5 Los números enteros

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ESQUEMA

La perinola o pirindola tiene seis lados, y es parecida a un trompo que se hace girar con los dedos corazón y pulgar hasta que se detiene.El jugador tiene que esperar a que se pare para obedecer la indicación de la cara que queda hacia arriba: Pon 1 – 1Pon 2 – 2Todos ponen Toma 1 +1Toma 2 +2Toma TODO

Pirindola

La matemática china

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Primera página de “Nueve Capitulos del Arte Matemático”, libro clave de la matemática china (siglo I). Enlace a un resumen.Enlace a cuadrados y círculos

mágicos chinos

Esquema de contenidos

Números enteros

Definición

DefiniciónValor absoluto y orden

Sumas y restas de números enteros

Casos

Multiplicación y división de enteros

Regla de los signos

Operaciones combinadas

Diversos casos

Potencias de base entera

Base positiva y negativa

Suma y resta de números enteros

Al sumar o restar números enteros, has de fijarte en que los paréntesis que aparezcan se eliminan teniendo en cuenta el signo + ó – que les antecede.

Se sigue la regla de los signos: el signo + conserva el signo del número que sigue, mientras que el signo – lo cambia.

SIGUIENTE

Suma y resta de números enteros

Al sumar o restar números enteros, has de fijarte en que los paréntesis que aparezcan se eliminan teniendo en cuenta el signo + ó – que les antecede.

Se sigue la regla de los signos: el signo + conserva el signo del número que sigue, mientras que el signo – lo cambia.

Simplifica las siguientes sumas y restas de enteros:

SIGUIENTE

Suma y resta de números enteros

Al sumar o restar números enteros, has de fijarte en que los paréntesis que aparezcan se eliminan teniendo en cuenta el signo + ó – que les antecede.

Se sigue la regla de los signos: el signo + conserva el signo del número que sigue, mientras que el signo – lo cambia.

Simplifica las siguientes sumas y restas de enteros:

(+8) + (–3) =

(+8) – (–3) =

(+8) + (+3) =

(+8) – (+3) =

SIGUIENTE

Suma y resta de números enteros

Al sumar o restar números enteros, has de fijarte en que los paréntesis que aparezcan se eliminan teniendo en cuenta el signo + ó – que les antecede.

Se sigue la regla de los signos: el signo + conserva el signo del número que sigue, mientras que el signo – lo cambia.

Simplifica las siguientes sumas y restas de enteros:

8 + 3 = 11

8 – 3 = 5

(+8) + (–3) =

(+8) – (–3) =

(+8) + (+3) =

(+8) – (+3) =

SIGUIENTE

Suma y resta de números enteros

Al sumar o restar números enteros, has de fijarte en que los paréntesis que aparezcan se eliminan teniendo en cuenta el signo + ó – que le antecede.

Se sigue la regla de los signos: el signo + conserva el signo del número que sigue, mientras que el signo – lo cambia.

Simplifica las siguientes sumas y restas de enteros:

8 + 3 = 11

8 – 3 = 5

(+8) + (–3) =

(+8) – (–3) =

8 – 3 = 5

8 + 3 = 11

(+8) + (+3) =

(+8) – (+3) =

SIGUIENTE

Suma y resta de números enteros

Al sumar o restar números enteros, has de fijarte en que los paréntesis que aparezcan se eliminan teniendo en cuenta el signo + ó – que le antecede.

Se sigue la regla de los signos: el signo + conserva el signo del número que sigue, mientras que el signo – lo cambia.

Simplifica las siguientes sumas y restas de enteros:

8 + 3 = 11

8 – 3 = 5

(+8) + (–3) =

(+8) – (–3) =

8 – 3 = 5

8 + 3 = 11

(–7) + (–5) =

(–7) – (–5) =

(+8) + (+3) =

(+8) – (+3) =

(–7) + (+5) =

(–7) – (+5) =

SIGUIENTE

Suma y resta de números enteros

Al sumar o restar números enteros, has de fijarte en que los paréntesis que aparezcan se eliminan teniendo en cuenta el signo + ó – que le antecede.

Se sigue la regla de los signos: el signo + conserva el signo del número que sigue, mientras que el signo – lo cambia.

Simplifica las siguientes sumas y restas de enteros:

8 + 3 = 11

8 – 3 = 5

(+8) + (–3) =

(+8) – (–3) =

8 – 3 = 5

8 + 3 = 11

(–7) + (–5) =

(–7) – (–5) =

–7 + 5 = –2

–7 – 5 = –12

(+8) + (+3) =

(+8) – (+3) =

(–7) + (+5) =

(–7) – (+5) =

SIGUIENTE

Suma y resta de números enteros

Al sumar o restar números enteros, has de fijarte en que los paréntesis que aparezcan se eliminan teniendo en cuenta el signo + ó – que le antecede.

Se sigue la regla de los signos: el signo + conserva el signo del número que sigue, mientras que el signo – lo cambia.

Simplifica las siguientes sumas y restas de enteros:

8 + 3 = 11

8 – 3 = 5

(+8) + (–3) =

(+8) – (–3) =

8 – 3 = 5

8 + 3 = 11

(–7) + (–5) =

(–7) – (–5) =

–7 + 5 = –2

–7 – 5 = –12

–7 – 5 = –12

–7 + 5 = –2

(+8) + (+3) =

(+8) – (+3) =

(–7) + (+5) =

(–7) – (+5) =

La regla de los signos

Una de las reglas de mayor uso en Matemáticas es la regla de los signos del producto de dos números enteros.

Vamos ahora a entender el fundamento de esta regla siguiendo con atención los ejemplos que siguen.

SIGUIENTE

La regla de los signos

En primer lugar, multipliquemos (+5) por (+4). Es lo mismo que 5 por 4, es decir, 20.

(+5) · (+4) = +20

SIGUIENTE

Una de las reglas de mayor uso en Matemáticas es la regla de los signos del producto de dos números enteros.

Vamos ahora a entender el fundamento de esta regla siguiendo con atención los ejemplos que siguen.

La regla de los signos

En segundo lugar, multipliquemos (+5) por (– 4). Como antes, es cinco veces – 4, o sea, (– 4)+(– 4)+(– 4)+(– 4) )+(– 4) = –20.

(+5) · (– 4) = –20

SIGUIENTE

Una de las reglas de mayor uso en Matemáticas es la regla de los signos del producto de dos números enteros.

Vamos ahora a entender el fundamento de esta regla siguiendo con atención los ejemplos que siguen.

En primer lugar, multipliquemos (+5) por (+4). Es lo mismo que 5 por 4, es decir, 20.

(+5) · (+4) = +20

La regla de los signos

Análogamente sucedería con el producto de (– 5) por (+4). Tendríamos (–5)+(–5)+(–5)+(–5) = –20. (–5) · (+4) = –20

SIGUIENTE

Una de las reglas de mayor uso en Matemáticas es la regla de los signos del producto de dos números enteros.

Vamos ahora a entender el fundamento de esta regla siguiendo con atención los ejemplos que siguen.

En primer lugar, multipliquemos (+5) por (+4). Es lo mismo que 5 por 4, es decir, 20.

(+5) · (+4) = +20

En segundo lugar, multipliquemos (+5) por (– 4). Como antes, es cinco veces – 4, o sea, (– 4)+(– 4)+(– 4)+(– 4) )+(– 4) = –20.

(+5) · (– 4) = –20

La regla de los signos

En primer lugar, multipliquemos (+5) por (+4). Es lo mismo que 5 por 4, es decir, 20.

(+5) · (+4) = +20

En segundo lugar, multipliquemos (+5) por (– 4). Como antes, es cinco veces – 4, o sea, (– 4)+(– 4)+(– 4)+(– 4) )+(– 4) = –20.

(+5) · (– 4) = –20

Análogamente sucedería con el producto de (–5) por (+4). Tendríamos (–5)+(–5)+(–5)+(–5) = –20. (– 5) · (+4) = –20

Finalmente, observa que (+ 5) · (– 4) = –20, resultado opuesto de (+5) · (+4) = –20. Habrá, pues, también un cambio de signo entre los resultados de (+5)·(– 4) y (– 5) · (– 4).

(–5) · (– 4) = +20

Una de las reglas de mayor uso en Matemáticas es la regla de los signos del producto de dos números enteros.

Vamos ahora a entender el fundamento de esta regla siguiendo con atención los ejemplos que siguen.

Operaciones combinadas

Las expresiones combinadas de enteros con las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir son calculables correctamente si se sigue la jerarquía de signos que ya conoces.

SIGUIENTE

Operaciones combinadas

Las expresiones combinadas de enteros con las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir son calculables correctamente si se sigue la jerarquía de signos que ya conoces.

Calcula el valor simplificado de la expresión:

(+30) : [(– 4) + (+9)] – (– 5) · (+3) + (– 4) =

SIGUIENTE

Operaciones combinadas

Las expresiones combinadas de enteros con las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir son calculables correctamente si se sigue la jerarquía de signos que ya conoces.

Calcula el valor simplificado de la expresión:

(+30) : [(– 4) + (+9)] – (– 5) · (+3) + (– 4) =

= (+30) : (+ 5) – (– 5) · (+3) + (– 4) =

SIGUIENTE

Las expresiones combinadas de enteros con las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir son calculables correctamente si se sigue la jerarquía de signos que ya conoces.

Calcula el valor simplificado de la expresión:

= (+ 6) – (– 15) + (– 4) =

(+30) : [(– 4) + (+9)] – (– 5) · (+3) + (– 4) =

= (+30) : (+ 5) – (– 5) · (+3) + (– 4) =

Operaciones combinadas

SIGUIENTE

Operaciones combinadas

Las expresiones combinadas de enteros con las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir son calculables correctamente si se sigue la jerarquía de signos que ya conoces.

Calcula el valor simplificado de la expresión:

= 6 + 15 – 4 =

= (+ 6) – (– 15) + (– 4) =

(+30) : [(– 4) + (+9)] – (– 5) · (+3) + (– 4) =

= (+30) : (+ 5) – (– 5) · (+3) + (– 4) =

SIGUIENTE

Operaciones combinadas

Las expresiones combinadas de enteros con las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir son calculables correctamente si se sigue la jerarquía de signos que ya conoces.

Calcula el valor simplificado de la expresión:

17

= 6 + 15 – 4 =

= (+ 6) – (– 15) + (– 4) =

(+30) : [(– 4) + (+9)] – (– 5) · (+3) + (– 4) =

= (+30) : (+ 5) – (– 5) · (+3) + (– 4) =

SIGUIENTE

Operaciones combinadas

Es importante también traducir a lenguaje matemático instrucciones de cálculo como las siguientes:

a) A – 9 le restas el producto de 3 por – 5 y le sumas el triple de – 2.

b) Al resultado de dividir 10 entre – 5, lo multiplicas por la suma de – 6 y 11.

SIGUIENTE

Las expresiones combinadas de enteros con las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir son calculables correctamente si se sigue la jerarquía de signos que ya conoces.

Operaciones combinadas

Es importante también traducir a lenguaje matemático instrucciones de cálculo como las siguientes:

a) A – 9 le restas el producto de 3 por – 5 y le sumas el triple de – 2.

b) Al resultado de dividir 10 entre –5, lo multiplicas por la suma de –6 y 11.

(–9) – 3 · (– 5) + 3 ·(–2) =

SIGUIENTE

Las expresiones combinadas de enteros con las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir son calculables correctamente si se sigue la jerarquía de signos que ya conoces.

Operaciones combinadas

Es importante también traducir a lenguaje matemático instrucciones de cálculo como las siguientes:

a) A –9 le restas el producto de 3 por – 5 y le sumas el triple de – 2.

b) Al resultado de dividir 10 entre – 5, lo multiplicas por la suma de – 6 y 11.

(– 9) – 3 · (– 5) + 3 ·(–2) = (– 9) – (–15) + 3 · (– 2) =

SIGUIENTE

Las expresiones combinadas de enteros con las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir son calculables correctamente si se sigue la jerarquía de signos que ya conoces.

Operaciones combinadas

Es importante también traducir a lenguaje matemático instrucciones de cálculo como las siguientes:

a) A –9 le restas el producto de 3 por –5 y le sumas el triple de –2.

b) Al resultado de dividir 10 entre – 5, lo multiplicas por la suma de – 6 y 11.

– 9 + 15 – 6 = 0(–9) – 3 · (– 5) + 3 ·(–2) = (–9) – (–15) + 3 · (–2) =

SIGUIENTE

Las expresiones combinadas de enteros con las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir son calculables correctamente si se sigue la jerarquía de signos que ya conoces.

Operaciones combinadas

Es importante también traducir a lenguaje matemático instrucciones de cálculo como las siguientes:

a) A –9 le restas el producto de 3 por – 5 y le sumas el triple de – 2.

b) Al resultado de dividir 10 entre – 5, lo multiplicas por la suma de – 6 y 11.

[(10) : (–5)] · [(– 6) + 11] =

SIGUIENTE

Las expresiones combinadas de enteros con las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir son calculables correctamente si se sigue la jerarquía de signos que ya conoces.

– 9 + 15 – 6 = 0(– 9) – 3 · (– 5) + 3 ·(–2) = (– 9) – (–15) + 3 · (– 2) =

Operaciones combinadas

Es importante también traducir a lenguaje matemático instrucciones de cálculo como las siguientes:

a) A – 9 le restas el producto de 8 por – 5 y le sumas el triple de – 2.

b) Al resultado de dividir 10 entre – 5, lo multiplicas por la suma de – 6 y 11.

[(10) : (– 5)] · [(– 6) + 11] = (– 2) · (+ 5)

SIGUIENTE

Las expresiones combinadas de enteros con las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir son calculables correctamente si se sigue la jerarquía de signos que ya conoces.

– 9 + 15 – 6 = 0(– 9) – 3 · (– 5) + 3 ·(–2) = (– 9) – (–15) + 3 · (– 2) =

Operaciones combinadas

Es importante también traducir a lenguaje matemático instrucciones de cálculo como las siguientes:

a) A – 9 le restas el producto de 8 por – 5 y le sumas el triple de – 2.

b) Al resultado de dividir 10 entre – 5, lo multiplicas por la suma de – 6 y 11.

[(10) : (– 5)] · [(– 6) + 11] = (– 2) · (+ 5) = –10

– 9 + 15 – 6 = 0(– 9) – 3 · (– 5) + 3 ·(–2) = (– 9) – (–15) + 3 · (– 2) =

Las expresiones combinadas de enteros con las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir son calculables correctamente si se sigue la jerarquía de signos que ya conoces.

Potencias de base entera

Si an es una potencia cuya base es un número entero, positivo o negativo, puede ocurrir que su resultado sea también positivo o negativo.

• Es negativo si la base es negativa y el exponente es impar.

• Es positivo en todos los demás casos.

¡Cuidado!: No confundas (–2)4 con – 24, pues (–2)4 es: (–2) · (–2) · (–2) · (–2)= + 16,

y, en cambio, – 24 es: – 2 · 2 · 2 · 2 = – 16.

SIGUIENTE

Potencias de base entera

Si an es una potencia cuya base es un número entero, positivo o negativo, puede ocurrir que su resultado sea también positivo o negativo.• Es negativo si la base es negativa y el exponente es impar.• Es positivo en todos los demás casos.

¡Cuidado!, no confundas (–2)4 con – 24, pues (–2)4 es: (–2) · (–2) · (–2) · (–2)= + 16,

y, en cambio, – 24 es: – 2 · 2 · 2 · 2 = – 16.

Relaciona los valores de la primera fila con los que son iguales a ellos en la segunda fila (hazlo empezando por la izquierda):

– 81 – 32 –1 1 32 815– 5

SIGUIENTE

– 25 (– 2)5 – 34 (– 3)4 –144 (–1)44 (– 5)0 – 50

Potencias de base entera

Si an es una potencia cuya base es un número entero, positivo o negativo, puede ocurrir que su resultado sea también positivo o negativo.• Es negativo si la base es negativa y el exponente es impar.• Es positivo en todos los demás casos.

¡Cuidado!, no confundas (–2)4 con – 24, pues (–2)4 es: (–2) · (–2) · (–2) · (–2)= + 16,

y, en cambio, – 24 es: – 2 · 2 · 2 · 2 = – 16.

Relaciona los valores de la primera fila con los que son iguales a ellos en la segunda fila (hazlo empezando por la izquierda):

– 25 (– 2)5 – 34 (– 3)4 –144 (–1)44

– 81 – 32 1 32 81

(– 5)0 – 50

5– 5

SIGUIENTE

–1

Potencias de base entera

Si an es una potencia cuya base es un número entero, positivo o negativo, puede ocurrir que su resultado sea también positivo o negativo.• Es negativo si la base es negativa y el exponente es impar.• Es positivo en todos los demás casos.

¡Cuidado!, no confundas (–2)4 con –24, pues (–2)4 es: (–2) · (–2) · (–2) · (–2)= + 16,

y, en cambio, –24 es: – 2 · 2 · 2 · 2 = – 16.

Relaciona los valores de la primera fila con los que son iguales a ellos en la segunda fila (hazlo empezando por la izquierda):

– 81 – 32 1 32 815– 5

SIGUIENTE

– 25 (– 2)5 – 34 (– 3)4 –144 (–1)44 (– 5)0 – 50

–1

Potencias de base entera

Si an es una potencia cuya base es un número entero, positivo o negativo, puede ocurrir que su resultado sea también positivo o negativo.• Es negativo si la base es negativa y el exponente es impar.• Es positivo en todos los demás casos.

¡Cuidado!, no confundas (–2)4 con –24, pues (–2)4 es: (–2) · (–2) · (–2) · (–2)= + 16,

y, en cambio, –24 es: – 2 · 2 · 2 · 2 = – 16.

Relaciona los valores de la primera fila con los que son iguales a ellos en la segunda fila (hazlo empezando por la izquierda):

– 81 – 32 –1 1 32 815– 5

SIGUIENTE

– 25 (– 2)5 – 34 (– 3)4 –144 (–1)44 (– 5)0 – 50

Potencias de base entera

Si an es una potencia cuya base es un número entero, positivo o negativo, puede ocurrir que su resultado sea también positivo o negativo.• Es negativo si la base es negativa y el exponente es impar.• Es positivo en todos los demás casos.

¡Cuidado!, no confundas (–2)4 con –24, pues (–2)4 es: (–2) · (–2) · (–2) · (–2)= + 16,

y, en cambio, –24 es: – 2 · 2 · 2 · 2 = – 16.

Relaciona los valores de la primera fila con los que son iguales a ellos en la segunda fila (hazlo empezando por la izquierda):

– 81 – 32 –1 1 32 815– 5

SIGUIENTE

– 25 (– 2)5 – 34 (– 3)4 –144 (–1)44 (– 5)0 – 50

Potencias de base entera

Si an es una potencia cuya base es un número entero, positivo o negativo, puede ocurrir que su resultado sea también positivo o negativo.• Es negativo si la base es negativa y el exponente es impar.• Es positivo en todos los demás casos.

¡Cuidado!, no confundas (–2)4 con –24, pues (–2)4 es: (–2) · (–2) · (–2) · (–2)= + 16,

y, en cambio, –24 es: – 2 · 2 · 2 · 2 = – 16.

Relaciona los valores de la primera fila con los que son iguales a ellos en la segunda fila (hazlo empezando por la izquierda):

– 81 – 32 –1 1 32 815– 5

SIGUIENTE

– 25 (– 2)5 – 34 (– 3)4 –144 (–1)44 (– 5)0 – 50

Potencias de base entera

Si an es una potencia cuya base es un número entero, positivo o negativo, puede ocurrir que su resultado sea también positivo o negativo.• Es negativo si la base es negativa y el exponente es impar.• Es positivo en todos los demás casos.

¡Cuidado!, no confundas (– 2)4 con – 24, pues (– 2)4 es: (–2) · (–2) · (–2) · (–2)= + 16,

y, en cambio, – 24 es: – 2 · 2 · 2 · 2 = – 16.

Relaciona los valores de la primera fila con los que son iguales a ellos en la segunda fila (hazlo empezando por la izquierda):

– 81 – 32 –1 1 32 815– 5

SIGUIENTE

– 25 (– 2)5 – 34 (– 3)4 –144 (–1)44 (– 5)0 – 50

Potencias de base entera

Si an es una potencia cuya base es un número entero, positivo o negativo, puede ocurrir que su resultado sea también positivo o negativo.• Es negativo si la base es negativa y el exponente es impar.• Es positivo en todos los demás casos.

¡Cuidado!, no confundas (–2)4 con –24, pues (–2)4 es: (–2) · (–2) · (–2) · (–2)= + 16,

y, en cambio, –24 es: – 2 · 2 · 2 · 2 = – 16.

Relaciona los valores de la primera fila con los que son iguales a ellos en la segunda fila (hazlo empezando por la izquierda):

– 81 – 32 –1 1 32 815– 5

SIGUIENTE

– 25 (– 2)5 – 34 (– 3)4 –144 (–1)44 (– 5)0 – 50

Potencias de base entera

Si an es una potencia cuya base es un número entero, positivo o negativo, puede ocurrir que su resultado sea también positivo o negativo.• Es negativo si la base es negativa y el exponente es impar.• Es positivo en todos los demás casos.

¡Cuidado!, no confundas (–2)4 con – 24, pues (– 2)4 es: (–2) · (–2) · (–2) · (–2)= + 16,

y, en cambio, – 24 es: – 2 · 2 · 2 · 2 = – 16.

Relaciona los valores de la primera fila con los que son iguales a ellos en la segunda fila (hazlo empezando por la izquierda):

– 81 – 32 –1 1 32 815– 5

– 25 (– 2)5 – 34 (– 3)4 –144 (–1)44 (– 5)0 – 50