una introducción a la estimación de la ley de corte (1)

UNA INTRODUCCION A LA

ESTIMACIN DE LA LEY

DE CORTE

POR JEAN-MICHEL RENDU

Traducido por: Jorge Ortega R. (UNT)

UNA INTRODUCCIN A LA ESTIMACIN DE LA

LEY DE CORTE

Prefacio

Este libro comenz con el deseo de entender cmo responder a la aparente simple, pero

actualmente compleja pregunta, encarada por todos aquellos responsable por el desarrollo y la

operacin de mina: Cmo determinamos qu ley de corte debe ser usada para separar el

material que debe ser procesado del que debe ser enviado a botadero? La respuesta parece clara:

Si es rentable procesar una tonelada mtrica de material, esta tonelada debe ser procesada. Pero,

qu es rentable? La ley de corte tiene una relacin directa con las toneladas de material minado,

el tonelaje y las leyes promedios del material procesado, el tamao de la operacin minera, y

consecuentemente los costos de capital, costos de operacin, e impactos ambientales y socio-

econmicos. Deberamos maximizar el flujo de caja, el valor actual neto, la vida de la operacin

minera, el retorno a los accionistas? Cmo debemos tomar en cuenta los valores, objetivos y

regulaciones econmicas, ambientales, sociales, ticas y morales?

Sorprendentemente, solo otro libro ha sido escrito exclusivamente sobre el tema de la estimacin

de la ley de corte: The Economic Definition of Ore: Cut-Off Grades in Theory and Practice por Ken

Lane, publicado en 1988. El libro de Lane fue y seguir siendo el estndar para la formulacin

matemtica de soluciones para la estimacin de la ley de corte cuando el objetivo es maximizar el

valor actual neto. Los conceptos previamente formulados por Lane son usados como el

fundamento de este libro.

Se han hecho considerables progresos en los ltimos 20 aos para mejorar el planeamiento de

mina y la optimizacin de la ley de corte. Cada vez ms se han desarrollado complejos algoritmos,

y mejor, ms fcil de usar, programas de computadora han sido escritos para asistir a ingenieros y

economistas en el anlisis de los planes de mina, probando las opciones, y mejorando los

programas de produccin. Los programas de computadora se han vuelto ms fciles de usar, pero

los supuestos hechos por aquellos que escribieron el programa usualmente estn perdidos para el

usuario final. Con este libro espero tender un puente sobre la brecha entre la teora y la prctica,

la torre de marfil y los ingenieros en el campo, describiendo los principios fundamentales de la

estimacin de la ley de corte y proveyendo ejemplos concretos.

Este libro comenz como notas escritas durante los ltimos treinta aos. Eventualmente, estas

notas se convirtieron en un corto curso introductorio. Cada vez que dicto el curso, ms y ms

preguntas fueron hechas respecto a situaciones cada vez ms complejas, demandando ms

ejemplos prcticos y desafiando los supuestos hechos. Cada pregunta result en correcciones,

adiciones, y ms captulos. Estoy extremadamente agradecido a aquellos que me ayudaron al

respecto. Ellos son muchos a lo largo de varios aos para ser nombrados aqu. Ellos saben quines

son y no habra continuado este libro sin su aprobacin e inters en la materia. Estoy

especialmente agradecido a Ernie Bohner, quin me motivaba cuando dudaba si tena una historia

que contar o habra suficiente inters en continuar este esfuerzo para hacer que valga la pena. Es

a causa de Ernie que complet este libro. Tambin quiero agradecer a la Sociedad de Minera,

Metalurgia y Exploracin, y a Jane Olivier, quienes aceptaron el manuscrito y lo publicaron en un

tiempo record. Ninguna de estas personas, por supuesto, puede ser culpada por algunos errores o

lapsus que puede haber hecho y por lo cual soy totalmente responsable.

Mi primer libro, An introduction to Geostatical Methods of Mineral Evaluation, fue publicado en

1978 con el objetivo de clarificar la ya secreta ciencia de la Geoestadstica. Es lgico que Una

Introduccin a la Estimacin de la Ley de Corte se publique con el mismo objetivo en 2008,

exactamente treinta aos despus.

DEDICACIN

Dedico este libro a mi esposa Karla y a mis hijos, Yannick y Mikael. Vivir con un esposo y padre que

pas mucho tiempo viajando a remotas minas por todo el mundo, y cuando regresaba a casa

pasaba largas horas trabajando frente de un computador, no era sin desafos y decepciones. Estoy

muy agradecido por su paciencia, comprensin e incuestionable amor.

CAPITULO UNO

Introduccin

La ley de corte es generalmente definida como la cantidad mnima de producto valioso o metal

que una tonelada mtrica (esto es, 1,000 kilogramos) de material debe contener antes que este

material sea enviado a la planta de procesamiento. Esta definicin se usa para distinguir el

material que debe ser minado o debe ser enviado a botadero de aquel material que debe ser

procesado. La ley de corte es tambin usada para decidir el destino del material minado cuando

dos o ms procesos estn disponibles, tales como lixiviacin en pilas y molienda. La ley de corte es

usada para decidir si el material debe ser apilado para procesarlo en el futuro o procesarlo

inmediatamente.

Las leyes de corte son calculadas comparando los costos y beneficios. En ambientes geolgicos y

metalrgicos simples, un solo nmero, tal como mnimo contenido de metal, es suficiente para

definir la ley de corte. En la mayora de situaciones, los costos y recuperaciones, y por lo tanto las

leyes de corte, varan con las caractersticas geolgicas del material a ser minado. La ley es

usualmente el factor ms importante pero no puede ser el nico. Si el material es enviado a

botadero, los potenciales cidos generados de este material deben tener un impacto directo en los

costos relacionados al control ambiental. El contenido sulfrico puede ser un factor crtico, incluso

decisivo, para el material enviado a tostacin o planta de flotacin. El contenido de arcilla puede

tener un efecto nocivo en la recuperacin y rendimiento de la planta de lixiviacin.

La ley de corte define la rentabilidad de una operacin minera as como la vida de mina. Una alta

ley de corte puede ser usado para incrementar la rentabilidad en el corto plazo y valor actual neto

de un proyecto, as posiblemente mejorar el beneficio a los accionistas y otros grupos de inters

financieros, incluyendo al gobierno y las comunidades locales. Sin embargo, al incrementar la ley

de corte es tambin probable disminuir la vida de mina. Una vida de mina ms corta puede

reducir las oportunidades dependientes del tiempo, tales como aquellas ofrecidas por los ciclos de

precios. Una vida de mina menor puede tambin resultar en un alto impacto socio-econmico con

reducidos empleos en el largo plazo y decrecer los beneficios a los empleados y locales

comunidades.

Incrementar la ley de corte puede ser considerado para reducir el riesgo poltico asegurando un

alto retorno de financiero en un periodo corte de tiempo. La ley de corte puede incrementarse

cuando los precios de los metales incrementan, si esto es necesario para fortalecer la posicin

financiera de la compaa y reducir el riesgo de falla cuando los caen los precios de los metales.

Por el contrario, la ley de corte puede disminuir durante periodos de altos precios para

incrementar la vida de la mina y conservar material de alta ley disponible para mantener la

rentabilidad cuando los precios caen. La ley de corte est tambin limitada por criterios de

rendimiento econmico o tcnico impuesto por bancos u otras entidades financieras.

En algunos momentos, una decisin concienzuda debe hacerse para incrementar la capacidad de

mina mientras se mantiene la capacidad de planta constante. Esto permite un aumento de la ley

de corte. Algo del material de baja ley debe ser apilado para procesarlo en una fecha posterior. El

apilamiento puede tener un numero de consecuencias algunas positivas (tales como incrementar

la vida til de las instalaciones de procesamiento) y otras negativas (tales como incrementar el

riesgo ambiental y disminuir la recuperacin metalrgica del material apilado).

La ley de corte tiene un impacto directo en las reservas por lo cual la difusin pblica est sujeta a

las reglas y regulaciones de varias bolsas de valores y otras agencias reguladoras. Las reservas

publicadas y generalmente las aceptadas prcticas contables estn vinculadas. Las reservas entran

en el clculo de la depreciacin de capital, el valor contable de la empresa, costos de produccin

unitarios e impuestos. Las reservas publicadas estn tambin vinculadas al valor que le da el

mercado financiero a una compaa minera. Para algunos commodities, hay una creencia

ampliamente sostenida, pero sin duda incorrecta, que este vnculo es primariamente una funcin

de la magnitud de reservas y que la calidad es de menor importancia. Bajas leyes de corte pueden

ser consideradas deseables por aquellos que calculan o publican el reporte de reservas si

bonificaciones personales estn en funcin de la magnitud de las reservas publicadas. Como

resultado de estos vnculos algunos deseables, otros no puede parecer deseable maximizar las

reservas publicadas usando una ley de corte menos tcnica, financiera y legalmente defendible.

Sin embargo, se debe considerar que las reservas son publicadas para informar a los inversionistas

y otros grupos de inters, y esos procesos y controles deben ser establecidos para eliminar la

influencia de factores que podran resultar en la publicacin de estimaciones errneas.

Los grupos de inters exteriores e interiores tienen inters en la ley de corte y las reservas que

derivan de l. Exteriores incluyen a los accionistas, entidades financieras, comunidades locales,

ambientalistas, reguladores, agencias gubernamentales y no gubernamentales, proveedores,

contratistas y clientes del producto final a ser vendido. Interiores incluyen la gerencia de la

compaa y empleados. La junta directiva representa los intereses de los accionistas y esta

usualmente compuesto de ambos, interiores y exteriores independientes. La ley de corte debe ser

calculada primariamente tomando en cuenta solo restricciones tcnicas y econmicas. Sin

embargo, los intereses y objetivos usualmente conflictivos de muchos de los grupos de inters

puede ser entendidos y priorizados con el fin del hacer la mejor decisin concerniente a la

determinacin de la ley de corte.

La literatura tcnica incluye muchas publicaciones sobre la estimacin y optimizacin de la ley de

corte. La referencia ms exhaustiva es el libro The Economic Definition of Ore: Cut-Off Grades in

Theory and Practice, por Kenneth Lane (consulte la bibliografa para informacin de la

publicacin). El objetivo ms aceptado en los estudios de optimizacin de ley de corte es optimizar

el valor actual neto de los futuros flujos de caja. Para alcanzar este objetivo, se debe tomar en

cuenta las variables espaciales (tales como la localizacin geogrfica del depsito y sus

caractersticas geolgicas), as como las variables temporales (incluyendo el orden en que el

material ser minado y procesado), y los flujos de caja resultantes. La naturaleza tempo-espacial

de este problema es algo compleja; consecuentemente, tambin lo son las soluciones

matemticas propuestas para la optimizacin de la ley de corte. Este libro intenta explicar los

conceptos bsicos en una manera simple, hacindolos accesibles a los gerentes de mina, analistas,

gelogos, ingenieros de mina y otros practicantes.

CAPITULO DOS

Principios Generales

Escoger una ley de corte es equivalente a escoger el valor de un parmetro o conjunto de

parmetros definidos geolgicamente que pueden ser usados para decidir si una tonelada mtrica

de material debe ser enviado a un proceso u otro.

FORMULACIN MATEMTICA

Sea x el valor de un parmetro que debe ser tomado en cuenta para determinar el destino al cual

el material debe ser enviado. En casos simples, un solo parmetro puede ser suficiente para definir

el destino, tal como la ley de cobre u oro. En otros casos, un conjunto de parmetros pueden ser

considerados tales como la ley de oro y plata, contenido sulfrico, contenido de arcilla, y

porcentaje de elementos nocivos.

El valor, o utilidad, de mandar una tonelada mtrica de material con el valor de parmetro (ley) al

destino 1 (proceso 1) es U1(x). La utilidad de enviar el mismo material al destino 2 (proceso 2) es

U2(x). La ley de corte xc es el valor para el cual

U1(xc) = U2(xc)

Si U1(x) excede a U2(x) por un x ms grande que xc, entonces todo el material por el cual x es ms

grande que xc debe ser enviado al proceso 1.

Como se indic en la introduccin, la eleccin de la ley de corte est gobernada primariamente

por objetivos financieros. Sin embargo, las consecuencias de escoger una ley de corte dada son

complejas y no todas son de naturaleza financiera. Cuando se estima la ley de corte, todas las

variables controlables deben ser tomadas en cuenta. Para facilitar el proceso de utilidad U(x) de

mandar material de grado x a un proceso dado es expresado como la suma de tres partes:

U(x) = Udir(x) + Uopp(x) + Uoth(x)

En esta ecuacin, Udir(x) representa el beneficio o perdida directo que se incurrir del

procesamiento de una tonelada mtrica de material de grado x. Uopp(x) representa el costo de

oportunidad o beneficio de cambiar el procesamiento programado adicionando una tonelada

mtrica de ley x al flujo de material. Este costo de oportunidad es considerado solo cuando hay

restricciones que limitan cuantas toneladas mtricas pueden ser procesadas en un tiempo dado.

Otros factores deben ser considerados en el clculo de la ley de corte pero que no pueden ser

cuantificables, es representado por Uoth(x).

LEY DE CORTE Y CURVA TONELAJE-LEY

La ley de corte determina el tonelaje y ley promedio de material llevado a un proceso dado y por

lo tanto la cantidad de producto vendido. En primera aproximacin, si T+c representa el tonelaje y

x+c la ley promedio del material por encima de la ley de corte xc, los ingresos por ventas es igual a

T+c * x+c * r * V, donde r es la proporcin de producto valioso recuperado durante el

procesamiento y V es el valor de mercado del producto vendido. La ley de corte tambin

determina el tonelaje de material minado que no debe ser procesado. La Figura 2-1 muestra la

relacin entre la ley de corte y el tonelaje y la ley promedio por encima de la ley de corte. Las

curvas en este grfico son conocidas como las curvas tonelaje-ley.

FIGURA 2-1 Ejemplo de curva tonelaje-ley

Las curvas tonelaje-ley son usad extensivamente a lo largo de este libro para ilustrar el impacto de

diferentes estrategias de ley de corte en la economa de la operacin minera.

BENEFICIO Y PRDIDA DIRECTA

El beneficio o prdida directa Udir(x) esperado del procesamiento de una tonelada mtrica de

material de ley x es Uore(x) expresado como sigue:

Uore(x) = x * r * (V R) (Mo + Po + Oo)

x = ley promedio

r = recuperacin, o proporcin de producto valioso recuperado del material minado

V = valor de una tonelada mtrica de producto valioso

R = refinacin, transporte, y otros costos incurridos por unidad de producto valioso

Mo = costos de minado por una tonelada mtrica procesada

Po = costos de procesamiento por una tonelada mtrica procesada

Oo = costos generales por una tonelada mtrica procesada

Si el producto valioso es un concentrado, V es el valor de una unidad de metal contenido en el

concentrado. Por ejemplo, V puede ser el precio de cobre expresado en dlares por libra de cobre

o el oro expresado en dlares por onza troy de oro. La variable r es el porcentaje de metal en una

tonelada mtrica e material de ley x que ser recuperado y pagado por un comprador. R incluye

costos de transporte y refinacin, y otras deducciones y penalidades a ser deducidas de V. Cuando

se vende concentrado a una fundicin, los valores aplicables a V y R pueden ser negociados entre

comprador y vendedor y especificados en un contrato de fundicin.

Si el material es desmonte, el valor de Udir(x) es Uwaste(x), expresado como sigue:

Uwaste(x) = (Mw + Pw + Ow)

Mw y Ow son costos de minado y costos generals por unidad mtrica de desmonte. Pw es el costos

de procesar una tonelada mtrica de desmonte si es necesario evitar una potencial contaminacin

de agua y generacin de cidos, y para satisfacer otras regulaciones aplicables y requerimientos

ambientales. La ley de corte entre mineral y desmonte es xc, tal como Uore(xc) = Uwaste(xc)

Ejemplo de Metal Precioso

Para ilustrar como estas frmulas son usadas para calcular la ley de corte, considere una operacin

minera de oro con las siguientes caractersticas:

- Para el mineral a ser procesado, r = 80%, V = $270 por onza de oro, R= $5.00 por onza, Mo

= $1.00 por tonelada mtrica minada y procesada, Po = $15.00 por tonelada mtrica

procesda, y Oo = 20% de los costos de operacin

- Para el desmonte, Mw + Pw = $1.10, y Ow = 20% de los costos de operacin

Si solo los costos e ingresos directos son tomados en cuenta, la ley de corte entre mineral y

desmonte es xc tal que la utilidad de procesar una tonelada mtrica de material de ley xc es igual a

la utilidad de enviar a desmonte est tonelada mtrica:

xc = 0.80*(270.00 5.00) 1.20*(1.00 + 15.00) = 1.20*1.10

xc = [1.20*(1.00 + 15.00) 1.20*1.10]/[ 0.80*(270.00 5.00)]

xc = 0.084 onzas/tonelada mtrica = 2.62 gramos/ tonelada mtrica

Ejemplo de Metal Bsico

Como otro ejemplo, considera una mina de cobre a cielo abierto. El ltimo pushback est siendo

minado y es necesario decidir si el material localizado en el fondo del tajo debera ser minado y

procesado o ser desmonte y dejado in situ. La operacin es caracterizada como sigue:

- El costo de minado es $1.00 por tonelada mtrica de mineral. El costo de la planta

procesadora es $3.00 por tonelada mtrica procesada. Se producen concentrados. Los

costos de transporte, fundicin y refinacin son $0.30 por libra de oro fino producido.

- La recuperacin de planta es 89%, y la recuperacin de fundicin es 96.5%, para un total

de recuperacin de 85.9%.

- El precio de cobre es $1.00 por libra de cobre. Hay 2,205 libras de cobre por tonelada

mtrica.

- No hay costo asociado por dejar el material al fondo del tajo.

Para el material que puede ser dejado en el fondo del tajo, la ley de corte es xc tal que el costo de

minado y procesamiento es igual a cero:

Xc*0.859*(1.00 0.30)*2,205 1.00 3.00 = 0.00

Xc = 0.302%Cu

COSTOS Y BENEFICIOS DE OPORTUNIDAD

Los costos o beneficios de oportunidad Uopp (x), puede resultar del minado y procesamiento de

una tonelada mtrica de material que no ha sido previamente programada para su procesamiento.

No se incurre en costo de oportunidad si las instalaciones de mina, planta, y refinera, no tiene

restricciones de capacidad y si adicionamos una tonelada mtrica ms al proceso no tiene impacto

en los flujos de caja esperados previamente. Si hay una restriccin de capacidad, el costo de

oportunidad incluye el costo de desplazar el material ya programado para procesar y posponer el

tratamiento de este material.

Restricciones de Capacidad y Costos de Oportunidad

Considere un proyecto para el cual el valor actual neto de los futuros flujos de caja (VAN) fue

calculado sobre las bases de la produccin planeada actualmente. De acuerdo al plan actual, la

planta procesadora no tiene capacidad disponible. Si una nueva tonelada mtrica de material es

adicionada a la planta procesadora de capacidad limitada, el tratamiento del material

originalmente programado es pospuesto por el tiempo necesario para procesar la tonelada

mtrica adicional. Procesar una tonelada mtrica de material toma t unidades de tiempo, y

aadiendo una nueva tonelada mtrica hoy disminuir el valor actual neto de los futuros flujos de

caja por t*i*VAN, donde i es la tasa de descuento usada para calcular el valor actual neto. Por lo

tanto, el costo de oportunidad de adicionar una tonelada mtrica de material a la operacin de

capacidad limitada puede ser calculado como sigue:

Uopp (x) = t * i * VAN

El costo de oportunidad debe ser adicionado a los costos directos del proceso con capacidad

limitada. Si una nueva tonelada de mineral se enva a la planta de capacidad limitada, t es el

tiempo necesario para procesar esta tonelada mtrica, y el costo de oportunidad debe ser

adicionado a los costos de procesamiento P. Si el proceso de refinacin est limitado en capacidad,

t es el tiempo necesario para refinar el concentrado producido de una tonelada mtrica de

material de ley x, y el costo de oportunidad debe adicionarse al costo de refinacin R.

Restricciones en Capacidad de Minado o Procesamiento: Ejemplo de Metal Precioso

Considere una mina de oro subterrnea para la cual el valor actual neto de los futuros flujos de

caja ha sido calculado en 100 millones de dlares (VAN = $100,000,000) usando una tasa de

descuento de 15% (i = 15%). El pique (o pozo) de la mina est con capacidad limitada, con una

capacidad mxima de acarreo de 2 millones (2,000,000) de toneladas mtricas por ao.

Consideraciones han sido dadas para minar material de baja ley en la periferia de los tajos de alta

ley. El tiempo necesario para minar y enviar a la superficie una tonelada mtrica de material es t=

1/2,000,000 aos. El costo de oportunidad por adicionar una tonelada mtrica al programa de

produccin puede ser calculada como sigue:

Uopp(x) = -15% * $100,000,000 / 2,000,000

= $7.50 por tonelada mtrica de mineral minado

Asuma que los siguientes parmetro aplican al mineral a ser procesado: r = 90%, V = $270.00 por

onza de oro, R = $5.00 por onza, M = $40.00 por tonelada mtrica minada y procesada, P = $20.00

por tonelada mtrica procesada, y O = 20% de los costos operativos. Si solo los costos e ingresos

directos son tomados en cuenta, la ley de corte entre mineral y desmonte puede ser determinado

como sigue:

xc = [1.20*(40.00 + 20.00)]/[0.90*(270.00 5.00)]


Cuando aadimos los $7.50 de costo de oportunidad al costo de minado, la ley de corte se

incrementa cerca de un gramo por tonelada:

xc = [1.20*(40.00 + 20.00) + 7.50]/[0.90*(270.00 5.00)]


Cuando la mina se acerca al final de su vida econmica, el valor actual neto de los futuros flujos de

caja decrece hacia cero y as tambin Uopp(x). En el ejemplo anterior, la ley de corte decrece de

10.37 gramos/ tonelada mtrica al comienzo de la vida de la mina a 9.39 gramos/ tonelada

mtrica al final.

Para ilustrar la relacin entre la ley de corte y ao cuando el mineral es minado, asuma que la

mina anteriormente discutida tiene una vida remanente de 15 aos y un ingreso neto de $14.9

millones por ao. En el ao 1, cuando quedan 15 aos de produccin, el VAN del proyecto es $100

millones, el costo de oportunidad es $7.50 por tonelada mtrica minada, y la ley de corte ptima

es 10.37 gramos/tonelada mtrica. En el ao 2, la vida de la mina se reduce a 14 aos, el VAN es

$97.9 millones, el costo de oportunidad es $7.34, y la ley de corte es 10.35 gramos/tonelada

mtrica. Al final de la vida de mina, el VAN es cero y la ley e corte es 9.39 gramos/tonelada

mtrica.

La relacin entre VAN, costo de oportunidad, y el ao cuando el mineral es minado se muestra en

la Figura 2-2. De acuerdo a esta relacin, disminuir la ley de corte debe ser usada para maximizar

el valor actual neto. La Figura 2-3 muestra la relacin entre la ley de corte ptima y el ao cuando

el mineral es minado.

En el ejemplo anterior, el costo de oportunidad resulta de la capacidad limitada de acarreo y es

aplicable a ambos, costos de desmonte y acarreo. Las leyes de corte mostradas en la Figura 2-3

solo deben ser usadas para decidir qu material debe ser dejado subterrneo en contraposicin al

que debe ser minado y procesado. Estas leyes de corte deben ser usadas para determinar que

tajos deben ser minados y las dimensiones de estos tajos. Ya que el costo de oportunidad para

acarrear mineral es el mismo que para acarrear el mismo nmero de toneladas mtricas de

desmonte, el costo de oportunidad no influye en la decisin si el material debe ser procesado

cuando ya ha sido acarreado a superficie. Para tal material, la ley de corte entre mineral y

desmonte es independiente de las restricciones de acarreo y los costos de oportunidad

resultantes.

Si la planta de procesamiento fuese de capacidad limitada en vez del pique de mina, el costo de

oportunidad correspondiente se aplicara a todas las toneladas mtricas enviadas a planta pero no

a las toneladas mtricas de desmonte. Este costo de oportunidad entrara en todos los clculos de

la ley de corte, si el material estuviese bajo tierra o ya en superficie. Todas las leyes de corte seran

incrementadas en consecuencia.

FIGURA 2-2 Relacin entre VAN, costo de oportunidad, y el ao cuando el mineral es minado

FIGURA 2-3 Relacin entre la ley de corte y el ao cuando el mineral es minado

Restricciones en la Capacidad de Fundicin o Volumen de Ventas:


Considere la misma operacin de minera de aurfera descrita anteriormente, con el nuevo

supuesto que las restricciones de capacidad de mina y planta han sido eliminadas, pero las

restricciones de produccin ahora son impuestas por la refinera. A refinera puede procesar no

ms de 600,000 onza de oro por ao, y esta capacidad est siendo utilizada en su totalidad. Si se

cambia la ley de corte hasta tal punto que una onza de oro adicional es enviado a la refinera, el

tiempo necesario para refinar este oro sera t = 1/600,000 aos. Con el VAN del proyecto en

$100,000,000 y la tasa de descuento en 15%, el costo de oportunidad de adicionar una onza ms

al programa de produccin puede calcularse:

Uopp(x) = 15% * $100,000,000/600,000 = $25.00 por onza

Este costo puede aadirse al costo de refinacin, R= $5.00 por onza. Si no hubiera restricciones en

la capacidad, la ley de corte sera calculada como sigue:

xc = [1.20*(40.00 + 20.00)]/[0.90*(270.00 5.00)]


Una vez que se toma en cuenta las restricciones de capacidad de la refinera, la ley de corte viene

a ser

xc = [1.20*(40.00 + 20.00)]/[0.90*(270.00 5.00 $25.00)]


La misma frmula debe usarse si el lmite en onzas producidas es impuesta por restricciones de

marketing, incluyendo los contratos de venta. El costo de oportunidad debe deducirse del valor

unitario del producto vendido.

Restricciones de Capacidad de Minado, Procesamiento o Refinacin:


Considere una operacin minera de cobre caracterizada por una capacidad total de mina de 72

millones de toneladas mtricas por ao, incluyendo mineral y desmonte. La capacidad de planta es

36 millones de toneladas mtricas de mineral por ao y la capacidad de refinera es 299 millones

de libras por ao. En el momento que la ley de corte es calculada, el valor actual neto de los

futuros flujos de caja ha sido estimado en $300 millones usando una tasa de descuento de 10%. La

recuperacin del cobre se estima en 85.9% (incluyendo 89% de flotacin y 96.5% de la fundicin).

Los costos de flete y fundicin son $0.30 por libra de cobre. El precio del cobre es $1.20 por libra.

VAN = $300,000,000

i = 10%

r = 85.9%

V = $1.20 por libra de cobre

R = $0.30 por libra de cobre

Ya que hay 2,205 libras en una tonelada mtrica, el valor del cobre contenido en una tonelada

mtrica de material de ley x se calcula como sigue:

x * r *(V R) = x * 0.859 * (1.20 0.30) * 2,205 = $1,705 * x

Por ejemplo, si una tonelada mtrica de material contiene 1% de cobre, el valor del cobre

contenido es $17.05.

Asuma que mina tiene capacidad limitada, pero la planta y refinera tiene capacidad disponible. El

costo de oportunidad para aadir a los costos de minado se calcula como sigue:

Uopp(x) = t * i * VAN

= (1/72,000,000) * 10% * $300,000,000

= $0.42 por tonelada mtrica minada

El costo de oportunidad debe aadirse al costo de minado M de todas las toneladas mtricas,

mineral o desmonte, que estn sujetas a las restricciones de capacidad de mina. No cambia la ley

de corte si la tonelada mtrica considerada debe ser minada y echada a botadero o minada y

procesada. Sin embargo, aumenta la ley de corte si debe tomar una decisin entre dejar el

material in si tu o minarlo y mandarlo a planta: un incremento de $0.42 en costo de minado por

tonelada mtrica resulta en un incremento de 0.02% de la ley de corte, calculado como sigue:

x = $0.42/$1,705 = 0.02%Cu

Ahora asuma que la capacidad de planta est limitada, pero la mina y la refinera no. El costo de

oportunidad a ser aadido al costo de procesamiento P es

Uopp(x) = = (1/36,000,000) * 10% * $300,000,000

= $0.38 por tonelada mtrica procesada

Todas las toneladas mtricas procesadas estn sujetas a este incremento en costo. La ley de corte

de la planta debe incrementarse en 0.05%Cu, calculado como sigue:

x = $0.38/$1,705 = 0.05%Cu

Finalmente, asuma que la capacidad de refinera es limitada, pero la mina y la planta no. El costo

de oportunidad a ser aadido al costo de refinacin R es

Uopp(x) = = (1/299,000,000) * 10% * $300,000,000

= $0.10 por libra de cobre

Cuando se toma en cuenta este costo de oportunidad, el valor de cobre contenido en una

tonelada mtrica de mineral de ley promedio x se reduce de $1,705*x (segn lo calculado

previamente) a

x * r *[V R Uopp(x) ] = x * 0.859 * (1.20 0.30 0.10) * 2,205

= $1,515 * x

Para compensar este reduccin en valor, la ley decorate debe incrementarse en 12.5% calculado

de la siguiente manera: $1,705/$1,515 = 12.5%.

OPTIMIZACIN DE LA LEY DE CORTE CON

COSTOS DE OPORTUNIDAD

La frmul Uopp(x) = t*i*VAN es til para verificar que las leyes de corte y el VAN han sido

optimizados. Sin embargo, las leyes de corte calculadas de flujos de caja que no han sido

optimizados tambin no son ptimas y debe usarse una aproximacin iterativa. Por ejemplo, uno

podra primero calcular un flujo de caja usando leyes de corte fijas, tales como las calculadas sin

costo de oportunidad. Pero las nuevas leyes de corte implican nuevos planes de minado, nuevos

flujos de caja, y por lo tanto nuevos costos de oportunidad, que deben ser aadidos para

reestimar las leyes de corte otra vez. Este proceso iterativo debe repetirse hasta que las leyes de

corte y los flujos de caja converjan hacia valores estables.

Esta aproximacin iterativa a la optimizacin de la ley e corte puede ser un proceso lento. Se puee

encontrar algoritmos en la literatura tcnica y se han desarrollado programas de computadora

para facilitar el proceso. Consulte la bibliografa para informacin detallada sobre la literatura

tcnica disponible en este proceso. Sin embargo, a causa de la compleja relacin entre

propiedades geolgicas espaciales del depsito, restricciones tcnicas que estn en funcin de los

supuestos de minado y procesamiento, y las variables temporales que definen la produccin anual

y los flujos de caja, ninguna simple solucin se ha sido hallado para este difcil problema de

optimizacin y ninguna se puede esperar.

Debido a la relacin entre ley de corte, capacidad de mina, capacidad de planta, costos de minado

y procesamiento, valor de mercado del producto vendido y flujos de caja, todos los costos de

oportunidad y otros costos y beneficios, probablemente como resultado de un cambio de ley de

corte, deber ser cuidadosamente revisados antes que la ley de corte se cambie. Disminuir la ley de

corte puede maximizar el valor actual neto pero reducir los ingresos descontados por ventas.

Incrementar la ley e corte implica echar a botadero material de baja ley que podra ser procesado

con una ganancia. Se deben dar consideraciones para apilar material de baja ley que podra ser

procesado en una fecha posterior. Las maneras de determinar si el material debe se debe apilar o

echar a botadero se discutir despus.

Las leyes de corte que fueron estimadas para ser ptimas cuando se desarroll el plan de minado

original deben ser continuamente reestimadas debido a cambios en los costos actuales y precios

esperados, y el desempeo de mina y planta resultar en un cambo en los futuros flujos de caja y

costos de oportunidad. Maximizar el valor actual neto tiende a dar ningn valor a la acciones por

lo cual las consecuencias se sentirn solo al final de la vida de la mina. Por ejemplo, acciones

deben tomarse a lo largo de la vida de un proyecto para minimizar los futuros costos de

reclamacin y cumplimiento ambiental. Los costos de estas acciones pueden ser significantes de

un punto de vista del VAN, pero los ahorros resultantes que sern incurridos al final de la vida de

la mina puede no tener impacto en el VAN. Similarmente, apilar material de baja ley incrementa

los costos a lo largo de la vida de la mina, pero los ingresos resultantes de procesar estos

stockpiles solo se harn notorios al final de la vida de la mina. Maximizar el valor actual nunca

debe ser la nica gua para tomar una decisin. Otros costos y beneficios deben ser tomados en

cuenta, los cuales son discutidos en la seccin siguiente.

OTROS COSTOS Y BENEFICIOS

Las leyes de corte juegan un rol crtico en definir tonelajes minados y procesados, ley promedio de

mineral de cabeza, flujos de caja, tiempo de vida de la mina, y todas las caractersticas de una

operacin minera. En adicin al impacto financiero econmicamente cuantificable que los cambios

de ley de corte pueden tener, otros costos y beneficios deben tomarse en cuenta, aunque

usualmente no son fciles de cuantificar. Se deben dar consideraciones no solo por cambios del

VAN y el flujo de caja, tal como se mide por Udir(x) y Uopp(x), sino por todos los otros impactos,

Uoth(x), incluyendo aquellos de naturaleza ambiental, socio-econmico, tica o poltica. Costos y

beneficios de todos los grupos de inters deben ser evaluados. Para la mayora de operaciones

mineras, los siguientes grupos de inters deben tomarse en cuenta:

- Accionistas, que proveen el capital necesario para la operacin y esperan un retorno de su

inversin

- Bancos, quienes contribuyen a proveer de recursos financieros que la compaa minera

necesita para operar o expandir

- Analistas, que asesoran a la comunidad inversora

- Empleados y sus familias

- Consumidores del producto final vendido por la operacin minera, si es carbn, oro,

concentrado de cobre, mineral de hierro, metal procesado o minerales industriales.

- Proveedores, de quienes la operacin minera adquiere equipos, energa, consumibles,

suministros, servicios o consultora.

- Comunidades locales, incluyendo vecinos de la operacin minera.

- Los gobiernos local, regional, federal y pas, quienes son responsables por el bienestar de

sus ciudadanos y se benefician de los impuestos recaudados por la operacin minera.

Estos gobiernos deben hacer planes para nueva infraestructura, caminos, salud, educacin

y entretenimiento; incrementos en trfico, crimen y prostitucin; y alta demanda de agua,

comida y hospedaje. Tambin tienen un deber fiduciario para asegurar la explotacin

apropiada de los recursos nacionales.

- Futuras generaciones que vivirn con el impacto a largo plazo, bueno o malo, de la

operacin minera.

- Organizaciones no gubernamentales cuya misin, autodenominado o de otra manera, es

defender los intereses de algunos de los grupos de inters mencionados.

La alta direccin decide como balancear las necesidades, intereses y requerimientos de los

diferentes grupos de inters. Los que estn a cargo del planeamiento de mina deben dar guas

prcticas, incluyendo pautas para la determinacin de la ley de corte, para asegurar los proyectos

estn diseados para alcanzar los objetivos de la compaa. Maximizar el valor de los accionistas

(incluyendo minimizar la obligacin con los grupos de inters) es usualmente citado como uno de

los objetivos primarios de la compaa. Sin embargo, los objetivos de una compaa debe incluir el

reconocimiento de las responsabilidades hacia todos los grupos de inters, no solo a los

accionistas.

Altas leyes de corte pueden incrementar la rentabilidad a largo plazo y asegurar el retorno a los

accionistas y otros grupos de inters financieros. Altas leyes de corte puede reducir el periodo de

recuperacin de capital, as reduciendo el riesgo poltico o una absoluta nacionalizacin. Pero un

tiempo de mina corto reduce las oportunidades dependientes del tiempo, tales como aquellos que

ofrecen los ciclos de precios. Por el contrario, bajas leyes de corte incrementar la vida del proyecto

con un beneficio econmico ms largo a los grupos de inters, incluyendo accionistas, empleados,

comunidades locales y el gobierno. Una vida de mina ms larga puede resultar en empleos ms

estables, menos trastorno socio-econmico a las comunidades locales, y ms ingresos estables por

impuestos al gobierno. Bajas leyes de corte implican consumo pleno de los recursos minerales,

que puede presentar ventajas polticas o puede ser requerida por la ley. Todos los grupos de

inters pueden tener que elegir entre altos retornos financieros en cortos periodos de tiempo o

bajos retornos en largos periodos de tiempo. Usando altos, pero decrecientes, leyes de corte

tempranas en la vida de la mina y apilar material de baja ley para procesarlo posteriormente,

puede ayudar a balancear los retornos financieros y la vida de la mina.

Un mtodo para optimizar las leyes de corte mientras se toma en cuenta los costos y beneficios no

cuantificables consiste en evaluar el proyecto bajo una variedad de restricciones impuestas en la

tasa de descuento, capacidad de mina o planta, volumen de ventas, costos de operacin o capital,

y as sucesivamente. Cambios en el costo de oportunidad por imponer estas restricciones Uopp(x)

son comparados con los cambios correspondientes en otros costos Uoth(x). La ley de corte ptima

es aquella para la cual el aumento marginal (y cuantificable) en costos de oportunidad es igual a la

correspondiente disminucin marginal (pero subjetivo) en otros costos.

CAPITULO TRES

Ley Mnima de Corte

La ley de corte mnima es aquella que aplica a las situaciones en la cual solo los costos directos de

operacin son tomados en cuenta. Las restricciones de capacidad son ignoradas. Los flujos de caja

no son descontados. Los costos de oportunidad no son tomados en consideracin y tampoco lo

son las otras consecuencias, financieras o de otro tipo, que la modificacin de la ley de corte

puede tener en los planes de minado o procesamiento y flujos de caja.

LEY DE CORTE ENTRE MINERAL Y DESMONTE

Considere material para el cual a se ha hecho la decisin que ser minado, por tanto la pregunta

pendiente es si se debe enviar a planta o botadero.

Formulacin Matemtica

Usando notaciones introducidas previamente, la utilidad de minar y procesar una tonelada

mtrica de mineral puede ser escrita de la siguiente manera:


x = ley promedio

r = recuperacin, o proporcin de producto valioso recuperado del material minado

V = valor de una tonelada mtrica de producto valioso

R = refinacin, transporte, y otros costos incurridos por unidad de producto valioso

Mo = costos de minado por una tonelada mtrica procesada

Po = costos de procesamiento por una tonelada mtrica procesada

Oo = costos generales por una tonelada mtrica procesada

La utilidad e minar y echar a botadero una tonelada mtrica de desmonte se puede escribir como

sigue:

Uwaste(x) = ( Mw + Pw + Ow)

Mw = Costo de minado por tonelada de desmonte

Pw = Costo de procesamiento por tonelada mtrica de desmonte, segn sean necesarias para

evitar una potencial contaminacin de agua y generacin de cidos

Ow = Gastos generals por tonelada mtrica de desmonte.

La ley mnima de corte es el valor xc de x para el cual

Uore(xc) = Uwaste(xc)

xc = [(Mo Mw) + (Po Pw) + (Oo Ow)]/ [r * (V R)]

En esta frmula, el numerado representa la diferencia entre costos de minado, procesamiento y gastos

generales incurridos cuando se trata el material como mineral y aquellos incurridos cuando se trata el

mismo material como desmonte. En el denominador, la recuperacin del metal r debe ser aquel que aplica

al material de ley xc, que no es necesariamente igual a la recuperacin promedio para todo el material

enviado a la planta procesadora.

Esta ley de corte se aplica al material que debe ser minado y a veces es llamado ley de corte interna, ya

que es la que se aplica a una tonelada mtrica de material localizado en los lmites de una mina a tajo

abierto o un tajeo subterrneo.

Si los costos de minado y transporte de material al botadero o a la chancadora primaria son los mismos

(Mo = Mw) y no hay costos adicionales significativos en procesar el desmonte (Pw = 0 y Ow = 0), esta

ley de corte est en funcin solo de los costos de planta y las recuperaciones, y es independiente

de los costos de minado;

xc = [Po + Oo]/ [r * (V R)]

Esta ley de corte que es independiente de los costos de minado es a veces llamada ley de corte

de planta1


Como un ejemplo, considere una operacin aurfera de lixiviacin de xidos en la cual el costo

(incluyendo gastos generales) de acarrear material al pad de lixiviacin es $1.20 y la de enviarlo a

botadero es $1.00. El costo de lixiviacin, incluyendo el costo de producir dor de la solucin,

costos incrementales de la expansin del pad de lixiviacin, y gastos generales, es $2.00 por

tonelada mtrica colocada. La recuperacin de oro, incluyendo recuperacin por lixiviacin,

procesamiento, y refinacin, es 60%. Los ingresos esperados de la venta del oro recuperable en

dor es $5.00 dlares menos que el precio del oro segn el London Metal Exchange. Asumiendo

un precio de $270.00 por onza de oro, la ley de corte mnima se calcula de la siguiente manera:

xc = [(1.20 1.00) +2.00]/ [0.60 * (270.00 5.00)]

xc = 0.014 onzas por tonelada mtrica = 0.43 gramos/ tonelada mtrica

1 La ley de corte que se aplica al material que no tiene que ser minado pero puede ser dejado en el fondo de

una mina a tajo abierto o en las paredes de una mina subterrnea es a veces llamada ley de corte de mina.

Se us un factor de conversin de 31.1035 gramos por onza troy en este clculo. Una

representacin grfica de la relacin entre Uore(x), Uwaste(x), y la ley x se muestra en la Figura 3-1,

donde x es expresado en gramos por tonelada mtrica y U(x) en dolares:

Uore(x) = 0.60 * (270.00 5.00) * x/31.1035 1.20 2.00

= 5.112x 3.20

Uwaste(x) = 1.00

El material de ley x es desmonte o tratado como mineral dependiendo en cul de las dos lneas,

Uwaste(x) o Uore(x), es el ms alto en el grfico. La ley de corte es el valor xc de x donde las dos lneas

se intersectan: x = 0.43 gramos/tonelada mtrica. Lixiviar el material para el cual la ley est entre

0.43 gramos/tonelada mtrica y 0.63 gramos/tonelada mtrica resulta en una prdida, pero esta

prdida es menos que los costos de enviar el mismo material al botadero.

Figura 3-1 Estimacin grfica de la ley de corte entre desmonte y material lixiviado para el

material dentro de los lmites del tajo


Considere una mina de cobre caracterizada como sigue:

r =85.9% (incluyendo 89% de recuperacin en planta y 96.5% recuperacin en fundicin)

V = $1.20 por libra de cobre vendida

R= $0.30 por libra de cobre

Mo = $1.00 por tonelada mtrica minada

P0 = $3.00 por tonelada mtrica procesada

Oo = $0.50 por tonelada mtrica procesada

Mw = $1.00 por tonelada mtrica de desmonte

Pw = $0.05 por tonelada mtrica de desmonte

Ow = $0.05 por tonelada mtrica de desmonte

La de corte aplicable a una tonelada mtrica de material que debe ser minado y puede ser

procesado desmonte (ley de corte de planta) es


( ) ( ) ( )

( )

= 0.20%Cu

LEY DE CORTE PARA EL MATERIAL EN EL FONDO DE

UNA MINA A TAJO A BIERTO

Ahora, considere una mina a tajo abierto que est llegando al final de su vida. El material est

expuesto en el fondo del tajo, que no necesita ser minado. Alternativamente, este material podr

ser minado y procesado. Qu ley de corte podra usarse para decidir entre estas opciones?


Ya que el material expuesto al fondo del tajo no necesita ser minado, la utilidad de dejarlo en el

fondo del tajo es cero: Uwaste(x) = 0. Podra ser minado solo si puede ser minado y procesado con

una ganancia: Uore(x) > 0. Para tal material, la ley de corte mnima es aquella que satisface la

siguiente ecuacin:

Uore(x) = 0

xc = [(Mo + Po + Oo)]/[r * (V R)]

En esta frmula los costos de minado, procesamiento y gastos generales que se aplican al material

remanente en el fondo del tajo pueden ser ms altos o ms bajos que aquellos que prevalecieron

cuando la mina estaba en capacidad plena. Esta ley de corte es a veces llamada ley de corte de

equilibro o ley de corte de mina.


Considere una operacin de lixiviacin aurfera en la cual los costos de minado Mo y

procesamiento Po, incluyendo gastos generales Oo, son $1.20 y $2.00, respectivamente. La

recuperacin del oro es 60%, el precio del oro es $270.00 dlares por onza, y una dedicin de

$5.00 por onza debe hacerse por transporte, refinacin y otros cargos. La utilidad de enviar el

material al pad de lixiviacin es:

Uore(x) = x*r*(V R) (Mo + Po + Oo)

= x*0.60*(270.00 5.00) (1.20 + 2.00)

= 159x 3.20

La utilidad de dejar el material en el tajo es:

Uwaste(x) = 0

La mnima ley en el cual el mineral localizado en el fondo del tajo puede ser minado con una

ganancia es

Xc = 3.20/149 = 0.020 onzas por tonelada mtrica = 0.63 gramos/ tonelada mtrica

La utilidad de enviar el material al pad de lixiviacin Uore(x) y la de dejar el material en el fondo del

tajo est dibujado en la Figura 3-2 como una funcin de la ley x.


Considere una mina de cobre en la cual los costos de minado son $1.00 por tonelada mtrica, los

costos de procesamiento son $3.00 por tonelada mtrica, y los gastos generales son $0.50 por

tonelada mtrica. La recuperacin de cobre es 85.9%. El precio de cobre es $1.20 por libra, de lo

cual debe deducirse gastos diversos por importe de $0.30 por libra. Los precios y costos que son

especificados en dlares por libra deben convertirse en dlares por tonelada mtrica, teniendo en

cuenta un factor de conversin de 2,205 libras por tonelada mtrica. La ley de corte

correspondiente se calcula de la siguiente manera:

xc = [(Mo + Po + Oo)]/[r * (V R)]

= [1.00 + 3.00 + 0.50]/[0.859*(1.20 0.30)*2,205]

= 0.26%Cu

FIGURA 3-2 Estimacin grfica de la ley de corte entre desmonte y material lixiviado para el

material en el fondo del tajo

La ley de corte separa el material que puede ser dejado in situ de aquel que puede ser procesado.

Este puede ser comparado con la ley de corte de planta de 0.20%Cu calculada previamente.

LEYES DE CORTE EN MINAS SUBTERRANEAS

Las restricciones de capacidad son comunes en minas subterrneas. Estas pueden incluir

restricciones impuestas por la geometra del cuerpo mineralizado, condiciones geotcnicas,

capacidades de pique e izaje, requerimientos de ventilacin, mtodo de minado, tamao y tipo de

equipo de minado, regulaciones de salud y seguridad, y otras restricciones que limitan la

produccin de un tajeo, una seccin de mina, o la mina como un todo.

Una ley mnima es ocasionalmente citada cuando se refiere a la ley promedio que un tajeo debe

exceder antes que sea considerado para minarlo. Hablando estrictamente, esta no es la ley de

corte pero es una ley promedio, la cual debe estar vinculada a un tonelaje. La mnima ley

promedio del tajeo depende del tamao del tajeo, su localizacin respecto a las instalaciones

existentes, facilidad de acceso, y otras caractersticas especficas del tajeo. Esta ley promedio es

aquella para la cual se espera que el costo de desarrollo del tajeo y minado sea menos que el

beneficio por procesar el mineral y vender el producto final. Este clculo debe ser hecho sobre una

base de descuento, tomando en cuenta todas las restricciones fsicas.

Cuando se disea un tajeo, se debe tomar en cuenta las restricciones impuestas por el mtodo de

minado y las condiciones geoestadsticas. Tambin se debe determinar si el material de baja ley

localizado a lo largo de los lmites del tajeo debera ser incluido en el tajeo. Tal material debera

ser minado solo si el valor esperado del producto recuperable excede todos los costos

incrementales, incluyendo minado, acarreo, procesamiento, relleno y otros costos. La ley de corte

mnima que define los lmites del material que debera ser minado es la ley de corte de mina y se

estima usando una frmula similar a la del material en el fondo de una mina a tajo abierto.

xc = [(Mo + Po + Oo)]/[r * (V R)]

Como un ejemplo, considere una mina subterrneo de oro donde los costos incrementales de

minado son $40.00 por tonelada, los costos de procesamiento son $20.00 por tonelada mtrica, y

la recuperacin de planta es 95%. Dado un precio de $270.00 por onzas de oro y un costo de

refinacin de $5.00 por onza, la ley de corte mnima a considerarse para disear el tajeo puede ser

calculado como sigue:

xc = [40.00 + 20.00]/[0.95 * (270.00 5.00)]

xc = 0.238 onzas/ tonelada mtrica = 7.40 gramos/tonelada mtrica

Esta ley de corte se aplica no solo al material de baja ley que rodea a un ncleo de alta ley, sino al

material diluido (mezcla de mineral y desmonte) que puede tener que ser minado para disear

lmites fsicamente factibles del tajeo. Tanto la dilucin planeada y no planeada debe tomarse en

cuenta. Los costos de oportunidad, tales como aquellos impuestos por la capacidad de acarreo,

deben ser tomados en cuenta, aquellos que incrementaran la ley de corte.

Si se debe minar material de baja ley debido a que est localizado dentro del tajeo o dentro de

aperturas planeadas tales como piques, chimeneas, cortes transversales, y as sucesivamente; un

material de baja ley debera ser usado para determinar si este material debe ser desmonte o

procesado. Para tal material, los costos de voladura y acarreo deben ser incurridos si el material es

tratado como mineral o desmonte. Solo los costos incrementales necesitan ser considerados. La

ley de corte mnima se estima usando la frmula presentada previamente para el material en

medio de una mina a tajo abierto.


Si los costos de minado y desmonte son los mismos (Mo = Mw) y los costos de procesamiento y

gastos generales de desmonte son despreciables (Pw = 0 y Oo = 0), est formula puede ser escrita:

xc = [(Po + Oo)]/[r * (V R)]

La ley de corte de planta se reconoce aqu.

Los costos de oportunidad aplicables, que en este caso es probable que sean solo aquellos

impuestos por las restricciones de capacidad de planta, deberan ser tomadas en cuenta.

LEY DECORTE A ESCOGER ENTRE PROCESOS

Si dos procesos estn disponibles para tratar el mismo material, las leyes de corte deben ser

calculadas para separar desmonte del mineral a ser procesado y para decidir a cul de los dos

procesos el mineral debe ser enviado. Cmo decidir si el material debe ser procesado o desmonte

fue discutido anteriormente.


Para decidir entre dos procesos, la utilidad de enviar el material de ley x al proceso 1 debe ser

comparado con la de enviar el mismo material al proceso 2. Los costos de minado, incluyendo

costos de acarreo a la planta procesadora, puede variar dependiendo del proceso. Los costos de

procesamiento sern diferentes y as tambin la recuperacin metalrgica y los gastos generales.

Si el producto vendi est en funcin del proceso a ser usado, incluso el ingreso por tonelada

mtrica producida puede diferir. La ley de corte entre dos procesos es calculado usando la

siguiente frmula, en el cual los subndices se refieren al nmero de proceso:

U1 = x*r1* (V R1) (Mo1 + Po1 + Oo1)

U2 = x*r2* (V R2) (Mo2 + Po2 + Oo2)

U1 = U2

xc = (Mo1 Mo2) + (Po1 Po2) + (Oo1 Oo2)

r1* (V R1) r2* (V R2)


Considere una mina aurfera donde dos instalaciones de procesamiento estn disponible: una

planta de lixiviacin para la cual el costo de procesamiento es de $2.00 por tonelada mtrica y la

recuperacin es 60%, y molienda para la cual el costo de procesamiento es de $12.00 por tonelada

mtrica y recuperacin de 90%. El precio del oro es $270.00 por onza, de los cuales debe deducirse

un cargo de $5.00 dlares por onzas. Asumiendo que no hay restricciones de capacidad y que

todos los otros costos son los mismos, la ley de corte entre las dos servicios son:

xc = [12.00 2.00]/[(0.90 0.60)*(270.00 5.00)]

xc = 0.126 onzas por tonelada mtrica = 3.91 gramos/tonelada mtrica

Una representacin grfica de la relacin entre ley de corte, proceso e ingresos o prdidas netas

se muestra en la Figura 3-3.

FIGURA 3-3 Estimacin grfica de la ley de corte entre desmonte, material lixiviado y material

procesado.


Considere una mina de cobre cuya produccin puede ser o lixiviada o molido. Los siguientes

parmetros caracterizan las condiciones bajo las cuales la ley de corte debe ser estimada:

r1 = 85.9% de recuperacin de planta y funcin (89% planta, 96.5% fundicin)

r2 = 60.0% recuperacin promedio en lixiviacin en pilas

V = $1.20 por libra de cobre vendido

R1 = $0.30 por libra de cobre (incluyendo costo de flete y fundicin de $145.00 por tonelada mtrica de concentrado y costos de refinacin de $0.065 por libra de cobre)

R2 = $0.15 por libra de cobre para SX-EW2 y flete de ctodo al mercado

Mo1 = $1.00 por costos de minado por tonelada mtrica de mineral a planta

M= = $1.10 por costos de minado por tonelada mtrica de mineral a lixiviacin

Po1 = $3.00 por costos de procesamiento por tonelada mtrica de mineral a planta

P02 = $0.20 por costos de procesamiento por tonelada mtrica de mineral a lixiviacin

Oo1 = $0.50 por gastos generales por tonelada mtrica de mineral a planta

Oo2 = $0.05 por gastos generales por tonelada mtrica de mineral a lixiviacin

Mw = $1.00 por costos de minado por tonelada mtrica de desmonte

Pw = $0.05 por costos de procesamiento por tonelada mtrica de desmonte

Ow = $0.05 por gastos generales por tonelada mtrica de mineral de desmonte

Los costos y precios que son especificados en dlares por libra deben ser conversidos a dolares por

tonelada mtrica, tomando en cuenta un factor de conversin de 2,205 libras por tonelada

mtrica. La ley de corte entre el mineral lixiviado o enviado a planta es

xc = [(Mo1 M02) + (P01 P02) + (Oo1 O02)]

[r1*(V R1) r2*(V R2)]

= [(1.00 1.10) + (3.00 0.20) + (0.50 0.05)]

[0.859*(1.20 0.30)*2,205 0.60*(V R2)*2,205]

= 1.00%Cu

La ley de corte entre mineral lixiviado y desmonte es

xc = [(Mo2 Mw) + (P02 Pw) + (Oo2 Ow)]

[r2*(V R2)]

= [(1.10 1.00) + (0.20 0.05) + (0.05 0.05)]

[0.60*(1.20 0.15)*2,205]

= 0.02%Cu

2 Extraccin por solventes y electro-obtencin (nota del traductor)

LEY DE CORTE ENTRE DEMONSTE Y MATERIAL APILADO DE BAJA LEY

Consideraciones pueden darse para apilar material de baja ley en vez de enviarlo a botadero si tal

material no actualmente no es econmico para procesar pero se espera que los precios de los

metales sean ms altos en una fecha posterior. Apilar material de baja ley puede tambin

considerarse cuando las restricciones de capacidad evitan el procesamiento actual de material que

de otra manera podra ser procesada econmicamente. Para decidir si el material de ley x debe ser

echado a botadero o apilado, se debe comprar la utilidad de echarlo a botadero Uwaste(x) con la de

apilarlo Ustp(x). La ley de corte entre apilar y echar a botadero es el valor de xc de x para el cual

Ustp(x) = Uwaste(x).

La utilidad de echar a botadero el material de ley x puede ser calculado como sigue:


Para calcular la utilidad de apilamiento, uno debe tener en consideracin los costos de apilamiento

y los costos de recuperar el material de la pila y procesarlo en una fecha posterior. En adicin, las

recuperaciones metalrgicas del material apilado pueden diferir de aquel material recin minado,

y el precio del producto vendido puede ser diferente de aquel que prevaleca cuando se tom la

decisin de apilar:

Ustp(x) = (Mstp + Pstp + Ostp)

VAN (futuros costos de mantenimiento de la pila)

VAN (futuros costos de manipuleo y procesamiento)

+ VAN (futuros ingresos por ventas)

Mstp = costos actuales de minado por tonelada mtrica llevada a la pila de baja ley

Pstp = costos actuales de apilar el material que ser procesado posteriormente, incluyendo

costos por tonelada mtrica de extender el rea de la pila si es requerido

Ostp = gastos generales actuales asociados con el minado y apilado

VAN (futuros costos de mantenimiento de la pila) = valor actual neto de los costos anuales que

sern incurridos en mantener el material apilado de una manera ambientalmente segura hasta

que se procese.

VAN (futuros costos de manipuleo y procesamiento) = valor actual neto de gastos no

recurrentes que sern incurridos cuando el material sea recuperado de la pila y procesado

VAN (futuros ingresos por ventas) = valor actual neto de los ingresos esperados por ventas el

material procesado se venda. En el tiempo de la venta, estos ingresos sern igual a x*rstp*(Vstp

Rstp):

rstp = recuperacin esperada en el tiempo de procesamiento

Vstp = valor en dlares del producto vendido en el tiempo que se venda

Rstp = costo por unidad de producto vendido

La recuperacin rstp puede ser menor o mayor que aquella que se aplicara al mismo material si es

procesado cuando es minado. Los sulfuros son probables a oxidarse durante el apilamiento. Si se

va a usar un proceso de flotacin de sulfuros, la oxidacin resultar en menores recuperaciones.

Por el contrario, si se aplica un proceso de lixiviacin de xidos al material que no fue plenamente

oxidado durante el minado, el apilamiento puede mejorar la recuperacin.

Hay dificultades obvias en usar estas frmulas, la principal es que los futuros costos e ingresos son

difciles o imposibles de estimar con precisin. Por otra parte, debido a que procesar el material

apilado es probable que ocurra tarde en la vida de la mina, el valor actual neto de los futuros

ingresos es probable que sea pequeo comparado con los costos incurridos en el tiempo de

minado y costos de mantenimiento permanente durante la vida de la pila. Por esta razn, apilar

material de baja ley es usualmente una razn estratgica que toma en cuenta expectativas de

futuros incrementos en los precios de los metales (Vstp podra ser mucho mayor que V), beneficios

asociados con la prolongacin de la mina, buena gestin de los recursos minerales, y otros

beneficios Uoth(x) tal como se defini previamente en este libro.

LEY DE CORTE CON RECUPERACIONES VARIABLES

En ejemplos anteriores se asuma que la recuperacin alcanzada en la planta procesadora era

constante. Para muchos procesos y depsitos, la recuperacin r es una funcin r(x) de la ley de

cabeza c. El valor de Uore(x) debe expresar de la siguiente mantera.

Uore(x) = x * r(x) * (V R) (Mo + Po + Oo)

El valor de Uwaste(x) es independiente de x:


Calcular la ley de corte requiere encontrar el valor de x tal que Uore(x) = Uwaste(x)

Recuperacin No-lineal: Un Ejemplo de Metal Precioso

Considere una mina de oro donde dos instalaciones de procesamiento estn disponibles: una

planta de lixiviacin para la cual el costo de procesamiento es $2.00 por tonelada mtrica y un

molino para el cual el costo de procesamiento es $12.00 por tonelada mtrica. La Figura 3-4

muestra la relacin entre recuperacin y ley, tal como se determin de pruebas metalrgicas y

estadsticas histricas de produccin. El precio de oro es $270.00 por onza y de la cual debe

deducirse un cargo de $5.00 por onza.

La figura 3-5 muestra el beneficio que ser hecho dependiendo de si el material de ley x es echado

a desmonte (Uwaste(x)), enviado al pad de lixiviacin (U1(x)) o procesado en molienda (U2(x)).

Tambin ilustra como la ley de corte puede determinarse por un mtodo grfico. La relacin entre

FIGURA 3-4 Relacin entre recuperacin y ley promedio

FIGURA 3-5 Estimacin grfica de la ley de corte entre desmonte, material lixiviado y molienda

con recuperaciones variables

la utilidad por lixiviacin o molienda y la ley promedio de este material ya no es lineal. El proceso

ptimo para el material de ley x es aquel para el cual la utilidad es la mayor. Las leyes de corte son

leyes en la cual las curvas intersectan. Si una recuperacin constante de 60% para el material

lixiviado y 90% para el material de molienda haba sido asumido, el punto de equilibrio mineral-

lixiviacin habra sido estimado en 0.43 gramos/tonelada mtrica y el punto de equilibrio

lixiviacin-molienda en 3.91 gramos/tonelada mtrica. Cuando las recuperaciones variables son

tomadas en cuenta, los puntos de equilibrio son sustancialmente mayores, 0.71 gramos/tonelada

mtrica y 5.08 gramos/tonelada mtrica, respectivamente

Relave Constante: Formulacin Matemtica

Un modelo usualmente usado para representar la relacin entre la planta de recuperacin y la ley

promedio de la plana alimentadora es el modelo de relave constante. Este modelo asume que una

cantidad fija de metales no puede ser recuperada, cualquiera que sea el material enviado a planta.

Si x es la ley promedio de una tonelada mtrica de material y c es la cantidad fija que no puede ser

recuperada, el monto recuperable es

x * r(x) = rc * (x c)

x = ley promedio del material enviado a procesar

r(x) = recuperacin de planta si la ley de cabeza es x

rc = recuperacin constante despus de sustraer el relave constante

c = relave constante

Relave Constante: Un Ejemplo de Metal Precioso

Considere una mina de cobre caracterizada de la siguiente manera:

rc = 87% (porcentaje de cobre recuperado, despus de deducir el relave constante)

c = 0.04%Cu (relave constante)

V = $1.20 por libra de cobre vendido

R = $0.30 por libra de cobre por flete, fundicin y refinacin

Mo = $1.00 por costos de minado por tonelada mtrica de mineral procesado

Po = $3.00 por costos de procesamiento por tonelada mtrica de mineral procesado

Oo = $0.50 por gastos generales por tonelada mtrica de mineral procesado




La Figura 3-6 ilustra la relacin entre la recuperacin r(x) y la ley promedio x.

r(x) = 0 si xc

FIGURA 3-6 Relacin entre recuperacin y ley promedio con relave constante

La relacin entre Uore(x), Uwaste(x) y ley promedio se muestra en la Figura 3-7.


=

0.87 * (x 0.04/100) * (1.20 0.30)*2,205 (1.00 + 3.00 + 0.50)

= 1,726x 5.191

Uwaste(x) = ( Mw + Pw + Ow) = (1.00 + 0.05 + 0.05) = -1.10

La ley de corte entre mineral desmonte es xc tal que Uore(x) = Uwaste(x)

xc = 0.24%Cu

FIGURA 3-7 Estimacin grfica de la ley de corte entre desmonte y molienda con relaves

constante

COSTO DE OPORTUNIDAD DE NO UTILIZAR LA LEY DE CORTE PTIMA

Si no se usa la ley e corte ptima, el material est siendo enviado a un destino donde el beneficio

hecho es menor que el que podra hacerse de otra manera, o la prdida incurrida es mayor que la

necesaria. La Figura 3-8 muestra el costo de oportunidad incurrido por tonelada mtrica cuando

una ley de corte lixiviacin-molienda de 3 gramos/tonelada mtrica se usa a pesar que la ley de

corte ptima es 3.91 gramos/tonelada mtrica. La prdida es representada por la diferencia entre

la utilidad del proceso escogido y el del proceso ptimo para la misma ley promedio. La Figura 3-9

muestra el costo de oportunidad incurrido por tonelada mtrica cuando una ley de corte

lixiviacin-molienda de 5 gramos/tonelada mtrica es usada.

Sea U1(x) la utilidad de lixiviar una tonelada mtrica de material de ley x y U2(x) la utilidad de

mandar a molienda la misma tonelada mtrica. Estas utilidades pueden ser escritas de la siguiente

manera (en estas ecuaciones, el costo R se incluye en V, y los gastos generales Oo estn incluido en

Mo, P01 y Po2):

U1(x) = x * r1 * V (Mo + Po1)

U2(x) = x * r2 * V (Mo + Po2)

FIGURA 3-8 Costo de oportunidad de usar una ley de orte menor que la ley de corte ptima

FIGURA 3-9 Costo de oportunidad de usar una ley de corte mayor que la ley de corte ptima

La ley de corte ptima es

U1(x) = (Po1 Po2)/[(r1 r2)*V]

Sea xs la ley de corte seleccionada, que es menor que la ley de ptima de ley xc (Figura 3-8). El

material de ley x entre xs y xc est yendo a molienda, que idealmente debera ser lixiviado. Para

cada tonelada mtrica de ley x entre xs y xc , el costo de oportunidad es

U1(x) U2(x) = x * (r2 r1)* V (Po1 Po2)

La integracin de esta frmula de x = xs a x = xc, el costo de oportunidad total se obtiene:

Costo de oportunidad total = [Q(xs) Q(xc)]* (r2 r1)*V [T(xs) T(xc)]* (Po2 Po1)

En est formula T(xs) T(xc) es el tonelaje de material con ley promedio entre xs y xc, y Q(xs)

Q(xc) es la cantidad de contenido metlico en este material. Sera posible evitar este costo de

oportunidad incrementando la capacidad de molienda por una cantidad de tonelaje igual a T(xs)

T(xc). Tal incremento de capacidad es justificado si el costo de tal incremento se espera que sea

menor que el costo total de oportunidad.

Son aplicables ecuaciones similares si xs es mayor a xc y el material que debera ir a molienda es

lixiviado (Figura 3-9):

Costo de oportunidad total = [Q(xc) Q(xs)]* (r1 r2)*V [T(xc) T(xs)]* (Po1 Po2)

CAPITULO CUATRO

Ley de Corte para Depsitos Polimetlicos

Los depsitos polimetlicos se definen como depsitos que contienen ms de un metal de valor

econmico. La frmula que debe considerarse para calcular la utilidad de enviar una tonelada

mtrica de material a un destino o proceso determinado debe considerar la contribucin de cada

metal. La decisin de si una tonelada mtrica de material debera ser desmonte o enviada a la

planta de procesamiento ya no puede hacerse sobre las bases de una sola ley. Se deben calcular el

valor en dlares para cada posible proceso, y la ley de corte entre mineral y desmonte debe ser

expresada en trmino de dlares.

CONSIDERACIONES GENERALES

Considere una tonelada mtrica que contiene dos metales valiosos, cobre y oro. Sea x1 y x2 la ley

de cobre y oro, respectivamente. La planta de procesamiento consiste en circuitos de chancado,

molienda y flotacin. Se produce concentrado de cobre, que es vendido a una fundicin. La

recuperacin de la planta de flotacin es r1 y r2 para el oro. Los costos de minado, procesamiento y

gastos generales asociados con una tonelada mtrica de material enviado a la planta de flotacin

son Mo, Po y Oo, respectivamente. Los costos correspondientes a una tonelada mtrica de

desmonte son Mw, Pw y Ow. De acuerdo al contrato de fundicin, el valor recibido por venta de

concentrado es p1 = 95% del valor del cobre contenido en el concentrado despus de una

deduccin, d1, y p2 = 99% para el contenido de oro. Las deducciones por costos de fundicin son Cs

por tonelada mtrica de concentrado. El ratio de concentracin K es el nmero de toneladas

mtricas que deben ser procesadas para producir una tonelada mtrica de concentrado. Los

costos de fletamento de una tonelada mtrica de concentrado a la fundicin son Ct. Los precios de

los metales son aquellos citados en la Bolsa de Valores de Londres, V1 y V2 para el cobre y oro,

respectivamente. Por lo tanto, el valor de una tonelada mtrica de material enviado a la planta de

flotacin es

Uore(x1, x2) = (x1r1 d1)p1V1 + (x2r2) p2V2 Cs/K Ct/K (Mo + Po + Oo)

Si la misma tonelada mtrica es enviada al botadero, los costos correspondientes son

Uwaste = (Mw + Pw + Ow)

El mismo material debera ser enviado a la planta procesadora si

Uore(x1, x2) > Uwaste

Estas frmulas muestran que muchos factores entrar en el clculo de la ley de corte entre mineral

y desmonte. Los costos de procesamiento y las recuperaciones es probable que sean dependientes

no solo del contenido de metal sino tambin de otras caractersticas geolgicas tales como

mineralizacin, dureza, contenido de arcilla, y grado de oxidacin, que vara dependiendo del rea

donde el depsito est siendo minado. Los contratos de fundicin penalizan fuertemente los

concentrados que contienen excesivas cantidades de elementos nocivos especficos. Todos estos

factores deben tomarse en cuenta cuando se estima el valor de corte aplicable a una tonelada

mtrica de material mineralizado.

Debido a que el valor de una tonelada mtrica de material est en funcin de ms de una ley, ya

no es til hablar de ley de corte. Histricamente, este problema multidimensional fue reducido a

un problema unidimensional definiendo un metal equivalente. Con el avance de las

computadoras y la facilidad de uso con que puede hacerse complejos clculos matemticos, ahora

se refiere a valores de corte, que son expresados en trminos de dlares y requiere calcular del

retorno neto de fundicin. El retorno neto de fundicin y las equivalencias de metal son discutidos

en los siguientes prrafos.

CALCULO DE LAS LEYES DE CORTE USANDO EL

RETORNO NETO DE FUNDICIN

Para depsitos polimetlicos, la utilidad de enviar una tonelada mtrica de material a la fundicin

es mejor expresada en trminos del retorno neto de fundicin, o NSR3. El retorno neto de

fundicin se define como el retorno de la venta de concentrados, expresado en dlares por

tonelada mtrica, excluyendo costos de minado y procesamiento.


En el ejemplo anterior de cobre-oro, el NSR de una tonelada mtrica de mineral con ley de cobre

x1 y ley de oro x2 es

NSR(x1,x2) = (x1r1 d1)p1V1 + (x2r2) p2V2 Cs/K Ct/K

La utilidad de enviar esta tonelada mtrica de mineral a la planta procesadora es

Uore(x1, x2) = NSR(x1,x2) (Mo + Po + Oo)

El uso del NSR simplifica el clculo de la ley de corte. Por ejemplo, el NSR de corte entre procesar y

echar a botadero una tonelada mtrica de material de leyes promedio x1, x2 es NSRc, calculado de

la siguiente manera:

3 Net Smelter Return (nota del traductor)

NSRc (Mo + Po + Oo) = (Mw + Pw + Ow)

NSRc = (Mo + Po + Oo) (Mw + Pw + Ow)

En depsitos polimetlicos, los puntos de equilibrio4 no son expresados en trminos de ley mnima

de metal; deben ser expresados en trminos de mnimo retorno neto de fundicin.

Clculo del NSR de corte: Un Ejemplo de Cobre-Molibdeno

Considere una operacin minera de cobre-molibdeno. En esta seccin, el subndice 1 se refiere a

cobre y 2 se refiere a molibdeno. Por lo tanto, x1 es la ley de cobre y x2 la ley de molibdeno. Los

siguientes parmetros caracterizan la operacin:

r1 = 89% de recuperacin de cobre en la planta de flotacin

p1 = 96.5% de recuperacin de cobre en fundicin

r2 = 61% de recuperacin de molibdeno en la planta de flotacin

p2 = 99% de recuperacin de molibdeno en tostacin

V1 = $1.20 valor de una libra de cobre vendida

V2 = $6.50 valor de una libra de molibdeno vendida

R1 = $0.065 por costos de refinacin por libra de cobre

K = 72 toneladas mtricas de mineral que deben ser procesadas para producir una tonelada mtrica de concentrado

Cs + Ct = $145.00 por costos de fundicin y fletamento por tonelada mtrica de concentrado

R2 = $0.95 por costos de conversin, tostacin y fletamento por libra de molibdeno

Mo = $1.00 por costos de minado por tonelada mtrica enviada a molienda

Po1 = $3.00 por costos de molienda por tonelada mtrica de mineral a enviada a molienda

Po2 = $0.15 costos incrementales de procesamiento de molibdeno por tonelada mtrica enviada a molienda

Oo = $0.50 por gastos generales por tonelada mtrica enviada a molienda




El retorno neto de fundicin de una tonelada mtrica de material con ley promedio x1, x2 se calcula

de la siguiente manera:

4 Cut-offs (nota del traductor)

NSR(x1,x2) = (x1r1 d1)p1V1 + (x2r2) p2V2 Cs/K Ct/K

= 0.89 * 0.965 * (1.20 0.065) * 2,205 * x1

+ 0.61 * 0.99 * (6.50 0.95) * 2,205 * x2 145.00/72

= 2,149x1 + 7,390x2 2.016

Por lo tanto, el valor del retorno neto de fundicin de una tonelada mtrica de mineral

promediando x1 = 0.45%Cu y x2 = 0.035%Mo es $10.24.

Para el material que debe ser minado pero puede ser o desmonte o procesado, el NSR de corte

(NSR de corte de planta o interno) es NSRc, calculado de la siguiente manera:

NSRc = (Po1 + Po2 Pw) + (Oo Ow) + (Mo Mw)

= (3.00 + 0.15 0.15) + (0.50 0.05) + (1.00 1.00)

= $3.55 por tonelada mtrica

FIGURA 4-1 Relacin entre el NSR de corte y las leyes de metal

Para el material que no necesita ser minado (NSR de corte de mina o externo), el NSRc es calculado

de la siguiente manera:

NSRc = Po1 + Po2 + Oo + Mo

= 3.00 + 0.15 + 0.50 + 1.00

= $4.65 por tonelada mtrica

La relacin entre NSRc, x1, x2 se muestra en la Figura 4-1.

CALCULO Y REPORTE DE METAL EQUIVALENTE

Antes que las computadoras sean ampliamente usadas, era una prctica comn referirse a los

depsitos polimetlicos en trminos de metal equivalente. Si una tonelada mtrica de material

contena dos metales, cobre y molibdeno, con leyes promedio x1 y x2, respectivamente, con el

correspondiente cobre equivalente se define como la ley de cobre x1e que debe contener una

tonelada mtrica para producir el mismo ingreso, asumiendo que no hay molibdeno.

El ingreso generado por minar y procesar una tonelada mtrica de material con ley de cobre x1 y

ley de molibdeno x2 es NSR(x1,x2). El ingreso generado por minar y procesar una tonelada mtrica

del material con ley de cobre x1e y sin molibdeno es NSR(x1e,0.0). El equivalente en cobre se

obtiene resolviendo la siguiente ecuacin:

NSR(x1e,0.0) = NSR(x1,x2)

Se puede calcular un equivalente en molibdeno en vez de un equivalente en cobre. El molibdeno

equivalente es la ley de molibdeno x2e, que satisface la siguiente ecuacin

NSR(x2e,0.0) = NSR(x1,x2)

En el ejemplo anterior de cobre-molibdeno, el NSR se expresaba como sigue:

NSR(x1,x2) = x1r1p1(V1 R1) + x2r2p2(V2 R2) (Cs + Ct)/K

Por lo tanto,

NSR(x1e,0.0) = x1er1p1(V1 R1) (Cs + Ct)/K

El equivalente en cobre es

x1e = x1 + x2[r2p2(V2 R2)]/[r1p1(V1 R1)]

Similarmente, el equivalente en molibdeno es

x2e = x2 + x1[r1p1(V1 R1)]/[r2p2(V2 R2)]

Usando la informacin listada previamente respecto a los precios, costos y recuperaciones, el

equivalente en cobre y molibdeno puede ser calculado como sigue:

x1e = x1 + x2(7,390/2,149) = x1 + 3.439x2

x2e = x2 + x1(2,149/7,390) = x2 + 0.291x1

El equivalente en cobre promedio del material x1 = 0.45%Cu y x2 = 0.035%Mo es 0.57%Cu

equivalente. El equivalente en molibdeno para el mismo material es 0.166%Mo equivalente.

En la prctica, debido a la complejidad de la frmula a usarse para estimar correctamente el valor

de una tonelada mtrica de material, y a causa de que la equivalente cambia con el precio de los

metales, recuperaciones, y costos de refinacin, la ley equivalente es raramente una herramienta

til en el clculo de las leyes de corte. Indicando la cantidad de metal equivalente contenido en un

depsito es de poca utilidad para los inversionistas. La publicacin de reservas en trminos de

metal equivalente es generalmente no aceptado por las agencias reguladoras a menos que se

hagan declaraciones adicional, incluyendo publicacin de ley promedio para cada metal y una

explicacin de la formula usada para el clculo del metal equivalente.

CAPITULO CINCO

Ley de Corte y Optimizacin de las Condiciones de

Operacin de la Planta de Procesamiento

En este captulo, se desarroll un mtodo para optimizar una operacin minera de cobre cuando la

capacidad de mina es fija, pero la capacidad de la planta de procesamiento puede ser cambiada

mediante el cambio de tamao de molino. Dependiendo de las propiedades metalrgicas del

mineral, usar una molienda ms gruesa incrementar el rendimiento de planta mientras que

reduce los costos por tonelada mtrica procesada y disminuye la recuperacin. Por el contrario,

una molienda ms fina puede disminuir la capacidad de planta, incrementar el costo de

procesamiento e incrementar la recuperacin.

FORMULACIN MATEMTICA

Las siguientes notaciones son usadas en el siguiente captulo:

r = Recuperacin en planta de procesamiento V = Valor del cobre contenido en el concentrado, despus de deducciones por prdidas

en fundicin, y costos de fletamento, fundicin, y refinacin

Po = Costo por tonelada mtrica procesada de mineral, incluyendo gastos generales

xc = Ley de corte

T+c = Tonelaje por encima de la ley de corte a ser procesada en un ao

Q+c = Cantidad de cobre a ser procesado en un ao

x+c = Ley promedio por encima de la ley de corte

Debido a que las operaciones mineras estn fijas, la funcin utilidad que debe ser optimizada para

estimar el tamao econmicamente ptimo de molienda es slo una funcin de las operaciones

de molienda y puede ser escrito como sigue:

U(T+c) = Q+c * r(T+c) * V T+c * Po(T+c)

donde

U(T+c) = Utilidad de funcionamiento de planta en T+c de capacidad para un ao

r(T+c) = Recuperacin en la planta de procesamiento, si la capacidad de planta es T+c Po(T+c) = Costo por tonelada mtrica de mineral procesado, si la capacidad de planta es

T+c

Q+c tambin es una fundicin de T+c. Tanto Q+c como T+c son funciones de la ley de corte xc.

La capacidad de planta ptima es aquella para la cual U(T+c) alcanza un mximo y se calcula

estableciendo la primera derivada de U(T+c) igual a cero:

dU(T+c)/dT+c = 0.0

dU(T+c)/dT+c = dQ+c/dT+c * r(T+c) * V Po(T+c) + Q+c * dr(T+c)/dT+c*V T+c * dPo(T+c)/dT+c

Si el tonelaje procesado es cambiado por una pequea cantidad dT+c a causa de un pequeo

cambio en la ley de corte, la cantidad de cobre contenido se incrementa de Q+c = T+c * x+c a

Q+c + dQ+c = T+c * x+c + dT+c * xc. Por lo tanto, dQ+c = dT+c * xc y la capacidad ptima de planta es T+c

tal que

xc * r(T+c) * V Po(T+c) + Q+c * dr(T+c)/dT+c*V T+c * dPo(T+c)/dT+c = 0.0

Si la recuperacin r y los costos de procesamiento fueran independientes de T+c, esta ecuacin

sera fcil de resolver para xc:

xc = Po(T+c)/[r(T+c) * V] = Po/[r*V]

Aqu se reconoce la ley de corte de planta.

El trmino Q+c * dr(T+c)/dT+c*V representa el cambio en el valor del producto vendido en un ao

que resulta del cambio en la recuperacin. El trmino T+c * dPo(T+c)/dT+c representa el cambio en

los costos de operacin por ao que resulta del cambio en el costo de procesamiento por tonelada

mtrica.

En esta formulacin del problema, se asumi que el valor V del producto vendido es

independiente del tonelaje procesado. Este no sera el caso si la calidad del concentrado varia con

el tonelaje procesado y la ley de cabeza. Tambin se asumi que la recuperacin est solo en

funcin del tonelaje procesado y es independiente de la ley de cabeza. Se aplicaran ms

ecuaciones complejas si estas suposiciones no se haran.

EJEMPLO: OPTIMIZACIN DEL CIRCUITO DE MOLIENDA

EN UNA MINA DE COBRE

El siguiente ejemplo ilustra como la capacidad de planta puede ser optimizada cuando los planes

de mina estn fijos, ningn cambio mayor puede hacerse a la planta de procesamiento, pero la

capacidad de planta puede incrementarse cambiando el tamao de molienda. La produccin de

mina est fija por lo menos un ao, y el tonelaje, ley, y contenido metlico del material cuprfero

esperado para ser minado durante este ao es como se muestra en la Tabla 5-1 e ilustrado en la

Figura 5-1.

El mineral va ser procesado en una planta de flotacin. El molino fue diseado para operar en un

tasa de 39.5 millones de toneladas mtricas por ao con un promedio de recuperacin de cobre

de 95%. Bajo estas condiciones, los costos de operacin de molienda son $5.24 por tonelada

mtrica. Cuando se finalizaron los planes de mina para el prximo ao, el valor esperado del

producto vendido fue $1.00 por libra de cobre en concentrado, y la siguiente ley de corte de

molienda fue usada para el planeamiento:

xc = 5.24/(0.95 * 1.00 * 2,205) = 0.25%Cu

TABLA 5-1 Relacin ley-tonelaje de minado para el prximo ao

Cut off, %Cu

Tonelaje Minable,

millones de toneladas mtricas

Ley Minable,

%Cu

Contenido de Cobre Minable

miles de toneladas

mtricas de Cu millones de libras de Cu

0.15 53.7 0.335 180 397

0.16 52.6 0.340 179 395

0.17 51.4 0.344 177 390

0.18 50.1 0.348 174 384

0.19 48.8 0.352 172 378

0.20 47.5 0.355 168 372

0.21 46.0 0.360 165 365

0.22 44.0 0.365 162 357

0.23 42.8 0.370 159 349

0.24 41.2 0.375 155 341

0.25 39.5 0.381 150 332

0.26 37.7 0.387 146 322

0.27 35.9 0.393 141 311

0.28 34.1 0.399 136 300

0.29 32.1 0.406 131 288

0.30 30.2 0.413 125 275

0.31 28.2 0.421 119 262

Como se muestra en la Tabla 5-1, esta ley de corte implica que la alimentacin de molienda ser

39.5 millones de toneladas mtricas, ley promedio de 0.381%Cu y contenido de 332 millones de

libras de cobre. El valor el material enviado a molienda, baso en $1.00 por libra de cobre

recuperable y excluyendo costos de minado, se esperaba sea


= 332 * 0.95 * 1.00 39.5 * 5.24

= $108 millones

FIGURA 5-1 Representacin grfica de la relacin ley-tonelaje para el prximo ao

A causa de un incremento inesperado en el precio de cobre, la compaa minera est investigado

si se pueden hacer cambios en el corto plazo a la alimentacin de molienda y el rendimiento, que

resultara en un incremento de la utilidad. El precio del cobre ahora se espera que sea $1.50 por

libra de cobre en concentrado en vez del $1.00 que fue usado para el planeamiento. El plan de

mina no puede ser cambiado al menos por un ao y solo se pueden hacerse cambios en las

condiciones de operacin para la planta de procesamiento. Una opcin es operar la mina y planta

como fue planeado mientras que se vende el concentrado a un precio ms alto. El valor del

material enviado a molienda, excluyendo costos de minado, incrementara de $108 millones a


= 332 * 0.95 * 1.50 39.5 * 5.24

= $266 millones

Alternativamente, podra considerarse en disminuir la ley de corte. A $1.50 por libra de cobre en

concentrado, la ley mnima de corte es

xc = 5.24/(0.95*1.50*2,205) = 0.17%Cu

La Tabla 5-1 muestra que 51.4 millones de toneladas mtricas de mineral seran minadas por

encima de esta ley de corte, con ley promedio de 0.344%Cu. Bajo las actual

una introducción a la estimación de la ley de corte (1)

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