Soluciones a las actividades de cada epgrafe 13Unidad 13. Azar y probabilidadPGINA 261PARA EMPEZAR Un desafo interrumpidoUno de los problemas que el caballero de Mer le propuso a Pascal es el siguiente:Dos contendientes,AyB,se juegan 3 000 doblones (han puesto 1 500 cada uno) a un juego de azar. Se lleva el dinero quien gane tres partidas. CuandoAva ganan-do 2 a 1, hay que interrumpir el juego, sin posibilidad de reanudarlo despus. C-mo han de repartir los 3 000 doblones?Cmo se deberan repartir los 3 000 doblones si el juego se interrumpiera cuan-doAva ganando 2-0?4. A(3-1) 8Agana el desafo.5. B(2-2) A(3-2)8Agana el desafo.B(2-3)8Bgana el desafo.3. A(3-0) 8Agana el desafo.(2-0)B(2-1) 121212121212Bganara el desafo en la mitad de la mitad de la mitad de los casos; es decir, en la oc-tava parte de los casos.P [Bgana el desafo] = 18P [Agana el desafo] = 78Adebera llevarse78 3 000 = 2 625 doblonesBdebera llevarse18 3 000 = 375 doblonesPg. 1Soluciones a las actividades de cada epgrafe 13Unidad 13. Azar y probabilidadPGINA 2631En una urna hay 10 bolas de cuatro colores.Sacamos una bola y anotamos su color.a) Es una experiencia aleatoria?b) Escribe el espacio muestral y cinco sucesos.a) S, pues el resultado depende del azar.b) E = {R, A, V, N}Sucesos:S1 = {R, A, V, N}S2 = {R, N}S3 = {V}S4 = {A}S5 = {A, V, N}2 Lanzamos una chincheta y observamos si cae con la punta hacia arriba o no.a) Es una experiencia aleatoria?b) Escribe el espacio muestral.a) S, pues el resultado depende del azar.b) E = {iuxra uacia aiiina, iuxra xo uacia aiiina}3En una urna hay 10 bolas numeradas.Sacamos una bola y anotamos el nmero.a) Es una experiencia aleatoria?b) Escribe el espacio muestral y seis sucesos.1 2 3 48 710 96 5a) S, pues el resultado depende del azar.b) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}Sucesos:S1: par = {2, 4, 6, 8, 10}S2: impar = {1, 3, 5, 7, 9}S3 mltiplo de 3 = {3, 6, 9}S4: mltiplo de 5 = {5, 10}S5: nmero primo = {2, 3, 5, 7}S6: cuadrado perfecto = {1, 4, 9}4 En una bolsa hay 10 bolas, todas rojas.Sacamos una bola y anotamos su color.Es una experiencia aleatoria?Por qu?No, el resultado no depende del azar. Siempre obtendremos bola roja.Pg. 1Soluciones a las actividades de cada epgrafe 13Unidad 13. Azar y probabilidadPGINA 2651 En una bolsa hay 90 bolas idnticas, numeradas del 1 al 90. Cul es la probabilidad de extraer la bola con el nmero 58? Cul es la probabilidad de extraer cada una de las bolas?P[58] = 190La probabilidad de extraer una bola concreta ser, tambin, 190.2 En otra bolsa hay bolas de dos tamaos. Sacamos una, miramos si es grande,G,o chica,CH,y la devolvemos a la bolsa. As observamos 84 bolasGy 36 bolasCH. Qu valores asignars aP [G ]y aP [CH ]?84 + 36 = 120 experiencias. Asignamos:P[G] = 84120 = 0,7P[CH] = 36120 = 0,3Pg. 1Soluciones a las actividades de cada epgrafe 13Unidad 13. Azar y probabilidadPGINA 2661 En un campamento juvenil hay 32 jvenes europeos, 13 americanos, 15 africanos y 23asiticos.Seeligealazaralportavozdeellos.Quprobabilidadhaydequesea europeo?32 + 13 + 15 + 23 = 83 jvenes.P[iuioiio] = 32832 Al hacer girar la aguja, cul es la probabilidad de que caiga en alguno de los colores rojo, verde o azul?P[io;o, viioi o azui] = 37Pg. 1Soluciones a las actividades de cada epgrafe 13Unidad 13. Azar y probabilidadPGINA 2673 Calcula las restantes probabilidades en la experienciaI. (Sumas 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12).P[2] = 136P[3] = 236 = 118P[4] = 336 = 112P[6] = 536P[7] = 636 = 16P[8] = 536P[9] = 436 = 19P[10] = 336 = 112P[11] = 236 = 118P[12] = 1364 En la experiencia del ejercicio anterior:a) Cul es la probabilidad de que la suma sea menor que 6?b) Cul es la probabilidad de que sea mayor que 6?c) Y de que est entre 4 y 7, ambos incluidos?a) 1 + 2 + 3 + 4 = 10 resultados menores que 6. Por tanto:P[xixoi qui o] = 1036 = 518b) P[xa\oi qui o] = 2136 = 712c) P[4, 5, 6 7] = 1836 = 125 Lanzamosdosdadosynosfijamosenlamayordelas puntuaciones.Completaelcuadroadjunto.Culeslaprobabilidad de que la mayor de las puntuaciones sea 1?Y de que sea 2? Y 3? Y 4? Y 5? Y 6?1 2 3 4 5 62 2 3 4 5 65 6 3 3 3 45 6 4 4 4 45 6 5 5 5 56 6 6 6 6 6P[1] = 136P[2] = 336 = 112P[3] = 536P[4] = 736P[5] = 936 = 14 P[6] = 1136Pg. 1Soluciones a Ejercicios y problemas 13Unidad 13. Azar y probabilidadPGINA 268 PracticaEspacios muestrales. Sucesos1 Lanzamos un dado con forma de dodecaedro con las caras numeradas del 1 al 12 y anotamos el nmero obtenido.a) Cul es el espacio muestral?b) Describe los sucesos:A = Menos de 5B = Ms de 4C = Nmero parD = No mltiplo de 31257692a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}b) A = {1, 2, 3, 4};B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}C = {2, 4, 6, 8, 10, 12};D = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}2 Nos fijamos en la cifra en la que termina el premio gordo de la lotera.a) Describe el espacio muestral.b) Describe los sucesos:A = Menor que 4B = Nmero imparC = Mayor que 5a) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}b) A = {0, 1, 2, 3}B = {1, 3, 5, 7, 9}C = {6, 7, 8, 9}3 Escribimos cada una de las letras de la palabra JUEGO en un papel diferente y las ponemos en una bolsa. Extraemos una letra al azar.a) Describe los sucesos elementales de este experimento aleatorio. b) Describe el suceso obtener vocal.c) Si la palabra elegida fuera PROBABILIDAD, cmo responderas a los apartados a) y b)?a) Sucesos elementales: {J}, {U}, {E}, {G}, {O}b) Obtener vocal = {U, E, O}c) Sucesos elementales: {P}, {R}, {O}, {B}, {A}, {I}, {L}, {D}Obtener vocal = {O, A, I}4 Lanzamos una moneda dos veces y anotamos los resultados ordenadamente.a) Completa el espacio muestral:E = {CC, C+, }b) Describe los sucesos:A = La primera fue cara,B = Ninguna fue caraa) E = {CC, C+, +C, ++}b) A = {CC, C+},B = {++}Pg. 1Soluciones a Ejercicios y problemas 13Unidad 13. Azar y probabilidad5 Lanzamos una moneda tres veces y anotamos los resultados en el orden en que salen.a) Describe el espacio muestral (hay 8 casos).b) Describe los sucesos siguientes:A = Obtener dos veces caraB = Obtener dos veces cruzC = No obtener ninguna cruza) E = {CCC, CC+, C+C, C++, +CC, +C+, ++C, +++}b) A = {CC+, C+C, +CC} B = {C++, +C+, ++C} C = {CCC}Probabilidades sencillas6Hallalaprobabilidaddeobtenerun2ylaprobabilidaddeobtenerun5,al lanzar un dado correcto en cada uno de estos casos:a) b) c)(Cubo numeradodel 1 al 6)(Octaedro numeradodel 1 al 8)(Tetraedro numeradodel 1 al 4)a) P[2] = 16;P[5] = 16b) P[2] = 18;P[5] = 18c) P[2] = 14;P[5] = 07 En una bolsa hay 6 bolas rojas, 4 azules, 7 verdes, 2 amarillas y una negra. Ex-traemos una al azar. Halla la probabilidad de que:a) Sea azul. b) No sea negra. c) Sea roja o verde. d) No sea amarilla ni negra.En total hay 20 bolas.a) P[azui] = 420 = 15b) P[xo xicia] = 1920c) P[io;a o viioi] = 1320d) P[xo axaiiiia \ xo xicia] = 17208 Razona de cul de las bolsas siguientes es ms probable sacar bola roja:I II IIIPI[R] = 24 = 12 = 0,5PII[R] = 35 = 0,6PIII[R] = 47 = 0,57Por tanto, es ms probable extraer bola roja de la bolsa II.Pg. 2Soluciones a Ejercicios y problemas 13Unidad 13. Azar y probabilidad9 Lanzamos un dado correcto. Hallas las probabilidades de que el resultadosea:a) Mltiplo de 3.b) Mltiplo de 2.c) Mayor que 1.d) Menor que 5.e) Menor que 1.f) Potencia de base 2.E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}a) P[xiriiio oi 3] = 26 = 13b) P[xiriiio oi 2] = 36 = 12c) P[iisuiraoo xa\oi qui 1] = 56d) P[iisuiraoo xixoi qui 5] = 46 = 23e) P[iisuiraoo xixoi qui 1] = 0f ) P[iorixcia oi nasi 2] = P[2 4] = 26 = 1310 Extraemos una carta de una baraja espaola de 40 naipes. Halla la probabili-dad de que:a) La carta sea de BASTOS.b) La carta NO sea ni AS ni FIGURA.c) La carta sea un nmero menor que 6.d) La carta sea de OROS o FIGURA.a) P[nasros] = 1040 = 14b) P[xi as xi iicuia] = 2440 = 35c) P[xxiio xixoi qui 6] = 2040 = 12d) P[oios o iicuia] = 1940Pg. 3Soluciones a Ejercicios y problemas 13Unidad 13. Azar y probabilidadPGINA 26911 En un libro de 120 pginas, hemos contado el nmero de erratas en cada una de las pginas. Los resultados se resumen en esta tabla:Al elegir una pgina al azar:a) Cul es la probabilidad de que no tenga nin-guna errata?b) Cul es la probabilidad de que tenga exacta-mente dos erratas?c) Y la de que tenga alguna errata? Y la de que tenga ms de tres?N. ERRATAS N. PAGINAS0 581 422 163 34 1a) P[xixcuxa iiiara] fr[xixcuxa iiiara] = 58120 = 0,48b) P[oos iiiaras] fr[oos iiiaras] = 16120 = 0,13c) P[aicuxa iiiara] fr[aicuxa iiiara] = 62120 = 0,52P[xs oi riis iiiaras] fr[xs oi riis iiiaras] = 1120 = 0,0112 Extraemos una carta de una baraja espaola de 40 naipes. Halla la probabili-dad de que:a) Sea un CINCO.b) NO sea un CABALLO.c) Sea de OROS o de COPAS.d) NO sea de ESPADAS.a) P[5] = 440 = 110 = 0,1b) P[xo canaiio] = 3640 = 910 = 0,9c) P[oios o coias] = 2040 = 12 = 0,5d) P[xo isiaoas] = 3040 = 34 = 0,7513 De esta urna extraemos una bola y observamos su nmero y color. Halla las probabilidades de los siguientes sucesos:a) Obtener bola verde con nmero par.b) Obtener bola roja con nmero par.c) Obtener bola amarilla o roja.d) Obtener una bola con nmero mayor que 7.8 5 6 111 32 4 107 9a) P[viioi cox xxiio iai] = 211 (son las bolas 2 y 4)b) P[io;a \ iai] = 0 (no hay ninguna roja con nmero par)c) P[axaiiiia o io;a] = 611d) P[xxiio > 7] = 411Pg. 1Soluciones a Ejercicios y problemas 13Unidad 13. Azar y probabilidad14 De una bolsa con 7 bolas rojas, 5 verdes, 3amarillas, 11 negras y 3 azules, sa-camos una al azar. Cul es la probabilidad de quea) sea roja?b) no sea negra?En total hay 29 bolas.a) P[io;a] = 729b) P[xo xicia] = 29 1129 = 1829 Resuelve problemas15 Encima de una mesa tenemos estas cuatro cartas de una baraja espaola:Sacando al azar otra carta del mazo y fijndonos en su nmero, cul es la probabi-lidad de que la suma de las puntuaciones de las cinco cartas (las cuatro de la mesa y la extrada del mazo) sea 15? Y 16?5 + 1 + 4 + 2 = 12 son los puntos de las que ya hay. Para que la suma sea 15, la nueva carta debe ser un 3. Quedan los 4 treses en las 36 cartas restantes.Por tanto,P[suxa 15] = 436 = 19 = 0,111Para que la suma sea 16, la nueva carta debe ser cuatro. Quedan 3 cuatros entre las 36 cartas sin repartir.Por tanto,P[suxa 16] = 336 = 112 = 0,08316 Conoces el domin? Es un juego cuyas fichas son de este tipo:Hay fichas con todas las posibles combinaciones con los nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, incluyendo las dobles como el 6-6 del dibujo.a) Comprueba que en total son 28 fichas.Sacamos una ficha al azar. Calcula las siguientes probabilidades:b) La suma de los dos nmeros es 6.c) La suma es un nmero impar.d) El producto de los dos nmeros es menor que 6.En el desarrollo del juego, las fichas se van posando sobre la mesa y se enlazan unas con otras, as:Pg. 2Soluciones a Ejercicios y problemas 13Unidad 13. Azar y probabilidadLa siguiente ficha debe tener un 2, y se situara a la izquierda, o un 5, e ira a la de-recha.e) Cul es la probabilidad de que, sacando al azar una de las restantes fichas, pueda enlazar con una de las que estn sobre la mesa?a) En esta tabla vemos cules son las fichas del domin: son 28.b) Hay4fichascuyasumaes6 (marcadas en azul).P[suxa 6] = 428 = 17c) Hay12fichascuyasumaesun nmeroimpar(marcadasen verde).P[suxa ixiai] = 1228 = 37d) Hay13fichasenlasqueel productodelosdosnmeroses menor que 6.P[iiooucro xixoi qui 6] = 1328e) Como hay 6 fichas sobre la mesa, hay 22 casos posibles.Hay13fichasquecumplenla condicin, pero 5 de ellas ya estn sobre la mesa.P[riixi 2 o riixi 5] = 822 = 41117 Lanzamos una moneda y un dado y observamos los resultados obtenidos.a) Cul es la probabilidad de obtener CRUZ y CINCO?b) Y la de obtener CARA y NMERO PAR?a) P[ciuz \ 5] = 112b) P[caia \ iai] = 312 = 14Pg. 30 1 2 3 4 5 60 0-0 0-1 0-2 0-3 0-4 0-5 0-61 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-62 2-2 2-3 2-4 2-5 2-63 3-3 3-4 3-5 3-64 4-4 4-5 4-65 5-5 5-66 6-60 1 2 3 4 5 60 0-0 0-1 0-2 0-3 0-4 0-5 0-61 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-62 2-2 2-3 2-4 2-5 2-63 3-3 3-4 3-5 3-64 4-4 4-5 4-65 5-5 5-66 6-61 2 3 4 5 6C C1 C2 C3 C4 C5 C6+ +1 +2 +3 +4 +5 +60 1 2 3 4 5 60 0-0 0-1 0-2 0-3 0-4 0-5 0-61 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-62 2-2 2-3 2-4 2-5 2-63 3-3 3-4 3-5 3-64 4-4 4-5 4-65 5-5 5-66 6-6Soluciones a Ejercicios y problemas 13Unidad 13. Azar y probabilidadPGINA 27018 Lanzamos cuatro monedas. Halla la probabilidad de obtener:a) Dos caras. b) Ninguna cara. c) Alguna cara.Hacemos un diagrama en rbol para ver los casos posibles:C+ CCC+C CCCC++ CC++C CC+CC+ C+C+C C+CC++ C+++C C++CC+ +CC+C +CCC++ +C++C +C+CC+ ++C+C ++CCC+CC++++ ++++C +++CHay2 2 2 2 = 24 = 16 casos posibles.a) P[oos caias] = 616 = 38b) P[xixcuxa caia] = 116c) P[aicuxa caia] = 1 P[xixcuxa caia] = 1 116 = 151619 En una familia de 4 hijos, cul es la probabilidad de que todos sean varones? Cul es la probabilidad de que en una familia de tres hijos, sean 2 chicos y 1 chica?Este problema es similar al anterior. Hay 16 combinaciones distintas y solo una opcin de que los cuatro salgan varones. Por tanto,P[rooos vaioxis] = 116.En una familia de tres hijos, pueden darse 23 = 8 combinaciones distintas. En 3 de ellas hay 2 chicos y 1 chica. Por tanto,P[oos cuicos \ uxa cuica] = 38.20 Lanzamos dos dados. Calcula la probabilidad de que el producto de las pun-tuaciones:a) Sea 5.b) Sea 6.c) Sea 4. Haz una tabla con todos los casos posibles.a) 1 y 5, 5 y 1b) 1 y 6, 2 y 3, 3 y 2, 6 y 1c) 1 y 4, 2 y 2, 4 y 1P[iioo. = 5] = 236 = 118P[iioo. = o] = 436 = 19P[iioo. = 4] = 336 = 112Pg. 1Soluciones a Ejercicios y problemas 13Unidad 13. Azar y probabilidad21 Lanzamos dos dados. Calcula la probabilidad de que la diferencia de las pun-tuaciones:a) Sea 0.b) Sea 1.c) Sea 3.d) Sea 5.1 2 3 4 5 61 0 1 2 3 4 52 1 0 1 2 3 43 2 1 0 1 2 34 3 2 1 0 1 25 4 3 2 1 0 16 5 4 3 2 1 0Hay 36 posibles casos.a) P[sia 0] = 636 = 16b) P[sia 1] = 1036 = 518c) P[sia 3] = 636 = 16d) P[sia 5] = 236 = 11822 Lanzamos dos dados. Halla la probabilidad de:a) Obtener al menos un 6.b) Que las dos puntuaciones coincidan.c) Que una puntuacin sea mayor que la otra.1 2 3 4 5 61 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,62 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,63 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,64 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,65 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,66 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6a) Hay 36 opciones y 11 de ellas tienen un 6. Por tanto,P[ai xixos ux 6] = 1136b) Hay 36 opciones y en 6 de ellas las puntuaciones coinciden.As,P[coixcioix] = 636 = 16c) Es lo mismo que decir que no coincidan las puntuaciones.Por tanto,P[uxa xa\oi qui oria] = P[xo coixcioix] = 1 16 = 56Pg. 2Soluciones a Ejercicios y problemas 13Unidad 13. Azar y probabilidad23 En un centro escolar hay 1 000 alumnos repartidos como indica esta tabla:CHICOS CHICASUSAN GAFAS 187 113NO USAN GAFAS 413 287Se elige al azar uno de ellos. Di cul es la probabilidad de que:a) Sea chico.b) Sea chica.c) Use gafas.d) No use gafas.e) Sea una chica con gafas.f ) Si al elegir al azar nos dicen que es una chica, cul es la probabilidad de que use gafas?Completamoslatablaconlostotales;asseobtienenlasprobabilidadesdeformams sencilla:CHICOS CHICAS TOTALUSAN GAFAS 187 113 300NO USAN GAFAS 413 287 700TOTAL 600 400 1 000a) P[cuico] = 6001 000 = 35b) P[cuica] = 4001 000 = 25c) P[usa caias] = 3001 000 = 310d) P[xo usa caias] = 7001 000 = 710e) P[cuica cox caias] = 1131 000f ) P[usa caias saniixoo qui is cuica] = 11340024 En una empresa hay 200 empleados, de los que 100 son hombres y 100 son mujeres. Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres.a) Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea hombre y no fume.b) Si sabemos que el elegido no fuma, cul es la probabilidad de que sea mujer? Haz una tabla como la del ejercicio anterior.Construimos una tabla como la de la actividad anterior:HOMBRES MUJERES TOTALFUMAN 40 35 75NO FUMAN 60 65 125TOTAL 100 100 200a) P[uoxnii qui xo iuxa] = 60200 = 310b) P[xu;ii saniixoo qui xo iuxa] = 65125 = 1325Pg. 3Soluciones a Ejercicios y problemas 13Unidad 13. Azar y probabilidad25Unabotellacontiene20bolasdecoloresnegro,rojoyverde.Nosabemos cuntas de cada color, ni podemos verlo, porque la botella es opaca. Solo podemos ver, cuando la tumbamos, el color de la bola que queda junto al tapn, que es trans-parente.Durante unos das hacemos 1 000 veces la experiencia de agitar, inclinar la botella y anotar el color de la bola que se ve. Al final, hemos obtenido estos resultados:f( ) = 461f( ) = 343f( ) = 196Podemos averiguar, con cierta seguridad, cuntas bolas hay de cada color. Hagmos-lo con las negras:fr ( ) = 4611 000 = 0,461P [ ] = n20(nes el nmero de bolas negras)Comofr ( ) P [ ],hacemos:0,461 n20 8 n 20 0,461 = 9,22Estimamos que el nmero de bolas negras es 9.Cuntas bolas de cada color hay en la botella? Bolas rojas: 0,343 n20 8 n 20 0,343 = 6,86 8 n = 7 Bolas verdes: 0,196 n20 8 n 20 0,196 = 3,92 8 n = 4Estimamos que hay 9 bolas negras, 7 rojas y 4 verdes.26 Elisa, para estudiar el comportamiento de un dado chapucero, lo ha lanzado 1 200 veces, obteniendo estos resultados:CARAS 1 2 3 4 5 6N. DE VECES 248 355 175 180 126 116a) Halla la frecuencia relativa de cada una de las seis caras, expresando los resultados en forma de fraccin y de decimal con tres cifras decimales.b) Justifica que es razonable decir que las probabilidades de las caras son, aproxima-damente:P [1] = 0,2P [2] = 0,3P [3] = 0,15P [4] = 0,15P [5] = 0,1P [6] = 0,1a) fr(1) = 2481 200 = 0,207fr(2) = 3551 200 = 0,296fr(3) = 1751 200 = 0,146fr(4) = 1801 200 = 0,15fr(5) = 1261 200 = 0,105fr(6) = 1161 200 = 0,097b) 0,207 0,2; 0,296 0,3; 0,146 0,15; 0,105 0,1; 0,097 0,1Por tanto, a la vista de la experiencia, s es razonable afirmar que las probabilidades son las que se nos dice.Pg. 4Soluciones a Ejercicios y problemas 13Unidad 13. Azar y probabilidadPGINA 271 Problemas +27 Hemos de jugar a C y + con una cierta ficha. Antes de empezar, experimento con ella y obtengo 37 CARAS y 3 CRUCES. Qu te parece ms correcto, apostar por + porque ya es hora de que salga o por C porque parece que sale ms?Si de 40 lanzamientos se han obtenido 37 caias y 3 ciucis, las probabilidades de C o + sern equivalentes a sus frecuencias relativas (el nmero de lanzameintos es relativamente grande). Por tanto:fr (C ) P[C] = 3740fr (+) P[+] = 340Sera ms correcto apostar por caia.28 Se han hecho anlisis de sangre a 200 personas para determinar su grupo san-guneo, as como el Rh. Los resultados se resumen en esta tabla:GRUPO AGRUPO BGRUPO ABGRUPO0TOTALESRH+ 74 12 6 70 162RH 18 3 1 16 38TOTALES 92 15 7 86 200a) Si elegimos al azar una persona de entre esas 200, cul es la probabilidad de que su grupo sanguneo sea A? Y de que sea 0? Y de que tenga Rh+?b) Si elegimos una persona del grupo sanguneo B, cul es la probabilidad de que tenga Rh+?a) P[A] = 92200 = 0,46P[O] = 86200 = 0,43P[Rh+] = 162200 = 0,81b) Si elegimos alguien con grupo B:P[Rh+] = 1215 = 45 = 0,829 Dejamos caer una bola en el embudo de este aparato.Calcula la probabilidad de que caiga en cada uno de los de-psitos I, II, III y IV.Si tirsemos 8 bolas y se repartieran equitativamente:P[I] = 48 = 12P[II] = 28 = 14P[III] = 18P[IV] = 18I IIA B 8422 1 1 4C III IVPg. 1I IIABCIII IVSoluciones a Ejercicios y problemas 13Unidad 13. Azar y probabilidad30 Cul es la probabilidad de que una bola caiga en cada uno de los depsitos?A B C D ESi tirsemos 8 bolas:P[A] = 28 = 14P[B] = 18P[C] = 38P[D] = 18P[E] = 18ABCDE 84 42 2221 1111 1 1 2 331 Esto es un plano de parte de la red de cercanas de una ciudad. En cada bifur-cacin es igual de probable que el tren contine por un camino u otro.A871236 5 4Si un viajero se sube a un tren en A sin saber adnde se dirige, cul es la probabili-dad de que llegue a la estacin 5?Calcula la probabilidad de llegar a cada una de las estaciones.Sieltrenseencuentraenunabifurcacincon2opciones,tiene1/2deprobabilidad de ir por cada una de ellas. Si se encuentra en una bifurcacin con 3 posibles opciones, tendr 1/3 de probabilidad de ir por cada uno de los caminos, y as en todos los casos.Para llegar de A a la estacin 5 pasa por una bifurcacin con 2 posibles caminos, otra con 3 posibles caminos y una ltima con otros tres posibles caminos.Por tanto,P[iiicai a 5] = 12 13 13 = 118.P[iiicai a 1] = 12 13 12 = 112P[iiicai a 2] = 12 13 12 = 112P[iiicai a 3] = 12 13 = 16P[iiicai a 4] = 12 13 13 = 118Pg. 2Soluciones a Ejercicios y problemas 13Unidad 13. Azar y probabilidadP[iiicai a 6] = 12 13 13 = 118P[iiicai a 7] = 12 12 = 14P[iiicai a 8] = 12 12 = 1432 En una bolsa hay seis bolas numeradas, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, y extraemos tres de ellas. Calcula:a) P [suma10].(Hay20casosposibles.Descrbelostodos:123,124,125,126, 134)b) P [suma 9]c) P [producto 12]d) P [la mayor es cinco]e) P [la mayor es 2]a) Estos son todoslos casos: 123,124, 125, 126, 134, 135,136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.P[suxa 10] = 320b) P[suxa 9] = 320c) P[iiooucro 12] = 220 = 110d) P[ia xa\oi is 5] = 620 = 310e) P[ia xa\oi is 2] = 033 Lanzamos tres dados: rojo, verde y azul.a) Calcula la probabilidad de que la suma de los resultados sea 10. Para ello ten en cuenta que:Los posibles resultados son 6 6 6 = 216.La suma 10 se da con los siguientes resultados:136, 145, 226, 235, 244 y 334Pero 136 puede ser cualquiera de estos casos:136, 163, 316, 361, 613, 631Y 226 puede ser cualquiera de estos:226, 262, 622Es decir, si los tres valores son distintos, hay 6 casos, y si hay dos valores iguales, salen 3 casos.Calcula, adems:b) P [suma 11]c) P [suma 9]d) P [producto 12]e) P [producto 36]f ) P [el mayor es 5]. Por ejemplo, 351. Si ha salido 552, el mayor es 5.a) Para 136, 145 y 235 tenemos 6 posibles casos con cada uno y para 226, 244 y 334 tenemos3casosconcadauno.Luegohay36+33=27casosfavorables.Por tanto,P[suxa 10] = 27216 = 18.Pg. 3Soluciones a Ejercicios y problemas 13Unidad 13. Azar y probabilidadb) La suma 11 se da con estos resultados: 146, 155, 236, 245, 335, 344.Para 146, 236 y 245 tenemos 6 posibles casos con cada uno y para 155, 335 y 344 tenemos3casosconcadauno.Luegohay36+33=27casosfavorables.Por tanto,P[suxa 11] = 27216 = 18.c) La suma 9 se da con estos resultados: 126, 135, 144, 225, 234, 333.Para 126, 135 y 234 tenemos 6 posibles casos con cada uno; para 144 y 225 tenemos 3 casos con cada uno, y para 333 solo existe un caso. Luego hay 3 6 + 2 3 + 1= 25 casos favorables. Por tanto,P[suxa 9] = 25216.d) El producto 12 se da con estos resultados: 126, 134, 223.Para 126 y 134 tenemos 6 posibles casos con cada uno y para 223 tenemos 3 casos con cada uno. Luego hay 2 6 + 3 = 15 casos favorables.Por tanto,P[iiooucro 12] = 15216 = 572.e) El producto 36 se da con estos resultados: 166, 236, 334.Para 236 tenemos 6 posibles casos y para 166 y 334 tenemos 3 casos con cada uno. Luego hay 6 + 2 3 = 12 casos favorables. Por tanto,P[iiooucro 36] = 12216 = 118.f ) El nmero 5 aparece en los siguientes casos, y es el mayor: 115, 125, 135, 145, 155, 225, 235, 245, 255, 335, 345, 355, 445, 455, 555.Para 125, 135, 145, 235, 245, 345 hay 6 posibles casos.Para 115, 155, 225, 255, 335, 355, 445, 455 hay 3 casos posibles.Para 555 solo hay un caso.P[ii xa\oi is 5] = 6 6 + 8 3 + 1216 = 61216Pg. 4Unidad 13. Azar y probabilidadSoluciones a Y para terminar 13PGINA 272Utiliza tu ingenioRifaTodaslaspapeletasdeunarifasehanvendidoentrespueblos:Montejo,Montoroy Montilla.En Montoro se han vendido la mitad que en Montejo, y en este, el triple que en Montilla.Cul es la probabilidad de que toque el premio en cada uno?Supongamos que la probabilidad de que toque en Montejo esp.Las probabilidades para cada poblacin seran:Montoro (mitad que en Montejo)8p2Montejo8pMontilla (un tercio de Montejo)8p3La suma de probabilidades debe ser 1:p2 + p + p3 = 18116 p = 18p = 611Las probabilidades para cada poblacin son, por tanto:Montoro8622 = 311Montejo8611Montilla8633 = 211Pg. 1Unidad 13. Azar y probabilidadSoluciones a Y para terminar 13PGINA 273Utiliza tu ingenioCuatro igualesDe una bolsa que contiene veinte bolas rojas, diez verdes y cinco negras, se van sacando bolas, una a una.Cuntas extracciones hay que realizar para tener la seguridad de haber sacado cuatro bolas del mismo color?Si hacemos 10 extracciones, es seguro que habr cuatro bolas del mismo color. Con menos extracciones no podemos asegurarlo, porque podra haber 3 bolas de cada color.Pg. 1