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Tema 3. Razones y proporciones: porcentajes y variación proporcional

Al preparar comida también se usan las matemáticas, por ejemplo: al preparar 2 litros de atole se le agregan 2 tazas de azúcar, entonces, si se quieren preparar 10 litros, ¿cuántas tazas de azúcar se necesitarían?

Rosa comenzó a vender bolillos, hizo una tabla de precios para saber cuánto dinero cobrar en la compra de una determinada cantidad de bolillos. ¿Qué ocurre con las cantidades de la segunda columna cuando las cantidades de la primera columna aumentan? Al dividir el número de la primera columna por su correspondiente número de la segunda columna siempre da el mismo

resultado: 3 1

= 6 2

= 30 10

= ...33.0 = 3.0 y viceversa, la división de los

números de la segunda entre la primera siempre es igual a 3. Como se observa en los ejemplos anteriores, una razón es una comparación de dos números por medio de una división. La

Bolillos Total ($) 1 3 2 6 3 9 4 12 5 15 6 18 7 21 8 24 9 27 10 30

Litros de atole

Tazas de azúcar

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

61

M

A

T

E

M

Á

T

I

C

A

S

forma más común y útil de expresar una razón es por medio de una fracción. La razón tiene dos partes: antecedente y consecuente.

A la igualdad de dos razones se llama proporción. Retomando el ejemplo anterior, si Rosa vendió 15 bolillos, ¿cuánto cobró?

Se tienen dos razones: 1 bolillo por $3 y 15 bolillos por un dato desconocido. El dato desconocido se representa por n, igualando las razones.

31

= n

15

Aplicando el criterio de productos cruzados:

1531 ×=× n , es decir, 153×=n .

Así que Rosa cobró $45. Variación proporcional En una tabla de variación se muestra la relación que hay entre dos magnitudes. Éstas varían en forma directamente proporcional: cuando aumenta o disminuye una de ellas, la otra también aumenta o disminuye. Dos magnitudes varían inversamente proporcional: cuando aumenta o disminuye una de ellas, la otra disminuye o aumenta respectivamente.

La razón de a a b

baoba

:

102

51 =

62

Variación proporcional directa

Variación proporcional inversa

Cajas de refrescos

1 2 3 4 Número de

obreros 1 2 3 4

Números de refrescos

24 48 72 96 Días para

realizar un trabajo

12 6 4 3

Para resolver problemas de proporcionalidad directa se usa la igualdad de razones y el criterio de productos cruzados, por ejemplos: Elvira presentará un examen que consta de 120 preguntas, ¿cuántas preguntas tendrá que contestar para obtener un 9 de calificación?

La proporción a resolver es, p

120 =

910

, donde p es el número de

preguntas que tendrá que contestar. Luego p×=× 109120 , es

decir 10810

108010

9120==

×=p .

Porcentajes Cuando en el radio informan que hay grandes ofertas que van desde el 10 hasta el 50 por ciento de descuento en algún artículo, ¿qué es esto del tanto por ciento (%) o porcentaje? El porcentaje es tomar una parte del todo, como media manzana o sólo la décima parte.

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M

A

T

E

M

Á

T

I

C

A

S

En el dibujo 104

de los cuadritos están sombreados,

es más claro expresar la información mediante una fracción equivalente con denominador 100. En este caso 40 de 100 cuadritos están

sombreados, esto es 10040

. En número decimal se

denota 0.4, también se puede decir que un 40 por ciento del cuadrado total está sombreado. Lo anterior se denota como 40%. Toda fracción cuyo denominador es 100 es un porcentaje.

Ejemplos: a) Se dice que la Tierra está cubierta por agua en 10075

,

es decir que 75 partes de 100 ó el 75 % están cubiertas de agua. b) Calcular el 15% de 870.

15% de 870 significa 10015

de 870. Entonces,

50.130100

13050100

87015870

10015

==×

=× , el 15% de 870 es 130.5.