unidad 13: azar y probabilidad ejercicios propuestos
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Curso 2021-2022 MATEMATICAS II
Unidad 13. Azar y probabilidad
Unidad 12 Página 1
Unidad 13: AZAR Y PROBABILIDAD
EJERCICIOS PROPUESTOS
Contenidos Criterios de
evaluación
Estándares de aprendizaje
evaluables
Sucesos
- Operaciones y propiedades. Reconocimiento y
obtención de sucesos complementarios incompatibles,
unión de sucesos, intersección de sucesos...
- Propiedades de las operaciones. Leyes de Morgan.
Ley de los grandes números
- Frecuencia absoluta y frecuencia relativa de un suceso.
- Frecuencia y probabilidad. Ley de los grandes números.
- Propiedades de la probabilidad.
- Justificación de las propiedades de la probabilidad.
Ley de Laplace
- Aplicación de la ley de Laplace para el cálculo de
probabilidades sencillas.
- Reconocimiento de experiencias en las que no se puede
aplicar la ley de Laplace.
Probabilidad condicionada
- Dependencia e independencia de dos sucesos.
- Cálculo de probabilidades condicionadas.
Fórmula de la probabilidad total
- Cálculo de probabilidades totales.
Fórmula de Bayes
- Cálculo de probabilidades “a posteriori”.
Tablas de contingencia
- Posibilidad de visualizar gráficamente procesos y
relaciones probabilísticos: tablas de contingencia.
- Manejo e interpretación de las tablas para plantear y
resolver algunos tipos de problemas de probabilidad.
Diagrama en árbol
- Posibilidad de visualizar gráficamente procesos y
relaciones probabilísticos.
- Utilización del diagrama en árbol para describir el
proceso de resolución de problemas con experiencias
compuestas. Cálculo de probabilidades totales y
probabilidades “a posteriori”.
1. Conocer y aplicar
el lenguaje de los
sucesos y la
probabilidad asociada
a ellos, así como sus
operaciones y
propiedades.
1.1. Expresa mediante
operaciones con sucesos un
enunciado.
1.2. Aplica las leyes de la
probabilidad para obtener la
probabilidad de un suceso a
partir de las probabilidades de
otros.
2. Conocer los
conceptos de
probabilidad
condicionada,
dependencia e
independencia de
sucesos, probabilidad
total y probabilidad “a
posteriori”, y
utilizarlos para calcular
probabilidades.
2.1. Aplica los conceptos de
probabilidad condicionada e
independencia de sucesos para
hallar relaciones teóricas entre
ellos.
2.2. Calcula probabilidades
planteadas mediante enunciados
que pueden dar lugar a una
tabla de contingencia.
2.3. Calcula probabilidades
totales o “a posteriori”
utilizando un diagrama en árbol
o las fórmulas
correspondientes.
2.4. Aplica el teorema de Bayes.
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EJERCICIOS PROPUESTOS
(4 ejercicios voluntarios para entregar el día del examen)
1.1. Expresa un enunciado mediante operaciones con sucesos.
El origen de la probabilidad como parte de las matemáticas hay que buscarlo en el estudio
de la facilidad de ganar en los juegos de azar. En particular nos preguntamos cuánto deberíamos
pagar una apuesta en un juego de azar para que fuera justo.
Si apostamos a la ruleta por un número y ganamos, ¿cuánto nos deberían pagar? La
respuesta es que si apostamos 1 euro, nos pagan 35, incluido el euro que hemos apostado. La
ruleta consta de 35 números del 1 al 35 más una casilla con el 0. Está claro que el juego no es
totalmente justo y hay una pequeña ganancia para la banca. Pensamos que hay 36 posibilidades y
que nos correspondería cobrar 36 euros. Imaginemos que apuesto en todas las casillas, he apostado
36 euros, está claro que voy a ganar y en sólo una de ellas. Pues me deberían pagar todo lo
apostado.
Dispones de dos barajas dispuestas en montones y sacas al azar dos cartas, una de cada
baraja, así hasta agotar los dos montones. Ganas si nunca salen dos cartas iguales. Si apuesto un
euro, ¿Cuánto debería ser la cuantía del premio para que tú te arriesgaras a jugar?
A veces los juegos de azar son muy complicados (como en el ejemplo anterior) y su
estudio requiere sentar las bases de lo que entendemos por probabilidad.
Empezamos recordando la terminología básica sobre sucesos. Atento a este video. Video
12 – 1 – 1: https://www.youtube.com/watch?v=2J3EpDBCXoY
Lanzamos un dado. Este video proporciona ejemplos de sucesos en este experimento
aleatorio y de operaciones entre esos sucesos.
Video 12 – 1 – a :https://www.youtube.com/watch?v=m0B--gG6BNQ
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En el siguiente video se relacionan los diferentes tipos de sucesos que hay.
Video 12 – 1 – g : https://www.youtube.com/watch?v=-FkjYQcdI84
1.2. Aplica las leyes de la probabilidad para obtener la probabilidad de un
suceso a partir de las probabilidades de otros
Lo más interesante de la probabilidad es que la podemos aplicar a la estadística, y hacer
una equiparación entre resultados en términos de probabilidad con otros de frecuencias.
En tu libro de texto tienes asociada la idea de probabilidad a la de frecuencia, y enunciada
la ley de los grandes números. En el libro de texto recomendado aparece en la página 392.
La idea es sencilla. En este instituto hay matriculados 1247 alumnos, de los cuales 631 son
chicos. Si nos cuentan que a un alumno de este instituto lo han seleccionado para Operación
Triunfo, ¿cuál es la probabilidad de que hayan seleccionado a un chico?… ¿y que sea una chica la
seleccionada?
( )
Y todas las fórmulas de probabilidad(más adelante las repasaremos) que hemos establecido
con los juegos de azar nos siguen valiendo, así:
( ) ( )
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La ley de los grandes números establece que las frecuencias relativas se comportan como
la probabilidad si el número de veces que realizamos el experimento es muy grande.
Este es un video dónde se resuelve un ejercicio y se explica la ley de los grandes números.
https://www.youtube.com/watch?v=JHowjTqH2p4
La probabilidad de un suceso de un experimento aleatorio simple se define utilizando la
denominada ley de Laplace. En el siguiente video te lo explican a partir del minuto tres.
Video 12 – 2 – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=2XWejSaiwNE
En este otro video te recuerdan las operaciones con sucesos.
https://www.youtube.com/watch?v=m0B--gG6BNQ
Una de las propiedades más importantes es conocida como leyes de Morgan. En el
siguiente video aparecen quiero que les prestes atención.
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Video 12 – 2 – c :https://www.youtube.com/watch?v=lLCkoEVlmfo
En el siguiente video se aplican las leyes de Morgan a un problema con enunciado. Ten
presente que la probabilidad de ninguno es lo contrario de la probabilidad de alguno. La
probabilidad viene de un resultado estadístico.
Video 12 – 2 – d : https://www.youtube.com/watch?v=Z0n9Vsviyy0
.
A continuación te muestro un ejercicio para que veas cómo se utilizan las fórmulas de
probabilidad.
Vuelvo a insistir con la ley de Laplace. Esta idea es importante: calcular una probabilidad
supone contar.
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Te muestro un ejemplo donde se utiliza una tabla para ayudarnos a contar.
Observa que si lanzamos dos dados y multiplicamos los resultados obtenidos, tenemos los
36 casos posibles que aparecen en la tabla (la fila es un dado, y la columna el otro dado). Entre
estos resultados posibles escogemos los favorables a nuestro suceso “el producto de las caras es
12” y encontramos que aparece el 12 en cuatro ocasiones. Aplicamos la ley de Laplace.
La ley de Laplace no se puede aplicar cuando los sucesos elementales no son
equiprobables. Veamos un ejemplo:
Existe un dado de quinielas cuyos resultados posibles son 1 X 2. La probabilidad de salir
un 1 es 1/3 porque hay 3 sucesos posibles y 1 suceso favorable. Esto parece creíble pero esto no es
cierto.
El dado lleva pintado el 1 en tres caras, la X en dos, y el 2 en una sola cara. Así que no
podemos aplicar la ley de Laplace y hemos de establecer primero la probabilidad de cada suceso
elemental:
( )
( )
( )
Y a partir de ellos calcular la probabilidad de un suceso utilizando la definición como suma
de las probabilidades de los sucesos elementales favorables.Por ejemplo:
( ) ( ) ( )
2.1. Aplica los conceptos de probabilidad condicionada e independencia
de sucesos para hallar relaciones teóricas entre ellos
Busca en tu libro de texto una explicación de la probabilidad condicionada. Te interesa
conocer la definición de sucesos independientes como aquellos a los que no le afecta la
condicionada, es decir, ( ) ( ) y como consecuencia de esto se dice:
( ) ( ) ( )
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Video 12 – 3 – a : https://www.youtube.com/watch?v=_vl-2RsrpgQ
2.2. Calcula probabilidades planteadas mediante enunciados que pueden
dar lugar a una tabla de contingencia
En tu libro de texto encontrarás un ejemplo de las tablas de contingencia. Se pueden
utilizar para experimentos simples y para experimentos compuestos. En este apartado vamos a
estudiarlas para experimentos simples.
Un ejemplo de experimento simple es el siguiente:
Estos resultados se trasladan a una tabla de contingencia. En las filas colocamos el color de
ojos, y en las columnas el color de pelo, (pero podíamos haberlo hecho al revés)
Una vez colocado el 100 en la casilla inferior derecha, escribimos los porcentajes en las
casillas correspondientes. El 15 se corresponde con una de las cuatro casillas de la intersección
(las de color azul más claro) y los sucesos y sus contrarios sumados en los totales de cada fila y de
cada columna. Así colocamos el 25 como total de ojos castaños y el 40 como total de cabello
castaño.
Completamos la tabla de manera que sume en todas direcciones:
A partir de este momento con la tabla rellena me pueden preguntar cualquier cosa que no
tengo ninguna dificultad en contestar:
P(una persona no tenga ojos castaños ni cabello castaño) = 0,50= 50%
P(una persona tenga ojos castaños pero no ojos castaños) = 0,25 = 25%
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P(una persona tenga ojos castaños pero no el cabello castaño) = 0,10= 10%
P(una persona tenga el cabello castaño) = 0,40=40%
P(una persona no tenga el cabello castaño) =0,60=60’%
P(una persona tenga los ojos castaños)= 0,25=25%
P(una persona no tenga los ojos castaños) = 0,75=75%
Estos son los números de la tabla pero podemos también calcular sucesos unión o sucesos
condicionados.
P(una persona tenga los ojos castaños o el cabello castaño) = 1 – P(una persona no tiene
los ojos castaños ni el cabello castaño) = 1 – 0,50= 0,50= 50%
P(una persona no tenga los ojos castaños o tenga el cabello castaño) = 1 – P(una persona
tenga los ojos castaños y no tenga el cabello castaño) = 1 – 0,25 = 0,75 = 75%
P(una persona tenga los ojos castaños sabiendo que tiene el cabello castaño) es una
probabilidad condicionada y debemos aplicar la fórmula o el razonamiento siguiente:
sabemos que tiene el cabello castaño, entonces es uno de los 40 que aparece en la tabla y
debemos buscar los que tengan las dos condiciones, que son 15. La respuesta es 15/40= 0,
375.
Tener ojos castaños son 25, en esta columna las dos condiciones son 15.
Escribamos entonces el cuadro resumen de cómo emplear la tabla de contingencia en un
experimento aleatorio simple.
Sean dos sucesos A y B, la tabla de contingencia es la siguiente:
A A’
B A∩B A’∩B Total de B
B’ A∩B’ A’∩B’ Total de B’
Total de A Total de A’ 100
Ejercicio 13 – 1 .-
Quiero que vayas resolviendo el siguiente ejercicio en tu cuaderno al mismo tiempo que
vas viendo el video. https://www.youtube.com/watch?v=HpBLXNRHJp8
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Ejercicio 13 – 2 .-
Un ejercicio similar a este lo puedes encontrar resuelto en numerosas páginas web. Te doy el
enlace a una de ellas ENLACE 2.3. Calcula probabilidades totales o “a posteriori” utilizando un
diagrama en árbol o las fórmulas correspondientes
Otro método de resolución de los problemas de probabilidad es usando un diagrama de
árbol. Busca y encuentra ejemplos en tu libro.
Los diagramas de árbol son interesantes para experimentos aleatorios compuestos. Vamos
a recordarlos.
Dos experimentos aleatorios son independientes (NO CONFUNDAS EXPERIMENTOS
ALEATORIOS INDEPENDIENTES CON LO ESTUDIADO ANTERIORMENTE: SUCESOS
INDEPENDIENTES) cuando uno no condiciona al otro. Por ejemplo: lanzar un dado y sacar una
carta de una baraja. En este caso la probabilidad se calcula multiplicando:
( )
Pero es muy frecuente estudiar experimentos dependientes: por ejemplo sacar dos cartas de
una baraja española de cuarenta cartas. La primera carta extraída condiciona la segunda extracción
aunque nosotros no hayamos visto el resultado y razonamos así:
( ) ( ) (
)
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Y pensamos que si ha salido un as, cuando vamos a efectuar la segunda extracción quedan
39 cartas en la baraja de las que sólo 3 son ases.
( )
Video 12 – 5 – b : https://www.youtube.com/watch?v=Gwjbadd3W9Q
La probabilidad total hace referencia a los resultados de un segundo experimento sin
conocer lo que ha ocurrido en un experimento previo siendo ambos dependientes o
independientes.
Sacamos dos cartas de una baraja, ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda sea de oros?
Respuesta: no lo puedo saber porque no sé qué ha ocurrido con la primera.
La probabilidad va más allá y sí lo puede saber. Razonamos de la siguiente manera: En el
primer experimento sacar una carta de la baraja española, pueden ocurrir dos sucesos A= sale una
carta de oros, y su contrario B= no sale una de oros.
( )
( )
Para calcular la probabilidad en el segundo experimento debemos estudiar ambos casos.
P(segunda cartas es de oros ) = P(segunda carta es de oros cuando la primera ha sido oros)
+ P(segunda carta es de oros cuando la primera no ha sido de oros)
Llamamos suceso + = la segunda carta es oros, y escribimos la fórmula de la probabilidad
total:
( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) (
)
En nuestro ejemplo:
( )
( ) (
)
( ) ( )
( )
Un lío, pues sí, hay que realizar muchos ejercicios de este tipo para cogerle el truco. Para
ayudarnos a resolver este tipo de problemas disponemos de una herramienta: los diagramas de
árbol.
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Ejercicio 13 –3 .-
Resuelve el ejercicio que aparece en el video.
Video 12 – 5 – c: https://www.youtube.com/watch?v=cK-aPU-vRM8
2.4. Aplica el teorema de Bayes
La idea es la siguiente: Sabemos lo que ha ocurrido en el segundo experimento y nos
preguntamos qué puede haber ocurrido en el primero. Por ejemplo: un amigo saca una carta de la
baraja, y luego del resto, nosotros sacamos una carta y resulta ser de oros. Nos preguntamos cuál
es la probabilidad de que nuestro amigo haya sacado una carta de oros.
Como seguimos con el ejemplo anterior (que vimos en la probabilidad total) utilizamos la
misma nomenclatura y aplicamos la fórmula de Bayes. Ha ocurrido el suceso + y nos preguntamos
por la probabilidad de que haya ocurrido el suceso A.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
Al igual que antes para resolver este tipo de problemas disponemos de la poderosa
herramienta: los diagramas de árbol.
Video 12 – 6 – a: https://www.youtube.com/watch?v=zQqxBirepKw
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Ejercicio 13 – 4 .-
Resuelve el ejercicio que aparece en el video.
Video 12 – 6 – c: https://www.youtube.com/watch?v=JuRrOZ7c2yg
Si piensas presentarte a la prueba de acceso a la universidad has de saber que
aparecen ejercicios de esta unidad. Les puedes echar un vistazo en este enlace:
http://www.musat.net/web_2bach/Selectividad/SelectividadCSsol_porMat.pdf