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7/27/2019 U5INTYDIFNUME

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UNIDAD 5

INTEGRACIN Y DIFERENCIACIN NUMRICA

1. Introduccin.En esta seccin interesa evaluar la derivada de una funcin en un punto o evaluar la integral

definida de una funcin en un intervalo.

Si la funcin se puede expresar en trminos de funciones elementales, entonces, usando

reglas del clculo, es posible determinar la derivada (o la antiderivada) de forma explcita y

luego evaluarla, para ello se pueden emplear mtodos de computacin simblica.

Pero, si lo que se conoce de la funcin es una coleccin de puntos, obtenidos

experimentalmente y/o de alguna base de datos, entonces no es posible encontrar la

derivada o antiderivada de manera directa por lo que es necesario recurrir a alguno de los

mtodos comunes del anlisis numrico.

Lo expresado en el prrafo anterior es una razn del porqu en esta seccin sern

estudiados algunos de los mtodos numricos para la evaluacin de integrales y derivadas.

2. Integracin numrica.El problema bsico considerado en la integracin numrica es calcular una solucin

aproximada a la integral definida:

()

()

+ ()

donde:

() = polinomio interpolante.() = error de la integracin.

Mtodo de los trapecios.La frmula es:

= ()

[

1

2() + () + () + + () +

1

2()]

donde:

= s y y son llamados nodos.Estimacin del error en la regla trapezoidal. Esta dado por:


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= ( )

12 () = ( )

12 ()Ejemplo 1. Integre() = de 0 a 1, eligiendo = 10 pasos.

Actividad 1. Resuelva la integral siguiente:

() = (ln())

Actividad 2. La longitud de un intercambiador de calor de tubos concntricos, cuando se usa

vapor saturado a temperatura para calentar un fluido, est dado por

=

( )

donde = .

.

., es la masa, es la conductividad trmica, laviscosidad, la capacidad calorfica a presin constante, todas del fluido fro.Para un fluido cuyas propiedades estn dadas por

() = 0.53 + 0.000 6.25 10

() = 30+0.09 0.00095

= 0.153

Cul ser la longitud necesaria de los tubos para calentar este fluido de 20 hasta 600

F?

Use: = 1500 , = 320 y = 0.25 .3. Diferenciacin.

La importancia de este tema radica en el desarrollo de algoritmos que sirven para resolver

problemas de contorno de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales en

derivadas parciales. Sin embargo, para esta seccin se tomarn modelos ya establecidos,

principalmente del tipo polinomial, para hacer las respectivas evaluaciones de las derivadas,

es decir, por ejemplo, que el uso de serie de Taylor y el polinomio interpolante de Newton,

es comn que se usen para transformar una expresin cualquiera en un polinomio, el cual

resulta ser ms sencillo que el de la funcin original.

En la tabla siguiente se resumen las frmulas numricas ms usuales para la derivacin

numrica:


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Ecuacin

Primera derivada. Diferencias hacia adelante.

() = ( + ) ()/() = ( + 2) + 4( + ) 3()/2

Primera derivada. Diferencias hacia atrs.

() = () ( )/() = 3() 4( ) + ( 2)/2

Primera derivada. Diferencias centrales.

() = ( + ) ( )/2() = ( + 2) + 8( + ) 8( ) + ( 2)/12

Segunda derivada. Diferencias hacia adelante.

() = ( + 2) 2( + ) + ()/()

() = ( + 3) + 4( + 2) 5( + ) + 2()/()Segunda derivada. Diferencias hacia atrs.

() = () 2( ) + ( 2)/()() = 2() 5( ) + 4( 2) ( 3)/()

Segunda derivada. Diferencias centrales.

() = ( + ) 2() + ( )/() () = ( + 2) +16( + ) 30() +16( ) ( 2)

/12()Tercera derivada. Diferencias hacia adelante. () = ( + 3) 3( + 2) + 3( + ) ()/()

() = 3( + 4) +14( + 3) 24( + 2) +18( + ) 5()/2()

Tercera derivada. Diferencias hacia atrs.

() = () 3( ) + 3( 2) ( 3)/() () = 5() 18( ) +24( 2) 14( 3) + 3( 4)

/2()Tercera derivada. Diferencias centrales.

() = ( + 2) 2( + ) + 2( ) ( 2)/2()() = ( + 3) + 8( + 2) 13( + ) +13( )

8( 2) + ( 3)/8()


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Ejemplo 2. Aproximar la primer derivada de la funcin

() = 0.1 0.15 0.5 0.25 + 1.2en = 0.5. Emple un tamao de paso de = 0.25.

Actividad 3. La ecuacin de estado de Redlich-Kwong es

[ + .( + )] ( ) = donde = 17.19344 y = 0.02211413 para el oxgeno molecular.Si = 373.15 , se obtiene la siguiente tabla de valores:

Puntos 0 1 2 3

P (atm) 30.43853 27.68355 25.38623 23.44122

V (L/gmol) 1.0 1.1 1.2 1.3

a) Calcule la cuando = 1.05 y comprela con el valor de la derivada analtica.b) Calcule el error cometido.

Actividad 4. Dada la funcin () = (sin) estimar (1.0) utilizando = 0.025,aproximaciones de primer orden y central de segundo orden como solucin exacta.

Actividad 5. Para() = obtener aproximaciones de primer orden de(2) con =

0.10, evaluando el error relativo sabiendo que la solucin exacta es 29.556224.

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