1

Geometría analítica IUnidad 1. Introducción a la geometría analítica1.2. Lugar geométrico1.2.1 Puntos notables

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas y Tecnología

Problemas por resolver, problemas por demostrar y problemas de rutina George Polya

Problemas por resolver, problemas por demostrar

Establecer un paralelismo entre los problemas por resolver y los problemas por demostrar implica hacer el siguiente ejercicio de reflexión:

1. El propósito de un problema por resolver, es descubrir cierto objeto: la incógnita del problema.

La incógnita recibe también el nombre de quaesitum, (lo que se busca, o se pide).

Los problemas por resolver pueden ser teóricos o prácticos, abstractos o concretos; son problemas serios o simples acertijos.

Podemos buscar incógnitas de todo tipo, para tratar de encontrar, de obtener, de adquirir, de producir o de construir todos los objetos imaginables.

En una novela policíaca, la incógnita es el (la) asesino(a); en el ajedrez, una jugada; en ciertos enigmas, una palabra; en ciertos problemas elementales de álgebra, un número; en una construcción geométrica, una figura.

2. El propósito de un problema por demostrar consiste en mostrar de modo concluyente la exactitud o falsedad de una afirmación claramente enunciada.

Un(a) testigo que afirme que el (la) acusado(a) se hallaba en casa cierta noche, obliga al (la) juez(a) a investigar si dicha afirmación es verdadera y a justificar su opinión sobre bases tan sólidas como sea posible. Se trata, para el (la) juez(a), de un problema por demostrar.

La demostración del teorema de Pitágoras constituye otro de esos problemas; pero aquí no hemos decidido demostrar o refutar dicho teorema. Quizá fuese mejor, bajo ciertos aspectos, incluir en el enunciado del problema la posibilidad de refutarlo, pero la descartamos a conciencia, dado que las posibilidades de refutar el teorema de Pitágoras son mínimas.

3. Los principales elementos de un problema por resolver son: la incógnita, los datos y la condición.

Si tenemos que construir un triángulo de lados a, b, c, la incógnita es un triángulo; los datos son las tres magnitudes a, b y c; y la condición es que los lados del triángulo por construir tengan, respectivamente, esas magnitudes.

Si tenemos que construir un triángulo cuyas alturas son a, b y c, la incógnita es un objeto de la misma categoría que el anterior, los datos son los mismos, pero la condición que relaciona la incógnita con los datos es diferente.

2

Geometría analítica IUnidad 1. Introducción a la geometría analítica1.2. Lugar geométrico1.2.1 Puntos notables

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas y Tecnología

4. Si un problema por demostrar es un problema matemático de la forma más usual, sus elementos principales son la hipótesis y la concusión del teorema que hay que demostrar o refutar.

Si los cuatro lados de un cuadrilátero son iguales, las dos diagonales son perpendiculares entre sí. La segunda parte de la frase es la conclusión, la primera, que empieza por “si”, es la hipótesis.

No todos los teoremas de matemáticas pueden escindirse tan fácilmente en hipótesis y conclusión.

5. Para encontrar la solución de un problema por resolver hay que conocer, de modo preciso, los elementos principales: incógnita, datos y condición. Nuestra lista contiene numerosas preguntas y sugerencias concernientes a dichos elementos.

¿Cuál es la incógnita?, ¿cuáles son los datos?, ¿cuál es la condición?

Distingue las diversas partes de la condición.

Encuentra la relación entre los datos y la incógnita.

Mira bien la incógnita. Trata de pensar en algún problema que te sea familiar y que tenga la misma incógnita o una similar.

No conserves más que una parte de la condición, descarta la otra; ¿en qué medida la incógnita queda entonces determinada?; ¿cómo puede variar?

¿Puedes deducir de los datos algún elemento útil?; ¿podrías pensar en otros datos que te permitiesen determinar la incógnita?; ¿podrías cambiar la incógnita, o los datos, o los dos si es necesario, de tal manera que la nueva incógnita y los nuevos datos estuviesen más relacionados entre sí?

¿Has empleado todos los datos?; ¿has utilizado la condición por completo?

6. Si tienes que resolver un problema por demostrar debes conocer exactamente sus partes principales: hipótesis y conclusión.

Existen a propósito de dichos elementos preguntas y sugerencias útiles, correspondientes a las de nuestra lista que están especialmente adaptadas a los problemas por resolver.

¿Cuál es la hipótesis?, ¿cuál es la conclusión?

Distingue las diversas partes de la hipótesis.

Encuentra la relación entre la hipótesis y la conclusión.

Mira bien la conclusión. Trata de pensar en algún teorema que te sea familiar y que tenga la misma conclusión o una similar.

3

Geometría analítica IUnidad 1. Introducción a la geometría analítica1.2. Lugar geométrico1.2.1 Puntos notables

Sin embargo, para resolver la ecuación debió haberse explicado primero la solución general de la ecuación de segundo grado de manera que el (la) alumno(a) sólo tuviera que sustituir las letras que figuran en la solución general por los números 1, -3 y 2.

Aun en el caso de que la explicación general no se hubiese dado en términos algebraicos, bastaría resolver una media docena de ecuaciones de segundo grado semejantes, con coeficientes numéricos para que el problema propuesto fuese “de rutina”.

En general, consideramos dentro de esta categoría a todo problema que se puede resolver, ya sea sustituyendo nuevos datos en lugar de los de un problema ya resuelto, o siguiendo paso a paso, sin ninguna originalidad, la traza de algún viejo ejemplo.

Al proponer un problema de rutina, el profesor ofrece a los alumnos una respuesta inmediata y decisiva a la pregunta: ¿Conoces algún problema relacionado?

Los (las) alumnos(as) no necesitarían entonces más que un poco de atención y paciencia para seguir un precepto experimentado, y no tendrán oportunidad de recurrir ni a su juicio ni a sus facultades inventivas.

Los problemas de rutina, incluso empleados en gran número, pueden ser útiles en la enseñanza de matemáticas, pero sería imperdonable proponer a los (las) alumnos(as) exclusivamente problemas de este tipo.

Limitar la enseñanza de las matemáticas a la ejecución mecánica de operaciones rutinarias es rebajarlas por debajo del nivel de un “libro de cocina” ya que las recetas culinarias reservan una parte a la imaginación al juicio del (la) cocinero(a), mientras que las recetas matemáticas no permiten tal cosa.

No conserves más que una parte de la hipótesis, descarta la otra parte; ¿sigue siendo válida la conclusión?

¿Podrías deducir de la hipótesis algún elemento útil?; ¿podrías pensar en otra hipótesis de la cual pudieras deducir fácilmente la conclusión?; ¿podrías cambiar la hipótesis o la conclusión o las dos si es necesario, de modo que la nueva hipótesis y la nueva conclusión, estuviesen más relacionadas entre sí?

¿Has empleado la hipótesis completa?

7. Los problemas por resolver tienen mayor importancia en las matemáticas elementales. Los problemas por demostrar son más importantes en las superiores.

En el texo se insiste particularmente sobre los problemas por resolver, pero el autor espera restablecer el equilibrio y tratar en otra ocasión el tema de modo más completo.

Problemas de rutina