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UUnniiddaadd 22

SSSIIISSSMMMOOOLLLOOOGGGÍÍÍAAA OOOBBBSSSEEERRRVVVAAACCCIIIOOONNNAAALLL YYY PPPRRROOOSSSPPPEEECCCTTTIIIVVVAAA

GGeenneerraalliiddaaddeess.. EEssttrruuccttuurraa IInntteerrnnaa DDee LLaa TTiieerrrraa.. PPrrooppiieeddaaddeess EElláássttiiccaass DDee LLaass RRooccaass.. OOnnddaass:: RReepprreesseennttaacciióónn GGrrááffiiccaa YY EEccuuaacciióónn DDee OOnnddaa.. TTiippooss DDee OOnnddaass..

PPrriinncciippiiooss YY LLeeyyeess DDee TTrraannssmmiissiióónn DDee OOnnddaass.. OOnnddaass RReefflleejjaaddaass,, TTrraannssmmiittiiddaass YY RReeffrraaccttaaddaass ((LLeeyyeess DDee SSnneellll))..

Universidad Nacional de Salta

FAFAFAFACULTAD DE CIENCIAS NATURALESCULTAD DE CIENCIAS NATURALESCULTAD DE CIENCIAS NATURALESCULTAD DE CIENCIAS NATURALES Escuela de Geología

CATEDRA DE GEOFISICA Unidad 2

NESTOR VITULLI Geólogo

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21

ÍÍNNDDIICCEE

Sismología Observacional Y Prospectiva……………………………………………………………….. 23

Sismología Observacional……………………………………………………………………….. 23

Sismología Prospectiva…………………………………………………………………………... 24

Propiedades Elásticas De Las Rocas…………………………………………………………………… 25

Cuerpos Elásticos……………………………………………………………………………….. 25

Tensiones………………………………………………………………………………………... 26

Tipos de tensiones………………………………………………………………………... 26

Deformaciones………………………………………………………………………………….. 26

Deformación específica…………………………………………………………………... 26

Relación De Poisson…………………………………………………………………………….. 27

Módulo De Young………………………………………………………………………………. 27

Trabajo De Deformación………………………………………………………………………... 28

Ondas: Representación Gráfica Y Ecuación De Onda…………………………………………………. 29

Propagación De Perturbaciones…………………………………………………………………. 29

Representación Gráfica De Ondas………………………………………………………………. 29

y en función de x………………………………………………………………………… 29

y en función de t…………………………………………………………………………. 30

Ecuación De Onda……………………………………………………………………………… 31

Tipos De Ondas………………………………………………………………………………………... 33

Ondas Longitudinales (P)……………………………………………………………………….. 33

Ondas Transversales (S)………………………………………………………………………… 33

Ondas Superficiales…………………………………………………………………………….... 34

Ondas de Rayleigh (L)……………………………………………………………………. 34

Ondas de Love (G)……………………………………………………………………….. 35

Ondas de Stoneley………………………………………………………………………... 35

Principios Y Leyes De Transmisión De Ondas………………………………………………………… 35

Velocidad De Las Ondas Elásticas………………………………………………………………. 35

Principio De Huygens.…...……………………………………………………………………… 36

Principio de Fermat.……..……………………………………………………………………… 37

Ondas Reflejadas, Transmitida Y Refractadas (Leyes De Snell)………………….……………………... 37

Caso De Reflexión.……………………………………………………………………………… 37

Caso De Refracción O Transmisión…………………………………………………………….. 39

Inversión De Velocidad…………………………………………………………………………. 40

Caso De Varios Medios.………………………………………………………………………… 41

Emergencia De La Perturbación Incidente Con Ángulo Crítico.………………………………… 42

Sismología De Reflexión Y Refracción………………………………………..………………… 44

Valores Típicos De Magnitudes Elásticas De Rocas…………………………………………….. 45





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SSIISSMMOOLLOOGGÍÍAA OOBBSSEERRVVAACCIIOONNAALL YY PPRROOSSPPEECCTTIIVVAA

Una de las ramas mas desarrolladas de la Geofísica es la Sismología que, como se dijo anteriormente, trata de las perturbaciones elásticas, su génesis y su propagación.

La causa de los terremotos constituyó el principal enfoque en los comienzos de esta disciplina a fin de prevenir, en lo posible, sus efectos, pero el avance del conocimiento en este sentido no alcanzó el alto grado que se logró en tratar que sus efectos no fueran tan desastrosos para los conjuntos humanos alcanzados por las sacudidas sísmicas.

A la sismología la podemos subdividir en dos grandes ramas: la Sismología Observacional que estudia los sismos naturales (terremotos) y todo lo relacionado a los mismos; y la Sismología Prospectiva que es utilizada principalmente para la prospección de hidrocarburos, agua y minerales. Esta hace uso de sismos provocados artificialmente

SSiissmmoollooggííaa OObbsseerrvvaacciioonnaall

Hace uso de datos obtenidos por medio de redes mundiales de estaciones sismológicas que cuentan con aparatos especiales para inscribir y medir en sus tres componentes el movimiento del suelo provocado por una sacudida sísmica (sismómetros).

Si bien el objetivo inicial de la sismología observacional fue el de prever los sismos de manera de tomar los recaudos necesarios, los avances en ese sentido han sido lentos y recién últimamente se han obtenido resultados significativos. En cambio, la observación sistemática de los sismos naturales, permitió determinar zonas de alta sismicidad y zonas estables y un análisis detallado de estos datos es importante para ir redactando en un país los códigos de edificación, a los que deben ajustarse las construcciones por razones de seguridad. Pero aparte de lo anterior y del desarrollo obtenido en las fundamentaciones analíticas de los fenómenos involucrados en la generación y propagación de las ondas elásticas, una de las mas grandes contribuciones de la sismología al conocimiento de nuestro planeta es el haber señalado algunas características elásticas de la materia que integra el interior de la Tierra, así como también, aspectos físicos sobre el estado de este material.

La sismología ha señalado dos grandes discontinuidades elásticas en el interior de la Tierra, las que toman en la actualidad como separación o límites de tres grandes unidades: corteza, manto y núcleo.

Como su nombre lo indica, la corteza es la “cáscara” exterior de la Tierra y se la admite separada del manto por la discontinuidad de Mohorovicic. Su espesor es variable, alcanzando un valor máximo debajo de las grandes cadenas montañosas de alrededor de 50 Km, toma un espesor de 25 a 30 Km debajo de los continentes y se adelgaza marcadamente debajo de los extensos fondos oceánicos donde puede tomar un valor mínimo de hasta 5 Km. En cierto modo, el relieve de la base de la corteza es inverso al relieve superficial de la parte sólida de nuestro planeta. Cabe agregar también, que la corteza es del interior de la Tierra, la porción más heterogénea en cuanto a las características elásticas.

El manto es la porción del interior de La Tierra comprendida entre la discontinuidad de Mohorovicic y otra marcada discontinuidad mucho mas profunda que se conoce como discontinuidad de Gutemberg, en homenaje al primero que la señalara concretamente. La base del manto se ubica a 2.900 Km desde la superficie de La Tierra, y su estado físico se asemeja a lo que conocemos como viscoso, debido a las condiciones de presión y temperatura, como así también a otros fenómenos vinculados a la transmisión de ondas sísmicas y a la profundidad de los focos de los terremotos.

El manto presenta, según estudiaremos en la propagación de las ondas sísmicas, discontinuidades menores, llamadas de segundo orden, que implican variaciones de velocidad de propagación de las ondas elásticas pero sin saltos bruscos. En toda esta porción del interior de la tierra se reconocen la transmisión de las llamadas ondas de cuerpo, longitudinales y transversales.

Figura 2.1 – Principales discontinuidades del

interior de La Tierra.





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Desde la gran discontinuidad de Gutemberg y hasta el centro de la tierra, se extiende la porción llamada núcleo, de unos 3.500 Km de radio. La sismología ha puesto en evidencia que en esta parte del planeta la onda longitudinal sufre un descenso brusco en su velocidad de propagación, pasando de unos 13.000 m/seg a sólo unos 8.000 m/seg; también se ha verificado que su estado se asemeja al de un líquido ya que no se han podido reconocer, hasta el presente, ninguna onda transversal que hubiera viajado por ese medio, denominado núcleo externo. Además, hay elementos de juicio que conducen a sospechar que el núcleo no es homogéneo y que la porción más interna, de unos 1.300 Km de radio, llamada núcleo interno, tendría características parecidas a las de un sólido.

Otro de los aportes fundamentales de la sismología observacional al conocimiento de nuestro planeta es en lo que respecta a la teoría de la Tectónica de Placas, desplazamientos diferenciales de las rocas de la corteza inducidos por los movimientos convectivos del material del manto, que ha dado una fundamentación a la teoría de la migración de los continentes, originalmente postulada por Wegener.

SSiissmmoollooggííaa PPrroossppeeccttiivvaa

Esta importante rama de la sismología es utilizada principalmente para la exploración petrolera y su principal característica distintiva respecto a la sismología observacional, es que estudia ondas elásticas no originadas en sismos naturales, sino en sismos artificiales producidos por ejemplo por una carga de dinamita.

Métodos sismográficos basados en sismos artificiales son también usados para el estudio de fundaciones de diques, puentes, gasoductos, etc., y en áreas cubiertas por aguas someras, haciendo uso de fuentes especiales de energía (cañones de aire), son usados para la fundación de puertos, tendidos de cañerías o asentamientos de plataformas de perforación. Aunque las últimas no son tareas estrictamente prospectivas pueden ser consideradas dentro de la “sismología prospectiva” dándole a esta denominación un sentido lato.

Figura 2.2 – Estructura interna de La Tierra.

Figura 2.3 – El núcleo superior se lo interpreta líquido por lo que no se propagan las ondas S

(ondas de corte como veremos mas adelante).





25

Figura 2.4 – Deformación en cuerpos elásticos.

Figura 2.5 – Deformación en los fluidos.

PPrrooppiieeddaaddeess EElláássttiiccaass DDee LLaass RRooccaass

Las ondas sísmicas son ondas elásticas y para poder abordar su estudio se dan a continuación algunos conceptos generales que, si bien se descuenta son de conocimiento de todos, se estima necesario repetir para continuidad del planteamiento del problema. Además, para ubicarnos en el campo de la sismología prospectiva, se va a repasar una serie de conceptos, algunos de ellos de corte geológico y otros que hacen a la faz operativa del método.

CCuueerrppooss EElláássttiiccooss

Tomemos un cubo metálico y tratemos de producir en sus partículas un movimiento laminar del tipo mostrado en el dibujo, mediante la aplicación de oportunos esfuerzos tangenciales; el movimiento efectivamente se produce durante un intervalo de tiempo muy breve, pero constatamos luego que si no aumentamos el esfuerzo, al cabo de un rato el cuerpo vuelve al reposo, habiéndose deformado hasta asumir el aspecto de un paralelepípedo oblicuo, y quedando en la configuración deformada mientras no quitemos el esfuerzo. Pero al quitarlo, el cuerpo vuelve a su forma cúbica primitiva.

De ahí se infiere que, estando el cuerpo en reposo en una configuración deformada, eran latentes en él esfuerzos tangenciales capaces de equilibrar el esfuerzo tangencial aplicado desde el exterior y de engendrar el movimiento de retorno al desaparecer aquél. En este caso, los esfuerzos no dependen del movimiento (o sea de un desplazamiento en el tiempo, para el cual se hablaría de velocidades), sino de desplazamientos en sí, y volvemos a repetirlo, pueden haber esfuerzos tangenciales en condiciones de reposo. Este es el caso de los cuerpos elásticos.

Hagamos ahora una experiencia parecida con un líquido; para hacer cómodamente la prueba, vertamos el líquido en un recipiente limitado por dos cilindros coaxiales y, manteniendo en reposo uno de ellos, apliquemos un movimiento al otro como para imprimirle una rotación. Por pequeño que sea dicho momento vemos que la rotación se produce y el líquido también se pone en movimiento (se trata de un movimiento laminar, en el cual ahora son láminas cilíndricas las que se deslizan una sobre otra). Pero en este caso el movimiento sigue mientras no se quite el momento; y si lo quitamos, el líquido se pone en reposo pero no alcanza ni tiende a alcanzar la configuración original. En este caso, los esfuerzos están relacionados con el movimiento y no existen esfuerzos tangenciales en condiciones de reposo. Este es el caso de los fluidos en general.





26

Figura 2.7 – Tipos de tensiones.

TTeennssiioonneess

Si sobre una barra de hierro aplicamos a ambos extremos una fuerza F; siempre que ésta sea menor que la necesaria para romperla, generará en el interior del cuerpo un estado que contrarresta la acción de la fuerza externa en base a la cohesión de sus moléculas. La relación entre la fuerza externa y la sección de la barra de hierro, normal a la dirección de la fuerza, se denomina fuerza específica o tensión, con unidades expresadas en Kg/cm2, si la fuerza se da en kilogramos y la superficie en centímetros cuadrados.

Tipos de tensiones. Si consideramos un cubo de un material cualquiera, observamos que sobre cada una de sus caras pueden existir fuerzas cuyas rectas de acción pueden ser normales a las caras del cubo o estar contenidas en dichas caras. Así la cara ABCD del cubo de la figura soporta la acción de una fuerza σzz que actúa normalmente a esa cara, vale decir, es una fuerza que actúa en la dirección del eje z y en la cara normal al eje z. Pero como se ve en la figura, también actúan las fuerzas que llamaremos σxz y σyz las que tienen rectas de acción contenidas en la cara normal al eje z.

La primera, que llamaremos σzz , recibe el nombre de tensión normal, en tanto las otras dos σxz y σyz, reciben el nombre de tensiones tangenciales por actuar tangencialmente a las caras del cuerpo. Como se observa en la figura, cada cuerpo puede estar sometido a tres tensiones normales y seis tangenciales que son denominadas σxx, σyy, σzz; y σxy, σxz, σyx, σyz, σzx, y σzy respectivamente.

Las tensiones normales pueden ser de tracción o compresión; a las primeras se las considera positivas y negativas a las segundas.

DDeeffoorrmmaacciioonneess

Un cuerpo elástico sometido a la acción de una fuerza se deforma de modo tal que si la fuerza es de tracción, se alarga en el sentido de acción de la fuerza y se estrecha en el sentido normal a la acción. En cambio si la fuerza fuese de compresión las deformaciones serán al revés de lo dicho. En otras palabras, si las longitudes iniciales de las aristas fueran lx, ly, lz, y la fuerza F actúa en la dirección del eje x, por acción de ésta el cuerpo se alargará en ∆lx, en la dirección de F, o sea en la dirección del eje x, y se acortará ∆ly y ∆lz en las direcciones normales al eje x.

Deformación específica. Se llama así a la relación entre la deformación que sufre una arista y longitud primitiva de dicha arista, se la designa normalmente con la letra ε, recibiendo el nombre de longitudinal o transversal según sea en el sentido o normalmente a la dirección de la fuerza. Así:

εεεεx x

x

ll

==== ∆∆∆∆

εεεεy y

y

ll

==== ∆∆∆∆ εεεεz z

z

ll

==== ∆∆∆∆

Figura 2.8 – Deformación en un cuerpo elástico sometido a una fuerza F.

Figura 2.6 – Barra de hierro con una tensión F aplicada

sobre una sección A, en un lado de la misma.





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Figura 2.10 – Curva de relación tensión versus deformación.

RReellaacciióónn DDee PPooiissssoonn

Experimentalmente se ha comprobado que el alargamiento axial viene acompañado de una contracción lateral de la barra, y que la siguiente relación es constante para una barra dada, entre los límites elásticos:

contracción lateral unitaria

alargamiento axial unitario

Esta constante se representa por la letra σ (algunos autores por ω, letra que reservaremos para designar a la velocidad angular) y se denomina coeficiente o relación de Poissón, en honor al matemático francés que determinó

esta relación de modo analítico usando la teoría molecular como hipótesis de constitución de los materiales.

MMóódduulloo DDee YYoouunngg

Sea el caso común de la barra de hierro, o de cualquier otro material, que es sometida a una fuerza de tracción F, siendo S la sección de la barra medida sobre el plano normal a la dirección de aplicación de la fuerza.

La barra, de longitud primitiva l, se alarga en una cantidad ∆l. Aquí la fuerza específica o tensión será:

σσσσ ==== FS

La deformación específica será:

εεεε ==== ∆∆∆∆ll

Si someternos a la barra a distintas tensiones, sufrirá deformaciones distintas. Si representamos este hecho físico sobre un sistema de ejes ortogonales se verá que al aumentar la tensión aumenta correlativamente la deformación específica hasta llegar a una tensión límite, para ese material, bajo la cual se rompe.

La curva que relaciona σ con ε es continua y distinta para cada material y en algunos casos presenta, para las tensiones menores, una relación lineal entre σ con ε de modo que:

εσ=E

E es conocida como módulo de proporcionalidad o módulo de Young.

La ley de proporcionalidad es conocida cono la ley de Hooke y es válida para una parte de la curva de deformación. La tensión máxima se denomina tensión máxima de proporcionalidad o límite de elasticidad. Dicho límite es la tensión máxima que un cuerpo soportará para comportarse como perfectamente elástico, significando que en esta región, una vez desaparecida la fuerza, la deformación se hará cero.

σ εε

εε= =− −y

x

z

x

Figura 2.9 – Deformación en una barra de hierro sometido a una

fuerza de tensión F.





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Figura 2.11 – Deformación residual.

Si la tensión específica supera el valor de la tensión máxima de elasticidad, el cuerpo no se recobrará totalmente de su deformación específica y al desaparecer la tensión, se registrará una deformación residual como lo indica la figura de la derecha.

Si se invierte el sentido de la tensión, se necesitaría una nueva tensión para alcanzar un valor ε = 0 o sea volver el cuerpo a sus dimensiones primitivas, pasada la cual el cuerpo volverá a deformarse, pero ahora en sentido contrario.

Si se aumenta esa tensión entraremos nuevamente en la región de las deformaciones permanentes, repitiéndose una deformación residual de signo contrario, al desaparecer la tensión.

Siguiendo cíclicamente este proceso de inversión de tensiones obtendremos una curva denominada curva de histéresis elástica, curva que es distinta para cada material en cuestión debido a que la tensión máxima elástica, generalmente es muy distinta para el caso de esfuerzos de tracción o de comprensión, sobre todo en el caso de rocas o sedimentos.

Por ello, la curva de histéresis elástica dependerá de las tensiones y de las tensiones máximas que se hubieren aplicado al material encerrando en función de ello un área tanto mayor cuanto mayor hubiera sido la tensión máxima aplicada.

TTrraabbaajjoo DDee DDeeffoorrmmaacciióónn

Si observamos nuevamente la curva de relación tensiones-deformaciones, y considerando un estado de tensión, corresponderá a él una deformación. Si se varía ligeramente la tensión la deformación variará en un valor dε y la superficie determinada bajo la curva expresa el trabajo realizado. Si la tensión σ no supera la tensión máxima de proporcionalidad, estaremos en el dominio de la ley de Hooke (σ = E . ε), por lo tanto la expresión del trabajo elástico será:

εεεσ dEddT ⋅⋅=⋅=

El trabajo total de deformación elástica, hasta una tensión menor o igual a la tensión máxima de proporcionalidad, a la que corresponde un valor ε mp, será:

EdEdTTmp

mp mp

•=∫ ∫== 2

21.

0 0εεε

ε ε

También:

E

mp

EddEdTT

mpmp mp σσσε

σσ σ

σ2

21.

1.

00 0== ∫∫ ∫==

ya que σ y ε son proporcionales. Este trabajo es almacenado por el cuerpo en forma de energía potencial, de

modo que al retirarse la tensión restablece las dimensiones primitivas del cuerpo y el balance final entre el trabajo de la fuerza externa, que produce la deformación, y la interna que lo hace recobrarse, es nulo.

Figura 2.13 – Trabajo de deformación.

Figura 2.12 – Curva de histéresis elástica.





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Si la fuerza externa provoca tensiones superiores al del valor máximo elástico, dijimos que al desaparecer la fuerza externa solo se recobra en parte y la curva de deformación de la fuerza externa no coincide con la que recobró del cuerpo, quedando entre ambas una superficie que es la expresión del trabajo absorbido por el cuerpo en forma de trabajo de deformación permanente.

OOnnddaass:: RReepprreesseennttaacciióónn GGrrááffiiccaa YY EEccuuaacciióónn DDee OOnnddaa

PPrrooppaaggaacciióónn DDee PPeerrttuurrbbaacciioonneess

Si provocamos una perturbación (golpe, frotamiento, vibración, etc.) en un extremo de un sólido, estamos agitando las moléculas de lo que está constituido. Como cada molécula está íntimamente ligada a las vecinas, esa perturbación se propaga llegando al otro extremo del sólido. Llamamos onda progresiva a esa propagación de una perturbación. No consideramos en nuestro análisis las ondas estacionarias por lo que adelante cuando digamos ondas estaremos refiriéndonos a ondas progresivas exclusivamente.

Aquí debemos puntualizar que no es la materia la que se propaga, sino que es la perturbación que se encuentra en la materia: estamos ante el movimiento de un movimiento. A esta idea Leonardo da Vinci, en el siglo XVI, la expreso diciendo que “los ímpetus son mas rápidos que el agua, pues a menudo sucede que las ondas escapan de donde han sido creadas mientras que el agua permanece allí. Sucede igual que las ondas generadas por el viento en un campo sembrado de lino, vemos a las ondas viajando a través del campo, en tanto las plantas de lino quedan en su lugar”.

Antes que preguntar que son las ondas, lo que nos llevaría a un callejón sin salida ya que no son ni el agua, ni el lino, ni el aire, debemos preguntar que podemos decir acerca de ellas. Reconocemos en las ondas una suerte de comportamiento que puede ser descrito matemáticamente en términos sencillos y, además, pueden ser muchos los sistemas físicos en los que esta descripción puede ser realizada. Una vez que nos damos cuenta en un cierto fenómeno que estamos tratando con ondas podemos afirmar y predecir mucho más acerca de dicho fenómeno, aunque no entendamos claramente el mecanismo por el cual las ondas fueran generadas y transmitidas.

Con dos ejemplos introduciremos las nociones de onda longitudinal y onda transversal:

a. Tomamos una barra de acero y la golpeamos en el sentido de su eje. Un péndulo en contacto con la barra en el otro extremo nos dirá al moverse que la perturbación ha llegado hasta allí. Aquí los desplazamientos provocados por la perturbación en la barra tienen la misma dirección que la de propagación: se la llama onda longitudinal.

b. A una cuerda tensa suficientemente larga, la pellizcamos en un punto, esto es la apartamos de su posición de equilibrio en forma transversal a la dirección en que se encuentra. Hallamos que la perturbación provoca desplazamientos perpendiculares a la dirección de propagación: estamos ante una onda transversal.

RReepprreesseennttaacciióónn GGrrááffiiccaa DDee OOnnddaass

Dada una fuente de perturbación en un medio elástico, debemos hallar el desplazamiento respecto a su posición de equilibrio, en un cierto tiempo t de un punto situado a la distancia x de la fuente.

Ante la presencia de tres variables:

x = distancia y = desplazamiento t = tiempo

Podemos hacer dos gráficos para representar este movimiento:

a. y como función de x con t como parámetro fijo. b. y como función de t con x como parámetro fijo

y en función de x. Este caso implica tomar una instantánea, es decir obtener la posición de todos los puntos alcanzados por la onda en un cierto momento t = t0. Si suponemos que cada partícula efectúa un movimiento armónico simple, entonces en el instante t la partícula P, situada a la distancia x de la fuente, tendrá un desplazamiento y respecto a la posición de equilibrio (eje x).

En ondas longitudinales se suele adoptar la convención de representar positivos para las compresiones y negativos para las dilataciones; en tanto en ondas transversales la elección de una convención es arbitraria.

Una fotografía en un instante inmediato posterior nos daría una sinusoide corrida respecto a la anterior. La distancia entre dos puntos consecutivos en fase (igual posición según y, por ejemplo dos crestas o dos valles, e igual sentido de recorrido del movimiento) se denomina longitud de onda λ.





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Figura 2.15 – Representación de y en función de t,

con x como parámetro fijo.

Figura 2.14 – Representación de y en función de x,

con t como parámetro fijo.

La inversa a la longitud de onda se la denomina frecuencia espacial K, la cual representa la cantidad de longitudes de onda que entran en una unidad de distancia (metro).

λ1

K =

Se utiliza también número de onda k que está relacionado con λ y con K de la siguiente manera:

Kk πλπ

22

==

El valor de k es el número de longitudes de onda que hay en 2H radianes por unidad de tiempo o distancia.

y en función de t. Consiste en hacer la grafica de la variación en el tiempo del movimiento generado por la perturbación en un punto fijo x0. De este modo obtenemos el siguiente gráfico:

Definimos al valor de t entre dos instantes consecutivos en fase como el periodo T de la perturbación. La frecuencia temporal f viene dada por:

T

1=f

La frecuencia angular ω se define:

f2T

2π

πϖ ==

Para ejemplificar el significado de los parámetros de la ecuación consideremos una rueda que gira n veces en un segundo. Cada rotación de 360º (2H radianes) representa un ciclo, o sea un rayo de la rueda que tomemos como referencia tendrá una frecuencia temporal de n ciclos o revoluciones por segundo (que equivale en unidades a n Hertz). Similarmente tendrá una frecuencia angular de 2H n radianes por segundo.





31

Figura 2.16 – Impulso ε

aplicado sobre el punto O.

EEccuuaacciióónn DDee OOnnddaa

Al aplicar una fuerza externa sobre un cuerpo de manera que ésta no supere el límite elástico y, además, que dicha fuerza deje de actuar bruscamente, el cuerpo quedará sometido a la sola acción del trabajo acumulado como energía de deformación elástica, que toma así el carácter de una energía potencial que trata de llevarlo a su estado primitivo. Esta energía potencial se transforma en energía cinética cuando una partícula del cuerpo alcanzo su primitiva posición de equilibrio esta energía provoca una nueva deformación haciéndolo pasar de la posición de equilibrio, y como un péndulo, la energía cinética se transforma en energía potencial de deformación elástica para luego revertir el proceso. Luego vemos, intuitivamente, que la aplicación brusca de una tensión provoca en los cuerpos elásticos vibraciones.

Este fenómeno se puede establecer también analíticamente; consideremos un cuerpo y supongamos que en un punto material aplicamos una tensión σ que comienza y termina bruscamente, o sea un impulso. Dicha tensión provocará una deformación ε. Esto ocurrirá con todos los puntos equidistantes de O, sobre el que se aplicó el impulso. El punto B, alcanzado por la perturbación del cuerpo pasará a B' , distante de B en ε; si la distancia OB es unitaria y la tensión σ es menor que la tensión máxima de proporcionalidad, la tensión en B podrá expresarse como:

εσ ⋅= E

La dinámica (segunda ley de Newton) dice que esa acción provocará una reacción igual y contraria dada por el producto de la masa por la aceleración que esa fuerza provoca a la partícula en B. Es decir que hay una reacción elástica que equilibra exactamente a la fuerza aplicada (recordemos que la aceleración es la derivada segunda del desplazamiento con respecto al tiempo).

02

2

=⋅+⋅ εεδ

Edt

m

Si consideramos que el cuerpo tiene una densidad ρρρρ y tomamos un volumen unitario se tiene m = ρρρρ (se considera en consecuencia que ρρρρ tiene unidades de masa) por lo tanto:

02

2

=⋅+⋅ εεδ

ρ Edt

Y si dividimos ambos miembros por ρρρρ :

02

2

=⋅+ ερ

εδ E

dt

Si tenemos que ω2 = E/ρρρρ , será entonces:

02

2

2

=⋅+ εωεδ

dt

Resolver esta ecuación diferencial homogénea “es encontrar que relación hay entre la deformación ε de la partícula y el tiempo t (o sea conocer el movimiento de la partícula). A esto se denomina ecuación del movimiento de un oscilador armónico simple.

Para ser solución de esta ecuación diferencial “una función y su derivada deben tener la misma forma”, como son las funciones senos y cosenos o una combinación lineal de ambas. Por lo tanto, el desplazamiento puede ser representado como:

tsenC ωε ⋅= 1 ; tC ωε cos2 ⋅= ;





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Entonces:

tCtsenC ωωε cos21 ⋅+⋅=

Si atendemos a las condiciones de nuestro problema, que la tensión σ sacó a la partícula del punto B y la llevó al B' provocando una elongación ε = A; y contamos los tiempos desde que la partícula esta en B', vale decir para ese instante se considera t = 0, la velocidad de la partícula es cero ya que alcanzó el desplazamiento máximo.

En suma, para t = 0:

221 0cos0 CCsenCA =⋅⋅+⋅⋅== ωωε

La velocidad:

tCtsenCdt

dv ωωωω

εcos21 ⋅⋅+⋅⋅==

Como para t = 0 es v = 0, se tiene:

00cos0 21 senCCv ωω +==

En consecuencia C1 = 0. La solución se reduce, para las condiciones iniciales señaladas, a:

tA ωε cos⋅=

Esta expresión no representa la solución para un sistema físico real pues no se amortigua con el tiempo. La velocidad angular ω recordemos que es la relación entre el arco 2H y el tiempo T que tarda en describirlo

(período de oscilación), por lo tanto tendremos:

ρπ

ωE

T==

2 , ya que

2ωρ=

E

Y como la frecuencia de oscilación f es igual a 1/T, obtenemos la primera ley general:

fE

T=⋅=

ρπ211

Las oscilaciones libres de un cuerpo elástico o su frecuencia de oscilación propia, son una función de su módulo elástico y de su densidad (no dependen ni de la velocidad, ni amplitud de propagación).

Por ejemplo, las oscilaciones libres del acero son de mayor frecuencia que las de las rocas, y estas a su vez, mucho más altas que las de sedimentos sin consolidar, así:

E acero = 2 x 106 > E roca = 105 > E sedimento = 5 x 104

Aunque

ρρρρ acero = 8 > ρρρρ roca = 2,6 > ρρρρ sedimento = 2,2





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Figura 2.17 – Esquema de propagación de ondas longitudinales.

Figura 2.18 – Esquema de propagación de ondas transversales.

TTiippooss DDee OOnnddaass

Lord Rayleigh fue el primero que estudió analíticamente la propagación y naturaleza de las ondas generadas por una perturbación sobre un cuerpo sólido, a fines del siglo pasado. Si el sólido es semiinfinito, vale decir, tiene una superficie límite, demostró que se generan tres tipos de ondas elásticas: longitudinales, transversales y superficiales.

Tanto las ondas longitudinales como las transversales pueden generarse y transmitirse en el interior de los materiales por eso también se las conoce como ondas de cuerpo; mientras que las superficiales solo se transmiten en la superficie o en límite entre dos cuerpos.

OOnnddaass LLoonnggiittuuddiinnaalleess ((PP))

Se denominan así, aquellas que propagándose por el interior del cuerpo provocan la oscilación de las partículas del mismo con una dirección coincidente con la de propagación de la perturbación. Esta onda es la que se propaga con mayor velocidad en el cuerpo y obedece a las tensiones normales que la perturbación desarrolla en el mismo. Se las denomina P indicado que son las primeras en arribar por su velocidad.

αρµλ=

+=

2Pv

αααα = vP = velocidad de la onda longitudinal λλλλ y µµµµ = constantes de Lamé ρρρρ = densidad del medio

En la figura siguiente se ve la deformación de un bloque de material debido a una perturbación compresional. Se denomina cresta a la región de máxima compresión. A medida que la onda pasa a través del bloque, toda pequeña porción de material tal como la marcada en negro sufre sacudidas hacia atrás y hacia adelante, experimentando alternativas compresiones y expansiones. El volumen y la forma de la región marcada, van cambiando a medida que la onda pasa.

Este tipo de ondas es la que comúnmente se usa en Sismología Prospectiva ya que los eventos por ellas producidos pueden ser marcados con más claridad en los registros sísmicos y además porque normalmente existe una mayor riqueza de este tipo de ondas (una mayor energía).

OOnnddaass TTrraannssvveerrssaalleess ((SS))

Estas ondas se originan en los cuerpos sólidos debido a la aptitud de éstos de soportar tensiones de corte o de cizallamiento. Como los cuerpos líquidos o gaseosos son incapaces de soportar esfuerzos de corte, no podrán en ninguna circunstancia transmitir este tipo de ondas, siendo esta cualidad aprovechada para determinar el carácter físico del medio transmisor de ondas elásticas.

βρµ==Sv

ββββ = vS = velocidad de la onda transversal µµµµ = constante de Lamé ρρρρ = densidad del medio





34

Figura 2.19 – Ondas Rayleigh. Si la perturbación se produce en la superficie del

cuerpo (A), inmediatamente se inicia el viaje de la onda superficial. Si la perturbación se produce en el interior del cuerpo (B), esta se proyecta hasta la

superficie (G) y luego se transmite como onda superficial.

Figura 2.20 – Esquema de propagación de las ondas superficiales Rayleigh.

La velocidad de propagación de la onda transversal es menor que la de la onda longitudinal y veremos que cuando la relación de Poissón es de ¼ resulta:

β== PS vv3

1

Las ondas transversales provocan una oscilación de la partícula que es normal a la dirección de propagación; por lo tanto, la dirección de propagación y la de oscilación determinan un plano que se denomina plano de polarización de la onda transversal. En los casos reales dicho plano puede ser cualquiera de los infinitos planos que contienen a la dirección de propagación de la onda.

En la figura siguiente se muestra sucesivas etapas de deformación de un bloque de material al paso de una onda de corte. Las crestas de la onda pasa a través del bloque a medida que los planos verticales del material se mueven hacia arriba y hacia abajo. En la configuración vemos que no se ha completado todo el paso de la deformación por el material, quedando a la derecha material sin deformarse. La deformación de cualquier área sobre la cara es simplemente una distorsión. Los “cubitos” solo cambian su forma pero no su volumen.

La distancia entre dos puntos consecutivos en fase (por ejemplo entre dos crestas o entre dos valles o en la figura entre A y A’) se denomina longitud de onda y se la simboliza λ.

OOnnddaass SSuuppeerrffiicciiaalleess

Como su nombre lo indica, son aquellas perturbaciones que se transmiten en la superficie libre de los cuerpos. Existen distintas ondas superficiales:

a. Ondas de Rayleigh. b. Ondas de Love. c. Ondas de Stoneley.

Ondas de Rayleigh (L). Son ondas superficiales que viajan como ondulaciones similares a aquellas encontradas en la superficie del agua. La existencia de estas ondas fue predicha por John William Strutt.

Si la perturbación se produce en la superficie libre del cuerpo sólido, esta onda nace desde el mismo punto; si en cambio la perturbación se produce en el interior del cuerpo sólido, la onda se origina a una cierta distancia del punto de proyección, sobre la superficie, correspondiente al punto de perturbación, como se indica en la Figura 2.19.

La onda de Rayleigh impone a la partícula una oscilación elíptica y retrograda, en un plano determinado por la dirección de propagación y la normal a la superficie libre del sólido. Esta elipse, a medida que nos ubicamos mas profundamente, se va aplastando hasta que a una cierta profundidad degenera en un segmento y a partir de allí vuelve paulatinamente a tenerse un movimiento elíptico pero de sentido directo. Todo esto con amplitudes decreciente hasta desaparecer (la amplitud decrece exponencialmente de allí la calificación de onda superficial).





35

Figura 2.21 – Esquema de propagación de las ondas superficiales Love.

La velocidad de propagación de la onda de Rayleigh es menor que la velocidad de propagación de la onda transversal, generalmente:

VL = 0,9 a 0,95 de VS

Ondas de Love (G). Posteriores investigaciones sobre propagación de ondas superficiales, permitieron determinar que también en la superficie libre de los cuerpos sólidos se propaga una onda polarizada en el plano de la superficie y que implica una oscilación de la partícula en el sentido normal a la dirección de propagación con un movimiento elíptico. Por haber sido primeramente observada por Gutemberg, también se la conoce como onda G.

Aquí también la amplitud decae exponencialmente con la profundidad y puede decirse que afecta, lo mismo que la de Rayleigh, una capa superficial de espesor igual a una longitud de onda.

Ondas de Stoneley. Este físico demostró que cuando dos cuerpos elásticos se superponen, por la superficie de contacto de ambos se propaga una onda como la de Rayleigh polarizada en un plano determinado por la normal a la superficie de contacto y la dirección de propagación de la perturbación. El movimiento de oscilación de la partícula es retrogrado.

PPrriinncciippiiooss YY LLeeyyeess DDee TTrraannssmmiissiióónn DDee OOnnddaass

VVeelloocciiddaadd DDee LLaass OOnnddaass EElláássttiiccaass

La relación de velocidades de las ondas se fundamentan por la teoría sobre la propagación de ondas elásticas en los cuerpos y allí quedan dadas las siguientes expresiones:

vv lP==

+= α

ρµλ 2

vv tS=== β

ρµ

donde α = vP = vl, que es la velocidad de la onda longitudinal; β = vS = vt es la velocidad de la onda transversal; ρ es la densidad del medio; λ y µ son las constantes de Lamé con las siguientes expresiones:

( ) ( )σσσ

λ211 −⋅+

⋅=

E

( )σµ

+=

12

E

En la que E es el módulo de Young y σ la relación de Poisson. Para la gran mayoría de los cuerpos resulta que la relación de Poisson es cercanamente igual a ¼ (0,25), en cuyo caso:

( )µµ

σµσ

λ =−

⋅=

−

⋅⋅=

5,01

25,02

21

2

µλ =

y por lo tanto ambos coeficientes de Lamé resultan iguales. En vista a las expresiones de las velocidades de las ondas de cuerpo se tiene el caso que si λ = µ:





36

Figura 4.23 Frente de ondas.

Figura 2.24 – Dirección del frente de ondas.

Figura 2.22 – Esquema representativo del principio de Huygens.

vv SP33

32=⋅==

+=

ρµ

ρµ

ρµµ

vv SP3=

Los valores para la onda de Rayleigh eran de:

vv tl92,0=

PPrriinncciippiioo DDee HHuuyyggeennss

El principio de Huygens es un método de análisis aplicado a los problemas de propagación de ondas. Establece que:

Cualquier punto de un cuerpo que es alcanzado por una perturbación se convierte a su vez en un centro (secundario) de emisión de energía.

Hay dos aspectos interesantes para destacar en este caso

1. Llamamos frente de onda de una perturbación al lugar geométrico determinado por todos los puntos del cuerpo que están afectados de la misma forma en el mismo instante. Por ejemplo, una perturbación generada en el seno de un cuerpo de velocidad de propagación constante, genera como frente de onda una superficie esférica de radio r = v . ∆t, producto de la velocidad por el intervalo de tiempo desde el comienzo de la propagación hasta el instante en consideración.

Si una perturbación recorre un cuerpo homogéneo e isótropo con un frente de onda f, cada uno de los puntos de f se convierte en un emisor de acuerdo al principio de Huygens. Al cabo de algún ∆t, el frente de onda de la perturbación emitida en A, perteneciente a f, será la superficie de la esfera de radio r = v . ∆t, siendo v la velocidad de propagación.

Ocurrirán hechos similares en todos los puntos de f apareciendo en cada uno, para el instante considerado, un frente esférico de radio r = v . ∆t, el nuevo frente total será la envolvente de todos los secundarios y éste es un nuevo frente f´ que ha avanzado la distancia r respecto al anterior en un tiempo ∆t.

En resumen, conocido el aspecto de un frente y la velocidad de propagación resulta sencillo construir el nuevo frente.

2. Hemos considerado un punto A, en el frente F. Para un incremento de tiempo ∆t, habrá un punto excitado A', a una distancia v . ∆t del anterior.

Podemos notar que siguiendo el trazado A A' A", se describe una recta perpendicular a los frentes F, F1 y F2, donde A" fue perturbado por A', y este a su vez por A.

Esta dirección del frente de ondas puede representar a las ondas sísmicas, como una especie de "rayos" sísmicos perpendiculares a los frentes correspondientes, y en esta representación el análisis de muchos fenómenos usa la geometría común.

El acontecimiento real de la perturbación es el frente de onda, el rayo para los frentes sucesivos es una ficción que permite manejar los problemas con sencillez.





37

Figura 2.25 – Ejemplo en un medio

isótropo.

Figura 2.26 – Ejemplo en un medio

anisótropo.

Figura 2.27 – Reflexión en un medio isótropo.

PPrriinncciippiioo DDee FFeerrmmaatt

Este principio fue establecido primero por Pierre de Fermat, y se utiliza para describir las propiedades de los rayos de luz reflejados por los espejos, refractados en diversos medios, o experimentar la reflexión interna total.

Establece que:

Si se considera la propagación en forma de rayos, cada proceso que se cumpla, dependiendo del "modo" y de los medios entre una fuente y detector, es de mínimo tiempo.

Si el cuerpo presenta condiciones de constancia, de propiedades entre el emisor y receptor la velocidad de propagación v es constante en cualquier punto. El tiempo t que tarda la perturbación en recorrer la recta AB es mínimo.

v

BAtmínimo =

En medios anisótropos, la velocidad del medio varía de punto a punto, por lo que la trayectoria AB va a quedar determinada por:

∑∆

=i

imínimo

v

st

La suma de los tiempos parciales empleados en recorrer cada porción de camino será mínima. Así, las consecuencias de este principio son las leyes de Snell que estudiaremos particularmente para casos de reflexión y refracción, o transmisión.

OOnnddaass RReefflleejjaaddaass,, TTrraannssmmiittiiddaass YY RReeffrraaccttaaddaass ((LLeeyyeess DDee SSnneellll))..

CCaassoo DDee RReefflleexxiióónn

Implica la existencia de dos medios que consideramos homogéneos e isótropos con velocidades de propagación v1 y v2; α y β son los ángulos de incidencia con respecto a la normal n a la interfase por el punto de incidencia C; A y B son emisor y receptor respectivamente.

Colocamos un eje de coordenadas coincidente con la interfase (plana) x, otro y pasando por la fuente A:

11 cos)(

v

d

v

ABdirectoTAB ⋅

==γ





38

Ahora calculando TAB reflejado en un punto C de abcisa:

11 v

CB

v

ACx +=

22 xhAC a += ( )22 xdhCB b −+=

De la figura también:

22 xh

xsen

a +=α

( )22 xdh

xdsen

b −+

−=β

Entonces:

( )1

22

1

22

)(v

xdh

v

xhreflejadoT

ba

AB

−++

+=

Para que TAB sea mínimo, la primera derivada con respecto a x (variable) debe ser igual a cero (y la segunda positiva).

( ) ( )( )

02

211

2

211

221

221

=−+

−⋅−⋅⋅+

+

⋅⋅=

xdh

xd

vxh

x

vdx

T

ba

AB∂

( )( )

011

221

221

=−+

−⋅−

+⋅

xdh

xd

vxh

x

vba

Reemplazando sen α y sen β, tenemos,

011

=−v

sen

v

sen βα ⇒ βα sensen =

βα =

El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión si la perturbación incidente y reflejada son del mismo "modo". En el caso de que la naturaleza de la onda reflejada r sea diferente a la de la onda incidente i, vale la ley y se expresa

como:

r

r

i

i

v

sen

v

sen βα=

Aquí vi y vr son diferentes, de igual manera que ααααi y ββββr, cumpliéndose la relación anterior, la que expresa que:

r

i

r

i

v

v

sen

sen=

βα

El cociente de los senos de los ángulos es igual al cociente de las velocidades.





39

Figura 2.28 – Refracción con puntos de emisión y recepción en distintos medios.

CCaassoo DDee RReeffrraacccciióónn OO TTrraannssmmiissiióónn

Este caso se cumple en general simultáneamente con el anterior, es decir que para una perturbación incidente hay en general perturbaciones reflejadas y transmitidas correspondientes, y en todos los casos se cumplen las leyes de Snell de reflexión y transmisión.

Aquí la interfase que separa los medios está interpuesta entre el emisor y receptor. En tal caso el camino entre A y B se cumplirá en parte con velocidad v1 y en parte con v2.

Con una nomenclatura similar a la anterior y de acuerdo a la gráfica tenemos para la coordenada x coincidencia con la interfase, e y pasando por el emisor:

21

)(v

CB

v

ACotransmitidorefractadoTAB +=⋅⋅

De la figura vemos que:

22 xhAC a += ( )22 xdhCB b −+=

Y además:

22 xh

xsen

a +=α

( )22 xdh

xdsen

b −+

−=β

De igual manera que el caso anterior, derivando la expresión de TAB con respecto a x, e igualando a cero se obtiene:

21 v

sen

v

sen βα=

Para que el tiempo sea mínimo se debe entonces cumplir la relación antedicha o que

2

1

v

v

sen

sen=

βα

Esto se expresa diciendo que:

El cociente de los senos de los ángulos de incidencia y transmisión es igual al de las velocidades en los medios correspondientes.





40

Figura 2.29 – Caso de inversión de velocidad.

Figura 2.30 – 1) Reflexión y refracción (transmisión). 2) Reflexión con ángulo crítico. 3) Reflexión total.

Como en el caso anterior podemos tener diferente naturaleza en las ondas incidente y transmitida y vale la ley expresada como:

t

t

i

i

v

sen

v

sen βα=

t

i

t

i

v

v

sen

sen=

βα

En este caso como la reflexión i incidente puede ser longitudinal o transversal, t transmitido puede ser también longitudinal o transversal, y r reflejado también longitudinal o transversal.

Si v2 > v1 ó vt > vi, β será mayor que α. Si hacemos acercar el punto B por la normal a la interfase hasta alcanzar la misma hb → 0 y β → 900 y sen β → 1, entonces existirá un αc tal que:

t

ic

v

v

v

vsen ==

2

1α

Este αc se denominará ángulo crítico. Toda perturbación incidente con αc se propaga rasante por la interfase con la velocidad del medio subyacente. Si la incidencia sobre la interfase se cumple con ángulos α > αc entonces hay reflexión total y en el sentido de rayos no hay transmisión ni propagación por la interfase.

IInnvveerrssiióónn DDee VVeelloocciiddaadd

Este caso ocurre cuando el medio que contiene la fuente (medio de incidencia i) tiene más velocidad que el medio subyacente t.

Si v1 > v2, i siempre será mayor que t, entonces:

12

1 >==t

i

v

v

v

v

tsen

isen itisentsen << ;

En este caso no se consigue ningún ic que provoque transmisión por la interfase. Por ejemplo, para i → 900, t < 900, es decir no hay propagación por la interfase para ningún i, tal que 0 ≤ i ≤ 900.

En resumen, analizamos tres casos: 1) αi < αc , 2) αi = αc , 3) αi > αc.

1. 2

1

1

1 ,,v

v

sen

sen

v

v

sen

sen i

c

ici ==<

βα

αα

αα

2. 2

1

1

1

2

,,v

v

sen

sen

v

v

sen

sen c

c

cci ===

πα

αα

αα

3. 1

1,v

v

sen

sen

r

ici =>

αα

αα





41

Figura 2.31 – Relaciones de Snell para varias interfases, con

velocidades crecientes en profundidad.

CCaassoo DDee VVaarriiooss MMeeddiiooss

En este caso, para simplificar el problema, suponemos varias capas planas paralelas a la superficie. Provocamos una perturbación en un punto A en superficie, la perturbación que arranca con un ángulo i que incide en la primera discontinuidad (interfase v1-v2) con el mismo ángulo y se transmite con un ángulo t2, donde podemos escribir por ley de Snell:

2

1

2 v

v

tsen

isen t =

La incidencia con el ángulo t2 en la interface v2-v3 también cumple la ley de Snell:

3

2

3

2

v

v

tsen

tsen=

Y para n capas:

n

n

n

n

v

v

tsen

tsen )1()1( −− =

Si hacemos el producto miembro a miembro de estas igualdades tenemos:

n

n

n

nt

v

v

v

v

v

v

v

v

tsen

tsen

tsen

tsen

tsen

tsen

tsen

isen )1(

4

3

3

2

2

1)1(

4

3

3

2

2

−− ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

O sea que simplificando,

nn v

v

tsen

isen1=

Es decir que:

La relación entre los senos del ángulo de arranque o incidencia (i) y el ángulo de transmisión en la capa n (tn) es la misma que la de las velocidades en los medios respectivos (superficial y profundo).

No interesa para el cumplimiento de la formulación anterior que la sucesión de velocidades sea creciente como ocurre en general, puede haber capas que sean de velocidad menor que las suprayacentes sin afectar la validez de la expresión.

Si la cantidad de capas fuera grande y la sucesión de velocidades en general creciente para algún cierto i de arranque la perturbación llegará a una capa para la cual la incidencia en ella se hará con un ángulo tal que no se produzca más penetración o transmisión hacia abajo y ocurra en esa interfase una reflexión total o transmisión rasante (sen tk = 1):





42

Figura 2.33 – Emergencia de la perturbación incidente con ángulo crítico en una interfase v1-v2.

Figura 2.32 Interfase de reflexión total.

kkk v

visen

v

v

tsen

isen 11 , ==

Si ocurre reflexión total se cumplirá entonces en la interfase vk-1-vk,

1

1

)(

)(1

−

−− =k

k

reflejadok

incidentek

v

v

tsen

tsen

La perturbación regresa por un camino simétrico al de entrada con respecto a la vertical que pasa por el punto de incidencia en la interfase vk-1-vk.

Si analizarnos la situación anterior para una i más grande podemos ver que la incidencia de reflexión total o transmisión rasante se trasladará hacia arriba a capas más superficiales y algo hacia la izquierda es decir que la emergencia en superficie se obtendrá a menor distancia que en el caso anterior.

Si observamos la expresión:

1

1 ,v

visentsen

v

v

tsen

isen nn

nn

=→=

A medida que sen i aumenta, vn/v1 deberá disminuir para que el producto no exceda el valor máximo de 1 para el sen tn. Como en general las velocidades aumentan hacia abajo, los valores menores vn/v1 deben corresponder a las capas de más arriba. Esto nos permite asegurar que los rayos que salen de la fuente hacia abajo con ángulos cada vez menores con la hipótesis de las velocidades crecientes penetrarán más profundamente y su emergencia se encontrará a mayores distancias de la fuente.

EEmmeerrggeenncciiaa DDee LLaa PPeerrttuurrbbaacciióónn IInncciiddeennttee CCoonn ÁÁnngguulloo CCrrííttiiccoo

El principio de Huygens nos dice que cada punto material alcanzado por la perturbación se convierte en un emisor secundario creando su frente de onda que se compondrá con los frentes de los vecinos para formar el frente general.

Supongamos la incidencia con el ángulo critico en la interfase v1-v2 tenemos propagación por el limite de los medios con velocidad v2. Tengamos un tiempo t para el recorrido ACB. A un tiempo (t - ∆t) la señal habrá arribado a D con:

2v

DBt =∆

D entonces como emisor secundario crea su frente que en el tiempo ∆t habrá recorrido un radio DE en el medio superior con velocidad v1,

1v

DEt =∆





43

Figura 2.34 – Emergencia de la perturbación, incidencia crítica en interfase vk-1 - vk.

Si trazamos la tangente a la esfera de radio DE que pasa por B, formamos un triángulo rectángulo DEB. De la expresión de los ∆t sale que:

12 v

DE

v

DBt ==∆

Por ley de Snell tenemos que,

cisenDB

DE

v

v==

2

1

Del triángulo rectángulo observamos que,

cisenDB

DEsen ==β

ci=→ β

Podemos tomar cualquier otro D, por ejemplo D', y repetir el razonamiento, trazando la tangente a la esfera de radio D'E' que pasa por B'. Vemos que se cumplen las condiciones anteriores, entonces EB es la envolvente de los frentes de onda originados por la perturbación, radiados desde los puntos D de la interfase. Estos frentes originados por la propagación de la deformación incidente con el ángulo crítico van a emerger en la superficie.

Al trazar la normal al frente emergente a través de B vemos que forma con la normal a la capa el ángulo de emergencia β = ic, es decir él o los rayos emergentes forman con la normal a la interfase el mismo ángulo que el crítico incidente. Si consideramos las emergencias en G y F existirá una diferencia de tiempos tF - tG = ∆tFG para la distancia GF = DB. Las emergencias ocurren entonces si registramos en la zona GF con velocidad aparente v2 (igual a la velocidad real del medio subyacente) y puedo escribir (si DG = BF):

FGtv

DB∆=

2

La diferencia de recorrido de las emergencias es DB. Es decir, que desde el instante en que emerge el frente generado por los puntos D de la interfase aparecerán en el registro acontecimientos con velocidad aparente v2 (real para el caso de capas horizontales).

Este análisis se puede hacer para interfaces más profundas. Supongamos una interfase vk-l - vk si la incidencia sobre esta interfase es tal que produce transmisión rasante, tenemos que:

k

kkkc

v

visen 1

),1(−

− =





44

Esto requiere un cierto ángulo de arranque de la fuente y se cumple que,

1

1

),1( −−

=kkkc v

v

isen

isen

Si alcanzamos la interfase con el ángulo crítico se origina una perturbación rasante que recorre la interfase con velocidad vk.

Al cabo de un tiempo ta el avance por el límite de medios es de B a C con velocidad vk, será entonces BC = vk . ta. El punto B, por el principio de Huygens, origina un frente de radio r, y r = vk-1 . ta. Trazando la tangente al frente de onda al tiempo ta que pase por C se forma un triángulo rectángulo BDC y

podemos escribir:

),1(11

.

.kkc

k

k

ak

ak isenv

v

tv

tv

BC

DB−

−− ===

Es decir, que el ángulo en el punto C es igual de la incidencia. Si consideramos otro punto H podemos repetir el procedimiento y escribir,

( )11' ttvr ak −= −

( )( ) ),1(

1

1

11kkc

k

k

ak

ak isenv

v

ttv

ttv

CH

KH−

−− ==−

−=

Entonces DC es la envolvente de los frentes de onda originados por los puntos de la interfase en el medio suprayacente.

Como se ve en la figura y en lo expresado anteriormente, la incidencia y emergencia en la superficie se cumplen con ángulos i tales que:

),1(

1

11kkc

kk

isenv

v

v

visen −

−

⋅==

Entonces,

k

kkkc

v

visen 1

),1(−

− =

Las distancias E2-E1 y E3-E2 son iguales a B2-B1 y B3-B2; y los caminos B1E1, B2E2 y B3E3 son similares. Entonces, entre la emergencia en E2 y en E1 hay una diferencia de tiempos ∆∆∆∆t = tE2 - tE1 correspondiente a una diferencia de recorrido B1B2 con velocidad vk, y puedo escribir.

t

EEvk ∆= 12

Y la relación de las distancias y los tiempos proveen la velocidad aparente vk con que la perturbación arriba al tendido de receptores, real si las capas son horizontales.

SSiissmmoollooggííaa DDee RReefflleexxiióónn YY RReeffrraacccciióónn

Cuando excitamos al terreno con una fuente generamos una perturbación que se propaga cumpliéndose los principios y leyes mencionados anteriormente. Para el análisis de un intervalo de terreno podemos colocar el tramo registrador o detectores cerca de la fuente de forma tal de conseguir información de las reflexiones de la perturbación y de tal forma nos aseguramos que buena parte de la energía de la fuente se refleje sin alcanzar el ángulo crítico dentro del intervalo de interés en el subsuelo. Esta modalidad da origen al método de prospección sísmica de reflexión.





45

Podemos también colocarnos con los receptores suficientemente lejos como para que buena parte de la señal alcance el ángulo crítico y así recogeremos energía propagada en forma rasante por las diferentes interfaces, en este caso estamos utilizando el método sísmico de refracción.

El método de reflexión es el más preciso y usado extensivamente en la prospección petrolera tanto para trabajos regionales, de detalle y especiales para cuestiones estratigráficas. El método de refracción se usa para trabajos preliminares o de reconocimiento general pues provee en forma relativamente barata y rápida información de los espesores de capas y velocidades de las mismas que usadas convenientemente permiten estimar aproximadamente la naturaleza y tal vez edad de ellas. En otras aplicaciones se lo utiliza para trabajos de fundaciones.

VVaalloorreess TTííppiiccooss DDee MMaaggnniittuuddeess EElláássttiiccaass DDee RRooccaass

Algunos valores de mediciones en rocas y cálculos que ilustran acerca de las magnitudes en juego, proveen los valores siguientes:

MATERIAL E

[Kg/cm] Peso específico

[g/cm3] Densidad

[Kg . seg2/m4]

Granito 4,3 x 105 2,6 265,035 Basalto 10,15 x 105 3,0 305,81

Calcita 9,9 x 105 2,4 244,65 Arenisca 1,65 x 105 2,6 265,03

Arena 0,25 x 105 2,2 224,26 Depósitos fluviales 0,030 x 105 1,3 132,52

Como:

ρ=⋅

→⋅

⋅→=

4

2

3

2

,,m

segKg

cmcm

segg

gravedadladenAceleracio

especificoPesoDensidad

En los materiales en que σσσσ = 0,25, λλλλ ==== µµµµ, tenemos:

( )E

EE

5

2

5,212==

+⋅=

σµ

ρρµ

⋅

⋅==

5

323 Evp

Entonces para el granito si aceptamos σσσσ = 0,25.

seg

m

m

segKgm

Kg

vp 37,4412

81,9

106,25

10.103,432

4

23

2

45

=

⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅⋅=

La expresión 104 pasa E a Kg/m2; y 103/9,81 pasa Pe a Kg.seg2/m4. La velocidad vp para depósitos fluviales es de 521,21 m/seg. Si consideramos a εεεε (deformación específica unitaria) podemos escribir:

02

2

=+ εε∂

Edt

m

Con E . ε = ε (tensión específica), para la unidad de volumen

02

2

=+ ερ

ε∂ E

dt





46

Si llamamos a ω2 = E/ρ, es solución de la ecuación

tA ωε cos=

Con

ρπ

ωE

T==

2

Para

Acero Arenisca Arena Fluviales

E 2 x 106 1,65 x 105 2,5 x 104 3 x 103

ρ 8 2,6 2,2 1,3

ω 4952,27 2495,11 1155,82 475,79

f 788,57 397,10 168,03 75,72

Esto nos dice que las oscilaciones libres de un cuerpo elástico o su frecuencia de oscilación propia son función del módulo elástico y de la densidad.

unidad 2 2 ssiissmmoollooggÍÍaa … · ondas superficiales ... se ha verificado que su estado se...

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