uc clase 1a mat fin 2015-0

7/21/2019 Uc Clase 1a Mat Fin 2015-0

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Teor,a deexponen-es .

/ogari-mos

S0

Exigencia académica para grandes cambios

Mg$ "erc. "EAME#INAppena2con-inen-a/$ed3$pe

MATEMÁTICA FINANCIERA – SEMANA 1A

2

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Operaciones aritméticas

#IRECTAS

S3ma M3/-ip/icaci4n "o-enciaci4n

IN(ERSASRes-a #i5isi4n Radicaci4n

Logari-maci4n


%peraciones ari-mé-icas

3

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Simplifca, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términossemejantes.


E6emp/os

a) b)

c) d)

4

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"o-enciaci4n

#odemos establecer la siguienteregla de signos para potencias de

base negati+a/

#or ello/

(ec0procamente, seg*n ladefnición del eponente natural,

se +erifcan/

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"ropiedades de /a po-enciaci4n

TE%REMA 91ultiplicación indicada de bases

iguales.

jemplos eplicati+os

TE%REMA 90i+isión indicada de bases

iguales.

jemplos eplicati+os

5

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TE%REMA 9:#ropiedad distributi+a de la

potenciación respecto a lamultiplicación.

jemplos eplicati+os

C%R%LARI% 9:7enerali8ación del teorema 93.

jemplos eplicati+os

:

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TE%REMA 9;#ropiedad distributi+a de la

potenciación respecto de ladi+isión.

jemplos eplicati+os

C%R%LARI% 9;;n+erso multiplicati+o de una

racción <e!ui+alente al corolario92)

jemplos eplicati+os

19

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E6ercicios

Simplifca/ Si/ , reducir

(educe/ Si/ , calcula el +alor de/

12

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Radicaci4n

s a!uella operación algebraica !uese genera por la presencia deleponente raccionario, !ue consiste

en =allar una cantidad llamada (&;>,de tal manera !ue ele+ado al +alordel 0ndice nos reproduce otra,denominada S'?(&;@& o(&;@&$O.ALG%RITM%

#onde7

E8ISTENCIA = &NICI#A# #E LARAI*s el conjunto de los n*meros

reales, los radicales de 0ndice parcuyas cantidades subradicales sonnegati+as, no estAn defnidos. nlos demAs casos se establece laeistencia de la ra08, cuyo +alorintr0nseco es *nico.E8"%NENTE FRACCI%NARI%

jemplos aplicati+os/

13

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Radicaci4n

#odemos establecer la siguienteregla de signos para las ra0ces,cuyos subradicales son positi+os o

negati+os, +eamos/

onde las cantidades y nosepresan una cantidad impar y par,respecti+amente.

jemplos eplicati+os/

14

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"ropiedades de /a radicaci4n

7enerali8ación del eponente

raccionario. jemplo

TE%REMA 9>

jemplos eplicati+os

TE%REMA RECI"R%C%

s importante obser+ar !ue si es un

n*mero par, el +alor de no debe serun real negati+o.ebido a esto se tiene/

TE%REMA GENERAL 9?

1

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"ropiedades a3xi/iares

"R%"IE#A# 91

jemplos aplicati+os

"R%"IE#A# 90

jemplo aplicati+o

"R%"IE#A# 9:

jemplo aplicati+o

"R%"IE#A# 9;

16

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"ropiedades a3xi/iares

"R%"IE#A# 9<

jemplo aplicati+o

jemplo aplicati+o

1:

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E6ercicios

(educe/ @alcula/

Simplifca/ Simplifca/

29

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Ba//a e/ 5a/or de7 Ba//a e/ 5a/or de7


L%GARITM%S

21

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& partir de la epresión , podemos plantear distintas ecuaciones,dependiendo de cuAl de su tres elementos es el desconocido.

Se desconoce e/ 5a/or de /a po-encia pD

Si/ , entonces se tiene !ue la ecuación $sto implica el cAlculo del +alor de una potencia,operación !ue se denomina po-enciaci4n.l +alor de BC es la enésima po-encia de b.

jemplo/

Se desconoce e/ 5a/or de /a po-encia pD La operaci4npo-enciaci4n no esconm3-a-i5apor3e en genera/$


Logari-mos

22

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Se desconoce /a base de /apo-encia bD

Se desconoce e/ 5a/or de/exponen-e de /a po-encia nD

Si/ , entonces se tiene la ecuación/ .sto implica el cAlculo de una ra08enésima, operación !ue sedenomina radicaci4n.l +alor de BC es la ra, enésima

de p

jemplo/

Si/ , entonces se tiene la ecuación/ .sto implica calcular el eponentede una potencia conocida su base ysu +alor, operación !ue se denominaLogari-maci4n.

ste eponente BC es el logaritmode p en base b, lo !ue en s0mbolosse representa por /

jemplo/

"or -an-o aHrmamos 3e7 E/ /ogari-mo es e/ exponen-e de 3napo-encia$

Se desconoce /a base de /apo-encia bD

Se desconoce e/ 5a/or de/exponen-e de /a po-encia nD

"or -an-o aHrmamos 3e7 E/ /ogari-mo es e/ exponen-e de 3na

po-encia$Exigencia académica para grandes cambios

Logari-mos

23

6 /

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Encon-rar e/ 5a/or de /os sig3ien-es/ogari-mos7

1$ Logari-mo de @1 en base

0$ Logari-mo de 1> en base @

:$ Logari-mo de 0? en base

Ca/c3/a xJ en cada 3na de /as sig3ien-esexpresiones$


E6emp/os

24

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" i d d d / / i-

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Si K en-onces7

#esarro//a cada 3na de /assig3ien-es expresiones como

s3ma o res-a de /ogari-mos$


"ropiedades de /os /ogari-mos

2

" i d d d / / i-

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Red3ce cada 3na de /as sig3ien-es expresiones a

3n so/o /ogari-mo$


"ropiedades de /os /ogari-mos

25

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E i4 d d d

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Ec3aci4n de seg3ndo grado

Dorma general/

iscriminante

Si/ tiene dos ra0cesreales dierentes

Si/ tiene sólo una ra08real

Si/ no tiene ra0ces

reales

2:

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(esol+er la ecuación/ (esol+er la ecuación/

Reso/5er /a ec3aci4n7 Reso/5er /a ec3aci4n7


E6emp/os

39

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E6emp/os

#ropiedades de lasra0ces

#ropiedades de lasra0ces

31

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"ropiedades de /as ra,ces

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#ada /a ec3aci4n7 $ Ca/c3/ar e/prod3c-o de s3s ra,ces$

#ada /a ec3aci4n7 $ Ca/c3/ar e/prod3c-o de s3s ra,ces$


"ropiedades de /as ra,ces

33

Reso/3ci4n de 3na ec3aci4n de seg3ndo grado

7/21/2019 Uc Clase 1a Mat Fin 2015-0



Reso/3ci4n de 3na ec3aci4n de seg3ndo grado

3

é t o d

o s Dactori8ación

@ompletando cuadrados

Dórmula general

3

é t o d

o s Dactori8ación

@ompletando cuadrados

Dórmula general

34

Mé-odo de ac-oriaci4n

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Reso/5er7 Reso/5er7

(esol+er/ (esol+er/


Mé-odo de ac-oriaci4n

3

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Comp/e-ando c3adrados

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Reso/5er7 Reso/5er7

(esol+er/ (esol+er/


Comp/e-ando c3adrados

35

/ i4 d i d -i i 4 i- / d i d

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(esol+er/ (esol+er/

Reso/5er7 Reso/5er7


eso/3ci4n de ec3aciones c3adr-icas con 3na inc4gni-a en e/ denominador

36

eso/3ci4n de ec3aciones c3adr-icas /i-era/es

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(esol+er/

Reso/5er7


eso/3ci4n de ec3aciones c3adr-icas /i-era/es

3:

is-ema de ec3aciones /inea/es con dos inc4gni-as

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• (esol+er un sistema de ecuaciones, es =allar el conjunto solución delsistema.

Mé-odos para reso/5er3n sis-ema de dos

ec3aciones de primergrado con dos 5ariab/es

"orred3cci4n

"ors3s-i-3ci4n

"orig3a/aci4n

"orde-erminan-e

s


is-ema de ec3aciones /inea/es con dos inc4gni-as

49

Tarea domici/iaria

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Resolver:Resolver:


Tarea domici/iaria

41

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"rogresiones

ari-mé-ic

asExigencia académica para grandes cambios

42

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S3cesiones . series

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#e-ermina /a reg/a 3-i/iada en /as sig3ien-es s3cesiones7

b


S3cesiones . series

44

S3cesiones . series

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Si represen-amos con a/ primer -érmino de 3na s3cesi4n con a/seg3ndo -érmino con a/ -ercer -érmino . as, s3cesi5amen-e

en-onces podemos deno-ar /a s3cesi4n como7

A/ -érmino se //ama nOésimo -érmino$

Como a cada nmero na-3ra/ nJ /e corresponde 3n nmero se-iene 3e 3na s3cesi4n es 3na 3nci4n c3.o dominio es e/con63n-o de /os nmeros en-eros posi-i5os$

A men3do /as s3cesiones se designan median-e 3na 4rm3/a 3eda e/ 5a/or de para c3a/3ier nmero en-ero nJ$


S3cesiones . series

4

S3cesiones . series

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La 4rm3/a deHne 3na s3cesi4n c3.os primeros seis -érminosson7

scribimos la sucesión como/ 5, :, 11, 13, 1, 15, ...

#ara calcular el +igesimoseto término de esta sucesión se usa y seobtiene/


S3cesiones . series

4

S3cesiones . series

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EPEM"L%7Escriba /os primeros cinco -érminos . e/ 5igésimo -érmino de /a

s3cesi4n deHnida por7


S3cesiones . series

45

S3cesiones . series

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SERIE7&na serie es /a s3ma de /os -érminos de 3na s3cesi4n inHni-a

es-o es7

Si nJ es 3n en-ero posi-i5o simbo/iar /a s3ma de /osprimeros nJ -érminos de 3na s3cesi4n$ As, para /a s3cesi4n se-iene7

En genera/ se -iene 3e7


S3cesiones . series

46

S3cesiones . series

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En genera/ se -iene 3e7

se //ama primera s3ma parcia/ es /a seg3nda s3ma parcia/ e-c$es /a nOésima s3ma parcia/$ La s3cesi4n se //ama s3cesi4n de

s3mas parcia/es$

E#O@alcule la suma con los primeros cuatro términos de la sucesión

defnida por


.

4:

S3cesiones . series

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n los ejercicios del 1 al el patrón dado contin*a. scriba lossiguientes tres términos de las sucesiones/


.

9

S3cesiones . series

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n los ejercicios del 1 al encuentre los primeros cinco términos y el+igesimosegundo término de la sucesión defnida por la órmula/


.

1

S3cesiones . series

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n los ejercicios del 1 al obtenga la suma de los primeros seistérminos de la sucesión defnida por la órmula/


.

2

"rogresi4n ari-mé-ica

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'na s3cesi4n ari-mé-ica es una sucesión en la cual cada término,después del primero, se obtiene sumAndole al término anterior una

cantidad constante llamada dierencia comn.

#or ejemplo/ la sucesión/ s una sucesión aritmética cuya dierencia com*n es .

a sucesión/ 3, 2, 1, , F, ... s una sucesión aritmética con dierencia

com*n es F19

& partir de la defnición anterior se tiene !ue, en toda sucesión aritméticala dierencia com*n se obtiene restAndole a un término cual!uiera eltérmino anterior.


g

3

S3cesiones ari-mé-icas

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Sea una sucesión aritmética y sea su dierencia com*n. #or defnición, esposible escribir/

......................................

......................................

......................................

Exigencia académica para grandes cambios4


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l nFésimo término se obtu+o al obser+ar !ue el coefciente numérico

de en cada término es uno menos !ue el correspondiente n*mero deorden del término. #or tanto, el nFésimo término de una sucesiónaritmética estA dado por la siguiente ecuación/

E#O/ncuentre el trigesimo!uinto término de la sucesión aritmética/19, 14, 16, 22, .....



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Enc3en-re e/ -rigesimo3in-o-érmino de /a s3cesi4n

ari-mé-ica719 1; 1@ 00 $$$$$

E/ decimoseg3ndo -érmino de3na s3cesi4n ari-mé-ica es ?1 .

s3 dierencia comn es <$Enc3en-re e/ primer -érmino$

E/ primer -érmino de 3nas3cesi4n ari-mé-ica es 9 . e/5igésimo -érmino es 19$Enc3en-re /a dierencia comn$

QC3n-os -érminos -iene /as3cesi4n ari-mé-ica O? O: $$$$$ 0



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a suma de los términos de una sucesión aritmética recibe el nombre deserie ari-mé-ica$

a órmula general para calcular la suma de los BnC primeros términos deuna sucesión aritmética, estA dada por/


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"rogresiones

geomé-riExigencia académica para grandes cambios

:

"rogresi4n geomé-rica

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'na s3cesi4n geomé-rica es una sucesión en la cual cada término,después del primero. Se obtiene multiplicando el término anterior por

una cantidad constante llamada ra4n comn.

"or e6emp/o7La s3cesi4n7

Es una sucesión geométrica cuya razón común es 5.

En -oda s3cesi4n geomé-rica /a ra4n comn es ig3a/ a /adi5isi4n de 3n -érmino c3a/3iera en-re e/ -érmino an-erior$



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Sea una sucesión geométrica, con y sea su ra8ón com*n, donde . #ordefnición/

..........................................

..........................................

..........................................



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l nFésimo término se obtu+o al obser+ar !ue el eponente de BrC encada término es uno menos !ue el correspondiente n*mero de orden del

término. #or tanto, el nFésimo término de una sucesión geométrica estAdado por la siguiente ecuación/

E6emp/os

Enc3en-re e/ decimo3in-o-érmino de /a s3cesi4ngeomé-rica7? 1; 0@ <> $$$$$

Enc3en-re e/ nmero de-érminos 3e a. en /as3cesi4n7< 0 ;'< $$$$ >;':10< $$$$$



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a suma de los términos de una sucesión geométrica se llama seriegeomé-rica.

Sea una sucesión geométrica, con y sea su ra8ón com*n, donde y lanFésima suma parcial, se tiene/



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Enc3en-re /a s3ma de /os doce primeros -érminos de /a s3cesi4ngeomé-rica7

: 0? @1 $$$$

La s3ma de /os > primeros -érminos de 3na s3cesi4n geomé-rica

es 1>@$?<$ Si /a ra4n comn es 9$< enc3en-re e/ primer-érmino$

An-onio acaba de ser con-ra-ado con 3n sa/ario an3a/ de1?0099$ Si /a empresa /e prome-i4 a3men-os an3a/es de/ @Ud3ran-e 19 aVos Qc3/ ser e/ sa/ario de An-onio a/ inicio de/sex-o aVo

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