ues ixtapaluca

7/26/2019 Ues Ixtapaluca

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UES IXTAPALUCA

UNIVERSIDAD MEXIQUENSE DEL BICENTENARIO

INVESTIGACION DE OPERACIONES I

OSCAR SOLS BELTRN OSCAR

ALUMNO:

ADRIANA RIVERA BASILIO

REPORTE DE INVESTIGACION

CARPETA DE EVIDENCIAS

24LF161


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INDICE

INTRODUCCIN................................................................................................... 3

UNIDAD III PROGRAMACIN LINEAL.................................................................... 4

!1 METODO DE SOLUCIN.................................................................................. 4

FORMAS EQUIVALENTES DEL MODELO DE PROGRAMACIN LINEAL!..............4

EQUIVALENCIA ALGEBRAICA PARA EL MODELO DE PROGRAMACIN LINEAL..5

!1!1 M"TODO GRFICO PARA RESOLVER MODELOS DE PROGRAMACIN LINEALCON SOLO DOS VARIABLES!................................................................................8

GRFICO DE UNA ECUACIN EN TRES DIMENSIONES!...................................10

PASOS PARA GRAFICAR.................................................................................10

E#EMPLO....................................................................................................... 12

$OLGURAS % EXCEDENCIAS.......................................................................... 17

CARACTERSTICAS DE LA $OLGURA..........................................................18

!1!2 TEORIA DEL METODO SIMPLEX..................................................................19

FASES............................................................................................................ 19

!1! FORMA TABULAR DEL METODO SIMPLEX..................................................22

M"TODO SIMPLEX DE 2 FASES.......................................................................29

!2 APLICACIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL...........................................32

CUESTIONARIO..................................................................................................33

BIBLIOGRAFA................................................................................................... 34


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INTRODUCCIN

Mucha gente sita el desarrollo de la programacin lineal entre los avancescientficos ms importantes de la mitad del siglo XX, y debemos estar de acuerdo

con esta afirmacin si tenemos en cuenta que su impacto desde 19! ha sido

e"traordinario# $e han escrito decenas de libros de te"to sobre la materia y los

artculos publicados que describen aplicaciones importantes se cuentan ahora por

cientos# %e hecho, una proporcin importante de todo el clculo cientfico que se

lleva a cabo en computadoras se dedica al uso de la programacin lineal y a

t&cnicas ntimamente relacionadas# '(sta proporcin se estim en un )*, en un

estudio de la +M-#

.n modelo de programacin lineal proporciona un m&todo eficiente para

determinar una decisin ptima, 'o una estrategia ptima o un plan ptimo-

escogida de un gran nmero de decisiones posibles#

(n todos los problemas de /rogramacin 0ineal, el obetivo es la ma"imacin o

minimi2acin de alguna cantidad#


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UNIDAD III PROGRAMACIN LINEAL

!1 METODO DE SOLUCIN

("isten m&todos de solucin del modelo de programacin lineal, tanto grfico

como analtico# /ara la gran mayora de los problemas es indispensable aplicar la

metodologa analtica, con los algoritmos muy eficientes que desarrollaron los

cientficos ya citados en los antecedentes de /0# /ero en beneficio de la claridad,

conviene iniciar la e"posicin de cmo resolver el problema ya formulado con

programacin lineal, con el m&todo grfico, que por su sencille2, es posible que el

alumno se motive ms para el estudio# /ara ello primero se debe revisar la forma

en que puede presentarse un modelo o planteamiento del problema que se

estudia#

FORMAS EQUIVALENTES DEL MODELO DE PROGRAMACIN LINEAL!

3dems de la necesaria generali2acin del modelo de programacin lineal, estat&cnica requiere el uso de dos formas especiales equivalentes4 las que se

denominan forma cannica, la cual es muy til en teora de dualidad cuando se

trata de hacer una interpretacin econmica para el problema en estudio4 la otra


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forma se denomina estndar, la cual es indispensable si se desea resolver el

problema# 3 continuacin se dan caractersticas de ambas5

6ormas equivalentes del modelo de programacin lineal

EQUIVALENCIA ALGEBRAICA PARA EL MODELO DE PROGRAMACIN

LINEAL

1- 0a funcin obetivo cambia al multiplicar5

a#

)- .na restriccin cambia al multiplicar por5

a#

7- .na &'()&*++*,- '- *./00 '3/*0' 0 5( &'()&*++*5-'( '-

'(*./00con los mismos t&rminos4 la primera de tipo 8 y la segunda

de :, si el obetivo es m"imo4 con mnimo, se invierte el orden#

;- .na restriccin '8- se hace '-, (/0-5la holgura $*789en el lado

i2quierdo#


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- .na restriccin ':- se hace '-, &'()0-5una supervit S* 789en el lado

i2quierdo#

')*5 ?-*5 @FOREQUI1!

@btener las formas cannica y estndar para el siguiente modelo de /0 que

incluye condiciones muy especiales para las variables como es X 1libre, lo que

significa que puede tomar valores positivos, negativos y cero, obligando los

acuerdos para su tratamiento algebraico que permita el uso de /0# 0a variable

X7se eemplifica de manera especial, como no positiva4 todo lo anterior para meor

ilustracin del tema5


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F5&0 C0-,-*+0 < E()=-0& +5- 5>')*5 =*5 @FOREQUI2!

$e presenta para ayuda del estudiante que requiera ilustracin adicional en la

conversin del modelo de /0 a las formas cannica y estndar5


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!1!1 M"TODO GRFICO PARA RESOLVER MODELOS DEPROGRAMACIN LINEAL CON SOLO DOS VARIABLES!

(n esta seccin interesa hacer anlogos geom&tricos, esto es, grficas de

funciones lineales que contiene el modelo matemtico de programacin lineal

obtenido en la formulacin del problema que se anali2a# %icho modelo puede

contener e"presiones tanto en forma de ecuaciones ' - como en desigualdades '

8 : -, cada una de ellas corresponde a un grfico en la analoga geom&trica#


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/rimero considere la infinidad de puntos que constituyen en conunto el plano y los

cuatro cuadrantes convencionalmente aceptados, para dividirlo en 2onas

caracteri2adas por la combinacin de signo que se puede dar, a los valores

medidos con nmeros reales# /ara lograr los cuadrantes en el plano se utili2an los

ees cartesianos con escala de medicin de valores de las variables del problema4

por eemplo, se puede asignar el ee hori2ontal de abscisas para la medicin de

valores de la variable X14 tambi&n se puede asignar el ee vertical de ordenadas,

para la medicin de valores de la variable X)# 0a locali2acin de cualquier punto

en este espacio plano requiere de una distancia hori2ontal 'X1- y de una distancia

vertical 'X)- denotado como par ordenado o vector 'X1, X)-# .n punto sobre el ee

X1 corresponde a X)! y un punto sobre el ee X)

corresponde a X1!, que son las ecuaciones respectivas

de los ees hori2ontal y vertical# %ichos ees se cru2an en

el punto 'X1, X)- '!, !-, el cual se conoce como origen#

$i la ecuacin tiene slo dos variables, el grfico de la

misma sobre el plano es una lnea recta, es decir, se requiere un espacio de dos

dimensiones, la hori2ontal y la vertical, para graficar tal ecuacin4 pero la

representacin geom&trica de una ecuacin en tres variables, requiere un espacio

de tres dimensiones# (n tal caso, a los ees X1 y X), se les agrega un tercer ee

X7 como tercera dimensin, que pasa

por el origen hacia el observador# 0os grficos de la 6igura 1?17 y 6igura 1?1;

muestran lo anterior para una ecuacin cualquiera5


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GRAFICO DE UNA ECUACIN DIMENCIONAL

GRFICO DE UNA ECUACIN EN TRES DIMENSIONES!

(l m&todo grfico proporciona la oportunidad de visuali2ar algunos de los

conceptos importantes de la programacin lineal# /ero tiene una gran limitacin

referente, a que slo es posible aplicarlo en problemas muy pequeAos4 para este

curso se limita el m&todo grfico aplicado a problemas con slo dos variables# (l

m&todo grfico para resolver problemas que se han modelado con programacin

lineal consiste en asignar un ee cartesiano para cada una de las dos variables

involucradas4 de esta manera se asigna, por eemplo, el ee hori2ontal como

escala para los distintos valores que pueda tener la variable X 14 tambi&n se puede

asignar el ee vertical con su respectiva escala para ubicar los distintos valores

que puede tomar la variable X)# .n sistema con dos ees cartesianos, hori2ontal y

vertical, permite representar en un espacio plano las lneas rectas que

geom&tricamente hablando representan cada e"presin matemtica lineal con

slo dos variables# 0as restricciones y condiciones de signo del problema,

representan al sistema que debe graficarse en un plano y despu&s se valora en el

mismo la funcin econmica B, con la cual se busca un punto del sistema quema"imice o bien minimice su valor#

/ara meor comprensin del m&todo grfico de solucin de problemas modelados

con programacin lineal, se presenta el siguiente eemplo que se detalla lo

suficiente para el voluntarioso estudiante de esta t&cnica poderosa en su


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aplicacin# /osteriormente se presentan otros eemplos con el propsito de

profundi2ar en la enseAan2a e intentar mayor avance en el aprendi2ae#

PASOS PARA GRAFICAR

/aso 1# Craficar las restricciones# 0as condiciones de no negatividad nos indican

que ambas variables deben ser mayores o iguales a cero, por lo que el espacio de

los puntos que cumplan con las condiciones necesariamente debe estar en el

primer

cuadrante# 0a primera restriccin, ") D 1!, indica que hay que producir al menos

1! mesas de tipo nrdico pues ya hay un pedido de 1! mesas 'grfica )#1-# (sta

restriccin acota la regin factible5 todos los puntos pertenecientes al rea

sombreada cumplen con la primera restriccin5 ambas variables son positivas y ")

D 1!# 0a segunda restriccin es no e"ceder las ;! horas disponibles para la

fabricacin de ambos tipos de mesas# 3l agregar esta segunda restriccin se

reduce la regin factible5 slo los puntos que aparecen sombreados en la grfica

)#) representan las posibles soluciones4 esto es, las combinaciones del nmero de

mesas de tipo colonial y nrdico que se pueden fabricar con las ;! horas y que

por lo menos haya 1! de estilo nrdico#


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(n general, cada restriccin acota el rea de las posibles soluciones4 aun as, el

n?mero de soluciones posibles es muy grande4 si se consideran variables reales,

hay infinitas soluciones#

/aso )# (valuacin de las posibles soluciones# /ara esto debe evaluarse la

funcin de utilidad para cada una de las posibles soluciones# (n el cuadro )#) se

muestran los resultados para algunas de estas posibles soluciones# $e puede

observar que

cuanto mayor sea el nmero de mesas, aumenta la utilidad# Eambi&n vemos que

en cuanto aumenta el nmero de mesas tipo colonial, disminuye el nmero

m"imo de mesas tipo nrdico que se pueden fabricar# /ara garanti2ar que el

resultado sea el ptimo, sera necesario calcular la funcin de utilidad para cada

uno de los puntos solucin, que en este sencillo caso llegan a algunos cientos de

puntos#

/aso 7# (valuacin de los v&rtices# 3fortunadamente no es necesario evaluar

todas las soluciones ya que para todo problema de pl, y dado que el rea factible


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siempre es una figura conve"a, se puede comprobar que la fo toma su valor

m"imo o mnimo en un v&rtice, o un lado del rea que representa el conunto desoluciones# 0a regin factible tiene cuatro v&rtices5

E#EMPLOP&5>'0 ' +5>*-0& &5/++*,- 0&0 =*0 /)**0 @QUIMCAR!

QUIMCAR

(s una empresa que elabora varios productos qumicos# (n un proceso de

produccin en particular se utili2an tres recursos como materia prima de dos

productos5 una cera automotri2 y una pasta pulidora, que se usan en la pintura de

la carrocera a vehculos automotores y se distribuye para su venta al menudeo a

varias empresas distribuidoras# /ara producir la cera y la pasta se utili2an tres

recursos, segn se muestra en la siguiente tabla, en la cual se observa que una

tonelada de cera es una me2cla de )F de tonelada del recurso 1 y 7F de tonelada

del 7# /or otro lado, una tonelada de pasta es la me2cla de 1F), 1F y 7F1! de

tonelada de los recursos 1,) y 7, respectivamente#

0a produccin de la cera automotri2 y la pasta pulidora est restringida a la

disponibilidad de los tres recursos# /ara el periodo de produccin anual, se tienen

disponibles las cantidades siguientes de cada una de las materias primas#


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F*./&0 11! R'+/&(5( *(5-*>'( 0&0 0 &5/++*,- '- ''5 QUIMCAR!

F*./&0 116! M0)'&*0 &'3/'&*5 0&0 +'&0 < 0()0 /*5&0 '- ''5

QUIMCAR!

(l departamento de contabilidad ha anali2ado las cifras de produccin, asignando

los costos correspondientes para ambos productos, lleg a precios que resultan en

una contribucin a la utilidad de ;!! dlares por cada tonelada de cera automotri2

y de 7!! dlares por cada tonelada de pasta pulidora, producidas# 0a

administracin, despu&s de anali2ar la demanda potencial, ha concluido que los

precios establecidos aseguran la venta de toda la cera y pasta que se produ2ca#

(l problema es determinar5 1G#?.n conunto de e"presiones matemticas

o 5'5, representando el obetivo y restricciones del problema descrito#

)G#? R'(5'& '- 5&0 .&=*+0y determinar cuntas toneladas de cera y pasta

debe producir la empresa para ma"imi2ar la contribucin total a la utilidad#

D'*-*+*,- ' 0( 0&*0>'( < /-+*,- 5>')*5

Homo ya se apunt anteriormente, los problemas de programacin lineal tienen un

obetivo ya sea de m"imo o bien de mnimo# (n este problema, el obetivo es

de 0**0&la +5-)&*>/+*,- a la utilidad y se plantea en forma matemtica

introduciendo alguna forma simple de notacin, como sigue5


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10! P0&)'!D'*-*+*,- ' 0&*0>'(!

(s importante precisar la unidad de medida5

20! 0&)'! F/-+*,- 5>')*5!

0a contribucin a la utilidad se origina de5 '1- la que proviene de la

produccin de X1toneladas de cera automotri2, y ')- la que proviene de la

produccin de X) toneladas de pasta pulidora# %ado que se gana ;!!

dlares por cada tonelada de cera producida, la empresa gana H499 X1si

se producen X1toneladas de cera# Eambi&n, en vista de que se gana 7!!

dlares por cada tonelada de pasta producida, la empresa gana H99 X2si

se producen X)toneladas de pasta# +dentificando con B la contribucin total

a la utilidad y eliminando el signo de dlares se tiene5

(l problema es encontrar la combinacin de produccin que ma"imice la

contribucin total a la utilidad# (sto es, se deben determinar los valores

para X1y X)que den el valor ms elevado posible de B# (n terminologa de

programacin lineal, se nombran a X1y a X)como las 0&*0>'( '

'+*(*,-# %ado que el obetivo de ma"imi2ar la utilidad es una funcin de

&stas, entonces se dice que B 499 X1 99 X2es la funcin obetivo, que

tambi&n se puede escribir 0>&'*0-5 5( +5'*+*'-)'(a unidades

que (*.-**+0- +*'-)5( ' ,0&'( 5& )5-'00producida, como sigue5


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Hualquier combinacin de produccin de cera y pasta se conoce como una

solucin al problema# $in embargo, nicamente aquellas (5/+*5-'( 3/'

(0)*(0.0- )50( 0( &'()&*++*5-'( se conocen como(5/+*5-'( 0+)*>'( 5

5(*>'# 0a combinacin especfica de produccin factible, que resulte en la

contribucin mayor a la utilidad, se conoce como la combinacin de produccin

ptima, o simplemente,0 (5/+*,- ,)*0# /ero primero se requiere conocer

todas las restricciones del problema y posteriormente se muestra un m&todo para

definir grficamente, en el plano de dibuo, el espacio en que se ubican el conunto

de puntos de solucin factible#

0! P0&)'! R'()&*++*5-'( ' 0)'&*0 &*0!

0a cantidad de materia prima disponible, condiciona o sueta el valor de la

funcin obetivo para cumplirse con los tres &'+/&(5( **)05(, calculando

las posibles soluciones en las cantidades de cera y pasta que se pueden

producir# $egn la informacin de produccin, se sabe que cada tonelada

de cera automotri2 utili2a )F toneladas del recurso 1, por lo que el total de

toneladas del mismo utili2ado en la produccin de X1toneladas de cera es

)FX14 adems, cada tonelada de pasta usa 1F) tonelada del recurso 1,como resultado, X)toneladas de pasta usan 1F) X)toneladas de recurso 1,

entonces el consumo total de toneladas de recurso 1 para producir X 1de

cera y X)de pasta est dado por

%ebido a que se tiene un m"imo de )! toneladas de materia prima 1 disponible,

la combinacin de produccin a decidir debe satisfacer la restriccin


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0a relacin anterior es una desigualdad que anota las contribuciones al

consumo de recurso 1, utili2adas en la produccin de X1toneladas de ceray de X)toneladas de pasta, que debe ser menos que o igual a )! toneladas

disponibles#

0a tabla indica que el recurso ) no es requerido por la cera, pero si por la

pasta pues cada tonelada producida de &sta requiere 1F tonelada de las

disponibles, se e"presa as5

$i desea, ahora verifique por s mismo que la restriccin para la materia

prima 7 es

Iasta aqu se han definido, las restricciones de materia prima4 slo falta

establecer que las toneladas de cera y pasta no puede ser un nmero

negativo#

40 0&)'! C5-*+*5-'( ' 05& -5 -'.0)*5 0&0 0( 0&*0>'(:


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(sto asegura valores no negativos de las variables de decisin como

solucin al problema presente, se conocen como restricciones de nonegatividad y son una caracterstica general de los problemas de

programacin lineal#

SOLUCIN GRFICA

.n problema de programacin lineal con slo dos variables de decisin se puede

resolver de manera grfica sobre el espacio plano# $e

inicia este procedimiento de solucin desarrollando

una grfica que despliegue las posibles soluciones

'valores X1y X)- para el problema J.+MH3K#

3parecen los valores de X1sobre un ee hori2ontal y

los valores de X)sobre uno vertical# %e esta manera

se divide el plano o papel de trabao, en cuatro

espacios limitados por los ees, formando as los

cuadrantes 1, ), 7 y ;# Hualquier punto de la grfica puede quedar identificado por

un par de valores X1y X), que representa la posicin del punto con respecto de losees X1y X)# Hada par 'X1, X)- corresponde a un punto solucin de esta manera se

tendra una infinidad de ellos en el plano considerado# /ero para la solucin

particular en la que X1 ! y X) !, se ubica un punto v&rtice identificado como

origen para ambos ees#

$OLGURAS % EXCEDENCIAS0a holgura es la cantidad de un recurso que sobra despu&s de haber reali2ado las

actividades que permiten optimi2ar el obetivo planteado# (n el problema, se

cuenta con horas, equivalentes a 7 7!! minutos para armar los equipos# 0a

ecuacin 1! E > 1) L 7 7!! indica la cantidad de minutos empleados

dependiendo de la cantidad de artculos armados# $i la solucin es '!, 1!!-, o sea,

producir solamente 1!! equipos ), se emplearn 1 )!! minutos de los 77!!, por


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lo que sobran ) 1!! minutos# (ste sobrante es la holgura correspondiente al

tiempo de armado# $i

consideramos el caso del rea de pruebas5 7! E > < L < !!!, se utili2arn

de los < !!! minutos disponibles, y queda un sobrante de ;!! minutos de tiempo

de armado# 0a primer restriccin indica que se deben producir al menos 1!!

artculos, y como efectivamente &stos se estn produciendo tal restriccin no tiene

holgura#

0a segunda restriccin, ? E > D !, debe satisfacerse para cumplir con la

condicin que pide que el nmero de artculos ) sea por lo menos igual a de

los artculos E1; que se produ2can# Homo de cero es cero y se estn

produciendo 1!!, se est cumpliendo con dicho requisito sobradamente, con 1!!

unidades ms de lo que pide la condicin4 esta es la holgura correspondiente a

dicha restriccin# /or ltimo, ? E > L 1! indica que el nmero de artculos ) no

debe de e"ceder al nmero de artculos E1; en ms de 1!4 en este caso, ?! >1!! L 1!4 la holgura entonces es de !, ya que faltaran ! unidades de ) para

llegar al lmite impuesto#

CARACTERSTICAS DE LA $OLGURA0a holgura est asociada a cada una de las restricciones

0a holgura se mide en las mismas unidades que la restriccin

correspondiente

Huando la restriccin es del tipo D, se suele llamar e"cedencia a la holgura#

0as holguras siempre deben ser positivas


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(l valor de las holguras depende del punto en que se calculen,

generalmente son los

v&rtices de la regin factible

$iempre interesan las holguras de cada restriccin para el punto solucin

Pasos para la construccin del modelo

%efinir las variables de decisin#

%efinir el obetivo o meta en t&rminos de las variables de decisin#

%efinir las restricciones#

Kestringir todas las variables para que sean no negativas#

!1!2 TEORIA DEL METODO SIMPLEX

(s un procedimiento iterativo que permite ir meorando la solucin a cada paso# (l

procesoconcluye cuando no es posible seguir meorando ms dicha solucin#

/artiendo del valor de lafuncin obetivo en un v&rtice cualquiera, el m&todo

consiste en buscar sucesivamente otrov&rtice que meore al anterior# 0a bsqueda

se hace siempre a trav&s de los lados del polgono'o de las aristas del poliedro, si

el nmero de variables es mayor-# Hmo el nmero de v&rtices'y de aristas- es

finito, siempre se podr encontrar la solucin#

(l m&todo del simple" se basa en la siguiente propiedad5 si la funcin obetivo, f,

no toma suvalor m"imo en el v&rtice 3, entonces hay una arista que parte de 3, a

lo largo de la cual f aumenta#(l m&todo del simple" fue creado en 19;= por el

matemtico Ceorge %ant2ig#


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(l m&todo del simple" se utili2a, sobre todo, para resolver problemas de

programacin lineal enlos que intervienen tres o ms variables#(l lgebra matricialy el proceso de eliminacin de Causs?Nordan para resolver un sistema

deecuaciones lineales constituyen la base del m&todo simple"#Hon miras a

conocer la metodologa que se aplica en el M&todo $+M/0(X, vamos a resolver

elsiguiente problema5

Ma"imi2ar B f'",y- 7" > )y sueto a5

)" > y 1O)" > 7y ;)

7" > y );"! , y !

FASES1# Honvertir las desigualdades en igualdades

$e introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para

convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales5

)" > y > h 1O )" > 7y > s ;) 7" >y > d );

)# +gualar la funcin obetivo a cero

? 7" ? )y > B !

7# (scribir la tabla inicial simple"

(n las columnas aparecern todas las variables del problema y, en las filas, los

coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restriccin y la ltima

fila con los coeficientes de la funcin obetivo5


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Eabla + # +teracin nG 1 ase Pariable de decisin Pariable de holgura Palores

solucin

" y h s d

h ) 1 1 ! ! 1O s ) 7 ! 1 ! ;) d 7 1 ! ! 1 ); B Q7 Q) ! ! ! !

;# (ncontrar la variable de decisin que entra en la base y la variable de holgura

que sale de la base

/ara escoger la variable de decisin que entra en la base, nos fiamos en la ltima

fila, la de los coeficientes de la funcin obetivo y escogemos la variable con el

coeficiente negativo mayor 'en valor absoluto-# (n nuestro caso, la variable " de

coeficiente ? 7# $i e"istiesen dos o ms coeficientes iguales que cumplan la

condicin anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos#

$i en la ltima fila no e"istiese ningn coeficiente negativo, significa que se ha

alcan2ado la solucin ptima# /or tanto, lo que va a determinar el final del proceso

de aplicacin del m&todo del simple", es que en la ltima fila no haya elementos

negativos# 0a columna de la variable que entra en la base se llama columna

pivote '(n color a2ulado-#

/ara encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cadat&rmino de la ltima columna 'valores solucin- por el t&rmino correspondiente de

la columna pivote, siempre que estos ltimos sean mayores que cero# (n nuestro

caso5

1OF) R9S , ;)F) R)1S y );F7 ROS


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$i hubiese algn elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente# (n

el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entoncestendramos una solucin no acotada y no se puede seguir#

(l t&rmino de la columna pivote que en la divisin anterior d& lugar al menor

cociente positivo, el 7, ya O es el menor, indica la fila de la variable de holgura que

sale de la base, d# (sta fila se llama fila pivote '(n color a2ulado-#

T

$i al calcular los cocientes, dos o ms son iguales, indica que cualquiera de las

variables correspondientes pueden salir de la base# (n la interseccin de la fila

pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 7# # (ncontrar

los coeficientes de la nueva tabla#

0os nuevos coeficientes de " se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la

fila d por el pivote operacional, 7, que es el que hay que convertir en 1#

3 continuacin mediante la reduccin gaussiana hacemos ceros los restantes

t&rminos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las

otras filas incluyendo los de la funcin obetivo B#

0as sucesivas tablas que hemos construido van proporcionando el valor de la

funcin obetivo en los distintos v&rtices, austndose, a la ve2, los coeficientes de

las variables iniciales y de holgura#

(n la primera iteracin 'Eabla +- han permanecido todos los coeficientes iguales, se

ha calculado el valor de la funcin obetivo en el v&rtice 3'!,!-, siendo este !# 3

continuacin se despla2a por la arista 3, calculando el valor de f , hasta llegar a


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# (ste paso aporta la Eabla ++# (n esta segunda iteracin se ha calculado el valor

que corresponde al v&rtice 'O,!-5 Bf'O,!- ); # $igue por la arista H, hastallegar a H, donde se para y despliega los datos de la Eabla +++# (n esta tercera

iteracin se ha calculado el valor que corresponde al v&rtice H'


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el nmero de variables es mayor-# Hmo el nmero de v&rtices 'y de aristas- es

finito, siempre se podr encontrar la solucin#

(l m&todo del simple" se basa en la siguiente propiedad5 si la funcin obetivo, f,

no toma su valor m"imo en el v&rtice 3, entonces hay una arista que parte de 3, a

lo largo de la cual f aumenta# Hon miras a conocer la metodologa que se aplica en

el M&todo $+M/0(X, vamos a resolver el siguiente problema5

Ma"imi2ar B f'",y- 7" > )y

sueto a5 )" > y 1O

)" > 7y ;)

7" > y );

" ! , y !$e consideran las siguientes fases5

1# Honvertir las desigualdades en igualdades

$e introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para

convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales5

)" > y > h 1O

)" > 7y > s ;)

7" >y > d );

)# +gualar la funcin obetivo a cero


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? 7" ? )y > B !

7# (scribir la tabla inicial simple"

(n las columnas aparecern todas las variables del problema y, en las filas, los

coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restriccin y la ltima

fila con los coeficientes de la funcin obetivo5 Eabla + # +teracin nG 1 # ase

Pariable de decisin Pariable de holgura Palores solucin

" y h s d

h ) 1 1 ! ! 1O

s ) 7 ! 1 ! ;)

d 7 1 ! ! 1 );

B Q7 Q) ! ! ! !

;# (ncontrar la variable de decisin que entra en la base y la variable de holguraque sale de la base

3# /ara escoger la variable de decisin que entra en la base, nos fiamos en la

ltima fila, la de los coeficientes de la funcin obetivo y escogemos la variable con

el coeficiente negativo mayor 'en valor absoluto-# (n nuestro caso, la variable "

de coeficiente ? 7#

$i e"istiesen dos o ms coeficientes iguales que cumplan la condicin anterior,entonces se elige uno cualquiera de ellos# $i en la ltima fila no e"istiese ningn

coeficiente negativo, significa que se ha alcan2ado la solucin ptima# /or tanto, lo

que va a determinar el final del proceso de aplicacin del m&todo del simple", es


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que en la ltima fila no haya elementos negativos# 0a columna de la variable que

entra en la base se llama columna pivote '(n color a2ulado-# # /ara encontrar lavariable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada t&rmino de la

ltima columna 'valores solucin- por el t&rmino correspondiente de la columna

pivote, siempre que estos ltimos sean mayores que cero# (n nuestro caso5

1OF) R9S , ;)F) R)1S y );F7 ROS

$i hubiese algn elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente# (n

el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces

tendramos una solucin no acotada y no se puede seguir# (l t&rmino de lacolumna pivote que en la divisin anterior d& lugar al menor cociente positivo, el 7,

ya O es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, d#

(sta fila se llama fila pivote '(n color a2ulado-# $i al calcular los cocientes, dos o

ms son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden

salir de la base# H# (n la interseccin de la fila pivote y columna pivote tenemos el

elemento pivote operacional, 7#

# (ncontrar los coeficientes de la nueva tabla#

0os nuevos coeficientes de " se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la

fila d por el pivote operacional, 7, que es el que hay que convertir en 1#

3 continuacin mediante la reduccin gaussiana hacemos ceros los restantes

t&rminos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las

otras filas incluyendo los de la funcin obetivo B#

Eambi&n se puede hacer utili2ando el siguiente esquema5

6ila del pivote5

Uueva fila del pivote 'Piea fila del pivote- 5 '/ivote-


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Kesto de las filas5

Uueva fila 'Piea fila- ? 'Hoeficiente de la viea fila en la columna de la variable

entrante- X 'Uueva fila del pivote-

Pemoslo con un eemplo una ve2 calculada la fila del pivote 'fila de " en la Eabla

++-5

Piea fila de s ) 7 ! 1 ! ;)

? ? ? ? ? ?

Hoeficiente ) ) ) ) ) )

" " " " " "

Uueva fila pivote 1 1F7 ! ! 1F7 O

Uueva fila de s ! =F7 ! 1 Q)F7 )

ues ixtapaluca

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