UNA APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE VALORES EXTREMOS AL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO

Joaquín Aranda Gallego - joaquin@um.es J. Alberto de Luca Martínez - jalberto@um.es

Universidad de Murcia

Reservados todos los derechos. Este documento ha sido extraído del CD Rom “Anales de Economía Aplicada. XIV Reunión ASEPELT-España. Oviedo, 22 y 23 de Junio de 2000”. ISBN: 84-699-2357-9

Una aplicación de la

Teoría de Valores Extremos

al cálculo del Valor en Riesgo

Aranda Gallego, JoaquínDe Luca Martínez, J. Alberto

Dpto. de Métodos Cuantitativos para la EconomíaUniversidad de Murcia

PonenciaAbril 2000

Resumen: El Valor en Riesgo, VaR, constituye en la actualidad la herramienta básica de todo gestorde riesgos financieros así como el referente más reciente de la aplicación masiva de las técnicas estadís-ticas al campo de las Finanzas.

Desde su incorporación al instrumental básico de la práctica financiera, han sido múltiples lascaracterizaciones y propuestas de cómputo que se han venido realizando. Sin embargo, en la mayoríade las ocasiones, entendemos que se ha perdido la perspectiva del verdadero problema: la mayor partede estos planteamientos olvida el hecho de que VaR es un cuantil extremo y así, en lugar de hacer uso delas herramientas que la Estadística ofrece para el estudio de estos sucesos de baja probabilidad, recurrena métodos típicos de inferencia que, si bien son apropiados para determinar los valores centrales de unadistribución, son poco eficaces para recoger el comportamiento en las colas.

En nuestro trabajo, proponemos una aproximación al cálculo del VaR basada en la Teoría de Va-lores Extremos, una rama de la Teoría de la Probabilidad cuyo objetivo es, precisamente, analizar losextremos observados de una distribución y predecir más allá de estos.

Palabras clave: Riesgo de Mercado, VaR, Teoría de Valores Extremos

Área: G2. Métodos de estadística económica

Correos electrónicos: joaquin@um.es, jalberto@um.es

1

1 Fundamentos del Valor en RiesgoEl progresivo acortamiento de los márgenes de intermediación del negocio bancario

tradicional, vivido en los últimos 20 años, ha provocado que las entidades financieras

se vuelvan cada vez más hacia los mercados financieros como forma de complementar

sus cuentas de resultados. De esta manera, las entidades de crédito a nivel mundial

comenzaron a verse potencialmente afectadas, no sólo por el tradicional riesgo de que

sus acreditados no devolvieran los créditos, sino también, y de una forma cada vez

mayor, por los riesgos derivados de los cambios de los precios de los activos financie-

ros en los que invertían. Dicho de otra forma, los sistemas bancarios a nivel interna-

cional se exponían de forma importante, no solo al tradicional riesgo de crédito, sino

también al de mercado, entendido éste, según la definición del Banco Internacional de

Pagos de Basilea, BIS (1988), como �El riesgo de pérdidas en las posiciones de dentro

y fuera de balance derivadas de movimientos en los precios de mercado�

Las instituciones supervisoras, conscientes de esta situación, fueron emitiendo

normativas nacionales tendentes a incluir, de una forma u otra, el riesgo de mercado

en los requisitos de capital de las entidades financieras y fue surgiendo la necesidad,

en un entorno financiero cada vez más globalizado, de que se llegara a un consenso a

nivel internacional sobre esta cuestión.

Así, en Abril de 1993, el Comité de Basilea de Supervisión Bancaria emitió una

recomendación donde se recogía un conjunto de sistemas de cómputo de la exposición

al riesgo de mercado de las entidades financieras, conformando lo que se conoce como

modelo estándar. Apenas dos meses después de la quiebra de Barings PCL, en Abril

de 1995, dicho Comité publicó tres documentos adicionales, BIS (1995a, 1995b,

1995c), anticipando sus intenciones de modificar el Acuerdo de Capital de 1988.

Finalmente, en enero de 1996 se emitió la �Enmienda al Acuerdo de Capital pa-

ra incorporar el riesgo de mercado�, BIS (1996), la cual establecía que, a más tardar

el 1 de enero de 1998, se debería incluir el riesgo de mercado en el computo de los

requerimientos de recursos propios de las entidades. Si bien la propia Enmienda reco-

gía una ampliación del modelo estándar, su principal novedad radicó en que permitía

a las entidades la utilización de sus propios modelos internos de determinación del

2

riesgo de mercado para la cuantificación de los requerimientos mínimos de recursos

propios.

No obstante, el acuerdo del BIS estableció que las entidades que se acogieran a

la opción de utilizar sus modelos internos habían de considerar en ellos una serie de

requisitos mínimos tanto de carácter cualitativo (existencia de una unidad indepen-

diente de control de riesgo, emisión de informes diarios...) como cuantitativo. En la

definición de estos últimos tomaban una gran importancia dos conceptos que resultan

complementarios, el Value-at-Risk (VaR), que trata de cuantificar el riesgo que asu-

me una entidad usualmente por su participación en los mercados, y el Stress Testing,

un ejercicio que tiene por objeto evaluar el riesgo en que se incurre en situaciones ex-

cepcionales. Ambas técnicas, no obstante, ya se estaban empezando a implantar en

una parte de la industria financiera, sobre todo a medida que se generalizaba la ope-

rativa con productos derivados.

Como una primera aproximación, siguiendo a Jorion (1997), se puede definir el

VaR como un método de cálculo del riesgo de mercado que utiliza técnicas estadísti-

cas estándar para medir la peor pérdida previsible del valor de una cartera de activos

( )V en un intervalo de tiempo ( )h bajo condiciones normales de mercado a un nivel

de confianza dado ( )u . Esto es, el VaR sería aquel valor tal que

Pr VaR 1t tt hV V I u

siendo tI el conjunto de información disponible en t. Así pues, si el VaR diario de

una cartera al 99% es de 10 millones de euros, se tiene una confianza de que solo el

1% de los días la variación diaria de los precios de mercado hará perder a la entidad

más de 10 millones de euros. Alternativamente, el VaR puede entenderse, como apun-

ta Prisker (1996), como �el volumen de capital que la entidad requeriría para absorber

las pérdidas registradas por su cartera en casi todas las circunstancias�.

La Enmienda concretaba, de una forma un tanto confusa, que cuando el VaR

fuera a servir de base para la determinación del los requerimientos mínimos de capital

de una entidad, se debía computar diariamente, a un nivel del confianza del 99% y

para un periodo de mantenimiento de los activos de 10 días.

3

Así, la obtención del VaR se limita a algo que, a priori, parece de gran sencillez:

calcular diariamente el percentil de orden 0,01 de la distribución de incrementos de-

cenales del valor de la cartera. Computado este percentil, tras algunos ajustes, se de-

terminaría el nivel de capital necesario para hacer frente al riesgo de mercado. Sin

embargo, llegados a este punto aparecen tres dificultades básicas a la hora de calcular

el VaR.

En primer lugar tendríamos que determinar el origen del riesgo al que se enfren-

ta la cartera o, desde un punto de vista más operativo, el conjunto de factores de

riesgo que alteran los precios de mercado de los activos. Por ejemplo, en el caso de

instrumentos cuyos precios dependen de los tipos de interés, el BIS propone que se

identifiquen un mínimo de seis factores de riesgo que den cuenta de los movimientos

de la estructura temporal de los tipos de interés; para riesgo de cambio, el BIS pro-

pone que se consideren como factores de riesgo todos los tipos de cambio que pueden

afectan al valor de la cartera...

Definidos los factores de riesgo, el siguiente paso en el proceso de medición de

riesgos consiste en determinar la forma en que aquéllos afectan a los precios y, por

último, encontrar la distribución que siguen los factores de riesgo1. Desgraciadamente,

ninguna de estas tareas es sencilla y ambas pueden ser fuente de errores importantes

en la estimación del riesgo. Precisamente ha sido en estas cuestiones en las que se ha

centrado la investigación en los últimos cinco años dando a un gran número de pro-

puestas alternativas de cálculo del VaR que difieren, básicamente, en las últimas dos

circunstancias: en el uso o no de aproximaciones para el cálculo de las variaciones en

el valor de las carteras y en el tipo de distribución que se asume para los factores de

riesgo.

Atendiendo a la primera, pueden distinguirse, muy someramente, dos grandes

categorías de métodos: los métodos delta y delta-gamma y los métodos de valoración

completa (o full valuation). Los primeros proponen aproximar el cambio en el valor de

la cartera mediante un desarrollo en serie de Taylor de orden uno (los métodos delta)

1 Con mayor precisión, la distribución de las variaciones de los factores de riesgo, pues son éstas laque originan los cambios en los precios. A partir de ahora, entiéndase que al hablar de factores deriesgo como fuente del riesgo de mercado, nos referimos a sus variaciones.

4

o de orden dos (los métodos delta�gamma) en el cambio en los factores de riesgo. Los

segundos, mucho más lentos pero más exactos, sobre todo para posiciones con fuertes

no linealidades como es el caso de los activos con opcionalidad, simulan posibles tra-

yectorias de los factores de riesgo a lo largo del tiempo y proceden a la valoración

exacta de los activos de la cartera en cada escenario.

En un gran número de métodos, y éste es el tercero de los problemas, es necesa-

rio disponer de una distribución para los rendimientos de los factores de riesgo. Ante

este problema, es común asumir una distribución normal para los rendimientos, su-

puesto éste, que si bien facilita enormemente los cálculos y desarrollos, no parece muy

realista a la vista de las principales referencias sobre distribuciones de rendimientos

de activos financieros2. En todas ellas se rechaza la hipótesis de normalidad y, aunque

no se alcanza un consenso sobre la distribución exacta que subyace a los rendimien-

tos, todos coinciden en que la distribución ha de tener colas gruesas.

La detección de colas gruesas no hace más que complicar el problema a que nos

enfrentamos ya que, como indican Jansen y De Vries (1991), �hay una considerable

controversia en relación con la masa exacta de probabilidad que reside en las colas de

la distribución�, cuando precisamente el VaR se define como un cuantil extremo. Esta

misma circunstancia es la que hace no recomendable el uso de los métodos de ajuste

estadístico habituales. Diebold (1998) hace referencia explícitamente a esta cuestión:

�[Los] métodos paramétricos implícitamente se centran en realizar un buen ajuste en

las regiones donde están la mayoría de los datos [...], incluso sofisticados métodos no

paramétricos [...] es bien conocido que realizan un ajuste pobre en las colas�. Pero es

que es más, el escaso número de observaciones extremas hace muy difícil encontrar un

método que, sobre la base exclusivamente de esta información, sea capaz de ofrecer

estimaciones fiables para futuros eventos extremos.

Ambas apreciaciones nos llevan a pensar que la estimación de una función de

densidad completa no parece la mejor forma de aproximarnos al problema de la esti-

mación de extremos, el caso que aquí nos ocupa. En este sentido, las recientes aplica-

2 Puede verse, por citar solo las más significativas, Mandelbrot (1963, 67), Fama (1965), Praetz(1972), Blattberg et al. (1974), Kon (1984), Boothe y Glassman (1987) o Mittnik y Rachev (1993).

5

ciones de la Teoría de Valores Extremos, EVT en adelante, al campo de las Finanzas

parecen ofrecer un punto de vista novedoso y, a priori, bien fundamentado desde un

punto de vista estadístico, con el que realizar la estimación de medidas del riesgo de

mercado. Esto es así porque la EVT se centra en el estudio de los extremos de una

distribución, de los sucesos de baja probabilidad, desarrollando un conjunto de he-

rramientas a partir de las cuales es posible determinar los cuantiles extremos de una

distribución sin necesidad de conocer la distribución completa.

Siendo nuestro objetivo ilustrar la aplicación de la EVT al cálculo del VaR, or-

ganizamos lo que resta del presente trabajo de la siguiente forma: en el epígrafe se-

gundo realizamos una breve reseña de los principales desarrollos teóricos y de estima-

ción de la Teoría de Valores Extremos orientando nuestra reseña hacia el estudio de

información financiera; en el tercero, realizamos una aplicación al cálculo del VaR de

una posición en divisas, haciendo especial hincapié en su comparación con los méto-

dos normales de cálculo del VaR; finalizaremos con unas breves conclusiones.

2 Teoría de Valores ExtremosSi bien los orígenes de esta disciplina podemos encontrarlos en el siglo XVIII, su desa-

rrollo se ha producido básicamente en los últimos 100 años. De hecho, no fue sino

hasta 1958 cuando E. J. Gumbel publicó Estadísticos de extremos, el primer libro

dedicado íntegramente a la EVT. En esta publicación se define el objetivo de la EVT

como �[...] analizar los extremos observados y predecir más allá de éstos�. Este obje-

tivo, aunque ambicioso, es alcanzable, en la medida que, tal como reseña Gumbel

�Los extremos no son constantes sino que son nuevas variables estadísticas que de-

penden de la distribución inicial y del tamaño de la muestra. No obstante, se pueden

alcanzar resultados ciertos que no dependen de la distribución inicial�.

En la breve reseña teórica que realizamos a continuación nos centraremos en los

desarrollos de distribuciones asintóticas del máximo3 de un conjunto de variables

3 Nos centramos, por comodidad, en el caso del máximo, lo cual no supone una pérdida de generali-dad en la medida que, como es conocido, 1 2 1 2min , , , max , , ,n nX X X X X X .

6

aleatorias, pues ésta es la base para lograr plantear una versión estimada de la fun-

ción de distribución de las variables originales, válida únicamente en los extremos, a

partir de la cual estimar los cuantiles extremos deseados.

2.1 Distribución asintótica del máximo de un conjunto devariables aleatorias

Partimos de un conjunto 1 2, , , ,nX X X de variables aleatorias no degeneradas, inde-

pendientes e idénticamente distribuidas con función de distribución desconocida, F y

estadísticos de orden :1: 2: n nn nX X X y estamos interesados en estudiar la

distribución del máximo, 1: ,nX que vendrá dada por

1: 1: 1 2( ) Pr Pr max , , , ( )nnn nF x X x X X X x F x

ahora bien, la utilidad práctica de esta expresión es muy limitada en nuestro caso en

la medida que requiere conocer la distribución de las variables aleatorias de partida

que, por hipótesis, es desconocida.

Ante esto, se puede realizar un planteamiento alternativo, inspirado en el Teo-

rema Central del Límite, y que consiste en estudiar la distribución asintótica del má-

ximo de un conjunto de variables aleatorias con el objetivo de que nos sirva de apro-

ximación para analizar la distribución del máximo de un número lo suficientemente

alto de variables aleatorias.

Dicho de otro modo, estamos interesados en estudiar bajo qué condiciones exis-

ten las constantes 0nc y nd tal que se verifica que 1:( )n nnc X d tiende en Ley

a alguna variable aleatoria no degenerada, cuáles son las posibles leyes límite y bajo

qué condiciones dicha convergencia tiene lugar hacia una distribución límite concreta.

El Teorema de Tipos Extremos, uno de los resultados fundamentales de la EVT,

da respuesta a la pregunta anterior en tanto que establece que, si existen las constan-

tes de normalización, únicamente pueden existir tres tipos de leyes que pueden jugar

el papel de variables límite, los llamados tipos extremos.

7

Teorema 1. Teorema de Tipos Extremos4

Sea 1 2, , , nX X X una sucesión de variables aleatorias, independientes e idéntica-

mente distribuidas con función de distribución F y sea :1: 2: n nn nX X X sus

estadísticos de orden. Si existen las constantes de normalización 0nc y nd tal

que se verifica

1:L

n nnc X d G (1)

siendo G una variable aleatoria límite no degenerada, entonces G pertenece a alguno

de los tres tipos de valores extremos siguientes:

1,

2,

3,

1

2

3

0 0( )

exp 0

exp 0( )

0 0

( ) exp exp

Tipo

Tipo

Tipo

xFréchet G xx x

x xWeibull G xx

Gumbel G x x x

siendo 0 el índice de cola de la distribución.

Inversamente, cada uno de los tres tipos puede aparecer como distribución límite en

(1) y de hecho aparece cuando G es la distribución de las variables X.

En definitiva, partiendo del supuesto de que el máximo debidamente normaliza-

do de una sucesión de variables aleatorias tiene una distribución límite no degenera-

da, este teorema garantiza su atracción hacia alguno de los tres tipos extremos (esto

es, su pertenencia al dominio máximo de atracción del tipo que corresponda). Hemos

de indicar que este resultado, como otros que seguirán, no depende crucialmente de la

verificación del supuesto de independencia e igualdad de distribución de las variables

de partida sino que es generalizable, con leves modificaciones, a sucesiones dependien-

tes5.

4 Puede verse la demostración en Resnick (1987).5 Una excelente referencia para consultar esta cuestión es Leadbetter et al. (1983); también puede

consultarse en Galambos (1978).

8

Por último, es de interés reseñar que existe una representación alternativa de los

tipos extremos, debida a Jenkinson y von Mises que resulta de gran utilidad en la

medida que representa los tres tipos en una única familia de funciones de distribución

dependientes de un parámetro que guarda una estrecha relación con .

Definición 2. Tipo generalizado de valores extremos

Definimos el tipo generalizado de valores extremos, Gξ, como

1/exp (1 ) 0( )

exp exp( ) 0

xG x

x

con y tal que 1 0x .

Se puede fácilmente comprobar que esta función, dependiendo de los valores de

, puede dar lugar a los tres tipos extremos. De hecho, si 1 0, se tiene el tipo

Fréchet, cuando 1 0, se obtiene el tipo Weibull y el caso 0, es, trivial-

mente, el Gumbel.

2.2 Colas de la distribución original y dominios de atracción

La principal aportación del Teorema de Tipos Extremos es que facilita una especifica-

ción funcional aproximada con la que estudiar la distribución del máximo de un nú-

mero lo suficientemente alto de rendimientos haciendo innecesario conocer, al menos

en principio, la distribución completa de la variable aleatoria original. Ahora bien,

este resultado sobre la distribución asintótica del máximo aparentemente parece que

tiene poco que ver con nuestro objetivo original: estimar el VaR, un cuantil extremo

de una distribución de rendimientos, no de su máximo.

Sin embargo existe una estrecha relación entre la distribución asintótica del má-

ximo y el comportamiento en la cola de la distribución original. Intuitivamente parece

claro, el máximo es un suceso que, por definición, pertenece a la cola derecha de la

distribución y, por tanto, la distribución asintótica del máximo debería estar estre-

chamente relacionada con la distribución de la variable aleatoria original cuando nos

situamos en su cola. El siguiente Teorema y su Corolario permiten centrar definiti-

vamente esta cuestión.

9

Teorema 3. Aproximación de Poisson6

Sea { }nX una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distri-

buidas con función de distribución F. Sea 0 y supongamos que existe una

sucesión (no decreciente) de números reales { }nu tal que se verifica

lim 1 ( )nnn F u (2)

entonces

:lim Pr exp( )n n nnX u (3)

La inversa también es cierta.

Nótese que, a partir de la aproximación de Poisson, particularizando adecuada-

mente el valor de para cada x, podemos llegar fácilmente al Teorema 1.

La aproximación de Poisson no hace más que justificar la intuición anterior so-

bre la relación entre la cola y el máximo, ya que si se cumple la ecuación (2),

1 ( )nF u ha de ser extremadamente pequeño, lo cual implica que estamos en la cola

de la distribución original y, por tanto, en ese caso y solo en ese caso, podemos pasar

a (3). Precisamente esta relación entre la cola y el máximo, unida al Teorema 1 per-

mite caracterizar los dominios de atracción de los tres tipos de valores extremos a

partir del comportamiento en la cola de la distribución original.

Corolario 4. Condición alternativa de convergencia7

La función de distribución F pertenece al dominio máximo de atracción de algún tipo

de valores extremos, G , con constantes de normalización 0nc y nb si y solo si

lim 1 / ln ( )n nnn F x c d G x

entendiendo que cuando ( ) 0G x el límite es infinito.

Así, dicho al contrario, si estimamos el índice de cola de la distribución asintóti-

ca del máximo tendremos absolutamente determinada la parte derecha de la expre-

6 La demostración puede consultarse en Leadbetter et al. (1983).7 Puede verse la demostración, por ejemplo, en Embrechts et al. (1997).

10

sión anterior y, por tanto, podremos utilizarla, bajo ciertas condiciones, para realizar

una aproximación8 a la cola de la distribución de la variable aleatoria original, que era

el objetivo buscado.

2.3 Variaciones regulares y tipos extremos

Ante una muestra de datos financieros concreta y asumiendo que las premisas del

Teorema de Tipos Extremos se cumplen, surge ahora una nueva pregunta ¿qué tipo

extremo es el relevante para esa muestra? Analizando esta cuestión desde un punto

de vista estrictamente teórico, existe un amplio conjunto de condiciones necesarias

y/o suficientes que ha de cumplir la variable aleatoria original para pertenecer a cada

uno de los dominios de atracción9.

En cualquier caso, al aplicar la Teoría de Valores Extremos al análisis de rendi-

mientos financieros el problema de la elección del tipo extremo se simplifica bastante

al ser posible analizar las condiciones de pertenencia a los dominios de atracción a la

luz de las regularidades estadísticas de las variables financieras. Concretamente, como

se ha comentado anteriormente, la principal constante de los últimos 30 años en la

modelización de rendimientos es que las distribuciones no son normales y que presen-

tan colas gruesas.

Si bien es cierto que a nivel estadístico no existe una definición unívoca sobre lo

que se entiende por una distribución de cola gruesa no lo es menos que si nos centra-

mos en la literatura financiera reciente el consenso es prácticamente generalizado10,

por no decir total: una distribución tiene colas gruesas si 1 ( )F x varía regularmen-

te11 en infinito con índice 0a , condición ésta que nos permite seleccionar el dominio

8 Es muy importante destacar que la aproximación sólo es válida cuando estamos muy a la derechade la distribución original, esto es cuando ( ) 1F x .

9 Una referencia muy útil para consultar la amplia gama de condiciones de convergencia para cadatipo de valores extremos es Embrechts et al. (1997).

10 Vease, por ejemplo, Jansen y De Vries (1991), Hols y De Vries (1991), Longin (1996), Lux (1996),Bassi et al. (1997), Dannielson y De Vries (1997a), Dannielson y De Vries (1997b), Embrechts et al.(1997), Kearns y Pagan (1997), Resnick (1997), Dannielson et al. (1998), Diebold et al. (1998),Resnick y Starica (1998), Dewachter y Gielens (1999), McNeil (1999).

11 Puede consultarse este concepto y algunas de sus propiedades en Feller (1971).

11

máximo de atracción del tipo Fréchet en virtud del siguiente Teorema debido a Gne-

denko (1943):

Teorema 5 Condición necesaria y suficiente de pertenencia al dominio máximode atracción del tipo Fréchet

Una función de distribución F pertenece al dominio máximo de atracción del tipo

Fréchet si y solo si se verifica que

sup ; ( ) 1Fx x F x01 ( )lim01 ( )t

F tx xxF t

en este caso, las constantes de normalización de la convergencia vendrán dadas por11 11nc F n 0nd

Dicho de otro modo, una función de distribución pertenece al dominio máximo de

atracción del tipo Fréchet si, no teniendo punto final a la derecha, varía regularmente

con índice 0 .

2.4 Técnicas de estimación

Existen, al menos desde un punto de vista histórico, dos métodos para enfrentarnos al

problema de la estimación del índice de cola de un tipo extremo: la estimación para-

métrica, planteada inicialmente por Gumbel (1958), y que actualmente se encuentra

en desuso a nivel financiero, y la estimación que se puede denominar de Dominio Má-

ximo de Atracción, MDA, que parte de los artículos de Pickands (1975) y Hill (1975)

y que actualmente es, prácticamente, la única que se utiliza en nuestro campo.

Las técnicas de estimación MDA parten del supuesto de que se dispone de un

conjunto de variables aleatorias, 1 2, , , nX X X , no degeneradas, independientes e

idénticamente distribuidas según una función de distribución, F, desconocida que per-

tenece al dominio máximo de atracción de algún tipo extremo y con estadísticos de

orden :1: 2: n nn nX X X .

Mediante la aplicación de alguna de las propiedades asintóticas derivadas de la

pertenencia a los dominios máximos de atracción, estas técnicas consiguen obtener una

versión paramétrica o semiparamétrica de la distribución original, válida para los ma-

12

yores valores de la variable, a partir de la cual realizar la estimación del índice de cola.

En función de la propiedad utilizada aparecen los diferentes estimadores del índice de

cola, por orden cronológico, Pickands (1975), Hill (1975), De Haan y Resnick (1980),

Smith (1987), Decker et al. (1989), Leabetter (1991) y Kratz y Resnick (1995).

En cualquiera de los casos, merece la pena destacar que el verdadero nexo de

unión entre estas técnicas se encuentra, desde nuestro punto de vista, en el hecho de

que solamente se cumplen sus supuestos cuando x o, dicho de otra forma,

cuando se quiere conocer el comportamiento de la variable para valores de la variable

suficientemente altos. Es por ello que, como decíamos, sólo utilizan una parte de la

información de la muestra original, en particular, las mayores observaciones, para

realizar la estimación.

La idea intuitiva que subyace a estos métodos de estimación es utilizar única-

mente la información que pertenece (presumiblemente) a la cola de la distribución,

puesto que se desea realizar inferencia sobre el máximo (la cola) de ésta, eliminando

así la información central de la muestra que, a nuestros efectos, es irrelevante. Es por

ello que este tipo de métodos estadísticos también se conocen bajo el acrónimo de

�Let the tails speaks for themselves�

También es importante destacar que, en lo que sigue, utilizaremos indistinta-

mente las dos notaciones introducidas con anterioridad para el índice de cola, esto es,

su notación habitual, , y la notación inversa , teniendo en cuenta que en el caso

Fréchet, 1 .

El estimador de Hill

En este trabajo utilizaremos el estimador propuesto por Bruce M. Hill en 1975 en su

artículo �A simple general approach to inference about the tail of a distribution� que,

sin duda alguna, es el estimador del índice de cola más importante y extendido en el

campo de las Finanzas. Su expresión viene dada por

1

: ::1

1 ln lnm

Hm n m ni n

i

X Xm

(4)

siendo m el número de estadísticos de orden que entran a formar parte de la estima-

ción.

13

El estimador de Hill es, bajo ciertas condiciones sobre n y m, débilmente consis-

tencia, Mason (1982), fuertemente consistente, Deheuvels et al. (1988), y, tal como

puede verse en Hall (1982), Goldie y Smith (1987) o De Haan y Resnick (1996)

2: 0,

H Lm nm N

Es crucial destacar que no se utilizan todas las observaciones disponibles en la

muestra para estimar el índice de cola sino únicamente las m superiores surgiendo,

así, el principal problema de estos métodos de estimación: la elección de m. Si lo ana-

lizamos desde un punto de vista ligado a la inferencia, podemos hacer la siguiente

reflexión informal, para un tamaño de muestra fijo:

• por una parte nos interesa elegir un m lo suficientemente alto como para que, al

incrementarse el número de datos con el que realizamos la estimación, se consiga

que la distribución y varianza del estimador se acerquen lo más posible a sus

versiones asintóticas.

• pero, por otra parte, también interesa elegir un m suficientemente bajo, ya que

un m demasiado alto implica salirnos del conjunto de observaciones que, presu-

miblemente, cumplen las condiciones de la estimación.

Existe, por tanto, un claro trade-off entre varianza y sesgo. Conforme se consi-

gue disminuir la varianza de la estimación se aumenta su sesgo y viceversa: el objeti-

vo fundamental de cualquier técnica de selección de m ha de ser establecer un equili-

brio adecuado entre ambas fuerzas.

Desafortunadamente no existe ningún procedimiento óptimo de elección de m, si

bien una de las herramienta más extendida son los llamados gráficos de Hill (o del

estimador de que se trate) que representan los valores del índice de cola estimado

como función del número de estadísticos de orden que entran a formar parte de la

estimación, esto es

:, , 1 ,m nm m n m

La idea intuitiva que subyace a la utilización del gráfico es que conforme se in-

crementa m, la varianza del estimador va disminuyendo y el sesgo aumentando y, por

14

tanto, es de prever que exista en el gráfico una zona intermedia para la cual se obser-

ve un relativo equilibrio entre ambas fuerzas y el estimador permanezca estable.

2.5 Cálculo del VaR

Una vez que se dispone de una estimación del índice de cola de la distribución de los

factores de riesgo, el último paso para calcular el VaR es construir la versión estima-

da de la cola de dicha distribución.

Se puede demostrar fácilmente12, a partir de los planteamientos anteriores, que

ésta vendrá dada por

:

:

( ) 1

Hm n

m n

m xF x

n x

y, por tanto, la expresión del cuantil de orden p, 1p , será

:1/

: (1 )Hm n

p m nn

x x pm

siendo muy importante destacar, aún a riesgo de ser reiterativos, que esta expresión

solo es válida para calcular cuantiles extremos de la distribución original y, en ningún

caso, se puede tomar como una expresión general de los cuantiles de dicha distribu-

ción.

En definitiva, si nuestras variables son los rendimientos de los factores de riesgo

de una determinada cartera, la expresión anterior permite, disponiendo de una esti-

mación del índice de cola, calcular los cuantiles extremos de dicha distribución y, por

tanto, utilizando cualquier modelo que relacione los rendimientos de los factores de

riesgo con el valor de la cartera, calcular el VaR.

12 Vease, por ejemplo, Embrechts et al. (1997).

15

3 Una aplicación de la EVT al cálculo del VaREn este epígrafe vamos a aplicar los desarrollos anteriores a un caso de cálculo del

VaR de una posición simple en divisas (straight FX) de dólares estadounidenses,

USD, frente a yenes japoneses, JPY.

La elección de este tipo de posición no es arbitraria sino que responde al hecho

de buscar un activo con el que fuera posible calcular el VaR fácilmente para así cen-

trar nuestra atención en los efectos y consecuencias de la estimación de valores ex-

tremos más que en la propia problemática usual del cálculo del Valor en Riesgo. Así,

se ha buscado un activo para el cual el factor de riesgo, según indica el Banco Inter-

nacional de Pagos, es el propio rendimiento del activo y que se relaciona linealmente

con la variación de valor de la cartera.

Por tanto, el VaR vendría dado, simplemente, por el producto del valor al con-

tado de la cartera de USD, valorado en JPY, y el cuantil que corresponda de la dis-

tribución de rendimientos del tipo de cambio JPY/USD.

La muestra original consiste en los promedios bid�ask de los tipos de cambio

interbancarios diarios JPY/USD tomados todos los miércoles desde el 3 de enero de

1990 hasta el 29 de diciembre de 1999, en total 522 observaciones. Si llamamos tx al

tipo de cambio del día t, el factor de riesgo vendría dado por la tasa de variación se-

manal, en porcentaje, del tipo de cambio, esto es, 7100( / 1)t t tf x x .

En el Apéndice presentamos la representación gráfica de ambas series así como

sus principales estadísticos descriptivos; únicamente destacar el valor del coeficiente

de curtosis del factor de riesgo que claramente supera el registro de la distribución

normal.

Evidentemente, con la información disponible, podemos calcular tanto el VaR

de una posición larga al contado en USD como el de una posición corta, que corres-

ponderían, respectivamente a los cuantiles de orden 0,01 y 0,99 de la distribución del

factor de riesgo.

16

3.1 Estimación de los índices de cola

Puesto que nos interesa calcular el VaR de las dos posiciones vamos a realizar el aná-

lisis de las colas de la distribución de rendimientos por separado, evitando así el

apriorístico supuesto, por lo demás habitual, de que son simétricas. Para ello, dividi-

mos la muestra original del factor de riesgo en dos submuestras: la de valores positi-

vos, 253 observaciones, y la de valores negativos, 268 observaciones.

Como hemos visto con anterioridad, el principal problema de la estimación del

índice de cola radica en determinar dónde comienza exactamente la cola de la distri-

bución y, por tanto, seleccionar, cara a realizar la estimación, únicamente aquellas

observaciones de la muestra original que pertenecen a la cola de la distribución. Ante

la inexistencia de un procedimiento bien fundamentado de selección del m óptimo que

reseñábamos con anterioridad, hemos optado por realizar la selección basándonos en

el gráfico de Hill, aun a pesar de la subjetividad que conlleva. Para ello, hemos cal-

culado el valor del estimador de Hill, de acuerdo a nuestra ecuación (4), para los 125

primeros estadísticos de orden de cada cola y construidos los gráficos de Hill corres-

pondientes, que se presentan en la Figura 1.

Cola izquierda Cola derecha

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

0 25 50 75 100 125

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

0 25 50 75 100 125

Figura 1. Gráficos de Hill del tipo de cambio JPY/USD

La primera característica que hemos de destacar de los gráficos es que, para los

valores de m relevantes, las estimaciones índice de cola son claramente positivas,

dando, de alguna forma, verosimilitud, junto con la fuerte leptocurtosis del factor, a

nuestro supuesto de partida de que la distribución pertenecía al dominio máximo de

atracción del tipo Frechet.

17

Por otra parte, centrándonos ya en el propio gráfico, entendemos que en ambos

casos se sigue razonablemente el comportamiento usual que reseñábamos en el epí-

grafe anterior para esta herramienta. Así, en la zona en la que m es bajo, los valores

estimados del parámetro experimentan fuertes oscilaciones, debido a que los valores

estimados por el estimador de Hill, como consecuencia del escaso número de estadísti-

cos de orden que entran a formar parte de su cálculo, es muy sensible a una entrada

adicional y, por tanto, varía fuertemente ante la entrada de nueva información. Con-

forme se van incorporando más observaciones en su cálculo, los valores estimados se

van estabilizando alcanzando una cierta estabilidad en las zonas indicadas que, pre-

sumiblemente, son aquéllas en las cuales se produce el deseado equilibrio entre sesgo y

varianza. Finalmente, al ir entrando progresivamente estadísticos de orden que cla-

ramente no pertenecen a la cola de la distribución, los valores estimados se van ses-

gando registrando una tendencia descendente.

Pasando ya al estudio detallado de las zonas estables del gráfico de Hill de la

cola izquierda, hemos decidido seleccionar la primera zona relativamente estable que

aparece en el gráfico y que se encontraría entre 29m y 38m donde el valor es-

timado se mueve en torno a 2,7612. El principal motivo que nos lleva esta elección es

elegir un valor de m (un conjunto de valores, estrictamente hablando) que, cumplien-

do el requisito de estabilidad del gráfico, sea lo más bajo posible para �asegurar� que

los valores observados que entran a formar parte de la estimación pertenezcan a la

cola de la distribución. Se podría objetar a esta elección que aparecen otras zonas es-

tables a partir de 40m pero entendemos que éstas se encuentran incluidas dentro

de la zona en la que presumiblemente el sesgo comienza a incrementarse (aunque nó-

tese que se va produciendo a saltos, lo que podría deberse a otro tipo de consideracio-

nes fuera del ámbito de este análisis).

Al analizar la zona estable de la cola derecha, observamos que es necesario se-

leccionar valores algo altos de m para encontrar una zona donde el estimador se man-

tenga relativamente estable en un intervalo de valores de m de una amplitud relevan-

te. La primera zona estable aparece, desde nuestro punto de vista, desde 46m has-

ta 76m en torno a un valor estimado de 2,4227. En este caso, sí se observa con

mayor claridad cómo al finalizar la zona de estabilidad los valores estimados van ses-

gándose de forma lenta pero progresiva.

18

Ante la necesidad de elegir un valor concreto de m para proceder a la estima-

ción del índice de cola, hemos decidido seleccionar aquel m que hace que valor esti-

mado del índice de cola sea el que más se acerca a su valor medio en la zona. En

cualquier caso, esta elección concreta tiene escasa relevancia en los resultados finales

ya que, por la propia construcción del estimador, tanto los valores del índice de cola

estimado como los del último estadístico de orden utilizado son, dentro de cada zona,

muy similares. La estimación final del índice de cola y los estadísticos relevantes de

cada cola los resumimos en la Tabla 1.

Valoresestimados

Colaizquierda

Cola derecha

n 253 268

�m 35 66

� :m nx -2,3524 1,4245

:�m n 2,7603 2,4210

Tabla 1. Estimaciones del índice de cola JPY/USD

3.2 Cálculo del VaR

Una vez que disponemos de ambas estimaciones del índice de cola, por aplicación di-

recta de las fórmulas expuestas en 2.5 podemos calcular los cuantiles extremos de la

distribución del factor de riesgo. Así, en la tabla siguiente recogemos el cuantil del 1%

de la distribución de los incrementos porcentuales del factor, válido para calcular el

VaR de una posición larga en USD y el del 99%, útil para calcular el de la posición

corta.

Cola izquierdaPosición Larga

Cola derechaPosición Corta

Estimaciones bajo EVT

-6,0932% 5,3506%

Estimaciones bajo normalidad

-3,5723% 3,5723%

Tabla 2. Cuantiles del factor de riesgo JPY/USD

Para calcular el VaR bastaría con cambiar de signo el producto del valor de la

cartera de USD, expresado en JPY, por los cuantiles anteriores. Si el valor de la car-

tera lo fijamos en 100 JPY, el Valor en Riesgo de la cartera de USD sería de 6,0932

JPY para la posición larga y de 5,3506 JPY para la corta. Merece la pena destacar

que el cuantil izquierdo registra un valor algo superior al derecho, dando lugar a pen-

19

sar que el mantenimiento de una posición larga en USD es más arriesgado, si habla-

mos de riesgo en términos estrictos de VaR, que el mantener la posición corta.

Pero donde realmente se pone de manifiesto la relevancia del análisis es al com-

parar los resultados obtenidos por Teoría de Valores Extremos con los que se des-

prenderían utilizando el supuesto usual de normalidad. En nuestro caso, para la mis-

ma cartera de USD con valor contado 100 JPY, el VaR descendería hasta 3,5723

JPY: prácticamente la mitad. Así, una entidad que realizara el cálculo del VaR utili-

zando el supuesto de normalidad, de forma consciente o inconsciente mediante la uti-

lización de un procedimiento de caja negra, estaría infravalorando en casi un 50% el

riesgo que soporta al mantener la posición en divisas. O, dicho de otra forma, el nivel

de confianza al que está calculando su VaR está muy lejos del 99% exigido por el

BIS.

Una forma alternativa de apreciar este hecho vendía dada por la Figura 2 en la

que representamos, con los niveles de confianza en el eje de abcisas, los valores esti-

mados para el VaR según la estimación de Teoría de Valores Extremos (línea gruesa)

y la basada en la Normal (línea fina) para ambas posiciones.

Posición larga Posición corta

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1

Figura 2. VaR EVT vs VaR Normal

Como era de esperar, conforme se incrementa el nivel de confianza con que se

realiza la estimación, mayor es el error en que se incurre, evidenciando la importancia

que tienen los sucesos extremos y poco probables en el cálculo de una medida de lo

poco probable como es el VaR.

20

4 ConclusiónPartiendo de la idea de que estimar el VaR es, en última instancia, estimar un cuantil

extremo de una distribución, en este trabajo hemos intentado poner de manifiesto la

necesidad de implementar métodos de cálculo de este cuantil que estén específicamen-

te diseñados para la estimación de sucesos extremos.

Así, frente a los métodos de inferencia paramétrica y no paramétrica tradicio-

nales de los que se viene haciendo uso asiduamente para estas cuestiones, aparecen

otros, los basados en la Teoría de Valores Extremos, que ofrecen un instrumental al-

ternativo, específicamente diseñado para trabajar con sucesos extremos.

Para ilustrar esta afirmación hemos realizado una aplicación de cálculo del VaR

para una posición USD/JPY llegando a un resultado claro: la estimación del VaR

utilizando el supuesto usual de normalidad infravalora el riesgo de la posición en casi

un 50%, con las consecuencias que esto implica.

Si bien es cierto que, en la medida que el tipo de cambio permanezca estable o

evolucione de forma favorable para la entidad, la situación no tiene por qué tener

mayores consecuencias (de hecho, los beneficios serán muy satisfactorios13), no lo es

menos que un movimiento adverso y extremo (que bien puede ser puramente coyun-

tural) puede hacer que se materialicen, de forma súbita e inesperada, quebrantos muy

importantes en la cartera FX. En cualquier caso, aunque la probabilidad de este suce-

so es muy pequeña, no es menos cierto en este terreno merece la pena ser prudentes.

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13 Las operaciones de Nick Leeson, el operador jefe de Barings PCL en Singapur, y que a la postreharían quebrar el Banco el 23 de febrero de 1995, habían generado una quinta parte de los benefi-cios de Barings en 1994.

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23

Apéndice

Recogemos a continuación un breve resumen de los principales estadísticos descripti-

vos de las series utilizadas.

Tipo de cambio JPY/USD

Núm. datos 522 Cuantiles muestralesMedia 118,7244 Orden Valor Orden ValorVarianza 259,3943 0,005 83,27 0,995 158,60 Asimetría 0,1632 0,010 83,72 0,990 157,86 Curtosis -0,4070 0,025 87,24 0,975 151,80 Mínimo 80,6000 0,050 96,99 0,950 145,91 Mediana 0,0296 0,100 99,85 0,900 138,37 Máximo 159,6600 0,250 106,17 0,750 129,90

Factor de riesgo JPY/USD

Núm. datos 521 Cuantiles muestralesMedia -0,0557 Orden Valor Orden ValorVarianza 2,4322 0,005 -5,4630 0,995 3,6978Asimetría -0,5679 0,010 -4,5456 0,990 3,4063Curtosis 2,9139 0,025 -3,5885 0,975 2,8624Mínimo -8,1614 0,050 -2,6470 0,950 2,2869Mediana 0,0296 0,100 -1,8898 0,900 1,5888Máximo 6,8487 0,250 -0,8786 0,750 0,9197

Representación gráfica

Factor de riesgoTipo de cambio

80,0

90,0

100,0

110,0

120,0

130,0

140,0

150,0

160,0

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

-10,0

-8,0

-6,0

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99