es
130° ______ ___ f. La dirección de B es 180° ______ ___
discusión 9. Determinar para el sistema mostrado: a. La
aceleración que adquirirá si se le deja en libertad b. La separación entre los
bloques en los primeros 5 segundos c. La tensión en la cuerda. 20 Kg
50 Kg
A
B
Tercera ley de Newton. La tercera ley de Newton, conocida como de acción y reacción, establece que
cuando el cuerpo A ejerce una fuerza sobre B, este ejerce también una fuerza sobre A. Ambas fuerzas
tienen la misma magnitud y dirección, pero tienen sentidos contrarios.
3.2 Naturaleza y medición de algunas fuerzas
Al estudiar la segunda ley de Newton incluimos fuerzas como la tensión (T), el peso (P), la fricción (FF) y
la normal (N). Aquí estudiaremos sólo 2 fuerzas: la gravitatoria y la fuerza de un resorte.
Fuerza gravitatoria. La fuerza gravitatoria surge en virtud de las masas de los cuerpos y de la
separación entre ellos. Si 2 cuerpos de masas m1 y m2 están separados por una longitud r, la fuerza
gravitacional viene dada por la ecuación:
F =
Ejemplo 21. Dos cuerpos de masas 5X1012
Kg y 7X1016
Kg están separados por 2000 kilómetros. Cuál es
la fuerza gravitatoria entre ellos.
Solución.
2000 kilómetros equivalen a 2 000 000 metros. Apliquemos la ecuación.
F = G m1 m2/ r2 = 6.67 X 10
-11 (5X10
12)(7X10
16) / (2 000 000)
2 = 233.45X10
17 /(4X10
12)
(233.45/4)X1017-12
= 5.83 X 106
F = 5.83 X 106
N.
Actividad 21. Las masas de 2 asteroides son 5 X 1016
Kg y 8 X 1018
Kg. Encontrar la fuerza gravitatoria
entre ellos si la distancia que los separa es: a. 20 000 Km __________ b. 200 000 Km __________
c. 2 000 000 Km __________ d. 20 000 000 Km __________ e. 200 000 000 Km __________ f.
2 000 000 000 Km __________
Fuerza de un resorte. Si colgamos un peso de un resorte, éste se deforma (se estira) La resistencia
del resorte a la deformación se conoce como fuerza restauradora. Esta fuerza restauradora es de sentido
contraria a la fuerza que provoca la deformación (el peso, en este caso), y su magnitud es proporcional a
la longitud de la deformación (estiramiento o encogimiento) La fuerza restauradora, Fr, se calcula
mediante la ecuación:
La K es la constante de elasticidad del resorte. El signo negativo se debe a que esta fuerza se opone a la
fuerza que provoca la deformación (similar a la fuerza de fricción). Puede concluirse que cuanto mayor es
la constante, más resistencia presenta el resorte a la deformación.
Si la esfera A choca con la B, la fuerza de A sobre B, es la misma, pero de
sentido contrario, que la fuerza de B sobre A. Sin embargo, la esfera B se
moverá más hacia la derecha, pues su masa es menor que la de A.
A B
Gm1m2
r2
En esta ecuación, G es la constante gravitatoria.
El valor de G es 6.67 X 10-11
N-m2/ Kg
2
Fr = - KX
Ejemplo 22. De un resorte de constante 1400 N/m se suspende un bloque de 20 Kg. Calcular la longitud
del estiramiento del resorte.
Solución.
La fuerza que ejercerá el resorte es igual al peso del bloque. El peso del bloque es:
P = -9.8(20) = -196 P = -196 N. Por lo tanto la fuerza del resorte es: Fr = 196 N.
Fr = 196 = - K X = -1400 X 196 = -1400 X X = 196/-1400 = -0.14 X = -0.14 m.
El estiramiento es de 14 cm. El signo negativo es porque el estiramiento va hacia abajo.
Actividad 22. Un bloque de 40 Kg se suspende sucesivamente de 5 resortes. Calcular el estiramiento
si las constantes son: a. 9800 N/m __________ b. 6533.33 N/m __________ c. 4900 N/m
__________ d. 3920 N/m __________ e. 3266.66 N/m __________
Actividad 23. Se tiene un resorte cuya constante es 1960 N/m. Calcular el estiramiento que sufre
cuando de él se cuelgan sucesivamente los bloque siguientes: a. 10 Kg __________ b. 20 Kg
__________ c. 30 Kg __________ d. 40 Kg __________ e. 50 Kg __________
3.3 Dinámica rotacional.
Movimiento circular uniforme (MCU). Un cuerpo posee MCU cuando se mueve en un círculo con una
velocidad cuya magnitud no cambia (es constante) Es decir que siempre se tarda el mismo tiempo en dar
una vuelta completa.
Puede conseguirse un MCU haciendo girar una esfera atada a una cuerda. Tal como vemos en la figura
siguiente.
En el esquema los 3 pesos son iguales, pero se han suspendido de
resortes con distintas constantes de elasticidad. Cuanto más pequeña
es la constante, mayor es la deformación del resorte. Observemos
que el resorte más grueso tiene la mayor constante de elasticidad. El
resorte más delgado tiene la menor constante de elasticidad. Por esto
su estiramiento, X, es mayor. Observemos que el estiramiento es
desplazamiento; es decir, es un vector.
Las unidades de la constante de elasticidad son N / m.
X
La masa m se mueve circularmente, y la magnitud de
su velocidad es constante. Sin embargo el vector
velocidad NO es constante, ya que cambia en cada
instante de dirección. Este cambio de dirección genera
una aceleración centrípeta. Esta aceleración es v2/r
(siendo r el radio del círculo) y se dirige hacia el
centro; al igual que la fuerza centrípeta, Fc, que es la
que mantiene al cuerpo en movimiento circular, y se
expresa mediante la tensión en la cuerda.
Como F = ma Entonces la fuerza de la masa es:
Fc = mv2/r
También: Fc = mac Aquí ac es la
aceleración centrípeta, que tiene igual sentido a Fc.
La velocidad siempre es tangente al círculo y
perpendicular a la aceleración centrípeta: ac.
v
m Fc
r
Es importante intuir que al aumentar la velocidad del cuerpo de masa m, la fuerza centrípeta aumenta. Es
decir que aumenta la tensión en la cuerda. Si la velocidad aumenta sin control, llegará un momento en
que la cuerda se romperá.
Contraria a la fuerza centrípeta está la fuerza centrífuga. Esta fuerza intenta alejar al cuerpo del centro.
Como el cuerpo se mantiene en movimiento circular, ambas fuerzas se anulan. Si la cuerda se rompiera
(cuando la centrífuga supera a la centrípeta), el cuerpo tomaría una trayectoria recta en la dirección de la
tangente; es decir, perpendicular a la dirección de la cuerda.
Si un cuerpo posee una velocidad circular determinada, ¿cuánto tiempo tardará en completar una vuelta o
ciclo?, ¿cuántos ciclos completará por segundo?, ¿cuántos grados (°) recorrerá por segundo?... Ya lo
veremos.
Período. El período (T) es el tiempo que la partícula tarda en dar una vuelta. El perímetro de un círculo
de radio r es 2 π r. Por lo tanto el período es:
Frecuencia ( f ). La frecuencia es el número de vueltas o ciclos que la partícula completa por unidad de
tiempo. En el sistema internacional, la unidad de frecuencia es el hertz (Hz) Es el número de ciclos por
segundo (1/s) Por lo tanto resulta que:
Velocidad angular o frecuencia angular (ω). La velocidad angular es el número de radianes que
recorre la partícula por segundo. Se calcula así:
Estas ecuaciones no se memorizan con facilidad. Sin embargo, al comprender el fenómeno, pueden
realizarse los cálculos de diversas formas.
Ejemplo 23. Un cuerpo de 10 Kg, atado a una cuerda de 5 m, gira con velocidad angular constante,
recorriendo 180° en 3 segundos. Calcular: a. La velocidad angular b. La velocidad lineal c. El período d.
El tiempo en que dará 5 vueltas e. La frecuencia f. La aceleración centrípeta g. La tensión en la cuerda
h. La velocidad lineal máxima si la cuerda no puede soportar una tensión mayor de 128 N.
Solución.
a. La velocidad angular. El cuerpo recorre 180° en 3 segundos. Un radián son 57.3°. Por lo tanto 180° son
3.14 radianes. La velocidad angular es:
ω = 3.14rad / 3 s = 1.04 rad / s. ω = 1.04 rad / s.
b. La velocidad lineal. Encontremos el perímetro del círculo, pues conocemos el radio: 5 m.
Perímetro = 2 π r = 2(3.14)5 = 31.4 Perímetro = 31.4 m.
31.4 m es la vuelta completa: 360°. ¿Cuántos metros hay en 180°? Apliquemos la regla de 3:
360° ……… 31.4 m
180° ……….. x
T = 2πr/v
f = T -1
ω = 2π /T
X = 31.4(180)/360 = 15.7 X = 15.7 m. Esto lo recorre en 3 segundos. Por
lo tanto la velocidad lineal es: v = 15.7/3 v = 5.2 m/s.
v = ωr ac = ω2r ac = v2
/r
La velocidad angular (ω ), la velocidad lineal (v) y
la aceleración centrípeta (ac) se relacionan entre sí
según las siguientes ecuaciones:
Al aplicar la fórmula se llega a lo mismo, como es lógico: v = ω r = 1.04(5) = 5.2 v = 5.2 m/s.
c. El período. El período es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta. Sabemos que tarda 3
segundos en recorrer 180°, por lo tanto tardará 6 segundos en dar la vuelta: 360°. El período es 6 s.
Apliquemos la fórmula. T = 2 π r/v = 2(3.14)(5)/5.2 = 6 T = 6 s.
d. El tiempo en que dará 5 vueltas. Una vuelta la da en 6 segundos, por lo tanto 5 vueltas la dará en 30
segundos.
e. La frecuencia. La frecuencia es el número de ciclos por segundo. El cuerpo tarda 3 segundos en
recorrer ½ ciclo (180° = 3.14 rad); por lo tanto en 1 segundo recorrerá:
3 s ……… ½ ciclo
1 s …….….. x
Al aplicar la fórmula, obtenemos: f = T-1
= 1/ T = 1/ ( 6 s) = 0.17/s. Que equivale a: 0.17 ciclos/s.
f. La aceleración centrípeta. Apliquemos una de las 2 fórmulas:
ac = ω2r = (1.04)
2(5) = 5.4 ac = 5.4 m/s
2.
Apliquemos la otra ecuación. ac = v2/ r = (5.2)
2/(5) = 5.4 m/s
2.
g. La tensión en la cuerda. La tensión es la fuerza centrípeta: Fc.
Fc = m(ac) = 10(5.4) = 54 Fc = 54 N.
Apliquemos la otra fórmula: Fc = m v2/r = 10(5.2)
2/ 5 = 54 Fc = 54 N.
g. La velocidad lineal máxima si la cuerda no puede soportar una tensión mayor de 128 N. En este caso la
fuerza centrípeta máxima en la cuerda es de 128 N.
Fc = 128 = m v2/r = 10 (v
2) / 5 = 2 v
2 2v
2 = 128 v
2 = 128 / 2 = 64 v
2 = 64 v = 8 m/s.
Actividad 24. Un cuerpo de 10 Kg, atado a una cuerda de 5 metros, gira con velocidad constante
angular, recorriendo 180° en 6 segundos. Calcular: a. La velocidad angular _________ b. La velocidad
lineal _________ c. El período_________ d. El tiempo en que dará 5 vueltas e. La frecuencia
_________ f. La aceleración centrípeta _________ g. La tensión en la cuerda _________ h. La
velocidad lineal si la cuerda no soporta una tensión mayor de 50 N _________.
Actividad 25. Un cuerpo de 10 Kg gira atado a una cuerda de 4 metros. La tensión en la cuerda es de
62.5 N. Calcular: a. La velocidad lineal ________ b. La velocidad angular ________ c. El período
________ d. El tiempo en que dará 5 vueltas ________ e. La frecuencia ________
Momento de torción de una fuerza (). El momento de torción o torque () de una fuerza F es la
rotación causada por tal fuerza. Se calcula mediante el producto vectorial de r y F, (r X F), siendo r el
radio de rotación. Si se conocen las magnitudes de ambos vectores y el ángulo entre ellos, el torque se
calcula así:
Analicemos la ecuación. Si el radio es cero, el torque es cero. Si el ángulo es cero, el torque es cero, dado
que Sen0° = 0 . Para una fuerza determinada, el mayor torque se obtendrá cuando sea mayor el radio y el
ángulo sea 90° (Sen90° = 1) Veamos esto gráficamente.
Sobre una placa de metal capaz de girar alrededor de un eje se aplica una fuerza de distintas formas (ver
esquema abajo). Es evidente que aplicada la fuerza en las formas A y H no habrá rotación. Esto porque
en A el radio es cero, y en H el ángulo es cero. En las formas B, C y G se aplica la fuerza con un ángulo
de 90°, pero la mayor rotación se obtendrá en G, pues es mayor el radio; mientras que B producirá la
x = 1(½)/3 = 1/6. Por lo tanto en 1 segundo recorre 1/6 de ciclo.
La frecuencia es: (1/6) ciclos/s. También: 0.17 ciclos/s.
= |r||F|Senθ
|A||B|Cosθ
Ver extras en CD
menor rotación. En las formas D y E, se tiene que la mayor rotación la produce la forma E, pues su ángulo
está más cerca de 90°.
Por otra parte, las unidades del torque son N-m, que son unidades de energía, conocidas como julios (J).
Además, el torque es positivo si el giro es en sentido antihorario.
Ejemplo 24. Una palanca gira en torno de un eje ubicado a 1.4 metros. Encontrar el torque si se aplica
una fuerza de 100 N (contrario a las agujas del reloj) que forma con el radio un ángulo de a. 0° b. 30° c.
60° d. 90°
Solución.
a. 0°. Si el ángulo es cero, el torque es cero: = |r||F| Senθ = 1.4(100) Sen 0° = 140(0) = 0.
b. 30°. = |r||F| Sen θ = 1.4(100)(0.5) = 70 = 70 N-m. También: = 70 julios (positivo porque es en
sentido antihorario)
c. 60°. = |r||F| Senθ = 1.4(100)(0.866) = 121.24 = 121.24 N-m. También: = 121.24 J.
d. 90°. = |r||F| Senθ = 1.4(100)(1) = 140 = 140 J. (vemos que a 90° se obtiene el torque mayor)
Ejemplo 25. Se busca que el peso de 100 N se mantenga en equilibrio. Para ello se debe aplicar
perpendicularmente una fuerza en los puntos señalados. Calcular el valor de la fuerza si los puntos están
alejados del eje: a. 1 m b. 1.2 m c. 1.5 m d. 1.8 m
Solución.
a. 1 m. El torque generado por el peso es 100 N (1 m) = 100 J. Es negativo porque tiende a girar como las
agujas del reloj. Este torque será anulado por el torque producido al aplicar una fuerza a 1 m a la
izquierda del soporte. Este torque será positivo.
F(1m) Sen 90° – 100 J = 0 F(1m) (1) – 100 J = 0 F = 100 J/(1 m) = 100 N F = 100 N Esta es la
respuesta esperada dado que la fuerza debe aplicarse a la misma distancia del peso y
perpendicularmente.
b. 1.2 m. El torque generado por el peso (-100 J) debe ser anulado por el torque producido al aplicar una
fuerza a 1.2 m a la izquierda. El ángulo es 90°, por lo que el seno es UNO.
F(1.2 m) Sen 90° – 100 J = 0 F = 100 J/(1.2 m) = 83.3 N F = 83.3 N
c. 1.5 m. Para este caso la fuerza es 100/1.5 F = 66.7 N
La inercia rotacional (momento de
inercia) es la resistencia que un cuerpo
en rotación opone al cambio de su
velocidad de giro. La inercia
rotacional desempeña en la rotación
un papel equivalente al de la masa en
el movimiento lineal. A
B
C
D
E
G
H
Eje de rotación
soporte
1m
1 m 1.2 m 1.8 m 1.5 m
100
N
d. 1.8 m. Para este caso la fuerza es 100/1.8 F = 55.5 N
Podemos apreciar que, al aumentar el radio, disminuye la fuerza necesaria para equilibrar el torque del
peso. Este es el principio de la palanca (revisa la página 19).
Actividad 26. Observa el esquema de abajo. 1. Calcular la fuerza perpendicular que se debe aplicar
en cada punto para mantener el sistema en equilibrio ______ ______ ______ ______ ______ 2. Si se
aplica una fuerza en el punto que está a 2 metros, calcular el ángulo de aplicación necesario para
mantener el sistema en equilibrio si la fuerza es: a. 60 N ______ b. 70 N ______ c. 80 N ______ d. 90
N ______ e. 100 N ______ 3. Si el ángulo de aplicación es 60°, calcular la magnitud de la fuerza que
mantendrá en equilibrio el sistema si dicha fuerza se aplica con un radio de a. 75 cm ______ b. 1 m
______ c. 1.25 m ______ d. 1.5 m ______ e. 1.75 m ______ f. 2 m ______
discusión 10. Calcula el valor de F si el sistema está en equilibrio.
3.4 La energía en el movimiento.
Trabajo. En Física existe trabajo (T) cuando una fuerza (F) desplaza (mueve) un cuerpo. El
desplazamiento (X) es en la dirección de la fuerza. Mientras se realiza el trabajo, se le transfiere energía
al cuerpo. Por esto se dice que el trabajo es energía en movimiento. Las unidades de T son unidades de
energía. En el sistema MKS son Kg-m2/s
2. Un Kg-m
2/s
2 se conoce como julio (J). Un julio es el trabajo
realizado por una fuerza de 1 newton a lo largo de un metro, en el mismo sentido. Por lo tanto, si la fuerza
es de 10 N, y el desplazamiento es de 3 m, el trabajo es de 30 J.
¡Cuidado! Aunque el trabajo resulta del producto del vector fuerza por el vector desplazamiento, ocurre
que el trabajo no es un vector, ya que se trata de un producto escalar, conocido también como
producto punto. La ecuación para calcular el trabajo es:
El producto de 2 vectores puede ser vectorial o escalar. El producto vectorial nos da un nuevo vector. El
producto escalar nos da un escalar. En el producto escalar, al multiplicar vectores unitarios diferentes
obtenemos CERO; pero al multiplicar vectores unitarios iguales obtenemos UNO. Por ejemplo, al
multiplicar los vectores A = 5 i + 2 j y B = 3 i + 7 j, obtenemos:
AB = ( 5 i + 2 j)(3 i + 7 j) = 5 x 3 + 2 x 7 = 15 + 14 = 29.
Si conocemos la magnitud de cada vector y el ángulo entre ellos, entonces:
Por lo tanto: T = FX = |F||X| Cosθ. Siendo θ el ángulo entre F y X.
T = FX
AB = |A||B|Cosθ
1.5 m
1 m 1.5 m 2 m 1.70
m
soporte
80
N 50 cm
F
100 N 80
N
1.5 m 2.5 m
75 cm
Es decir que: Observemos que para 90° entre F y X, el trabajo es nulo.
Ejemplo 26. Se aplica una fuerza de 50 N sobre un bloque, de manera que se desplaza 10 metros.
Calcular el trabajo realizado si el ángulo es: a. 0° b. 15° c. 30° d. 45° e. 60° f. 75° g. 90°
Solución.
a. 0°. T = |F||X| Cos θ = 50 (10) Cos 0° = 500(1) = 500 T = 500 Kg-m2/s
2 (julios: J)
b. 15°. T = |F||X| Cos θ = 50 (10) Cos15° = 500(0.96) = 480 T = 480 J.
c. 30°. T = |F||X| Cos θ = 50 (10) Cos30° = 500(0.866) = 433 T = 480 J.
d. 45°. T = |F||X| Cos θ = 50 (10) Cos 45° = 500(0.707) = 353.5 T = 353.5 J.
e. 60°. T = |F||X| Cos θ = 50 (10) Cos 60° = 500(0.5) = 250 T = 250 J.
f. 75°. T = |F||X| Cos θ = 50 (10) Cos 75° = 500(0.26) = 130 T = 130 J.
g. 90°. T = |F||X| Cos θ = 50 (10) Cos 90° = 500(0) = 0 T = 0 J.
Observemos que cuando la fuerza (F) y el desplazamiento (X) tienen el mismo sentido y dirección (0°), se
realiza el mayor trabajo. Cuando ambos vectores son perpendiculares (90°), el trabajo es cero.
Ejemplo 27. La fuerza aplicada a un bloque es F = 50 i + 10 j, que produce un desplazamiento
X = 2 0 i + 3 5 j. Calcular el trabajo realizado.
Solución.
T = FX = (50 i + 10 j) (2 0 i + 3 5 j) = 50x20 + 10x35 = 1000 + 350 = 1350 T = 1350 J.
Actividad 27. Se aplica una fuerza de 50 N sobre un bloque, de manera que se desplaza 10 metros.
Calcular el trabajo realizado si el ángulo es: a. 0° _________ b. 15° _________ c. 30° _________ d.
45° _________ e. 60° _________ f. 75° _________ g. 90° _________
discusión 11. Con los vectores A = 50 i + 10 j y B = 2 0 i + 3 5 j, comprobar que
AB = |A||B| Cosθ.
Energías potencial y cinética. La energía potencial (EP) es la que posee un cuerpo en virtud de su
posición. Esta energía es igual al trabajo realizado para ubicar al cuerpo en determinada posición. Por
ejemplo, para levantar un cuerpo se realiza un trabajo. En este caso el trabajo es energía potencia
gravitatoria. Al estirar un resorte, también se realiza un trabajo. En este caso el trabajo es energía
potencia elástica.
EP Se calcula multiplicando masa, gravedad y altura (h):
La energía cinética es la que posee un cuerpo en virtud de su velocidad. Se calcula así: La energía mecánica y su conservación. La energía mecánica es la suma de la potencial y la
cinética:
Ejemplo 28. Una esfera de 2 Kg se deja caer desde 122.5 m. Calcular las energías potencial, cinética y
mecánica en los tiempos 0, 1, 2, 3, 4 y 5 segundos. Consideraremos positivo lo que va hacia abajo.
Solución. Cero segundos. EP = mgh = 2(9.8)(122.5) = 2401 EP = 2401 J. Ec = ½ m v
2 = ½(2)(0) = 0 EC = 0. En el momento de soltar la esfera, su velocidad es cero.
T = |F||X|Cosθ
EP = mgh Como la gravedad y la velocidad
son vectores, la energía potencial
y la cinética también son
vectores. EC = ½ mv2
Em = mgh + ½ mv2 La energía mecánica se conserva. Esto significa que
es constante: es la misma en cada momento.
Em = mgh + ½ m v2 = EP + Ec = 2401 + 0 Em = 2401 J. Al inicio, toda la energía mecánica es
potencial.
1 segundo. Necesitamos conocer la velocidad y el desplazamiento de la esfera al cabo de un segundo.
y = vit + ½ a t2 = 0 + 0.5(9.8)(1
2) y = 4.9 m. Si se ha desplazado 4.9 m, su altura es 122.5 - 4.9 que son
117.6 metros.
vf = vi + a t = 0 + 9.8(1) = 9.8 vf = 9.8 m/s.
EP = mgh = 2(9.8)(117.6) = 2304.96 EP = 2304.96 J. La energía potencial ha disminuido.
Ec = ½ m v2 = ½(2)(9.8)
2 = 96.04 EC = 96.04 J La energía cinética ha aumentado.
Em = mgh + ½ m v2 = EP + Ec = 2304.96 + 96.04 = 2401 J. La Em no varía: es constante.
En la tabla siguiente se muestran los datos para todos los tiempos.
tiempo Vf altura EP Ec Em
0 0 122.5 2401 0 2401
1 9.8 117.6 2304.96 96.04 2401
2 19.6 102.9 2016.84 384.16 2401
3 29.4 78.4 1536.64 864.36 2401
4 39.2 44.1 864.36 1536.64 2401
5 49 0 0 2401 2401
Ejemplo 29. Una esfera de 5 Kg reposa a cierta altura. Si su energía mecánica es 11764.9 J, calcular: a.
La altura b. La velocidad de la esfera al caer c. La velocidad de la esfera cuando ha bajado 44.1 m.
Consideremos positivo lo que va hacia abajo.
Solución.
a. La altura. Em = mgh + ½ m v2 11764.9 = 5(9.8)(h) + ½ m v
2 Al inicio, Ec = 0.
11764.9 = 5(9.8)(h) + 0 11764.9 = 49h Despejemos h: h = 11764.9 / 49 = 240.1 h = 240.1 m.
b. La velocidad de la esfera al caer. Al caer, la energía potencial es cero. Em = 0 + ½ m v2 = ½ m v
2
11764.9 = ½ (5) v2 = 2.5 v
2 Despejemos v: v
2 = 11764.9/2.5 = 4705.96 v = (4705.96)
1/2
v = 68.6 m/s.
c. La velocidad de la esfera cuando ha bajado 44.1 m. En este caso, hay energía potencial y cinética. La altura de la esfera es: 240.1 m-44.1m = 196 m.
11764.9 = mgh + ½ m v2 = 5(9.8)(196) + ½(5) v
2 = 9604 + 2.5 v
2 11764.9 = 9604 + 2.5 v
2 Al despejar
v, obtenemos: v = 29.4 m/s.
tiempo vf altura EP Ec Em
0
1
2
3
4
5
6
Actividad 29. Una esfera de 10 Kg reposa a cierta altura. Si su energía mecánica es 12 500 J, calcular:
a. La altura ______ b. La velocidad de la esfera al caer ______ c. La velocidad de la esfera cuando ha bajado 40 m ______. Considérese positivo lo que va hacia abajo.
discusión 12. La energía mecánica de un cuerpo es de 3920 J. Cuando está a 60 m de altura, su
velocidad es de 28 m/s. Calcular la masa del cuerpo _______
3.5 Otra cantidad importante: el momento lineal
Podemos observar que la potencial
se convierte en cinética con el
tiempo. Además, en el momento
de caer, la energía potencial es
cero, y toda la Em es cinética.
Actividad 28. Una esfera
de 4 Kg se deja caer desde
176.4 m. Calcular las energías
potencial, cinética y mecánica en
los tiempos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6
segundos. Llenar la tabla de la
derecha. Considérese positivo lo
que va hacia abajo.
x
En el caso anterior, la conservación es posible debido a que el choque es elástico. Es decir que no hay
pérdida de energía por calor o deformación. Cuando no se conserva la cantidad de movimiento, el choque
es inelástico. Son choques elásticos los producidos entre objetos duros: bolas de billar, bolas de metal…
Cuando los objetos son blandos, la cantidad de movimiento no se conserva.
Ejemplo 30. Una esfera de 5 Kg se mueve a 12 m/s, y choca con otra de 2 Kg, tal como se
muestra en el esquema. Calcular la velocidad de la pequeña en los casos siguientes: a. La
pequeña está en reposo y, después del choque, la grande disminuye su velocidad a 4.8
m/s b. La pequeña se mueve inicialmente a 7 m/s y, después del choque, la grande disminuye su
velocidad a 8.6 m/s.
Solución. a. Como la pequeña está en reposo su cantidad de movimiento es cero: PP = 0. La cantidad
de movimiento de la grande es PG = 5(12) = 60 PG = 60 Kg-m/s. La cantidad de movimiento después
del choque se conserva. Después del choque tenemos que:
60 = PG + PP = 5(4.8) + 2(vP) = 24 + 2vP despejemos vP:
60 = 24 + 2vP 60-24 = 2vP vP = (60-24)/2 = 18 vP = 18 m/s.
b. La pequeña se mueve a 7 m/s y, después del choque, la grande disminuye su velocidad a 8.6 m/s. En
este caso la cantidad de movimiento total (PT) es: PT = 5(12) + 2(7) = 74 PT = 74 Kg-m/s. Esta cantidad
se conserva. Después del choque tenemos:
74 = PG + PP = 5(8.6) + 2vP = 43 + 2vP despejemos vP: vP = (74 - 43) / 2 = 15.5 vP = 15.5 m/s.
Actividad 30. Resuelve cada caso. 1. Una esfera de 10 Kg se mueve a 10 m/s, y choca con otra de 4
Kg que está en reposo, disminuyendo su velocidad a 6 m/s. Ambas continúan en la misma dirección.
¿Qué velocidad tomará la pequeña después del choque? ________ 2. Una esfera de 20 Kg se
mueve a 14 m/s, y choca con otra de 5 Kg que se mueve a 5 m/s. Ambas continúan en la misma
dirección. ¿Qué velocidad tomará la pequeña después del choque? ________ 3. Una esfera de
20 Kg se mueve a 14 m/s, y choca con otra que está en reposo. Ambas continúan en la misma
Una esfera de 20 kilos se deja caer de 2 formas sobre la cabeza de Valentino. En el
primer caso la altura es de 4 metros. En el segundo caso la altura es de 2 metros. ¿En
qué caso la esfera caerá con mayor fuerza?... La esfera cae en ambos casos con la
misma fuerza, pues tanto la masa como la aceleración son las mismas: 20 Kg y 9.8m/s2.
Sin embargo, no hay duda que en el segundo caso, el golpe causará menor daño, pues la
altura es menor. En el primer caso el daño será mayor porque la esfera, aunque es la
misma, cae con mayor velocidad.
En la situación planteada, el golpe depende de una magnitud física llamada momento
lineal o cantidad de movimiento (P) la cual se calcula multiplicando la masa por la
velocidad:
Conservación de la cantidad de movimiento. La cantidad de movimiento se conserva.
Esto significa que es constante. Grafiquemos esto.
P = mv Como la velocidad es un vector, entonces la cantidad de movimiento
también es un vector. En otras palabras: la cantidad de movimiento se
calcula multiplicando el vector velocidad por el escalar masa.
Tiempo 1 Tiempo 2
EN
EN
En el tiempo 1 observamos que la esfera negra, EN, se
desplaza hacia las grises, que están en reposo. En el tiempo
2 las golpea. Es evidente que la EN perderá velocidad
después del choque , y las grises adquirirán velocidad, de
manera que ambas se moverán en las direcciones
indicadas. La EN les proporciona cantidad de movimiento
a las grises, mientras que ella pierde toda o parte de la que
tiene. Sin embargo, la suma de las cantidades de
movimiento de las 3 esferas, es igual a la cantidad de
movimiento que originalmente poseía la EN.
dirección. Después del choque, la grande se mueve a 7 m/s, y la pequeña se mueve a 17.5 m/s. Calcular
la masa de la pequeña ________
3.6 Una consideración más sobre relatividad
Supongamos que los autos anteriores se mueven en sentidos contrarios y a una velocidad de 100 m/s. De
acuerdo con la mecánica newtoniana, el movimiento relativo de A con respecto a B es de 200 m/s. Es
decir que un observador en B percibirá que A se desplaza a 200 m/s. Analizando el movimiento relativo, el
físico alemán Albert Einstein, intuyó que si los móviles se mueven a la velocidad de la luz, o a una
velocidad mayor, el movimiento relativo de A con respecto a B es siempre la velocidad de la luz. Es decir
que esta velocidad es el límite, y ningún cuerpo puede rebasar tal velocidad. Esto lo complica todo, de
manera que el espacio, el tiempo y la masa tienen distintos valores si son medidos desde un sistema que
se mueve a alta velocidad. A velocidades cercanas a la luz, el espacio y el tiempo se contraen.
De acuerdo con la física clásica, la cantidad de movimiento de un cuerpo se calcula mediante la ecuación
P = mv. Esta ecuación no es válida para velocidades cercanas a la luz, porque la masa varía con la
velocidad. Para una determinada velocidad v, la masa, m, del cuerpo es:
m =
Calculemos ahora la masa de un cuerpo de 1 Kg en relación a distintas velocidades. En la tabla
se muestran los distintos valores del cuerpo.
v 107
108
2X108
2.5X108
2.9X108
2.99X108
2.999X108
2.9999X108
2.999999X108
m 1 1.06 1.34 1.809 3.9 12.25 38.7 122.47 1224.7
Podemos observar que al acercarnos a la velocidad de la luz, la masa aumenta. Según la ecuación, a la
velocidad de la luz, la masa se volverá infinita. Precisamente por esto es que ningún cuerpo puede
alcanzar tal velocidad.
La ecuación anterior es aplicable para calcular el tiempo en relación a la velocidad. Simplemente se
sustituyen m por t, y mO por tO.
Como otra consecuencia de la teoría de la relatividad, Einstein planteó que la masa y la energía son
conceptos equivalentes. La masa puede convertirse en energía y al contrario. Esto se resume en la
famosa fórmula de Einstein, que relaciona la energía con la masa:
Esta ecuación nos da la energía que es posible obtener
al desintegrar determinada cantidad de materia. Es increíble la cantidad de energía que hay en un gramo
de cualquier sustancia. Calculémosla.
Un gramo es igual a 0.001 Kg. Y la velocidad de la luz es 300 000 000 m/s. Apliquemos la ecuación.
E = 0.001 (300 000 000)2
= 9 X 1013
E = 9 X 1013
julios.
Un julio equivale a 0.24 calorías. Por lo tanto tenemos 2.16 X 1013
calorías. Y una caloría es la necesaria
para aumentar un gramo de agua en 1°C. Dividamos entre 100 la energía que tenemos y nos dará el
número de gramos de agua que podremos calentar de cero a 100°C: 2.16 X 1011
g. Dividamos por 1000
para obtener los kilogramos: 2.16 X 108
Kg. Como la densidad del agua es UNO, esta masa ocupa un
A
B
mO
1 – v 2/c
2
En esta ecuación mO es la masa del cuerpo en reposo y c es la
velocidad de la luz: 300 000 000 m/s (300 000 Km/s)
El denominador se conoce como factor de Lorentz, pues fue
introducido por el físico holandés Hendrik Antoon Lorentz y el físico
irlandés George Francis Fitzgerald a finales del siglo XIX.
Lorentz
E = mc2
volumen de 2.16 X 108
litros. Como un metro cúbico contiene 1000 litros, tenemos un volumen de
2.16 X 105
m3. Esto volumen puede almacenarse en una piscina de 100 m de largo, 100 de ancho y 2.16 m
de hondo. ¡Increíble! En 1 gramo se concentra la energía necesaria para calentar, desde cero hasta
100°C, el agua contenida en un piscina como la descrita. (ver CD)
Defecto de masa. Cualquier átomo posee un defecto de masa. Es decir, le falta masa. ¿Cómo? El átomo
de carbono posee 6 protones y 6 neutrones. Al sumar la masa de 6 protones y 6 neutrones se obtiene una cantidad mayor que la masa del átomo de carbono. ¿Dónde está la masa que falta? La masa que hace falta (defecto de masa) se ha convertido en la energía necesaria para mantener unidos, en el núcleo, protones y neutrones.
4. Cómo se analizan los cuerpos estáticos .
Qué condiciones se cumplen para el equilibrio mecánico. Un cuerpo está en equilibrio mecánico si
la fuerza o el torque resultante que actúa sobre él es cero. Esto significa que el cuerpo no se mueve, o se
mueve con velocidad lineal constante.
Analizando situaciones de equilibrio estático
Ejemplo 31. Si para el diagrama anterior T1 forma 30° con X, y T2 forma 60° con X, y el peso es de 100 N,
calcular la magnitud de las tensiones. Solución. El cuerpo está estático. Por lo tanto T1x + T2x = 0 T1Cos150° + T2Cos60° = 0 I
También: T1y + T2y + P = 0 T1 Sen150° + T2 Sen 60° - 100 N = 0 II Despejamos T1 de I y lo sustituimos
en II: T1 = -T2 Cos60°/Cos150° T1 = 0.577T2 Sustituyamos en II:
T1 Sen150° + T2 Sen 60° - 100 N = 0 0.577T2 Sen150° + T2S en60° = 100 0.2885T2 + 0.866T2 = 100
T2 (0.2885 + 0.866) = 100 T2 = 100/(0.2885 + 0.866) = 100/1.15 = 86.95 T2 = 86.95 N
De I despejamos T1 : T1 Cos150° = -T2 Cos60° T1 = -86.95 Cos60°/ Cos150° T1 = 50.2 N.
Objetivos conceptuales. Determinar cuándo hay equilibrio mecánico. Comprender qué es el centro de gravedad de un cuerpo.
Conocer el fin de una máquina simple.
Objetivos procedimentales. Calcular tensiones en cuerdas de las que pende un cuerpo estático y ubicar aproximadamente el
centro de gravedad en un cuerpo.
Objetivos actitudinales. Apreciar el uso de máquinas simples para facilitar el trabajo humano.
En este caso el bloque está en equilibrio mecánico. No se mueve hacia la
derecha porque la fuerza aplicada no logra vencer la fuerza de fricción.
Tampoco se mueve hacia arriba porque la normal se anula con el peso. Si se
moviera con velocidad constante, siempre estaría en equilibrio, pues la fuerza
resultante sería cero: si no hay aceleración, no hay fuerza resultante.
F
En este caso, el
equilibrio se debe a que
el peso del bloque es de
igual magnitud, pero de
sentido contrario, a la
tensión de la cuerda.
En este caso, el equilibrio
se debe a que el torque
producido por un peso, se
anula con el torque del
otro peso. Son de igual
magnitud, pero de
sentidos contrarios.
P
T1
T2
En este caso, el cuerpo está en equilibrio porque el peso se
iguala con las tensiones. Para calcular las tensiones
necesitamos el peso o la masa y los ángulos de las tensiones
con la horizontal o vertical. Las componentes de las
tensiones en X se anulan entre sí; y el peso se anula con las
componentes de las tensiones en y. (ver CD)
Qué es el centro de gravedad de un cuerpo. El centro de gravedad (CG) de un cuerpo es aquel
punto imaginario en el que se considera que se concentra toda su masa. Generalmente se halla donde se
acumula mayor cantidad de masa, aunque puede estar en un punto donde no hay masa. En los seres
humanos se encuentra más o menos en una línea que pasa horizontalmente por el ombligo. Si la masa
del cuerpo se distribuye homogéneamente, el centro de gravedad de un cuerpo geométrico (o regular)
coincide con su centro geométrico; además, todo plano que pasa por su CG lo divide en 2 partes iguales.
Cualquier cuerpo que lancemos en tiro parabólico, seguramente girará durante el movimiento, de manera
que algunos puntos describirán curvas caprichosas (hélices), pero el centro de gravedad describirá una
parábola, que es una curva simple.
En las figuras geométricas es fácil encontrar su CG, pues está en su centro geométrico.
En el caso del cilindro, el CG está en la línea perpendicular que pasa por el centro del círculo y a la mitad
de la altura. En el caso del rectángulo (cuadrado o rombo) el CG está donde chocan las diagonales. En el
caso de la esfera (o disco) el CG está en su centro. Para el anillo (última figura) se tiene que el CG está
fuera de su masa. Como todos estos cuerpos son volumétricos en la realidad, el CG está internamente.
Si alargamos o acortamos el mango de la
maraca, el CG se desplaza.
Supongamos que tenemos 2 placas de metal exactamente iguales
en forma (área, volumen, espesor…) como las mostradas. Si las
unimos (con soldadura) el CG estará en el punto mostrado
(internamente). Esto sólo es cierto si las placas son del mismo
material. Supongamos que la placa de la izquierda es de
aluminio, y la de la derecha es de hierro. Como la de hierro pesa
más, el CG se desplazará hacia el centro de esta placa. Esto
ocurre porque la masa del cuerpo (las placas) no se distribuye
homogéneamente. Si soldamos en vez de hierro una placa más
pesada, seguirá moviéndose el CG hacia el centro de tal placa.
(ver CD)
Al lanzar parabólicamente la maraca, todos sus puntos
describen curvas caprichosas. Observemos la curva que
describe la punta de la maraca. Sin embargo, el centro de
masa describe la curva más sencilla: una parábola.
Máquinas simples. Mediante una máquina se cambian la magnitud y dirección de aplicación de una
fuerza. Las cuatro máquinas simples son la palanca, la polea, el torno y el plano inclinado. Una
máquina simple es útil porque permite ejercer una fuerza mayor que la que una persona podría aplicar
sólo con sus músculos, como ocurre en la palanca, el torno y el plano inclinado. El torno permite aplicar la
fuerza en forma más eficaz. El aumento de la fuerza suele hacerse a expensas de la velocidad (que
disminuye). La relación entre la fuerza aplicada y la resistencia ofrecida por la carga contra la que actúa la
fuerza se denomina ventaja teórica de la máquina, que es mayor que la ventaja real. La eficiencia de la
máquina se obtiene al dividir la ventaja teórica entre la real. Evidentemente, la eficiencia siempre es
inferior al 100 por ciento. La eficiencia se mejora aceitando o engrasando las piezas en contacto. Por
ejemplo, engrasando el eje de la polea.
5. Qué es el calor .
Calor, temperatura, energía interna, equilibrio térmico y ley cero de la termodinámica. El calor es
energía en tránsito, que fluye de una zona de alta temperatura hacia otra de baja temperatura. No
debemos confundir calor con temperatura. La temperatura es la sensación de caliente o frío que
percibimos al tocar una sustancia. La temperatura sólo depende del movimiento de las moléculas de la
sustancia; es decir, de su energía cinética. Cuanto más se mueven, mayor es la temperatura.
F: Fuerza aplicada Gracias a la palanca se podrá mover
la piedra a pesar de que su peso es
mayor que la fuerza aplicada. Sin
embargo, la velocidad del punto
donde se aplica la fuerza, es mayor
que la velocidad con que se moverá
la piedra. Si acercamos el fulcro a la
piedra, necesitaremos una fuerza
aplicada menor, y al contrario.
Punto de apoyo (fulcro)
Barra metálica
Peso a mover
Piedra
P
Una polea fija no proporciona ninguna ventaja mecánica, es
decir, ninguna ganancia en la transmisión de la fuerza: sólo
cambia la dirección o el sentido de la fuerza aplicada a través de
la cuerda.
Actividad 31. Para un peso de 200 N, calcular la
magnitud de las tensiones si: a. θ =β = 45° ___ ___ b.
θ = β = 60° ___ ___ c. θ= 3 0° β = 60° ___ ___ d.
θ = 15° β = 75° ___ ___ (ver diagrama a la derecha)
discusión 13. Si θ= 40° β = 50° y la T1 es
de 80 N, calcular la masa que cuelga ___
T1
T2
P
θ
β
Objetivos conceptuales. Comprender los conceptos calor, temperatura, calor específico, calor latente, cambio de fase. Conocer
cómo se transmite el calor..
Objetivos procedimentales. Aplicar ecuaciones para calcular el calor necesario en diversos procesos.
Objetivos actitudinales. Apreciar la utilidad del calor en diversas situaciones.
Precisamente las quemaduras se producen por el contacto con moléculas en gran movimiento. Si las
moléculas están sin movimiento, se dice que estamos en el cero absoluto (aproximadamente -273
grados Kelvin) Esta temperatura es inalcanzable. La temperatura se mide en grados: centígrados o
Celsius (°C), Kelvin (°K), Fahrenheit (°F) o Rankin (°R).
La energía cinética junto con la energía potencial (relacionada con las posiciones de las moléculas de un
cuerpo) forman la energía interna de un cuerpo, que es la energía calórica.
Supongamos que agregamos una barra de hierro de 200 gramos a 100°C en 125 cm3 de agua a
10°C. ¿Qué ocurrirá? Habrá transferencia de calor desde el sistema caliente (hierro) al frío (agua)
Pasado algún tiempo se alcanzará el equilibrio térmico: ambos sistemas alcanzarán una misma
temperatura. Con el paso del tiempo, el sistema agua y el sistema hierro estarán en equilibrio térmico
con el aire. Es decir que tendrán la temperatura del aire. Con esto podremos comprender la ley cero de
la termodinámica. La ley cero de la termodinámica establece que si 2 sistemas están en equilibrio
térmico con un tercero, entonces estos 2 están en equilibrio térmico entre sí. (si c=a y b=a
entonces c=b)
La temperatura dilata los cuerpos. Si sometemos una varilla de metal al fuego se expandirá debido
al aumento de la energía cinética de las moléculas. Esta es la razón por la cual entre los segmentos de
líneas férreas (del tren) se deja un espacio vacío. Este espacio se cierra al subir la temperatura por efecto
del sol. De no hacerlo así, la línea se saldría de sus límites.
Desde luego que si elevamos hasta 200°C una lámina de 30 cm de aluminio, no se expandirá la misma
cantidad que una lámina de hierro o cobre de igual longitud. Es decir que la expansión depende del
material y, desde luego, de la temperatura. Esto es así porque cada material posee su propio coeficiente
de dilatación (que es una propiedad de los cuerpos) La ecuación para calcular la nueva longitud (L) que
tendrá una lámina de metal (de coeficiente de dilatación ) de longitud Lo después de someterla a cierto
cambio de temperatura (ΔT) es la siguiente:
Material (1/°C)
Porcelana 3X10-6
Acero 12X10-6
Oro 14X10-6
Cobre 17X10-6
Latón 18X10-6
Aluminio 24X10-6
Cinc 29X10-6
Vidrio 9X10-6
Calculemos calor. Supongamos que tenemos 2 recipientes con 125 mililitros de
agua a 20°C. Tenemos también 2 barras de metal de 100 gramos a 120°C, una de
hierro y la otra de aluminio. Si agregamos una barra en cada recipiente, la temperatura
que alcance el agua en un recipiente será diferente a la temperatura que alcance en el otro recipiente.
¿Por qué? Este fenómeno se debe a que el hierro y el aluminio tienen diferentes calores específicos. El
calor específico (C) es el calor necesario para elevar en un grado centígrado un gramo de sustancia. Se
expresa en calorías/(gramo-°C) Una caloría equivale a 4.18 julios. En el sistema cgs la unidad de energía
es el ergio.
Tabla de calores específicos de algunos materiales
L = Lo + Lo ΔT
Ejemplo 32. Una barra de aluminio tiene 90 cm de longitud a 30°C. Cuál será
su nueva longitud si se calienta hasta 340°C.
Solución. L = Lo + Lo ΔT = 90 + 24X10-6
(90)(340-30) = 90.6696
L = 90.6696 cm. La expansión fue de 0.6696 cm.
Actividad 32. Calcula la nueva longitud si la barra es de a. cobre
________ b. Latón ________ c. Cinc ________
Tabla de coeficientes
de dilatación ()
Interpretación del calor específico. Cuanto más elevado es el valor del
calor específico (C), la sustancia tarda más en calentarse. En la tabla, el agua
es la sustancia que más tardará en calentarse para una misma cantidad de
calor. En cambio el oro se calienta fácilmente. Con una caloría elevamos la
temperatura de un gramo de agua en 1°C. Para elevarla en 100°C
necesitamos 100 calorías. En cambio con 3 calorías elevamos la temperatura
de un gramo de oro en 100°C.
Sustancia C(cal/g-°C)
Aire 0.24
Aluminio 0.22
Alcohol 0.59
Oro 0.03
Hierro 0.11
Aceite ol. 0.47
Plata 0.06
Acero 0.12
Agua 1
Hielo 0.5
Ejemplo 33. Resolver cada caso. 1. 200 gramos de agua a 10°C se calientan hasta 60°C. Calcular la
cantidad de calor recibido 2. 200 gramos de alcohol a -10°C reciben 10 000 calorías. Calcular la
temperatura que alcanzará el alcohol. 3. Se agrega una barra de hierro de 400 gramos y a 100°C en 300
gramos de alcohol a 5°C. A qué temperatura llegará la mezcla.
Solución. 1. Apliquemos la ecuación: Q = mcΔT = 200(1)(60-10) = 10 000 Q = 10 000 cal.
2. Q = mcΔT = 200(0.59) (TF - Ti) = 118(TF - Ti) 10 000 = 118(TF - (-10)) = 118(TF + 1 0 ) =
10 000 =118TF + 1180 despejemos TF: TF = (10 000 - 1 180)/118 = 74.74°C
3. El hierro está caliente: perderá calor. El alcohol está frío: ganará calor. Lo que el hierro pierda, lo
ganará el alcohol. El calor perdido es negativo: Calor del hierro + calor del alcohol = cero. Además, al
final ambos cuerpos alcanzarán la misma temperatura: TFH = TFA = TF
400(0.11)( TF – TiH) + 300(0.59)( TF – TiA) = 0 44( TF – 100) + 177( TF – 5) = 0
44TF - 4400 + 177TF – 885 = 0 44TF + 177TF = 4400 + 885 = 5285
TF = 5285/(44 + 177) = 23.91 TF = 23.91°C.
Actividad 33. 1. 200 gramos de una sustancia a 10°C se calientan hasta 60°C. Calcular la cantidad de
calor recibido si la sustancia es a. Agua _______ b. Alcohol _______ c. Aceite _______ d. Aluminio _______ e. Hierro _______ f. Plata _______ g. Oro ______ 2. 200 gramos de acero reciben 9 600
calorías. Calcular la temperatura que alcanzará el acero si su temperatura inicial es de a. 50°C _______ b. 100°C _______ c. 150°C _______ 3. Se agrega una barra de metal de 500 gramos y a 200°C en 300
gramos de alcohol a 0°C. A qué temperatura llegará la mezcla si el metal es a. Oro _______ b. Plata _______ c. Hierro _______ d. Aluminio ________
Transmisión del calor. El calor se transmite de 3 formas: por conducción, por convección y por
radiación. En los fenómenos de calentamiento, casi siempre están presentes las 3 formas, pero suele
predominar una de ellos. En los sólidos, la única forma de transferencia de calor es la conducción. Por
ejemplo, al colocar una llama en el extremo de una barra de metal, pronto el calor se transmite por el
metal y se calienta toda la barra; esto es conducción. La convección se efectúa en líquidos y gases. Al
calentar una olla con agua, las moléculas que se calientan suben y calientan las moléculas frías de la
superficie. Tanto en la conducción como en la convección, las sustancias (moléculas) están en contacto.
Esto no ocurre en la radiación. Por ejemplo, el sol calienta la Tierra por radiación, y es sabido que entre la
Tierra y el Sol existe un espacio vacío. Todos los cuerpos arriba del cero absoluto emiten radiación.
El calor y los cambios de fase. Entenderemos por cambio de fase el cambio de estado que sufre la
materia: de sólido a líquido, de líquido a gas, de gas a líquido… Para producir estos cambios es necesario
aplicar calor o eliminar calor. Estos cambios reciben nombres particulares.
Q = mcΔT
Fusión. Es el paso de sólido a líquido. El punto de fusión (fundición) es la temperatura a la que ocurre
tal cambio, y es propio para cada sustancia. El hielo funde a 0°C, mientras que el hierro funde a 1535°C, y
el oro funde a 1064°C.
Solidificación. Es lo contrario: el paso de líquido a sólido. Evidentemente, el punto de solidificación es
el mismo que el de fusión. Si tenemos agua a 50°C y le bajamos la temperatura, al llegar a 0°C se
solidificará (congelará)
Vaporización. Es el paso de líquido a vapor. El punto de ebullición es la temperatura a la que ocurre el
cambio. El agua pasa al estado gaseoso a 100°C, mientras que el alcohol lo hace a 78°C y el cobre a
2567°C.
Licuefacción. Es el paso de gas a líquido. Evidentemente para que esto ocurra es necesario que el
cuerpo pierda calor.
Sublimación. La sublimación es el paso de un sólido al estado gaseoso sin pasar por el estado
líquido. Existen sólidos, como el yodo, que se subliman: pasan de sólido a gas sin pasar por el estado
líquido. El naftaleno y el yodoformo también subliman. La resublimación es el proceso contrario.
Calor latente. El calor latente es la energía térmica que una sustancia necesita para pasar de un
estado a otro. Este calor latente es utilizado nada más para el cambio de fase, de manera que la
temperatura no se altera. Por ejemplo, si tenemos hielo a 0°C, el calor latente suministrado servirá
únicamente para romper las fuerzas de atracción entre las moléculas del sólido, de manera que
conseguiremos agua (líquida) a 0°C. Si colocamos agua en el fuego (en una olla), llegará a 100°C y no
pasará de ahí, aunque le suministremos más y más calor. ¿Para qué sirve ese calor suministrado? Es el
calor latente que hace que el agua pase a vapor. Esta energía absorbida se libera cuando el agua se
condensa (pasa a líquido de nuevo) Existen calores latentes de sublimación, fusión y vaporización.
El calor latente se calcula mediante la ecuación QL = mL, siendo L el calor latente específico de la
sustancia, que es una constante, y puede ser de fusión, vaporización o sublimación.
Para el caso del agua se tiene que su calor latente de fusión (LF) es 80 cal/g. Y el calor latente de
vaporización (LV) es de 540 cal/g. (otros calores latentes: ver CD)
Ejemplo 34. Se tienen 200 gramos de agua a -20°C. Calcular el calor necesario para elevar su
temperatura hasta 75°C.
Solución. A -20°C el agua es hielo. Necesitamos calor para elevar su temperatura y el calor latente
para fundir el hielo. LF = 80 cal/g. Debemos considerar que el calor específico del hielo es 0.5 (no es
UNO) Por lo tanto calculemos el calor necesario de -20°C a 0°C, y de 0°C a 75°C.
El calor total es: QT = Q + QL. Calculemos QL.
QL = m(LF) = 200(80) = 16 000 QL = 16 000 calorías.
Q necesario de -20°C a 0°C: Q = mcΔT = 200(0.5)(0 -( -20)) = 2 000 Q = 2 000 cal.
Q necesario de 0°C a 75°C: Q = mcΔT = 200(1)(75 - 0) = 15 000 Q = 15 000 cal.
QT = Q + QL = (2 000 + 15 000 + 16 000) = 33 000 QT = 33 000 cal.
Actividad 34. 1. Se tienen 500 g de hielo a -30°C y se necesitan calentarlos hasta 90°C. Cuánto calor
se requiere ______ 2. Se tienen 500 g de hielo a -30°C y se necesitan evaporarlos. Cuánto calor se
requiere ______
6. Leyes más generales sobre la energía: termodinámica.
Primera ley de la termodinámica. La termodinámica es la parte de la física que describe y relaciona
las propiedades físicas de la materia de los sistemas macroscópicos (materia que se puede aislar), así
como sus intercambios energéticos. Un proceso termodinámico se da cuando un sistema macroscópico
pasa de un estado de equilibrio a otro.
La primera ley de la termodinámica, o ley de la conservación de la energía, afirma que la cantidad de
energía transferida a un sistema en forma de calor más la cantidad de energía transferida en forma de
trabajo debe ser igual al aumento de la energía interna del sistema. Si la energía interna disminuye, el
sistema pierde energía; y si aumenta, el sistema gana energía. El calor y el trabajo son mecanismos por
los que los sistemas intercambian energía entre sí.
Toda máquina requiere cierta cantidad de energía para producir trabajo. No es posible que una máquina
realice trabajo sin necesidad de energía. Una máquina hipotética de estas características se denomina
móvil perpetuo de primera especie. La ley de conservación de la energía descarta que se pueda
inventar una máquina así. A veces, la primera ley se enuncia como la imposibilidad de la existencia de un
móvil perpetuo de primera especie.
Segunda ley de la termodinámica. Esta ley define una propiedad llamada entropía. La entropía se
puede considerar como una medida de lo próximo o lejano que se halla un sistema al equilibrio. También
es una medida del desorden (espacial y térmico) de un sistema. La segunda ley afirma que este desorden
en un sistema aislado nunca puede decrecer. Por tanto, cuando un sistema aislado alcanza una
configuración de máxima entropía, ya no puede experimentar cambios: ha alcanzado el equilibrio. Esta
segunda ley implica que, si no se realiza trabajo, es imposible transferir calor desde una región de
temperatura más baja a una región de temperatura más alta.
Violar esta segunda ley es crear un móvil perpetuo de segunda especie, que podría obtener energía
continuamente de un entorno frío para realizar trabajo en un entorno caliente sin coste alguno. A veces
esta ley se formula como una afirmación que descarta la existencia de un móvil perpetuo de segunda
especie.