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Unidad 14. Interacciones débiles Física Nuclear y de Partículas

Unidad Temática 14:Unidad Temática 14:Interacciones debilesInteracciones debiles

1. Introduccion 2. Mecanica Cuantica relativista3. Generalizacion de la teoria de Fermi4. Teoria de Cabibbo y universalidad

quark-lepton5. Mecanismo GIM: prediccion del quark c6. Oscilaciones de sabor7. Violacion de CP8. El Modelo Estandar

Unidad 14. Interacciones débiles Física Nuclear y de Partículas 2

Regla de oro de Fermi, probabilidades transicion y secciones eficaces diferencias (tema 14 Ferrer)

1. Introduccion1. Introduccion


Leptonicas, semileptonicas, hadronicas Corrientes cargadas, corrientes neutras

Clasificacion de las interacciones debiles


Recordar el experimento de violacion de paridad en la desintegracion b nuclear y el experimento de la helicidad del neutrino

Violacion de paridad en particulas elementales: desintegracion del pion

Violacion de paridad


Experimento de Lederman, Steinberger, Schwartz Experimento del numero de familias de neutrinos ligeros (LEP)

Familias de leptones (neutrinos)


Construida a partir de la asociación entre variables dinámicas y operadores en la relación de energía-momentum (unidades naturales):

La ecuación de continuidad nos deja como resultado una probabilidad de densidad de corriente que se interpreta de la misma manera que en Mecánica Cuántica no-Relativista, pero una densidad de probabilidad que no esta definida positiva.

Soluciones de energía negativa pueden ser interpretadas en términos de antipartículas, como lo propuso posteriormente Dirac. Históricamente, esto generó problemas teóricos hasta la explicación propuesta por Dirac.

2. Mecanica Cuantica relativista2. Mecanica Cuantica relativistaEcuacion de Klein-Gordon

2 2 2E p m

, E i p it

22 2

2m

t

Ecuación de Klein-Gordon

*

* * *, j i it t

22 | |N E Densidad de probabilidad para una onda plana


La ecuación de Dirac es una forma de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, covariante bajo transformaciones de Lorentz, la cual interpreta de manera satisfactoria la soluciones de energía negativa encontradas en la ecuación de Klein-Gordon.

Si el Hamiltoniano es lineal en E, debe serlo también en p, debido a la relación momento-energía. De igual forma, si la ecuación de Schrödinger es lineal en la derivada temporal, tendrá que serlo también en las derivadas espaciales:

La ecuación planteada por Dirac esta escrita en forma matricial. Por tanto los coeficientes αi y β no son simple números sino matrices n x n. Cada una de las soluciones de la ecuación debe ser también solución de la ecuación de Klein-Gordon, para seguir siendo una ecuación a altas energías, lo cual lleva a que aparezcan cierto tipo de restricciones sobre las matrices de coeficientes:

Ecuacion de Dirac

3

1

( , )( , )i i

i

x ti i m x t

t x

1

2

( , )

( , )( , )

( , )n

x t

x tx t

x t

2 2

, 2

, 0

i j j i i j ij

i i i

i i

I

I

Relaciones de anticonmutación y normalización.


Las soluciones para las matrices, son matrices construidas con las matrices de Pauli, son

Las matrices hermíticas σi son las matrices de spin usadas por Pauli, con lo cual sabemos que la dimensión del arreglo de ecuaciones es n = 4.

La densidad de probabilidad y la corriente de probabilidad pueden extraerse de la ecuación de continuidad que aparece escrita como:

Tenemos entonces que la densidad de probabilidad cumple que . La formulación covariante de la ecuación de Dirac se hace definiendo un conjunto de matrices

que mezclan αi y β y que poseen una propia relación de anticonmutación

0 0,

0 0i

ii

I

I

3

† †

1

0iiit x

† 0

( , )

2g I 0i m

Ecuación de Dirac


Para una partícula libre la solución de la ecuación de Dirac puede ser escrita como:

La ecuación de Dirac se convierte entonces en una ecuación para el espinor libre. En Mecánica Cuántica no-Relativista la presencia de un electrón en un campo

electromagnético es descrita mediante cierto tipo de transformaciones en la ecuación de Schrödinger, que involucra el vector del potencial magnético y el potencial eléctrico

En Mecánica Cuántica Relativista se introduce el 4-vector potencial Aμ = (φ,A) que representa al fotón o cuanto de radiación, llevando a una transformación de tipo

Reescribiendo la ecuación en término de las matrices de Pauli y expresando los espinores en término de 2 espinores 2-vector, tenemos el sistema de ecuaciones acopladas:

Ecuacion de Dirac y campo electromagnetico

( ) ip xu p e

u(p) es un espinor de 4 componentes

, i i e i i eAt t

ieA ( ) 0p eA m u p

Ecuación de Dirac para espinor libre en presencia de un campo electromagnético

A A

B B

m e p eA u uE

u up eA m e


Ciertos límites no-relativistas y su consecuencia para la ecuación del 2-espinor uA son:

Recordemos que El primer y tercer término en la expresión son los mismos términos que aparecen en el Hamiltoniano

clásico para describir un electrón moviéndose lentamente en un campo electromagnético. El segundo término representa la interacción del momento magnético del electrón en presencia del

campo B.

2

NR

E m e m

E m E

21

2 2 A NR A

ep eA B e u E u

m m

A B

Ahora bien, esto ocurre para una partícula de spin σ/2. Para mostrar esto consideremos un caso en el que no exista transferencia de momento angular al electrón, es decir un potencial eléctrico radial (esférico) y A = 0. Luego el Hamiltoniano de este caso es:

Como primera consecuencia el momento angular orbital no es una cantidad conservada

Luego debe existir alguna cantidad que cancele este término y de esta forma el momento orbital total es conservado.

H p m e

[ , ]dL

i L H i pdt


Consideremos un operador construido en base a las matrices de Pauli

Entonces el operador J = L + σ’/2 conmuta con el Hamiltoniano. La cantidad S = σ’/2 es conocida como espin intrinseco del electrón. Por lo que el electron debe

tener un espín intrínseco ½, asociado a su momento magnético intrinseco

0'

0

'[ ', ] 2

di H i p

dt

2 2

e eg s

m m

La ecuación de Dirac predice que g = 2, lo cual se acerca mucho al valor real de g.


Teníamos entonces la ecuación para un espinor de Dirac, dada por:

Para una partícula en reposo, tendremos que la ecuación anterior se escribe como:

Encontramos 4 soluciones de energía positiva y negativa

Al igual que en el caso de Klein-Gordon, llegamos a soluciones para E>0 y E<0. Aunque no sea obvio de estas ecuaciones, los dos tipos de soluciones se encuentran ligadas con 2

posibles orientaciones del vector de espin de una partícula, como se verá posteriormente.

( ) ( )p m u p Eu p

Soluciones de particula libre de la ecuación de Dirac

0

0

mIu Eu

mI

(1) (2)

1 0

0 1,

0 0

0 0

u u

E m

(3) (4)

0 0

0 0,

1 0

0 1

u u

E m


Para párticulas en movimiento el conjunto de ecuaciones acopladas, escrito en términos de las matrices de Pauli, es:

Buscamos soluciones compatibles con el límite en que |p|→0. Consideramos entonces primero soluciones de energía positiva (uA) suponiendo uA

(s) = χ(s), y resolvemos para uB.

Obtenemos entonces dos soluciones de energía positiva a partir de χ(s).

N es un factor de normalización que se determinara mas adelante.

A A

B B

u um pE

u up m

(1) (2)1 0,

0 1

( )sB

pu

E m

(1) (2)

1 0

0 1( ) , ( ) 0

0

u p N u p Np

E m p

E m


Las soluciones de energía negativa se encuentran de igual forma, tomando uB(s)

= χ(s) y cambiando E→-|E|

(3) (4)

0

| |

0 | |( ) , ( )

1 0

0 1

p

E m p

E mu p N u p N

Los espinores son ortogonales y podemos exigir que estén normalizados a 1. Esta normalización lleva a que N = [(E + m)/2E]1/2 . Es común encontrar también los espinores normalizados a 2E con lo cual N = (E + m)1/2, pero

al final todo es cuestión de elegir un tipo de normalización.

( )† ( )r srsu u

Considerando estados de energía positiva (negativa), debe entonces un grado de libertad interno que diferencie las 2 soluciones de energía positiva (negativa) entre ellas. Este grado de libertad interno es la proyección del espín en la dirección del movimiento (helicidad):

0

0

p

p

(1) (1) (2) (2)

(3) (3) (4) (4)

,

,

u u u u

u u u u


Esto muestra entonces que los espinores de energía positiva o negativa, son autoestados del operador helicidad (es de esperarse porque este conmuta con el Hamiltoniano), con distintos valores propios. La existencia de estados de energía negativa hacen que se esperen transiciones del estado base

a estos estados, provocando inestabilidades en el vacío. Cualquier cálculo de una transición involucraría la contribución de estos estados y se haría infinita. Para sobrellevar estas dificultades Dirac propuso en 1930 su teoría de los “huecos”. Según el principio de exclusión de Pauli, Dirac propuso llenar todos los estados de energía

negativa con 2 electrones (↑↓). Se considera el estado de vacío cuando todos los niveles de energía negativa están llenos con

electrones y todos los niveles de energía positiva se encuentran desocupados. Si m es la energía de reposo de un electrón, se necesitaría una excitación de 2m para que un

electrón del “mar de electrones de energía negativa” empiece a ocupar los estados de energía positiva y deje un “hueco” en el mar.

Estos huecos como son ausencias de carga negativa en el mar, Dirac los considero electrones cargados positivamente (positrones).

El resultado neto del proceso fue la creación de un par electrón-positrón a partir de una excitación, i.e. un fotón.

El proceso inverso es un electrón que cae en el mar de Dirac, llenando un hueco y emitiendo un fotón, lo que sería una aniquilación electrón-positrón.

El positrón predicho por Dirac fue encontrado por Anderson en 1932. Muchos otros como Feynman, propusieron otras interpretaciones compatibles de la ecuación de

Dirac.


La desintegración β fue asumido inicialmente como una interacción puntual. Fermi asumió este proceso como la interacción de dos corrientes, una hadrónica y otra leptónica

Se ha considerado arbitrariamente la forma vectorial de las corrientes débiles. En general podemos considerar una corriente formada por bilineales fermiónicos y un operador cuya forma sea distinguible bajo transformaciones de Lorentz y bajo simetrías discretas:

El elemento matricial sugerido por Fermi para el estudio de la desintegración β es escalar, el cual es invariante bajo transformaciones de paridad (en la época de Fermi no existían indicios de violación de paridad).

La amplitud mas general posible para la descripción de la desinteracción β que incluye violación de paridad es:

3. Generalizacion de la teoria de Fermi3. Generalizacion de la teoria de Fermien pe

( ) ( )fi p n eM Gj h j l G u u u u G : Constante de acoplamiento

débil de Fermi

ij O 5

5

1 Escalar

Vectorial

Tensorial

Vector-Axial

Axial

i

i

i

i

i

O

O

O

O

O

5 0 1 2 3 0

0

Ii

I

'

51 , E,V,T,V-A,Aifi i p i n e i

i i

CM C u O u u O u i

C


Fenomenológicamente se observó que los neutrinos son izquierdos y los antineutrinos derechos, luego la violación de paridad es máxima en este caso y lleva a C’i/Ci = ±1. En esta situación (1 - γ5)uν es un neutrino izquierdo (antineutrino derecho) y (1 + γ5)uν es un neutrino derecho (antineutrino izquierdo).

Asumamos ahora a los neutrinos como partículas sin masa, entonces se cumplirá

Encontramos dos soluciones una para energía positiva y otra negativa

En otra notación esto es equivalente a decir:

Por tanto la forma adecuada del elemento de transición para la desintegración β serác

0,

0

pE

p

| |

p

p

- para energía positiva (neutrinos izquierdos)+ para energía negativa (antineutrinos derechos)

5 011

0 0 02

Iu

51 , E,V,T,V-A,A2

fi i p i n e ii

GM C u O u u O u i


El siguiente paso es entonces determinar la forma de Oi. De los distintos tipos de interacción son la escalar, vectorial y pseudoescalar las que no pueden producir un cambio en el espín nuclear, luego son estas las interacciones que pueden contribuir. Efectos tensoriales y axial conllevan a transiciones del tipo Gamow-Teller ΔJ = 1 y no de tipo Fermi ΔJ = 0.

La interacción pseudoescalar es del orden v/c, con v la velocidad del nucleón, luego puede considerarse despreciable.

Luego solo podrán contribuir las interacciones vectoriales y escalares y sus interferencias (interferencia de Fierz).

Para determinar que interacciones juegan un papel importante, es conveniente medir la relación angular electrón-neutrino o la helicidad del electrón.

La medición de secciones eficaces para neutrinos son altamente difíciles de realizar debido al acople tan débil de estos, por lo que medir la helicidad del electrón puede ser una forma de saber la naturaleza de la interacción.

Para interacciones E y T, asumimos que los antineutrinos son derechos, por lo que deberíamos obtener electrones polarizados longitudinalmente con helicidad +1.

Por otro lado las interacciones V y A predicen un electrón con helicidad -1. Lo cual corresponde con lo encontrado en el experimento.

Interaccion V-A

( ) 1 cos , 1, 1, 1/ 3, 1/ 3 (E, V, T, A)v

I a ac


Luego el elemento matricial para la interacción de Fermi es

Las constantes de acoplamiento CA y CV se encuentran relacionadas principalmente con la polarización del protón en la desintegración del neutrón. En este caso, la aproximación -CA =

CV = 1, lleva a lo que conocemos como interacción V-A. Es interesante ver que para la corriente hadrónica aparecen las constantes de acoplamiento, pero para la corriente leptónica no, esto es una de las consecuencias del contenido quark de los hadrones.

La interacción V-A pura, se puede aplicar a la desintegración leptónica del muón

Estudios de la constante de Fermi G en procesos hadrónicos, semileptónicos y leptónicos llevan a una compatibilidad en la magnitud de la interacción, lo que sugiere una universalidad de la carga débil. Con esto la interacción universal de Fermi asigna una única y global constante de acoplamiento G para el acople “puntual” entre cuatro campos fermiónicos

5 512

fi p V A n e

GM u C C u u u

5 51 12 efi e

GM u u u u

ee

362 3

2 5

192 (1.4358 0.0001) 10G Jm

G m


Al ser los protones y neutrones partículas compuestas que interactúan fuertemente, es de esperarse que su acople se vea levemente modificado al acople en el caso fermiónico. Experimentalmente se ha visto que CA ≈ -1.25, pero CV ≈ 1. Este hecho derivó en la hipótesis de corrientes vectoriales conservadas (CVC), propuesto por Feynman y Gell-Mann.

Esta hipótesis entonces dice que la parte vectorial de la corriente débil hadrónica es completamente análoga a la corriente electromagnética y es por tanto libre de divergencias, es decir una corriente vectorial conservada.

Ahora bien, todos los procesos débiles pueden surgir simplemente de una interacción entre dos corrientes, tal que cada producto de corrientes incluya la desintegración del muón, desintegración nuclear β, desintegraciones de partículas extrañas, …

Estas ecuaciones sin embargo no son exactas y posteriormente veremos como deben ser modificadas para tener en cuenta ciertos procesos que necesitan de una descripción más compleja.

.

Teoria corriente por corriente y bosones intermediarios

†

2

GM J J

5

,

(1 )i ji j

J u u

Recordemos que el elemento de matriz para la interacción electromagnética entre el protón y el electrón puede es escrita en términos del propagador del fotón 1/q2.

2

1( ) ( )fiM j e j p

q


En los procesos débiles considerados hasta ahora, únicamente interacciones puntuales han sido consideradas, 4 fermiones que se encuentran en un punto del espacio-tiempo.

El elemento matricial para tratar la dispersión electrón-neutrino, usando la teoría de Fermi, tiene varios problemas al calcular secciones eficaces a altas energías (divergencias que violan unitariedad de la matriz de dispersión). Usando la teoría de Fermi o un simple análisis dimensional y asumiendo que a altas energías la masa del electrón es despreciable, encontramos

Esta expresión crece linealmente con él cuadrado de la energía de centro-de-masa, s, haciéndose infinita. Esto es consecuencia de las dimensiones escondidas en la constante de Fermi y que estamos considerando una interacción puntual.

Incluyendo un bosón virtual intermediario, como mediador de la interacción débil, la sección eficaz deja de divergir a altas energías

La constante g no tiene dimensión y MW es la masa del bosón intermediario. Como el rango de la interacción débil es muy corto, la masa de su mediador debe ser muy grande.

La masa del bosón intermediario es cercana a los 80 GeV.

2

e e

G se e

5 52 2

11 1

2 2 2 2e efi e eW

g gM u u u u

M q

2

282 W

G g

M


Secciones 11.10, 11.11, 11.12,

4. Teoria de Cabibbo y mecanismo GIM4. Teoria de Cabibbo y mecanismo GIM


Seccion 11.10, 11.12

Necesidad del quark c


Seccion 11.10, 11.12

Generalizacion a tres familias: matriz CKM


Explicar

5. Oscilaciones de sabor5. Oscilaciones de saborSistema de mesones neutros


Explicar

El fenomeno de la oscilacion de sabor


Explicar

Regeneracion


Breve descripcion del experimento Kamiokande y el descubrimiento de la oscilacion de neutrinos

Como oscilan -> tienen masa Masa muy pequena (~0.05 eV), por tanto no son candidatos a masa oscura Del universo, no permite cerrarlo Kamiokande, Superkamiokande, SNO, etc…

Oscilaciones de neutrinos y sus implicaciones


El estado K02, que es CP = -1, no puede desintegrarse en 2 piones si CP es una simetría

conservada para las interacciones débiles. El experimento de Christenson, Cronin y Fitch, en 1964, mostró que K0

2 puede desintegrarse en dos piones, confirmando que las interacciones débiles violan CP. Este descubrimiento llevo a un cambio de nomenclatura para los kaones neutros: K0

S el kaón de vida corta (CP = +1) y K0

L el de vida larga (CP = -1).

6. Violacion de CP6. Violacion de CPSistema de kaones neutros

Un blanco de Be es bombardeado con un haz de protones, con un haz de kaones de vida larga, neutrones y radiación débil como resultado. El detector son 2 espectrometros, cada uno con una cámara de centelleo, separados por un imán, que proporciona medidas de momento. El trigger de las cámaras de centelleo esta alineado con el funcionamiento de los centelladores y los contadores de Cherenkov.

El background presente consiste de la desintegración típica de K0

L→3π así como desintegraciones semileptónicas y otras a tres cuerpos. Por tanto la identificación del canal K0

L→2π no es sencilla.


La detección del proceso K0L→2π, requiere que la

masa invariante de los dos piones sea cercana (dentro de errores experimentales) a la masa del K0

L y la dirección de los piones que forman la pareja candidata debe coincidir con la dirección del haz de K0

L. Con estas condiciones los modos de desintegración a tres cuerpos son discriminables.

La distribución angular para cos θ > 0.9995 (dirección hacia adelante), en tres rangos de masa se ve en la figura. El pico corresponde a las desintegraciones que violan CP: K0

L→2π. Una desintegración a tres cuerpos no exhibiría tal tipo de relación entre la masa y el ángulo.

Este descubrimiento implica que K0L y K0

S son combinaciones lineales de los antiguos estados K0

1

y K02 . En particular esto se puede parametrizar en

términos de ε que es una medida compleja que da indicación de cuanto se viola CP

03

0

( )(2.0 0.4) 10

( todo cargado)L

L

KR

K

0 0 0 01 2 2 10 0

2 2

| | | || , |

1 1S L

K K K KK K


La violación de CP ha sido observada también en desintegraciones semileptónicas de kaones neutros. En estas desintegraciones el estado final es distinto al transformarse bajo CP, donde como consecuencia se debe observar una asimetría de carga, la cual varia con el tiempo debido a la interferencia en la oscilación del kaón neutro.

Algunas medidas de parámetros correspondientes a la violación de CP son

0

0

,

,

l

l

K l S Q

K l S Q

00

0

0

0 0 0

00 000 0 0

| || |

| |

| || |

| |

L i

S

L i

S

T Ke

T K

T Ke

T K

3

300 00

| | (2.268 0.023) 10 , (46.6 1.2)º

| | (2.253 0.024) 10 , (46.6 2.0)º

(0.327 0.012)%


No solo en la mezcla K0L-K0

S es posible obtener valores de η diferentes de cero. Considerando la simetría de Bose-Einstein, la desintegración de kaones en dos piones esta restringidas a estados pares de isospín I = 0, 2. Por tanto tenemos 4 amplitudes distintas en que el Hamiltoniano débil actúa:

Los estados piónicos y las amplitudes para los autoestados de sabor, estan definidos por

Ahora bien, si consideramos que CPT es una buena simetría sobre el Hamiltoniano débil, pero CP violada, entonces los autoestados de masa para los kaones pueden ser escritos en términos de los autoestados de sabor como:

Violacion directa de CP

0 0

0 0

0 | | 2 | |

0 | | 2 | |

W S W S

W L W L

H K H K

H K H K

02

020 0

1 2| | 2 | 0

3 3

2 1| | 2 | 0

3 3

ii

ii

e e

e e

0 *0 0

02

0 | |

2 | |

W

W

A H K A

A H K

0 0 0 0

0 0

2 2

1 | 1 | 1 | 1 || , |

2 1 2 1S L

K K K KK K


Y las fracciones de medida de CP a primer orden en ε, quedan determinadas por

La observación de ε’ distinta de cero implica violación de CP en kaones neutros sin la necesidad de mezcla, es decir violación directa de CP. Esta observación es importante no solo por ser evidencia de la violación de CP sino además porque ayuda a distinguir entre varios modelos de violación de CP.

Un ejemplo de esto son los modelos de interacción super-débil ΔS = 2. En estos procesos ocurren situaciones como K0

L→2π mediadas por un K0S.

La evidencia de violación directa de CP fue observada por primera vez en el CERN, donde midieron la razón

Las desviaciones de este valor de uno, implican necesariamente ε’ ≠ 0.

2 02

00 0

' Im1 '

2 ' 2iA

eA

2 0 0 0 0

000 0 0 0

/0.980 0.004 0.005

/

L L

S S

K KR

K K


El fenómeno de violación de CP no es exclusivo de los kaones. Este fenómeno se observa en sistema de mesones neutros más pesados, como D’s y B’s. En particular, el sistema de mesones neutros B representa un reto para los físicos de párticulas de hoy en día, ya que los efectos de CP esperados y observados son grandes respecto a los otros sistemas mesónicos.

Grandes experimentos están dedicados actualmente, en forma casi exclusiva al estudio de violación de CP en el sistema de los mesones B. Entre ellos están BaBar (EEUU) y Belle (Japón).

Mesones B


Explicar al final de un modo casi divulgativo que el modelo estándar es una teoria SU(2)xU(1)xSU(3), explicando que es el isospin debil (esto requiere explicar el mecanismo GIM), hipercarga debil…… Los campos Wmu -> bosones W+, W-, Z0, el campo Bm de U(1) es el foton, ruptura espontanea de simetria, etc…

Hay que incluir la ruptura espontanea para dotar de masa al campo Wmu Esta seccion debe servir de nexo de union para la asignatura de Particulas Elementales del

siguiente curso Basado en la Teoria Cuanticas de Campos, por eso no estamos preparados para describirlo en

este curso… Mencionar la unificacion electrodebil y la “pseudo” unificacion con QCD. Discutir la estructura de las corrientes… Ruptura de simetria...

En resumen, presentar en ~5 transparencias la estruc

8. El Modelo Estandar8. El Modelo Estandar

unidad 14. interacciones débilesfísica nuclear y de partículas unidad temática 14: interacciones...

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