Universidad de Madrid - Facultad de Ciencias

SEMINARIO DE ASTRONOMIA y GEODESIA(Adherido a la Unión Nacional de Astronomía

y Ciencias Afines)

Publicación núm. 46

UN NUEVO METODO PARALA DETERMINACION DE LA LATITUD

POR

FRANcrsco MÚGICA

PUBLICADO EN «VRANIA» NÚM. 248

MADRID

1959

DEPOSITO LEGAL, M. 723-1958

SUGRAÑES HNOS., EDITORES - TARKAGONA - CONDE DE RIUS, 9

UN NUEVO METODO

PARA LA DETERMINACION DE LA LATITUDpor FRANCISCOMÚGICA (*)

Para la determinación de la latitud astronómica gozan de especialfavor los métodos que se valen del registro de los pasos de estrellaspor hilos horizontales, los cuales se reducen, cuando la observaciónse realiza en el meridiano o sus proximidades, a la medición de dis-tancias cenitales, mientras que son poco utilizados aquellos procedi-mientos que se apoyan en el registro de los pasos por hilos verticales.Nos proponemos dar a conocer un método correspondiente a esta últi-ma clase que proporciona resultados muy interesantes, unido todo elloa una sencillez operatoria extraordinaria y a una notable reducciónde los cálculos necesarios.

Dividiremos el presente trabajo en las siguientes partes:1. Idea general del método.11. Las correcciones a la hora de paso. Ecuación de paso.III. Obtención del horario. Consideraciones generales.IV. El empleo del micrómetro impersonal.V. Procedimiento operatorio y cálculo de punteros.VI. Cálculo de la latitud de la estación.VII. Condiciones favorables de observación.VIII. Los verticales privilegiados. El Primer Vertical.IX. Los verticales de ± 45°.X. Aplicación a un ejemplo práctico.XI. Resumen final.

I. IDEA GENERALDEL MÉTODO.

Denominaremos a este método PASOSDE UNAMISMAESTRELLAPORVERTICALESSIMÉTRICOSAL MERIDIANOcon lo que inmediatamente puedecomprenderse su fundamento; por prescindirse además, tal y comoexplicaremos más adelante, de efectuar cualquier clase de inversión al

C*l Publicación n.? 46 del Seminario de Astronomia y Geodesia de la Universidad de Madrid.

-2-

paso de las estrellas, las líneas generales de este nuevo método son:Registro del paso de una estrella por un vertical cualquiera al Edel meridiano, en el centro del campo del objetivo, en una solaposición (o sea sin inversión) y efectuando la lectura del nivelasimismo en una sola posición (es decir: cero al E ó cero al '1\').Nuevo registro del paso de la misma estrella en el vertical simé-trico (aproximadamente) al anterior respecto al meridiano, tambiénen el centro del campo, en la misma posición del anteojo que ante-riormente y respetando la posición del cero del nivel (es decir: nohay que mover el nivel durante todo el proceso operatorio).La representación gráfica adjunta (Fig. 1) muestra la posibilidad

M

Fig. 1

de su realización, con sólo tener presente que la semidiferencia dehoras de paso nos da el valor absoluto del horario de la estrella enuno cualquiera de los verticales considerados.

La solución gráfica es pues:con vértice en P se traza el círculo menor de distancia polar 90- ocon ángulo 21tl se fijan S" y S e posiciones de la estrella en ambospasos.sobre Se Sw se construye el arco capaz del ángulo 21Az! cuya inter-sección con PM (bísectriz de S e PS w) proporciona el cenit Z.De lo dicho se desprende que. tanto el método de Struve, como el

de Aller de pasos por los verticales de ± 45°, siempre y cuando se pres-cinda de efectuar la inversión en cada paso, son casos particulares delque ahora tratamos para acimutes de ± 90' ó de ±45'¡ (o bien de ± 1350).

Analíticamente, una vez obtenido el horario por semidiferencia dehoras de paso ~posteriormente detallamos lo concerniente a las co-rrecciones a introducir-e- el cálculo de la latitud se efectúa por la

fórmula llamada de las cotangentes o sea (en todo lo que sigue utíli-zaremos la notación que suele ser clásica):

sen I ti' ctg I Az I = sen :p . cos t - tg o . cos cp

que con la sustitución:

tg S = tg 13 . sec t

da finalmente

sen ('P - S) = tg I ti' ctg I Az I . cos S

13 cual permite, asimismo, el cálculo por logaritmos.Puede parecer en un primer examen que la presencia de A z hace

necesario un conocimiento exacto del acimut, pero ya veremos cómola oportuna introducción de unas correcciones hace innecesario, tantoel antedicho conocimiento exacto del valor del acimut de los verticales,como su precisa simetría respecto al meridiano.

Es claro que, según se deduce del mismo proceso operatorio, elaparato a utilizar ha de estar provisto de un limbo acimutal u horizon-tal de buena calidad, lo que no supone en modo alguno una limitacióndel método ya que la casi totalidad de los teodolitos actuales lo poseen;por el contrario, este procedimiento no es apto para llevado a cabocon anteojos de pasos. salvo en condiciones especiales.

Il. LAS CORRECCIONES A LA HORA DE PASO. ECUACIÓN DE PASO.

Son bien conocidas las correcciones que afectan a la hora crono-métrica de paso cuando el vertical de observación es el meridiano,mas cuando dicho vertical es uno cualquiera, adquieren una formaligeramente diferente cuya obtención dejamos al lector y que puedenencontrarse, por ejemplo, en [1]. En líneas generales diremos que lascorrecciones por inclinación, colimación y causas acimutales poseenentonces el factor sec q . sec o (q = ángulo paraláctico), siendo con-veniente sustituir en los cálculos este factor por su igual:

(2,1)

lo que evita el calcular el ángulo paraláctico.Como para estrellas culminando a distinto lado del cenit sec q

adquiere diferente signo, mientras permanecen constantes los de sec (;,sen z y cos z, y por otra parte, la colimación depende de la posicióndel aparato al tiempo que la inclinación varía de signo con la culrni-nación de las estrellas, conviene resumir en un cuadro el signo finalque corresponde a las correcciones por las causas antes indicadas:

- 4-

Corrección por colimación .Id. por causas acirnutales .

Estrellas S

CD CI

++ ...•

Estrellas N

CD CI

.+-

~-- ..-siempre y cuando se considere que la colimación es positiva en CDy que el signo de las causas acimutales es, asimismo, positivo en dichaposición; naturalmente, en caso contrario, sólo será preciso permutarlos signos.

Respecto a la corrección por inclinación diremos solamente queésta es siempre

a ('_' _\_' ) . I cos zcorro por inclinación = -4 . e \V cos q . cos e

en la que ,a es el valor de una división del nivel y ~e Y l:w son lasuma de las lecturas de los extremos de la burbuja cero al E y al Wrespectivamente; ello concuerda con la conocida proposición de que"la corrección por inclinación es positiva cuando el muñón W es elmás elevado".

z

LmFig.2

Veamos ahora lo referente a las correcciones por causas acirnuta-les, ya que se hace preciso introducir alguna nueva que es convenientedefinir: con arreglo al esquema adjunto (fig. 2) llamemos Lm la lec-tura correspondiente a un vertical situado próximo al meridiano y6.A z a la desviación acimutal, por lo que

Lm + A Az

será la lectura correspondiente al meridiano; si la observación se lleva

-5-

a cabo en un vertical al que le corresponde la lectura acimutal Lel acimut de este vertical será:

L - (Lm + A Az)

la cual, sin embargo, estará falseada por los errores de división dellimbo y si consideramos

Lectura verdadera = L - sI

el acimut real de ese vertical vendrá dado por:

L - (Lm + A Az) + (sI - cm)

Naturalmente existe también una influencia, imposible de evaluar,correspondiente al error de lectura; mas este error tiende a cero altomar la media de varias lecturas; por otra parte, afectado, comotodas las causas acimutales, de un coeficiente muy pequeño ~figuraen él sen z y las estrellas son muy cenitales-> y su influencia se veconsiderablemente reducida.

Siendo f::"Az ' ~I ' Cm cantidades de primer orden de pequeñezse obtienen las siguientes correcciones a la hora cronométrica de pasopor causas acimutales:

1. - Por desviación acimutal.D.Az . sen z

cos q . cos B

(sI - cm) . senz

cos q . cos Q2. - Por división del limbo.

Aplicadas todas estas correcciones se tiene la hora de paso ~abs-tracción hecha de otras causas no acirnutales-> correspondiente alacimut L - Lm; como normalmente este valor no será un númeroexacto de grados o de grados, minutos y segundos, se presta poco paraposteriores cálculos con él y si consideramos un valor redondo A zaproximadamente igual a L - Lm' con lo que la diferencia

(L -- Lm) - Az

será de primer orden de pequeñez, se puede obtener la hora de pasopor el acimut Az con sólo aplicar otra nueva corrección:

3. - Por reducción a acimut.tL _. Lm - Az) . senz

cos q . cos Q

(Tomaremos siempre IL ~Lm I y IAz : menores que 180°).Observados los dos pasos de una misma estrella por verticales

simétricos al meridiano, en la misma posición del aparato y sin efectuarinversión alguna, permanecerán constantes en magnitud y signo cos 0,sen z, cos z, cos q, así como e y f::"A z siempre que se admita la cons-

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tancia de la colimación y de la desviación acimutal en e! intervaloque media entre ambos pasos: hipótesis perfectamente lógica dado queel anteojo no precisa, para realizar la segunda observación, más queejecutar un giro acimutal de magnitud 2: Az ! para estrellas culmi-nando al S, o de magnitud 2(180<>- i Az i) para estrellas N.

Si a la hora -cronornétrica de paso la corregimos por:movimiento de! relojinclinaciónespesor de contactos y tiempo muerto (cuando se utilice micrómetro)aberracióndivisión de! limbo acimutal

y se denomina R la hora resultante, e! horario para el acimut L- Lm

vendrá dado por:

H + e . sec q . sec 1l + L1Az . sen z . sec q . sec o + L1 E - o: = t

Si además de las correcciones anteriores introdutCimos la correspon-diente a la reducción acimutal, se obtendría el horario para el acimutA z por:

H' + e . sec q . sec 1) + .1 Az . sen z . sec q . sec 1l + .1 E - o: = t

Las citadas expresiones las denominaremos ECUACIÓNDE PASObienpara e! acimut L - Lm' bien para el Az. Esta interesantísima expre-sión permite relacionar entre sí pasos de cualesquiera estrellas en noimporta qué verticales, por lo que se presta a estudios y aplicacionesde singular importancia; en este trabajo nos limitaremos a examinarSil aplicación en el método que ahora nos ocupa.

lIL OBTENCIÓN DEL HORARIO.CONSIDERACIONESGENERALES.

Con las notaciones y signos que figuran en el esquema adjunto(Fig. 3) escribamos las ecuaciories de paso correspondientes a unamisma estrella y en dos verticales simétricos al meridiano de acimutes

Fig-.3

- 7-·

--- : A z I y .i, I A z I (hemos especificado claramente los valores ab-solutos para favorecer la comprensión).

para - I Az I H'; + e . sec (; . sec q + tJ. Az. sen z . sec 1) . sec q + tJ. E - ex = ._-t

para + I Al I H'w + e . sec ¡¡ . sec q + tJ. Al .. sen z . sec (; . sec q + tJ. E - ex = + I t

Repitamos una vez más que la expresión "verticales simétricosrespecto al meridiano" no presupone, ni el conocimiento exacto delmeridiano, ni la precisa simetría y observación en los verticales dedicho acimut, gracias a la introducción de las antedichas correccionesya que:

Lm es la lectura correspondiente a un vertical cuya única" con-dición es que sea próximo al meridiano real, por ello la deno-minaremos lectura meridiana; en el ejemplo práctico que figuraal final esta lectura es 0° 00' 17"00.

- L es la media de una serie de lecturas acimutales correspcndíen-tes al vertical de observación; en el ejemplo citado son30° 00' 17"89, 45° 00' 17"74 etc., medias de cinco lecturas

efectuadas con el micrómetro óptico.- A z es un valor redondo de grados muy poco diferente del de

L - Lm; así en el ejemplo de referencia es: Al = 30n mien-tras que L - Lm = 30° 00' 00"89; A z = 45° con L - Lm= 45° 00' 00"74 etc.

No hacemos figurar una corrección por tara del microscopio delectura porque suponemos que, al efectuar las lecturas acimutales, sehabrá tenido en cuenta; de todos modos en la casi totalidad de loscasos será despreciable.

Restando las anteriores ecuaciones de paso se llega a:

12 . (H'w - H'; )

horario éste que corresponde al acimut lAz 1; introducidos uno y otroen la fórmula de las cotangentes nos permiten el cálculo de la latitud.

Como algunas de las correcciones que se encuentran comprendí-das en las horas correqídas H' w y H' e son idénticas en ambos pasosy otras poseen factores comunes que facilitan el reunirlas en un solotérmino, detallamos en la Tabla 1 la totalidad de las correcciones alas horas cronométricas de cada paso y las que corresponden a susernidíferencia.

Una simple mirada a esta Tabla basta para convencernos de laimpcrtancia de este método; mas antes de hacer una serie de consíde-raciones sobre aquélla, es conveniente fijarse en la siguiente Tabla Il

Movimiento reloj

1nclinación

Aberración .

00

Espesor contactosTiempo muerto

Colimación

Desviación acimutal

División del limbo

Reducción a acimut

Hw

T A B L A 1

He 12 (Hw- He)

m lHw - HlOllla)

~w cos z

cos q . cos (,

0'021 . cos cp . cos t

cos o

m (He - Htoma)

~e . cos z

cos q . cos O

0'021 . cos cp . cos t

cos 0

1/~(e + E) sec ec

cos q . ccs e

fl Az . sen z

cos q . cos Q

(Se - Sm) sen z

cos q . cos /)

(Le --Lm-Az)' senz

cos q . cos /)

m2(Hw - He)

(~w - ~e ) . COS'l.

2 cos q . cos o

NULA

»

»

»

(Sw - 6e 1 . sen z

2 . cos q . cos o(Lw - Le -- 2 Az . sen z

2 . cos q . cos 15

1/~(e + El· seco

C

cos q . cos 0

flAz . sen zcos q . cos (,

(Sw- 2m)' sen Z

cos q . cos 15

(Lw -Lm-Az)' sen z

cos q . COSO

TABLA II HORARIOS Y ANGULOS PARALÁCTICOS EN DISTINTOS ACIMUTES LATITUD 45°

A = 30° Az = 45° Az = 60° Az = 75° Az = 90°z

(, t -.S_ t __L t q t q t---~-~ ---- --

42° 00' 9m 15' 28° 25' 15m 46' 42° 17' 26m 11' 55° 29' 47m 35' 66° 47' 1" 43m 02' 12° 05'42 30 7 47 28 39 13 18 42 42 22 12 56 10 41 07 67 53 1 34 04 72 0543 00 6 17 28 55 10 46 43 08 18 05 56 51 34 13 69 03 1 24 07 75 1243 30 4 45 29 10 8 10 43 35 13 49 57 35 26 48 70 19 1 13 05 77 0744 00 3 12 29 26 5 31 44 02 9 24 58 21 18 45 71 43 1 00 02 79 2544 30 1 37 29 43 2 47 44 30 4 47 59 09 9 54 73 15 42 07 87 38

45 30 1 39 149 42 2 52 134 30 5 01 119 07 11 25 102 5946 00 3 20 149 24 5 49 133 58 10 15 118 10 25 11 100 3146 30 5 03 149 06 8 50 133 25 15 59 117 10 43 49 92 1547 00 6 49 148 46 11 17 132 51 21 35 116 07 I - - ~

DIST ANClAS CENIT ALES y SUS SENOS EN DISTINTOS ACIMUTES0 r. sen z z sen z z sen z z sen z z sen z

--42° 00' 3° 26' 0,060 4° 33' 0,079 5° 36' 0,097 9° 07' 0,158 18° 52' 0,32342 30 2 52 0,050 3 48 0,066 4 43 0,082 7 49 0,136 17 10 0,29543 00 2 18 0,040 3 03 0,053 3 49 0,066 6 28 0,112 15 19 0,26443 30 1 43 0,030 2 18 0,040 2 53 0,050 5 01 0,087 13 13 0,228H 00 1 09 0,020 1 32 0,026 1 57 0,034 3 29 0,060 10 46 0,18644 30 O 35 0,010 O 46 0,013 O 59 0,017 1 49 0,031 7 36 0,132

45 30 O 35 0,010 O 46 0.013 1 00 0,017 2 04 0,03646 00 1 09 0,020 1 34 0,027 2 03 0,035 4 31 0,07846 30 1 44 0,030 2 21 0,041 3 08 0,054 7 47 0,13547 00 2 19 0,041 3 10 0,055 4 14 0,074

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en la que figuran, para los verticales de acimutes ± 30', ± 45u, ± 60°,

± 75" y ± 90", los horarios, distancias cenitales (con sus senos) yángulos paralácticos correspondientes a estrellas que culminan en lasinmediaciones y a ambos lados del cenit en un punto de latitud 45".

Del examen de ambas Tablas se deduce:a) Pueden observarse tanto estrellas N como S, lo que facilita

el encontrar estrellas apropiadas. si bien las N han de ser más ceni-tales y no podrán registrarse en verticales próximos al primer vertical.

b) La duración de la observación completa sobre una estrellapuede reducirse a límites convenientes con sólo alejar los verticalesdel 1el' vertical. lo que unido al empleo de relojes de movimiento prác-ticamente constante ~nótese que por ello hemos hecho figurar elmismo movimiento para ambos pasos~ reduce considerablemente laincertidumbre sobre esta corrección.

c ) Sólo se precisa el conocimiento de la variación de inclinación;de aquí la posibilidad de mantener el nivel suspendido inmóvil. esdecir: con el cero hacia una misma dirección (hacia el obturador, porejemplo) en ambos pasos. Como se ve, se hace de él un empleo aná-logo al de los niveles Talcott y, por las mismas razones que conaquéllos, es conveniente que el nivel suspendido sea doble: la preci-sión que de este modo se alcanza para la inclinación es notoria, apartede que la variación de inclinación del eje de muñones no pasa ínte-gra al resultado final, como ocurre con la del eje vertical. Si se tiene encuenta que para registrar ambos pasos de una misma estrella elúnico movimiento que recibe el anteojo es, como ya se ha dicho, un giroacimutal de valor 2[A,i ó 2(180-IAzi) para estrellas N, siempremenor o a lo sumo igual a 180", se comprenderá que la citada variaciónde la inclinación será, normalmente, de muy reducida magnitud.

En la Tabla 1 podemos hacer la sustitución:

'j '0_1(" .. ",) __ 1(" .. _~,)¡Jw - IJe - 2 -e - -e -- - 2 -w w (3.1)

en la que 22'c representa la suma de las lecturas de los extremos de laburbuja con el cero del nivel hacia el E y en el primer paso de laestrella (al E del meridiano), mientras que ~"e representa análogasuma en el segundo paso de la estrella (alW del meridiano); el subí n-dice w corresponde a las lecturas efectuadas con el cero del nivelhacia el W,

Lo presencia del factor 2 en el denominador compensa, con exceso,la aparición del factor cos q siempre menor, pero próximo, a la unidad.

d) No hay lugar a considerar flexiones del anteojo, ni oeriecionesde iejreccion, ni influencia del coma del objetivo, etc., por lo que ladependencia del aparato es prácticamente nula.

e) No existen correciones por aberración, tiempo muerto del tor-

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nillo micrométrico, espesor de contactos (véase más adelante lo refe-rente al empleo del micrómetro impersonal), colimación y desviaciónacimutal, extremos éstos de la mayor importancia; de ello se deduceque, siempre que el valor de ~ Al pueda ser considerado como deprimer orden de pequeñez, no se precisa un conocimiento exacto delmeridiano.

f) Las correcciones acimutales serán, en muchos casos, despre-ciables habida cuenta de la presencia del factor sen z cuyo reducidovalor puede verse en la Tabla 11.

g) El examen del valor del ángulo paraláctíco, que figura en laTabla II, nos garantiza que el registro del paso puede hacerse, en lacasi totalidad de los casos en que el vertical de observación no sea muypróximo al primer vertical, en buenas condiciones y no precisa en-comiarse la ventaja que supone el realizar la observación en el centromismo del campo del objetivo.

IV. EL EMPLEO DEL MICRÓMETRO IMPERSONAL.

Una de las grandes ventajas de este método es la posibilidad deemplear el micrómetro impersonal sin necesidad de dispositivo auxiliaralguno que garantice la persecución de la estrella en altura, sea conun mecanismo apropiado [2] y [3], sea con el auxilio de un anteojobuscador [4], sea accionando un auxiliar, según las indicaciones delobservador, el movimiento lento en distancia cenital [5]. Dado quela observación se realiza precisamente en el centro del campo del ob-jetivo, sólo en aquellos casos en que el ángulo paraláctico de la estrellaen el momento del paso sea muy próximo a 90" sería necesario utilizaralguno de los antedichos procedimientos, mas pudiendo entonces elegirotros verticales más próximos al meridiano, tal inconveniente es bienfácil de soslayar.

Es pues perfectamente factible el perseguir la estrella con elhilo móvil durante las dos o tres revoluciones centrales del tornillomicrométrico, con lo que se 'consiguen de unos 20 a 30 contactos o re-gistros de hora en cada paso, lo que acrecienta la precisión alcanzable,ya que cada contacto micrométrico registrado en ambos pasos nosdará, por semidiferencia, un valor del horario; con ello, sin embargo,tres causas de errores es preciso examinar, ya que:

los horarios dados por cada contacto micrométrico no son exacta-mente iguales;dichos horarios no corresponden, exactamente, al acimut del con-tacto central;un error en la verticalidad de los hilos origina adelantos o retrasosen las horas de paso registradas,Tales inconvenientes pueden evitarse con sólo referir dichos hora-

- J2-

rios al proporcionado por el contacto central, extremo éste perfecta-mente realizable dada la reducida distancia ecuatorial que separa in-cluso a los contactos más alejados de aquél; para ello nos fijaremosen que el único factor que, prácticamente, sufre variaciones que me-rezcan ser tenidas en cuenta es cos q.

IV. I. Sea, para un vertical cualquiera, q el ángulo paralácticode la estrella en el momento de paso por el contacto central y q' elcorrespondiente al paso por el contacto cuya distancia ecuatorial aaquél sea h. Haciendo

r = cos q . cos G= 1 cos- c, - cos- 'f' . sen- Al

y

r ± Xh = cos q' . cos ¡; = V cos> (;= cos- 'f' sen" (Az ± h)

se deduce fácilmente después de despreciar términos de 2" orden:

h . sen Al . cos- cp . ~senAz = h . 19 q . cos cp . .:..~eln (4-1)

cos q . cos een la que ~ ~ezn es la diferencia tabular del sen Az.Del examen de esta corrección se deduce:

para los distintos contactos se la obtiene inmediatamente con sóloutilizar el valor de h correspondiente, único factor variable;es del mismo valor absoluto para contactos simétricos del central;dado su reducido valor absoluto, sólo se precisan valores muy liqe-ramente aproximados de las cantidades que intervienen.Respecto al signo de x h observemos que

Xh = cos o . (cos q' - cos q)

por lo que posee el mismo signo que la diferencia tabular del cosenoal pasar del ángulo q al q': los gráficos lo aclaran perfectamente (Fig. 4).

T +

2

fig. 4

- 13-

1 Caso; estrelles S

Obsérvese que en el primer vertical, por adquirir q d valor má-ximo, las correcciones x a ambos lados son positivas.

2 Caso; estrellas N

Obsérvese el caso especial del acimut de la maxirna digresión,que hace cambiar el signo de x a uno y otro lado de ella.

Como en todo este método hacemos uso de la sernidiferencia dehoras de paso veamos el comportamiento del factor 0'5 . sec q . sec opara contados distintos del central; con arreglo al gráfico adjunto(Fig. 5) Y teniendo presente el esquema de signos antes hallado sededuce:

Estr~l/a N

2

i +

Fig. S

Para el contacto 1

Para el contacto 2

es decir, el mismo valor absoluto pero signo contrario; en todo lo quesigue, cuando escribamos Xh nos referiremos a su valor absoluto, puessu signo será siempre examinado aparte.

La reducida magnitud de este factor puede comprenderse con unasimple ojeada a la siguiente Tabla III en la que, para un punto delatitud 45~, aparecen sus valores absolutos en los diferentes acimutespara la distancia ecuatorial de h = 1S. que es la normal entre doscontactos consecutivos de un micrómetro impersonal.

-14 -

TABLA 1 1 1

~~ ± 30° ± 45° ± 60° ± 75° ± 90°o "

~~--~- ----- - ~~---

42° 00' 0,0000564 0,0001099 0,0002105 0.0003657 0,0000016842 30 582 1148 2269 4290 22043 00 600 1202 2457 5128 30843 30 620 1259 2670 6288 47644 00 640 1321 2918 7983 87044 30 663 1388 3211 10552 2500

45 30 710 1542 3965 2353846 00 737 1630 4448 4590046 30 765 1725 5048 0,015300047 00 0,0000794 0,0001831 0,0005793

Es claro que, en aquella forma sencilla, sólo hace su aparicióndicho factor cuando la causa que motiva la corrección permanece cons-tante para ambos pasos, como es el caso de la colimación y de la des-viación acimutal (repásese lo que antes se dijo sobre la constancia deestas causas), pero ello no tiene lugar para las que adquieran diferen-tes valores en ambos pasos, como: inclinación, división del limbo yreducción a acimut. Siendo el proceso de cálculo el mismo para lastres, sólo deduciremos aquí el correspondiente a la inclinación, dandodespués el valor final de las otras dos (los signos superiores corres-ponden a los contactos 1 mientras los inferiores pertenecen a loscontactos 2):

_--~-I ""cos Z [r ((.¡ -- e ) + X (fj -- (~ )J =-L 2·l r'w ¡.ie - h ¡ W I er -'- Xh _ r-

_ ( ~\V - {je ) . cos z ( ~w + ~e )- ----- ---+2 . cos q . cos 1j - 2

Para la corrección por división del limbo será:

cos z

( :::w - Ce ) . sen z _ (Ew + Se - 2 Em) . sen Z xh- 2· -¿o~q-:-Co~ + 2 r~

y para la corrección por reducción a acimut tendremos:

(Lw - Le - 21 Az 1) . sen z _ (Lw +Le - 2 Lm) . sen Z xh2 COS q - cos O - + - i - --- r~

De todo ello se deduce que para reducir los horarios dados porun 'contacto cualquiera al del central será preciso aplícarle las correc-ciones de la Tabla L excepto para la inclinación, división del limboy reducción a acimut que serán las inmediatamente arriba citadas

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mientras que las correcciones por colimación y desviación acimutalserán de la forma:

corrección por colimación ±c·

corrección por desviación acimutal ± .1 Az sen z

Como lóqicamente tenía que suceder, estas fórmulas son generalesy aplicadas al contacto central se convertirían en las de la Tabla 1por ser nulo xh ya que h = O.

Si ahora nos fijamos en que al promediar todos los horarios asíobtenidos y siempre que se empleen igual número de contactos a ambos

Xh Xhlados del central y simétricos respecto a él. la suma ~ " es nula *,

1 r-

se deduce la interesantísima proposición: "REGISTRADO EL PASO DE UNA

ESTRELLA EN AMBOS VERTICALES MEDIANTE EL MISMO NÚMERO DE CON-

TACTOS, DISPUESTOS SIMÉTRICAMENTE RESPECTO AL CENTRAL, ES VÁLIDO

r.i. PROMEDIAR TODAS LAS SEMIDIFERENCIAS DE !clORAS DE rASO DADAS

POR DICHOS CONTACTOS, APLICANDO DESPUÉS A ESTE PROMEDIO LAS CO-

RRECCIONES DE LA TABLA I. O SEA SIN EFECTUAR DISCRIMINACIÓN ALGUNA

FOR TRATARSE DE CONTACTOS CENTRALES O NO".

En el ejemplo práctico que se acompaña a este trabajo puede en-contrarse una aplicación de lo que se acaba de indicar.

IV. 2. Acabamos de ver cómo pueden reducirse los horariosdados por un contacto cualquiera al correspondiente al central o biencómo puede evitarse el efectuar discriminaciones por esta causa; masse hace precisa una corrección suplementaria ya que dichos horarioscorresponden a acimutes A z ± h y, al objeto de poderlos utilizar enla fórmula de las cotangentes, hay que reducidos al correspondiente alacimut Az.

Del esquema que se acompaña (Fig. 6) se desprende que el horariodado por el contacto central es siempre el mínimo y considerando.en razón de su pequeñez, a Y \V e Ye como arcos de círculo máximo,se tiene:

Paso al Wsen Ywsen h

sen z

• Aquí, por excepción, cons ideramo s a xh afectado del signo que le es propio.

-- 16 -

p

Fig.6

de donde

h . sen ztw - t = ------r - Xh

y de un modo análogo se obtendría para el paso al E:

h . sen zr + Xh

y finalmenteXh

sen z . sen z . -.r-

que es la correccion buscada, cuyo signo permanece constante seacual sea la posición del contacto de que se trate y hay siempre quetestetle a la semidiferencia de horas proporcionada por dicho contacto.

La citada resta puede efectuarse, en vez de para cada horario enparticular, para el promedio total de ellos, por lo que, si se ha regis-trado el paso por n contactos a cada lado del central y situados simé-tricarnente respecto a él, al horario promedio, hallado como antes sedijo, habrá que testetle la cantidad

n

2 . sen z ~ h xh

2 n + 1 ~ r~1

IV. 3. El conocimiento de un valor aproximado del ángulo pa-raláctico permite el calaje de la estrella, es decir, conseguir que sutrayectoria aparente pase por el centro del campo -accionando elmovimiento lento en sentido vertical, nunca el horizontal- mas unerror en la verticalidad del hilo central y por consiguiente en los hilos

17 -

ficticios que corresponden a los diversos contactos, da lugar a unadelanto o retraso en el registro de la hora de paso, conforme puedeobservarse en la fig. 7.

II I ,

I II

I IH. 1- IH. 1I

I I1 I

I

1h '-

1 II I

1 H. H,I 1

I I1

1

Fig. 7

Dejamos al lector el calcular el valor de la oportuna correcClon,que por otra parte no presenta dificultad alguna, y sólo diremos que:"REGISTRADO EL PASO DE LA ESTRELLA EN AMBOS VERTICALES POR EL

MISMO NÚMERO DE CONTACTOS DISPUESTOS SIMÉTRICAMENTE RESPECTO

AL CENTRAL, NO HA LUGAR A EFECTUAR CORRECCIÓN ALGUNA POR FALTADE VERTICALIDAD DEL HILO MÓVIL".

IV. 4. Queremos ahora concretar y resumir todo lo concernien-te al rnicrómetro impersonal, dado el principalísimo papel que juegaen este método, ya que, aparte de la posibilidad de su utilización sinel auxilio de ningún mecanismo o medio que permita la persecuciónde la estrella en altura durante la observación, nos proporciona unmuy notable aumento de la precisión del horario resultante sin apenascálculos suplementarios. He aquí el proceso operatorio y de cálculo:

Merced al conocimiento de un valor aproximado del ángulo para-láctico en el momento del paso, conseguir, actuando en el movi-miento lento en altura, que la trayectoria aparente de la estrellapase sensiblemente por el centro del campo del objetivo.Perseguir la estrella con el hilo móvil durante una o una y mediavueltas a cada lado del contacto central.Despreciar todas aquellas horas cronométricas registradas poraquellos contactos que:

sólo lo hayan sido en un solo paso (al E ó al W).falte el registro en alguno de los pasos de su contacto simé-trico respecto al central (esta simetría es sólo aproximada,

- 18-

como fácilmente se habrá podido comprender al notar el exiguovalor de xh/r2).

Obtener las semidiferencias 1/2. (H IV -- He) para cada contacto-que serán sensiblemente iguales, salvo en contactos muy alejadosdel central- promediarlas y aplicar a este promedio las correc-ciones de la Tabla 1.Restando a dicho valor final la corrección

h2· sen z X' h ~2 n + 1 ~ r"

1

se habrá obtenido e! horario definitivo para el acimut A z'

Si se examina la sencillez en e! manejo de! micrómetro impersonal,la simplicidad de la reducción al contacto central, el número de xo-rrecciones que se anulan en la Tabla 1. la precisión de! horario asíobtenido, el carácter diferencial de la corrección por inclinación yla posibilidad de elegir los verticales más convenientes con arreglo <1 ladeclinación de la estrella y la latitud del lugar, se comprenderá la ex-traordinaria importancia de este nuevo método, donde el micrómetroimpersonal encuentra gran aplicación y se hace del teodolito un racio-nal empleo.

V. PROCEDIMIENTO OPERATORIO y CÁLCULO DE PUNTEROS.

Ya se acaban de indicar las líneas generales de! proceso operato-rio para el caso de emplear e! micrómetro impersonal y es fácil com-prender que en el caso de emplear hilos fijos el citado proceso serámuy similar, mas conviene que los hilos no centrales sean próximosal que posea esta característica, en especial para verticales próximos alprimario.

El registrar e! paso de la estrella por un número excesivo de con-tactos no parece conveniente, tanto por no aumentar a partir de uncierto límite sensiblemente la precisión final, como por la convenien-cia de que dichos contactos sean esencialmente centrales y también porevitar influencias nocivas del coma del objetivo, impidiendo al mismotiempo que l: y xh sean elevados.

Es asimismo evidente que, para verticales próximos al primario,no podrá efectuarse el registro más que para un reducido número decontactos, en especial en las bajas latitudes; por todo ello pareceaconsejable el ceñirse a perseguir la estrella sólo durante las dos o tresvueltas centrales (una o una y media a cada lado del contacto central).

Para la elección de las estrellas es recomendable utilizar una Cartadel Cielo y un superponible en e! que figuren dibujados los verticalesde acimutes, por ejemplo, ± 30"; ± 45°, ± 60°, ± 90° (aquéllos pro-

-19 -

longados también hacia el otro lado del cenit o sea acimutes de ± 120".etcétera. dada la posibilidad de observar igualmente estrellas N); conestos elementos y una tablita auxiliar similar a la Tabla II. es factibleelegir estrellas y verticales adecuados. teniendo presentes las condi-ciones favorables que más adelante estudiamos.

Como resumen de las diferentes fases del proceso operatorio se-ñalaremos:

Instalar el aparato de forma que la graduación Q<> OO' 00" caigasensiblemente en las inmediaciones del meridiano y hacia el S. paralo que será necesario proceder a una previa determinación expeditade éste. caso de no conocerse con anticipación.Apuntar el anteojo con ayuda de los datos del puntero para la ob-servación del paso al E y tomar hora radioeléctríca para contrastedel movimiento del reloj.Mediante un conocimiento aproximado del ángulo paralácticollevar. con el movimiento lento en altura. la trayectoria aparentede la estrella a pasar por el centro del campo.Perseguir la estrella con el hilo móvil durante las dos o tres vuel-tas centrales y efectuar la lectura del nivel en la posición en quese encuentre. anotando hacia dónde se encuentra dirigido el ceroy sin invertido sobre los muñones (recuérdese la convenienciaantes indicada de que dicho nivel sea doble).Efectuar unas cuantas lecturas del limbo acimutal con el auxiliodel micrómetro óptico de lectura -en número de cinco son las queparecen aconsejables- obteniendo el promedio de ellas y corrí-giéndolas de tara. si ha lugar.Dar al anteojo un giro acimutal de 21 Az 1 =-ó 2 (180°--1 Az [)para estrellas N- al objeto de proceder a registrar el paso al W.repitiendo las operaciones que para el primer paso se han indicado.Tomar al final de este paso nueva hora radio. si es posible. parala determinación del movimiento del reloj; la conveniencia de dis-poner de relojes de movimiento constante es esencial.Para el cálculo de punteros se parte de la conocida ecuación de

las cotangentes que. con la sustitución

tg M = sen Cjl • tg Az

se convierte ensen (M - t) = tg o . ctg Cjl • sen M

lo que proporciona el horario para el acimut elegido.Por lo que se refiere a la distancia cenital, que podría también

calcularse directamente. es preferible partir del horario antes obteni-do. ya que

sen t sen Azs e n z cos 0

- 20-

VI. CÁLCULO DE LA LATITUD DE LA ESTACIÓN.

Conforme a lo que se dijo en I la fórmula a emplear es:

sen (ep -- S) = tg ! ti' ctg I Az . cos S

en la que

tg S = tg 1) • sec t

El horario será el obtenido conforme a lo que se dijo en IV, quecorresponderá al acimut Az' pero es claro que, si se quisieran utilizarincluso aquellas horas registradas por un mismo contacto en ambospasos y del que falte el registro para el contacto simétrico a él respec-to del central, ello podría hacerse teniendo presentes las correccionesque allí se expusieron. Tal forma de proceder no parece, sin embargo,nada aconsejable, ya que el muy escaso aumento de precisión que elloreportaría no compensaría del cálculo de tanta corrección.

Respecto a los términos que figuran en la Tabla I para las distintascorrecciones a la semi diferencia de horas cronométricas de paso diremos:

para z es suficiente utilizar el valor del puntero y para los deno-minadores 2 . cos q . cos 5 su igual dado por la fórmula (2.1).la diferencia de inclinaciones se obtendrá con arreglo a (3.1), te-niendo muy presente la dirección en que ha permanecido, durantelos dos pasos, el cero del nivel.respecto a las lecturas acimutales y a los errores de división véasecuanto se dijo en 11.Por lo que atañe a la corrección final para reducir los distintos

horarios al de acimut Az no parece necesaria ninguna aclaración su-plementaria; el valor de xh está dado por (4.1).

Es fácil ver que, para estrellas culminando al Sur del cenit, elvalor de S es inferior al de ij! mientras que para las Norte es superiordebido a la presencia de c.tg I A z I que pasa a ser negativo paraI A z \ > 90°; por tanto, para aquéllas habrá que sumar a S la dife-rencia ij! - S mientras que para las últimas será necesario restar estadiferencia del valor de S.

VII. CONDICIONES FAVORABLES DE OBSERVACIÓN.

Diferenciando la tantas veces citada ecuación de las catan gentes,se obtiene para cada una de las variables:Influencia de dAz en dij!.

d cp = _ sen t . cos Q • dA =sen'' Az cos Z z

tg zsen Az

de donde inmediatamente se deduce:

-- 21 -

Condiciones favorables:Acimutes próximos al primer vertical

~ Acimutes simétricos al meridiano~ Distancias cenitales pequeñas

Influencia de do en dcp.

d (J; = - cos cp . d (,. cos (, cus z

Condiciones favorables:~ Distancias cenitales pequeñas

l niluencie de dt en dcp.

cos t cos Az + sen t sen cp sen Azdcp=- . dt

sen t . ctg z

obteniéndose las mismas condiciones favorables que para la influenciade dAz endcp.

Si a todo ello unimos la conveniencia de que el intervalo entrelos pasos de una misma estrella no sea excesivo, con objeto de evitarun imperfecto conocimiento del movimiento del reloj y posibles varia-ciones de la colimación y de la desviación acirnutal, que considera-mos constantes en este intervalo, se comprenderá que los acimutesmás convenientes se encuentran en las inmediaciones de los bísec-torés. a los cuales denominaremos genéricamente, siguiendo a Aller,Verticales de ± 45°.

La repetida condición de acimutes próximos al primer vertical haceque éste presente, para estrellas muy cenitales, ciertas ventajas, porla que el ya citado AlIer denomina al primer vertical y a los de ± 45"verticales privilegiados; el estudio particular de éstos a la vista de lasnuevas ideas que aquí se exponen lo haremos seguidamente.

Examinando la influencia de do en dcp se observa que, por perma~necer siempre con el mismo signo, no se obtiene ventaja alguna conelegir, ora estrellas N, ora estrellas S; la elección de unas u otrasestará pues supeditada exclusivamente a conveniencias del programade observación.

Es evidente que las estrellas que culminan al N del <Cenit nopueden ser observadas ni en el primer vertical, ni en sus inmediacio-nes, presentando además las desventajas de que la distancia cenitalaumenta mucho más rápidamente que en las S a medida que los ver-ticales de observación se alejan del meridiano y que el valor absolutode las correcciones es, para acimutes que difieran en 180°, superioral de éstas últimas; mas como el número de estrellas cenitales es, porregla generaL escaso, la oportunidad que nos brinda este método depoder observar además de las estrellas S las que culminan al N delcenit debe ser muy estimada. Normalmente se precisará observar aestas últimas en acimutes algo alejados del primer vertical.

- 22

Como resumen podemos decir que los verticales comprendidosentre los de acimutes ± 3(}0 y ± 60", así como entre ± 120° y ± 150°,son los que presentan las condiciones más favorables para realizar laobservación con arreglo a este nuevo método.

VIII. Los VERTICALES PRIVILEGIADOS. EL PRIMER VERTICAL.

Por ser tema harto conocido nos limitaremos a un ligero examena la luz de las nuevas modalidades hasta ahora expuestas.

Las fórmulas para los punteros adquieren ahora la forma sencilla de

cos t = tg ¡¡ . ctg c¡> cos z = sen Q • cosec c¡>

mientras que la latitud se calcula por

tg c¡> = tg o sec t

Si bien persiste el inconveniente del siempre dilatado intervaloentre los pasos, incluso para estrellas muy cenitales, se tiene ahorala posibilidad de efectuar, en dicho intervalo, otras observaciones,ya que, por el método aquí expuesto, no se precisa recurrir a la cons-tancia del acimut, alcanzable mediante lecturas acimutales; sólo, pues,permanece, con relación al método de Struve, la incertidumbre en elmovimiento del reloj y la siempre posible variación de la colimación,si bien ella es muy poco probable, mientras no se produzcan cambiosbruscos de temperatura, humedad o el aparato sufra golpes o manejosviolentos.

En muchos casos podrá emplearse el nivel en sentido diferencial,sobre todo si éste no se mueve de sus asientos durante dicho intervalo(en el ejemplo práctico que se acompaña asi se procedió durante lasobservaciones de los pasos por los distintos verticales), mas en casode que se intercalen observaciones que precisen invertir el nivel sobresus apoyos, será conveniente efectuar medidas absolutas de inclina-ción para obtener su diferencia.

Asimismo, en especial en latitudes bajas, el registro micrométricoserá poco preciso y el número de contactos registrables bastantereducido. Naturalmente el reloj a utilizar ha de tener un movimientomuy constante si se quiere obtener una buena precisión final.

Resumiendo, diremos que con esta nueva modalidad de observa-ción se obtiene una mayor, llamemos, movilidad que con el métodoclásico de Struve, aparte de la notoria y superior sencillez operatoria.

Si bien no poseemos un ejemplo práctico para este caso especial,es posible adquirir una idea bastante aproximada examinando la ob-servación en los verticales de ± 80° que figura al final de este trabajo.

- 23-

IX. Los VERTICALES DE ± 45".

Representan estos verticales la solución que reúne a la vez mayorprecisión. rapidez y comodidad. y son. por tanto. los más indicadospara e! empleo del teodolíto, incluso en observaciones de latitud degran precisión. pues. si bien de las condiciones favorables antes exa-minadas. se deduce que serían preferibles verticales más próximos alprimero. la circunstancia de! menor intervalo entre los pasos. con elconsiguiente mejor conocimiento del movimiento de! reloj. y la utiliza-ción del nivel en sentido diferencial son innegables ventajas.

Con estos verticales pueden emplearse. además. estrellas queculminen al N del cenit y a poca distancia de él; la componente ver-tical del movimiento aparente de la estrella en el campo del anteojoes ahora de reducida magnitud. por lo que el registro del paso. inclusoen bajas latitudes. puede efectuarse en precisas condiciones sin nece-sidad de recurrir a dispositivos auxiliares.

El número de estrellas que cruzan estos verticales. mediandoentre sus pasos un reducido intervalo de tiempo. es lo suficientementeelevado para poder confeccionar un programa de observaciones muycompleto.

Las fórmulas para los punteros son ahora:para e! horario

sen (M - t) = tg Q • ctg cp • sen M

con

tg M = sen cp

y para la distancia cenital

sen tsen z = - :;-;====V 2 . cos Q

La latitud se calculará por

sen (cp - S) = tg I ti· cos S

en la que

tg S = tg o . sec t

lo que supone una reducción en los calculas.Como ya dijimos estos verticales. así como los comprendidos entre

los acimutes ± 30° y ± 60' (y sus prolongaciones al otro lado delcenit). son los más adecuados para e! empleo de este nuevo métodode pasos de una misma estrella por verticales simétricos al meridiano.

-- 24 -

X. APLICACIÓN A UN EJEMPLO PRÁCTICO.

El día 24 de abril de 1957 se llevaron a cabo, por el autor, unasobservaciones con arreglo a este nuevo método, cuyos detalles damosa continuación y que examinaremos detenidamente, ya que siemprees conveniente completar los estudios teóricos con la práctica, sir-viendo al mismo tiempo para aclarar aquellas partes que, en la expo-sición teórica, pudieron resultar algo confusas.

Creemos indispensable detallar minuciosamente los medios ern-pleados al objeto de proporcionar una clara idea del desarrollo de lasobservaciones:

Lugar de observación: Pilar NE de la Escuela Superior Técnicade Munich cuyo Instituto Geodésico le asignaba a dicho pilar la latitudde 48° 08' 58"4 N.

Aparatos utilizados: Teodolito astronómico Wild T~4; cronó-grafo Favag; con velocidad de cinta de 1 cm/seg.; cronómetro Nerdinde T. s. y contactos eléctricos; registro automático de señales horarias.

Particularidades: Registro de las dos revoluciones micrométricascentrales (unos 20 contactos); lectura de la cinta cronográfica con laregla de Fuess a la OsOI a estima y promedios totales a la 05001; lec-turas en el limbo acimutal a la 0"01 a estima; coordenadas estelaresno corregidas por términos de corto período de nutación.

El limbo del aparato estaba estudiado por el método de Heuvelink,y el valor de una división del nivel suspendido era de 050874, deter-minado hacía un año próximamente (el nivel era sencillo, no doble,como aquí repetidamente preconizamos).

Se tomó como lectura meridiana 0° 00' 17"00 que quedaba bastantepróxima al meridiano real y la colimación para el contacto central erade unos + 13" en la posición CD en la cual se efectuaron la totalidadde las observaciones permaneciendo el nivel inmóvil sobre sus apoyosy con el cero dirigido hacia el W.

El intervalo entre las confrontaciones de hora del reloj fué exce-sivo, ya que la primera se hizo a las 22" MEZ (aproximadamente las1111 59111 cronométricas) y la siguiente a las 11 h MEZ (la 1h Olm aprox.)lo que daba un intervalo de 13 horas y proporcionó un movimientohorario de ~ 0508, el cual, por las razones apuntadas, no es de granconfianza, extremo éste que debe tenerse en cuenta a la hora de exa-minar críticamente los resultados.

La estrella observada fue la i, Bootis a su paso por los verticalesde ± 30", ± 45°, ± 60° y ± 80°. A fin de no hacer excesivamentelargo este ejemplo, damos solamente las horas cronométricas de pasopor los diferentes contactos en los verticales de ± 30° 'i ± 60", mientrasreseñamos la totalidad de las sernidiferencias de horas cronométricas

- 25-

encontradas en cada pareja de verticales. Nótese que sólo figuranlos pasos por contactos que han sido registrados en ambos pasos ycuyo simétrico respecto al central ha sido, asimismo. registrado, todoello de acuerdo a cuanto dijimos en IV al hablar del micrómetro im-personal.

Se ha prescindido de efectuar una corrección de tara en las lectu-ras acimutales, por lo que no se debe echar ésta de menos.

Parece innecesario detallar el proceso de cálculo que se puede se~Huir sin dificultad y sólo es conveniente resaltar que tanto la correcciónde división de limbo como la correspondiente a la reducción de loshorarios de los distintos contactos al central pueden tenerse previa-mente calculados.

Dado que los intervalos para esta estrella, de distancia cenital1" 52' al paso meridiano, fueron respectivamente Ir, 21 m, 36m y 1h 28m

se comprende con ello la conveniencia de los verticales comprendidosentre los límites antes repetidamente expuestos.

PASOS DE UNA MISMA ESTRELLA POR VERTICALES

SIMÉTRICOS AL MERIDIANO

Estrella n.? 527 ), Bootis Mag, 4,26

Posición CD Ocular W(j = 46°16'56"22 Fecha: 24 abril 1957

Pilar NE de la TH Munich

Puntero ti datos de observación

Vedica!Hora

cronoméhicaNIVEL

Cero al W Lecturas acimut ales

280° 13li33m20' 7°40' 39,0-69,0 19"06- 19"51-19"10-18"85-18"73 19"05

300 59 20 3 33 38,5-68,5 18 45-18 69-18 41-18 42-18 30 18 45315 14 06 30 2 35 39,0-69,0 18 70-18 55-18 39-18 51-18 76 18 58

330 11 00 2 09 41,0- 71,0 18 35-17 70-17 81-18 00-17 96 17 96

30 23 20 2 09 46,5-76,5 17 89-18 41-17 49-17 81-17 83 17 8945 27 50 2 35 49,0-79,0 18 00-17 60-17 66-17 90-17 52 17 7460 35 00 3 33 51,5-81.5 18 86-18 20-18 59-18 06 -18 60 18 4680 15 01 00 7 40 51.0-81.5 19 40-19 59-19 30-19 60-19 31 19 44

Datos previos

Verticales de ........ 30° 45° 60° 80°--- ----

r= coso q. coso 0.. 0,60526 0,50503 0,37917 0,21426seno z ..... ......... . 0,03752 0,04507 0.06192 0,13341coseno z .... ....... . 0.99930 0.99898 0.99808 0.99106

-- 26-

Horas cronométricas de paso

- 60° - 30° + 30° + 60°9,1 13h59m39'71 14J1l1m11 '63 141i23m36'70 141i35m23'01

2 37 20 9 91 34 83 20 533 34 79 8 02 33 25 18 104 :'l205 6 48 31 68 15 125 29 30 5 01 29 82 12 506 26 76 3 02 28 12 9 677 24 08 1 76 26 13 7 228 22 10 10 59 93 24 90 4 419 19 55 58 38 22 58 1 88

10,0 16 60 56 19 21 04 34 58 521 13 77 53 87 19 66 55 712 10 90 52 28 18 23 53 173 8 62 50 62 16 41 50 934 6 26 49 07 14 69 48 195 3 22 47 58 13 06 45 536 O 50 45 82 11 58 42 707 58 57 77 44 00 9 78 40 488 54 84 42 37 8 01 37 889 52 41 40 50 6 06 34 73

Semidilerencia de horas cronométricas

± 30° ± 45° ± 60° ± 80°9,1 6m12'535 10m38'110 17m51'650 43m54'805

2 460 180 665 9773 615 340 650 55 3454 600 465 535 54 5705 405 270 600 0656 550 195 455 2357 185 170 570 2158 185 200 155 1009 100 175 165 53 645

10,0 425 155 50 960 7451 895 325 960 54 0552 975 370 51 135 1153 895 370 155 53 6654 810 470 50 965 4905 740 430 51 155 56 1156 880 325 100 55 0507 890 330 355 1158 820 125 520 54 8809 780 215 160 520

Promedio. 6m12'640 10m38'275 17m51'311 43m54'458

-- 27 -

Valores de ~ para los diferentes contactosr~

6 8

n xh9 ~h'[t

Az

2 sen z n xh

--"h·~2 n + 1 1 r'

6 12 19 25 31 37 44 50 56 0'01776 0'00007012 24 37 49 61 73 86 98 110 O 03486 O 00016625 50 74 99 124 149 173 198 223 O 07059 O 00046056 111 167 223 279 334 390 446 502 O 15886 O 002230

INCLINACIÓNEn unidades de 10-"

" " - }- (,," - .: ) - ~ (8 - r, )-w e-w 4 -w -w -- 2 ~~ ~

± 30° 123,0 112,0 2d75 0'240± 45 128,0 108,0 5 00 O 437± 60 133,0 107,0 6 50 O 568± 80 132,5 108.0 - 6 12 O 535

División del limbo !J reducción al acimut

+ 0"94+ 0"84

+ 0"140"01

+ 0"66+ 0"08

OBTENCION DEL HORARIO

1/2 (Hw - He ), . , ...Movimiento reloj. , .

Inclinación '" ... ,División del limbo ..Reducción a acimut.

± 30° ± 45° ± 60°

6'"12'640 10m 38'275 17m 51'311+ 8 + 14 + 24

397 865 1 495+ 1 + 3 + 1

+ 22 sen z n XII

" h .2n + 1 l' r~

Horario ¡ Tiempodefinitivo \ Arco .. ,

6m 12'2521°33'03"78

10m 37'4292° 39'21"43

lr 49'8414° 27'27"61

- 0"490"39

43'"54'458+ 58- 2 476

108

2

43m 52'02010° 58'00"30

- 28--

CÁLCULO DE LA LATITUD

tg 1) •••. ' •••••. 1,045793cos t . ....... . 0,999634 0,998926 0,996975 0,981738

tg S .. ........ 1,046176 1.046917 1,048966 1,065247S ...... 46° 17' 33"98 46° 18' 46"93 46" 22' 08"36 46° 48' 34"32tg I t ] . ....... 0,027077 0,046388 0,077958 0,193778ctg I Az I 1,732051 1,000000 0,577350 0,176327cos S .... 0,690974 0,690718 0,690011 0,684426

sen ('f S). 0,032406 0,032041 0,031057 0,023385rp - S .. 10 51' 25"39 1° 50' 10"06 1" 46' 46"99 1° 20' 23"94

Latitud ....... 48° 08' 59"37 48° 08' 56"99 48° 08' 55"35 48° 08' 58"26

XI. RESUMEN FINAL.

Con todo ello se ha expuesto un nuevo método que estimamos degran interés para las determinaciones de latitud, ya que: la depen-dencia del aparato es nula, el número de estrellas que pueden obser-varse es el suficiente para confeccionar un programa bastante corn-pieto, la sencillez operatoria extraordinaria, la ausencia de correccionesnotoria y la ventaja del empleo diferencial de! nivel no precisa enco-míarse.

Dado que e! intervalo entre los pasos puede reducirse a límitesconvenientes y que incluso es posible el realizar observaciones inter-medias en el caso de que aquél sea algo dilatado -tal como se hahecho en el ejemplo antes examinado- el empleo de un reloj de moví-miento bastante constante y el disponer el 'aparato de un buen limboacirnutal son, prácticamente, las únicas servidumbres de este método.

Como inconvenientes señalaremos la dependencia excesiva delvalor final de la latitud respecto a las estrellas cenitales, es decir, desu más o menos errónea declinación. Asimismo e! que para latitudesmuy bajas sólo el empleo de verticales excesivamente cercanos al me-ridiano podría permitir un registro del paso en buenas condiciones;y no siendo estos verticales recomendables. no parece aconsejable estemétodo para muy bajas latitudes.

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(Continua en la tercera de cubierta)

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