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Unidad 7
métodos de integraCión
Objetivos
Al inalizar la unidad, el alumno:
• Utilizará los métodos de sustitución directa en la resolución de
integrales.• Resolverá integrales de funciones trigonométricas, directas e
inversas.• Utilizará los métodos de sustitución trigonométrica en la resolución de
integrales.• Aplicará los métodos de integración por partes en la resolución de
integrales. • Simplificará y resolverá integrales por el método de fracciones
parciales.
Cálculo diferencial e integral 243
Introducción
En este tema se continúa con los métodos de integración iniciados en la unidad
anterior, en los que a partir del concepto de primitiva y de las derivadas de las
funciones elementales se obtenían las integrales inmediatas.
Se estudiarán las técnicas elementales para reducir a inmediatas las integrales
que no lo sean, es decir, integración por sustitución, por partes, de funciones
trigonométricas, integrales de cocientes de polinomios por descomposición en
fracciones simples y fórmulas de reducción.
Los métodos de integración tienen por objetivo transformar una integral dada
no inmediata, en otra o en la suma de varias, con la finalidad de que el cálculo sea
sencillo. Por ejemplo:
Integración por partes se refiere a descomponer una integral en una suma de un producto
de funciones más una más sencilla que la inicial.
La descomposición en fracciones simples de un cociente de polinomios resulta en
una suma de fracciones, donde las integrales se hallan más facilmente.
Para resolver integrales que dependen de un número natural n teniendo el valor de
la integral que depende del número anterior o ante-anterior, se utilizan las fórmulas
de reducción.
7.1. Integración por sustitución
En muchos casos, sustituyendo el integrando en función de una nueva variable, se
obtiene una diferencial que se integra más fácilmente por ser una integral inmediata, o
diferir de ella por una constante. A este método se le llama integrar por sustitución.
Ejemplo 1
Resuelve la integral 5dx
a bx+∫ por sustitución.
Solución
Si se hace u = a + bx, resulta: du bdx dxdu
b= y despejando =
Sustituyendo en la integral:
55
5 5dx
a bx
du
b
u b
du
u bu C+ = = = +∫ ∫∫ ln( ) y como u = a + bx, queda:
Unidad 7244
5 5dx
a bx ba bx C+ = + +∫ ln( )
Comprobación: db
a bx Cb
bdx
a bx
dx
a bx
5 5 5ln( ) )+ +
= +
= +
Ejemplo 2
Resuelve la integral e dx
x3
5∫ por sustitución.
Solución
Haciendo ux
dudx
dxdu= = =3
5
3
5
5
3, resulta: y sustituyendo en la integral:
e dx e du e du e C e C
x
u u u
x3
5
3
55
3
5
3
5
3
5
3∫ ∫∫= = = + = +
Ejemplo 3
Resuelve la integral x a xdx−∫ por sustitución.
Solución
Haciendo u a x dudx
a xdx udu= − = −
− = −, resulta: , y 2
2 , elevando u al
cuadrado y despejando x se tiene: u2 = a – x, x = a – u2, sustituyendo estos valores en
la integral:
x a xdx a u u udu a u u du a u du u du− = − − = − − = − +∫ ∫∫∫∫ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 42 2 2 2
= − + + = − − + − +2
3
2
5
2
3
2
5
3 5
3
2
5
2au uC
a a x a xC
( ) ( )
7.2. Integración por partes
Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas y
consiste en lo siguiente:
Cálculo diferencial e integral 245
Al estudiar las diferenciales se vio que: d(uv) = udv + vdu y despejando udv,
queda: udv = d(uv) – vdu e integrando:
udv d uv vdu uv vdu= − = − ∫∫∫∫ ( )
que es la fórmula del método de integración por partes.
Se utiliza al poner el integrado en la forma udv y haciendo que resulte fácil de
calcular v y la integral de vdu.
La elección de quién es u y quién dv en el integrando es arbitraria y es acertada
en el caso de que la integral del segundo miembro resulte más sencilla que la dada.
No hay, y este es el mayor problema de este procedimiento, una regla fija para
hacer las identificaciones más convenientes. La resolución de un buen número de
problemas es el mejor camino para adquirir la técnica necesaria.
Ejemplo 4
Calcula la integral x xdxsen∫Solución
Sea u = x dv = sen xdx,
Entonces: v xdx x du dx= = − =∫sen , cos
Aplicando la fórmula de integración por partes se tiene que:
x xdx x x xdx x x xdxsen = − − − = − + ∫∫∫ ( cos ) cos cos cos
= − + +x x x Ccos sen
Nota. Se podría haber elegido u = sen x dv = xdx
y en este caso du xdx vx= =cos
2
2
x xdxx x x x
dxsensen= − ∫∫ 2 2
2 2
cos
y se ve que la integral del segundo miembro es más complicada que la dada y, por lo
tanto, la elección no habría sido conveniente.
Ejemplo 5
Calcula sen sen sen2 xdx x xdx∫ ∫=
Unidad 7246
Solución
Sea u = sen x y dv = sen xdx así que:
du = cos xdx y v = –cos xdx
entonces:
sen sen sen2 2xdx x x x xdx x x xdx= − − − = − + ∫∫∫ cos cos cos cos cos
utilizando ahora la identidad trigonométrica sen2x + cos2x = 1
donde cos2x = 1 –sen2xdx sustituyendo:
sen sen sen sen sen2 2 21xdx x x x dx x x dx xdx= − + − = − + − ∫∫∫∫ cos ( ) cos
Pasando sen2 xdx∫ al primer miembro de la igualdad:
2 2sen senxdx x x x C∫ = − + +cos
Por lo tanto, sen sen donde C1
2
1
1
2 2xdx x x x C
C= − + =∫ ( cos )
7.3. Integración de funciones trigonométricas
Integración de funciones trigonométricas directas. En este caso las funciones seno
y coseno se consideran inmediatas de las fórmulas de derivación respectivas, esto es:
• sen xdx x C= − +∫ cos (inmediata)
• cos xdx x C= +∫ sen (inmediata)
Ejemplo 6
Obtén la integral tan xdx∫Solución
De las identidades trigonométricas se tiene:
tancos
xdxx
xdx∫ ∫= sen
, luego entonces:
u = cos x
du = –sen xdx
Cálculo diferencial e integral 247
Por consecuencia para la integral:
− = − +∫ du
uu Cln
sustituyendo
= – ln (cosx) + C
simplificando
=
+ln
cos
1
xC
= ln (sec x) + C
Por consecuencia para la integral cot lnxdx x C= ( )+∫ sen
Ejemplo 7
Obtén la integral sec xdx∫ .
Solución
Para calcular esta integral se realiza el siguiente artificio:
sec secsec tan
sec tan
sec sec tan
sec txdx x
x x
x xdx
x x x
x= +
+
= +
+2
aan xdx∫∫∫
si u = sec x + tan x, du = (sec2x + sec x tan x)dx
y como el numerador es la derivada del denominador, se tiene:
d x x
x x
sec tan
sec tan
+( )+∫
Luego: sec ln sec tanxdx x x C∫ = +( )+Por consecuencia para la integral csc ln csc cotxdx x x C= −( )+∫7.4. Integración de funciones trigonométricas inversas
La integración de funciones trigonométricas inversas se mostrará utilizando la
integración por partes, aunque también se pueden tomar como ejemplos de este
método, así que:
Unidad 7248
Para la integral arc sen xdx∫ . Aplicando la integración por partes y haciendo:
u = arc sen x dv = dx
resulta: dudx
x= −1 2
, v = x se tiene entonces:
arc sen arc sen arc senxdx x xxdx
xx x x C∫ ∫= − − = + − +
11
2
2 .
Entonces la integral arc cos arc xdx x x x C∫ = − − +cos 1 2 se obtiene de un
modo análogo al anterior.
Ahora para la integral arc tan xdx∫ haciendo: u = arc tan x dv = dx
se tiene: dudx
xv x= + =
1 2
aplicando la fórmula de integración por partes se tiene:
arc tan arc
arc
xdx x xxdx
x
x
∫ ∫= − + ==
tan1 2
ttan
tan ln( )
xxdx
x
x x x
− += − +
∫1
2
2
1
1
21
2
2 arc ++C
Entonces la integral arc arc cot cot ln( )xdx x x x C= + + +∫ 1
21 2
se halla de un
modo análogo a la anterior.
Para la integral arc sec xdx∫ haciendo: u x dv dx= =arc sec
se tiene: dudx
x x= −2 1
v = x
y aplicando la fórmula de integración por partes resulta:
arc arc sec secxdx x xxdx
x x∫ ∫= − −2 1
Para calcular la integral dx
x2 1−∫ se aplica el método de sustitución.
Cálculo diferencial e integral 249
Sea x = sec z y entonces elevando al cuadrado x2 = sec2z dx = sec z tan zdz
y sustituyendo: sec tan
sec
sec tan
tan
sec tan
tan
z zdz
z
z zdz
z
z zdz
z2 21− = = ∫∫∫
= = + +∫sec ln(sec tan )zdz z z C
y sustituyendo: sec z = x tan secz z x= − = −2 21 1
queda: dx
xx x C
2
2
11− = + − +∫ ln( )
Por lo tanto: arc arc sec sec ln( )xdx x x x x C∫ = − + − +2 1
Ejercicio 1
1. Calcula la integral 3dx
a bx−∫
2. Calcula la integral 2
8
2
3
x dx
x +∫
3. Calcula la integral x xdxcos∫
4. Calcula la integral xx
dxsen3∫
5. Calcula la integral x xdx2sen∫
Unidad 7250
7.5. Otros tipos de integrales trigonométricas
Esta sección se abordará únicamente con ejemplos, así que veamos algunos de la
integración de expresiones en que el integrando es el producto de la potencia de una
función trigonométrica por su diferencial.
Ejemplo 8
Obtén las integrales
a) sen
b)
2
3 2
x xdx
x xdx
cos
tan sec
∫∫
Solución
a) Para la integral sen2 x xdxcos∫ , haciendo u = sen x du= cos xdx
Por lo tanto, sensen2 2
3 3
3 3x xdx u du
uC
xCcos = = + = +∫∫
b) Para la integral tan sec3 2x xdx∫ haciendo u = tanx du = sec2 xdx
Por lo tanto, tan sectan3 2 3
4 4
4 4x xdx u du
uC
xC= = + = +∫∫
Ahora veamos algunos ejemplos de integración de expresiones en que el
integrando es el producto de la potencia de una función trigonométrica por una
potencia de su diferencia.
Estas expresiones suelen integrarse transformando previamente la integral y
aplicando identidades trigonométricas y la fórmula u duu
nC nn
n∫ = + + ≠ −+1
11 ( ).
Cálculo diferencial e integral 251
Ejemplo 9
Obtén las integrales
a) sen
b)
cos
tan sec
4 3
2 4
x xdx
x xdx
∫∫
Solución
a) Para la integral cos4 3x xdxsen∫ haciendo sen3x = sen2xsenx
resulta: cos cos4 3 4 2x xdx x x xdxsen sen sen∫ ∫=
Aplicando la identidad sen2 21x x= − cos queda:
cos cos ( cos )4 3 4 21x xdx x x xdxsen sen
∫ ∫= − sen sen
= −= −
∫∫cos cos
co
4 6x xdx x xdx
ss ( ) cos ( )
c
4 6x xdx x xdx− + −= −∫ ∫sen sen
oos cos5 7
5 7
x xC+ +
b) La integral tan sec2 4x xdx∫ se puede escribir en la forma:
tan sec sec2 2 2x x xdx∫ y aplicando la identidad
sec2 x =1 + tan2x resulta:
tan sec tan ( tan )sec2 4 2 2 21x xdx x x xdx∫ ∫= +
= + ∫∫ tan sec tan sec2 2 4 2x xdx x xdx
== + +tan tan3 5
3 5
x xC
Ahora veamos algunos ejemplos de integración de potencias pares de senos y
cosenos.
Unidad 7252
Cuando el integrando contiene solamente potencias pares de senos y cosenos, se
utilizan las siguientes identidades:
• = −
• = +
• =
sen
sensen
2
2
1 2
2
1 2
2
2
20
xx
xx
x xx
cos
coscos
cos
Ejemplo 10
Obtén las integrales:
a) sen
b)
2
4
xdx
xdx
∫∫cos
Solución
a) Utilizando la identidad sen2 1 2
2x
x= − cos se tiene:
sen
se
2 1 2
2 2
2
2
2
1
4
xdxxdx
dx xdx
x
∫ ∫ ∫ ∫= − = −= −
cos cos
nn2x C+
b) Se tiene que cos (cos )cos4 2 2
21 2
2xdx x dx
xdx= = +
∫∫∫
= + + = + += +∫ ∫∫∫1 2 2 2
4 4
1
22
1
42
4
1
42
22cos cos
cos cosx x
dxdx
xdx xdx
xsen xx xdx+ ∫1
422cos
Para calcular cos2 2xdx∫ , aplicamos la identidad coscos2 1 2
2x
x= + y se tiene:
coscos
cos2 21 4
2 2
1
24xdx
xdx
dxxdx∫ ∫∫∫= + = +
Cálculo diferencial e integral 253
= + +xx C
2
1
84sen y, por lo tanto, la integral cos4 xdx∫ queda:
cos4
4
1
42
1
4 2
1
84
4
1
42
8
1
32
xdxx
xx
x C
xx
x
= + + +
+
= + + +∫ sen sen
sen ssen4x C+
Por lo tanto, cos4 3
8
1
42
1
324xdx
xx x C∫ = + + +sen sen
7.6. Integración por sustituciones trigonométricas
Existen integrales que se resuelven con una sustitución trigonométrica, cuyas
formas generales se mostrarán a continuación:
• Las integrales de la forma a u du2 2−∫ se hace la sustitución u = a sen z,
du = a cos zdz, entonces se tiene:
a u a a z a z a z
a u du a z a zdz
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1− = − = − =− =∫
sen sen( ) cos
( cos )( cos )) cos== +
+
∫∫ a zdz
az z
C
2 2
2
2
2
4
sen
Para expresar el resultado en función de u se tiene: zu
az
u
a= =arc sen sen
sen sen2 2 2 122
2
2 2
2z z z
u
a
u
a
u a u
a= = − = −
cos y sustituyendo resulta:
a u du a
u
a
u a u
a C2 2 2
2 2
2
2
2
4− = +
−
+∫ arc sen
Por lo tanto, a u dua u
au
a uC2 2
2 2 2
2 2− = + − +∫ arc sen
Unidad 7254
• Ahora bien en las integrales de la forma du
u a2 2+∫ se hace la sustitución
u = a tan z, du = a sec2 zdz, entonces:
u a a z a a z a z2 2 2 2 2 2 2 1+ = + = + =tan (tan ) sec
Luego entonces, du
u a
a zdz
a zzdz
z
2 2
2
+ = == +
∫ ∫∫ sec
secsec
ln(sec t aan )z C+
Para ponerla en función de u se tiene que: tan ,zu
az
a u
a= = +
sec2 2
donde:
= += + +
+
∫ du
u a
u a u
aC
2 2
2 2
ln
•Para integrales de la forma a u du2 2+∫ se hace u = a tan z du = a sec2zdz
Entonces, a u a a z a z2 2 2 2 2+ = + =tan sec , así que:
a u du a zdz a zdz2 2 2 3 2 3+ = =∫ ∫∫ sec sec
que se integra por partes
Se obtiene: a u dua
z z z z C2 22
2+ = + +( ) +∫ sec tan ln sec tan
y como tan , seczu
ay z
u
a
a u
a= = + = +
12
2
2 2
queda:
a u dua a u
a
u
a
a a u
a
u
a
2 22 2 2 2 2 2
2 2+ = +
+
+ +
+∫ ln CC
u a u a u a u
aC = + + + +
+
2 2 2 2 2
2 2ln
Cálculo diferencial e integral 255
•Asimismo, para las integrales de la forma du
u a2 2−∫ se hace la sustitución
u = a sec z; du = a sec z tan zdz y se resuelve de manera análoga a la anterior.
Ejemplo 11
Calcula la integral x
xdx
2 4−∫
Solución
De manera similar la forma du
u a2 2−∫ se tiene
x = 2sec z, dx = 2sec z tan z dz, zx
zx= =arc sec , sec ,
2 2 entonces:
x dx z z zdz
z
2 2
2
4 4 4 2
4 1 2
− = −= −
sec ( sec tan )
(sec )( ssec tan )
sec tan
z zdz
z zdz = 4 2
y sustituyendo en la integral:
x
xdx
z zdz
zzdz
2 224 4
22
− = ==
∫ ∫∫ sec
sectan
tan
22 1 2 22(sec ) tanz dz z z C− = − +∫
Para poner la integral en función de x, se tiene:
tan secz zx x= − = − = −2
2 2
14
14
2 y como z
x= arc sec2
, sustituyendo:
x
xdx
x xC
x
2 2
2
42
4
22
2
4 2
− = − − += − −
∫ arc
ar
sec
cc secx
C2+
Ejemplo 12
Calcula la integral 4 2−∫ x dx
Unidad 7256
Solución
Aplicando la forma a u du2 2−∫x z dx zdz z
xz
x= = = =2 22 2
sen , , arc sen , sencos
4 4 4 4 1 22 2 2− = − = − =x z z zsen sen( ) cos
sustituyendo en la integral
4 2 2 4
42
2 2− = ==
∫ ∫∫x dx z zdz zdz
z
( cos )( cos ) cos
++
+sen2z C
Para ponerla en función de x, se tiene:
sen sen2 2 22
14
4
2
2 2
z z zx x x x= = − = −
cos y la integral queda:
4 41
2 2
4
2
2
22− = + −
+
=∫ x dx
x x xCarc sen
aarc senx
x x C2
4 2+ −
+
7.7. Integración de fracciones racionales
En esta sección ofreceremos los elementos para calcular las primitivas de f (x) / g (x),
donde f (x) y g (x) son polinomios con coeficientes reales y g (x) se puede expresar como
un producto de factores lineales y cuadráticos. Si el grado de f (x) es mayor que el de
g(x), la división permite escribir la fracción f (x) / g (x) en la forma
f (x) / g(x) = q (x) + r (x) / g (x) (1)
Siendo q(x) el cociente y r (x) el residuo. Como el cálculo de una primitiva de q(x) es
fácil, el problema de hallar una primitiva de f (x) / g (x) se reduce a hallar una primitiva del
cociente de polinomios cuyo numerador es de menor grado que el del denominador.
Por ejemplo, el cociente 2 3 5
1
4
2
x x
x x
− +−( )
se puede expresar en la forma:
Cálculo diferencial e integral 257
2 3 5
12
2 3 5
1 1
4
2
2x x
x xx
x x
x x x
− +− = + − +
− +( ) ( )( )
Suponiendo que se quiere hallar una primitiva de f (x) / g (x), siendo el grado
de f (x) menor que el grado de g(x) y g(x) un producto de factores lineales. El caso
más simple se presenta cuando estos factores lineales son todos distintos y de la
forma x – a. Más adelante se mostrará que en estas condiciones, si g(x) es de la
forma c(x –a1)(x – a
2)...(x – a
n), entonces el cociente f (x) / g (x) se puede escribir
en la forma:
f x
c x a x a x a
A
x a
A
x a
A
x an
n
n
( )−( ) −( ) −( ) = − + − + + −1 2
1
1
2
2...... (2)
siendo A1, A
2,...,A
n, constantes. El término del segundo miembro de (2) se llama
descomposición en fracciones parciales del término del primer miembro. El
procedimiento más sencillo para encontrar Ai es multiplicar la identidad (2) por el
denominador g(x) para obtener la identidad:
(3)
Uno de los procedimientos es igualar los coeficientes correspondientes de los
dos miembros de (3). Otro es remplazar por x los valores a1, a
2,...,a
n. Otro es una
combinación de los dos anteriores:
Por ejemplo, x x
x x x
2 23 10
1 3 2
− +− − +( )( )( )
se puede escribir como:
x x
x x x
A
x
B
x
C
x
2 23 10
1 3 2 1 3 2
− +− − + = − + − + +( )( )( )
Multiplicando por el denominador del primer miembro toda la igualdad
x x A x x B x x C x x2 23 10 3 2 1 2 1 3− + = − + + − + + − −( )( ) ( )( ) ( )( )
y evaluando en
x =1, –12 = –6A ∴ A = 2
x = 3, –50 = 10B ∴ B = –5
x = –2, 60 =15C ∴ C = 4
Entonces
x x
x x x x x x
2 23 10
1 3 2
2
1
5
3
4
2
− +− − + = − + −
− + +( )( )( )
f x cA x a x a cA x a x a x a cA xn n n( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (= − ⋅⋅ ⋅ − + − − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ +1 2 2 1 3 −− ⋅⋅ ⋅ − −a x an1 1) ( )
Unidad 7258
Los factores lineales repetidos se tratan como si fueran factores lineales
distintos. La diferencia está en que si (x – a) es un factor lineal que se repite k veces
en el denominador, entonces, en vez de tener un solo término en el desarrollo en
fracciones parciales correspondientes a x – a se tienen k términos, cada uno de los
cuales corresponde a una potencia de (x – a) desde 1 hasta k:
B
x a
B
x a
B
x a
k
k
1 2
2− + − + ⋅⋅ ⋅ + −( ) ( ) (4)
con B1, B
2,...,B
k, constantes. Si hay factores lineales distintos de los cuales alguno o
todos se repiten, entonces los factores lineales distintos se tratan de la misma manera
y en forma independiente y los términos resultantes se suman:
Por ejemplo, x x x
x x
3 2
3 21 2
− −− −( ) ( )
se puede escribir como:
x x x
x x
A
x
B
x
C
x
D
x
E
x
3 2
3 2 2 3 21 2 1 1 1 2 2
− −− − = − + − + − + − + −( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Multiplicando por el denominador del primer miembro, se tiene
Al sustituir en la expresión resultante primero x = 1 y después x = 2, se obtiene
C = –1, E = 2. Para encontrar las otras variables se desarrollan los binomios y se
comparan coeficientes. Así tenemos que B = –2, D = 1 y A = –1 y entonces:
x x x
x x x x x x x
3 2
3 2 2 3 21 2
1
1
2
1
1
1
1
2
2
2
− −− − = −
− + −− + −
− + − + −( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Factores cuadráticos. Por factor cuadrático real de un polinomio g(x) se entiende
una expresión de la forma ax2 + bx + c si su discriminante b2 –4ac < 0; entonces, no se
puede descomponer en producto de dos factores lineales reales. Por ejemplo, x2 –3x + 4
no se puede factorizar en factores lineales reales.
El tratamiento de los factores cuadráticos es parecido al de los factores lineales,
excepto en que los numeradores de las fracciones racionales son polinomios de
primer grado en vez de constantes.
El caso más simple es hallar una primitiva del cociente f(x) / g(x) de polinomios reales,
con el grado de f(x) menor que el grado de g(x) y g(x) contiene factores cuadráticos.
Este tipo de primitivas da lugar a dos casos:
a) f(x) / g(x), con f(x) = cg‘ (x), c una constante, y
b) f(x) / g(x), con el grado de f(x) menor que el grado de g(x) y no se cumple a).
x x x A x x B x x C x D x x E3 2 2 2 2 2 31 2 1 2 2 1 2− − = − − + − − + − + − − +( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (xx −1 3)
Cálculo diferencial e integral 259
f x
x b x c x b x c
A x B
x b x c
A x B
x bn n
( )
( ) ( )γ 2
1 1
2
1 1
2
1 1
2 2
2
2+ + ⋅⋅ ⋅ + + = ++ + + +
+ xx c
A x B
x b x c
n n
n n+ + ⋅⋅ ⋅ + ++ +2
2
Para hallar las primitivas del cociente f(x) / g(x), siendo el grado de f(x) menor que
el grado de g(x) y g(x) un producto de factores cuadráticos distintos,
g x x b x c x b x c x b x cn n( ) ( )( ) ( )= + + + + ⋅⋅ ⋅ + +γ 2
1 1
2
2 2
2
En este caso la fracción f(x) / g(x) se puede escribir en la forma
(5)
con A1, B
1, A
2, B
2,..., A
n, B
n constantes. Para hallar las constantes A
i, B
i se emplean
técnicas similares a las indicadas anteriormente:
Por ejemplo, 2 3 36 67
6 17 2 3
3 2
2 2
x x x
x x x x
− − −+ + − +( )( )
se puede descomponer en la forma:
2 3 36 67
6 17 2 3 6 17 2 3
3 2
2 2 2 2
x x x
x x x x
Ax B
x x
Cx D
x x
− − −+ + − + = +
+ + + +− +( )( )
Para hallar las constantes se multiplica la igualdad por el denominador del primer
miembro; se identifican los coeficientes correspondientes de las mismas potencias de
x y se resuelve el sistema resultante donde B = 6, D = –5, C = 0 y A = 2. Entonces:
2 3 36 67
6 17 2 3
2 6
6 17
5
2 3
3 2
2 2 2 2
x x x
x x x x
x
x x x x
− − −+ + − + = +
+ + + −− +( )( )
Si los factores cuadráticos se repiten se manejan en forma similar al de los
factores lineales repetidos: si x2 + bx + c es un factor cuadrático que se repite k veces
en el denominador, entonces el término de (5), que contiene únicamente el término
x2 + bx + c, se remplaza por k términos de la forma:
C x D
x bx c
C x D
x bx c
C x D
x bx c
k k
k
1 1
2
2 2
2 2 2
++ + + +
+ + + ⋅⋅ ⋅ + ++ +( ) ( )
(6)
siendo C1, D
1,...,C
k, D
k, constantes.
Por ejemplo, x x
x
3 2
2 2
3 2
4
− −+( )
se puede escribir como:
x x
x
Ax B
x
Cx D
x
3 2
2 2 2 2 2
3 2
4 4 4
− −+ = +
+ + ++( ) ( )
Unidad 7260
Multiplicando por el denominador del primer miembro, identificando coeficientes
y resolviendo el sistema resultante, se encuentra que A = 1, B = –3, C = –4 y D = 10,
entonces:
x x
x
x
x
x
x
3 2
2 2 2 2 2
3 2
4
3
4
4 10
4
− −+ = −
+ + − ++( ) ( )
Ejemplo 13
Calcula la integral 3 2
23 2
x
x x xdx
−− −∫
Solución
Al factorizar el denominador se tiene:
x x x x x x x x x3 2 22 2 2 1− − = − − = − +( ) ( )( )
descomponiendo la fracción original en tres fracciones, cuyos numeradores son A, B
y C obtenemos:
3 2
2
3 2
2 1 2 13 2
x
x x x
x
x x x
A
x
B
x
C
x
−− − = −
− + = + − + +( )( ) (1)
multiplicando la igualdad por el denominador x (x – 2)(x + 1), nos queda
3 2 2 1 1 2x A x x Bx x Cx x− = − + + + + −( )( ) ( ) ( )
ordenamos el segundo miembro con respecto a las potencias de x,
3 2 2 22x A B C x A B C x A− = + + + − + − −( ) ( )
identificando los coeficientes de las mismas potencias de x, resulta:
A + B + C = 0
–A + B –2C = 3
–2A = –2
un sistema de tres ecuaciones, que resuelto, se obtiene:
A B C= = = −12
3
5
3, ,
Sustituyendo estos valores en (1)
Cálculo diferencial e integral 261
3 2
2
1
2
3
2
5
3
1
1 2
3 2
5
3 13 2
x
x x x x x x x x x
−− − = + − − + = + − − +( ) ( )
e integrando:
3 2
2
2
3 2
5
3 13 2
x
x x xdx
dx
x
dx
x
dx
x
−− − = + − − +∫ ∫∫∫
= + − − + +−
− − = +∫ln( ) ln( ) ln( )
ln( )
x x x C
x
x x xdx x
2
32
5
31
3 2
2
23 2 33
25
31ln( ) ln( )x x C− − + +
Por lo tanto:
Ejemplo 14
Calcula la integral ( )4 1
23 2
x dx
x x x
−− +∫
Solución
Factorizando el denominador, resulta: x x x x x x x x3 2 2 22 2 1 1− + = − + = −( ) ( )
El cual se puede escribir como:
4 1
2 1 13 2 2
x
x x x
A
x
B
x
C
x
−− + = + − + −( )
(1)
Multiplicando por el denominador del primer miembro toda la igualdad se tiene:
4 1 1 12x A x Bx Cx x− = − + + −( ) ( )
Haciendo operaciones y ordenando, se tiene:
4 1 22x A C x A B C x A− = + + − + − +( ) ( )
Igualando los coeficientes se obtiene el sistema:
A + C = 0
–2A + B – C = 4
A = –1
cuya solución es: A = –1, B = 3, C = 1
Sustituyendo en (1) se obtiene: 4 1
2
1 3
1
1
13 2 2
x
x x x x x x
−− + = − + − + −( )
Unidad 7262
e integrando resulta:
( )
( )
( )
4 1
23
1 1
4 1
2
3 2 2
3 2
x dx
x x x
dx
x
dx
x
dx
x
x dx
x x x
−− + = − + − + −−
− +
∫ ∫∫∫∫ == − + −
− + − += − − − + − + = −
ln( ) ln( )
ln( ) ln( ) ln
xx
x C
xx
x Cx
x
3
11
3
11
1 − − +3
1xC
Por lo tanto ( )
ln4 1
2
1 3
13 2
x dx
x x x
x
x xC
−− + = −
− − +∫
Ejercicio 2
1. Calcula la integral sec5xdx∫2. Calcula la integral sen2 2x xdxcos∫3. Calcula la integral cos2 xdx∫
4. Calcula la integral 1 6
8 163 2
+− +∫ x
x x xdx
5. Calcula la integral 1 3
2 82
−+ −∫ x
x xdx
Cálculo diferencial e integral 263
Ejercicios resueltos
1. Calcula la integral sen3xdx∫Solución
Sea u = 3 x, entonces du = 3dx. Se observa que falta el factor 3 en el integrando,
por lo que se debe multiplicar y dividir por 3:
sen sen31
33
1
33xdx xdx x C∫ ∫= = − +cos
2. Calcula la integral cos xdx
x1+∫ sen
Solución
Sea u x du xdx= + =1 sen , entonces cos . Sustituyendo en la integral se tiene:
cosln
xdx
x
du
ux C
11+ = = +( )+∫ ∫sen
sen
3. Calcula la integral xe dxx∫Solución
Sea u x dv e dxx= =
du dx v ex= =
entonces:
xe dx xe e dx xe e Cx x x x x= − = − +∫∫4. Calcula la integral ln xdx∫Solución
Sea u x dux
dx= =ln y 1
dv dx v x= = y
entonces:
ln ln lnxdx x x xx
dx x x x C= − = − +∫∫ 1
Unidad 7264
5. Calcula la integral x xdx3 2cos∫Solución
Sea
u x dv xdx
du x dx v x
= == =
3
2
2
31
22
sen
cos
x xdx x x x x dx3 3 221
22
1
22 3cos ( )∫ ∫= −
sen sen
= 1
2sen2
3
2sen
sen
3 2x x x xdx
x xdx
−=
∫∫
2
2 2
(1)
Sea
u x dv xdx
du xdx v x
x
= == = −
2
2
2
21
22
sen
sen
cos
221
22
1
22 2
1
2
2xdx x x x xdx
x
= − += −
∫∫ cos cos ( )
22 2 2
2
cos cos
cos
x x xdx
x xdx
+ ∫∫
(2)
Sea
u x dv xdx
du dx v x
x xdx
= == =
=∫
sen
cos
cos
2
1
22
211
22
1
22
1
22
1
42
x x xdx
x x x
sen sen
sen
−= +
∫cos
Sustituyendo en (2) se tiene
= − + + sen1
22
1
22
1
422x x x x xcos cos
Cálculo diferencial e integral 265
Sustituyendo en (1)
= 1
2sen2
3
2
1
2sen3x x x x x x x− − + +
2 21
22
1
42cos cos
por lo tanto, finalmente se tiene
x xdxx
x x x x x x C33
222
23
42
3
42
3
82cos cos cos∫ = + − − +sen sen
6. Calcula la integral sen2 2x xdxcos∫Solución
sen2 2 21 2
2
1 2
2
1
41 2x xdx
x xdx xcos
cos cos( cos )∫ ∫= −
+
= − ddx
xdx dx xdx
xx C
== − +
= − = − +
∫∫∫∫1
41
4 1
2
1
8
1
84
8
1
324
coscos sen
7. Calcula la integral tan sec3 4x xdx∫Solución
tan sec tan sec sec tan ( tan )sec
t
3 4 3 2 2 3 2 21x xdx x x xdx x x xdx∫ ∫∫= = + == aan sec tan sec tan tan3 2 5 2 4 61
4
1
6x xdx x xdx x x C+ = + +∫∫
8. Calcula la integral tan3 xdx∫Solución
tan tan tan tan (sec )
tan sec tan
3 2 2
2
1
1
xdx x xdx x dx
x xdx xdx
∫ ∫∫= = −= − =
22
2tan ln cosx x C+ +∫∫
9. Calcula la integral ( )
( )( )( )
2 7
1 2 3
x dx
x x x
+− + −∫
Solución
Dado que todos los factores del denominador son diferentes, suponiendo que
2 7
1 2 3 1 2 3
x
x x x
A
x
B
x
C
x
+− + − = − + + + −( )( )( )
Unidad 7266
Entonces 2 7 2 3 1 3 1 2x A x x B x x C x x+ = + − + − − + − +( )( ) ( )( ) ( )( )
Como la identidad se debe verificar para todos los valores de x, entonces se tiene:
x A A
x
= + = − = −= −
1 2 7 3 23
2
2
, ( )( ),
,
entonces, por lo tanto,
entonces por lo tanto,
ento
, ( )( ),
,
− + = − − ==
4 7 3 51
5
3
B B
x nnces, 6 por lo tanto, + = =7 2 513
10C C( )( ),
e integrando:
( )
( )( )( )
2 7
1 2 3
32
1
15
2
x dx
x x x x x
+− + − = −
− + +∫ ++ −
= − − + + + − = − − +∫ 13
10
3
3
2 1
1
5 2
13
10 3
3
21
1
xdx
dx
x
dx
x
dx
xxln
552
13
103ln lnx x C+ + − +∫∫∫
10. Calcula la integral ( )
( )( )
x x dx
x x x
2
3 2
2 3
1 3
+ +− +∫
Solución
Por el correspondiente a (x + 3)2 se introducen factores con (x + 3)2 y todas las
potencias menores. Algo análogo para x3.
Entonces x x
x x x
A
x
B
x
C
x
D
x
E
x
F
x
2
3 2 3 2 2
2 3
1 3 1 3 3
+ +− + = + + + − + + + +( )( ) ( )
Multiplicando la igualdad por el denominador del primer miembro, se tiene:
x x A x x Bx x x Cx x x Dx x2 2 2 2 2 32 3 1 3 1 3 1 3 3+ + = − + + − + + − + + +( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )22
3 3
3 2 4 3 2
1 3 1
5 3 9 5 3 9
++ − + + −= + + − + + + −
Ex x x Fx x
A x x x B x x x x
( )( ) ( )
( ) ( ) +++ + + − + + + + + − + −C x x x x D x x x E x x x F x x( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 2 5 4 3 5 4 3 4 35 3 9 6 9 2 3
Cálculo diferencial e integral 267
( )
( )( )
x x dx
x x x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
2
3 2 3 2
2 3
1 3
1
3
1
3
11
27
11
24 1
+ +− + = − − − + −∫ −− + + + =
= + − + −∫∫∫∫∫∫ 11
216 3
19
18 3
1
6
1
3
19
18 3
11
27
2
2
dx
x
dx
x
x x x
( )
( )ln xx x x C+ − − + +11
241
11
2163ln ln
Por lo tanto, formando el sistema de ecuaciones se tiene:
1.
2.
3.
4.
C D E
B C D E F
A B C D E F
A B
+ + =+ + + + =
+ + + − − =+ −
0
5 5 6 2 0
5 3 9 3 0
5 3 9CC
A B
A
=− =
− =1
3 9 2
9 3
5.
6.
De 6, A = − 13
, remplazando este valor en 5 se obtiene B = − 13
. Remplazando
estos dos valores en 4 se obtiene C = −1127
y 1, 2 y 3 se convierten en
D E D E F D E F+ = + + = − − =11
276 2
100
279 3
29
9; ; , entonces
15187
2716
198
27D E D− = =; y, finalmente,
D E F= = − =11
24
11
216
19
18; ;
e integrando resulta:
Ejercicios propuestos
1. Calcula la integral cos(ln )x dx∫2. Calcula la integral x e dxx3 2∫3. Calcula la integral sec3 xdx∫
Unidad 7268
4. Calcula la integral 5 3
7 103 2
+− +∫ x
x x xdx
5. Calcula la integral ( )4 2
23 2
x dx
x x x
−− −∫
Autoevaluación
1. Calcula la integral cos2 xdx∫a) sen
b) sen
c) sen
d)
1
2
1
2
1
2
( cos )
( cos )
( cos )
x x x C
x x x C
x x C
+ +− + +
+ sen1
2( )x x C+ +
2. Calcula la integral sen4xdx∫a)
b)
c)
d)
4 4
4
1
44
1
44
cos
cos
cos
cos
x C
x C
x C
x C
+− +
+− +
3. Calcula la integral sen6
5
xdx∫
a)
b)
c)
d)
− ++
− ++
5
6
6
5
5
6
6
5
5
3
6
5
7
6
6
5
cos
cos
cos
cos
xC
xC
xC
xC
Cálculo diferencial e integral 269
4. Calcula la integral tan sec2 2x xdx∫a)
b)
c)
d)
− ++++
1
3
1
3
33
1
3 3
3
3
3
3
tan
tan
tan
tan
x C
x C
xC
xC
5. Calcula la integral x xdxln∫a)
b)
c)
d)
− − +− + +
− +−
xx
xC
xx x
C
xx
xC
xx x
2 2
22
2 2
2
2 4
2 4
2 4
3
ln
ln
ln
ln22
5+C
6. Calcula la integral xx
dxcos2∫
a) sen
b) sen
c) sen
− + +− ++ +
22
42
22
42
32
52
xx x
C
xx x
C
xx x
C
cos
cos
cos
dd) sen22
42
xx x
C+ +cos
Unidad 7270
7. Calcula la integral tan2
3
xdx∫
a)
b)
c)
−
+
+
3
2
2
3
3
2
2
3
3
4
2
3
ln cos
ln cos
ln cos
xC
xC
x +
−
+C
xCd)
5
2
2
3ln cos
8. Calcula la integral 2 1
3 23 2
x
x x xdx
−+ +∫
a)
b)
12
3 1 52
2
12
3 1 52
ln( ) ln( ) ln( )
ln( ) ln( ) ln(
x x x C
x x x
+ + − + ++ + + + 22
12
3 1 52
2
12
3 1 5
)
ln( ) ln( ) ln( )
ln( ) ln( )
+− + + − + +
− + +
C
x x x C
x x
c)
d) 22
2ln( )x C+ +
9. Calcula la integral 1 2
4 43 2
++ +∫ x
x x xdx
a)
b)
c)
14 2
3
2 2
16 2
3
3 2
1
ln( )
ln( )
x
x xC
x
x xC
+
+ + +
+
− + +
55 2
5
2 2
14 2
3
2 2
ln( )
ln( )
x
x xC
x
x xC
+
+ + +
+
− + +d)
Cálculo diferencial e integral 271
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1)
2)
3) sen
4)
− − ++ ++ +
− +
3
2
38
33
3
ba bx C
x C
x x x C
xx
ln( )
ln( )
cos
cos ssen
5) sen
xC
x x x x x C
3
2 22
+− + + +cos cos
Ejercicio 2
1)
2) sen
3) sen
4)
1
55 5
8
1
324
2
2
4
116
ln sec tanx x C
xx C
x xC
+( )+− ++ +
lln( ) ln( )( )
ln( ) ln( )
x xx
C
x x C
− − − − +− + − − +
116
425
4 4
136
4 56
25)
Respuestas a los ejercicios propuestos
1) sen
2)
3)
xx x C
x e eC
x x
x x
2
2 2
1
2
2 2 2
[cos(ln ) (ln )]
(sec tan l
+ +− +
+ nn sec tan )
ln( ) ln( ) ln( )
ln(
x x C
x x x C
x x
+ ++ − − − +
−4)
5)
12
43
5 116
2
22
xxC+ +
1 2)
Unidad 7272
Respuestas a la autoevaluación
1. a)
2. d)
3. a)
4. b)
5. c)
6. d)
7. a)
8. c)
9. d)