ud 4 transformaciones geometricas

Unidad Didáctica 4

Transformaciones geométricas, proyectividad y potencia

2

Transformaciones geométricas.

Transformaciones isométricas: giro, traslación, simetría axial y central.

Trasformaciones isomórficas: homotecia y semejanza.

Trasformaciones anamórficas: homología, afinidad e inversión.

Potencia, eje radical y centro radical.

Circunferencias coaxiales, polo y polar.

3


Transformaciones isométricas. Traslación.

La traslación es una transformación en el plano, tal que a un punto A le corresponde uno A´, que está desplazado en una dirección y una magnitud dada. (Fig. 1). La traslación queda determinada por un punto A y su homólogo A´o por el vector correspondiente d.

A

B

C

A´

B´

C´

d

(Fig. 1)

En toda traslación se cunplen unas propiedades:

· La figura transformada de una recta es otra recta paralela a la original.

· La figura transformada de un ángulo es otro ángulo igual a igual.

· Cualquier figura poligonal se transforma en otra igual

· La figura transformada de un círculo es otro círculo igual cuyo centro es el transformado de la traslación, en su dirección y su magnitud concreta.

Giro o rotación.

El giro es una transformación en el plano, tal que a un punto A le corresponde uno A´, que está girado en un sentido y una magnitud angular concreta. (Fig. 2).

(Fig. 2).

En todo giro se cunplen unas propiedades:

· La figura transformada de una recta es otra recta.

· La figura transformada de una circunferencia es otra de igual radio cuyo centro surge de girar el centro original el angulo dado en el sentido de la transformación.

4


Transformaciones isométricas. Simetría: axial y central.

Dos figuras son simétricas respecto de un eje (axial) o un centro de simetría O (central) cuando al girar una de ellas respecto del centro o eje son coincidentes.

En la simetría central se dice que dos puntos A y A´ son simetricos recpecto de O (centro de simetría), cuando están alineados con él y equidistan de tal centro O, luego OA=OA´. (Fig. 1).

En la simetría central se cumple que:- los segmentos simétricos son paralelos.

En la simetría axial se cumple la misma característica que en la central solamente que la línea que une los puntos homólogos A y A´es perpendicular al eje de simetría, e. (Fig. 2).

En la simetría axial se cumple que:- las parejas de rectas simétricas se cortán en un punto que pertenece al eje.

(Fig. 1).

(Fig. 2).

Trasformaciones isomórfica. Homotecia.

La homotecia se define como la correspondencia de puntos sobre un plano de manera que dos figuras son homotéticas cuando se corresponden punto a punto y recta a recta, de forma que las parejas de puntos homólogos están en línea recta con un punto fijo llamado centro de homotecia, y cumpliendose que las parejas de rectas homó-logas sean paralelas.

Es muy importante observar que, para que un par de puntos, A y A´ formen parte de la homotecia deberán estar necesariamente alineados con O.

La relacción constante entre las figuras homotéticas se llama K, o razón de homotecia:

OA/OA´=OB/OB´=OC/OC´=K

(Fig. 1)

5


Homotecia directa o inversa.

Se establece de esta forma una relación entre sus magnitudes de la que se deriva una constante de forma que: (Fig. 1) -Si K>0, los puntos A y A ´están situados a un mismo lado de O. Se dice que la homotecia es directa y los puntos tienen un mismosentido. - Si K=1 la homotecia es la identidad. - Si K<0, O se sitúa entre A y A´, la homotecia es inversa y tiene sentido contrario. * Si K= -1 la homotecia se transforma en una simetría central.

(Fig. 1)

Homotecia entre figuras.

Segmentos.

Dos segmentos AB y A´B´ paralelos son homotéticos respecto de una O1 directa y O2 inversa. (Fig. 2)

(Fig. 2)

Áreas.

La razón de homotecia entre áreas es la K2

Poligonos y circunferencias.

Dos circunferencias son siempre homotéticas, siendo los centros de homotecia O1 directa y O2 inversa, los puntos de intersección de las tangentes exteriores e interiores con la línea que une los centros de las circunferencias. (Fig. 3)

(Fig. 3)

6


Trasformaciones anamórficas. Inversión.

La inversión es una transformación geométrica en la que a todo punto A del plano se le hace corresponder otro punto A’ alineado con el primero y con un punto fijo C llamado centro de inversión, de tal forma que el producto de sus distancias al centro es un valor constante y distinto de cero, llamado potencia de inversión, o razón de inversión. Es decir:

CA.CA’= K

K>0; Inversión positiva: Se llama así cuando los puntos homólo-gos A y A’ están a un mismo lado del centro C.

K<0; Inversión negativa: Se llama así cuando el centro C está entre los puntos A y A’. Es decir, tienen diferente sentido. La razón de inversión es negativa lo que no significa que CA.CA’ de un resultado negativo, sino que CA y CA’ tiene diferente sentido, por lo que a uno de ellos se le asigna un valor negativo.

Puntos dobles.

Se produce un punto doble, también llamado invariante, cuando en una transformación de un punto A en otro A’, los dos puntos coinciden; es decir, cuando A.A’.

¿Como trazamos la circunferencia de puntos dobles o de auto-inversion? Dados el centro C, A y A’ para hallar puntos dobles en una inversión dada, basta con trazar una circunferencia que pase por A y A’ y trazar desde C, centro de inversión, las tangentes a dicha circunferencia. Los puntos de tangencia T1 y T2 serán puntos dobles, ya que aplicando la potencia de un punto respecto de una circunferencia se tiene que:

Asi pues teniendo la circunferencia de los puntos dobles respecto de el centro de inversion tendremos la circunferencia de inversion o CPD circunferncia de puntos dobles:

K

K

CPD

7


Inversiones básicas. Teoremas de la iversion.

Inverso de un punto: Suponiendo que la potencia de inversión es positiva, la circunferencia de puntos dobles (o de autoinversión) sirve para obtener fácilmente los puntos inversos de otros.

Se traza la cpd, que, como se ha dicho antes, tiene de centro C y radio . Si el punto está en ella, su inverso es él mismo (si k<0, el A’ sería el simétrico del hallado respecto de C). Si el punto es exterior a esa circunferencia, para hallar A’ unimos A con C. Desde A trazamos la tangente a la cpd, y por el punto de tangencia T trazamos una perpendicular a CA que la corta en A’, inverso de A. En efecto el punto A’ cumple la definición de inverso de A, ya que:

CA . CA’ = KCT . CT = K

CT=

Teorema 1. Recta que pasa por C.

La figura inversa de una recta que para por el centro de inversionen una circunferencia que tiene tres puntos los dos dobles de corte con la circunferencia CPD y el C, centro de inversion que esta en el infinito. Una circunferencia de radio infinito es una recta, luego es ella misma.

Teorema 2. Recta que no pasa por C.

La figura inversa de una recta que no pasa por el centro de inversion es una circunferencia que si para y que pasa tambien por sus puntos dobles. Estudiaremos los casos en que la recta es secante, tangente o exterior.

Teorema 3. Circunferencia que pasa por C.

La figura inversa de una circunferencia que pasa por C, es una recta que no pasa y que será perpendicular a la linea que une C con el centro de la circunferencia. Bastará con invertir algun punto notable de la circunferencia para obtenerla.

A´=AB´=B

r=r`

T=T´r

r´

As

A´ s´

t´

D=D´t C=C´

T=T´r´

rA

s´ A´

s

t

D=D´t´ C=C´

8


Teorema 4. Circunferencia que no pasa por C.

La figura inversa de una circunferencia que no pasa por C, es otra circunferencia que tampoco pasa y que es homotetica a esta tomando como centro de homotecia el centro de inversion C. Sin embargo los puntos y sus inversos no se conservaran como en la homotecia y el centro tampoco. Deberemos invertir el diametro o los puntos T.

Teorema 5. Circunferencia ortogonal a CPD.

La figura inversa de una circunferencia ortogonal a la CPD es ella misma.

Ortogonal significa que las circun-ferencias se cortan ortogonalmente, en angulos de 90º. El angulo que forman las circunferencias es el que forman sus tangentes, luego si son ortogonales el centro de c1 estará an la tangente de c2 y biceversa.

C2

L.Centros Cl =tg C2 L.Centros C2=tg C1

=90º

=90º

ud 4 transformaciones geometricas

Documents