u08 estadistica

8/6/2019 U08 Estadistica

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Unidad 8. Estadstica 1

Pgina 205

REFLEXIONA Y RESUELVE

La cantidad de informacin disponible es enorme

Sin duda conoces los censos municipales que se realizan, peridicamente, ca-da pocos aos.

En cada uno de estos censos se recaban datos de cada vivienda de la poblacinrelativos a la casa, a la unidad familiar que la habita y a cada uno de los miem-bros que la componen.

Intenta recordar (o averiguar) algunos de los datos que se preguntan en elcenso de tu localidad.

Imagina qu otras cosas preguntaras si fueras t el encargado de realizar elcenso.

Por ejemplo domicilio, estudios realizados, ao de nacimiento

Pgina 209

1. Reparte los 80 datos del ejercicio resuelto anterior en 11 intervalos de longi-tud 9. Valen el origen del primero y el extremo del ltimo.

[58,5-67,5)

INTERVALOS

63

[67,5-76,5) 72

[76,5-85,5) 81

[85,5-94,5) 90[94,5-103,5) 99

[103,5-112,5) 108

[112,5-121,5) 117

[121,5-130,5) 126

[130,5-139,5) 135

4

8

8

98

10

11

8

7

[139,5-148,5) 144 4

[148,5-157,5) 153 3

MARCAS DE CLASE FRECUENCIAS

ESTADSTICA8


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2. Reparte los 80 datos del ejercicio resuelto anterior en el tramo 57,5 157,5, se-parndolo en 10 intervalos de 10 unidades cada uno.

Pgina 211

1. Calcula x, q y C.V. en la distribucin siguiente: tiempo que emplean en irde su casa al colegio un grupo de alumnos. (Recuerda: al intervalo (0, 5] le co-rresponde el valor 2,5; ).

x= 12,5

q = 5,65

C.V. = 0,45 = 45%

2. Compara las desviaciones tpicas de las distribuciones 1, 2, 3 y 4.

Al comparar dos de ellas, en caso de duda, pregntate: qu he de hacerle a estapara que se parezca a la otra?

Por ejemplo, para que la se parezca a la, hemos de achicar las columnas ex-tremas y aumentar la columna central. Por tanto, la es ms dispersa que la.

xi fi

2,5

7,5

12,5

17,522,5

27,5

2

11

13

63

1

TIEMPO (min)

N. DE ALUMNOS

(0, 5] (5, 10] (10, 15] (15, 20] (20, 25] (25, 30]

2 11 13 6 3 1

[57,5-67,5)

INTERVALOS

62,5

[67,5-77,5) 72,5

[77,5-87,5) 82,5

[87,5-97,5) 92,5

[97,5-107,5) 102,5

[107,5-117,5) 112,5

[117,5-127,5) 122,5

[127,5-137,5) 132,5

[137,5-147,5) 142,5

4

9

9

9

12

11

10

7

6

[147,5-157,5) 152,5 3

MARCAS DE CLASE FRECUENCIAS

Unidad 8. Estadstica2


3/19

De menor a mayor desviacin tpica, se ordenarn as: , , , .

Pgina 212

1. Halla Q1, Me, Q3 yp40 en la distribucin:2, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10

14 : 4 = 3,5

3,5 3,5 2 = 7 3,5 3 = 10,5

9 9 9

4. 7. 8. 11.

Q1= 3; Me = 6,5; Q3 = 8

= 5,6 8 6.

p40 es el individuo 6.

p40 = 6

Pgina 213

2. En la siguiente distribucin de notas, hallaMe, Q1, Q3, p80, p90 yp99.

Me = p50 = 5; Q1 = p25 = 4; Q3 = p75 = 6; p80 = 6,5; p90 = 8; p99 = 10

xi

fi

1

7

2

15

3

41

4

52

5

104

6

69

7

26

8

13

9

19

10

14

Fi

7 22 63 115 219 288 314 327 346 360

EN % 1,94 6,11 17,5 31,94 60,83 80 87,22 90,83 96,11 100

NOTAS

N. DE ALUMNOS

1

7

2

15

3

41

4

52

5

104

6

69

7

26

8

13

9

19

10

14

14 40

100

1 2 3 4


8UNIDAD


4/19

Pgina 214

1. Obtn la distribucin de frecuencias acumuladas y representa el correspon-diente polgono, relativos a los datos de la tabla siguiente:

Pgina 2152. Halla grfica y numricamente Q1, Me, Q3 yp90 en la distribucin del ejer-

cicio propuesto en la pgina anterior.

Q1 = 243,66%; Me = 275,12

Q3 = 309,86; p90 = 346,06

Pgina 216

1. Representa en un diagrama de caja las distribuciones y de la pgina212.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

I

II

III

100

80

60

40

20

240 280 320 360 400200

%

Me Q 3 P90Q1

EXTREMOS

200

240

280

320

360

400

Fi

0

57

139

212

243

258

EN %

0,00

22,09

53,88

82,17

94,19

100,00

INTERVALOS

FRECUENCIAS

200-240

57

240-280

82

280-320

73

320-360

31

360-400

15



5/19

2. Representa, mediante un diagrama de caja, las distribuciones de los ejerciciospropuestos 1 y 2 de las pginas 212 y 213.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


8UNIDAD


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Pgina 221

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

1 Deseamos hacer una tabla con datos agrupados a partir de 384 datos, cuyosvalores extremos son 19 y 187.

a) Si queremos que sean 10 intervalos de amplitud 17, cules sern esos in-tervalos?

b)Haz otra distribucin en 12 intervalos de la amplitud que creas conve-niente.

a) 187 19 = 168. Para que sea mltiplo de 108

170170 168 = 2 8 Una unidad menos que el menor y una ms que el mayor:

[18, 35); [35, 52); [52, 69); [69, 86); [86, 103); [103, 120); [120, 137); [137, 154);[154, 171); [171, 188].

b) 168 : 2 = 14 exacto. Amplitud = 14:

[19, 33); [33, 47); [47, 61); [61, 75); [75, 89); [89, 103); [103, 117); [117, 131);[131, 145); [145, 159); [159, 173); [173, 187].

2 La altura, en centmetros, de un grupo de alumnos y alumnas de una mismaclase es:

150, 169, 171, 172, 172, 175, 181

182, 183, 177, 179, 176, 184, 158

Calcula la mediana, los cuartiles, p15 yp90.

Primero los ordenamos:

150, 158, 169, 171, 172, 172, 175, 176, 177, 181, 182, 183, 184

Me = 175,5 Es el valor que deja por debajo de l al 50% de la poblacin, y por

encima, al otro 50%.Q1 = 171 Es el valor que deja por debajo de l al 25% de la poblacin, y por

encima, al 75%.

Q3 = 181 Es el valor que deja por debajo al 75% de la poblacin, y por enci-ma, al 25%.

p15 8 = 2,1. Es el 3. 8 p15 = 169

p90 8 = 12,6. Es el 13. 8 p90 = 18390 14

100

15 14

100

PARA PRACTICAR



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3 Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de 100000 eurosy una desviacin tpica de 12 500 euros. En otra empresa B la media es15 000 euros y la desviacin tpica 2 500 euros. Calcula el coeficiente de va-riacin y di cul de las dos tiene mayor variacin relativa.

C.V. (A ) = 100 = 12,5%

C.V. (B) = 100 = 16,67%

Tiene mayor variacin relativa la B.

4 El peso medio de los alumnos de una clase es 58,2 kg y su desviacin tpica3,1 kg. El de las alumnas de esa clase es 52,4 kg y su desviacin tpica es5,1 kg. Calcula el coeficiente de variacin y compara la dispersin de ambosgrupos.

C.V. (chicos) = 100 = 5,33%

C.V. (chicas) = 100 = 9,73%

Hay mayor dispersin en el peso de las alumnas.

5 En una poblacin de 25 familias se ha observado la variable X= nmero decoches que tiene la familia y se han obtenido los siguientes datos:

0, 1, 2, 3, 1 0, 1, 1, 1, 4 3, 2, 2, 1, 1

2, 2, 1, 1, 1 2, 1, 3, 2, 1

a) Construye la tabla de frecuencias.

b)Haz el diagrama de barras.

c) Calcula la media y la desviacin tpica.

d)Halla la mediana y los cuartiles.

e) Haz un diagrama de caja.

a) b)xi fi

0

1

2

3

4

2

12

7

3

1

25

5,1

52,4

3,1

58,2

qBxB

qAxA


8UNIDAD

fi

xi0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4


8/19

c)x = 1,56 d) Me = 1 e)

q = 0,94 Q1 = 1; Q3 = 2

6 En la distribucin de pesos de 500 personas se han obtenido los siguientesparmetros de posicin:

Q1 = 62 kg, Me= 72 kg, Q3 = 78 kg

Di el nmero de personas cuyo peso:

a) Es menor que 78 kg.

b)Est comprendido entre 62 kg y 72 kg.

c) Es inferior a 62 kg.

a) El 75% de 500, es decir, 375 personas pesan menos de 78 kg.

b) 25% de 500 = 125 personas.

c) 25% de 500 = 125 personas.

7 Al preguntar a un grupo de personas cunto tiempo dedicaron a ver televi-sin durante un fin de semana, se obtuvieron estos resultados:

Dibuja el histograma correspondiente y halla la media y la desviacin tpi-ca.

Observa que los intervalos tienen distintas longitudes y recuerda que en un his-

tograma las frecuencias han de ser proporcionales al rea.

x= 2,57; q = 1,93

1

5

10

15

20

2 3 4 5HORAS

6 7 8

TIEMPO (en horas)[0; 0,5)

[0,5; 1,5)

[1,5; 2,5)

[2,5; 4)

[4, 8)

N. DE PERSONAS10

10

18

12

12

0 1 2 3 4

*



9/19

8 Este es el polgono de porcentajes acumulados de la distribucin del CI (co-ciente intelectual) de un colectivo de 300 personas:

a) Trabajando sobre el grfico, asigna, aproximadamente, los valores de:

Q1, Me, Q3, p5, p10, p40, p80, p90, p95

b)Cuntas personas (aproximadamente) de este colectivo tienen un CI

comprendido entre 104 y 116?

Cuntas personas tienen un CI superior a 115?

c) Qu percentil tiene una persona con un CI de 112?

a) Q1 = 105,5; Me = 110,5; Q3 = 113

p5 = 98, p10 = 101, p40 = 109, p80 = 114, p90 = 116, p95 = 117,5

b)Hay un 70% (90 20 = 70)

El 70% de 300 personas son 210 personas.

115 = p85 8 Hay un 15% (100 85 = 15).

El 15% de 300 personas son 45 personas.

c) 112 = p65

104 = p20116 = p90

95 100 105 110 115 120

%

50

100


8UNIDAD


10/19

Pgina 222

9 Estos son los pesos (en kg) de 50 recin nacidos:

2,8 3,2 3,8 2,5 2,7 3,7 1,9 2,6 3,5 2,3

3,0 2,6 1,8 3,3 2,9 2,1 3,4 2,8 3,1 3,9

2,9 3,5 3,0 3,1 2,2 3,4 2,5 1,9 3,0 2,9

2,4 3,4 2,0 2,6 3,1 2,3 3,5 2,9 3,0 2,7

2,9 2,8 2,7 3,1 3,0 3,1 2,8 2,6 2,9 3,3

a) Haz una tabla con los datos agrupados en 6 intervalos de amplitud 0,4 kg,comenzando en 1,6. Representa esta distribucin.

b)Calcula la media y la desviacin tpica.

c) Calcula, a partir del polgono de porcentajes acumulados, Q1, Me, Q3,p40, p90, p95.

a)

b) x= 2,89; q = 0,49

c)

Q1 = 2,3; Me = 2,85; Q3 = 3,18

p40 = 2,83; p90 = 3,55; p95 = 3,61

1,6

20

40

6080

100

2 2,4 2,8 3,2

%

3,6 4

EXTREMOINTERVALO

1,6

2

2,4

2,8

3,2

3,6

4

PORCENTAJEACUMULADO

0

6

16

36

76

94

100

1,6

5

10

15

20

2 2,4 2,8 3,2PESO (kg)

3,6 4

fiINTERVALOS FRECUENCIAS

[1,6; 2)

[2; 2,4)

[2,4; 2,8)

[2,8; 3,2)

[3,2; 3,6)

[3,6; 4)

3

5

10

20

9

3

50

PARA RESOLVER



11/19

10 En una fbrica se ha medido la longitud de 1 000 piezas de las mismas carac-tersticas y se han obtenido estos datos:

a) Representa el histograma correspondiente.

b)Se consideran aceptables las piezas cuya longitud est en el intervalo

[75, 86]. Cul es el porcentaje de piezas defectuosas? Del segundo intervalo habr que rechazar las que midan entre 72,5 y 75. Calcu-

la qu tanto por ciento de la amplitud representa la diferencia 75 72,5 y halla el

porcentaje de la frecuencia correspondiente. Procede anlogamente en el cuarto in-

tervalo.

a)

b) En el intervalo 72,5-77,5:

75 72,5 = 2,5 8 = 47,5 piezas defectuosas

En el intervalo 82,5-87,5:

87,5 86 = 1,5 8 = 30 piezas defectuosas

En total el nmero de piezas defectuosas ser:

5 + 47,5 + 30 + 10 = 92,5

que representa el 9,2% del total.

100 1,55

95 2,55

67,5

100

200

300

400

500

600

700

800

72,5 77,5 82,5 87,5LONGITUD (mm)

NMERODE PIEZAS

92,5

LONGITUD

(en mm)67,5 - 72,5

72,5 - 77,5

77,5 - 82,5

82,5 - 87,5

87,5 - 92,5

NMERO

DE PIEZAS

5

95

790

100

10


8UNIDAD


12/19

11 Se ha pasado un test de 80 preguntas a 600 personas. El nmero de res-puestas correctas se refleja en la siguiente tabla:

a) Calcula la mediana, los cuartiles y los percentiles 20 y 85.b) Cul es el percentil de una persona que tiene 65 respuestas correctas?

c) Halla x

, q y C.V.

a) Hacemos las tablas de frecuencias:

Me = 40 + (50 40) = 43,33

Q1 = 20 + (30 20) = 26,66

Q3 = 50 + (60 50) = 59,41

p20 = 20 + (30 20) = 22,66

p85 = 60 + (70 60) = 66,88

b) 65 = 60 + (70 60) 8 k = 82,5

c) x= 42,67; q = 20,52; C.V. = 0,48

k 75,83

13,33

85 75,8313,33

20 16,67

12,5

75 61,67

14,17

25 16,6712,5

50 44,1717,5

EXTREMOS

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Fi

0

40

100

175

265

370

455

535

600

EN %

0,00

6,67

16,67

29,17

44,17

61,67

75,83

89,17

100,00

INTERVALO

[0, 10)

[10, 20)

[20, 30)

[30, 40)

[40, 50)

[50, 60)

[60, 70)

[70, 80)

fi

40

60

75

90

105

85

80

65

EN %

6,67

10,00

12,50

15,00

17,50

14,17

13,33

10,83

600 100,00

RESPUESTASCORRECTAS

[0, 10)

[10, 20)

[20, 30)

[30, 40)

[40, 50)

[50, 60)

[60, 70)

[70, 80)

N. DEPERSONAS

40

60

75

90

105

85

80

65



13/19

12 En la fabricacin de un vino, se le aade un compuesto qumico.

En la tabla aparece la concentracin de este com-puesto en 200 botellas.

a) Calcula la media y la desviacin tpica.

b)Se estima que el vino no se debe consumir si laconcentracin de ese compuesto es superior a20,9 mg/l.

Segn esto, qu porcentaje de botellas no es adecuado para el consumo?

a) x= 20,52

q = 0,2

b) 21 20,9 = (21 20,8)

Son = 7 botellas de cada 200, un 3,5%.

13 De una muestra de 75 pilas elctricas, se han obtenido estos datos sobre suduracin:

a) Representa los datos grficamente.

b)Calcula la media y la desviacin tpica.

c) Qu porcentaje de pilas hay en el intervalo (xq, x+ q)?

d)Calcula Q1, Me, Q3, p30, p60, p95.

a)

25

5

10

15

20

25

30

30 35 40 45HORAS

50 55 60 65 70

TIEMPO (en horas)

[25, 30)

[30, 35)

[35, 40)

[40, 45)

[45, 55)

[55, 70)

N. DE PILAS

3

5

21

28

12

6

14

2

12

CONCENT.(mg/l)

[20; 20,2)[20,2; 20,4)

[20,4; 20,6)

[20,6; 20,8)

[20,8, 21)

NMERODE BOTELLAS

1538

76

57

14


8UNIDAD


14/19

b) x= 42,63; q = 7,98

c) xq = 34,65; x+ q = 50,61

En el intervalo [30, 35):

35 34,65 = 0,35 8 = 0,35

En el intervalo [45, 55):

50,61 45 = 5,61 8 = 6,73

En total:

0,35 + 21 + 28 + 6,73 = 56,08

Por tanto, en el intervalo (xq, x+ q) hay un 100 = 74,77% del totalde pilas.

d) Q1 = 37,55; Me = 41,51; Q3 = 44,87; p30 = 38,45; p60 = 42,86; p95 = 60,63

14 Las estaturas de los 40 alumnos de una clase vienen dadas en la siguiente ta-bla:

a) Calcula la media y la desviacin tpica.

b)Di el valor de la mediana y de los cuartiles.

c) Qu centil corresponde a una estatura de 180 cm?

a) n = 40, Sx = 6980 8 x= 174,5

Sx2 = 1219370 8 q = 5,83

b) Me = 174,6; Q1

= 170,3; Q2

= 178,1

c) A 180 cm le corresponde el centil 82.

Pgina 223

15 En la distribucin de las notas de un examen el primer cuartil fue 4. Qusignifica esto?

Por debajo de 4 quedaron un 25%.

CUESTIONES TERICAS

INTERVALOS

158,5 - 163,5

163,5 - 168,5

168,5 - 173,5

173,5 - 178,5

178,5 - 183,5

183,5 - 188,5

N. DE ALUMNOS

1

5

11

14

6

3

56,08

75

5,61 1210

0,35 55



15/19

16 La nota media de los aprobados en un examen de Matemticas ha sido 6,8, yla de los suspensos, 3,5. Calcula la nota media de la clase sabiendo que hubo35 aprobados y 15 suspensos.

238 + 52,5 = 290,5

290,5 : (35 + 15) = 290,5 : 50 = 5,81

La nota media fue de 5,81.

17 La estatura media de los 38 alumnos y alumnas de una clase es de 168 cm.Las chicas, que son 17, miden 162 cm de media. Calcula la estatura media delos chicos.

6384 2754 = 3 630

3630 : (38 17) = 3 630 : 21 = 172,85

La estatura media de los chicos es 172,85 cm.

18 Justifica que la suma de las frecuencias relativas es siempre igual a 1.

Sf ri= S = Sf

i= n = 1

19 Completa la tabla de esta distribucin en la que sabemos que su media es 2,7.

= 2,7

= 2,7 8 44 + 2f2 = 40,5 + 2,7f2 8 3,5 = 0,7 f2 8 f2 = 5

Luego la tabla queda:

20 Dos distribuciones estadsticas, A y B, tienen la misma desviacin tpica.

a) Si la media de A es mayor que la de B, cul tiene mayor coeficiente devariacin?

b)Si la media de A es doble que la de B, cmo sern sus coeficientes devariacin?

a) B.

b) El coeficiente de variacin de A es la mitad que el de B.

xi

fi

1

3

2

5

3

7

4

5

44 + 2f215 + f2

3 1 + f2 2 + 7 3 + 5 4

3 + f2 + 7 + 5

xi

fi

1

3

2

3

7

4

5

1n

1n

fi

n

17 162 = 2754

38 168 = 6384

6,8 35 = 2383,5 15 = 52,5


8UNIDAD


16/19

Pgina 223

AUTOEVALUACIN

1. Las estaturas de los componentes de tres equipos in-fantiles de baloncesto, A, B, C, se distribuyen segnlas grficas y con los parmetros que se dan a conti-nuacin:

Qu grfica corresponde a cada equipo? Contesta razonadamente.

A 8 B 8 C 8

2. Los pesos de 40 alumnos de una clase se distribuyen del siguiente modo:

a) Representa grficamente (histograma) y estima x

y q.

b)Calcula numricamente x

y q yobtn el porcentaje de chicos que

hay en el intervalo (x

q, x

+ q).

c) Calcula la mediana y los cuartiles yestima el centil que corresponde acada una de las siguientes medidas:40 kg, 50 kg, 60 kg, 70 kg.

a)

35,5 42,5 49,5 56,5 63,5

2

4

6

8 x 53,5 kg

q 8 kg

10

70,5 77,5

12

INTERVALOS

35,5 - 42,542,5 - 49,5

49,5 - 56,5

56,5 - 63,5

63,5 - 70,5

70,5 - 77,5

N. DE ALUMNOS

211

13

9

3

2

213

170

1

2

3

4 1 2 3

175 180 165

1

2

3

4

170 175 180 165

1

2

3

4

170 175 180 185

x

A

q

175

6,5

B

174,3

3,2

C

172,1

4,5



17/19


18/19

3. En una fbrica de tornillos se mide la longitud (en mm) de algunos de ellos yse obtiene:

22, 20, 18, 15, 19 22, 16, 19, 23, 18

17, 23, 23, 21, 18 20, 22, 18, 25, 2322, 22, 19, 19, 20 21, 18, 24, 17, 20

19, 23, 21, 23, 21 20, 19, 21, 20, 22

19, 20, 18, 21, 19 18, 20, 22, 21, 19

a) Haz una tabla de frecuencias con datos aislados: 15, 16, , 23, 24, 25. Cal-cula x

, q, Q1, Me, Q3.

b)Haz una nueva tabla agrupando los valores en seis intervalos de extremos14,5-16,5-18,5-20,5-22,5-24,5-26,5. Vuelve a calcular x

, q, Q1, Me, Q3.

c) Qu centil corresponde a 24 mm en cada una de las dos distribuciones?

a)

x= = 20,2 mm

q = = 2,12 mm

Me = 20 mm

Q1 = 19 mm

Q3 = 22 mm

b)

x= = 20,22 mm

q = = 2,22 mm20688,5

20,22250

101150

INTERVALOS

14,5 - 16,5

16,5 - 18,5

18,5 - 20,5

20,5 - 22,5

22,5 - 24,5

24,5 - 26,5

xi

15,5

17,5

19,5

21,5

23,5

25,5

fi

2

9

17

14

7

1

fi xi

31

157,5

331,5

301

164,5

25,5

fi x

i2

480,5

2 756,25

6 464,25

6 471,5

3 865,75

650,25

50 1 011 20 688,5

EN %

4

22

56

84

98

100

Fi

2

11

28

42

49

50

xi fi

15

16

17

18

19

20

21

22

2324

25

1

1

2

7

9

8

7

7

61

1

50

fi xi

15

16

34

126

171

160

147

154

13824

25

fi xi

2

225

256

578

2268

3249

3200

3087

3388

3174576

625

1010 20626

Fi

1

2

4

11

20

28

35

42

4849

50

20626 20,2250

1010

50



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u08 estadistica

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