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MATEMATICA III
Lic. Ysela Alva Ventura
Ecuaciones Diferenciales Lineales
A la ecuación diferencial de la forma:
𝒅𝒚
𝒅𝒙+ 𝑷(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙)
se le denomina ecuación diferencial lineal.
Su solución está dada por:
𝒚 = 𝒆− ∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙[∫ 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 𝑸(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪]
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑥+
3
𝑥 𝑦 = −
1
𝑥2
Solución:
La ecuación diferencial es lineal donde
𝑃(𝑥) =3
𝑥 , 𝑄(𝑥) = −
1
𝑥2
de modo que remplazando en la solución se obtiene
𝑦 = 𝑒− ∫3
𝑥𝑑𝑥 [∫ 𝑒∫
3
𝑥𝑑𝑥 (−
1
𝑥2) 𝑑𝑥 + 𝐶]
𝑦 = 𝑒−3 ∫1
𝑥𝑑𝑥 [∫ 𝑒3 ∫
1
𝑥𝑑𝑥 (−
1
𝑥2) 𝑑𝑥 + 𝐶]
integrando
MATEMATICA III
Lic. Ysela Alva Ventura
𝑦 = 𝑒−3 ln 𝑥 [∫ 𝑒3 ln 𝑥 (−1
𝑥2) 𝑑𝑥 + 𝐶]
𝑦 = (𝑒ln 𝑥)−3
[∫(𝑒ln 𝑥)3
(−1
𝑥2) 𝑑𝑥 + 𝐶]
Recordemos y apliquemos una propiedad del logaritmo natural y el
exponencial
𝒆𝐥𝐧 𝒙 = 𝒙
𝑦 = (𝑥)−3 [∫(𝑥)3 (−1
𝑥2) 𝑑𝑥 + 𝐶]
Simplificando
𝑦 = (𝑥)−3 [∫ −𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶]
integrando
𝑦 = (𝑥)−3 [−𝑥2
2+ 𝐶]
𝑦 =−(𝑥)−1
2+ (𝑥)−3𝐶
Finalmente
𝑦 =−1
2𝑥+
𝐶
𝑥3
MATEMATICA III
Lic. Ysela Alva Ventura
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑥+
2
𝑥 𝑦 =
cos 𝑥
𝑥
Solución:
La ecuación diferencial es lineal donde
𝑃(𝑥) =2
𝑥 , 𝑄(𝑥) =
cos 𝑥
𝑥
de modo que remplazando en la solución se obtiene
𝑦 = 𝑒− ∫2
𝑥𝑑𝑥 [∫ 𝑒∫
2
𝑥𝑑𝑥 cos 𝑥
𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶]
𝑦 = 𝑒−2 ∫1
𝑥𝑑𝑥 [∫ 𝑒2 ∫
1
𝑥𝑑𝑥 cos 𝑥
𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶]
integrando
𝑦 = 𝑒−2 ln 𝑥 [∫ 𝑒2 ln 𝑥cos 𝑥
𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶]
𝑦 = (𝑒ln 𝑥)−2
[∫(𝑒ln 𝑥)2 cos 𝑥
𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶]
Recordemos y apliquemos una propiedad del logaritmo natural y el
exponencial
𝒆𝐥𝐧 𝒙 = 𝒙
𝑦 = (𝑥)−2 [∫(𝑥)2cos 𝑥
𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶]
MATEMATICA III
Lic. Ysela Alva Ventura
𝑦 = (𝑥)−2 [∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶]
Debemos resolver la integral ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 la cual es una integral por
partes donde
𝑢 = 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
de modo que
∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥
Remplazando en la solución de la ecuación
𝑦 = (𝑥)−2 [∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶] = 𝑥−2[𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶]
Finalmente se obtiene
𝑦 = 𝑥−1𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥−2 cos 𝑥 + 𝑥−2𝐶
AUTOEVALUACIÓN:
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
1. 𝑑𝑦
𝑑𝑥+
2
𝑥 𝑦 =
1
𝑥2
2. 𝑦′ − 2𝑥𝑦 = 𝑥
3. 𝑑𝑧
𝑑𝑥= 𝑒2𝑥 + 3𝑧
4. 𝜃′ − 2𝜃 = 𝑒𝑡 , 𝜃(0) = 1
5. 𝑦′ +𝑦
𝑥+1= 𝑥
6. 𝑑𝑥
𝑑𝑡+
𝑥
𝑡= sen 𝜋𝑡 , 𝑥 (
1
2) = 1