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FORMULARIO CÁLCULO I

Ing. Alfredo Vargas Oroza

LÍMITES

Si b, c, n, A y B son números reales, siendo f y g funciones tales que,

lim ( )x c

f x A y lim ( )x c

g x B , entonces:

1) limx c

b b 2) limx c

x c

3) lim ( )x c

b f x b A 4) lim ( ) ( )x c

f x g x A B

5) lim ( ) ( )x c

f x g x A B 6) ( )

lim 0( )x c

f x AB

g x B

7) nn

cxcxlim 8) ex x

x

1

0)1(lim 9) e

x

x

x

11lim

10) ax

a x

xln

1lim

0 11)

0

sinlim 1x

x

x 12)

0

1 coslim 0x

x

x

FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

Sean u, v funciones de x ; c una constante

0)(cdx

d 'cucu

dx

d

xx eedx

d

x xde e

dx '

1ln u

uu

dx

d

au

uu

dx

da

ln

'log

'')( vuvudx

d '' uvvuuv

dx

d

dx

du

du

dyy

dx

d

dx

du

u

uu

dx

d '1unuu

dx

d nn

2

''

v

uvvu

v

u

dx

d

'cossin uuudx

d 'sincos uuu

dx

d

'sectan 2 uuudx

d 'tansecsec uuuu

dx

d

2

'cotcsccsc uuuudx

d 'csccot 2 uuu

dx

d

'coshsinh uuudx

d 'sinhcosh uuu

dx

d

'sectanh 2 uuhudx

d 'csccoth 2 uuhu

dx

d

'tanhsecsec uuuhuhdx

d 'cothcsccsc uuuhuh

dx

d

21

1arcsin

xx

dx

d

1

1arcsin

2xxh

dx

d

21

1arccos

xx

dx

d

1

1arccos

2xxh

dx

d

21

1arctan

xx

dx

d

21

1arctan

xxh

dx

d

21

1cot

xxarc

dx

d

21

1coth

xxarc

dx

d

Criterio de la primera derivada para extremos relativos

Criterio de la segunda derivada para extremos relativos

Sea f continua en [a,b], diferenciable en (a,b) tal que existe un punto c tal que

f ’(c)=0, entonces:

Si f ’’(c) > 0, f(c) es un mínimo relativo.

NINGUNO - -

NINGUNO + +

MÍNIMO

+ -

MÁXIMO

- +

c, f(c) Signo de

f ‘ en (c,b) GRÁFICO

a c b

Signo de f ‘ en (a,c)

Sea f una función continua en

(a,b) y c un único valor crítico

de f en el intervalo. Si f es

diferenciable en el intervalo

(excepto posiblemente en c),

entonces, la función tendrá o

no un extremo relativo de

acuerdo al criterio detallado en

el siguiente cuadro:

3

Si f ’’(c) < 0, f(c) es un máximo relativo.

Puntos de inflexión

Si la gráfica de una función continua posee una tangente en un punto en el que su

concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo, o viceversa, este punto se

denomina punto de inflexión.

Si (c,f(c)) es un punto de inflexión, entonces o bien f’’(c)=0 o f’’(c) no existe.

Regla de L’Hopital Una función racional de la forma f(x)/g(x) en la cual se presenta una de las formas

indeterminadas 0/0 o / puede resolverse aplicando

( ) '( )lim lim

( ) '( )x c x c

f x f x

g x g x

Conocida como la regla de L´Hopital, la misma que puede aplicarse sucesivamente

hasta eliminar la indeterminación.

Método de newton para la resolución de ecuaciones

Este método permite aproximar ceros de una ecuación mediante iteraciones

sucesivas

)('

)(1

n

nnn

xf

xfxx

FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

1;1

')11

nCn

udxuu

nn

Cedxue uu ')2

Cudxu

uln

')3 Cudxuu cos')(sin)4

Cudxuu sin')(cos)5 Cudxuu tan')(sec)6 2

Cudxuu cot')(csc)7 2 Cudxuuu sec')tan.(sec)8

Cudxuuu csc')cot.(csc)9 Cudxuu cosln')(tan)10

Cuuu sinln')(cot)11 Cuudxuu tansecln')(sec)12

Cuudxuu cotcscln')(csc)13

Ca

udx

ua

uarcsin

')14

22 C

a

u

adx

ua

uarctan

1')15

22

4

Cauudxau

u 22

22ln

')16 C

au

au

adx

au

uln

2

1')17

22

Ca

uarc

aauu

dxusec

1')18

22

Cu

uaa

auau

dxu 22

22ln

1')19

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Método de completar el cuadrado Toda expresión de la forma: x2 + bx +c puede

siempre completarse para formar un cuadrado perfecto de la siguiente manera:

4222

2222

2 bc

bx

bbcbxx

De modo que pueda integrarse a través de alguna de las fórmulas básicas de

integración.

Método de las fracciones simples. Por cada factor de la forma m

px q la

descomposición en fracciones simples ha de incluir la siguiente suma de m

fracciones: m

m

qpx

A

qpx

A

qpx

A

)(......

)()( 2

21

4) Por cada factor de la forma 2

n

ax bx c la descomposición en fracciones

simples ha de incluir la siguiente suma de n fracciones:

n

nn

cbxax

CxB

cbxax

CxB

cbxax

CxB

)(....

)( 222

22

2

11

Integración por partes El método es recomendable cuando se presentan productos

de funciones, es conveniente tomar en cuenta lo siguiente;

1.-Tómese como v’ la porción mas complicada del integrando que puede integrarse

fácilmente.

2.- Tómese como u la porción mas simple del integrando que tiene por derivada u’

una expresión mas simple que la propia u

3.- Es posible que el método exija ser aplicado mas de una vez, en cuyo caso se

debe cuidar de no conmutar las elecciones iniciales de u y v , además de vigilar la

aparición de un múltiplo de la integral original que resolvería el problema.

dxvuuvdxuv ''

Integrales trigonométricas

Integrales que contienen seno y coseno

5

1.- Si la potencia del seno es impar y positiva, reservar un factor seno y convertir

los demás en cosenos, luego desarrollar e integrar. 2 1 2

2 2

sin cos sin cos (sin )

(sin ) cos (sin ) (1 cos ) cos (sin )

k n k n

k n k n

x xdx x x x dx

x x x dx x x x dx

2.- Si la potencia del coseno es impar y positiva, reservar un factor coseno y

convertir los demás en senos a continuación desarrollar e integrar. 2 1 2

2 2

cos sin cos sin (cos )

(cos ) sin (cos ) (1 sin ) sin (cos )

k n k n

k n k n

x xdx x x x x dx

x x x dx x x x dx

3.- Si las potencias de ambos, seno y coseno, son pares y positivas, usar

repetidamente las identidades

2 21 cos2 1 cos2sin cos

2 2

x xx x

Hasta convertir el integrando en potencias impares del coseno

Integrales que contienen secante tangente

1.- Si la potencia de la secante es par y positiva, reservar un factor secante2 y pasar

las demás a tangentes, luego desarrollar e integrar.

dxxxxdxxxx

dxxxxxdxx

nknk

nk

nk

)(sectan)tan1()(sectan)(sec

)(sectansectansec

212212

222

2

2.- Si la potencia de la tangente es impar y positiva, reservar un factor secante

tangente y pasar los demás a secantes, luego desarrollar e integrar.

dxxxxxdxxxxx

dxxxxxxdxx

kmkm

kmkm

)tan(sec)1(secsec)tan(sec)(tansec

)tan(sectansectansec

2121

2112

3.- Si no hay factores secante y la potencia de la tangente es par y positiva,

convertir un factor tan2x en secantes. Después desarrollar y repetir el proceso si

fuera necesario.

xdxdxxx

dxxxdxxxxdx

nn

nnn

222

2222

tan)(sectan

)1(sectan)(tantantan

4.- Si no ocurre ninguna de las tres situaciones anteriores, intentar rescribir el

integrando en función de senos y cosenos.

Sustituciones trigonométricas

6

Este método es aplicable a expresiones que contienen radicales, que pueden ser la

hipotenusa o los catetos de un triángulo rectángulo, se debe considerar:

1.- Para integrales que contienen 22 ua

Hágase sinau entonces cos22 aua

2.- Para integrales que contienen 22 ua

Hágase tanau entonces sec22 aua

3.- Para integrales que contienen 22 au

Hágase secau entonces tan22 aau

Integrales impropias

Se denominan así las integrales en las cuales uno o ambos límites de integración se

hacen o tienden a infinito, o bien cuando la función presenta uno o más puntos de

discontinuidad en el intervalo de integración. Para evaluar este tipo de integrales se

debe utilizar:

1) Si f es continua en el intervalo [a, ) entonces: b

ab

a

dxxfdxxf )(lim)(

2) Si f es continua en el intervalo (- ,b] entonces b

aa

b

dxxfdxxf )(lim)(

3) Si f es continua en el intervalo (- , ) entonces

dxxfdxxfdxxfc

c

)()()(

4) Si f es continua en el intervalo [a,b) y se hace infinita en b, entonces

c

abc

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

22 au

a

u

a u

θ

22 ua

θ

22 ua

a

u θ

7

5) Si f es continua en el intervalo (a,b] y se hace infinita en a , entonces

b

cac

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

6) Si f es continua en el intervalo [a,b], excepto en algún punto c en (a,b) en

el que f se hace infinita entonces

dxxfdxxfdxxf

b

c

c

a

b

a

)()()(

TRIGONOMETRÍA

1OAOEOC

cos

sintan

cos

sin

OB

AB

OBOA

OB

ABOA

AB

sin

coscot;

1csc

;1

sec

AB

OB

ABAB

OA

OBOB

OA

Como los triángulos OAB OCD y OEF son semejantes se tiene:

EFOE

EF

AB

OBCD

OC

CD

OB

ABcot;tan

Las funciones inversas son:

cot

1tan;

sec

1cos;

csc

1sin

En el triángulo OAB 2222 cossin1;OBABOA

En el triángulo OCD 222 tan1sec;CDOCOD

En el triángulo OEF 222 cot1csc;EFOEOF

cossin22sin;sincoscossin)sin(

Circunferencia trigonométrica de

radio unitario

F E

D

C

A

O B

θ

8

22 sincos2cos;sinsincoscos)cos(

2tan1

tan22tan;

tantan1

tantan)tan(

2cos1

2cos1tan;

2

2cos1cos;

2

2cos1sin 222

sin)sin(;2

cos2

sin2sinsin

cos)cos(;2

sin2

cos2sinsin

tan)tan(;2

cos2

cos2coscos

2sin

2sin2coscos ;

coscos

)sin(tantan

2

cos1

2sin;

2

)sin()sin(cossin

2

cos1

2cos;

2

)cos()cos(coscos

cossin22sin;2

)cos()cos(sinsin

2222 sin11cos2sincos2cos

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Pendiente A

Bm ;

Ordenada al origen A

Cb ;

Angulo entre dos rectas21

21

1 mm

mm

Rectas perpendiculares si 2

1

1

mm

(x2,y2)

(x1,y1)

4

3

2

1

5 4 3 2 1

Distancia entre dos puntos

221

221 )()( yyxxd

Ecuaciones de la recta

bmxyCByAx

xx

yy

xx

yy

xx

yym

;0

2

2

1

1

21

21

9

CÓNICAS Ecuación Gral. de las cónicas: 022 FEyDxCyAx

Que se reduce a la forma general Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0

Donde A=b², C=a², D=-2b²h, E=-2a²k , F=b²h²+a²k²-a²b²

Los coeficientes A y C deben ser diferentes pero del mismo signo.

x=-p

P(x,y)

F(p,0)

P(x,y) A’(0,b)

A’(0,-b)

V(a,0) V’(-a,0)

F(c,0) F(-c,0)

Elipse con centro en el origen

12

2

2

2

b

y

a

x

Si la elipse tiene centro en (h,k) y ejes paralelos a

los coordenados, la ecuación de la elipse toma la

forma

12

2

2

2

b

ky

a

hx

Parábola con eje en y, centro en el origen pyx 42

Parábola con eje en x, centro en el origen pxy 42

Con vértice en (h,k) y eje paralelo a y

)(4)( 2 kxphy

Con vértice en (h,k) y eje paralelo a x

)(4)( 2 kyphx

Ecuación general 02 FEyDxy

02 FEyDxx

A

Circunferencia con centro en h,k y radio r

rkyhx 22 )()(

CAFEyDxyx ;022

( x + D/2 )² + ( y + E/2 )² = ( D² + E² - 4F ) / 4

Con centro en el origen ryx 22

(x,y)

h,k

r

10

Que se reduce a la forma general Ax²-Cy²+Dx+Ey+F=0

Donde A=b², C=a², D=-2b²h, E=-2a²k , F=b²h²+a²k²-a²b²

Los coeficientes A y C deben ser diferentes y de signo contrario.

ÁLGEBRA 222

2 bababa 32233

33 babbaaba

2222 bababa

3223333 babbaaba

))((22 bababa ))(( 322344 babbaababa

))(( 2233 babababa ; ))(( 2233 babababa

).....)(( 122321 nnnnnnn babbabaababa

2222222 cbabcacabcba

222244 22 bababababa

nnnnnn bbannn

bann

ban

aba ..!3

)2)(1(

!2

)1(

!1)( 33221

543223455

)5)(4)(3)(2(1

)1)(2)(3)(4(5

)4)(3)(2(1

)2)(3)(4(5

)3)(2(1

)3)(4(5

)2(1

)4(5

!1

5)( babbababaaba

mnn

m

n mnnnnnn

n

nnnnmmnmnmn

xxxyxxyyxxy

xx

xxxxxxx

;;

1;;;

1

1ln;01ln;lnln;lnln)ln( eaxabaab x

b

nnba

b

a

a

ab

log

loglog;lnlnln

xe ebxbb lnln ;

xa abxblog

A(0,b)

F(-c,0) F(c,0)

P(x,y)

V(a,0)

Hipérbola con centro en el origen

12

2

2

2

b

y

a

x

Si la hipérbola tiene centro en (h,k) y ejes

paralelos a los coordenados, la ecuación de la

hipérbola toma la forma

12

2

2

2

b

ky

a

hx

11

SUPERFICIES A=área

Pentágono Exágono Octágono

Anillo Segmento de Círculo Segmento de círculo

Trapecio

a

a

s

a

r

b

d D

b

a

h m

h

s

¼ r

b

2

)(

4

22

dDb

bbdA

dDA

52108

5 2rA

52102

1ra

2

2

33aA

ds

sad

866,0

155.12

d

a

s

sd

dssa

sdsA

sasA

083,1

924,0;415,0

2

83,02

22

2

¼ r

b

180

22360

22

rb

brr

rA

2cos1

82

)sin(2

436

2sin2

2

2

22

rh

h

shr

rA

shs

hA

rs

2

2

bam

mhhba

A

12

VOLÚMENES (A=área ; V=Volumen ; Am=Área de la cara lateral ; A1=Área de

la base ; A2=Área de la parte trunca)

Pirámide rectangular Pirámide trunca Cilindro

Cono Cono trunco Esfera

22

2

)(

3

rhm

mrrA

rmA

hrV

m

Am= Área de la cara lateral ; p = radio en la parte media

A1

h

3

1hAV

r

h m

r

h h

A1

A2

2

3

21

2121

AAhV

AAAAh

V

)(2

2

2

hrrA

rhA

hrV

m

D

22

22

2

212

12

hdD

m

phdDm

A

dDdDh

V

m

d r

22

33

4

63

4

drA

drV

p m

h

d